Giải bài toán Quốc tế

T BI TON HAY TRấN TON TUI
TH N BI TON THI QUC T
Phan duy nghA
(Phòng GD-ĐT Hơng Sơn, Hà Tĩnh)
Trên tạp chí TTT1 số 41, chuyên mục
Thi giải toán qua th có đăng bài toán
sau:
Bài toán. Một mảnh đất hình chữ nhật đ-
ợc chia thành 4 hình chữ nhật nhỏ hơn có
diện tích đợc ghi nh hình vẽ. Bạn có biết
diện tích hình chữ nhật còn lại có diện tích
là bao nhiêu không ?
Bài giải. Hai hình chữ nhật AMOP và
MBQO có chiều rộng bằng nhau và có
diện tích hình MBQO gấp 3 lần diện tích
hình AMOP (24 : 8 = 3 (lần)), do đó chiều
dài hình chữ nhật MBQO gấp 3 lần chiều
dài hình chữ nhật AMOP (OQ = 3 x PO)
(1). Hai hình chữ nhật POND và OQCN
có chiều rộng bằng nhau và có chiều dài
hình OQCN gấp 3 lần chiều dài hình
POND (theo (1)). Do đó diện tích hình
OQCN gấp 3 lần diện tích hình POND.
Vậy diện tích hình chữ nhật OQCN là: 16
x 3 = 48 (m
2
).
Lời bàn 1. Nếu ta nối các điểm M với Q;
Q với N; N với P và P với M thì ta có bài
toán trong đề thi toán Tiểu học quốc tế tổ
chức tại Hồng Kông nh sau.

Bài toán 1. Trên hình vẽ bên có AMOP,
MBQO, OQCN, POND và ABCD là các
hình chữ nhật. Biết diện tích MBQO là 51
cm
2
, diện tích của AMOP là 17 cm
2
và
diện tích của hình POND là 29 cm
2
.
Hãy tìm diện tích tứ giác MQNP.
Bài giải tóm tắt. Tơng tự nh cách giải bài
toán trên ta tính đợc diện tích hình chữ
nhật OQCN là: 29 x 3 = 87 (cm
2
). Mặt
khác ta có: S
MQNP
= S
PMO
+ S
MQO
+ S
QNO
+
S
PNO
. Mà diện tích mỗi hình tam giác này
lại bằng một nửa diện tích hình chữ nhật

chứa nó. Vậy S
MQNP
=
17
2
+
51
2
+
87
2
+
29
2
= 92 (cm
2
).
Lời bàn 2. Nối O với B ; O với D và B với
D ta có bài toán mới khó hơn chút xíu
sau.
Bài toán 2. Hình chữ nhật ABCD chứa 4
hình chữ nhật nhỏ hơn là AMOP, MBQO,
POND và OQCN có diện tích tơng ứng là
8 cm
2
, 24 cm
2
, 16 cm
2
và 48 cm

2
. Tính
diện tích phần tô màu.
Bài giải tóm tắt. Diện tích hình chữ nhật
ABCD là: 8 + 24 + 16 + 48 = 96 (cm
2
).
Diện tích hình tam giác BCD là: 96 : 2 =
48 (cm
2
). Diện tích hình tam giác BMO là:
24 : 2 = 12 (cm
2
). Diện tích hình tam giác
DPO là: 16 : 2 = 8 (cm
2
).
Diện tích phần tô màu là: 96 (48 + 12 +
8 + 8) = 20 (cm
2
).
Lời bàn 3. Nếu trên OQ ta lấy điểm I sao
cho PO = 2 x OI thì ta có thêm bài toán
mới khó hơn nh sau.
Bài toán 3. Hình chữ nhật ABCD chứa 4
hình chữ nhật nhỏ hơn là AMOP, MBQO,
POND và OQCN có diện tích tơng ứng là
8 cm
2
, 24 cm

2
, 16 cm
2
và 48 cm
2
. Biết PO
= 2 x OI. Tính diện tích phần tô màu.
Bài giải tóm tắt. Diện tích hình tam giác
OBQ là: 24 : 2 = 12 (cm
2
). Vì PO = 2 x OI
nên suy ra OI =
1
6
OQ. Hai tam giác OBQ
và OBI có chung chiều cao BQ nên suy
ra S
OBI
=
1
6
x S
OBQ
=
1
6
x 12 = 2 (cm
2
).
Hai tam giác OBI và ODI có chung cạnh

