Sử dụng phần mềm maple hỗ trợ thiết kế bài giảng một số nội dung dạy học hàm số ở trường THPT

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài khóa luận
Chiến lược phát triển giáo dục từ năm 2005 đến 2020 là từng bước đổi
mới nội dung, chương trình, giáo trình và phương pháp dạy học. Một trong
những khâu then chốt của quá trình đổi mới phương pháp dạy học là rèn kĩ
năng sử dụng các phần mềm Mathematic, Maple, Cabri Geometry,
Mathcad, trong dạy học toán. Ngày nay, CNTT có những bước tiến vượt
bậc, mang lại những lợi ích to lớn, thiết thực trong mọi lĩnh vực, riêng trong
lĩnh vực giáo dục thì việc sử dụng CNTT trong dạy học nói chung và dạy học
toán nói riêng đang trở thành xu hướng của thời đại.
Xuất phát từ những văn bản chỉ đạo của Đảng, chỉ thị số 58-CT/TW của
bộ chính trị ngày 17/10/2000 về công việc đẩy mạnh ứng dụng CNTT phục
vụ sự nghiệp CNH-HĐH, đã chỉ rõ trọng tâm của ngành giáo dục đào tạo
nguồn nhân lực về CNTT về đẩy mạnh ứng dụng CNTT và đẩy mạnh ứng
dụng CNTT trong công tác giáo dục và đào tạo. Đây cũng chính là nhiệm vụ
của Thủ tướng Chính phủ đã giao cho ngành giáo dục giai đoạn 2001-2005
thông qua quyết định số 81/2001/QĐ -TTG.
Phần mềm Maple là công cụ hỗ trợ trong việc dạy và học môn Toán
thông qua các minh họa với chất lượng cao, giảm bớt thời gian làm những
công việc thủ công, dễ nhầm lẫn, để có điều kiện đi sâu vào các vấn đề bản
chất của bài giảng. Hơn thế, nó cho thấy rõ sự ưu việt của các phương pháp
toán học cơ bản, góp phần định hướng việc dạy và học vào các chủ đề về giải
tích. Rõ ràng không có một phương pháp nào giúp ta vẽ được các loại đồ thị
khó và các loại kỹ thuật “khảo sát hàm số” cũng không thể góp phần cải thiện
tình huống. Một trong những giải pháp cho những tình huống khó khăn này
lại là sử dụng phần mềm máy tính hỗ trợ mà chính là “phần mềm Maple”.
Tuy nhiên, điều này không có nghĩa rằng phần dạy về các kỹ thuật khảo sát
và vẽ đồ thị của hàm số trong chương trình phổ thông là không có ý nghĩa,
1
ngược lại nó vẫn rất cần thiết. Và việc giảng dạy của GV là vô cùng quan
trọng, giáo án của GV cần sự hỗ trợ của CNTT để bài học được hoàn thiện

hơn. Việc làm này sẽ giúp bài học có hiệu quả cao và giải quyết nhanh chóng
những khó khăn trong khảo sát hàm số và các bài toán liên quan.
Maple là một trong những phần mềm Toán học chuyên dụng có khả
năng hỗ trợ cho dạy và học toán. Ta thấy phần mềm Maple là một chương
trình tính toán vạn năng, đề cập đến hầu hết mọi lĩnh vực của toán học. Thế
mạnh của phần mềm này là ở chỗ mọi bộ môn đều có thể sử dụng làm
phương tiện giảng dạy và học tập. Đặc biệt đối với đại số, số học, giải tích,
Maple có khá đầy đủ công cụ để giảng dạy và học tập. Như vậy đối với phần
mềm này GV chẳng những không được phép được thụ động vào những gì có
sẵn, mà phải chủ động phát huy tối đa khả năng sáng tạo của mình. Cái khó ở
đây không phải ở chỗ giải các bài tập Toán, mà là ở chỗ giảng cho HS hiểu
được bản chất của những khái niệm này cũng như phương pháp tư duy, suy
luận do chúng mang lại. Thiết kế bài giảng dưới sự hỗ trợ của phần mềm
Mape là phương pháp dạy học hiệu quả nâng cao chất lượng dạy và học của
thầy và trò trong chương trình THPT.
Vì vậy, tôi chọn đề tài: “Sử dụng phần mềm Maple hỗ trợ thiết kế bài
giảng một số nội dung dạy học hàm số ở trường THPT”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu sử dụng phần mềm Maple hỗ trợ thiết kế bài giảng một số
nội dung dạy học hàm số ở trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu nội dung giảng dạy phần hàm số ở trường THPT.
- Nghiên cứu sử dụng phần mềm Maple hỗ trợ thiết kế bài giảng phần
hàm số ở trường THPT.
4. Phương pháp nghiên cứu
2
- Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình
có liên quan đến giải tích, hàm số; các tài liệu về ứng dụng phần mềm Maple
trong giải tích, đặc biệt là khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Thu thập thông tin, nhận định,