OI và có tỉ số hai chiều cao tơng ứng là
PD
AP
=
16
8
= 2 nên suy ra S
ODI
= 2 x S
OBI
=
2 x 2 = 4 (cm
2
). Vậy diện tích phần tô
màu là : 2 + 4 = 6 (cm
2
).
Lời bàn 4. Nếu ta di chuyển cạnh ON về
phía cạnh QC sao cho điểm O trùng với
điểm I thì ta có bài toán trong đề thi toán
Tiểu học quốc tế tổ chức tại Hồng Kông
nh sau.
Bài toán 4. Hình chữ nhật ABCD chứa 4
hình chữ nhật nhỏ hơn là AMOP, MBQO,
PIND và IQCN có diện tích tơng ứng là 12
cm
2
, 36 cm
2
, 24 cm

2
và 48 cm
2
. Tính diện
tích phần tô màu.
Bài giải tóm tắt. Nối I với C ta có: Diện
tích hình tam giác IQC là: 48 : 2 = 24
(cm
2
). Mặt khác, ta có: Diện tích hình chữ
nhật ABQP là: 12 + 36 = 48 (cm
2
). Diện
tích hình chữ nhật PQCD là: 48 + 24 = 72
(cm
2
). Hai hình chữ nhật ABQP và PQCD
có chung cạnh PQ nên suy ra tỉ số
BQ
QC
=
48
72
=
2
3
. Hai tam giác IBQ và IQC có
chung cạnh IQ và có tỉ số hai chiều cao t-
ơng ứng là
BQ

QC
=
2
3
nên suy ra S
IBQ
=
2
3
x S
IQC
=
2
3
x 24 = 16 (cm
2
). Vậy S
BOI
=
S
BOQ
S
IBQ
= 36 : 2 16 = 2 (cm
2
). Hai
tam giác BOI và DOI có chung cạnh OI
và có tỉ số hai chiều cao tơng ứng là
BQ
QC

=
2
3
nên suy ra S
DOI
=
3
2
x S
BOI
=
3
2
x 2 =
3 (cm
2
). Diện tích phần tô màu là: 2 + 3 =
5 (cm
2
).
Lời bàn 5. Trong quá trình giải các bài
toán trên, chúng ta chỉ sử dụng đến yếu
tố song song của các cạnh còn yếu tố
vuông góc chúng ta không sử dụng. Điều
này giúp ta nghĩ đến việc thay hình chữ
nhật bởi hình bình hành. Suy nghĩ đó giúp
ta có thêm các bài toán mới hấp dẫn sau.
Bài toán 5. Một mảnh đất hình bình hành
đợc chia thành 4 hình bình hành nhỏ hơn
có diện tích đợc ghi nh hình vẽ. Bạn có

biết diện tích hình bình hành còn lại có
diện tích là bao nhiêu không ?
Bài toán 6. Trên hình vẽ bên có AMOP,
MBQO, OQCN, POND và ABCD là các
hình bình hành. Biết diện tích MBQO là
51 cm
2
, diện tích của AMOP là 17 cm
2
và
diện tích của hình POND là 29 cm
2
. Hãy
tìm diện tích tứ giác MQNP.
Bài toán 7. Hình bình hành ABCD chứa 4
hình bình hành nhỏ hơn là AMOP, MBQO,
POND và OQCN có diện tích tơng ứng là
8 cm
2
, 24 cm
2
, 16 cm
2
và 48 cm
2
. Tính
diện tích phần tô màu.
Bài toán 8. Hình bình hành ABCD chứa 4
hình bình hành nhỏ hơn là AMOP, MBQO,
POND và OQCN có diện tích tơng ứng là

8 cm
2
, 24 cm
2
, 16 cm
2
và 48 cm
2
. Biết PO
= 2 x OI.
Tính diện tích phần tô màu.
Bài toán 9. Hình bình hành ABCD chứa 4
hình bình hành nhỏ hơn là AMOP, MBQO,
PIND và IQCN có diện tích tơng ứng là 12
cm
2
, 36 cm
2
, 24 cm
2
và 48 cm
2
. Tính diện
tích phần tô màu.
Bài giải các bài toán tự luyện.
Bài toán 5. Một mảnh đất hình bình hành
đợc chia thành 4 hình bình hành nhỏ hơn
có diện tích đợc ghi nh hình vẽ. Bạn có
biết diện tích hình bình hành còn lại có
diện tích là bao nhiêu không ?

Bài giải tóm tắt. Hai hình bình hành
AMOP và MBQO có chiều cao bằng nhau
chính là chiều cao hình bình hành ABQP
nên suy ra
OQ
OP
=
24
8
= 3. Hai hình bình
hành POND và ONCQ có chiều cao bằng
nhau chính là chiều cao hình bình hành
PQCD nên suy ra S
QONC
: S
POND
=
OQ
OP
=
3. Vậy: S
QONC
= 16 x 3 = 48 (cm
2
).
Bài toán 6. Trên hình vẽ bên có AMOP,
MBQO, OQCN, POND và ABCD là các
hình bình hành. Biết diện tích MBQO là
51 cm
2

, diện tích của AMOP là 17 cm
2
và
diện tích của hình POND là 29 cm
2
. Hãy
tìm diện tích tứ giác MQNP.
Bài giải tóm tắt. Tơng tự nh cách giải bài
toán trên ta tính đợc diện tích hình bình
hành OQCN là: 29 x 3 = 87 (cm
2
). Mặt
khác ta có: S
MQNP
= S
PMO
+ S
MQO
+ S
QNO
+
S
PNO
. Mà diện tích mỗi hình tam giác này
lại bằng một nửa diện tích hình bình hành
chứa nó. Vậy S
MQNP
=
17
2

+
51
2
+
87
2
+
29
2
= 92 (cm
2
).
Bài toán 7. Hình bình hành ABCD chứa 4
hình bình hành nhỏ hơn là AMOP, MBQO,
POND và OQCN có diện tích tơng ứng là
8 cm
2
, 24 cm
2
, 16 cm
2
và 48 cm
2
. Tính
diện tích phần tô màu.
Bài giải tóm tắt. Diện tích hình bình hành
ABCD là: 8 + 24 + 16 + 48 = 96 (cm
2
).
Diện tích hình tam giác BCD là: 96 : 2 =

48 (cm
2
). Diện tích hình tam giác BMO là:
24 : 2 = 12 (cm
2
). Diện tích hình tam giác
DPO là: 16 : 2 = 8 (cm
2
).
Diện tích phần tô màu là: 96 (48 + 12 +
8 + 8) = 20 (cm
2
).
Bài toán 8. Hình bình hành ABCD chứa 4
hình bình hành nhỏ hơn là AMOP, MBQO,
POND và OQCN có diện tích tơng ứng là
8 cm
2
, 24 cm
2
, 16 cm
2
và 48 cm
2
. Biết PO
= 2 x OI.
Tính diện tích phần tô màu.
Bài giải tóm tắt. Diện tích hình tam giác
OBQ là: 24 : 2 = 12 (cm
2

). Vì PO = 2 x OI
nên suy ra OI =
1
6
OQ. Hai tam giác OBQ
và OBI có chung chiều cao hạ từ B xuống
OQ nên suy ra S
OBI
=
1
6
x S
OBQ
=
1
6
x 12
= 2 (cm
2
). Hai tam giác OBI và ODI có
chung cạnh OI và có tỉ số hai chiều cao t-
ơng ứng bằng
16
8
(hoặc
48
24
) = 2 nên suy
ra S
ODI

= 2 x S
OBI
= 2 x 2 = 4 (cm
2
). Vậy
diện tích phần tô màu là : 2 + 4 = 6 (cm
2
).
Bài toán 9. Hình bình hành ABCD chứa 4
hình bình hành nhỏ hơn là AMOP, MBQO,
PIND và IQCN có diện tích tơng ứng là 12
cm
2
, 36 cm
2
, 24 cm
2
và 48 cm
2
. Tính diện
tích phần tô màu.
Bài giải tóm tắt. Nối I với C ta có: Diện
tích hình tam giác IQC là: 48 : 2 = 24
(cm
2
). Mặt khác, ta có: Diện tích hình bình
hành ABQP là: 12 + 36 = 48 (cm
2
). Diện
tích hình bình hành PQCD là: 48 + 24 =

72 (cm
2
). Hai hình bình hành ABQP và
PQCD có chung cạnh PQ nên suy ra tỉ số
hai chiều cao tơng ứng bằng
48
72
=
2
3
.
Hai tam giác IBQ và IQC có chung cạnh
IQ và có tỉ số hai chiều cao tơng ứng
bằng
2
3
nên suy ra S
IBQ
=
2
3
x S
IQC
=
2
3
x
24 = 16 (cm
2
). Vậy S

BOI
= S
BOQ
S
IBQ
= 36
: 2 16 = 2 (cm
2
). Hai tam giác BOI và
DOI có chung cạnh OI và có tỉ số hai
chiều cao tơng ứng bằng
2
3
nên suy ra
S
DOI
=
3
2
x S
BOI
=
3
2
x 2 = 3 (cm
2
). Diện
tích phần tô màu là: 2 + 3 = 5 (cm
2
).