đánh giá, đóng góp ý kiến cho đề tài.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu
đã được viết thành sách, các ứng dụng mới được tìm ra và các ứng dụng khác
mà làm phong phú thêm phương pháp dạy học.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Phần mềm Maple và nội dung dạy học hàm số ở trường phổ thông.
- Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận tập trung nghiên cứu sử dụng phần mềm
Maple trong dạy học nội dung hàm số ở trường THPT.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Sản phẩm khoa học: Khóa luận hệ thống về nội dung giảng dạy về khảo sát
hàm số và sử dụng phần mềm Maple để hỗ trợ thiết kế bài giảng nội dung
hàm số, đặc biệt là phần khảo sát hàm số.
- Sản phẩm thực tiễn: Tạo được điều kiện cho việc dạy và học tốt hơn, đạt
kết quả cao hơn.
7. Bố cục khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm có 3
chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng phần mềm Maple
trong dạy học hàm số
1.1. Giới thiệu tổng quan về phần mềm Maple và các chức năng chính
1.2. Quan điểm dạy học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin
1.3. Nội dung dạy học hàm số ở phổ thông
Chương 2: Sử dụng phần mềm Maple để hỗ trợ thiết kế bài giảng một số
nội dung dạy học hàm số
2.1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.1.1. Tìm giới hạn của hàm số
3
2.1.2. Tính đạo hàm của hàm số
2.1.3. Tìm cực đại, cực tiểu
2.1.4. Tìm điểm uốn

2.1.5. Vẽ đồ thị
2.1.6. Một số bài toán áp dụng
2.2. Các bài toán liên quan tới đồ thị
2.3. Sử dụng Maple hỗ trợ thiết kế bài giảng phần khảo sát hàm số
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm
3.1. Mục tiêu của thử nghiệm sư phạm
3.2. Nội dung của thử nghiệm sư phạm
3.3. Tổ chức dạy học thử nghiệm
3.4. Kết luận của thử nghiệm sư phạm
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC SỬ DỤNG PHẦN MỀM
MAPLE TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ
1.1. Giới thiệu tổng quan về phần mềm Maple và các chức năng chính
4
1.1.1. Tổng quan chung về phần mềm Maple
Phần mềm Maple là kết quả của nhóm các nhà khoa học trường Đại học
Waterloo - Canada và là một trong những bộ phần mềm toán học được sử
dụng rộng rãi nhất hiện nay.
MAPLE là phần mềm có một môi trường tính toán khá phong phú, hỗ
trợ hầu hết các lĩnh vực của toán học như: Giải tích số, đồ thị, đại số hình
thức do đó ta dễ dàng tính được các giá trị gần đúng, rút gọn biểu thức, giải
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tính giới hạn, đạo hàm, tích
phân của hàm số, vẽ đồ thị, tính diện tích, thể tích, biến đổi ma trận, khai triển
các chuỗi, tính toán thống kê, xử lý số liệu, số phức, phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng và lập trình giải các bài toán với cấu trúc chương
trình đơn giản.
Ngoài ra, với phần mềm này ta dễ dàng biên soạn các sách giáo khoa
điện tử với chức năng Hyperlink tạo các siêu văn bản rất đơn giản mà không
cần đến sự hỗ trợ của bất kỳ một phần mềm nào khác (chẳng hạn PageText,
Word, FrontPage ). Với các chức năng trên, MAPLE là công cụ đắc lực hỗ

trợ cho những người làm toán.
1.1.2. Sử dụng các lệnh đơn giản của Maple
- Lệnh xoá đi tất cả các biến nhớ của việc tính toán trước đó và khởi
động một quy trình tính toán mới: [> restart;
- Để xác định giá trị cho một biến, một hằng, một hàm hoặc khai báo
một thủ tục.
Maple sử dụng câu lệnh gán “:=” . Chẳng hạn: Xác định biến n nhận giá
trị bằng 5:
[> n :=5;
[> z := (x^2 + 1)/(x - y);
5
- Lệnh tìm số nguyên tố đứng trước số nguyên a đã xác định:
prevprime(a);
Chẳng hạn a = 100, ta gõ lệnh: [> prevprime(100);
- Lệnh tìm số nguyên tố đứng sau số nguyên a: nextprime(a);
Chẳng hạn a = 100 , ta gõ lệnh: [> nextprime(100);
- Lệnh tìm nghiệm nguyên của phương trình: isolve(f,{x,y }); Trong đó
f là biểu thức của phương trình hoặc hệ phương trình, {x,y } là danh sách
các ẩn.
- Lệnh phân tích đa thức thành nhân tử: factor(f), ví dụ:
[> factor(6*x^2+18*x-24);
- Lệnh viết đa thức dưới dạng bình phương của tổng: completesquare()
(lệnh này phải mở gói công cụ student), ví dụ:
[> with(student):
[> completesquare(x^2 - 2*x*a + a^2 + y^2
[> -2*y*b + b^2 = 23, x);
- Lệnh đơn giản (rút gọn) biểu thức: simplify(), ví dụ:
[> e := cos(x)^5 + sin(x)^4 + 2*cos(x)^2
[> - 2*sin(x)^2 - cos(2*x): simplify(e);
- Lệnh tối giản phân thức: normal(), ví dụ:

[> normal( (x^2-y^2)/(x-y)^3 );
6
- Giải phương trình solve(f,{d/s biến})
Bước 1: Định nghĩa phương trình bởi lệnh gán := , ví dụ :
[> eq := x^4-5*x^2+6*x=2;
Bước 2: Giải phương trình bằng lệnh solve();
[> solve(eq,x);
- Giải hệ phương trình solve({d/s pt},{d/s ẩn}).
Bước 1: Định nghĩa các phương trình bằng lệnh gán :=, ví dụ :
[> Pt1:=x+y+z-3=0;
[> Pt2:=2*x-3*y+z=2;
[> Pt3:=x-y+5*z=5;
Bước 2: Giải phương trình bằng lệnh solve
[> solve({Pt1,Pt2,Pt3},{x,y,z});
- Giải bất phương trình solve()
Bước 1: Định nghĩa các bất phương trình bằng lệnh gán :=
[> Bpt:=sqrt(7*x+1)-sqrt(3*x-18)<=sqrt(2*x+7);
Bước 2: Dùng lệnh solve()
[> solve(Bpt,{x});
Ta có thể giải bất phương trình với lệnh như sau:
7
[> solve(sqrt(7*x+1)-sqrt(3*x-18)<=sqrt(2*x+7),{x});
{9 <= x}
Vẽ đồ thị trong không gian hai chiều plot().
- Vẽ đồ thị hàm số:
=y

4 3 2
2 1x x x
+ − +

[> restart: with(plots):
[> plot(x^4+2*x^3-x^2+1,x=-3 3,-4 12);

1.2. Quan điểm dạy học dưới sự hỗ trợ của công nghệ thông tin
1.2.1. Quan điểm dạy học dưới sự hỗ trợ của công nghệ thông tin
8
CNTT mở ra triển vọng to lớn trong việc đổi mới các phương pháp và
hình thức dạy học. Những phương pháp dạy học theo cách tiếp cận kiến tạo,
phương pháp dạy học theo dự án, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề càng
có nhiều điều kiện để ứng dụng rộng rãi. Các hình thức dạy học như dạy học
đồng loạt, dạy theo nhóm, dạy cá nhân cũng có những đổi mới trong môi
trường CNTT và truyền thông. Chẳng hạn, cá nhân làm việc tự lực với máy
tính, với Internet, dạy học trực tuyến qua mạng, dạy học qua truyền hình.
Nếu trước kia người ta nhấn mạnh tới phương pháp dạy sao cho HS nhớ lâu,
dễ hiểu, thì nay phải đặt trọng tâm là hình thành và phát triển cho HS các
phương pháp học chủ động. Nếu trước kia người ta thường quan tâm nhiều
đến khả năng ghi nhớ kiến thức và thực hành kỹ năng vận dụng, thì nay chú
trọng đặc biệt đến phát triển năng lực sáng tạo của HS, chuyển từ “lấy GV
làm trung tâm” sang “lấy HS làm trung tâm”.
Do sự phát triển của CNTT và truyền thông mà mọi người đều có trong
tay nhiều công cụ hỗ trợ cho quá trình dạy học nói chung và phần mềm dạy
học nói riêng. Nhờ có sử dụng các phần mềm dạy học này mà HS trung bình,
thậm chí HS trung bình yếu cũng có thể hoạt động tốt trong môi trường học
tập. Nhờ có máy tính điện tử mà việc thiết kế giáo án và giảng dạy trên máy
tính trở nên sinh động hơn, tiết kiệm được nhiều thời gian hơn so với cách
dạy theo phương pháp truyền thống thu hút được sự chú ý và tạo hứng thú
nơi HS. Thông qua bài giảng điện tử, GV cũng có nhiều thời gian đặt các câu
hỏi gợi mở tạo điều kiện cho HS động nhiều hơn trong giờ học. Những khả
năng mới mẻ và ưu việt này của CNTT và truyền thông đã nhanh chóng làm
thay đổi cách sống, cách làm việc, cách học tập, cách tư duy và quan trọng

hơn cả là cách ra quyết định của con người.
Do đó, mục tiêu cuối cùng của việc ứng dụng CNTT trong dạy học là
nâng cao một bước cơ bản chất lượng học tập cho HS, tạo ra một môi trường
giáo dục mang tính tương tác cao, HS được khuyến khích và tạo điều kiện để
9
chủ động tìm kiếm tri thức, sắp xếp hợp lý quá trình tự học tập, tự rèn luyện
của bản thân mình.
Ưu điểm nổi bật của phương pháp dạy học bằng CNTT so với phương
pháp giảng dạy truyền thống là:
- Môi trường đa phương tiện kết hợp những hình ảnh video, camera…
với âm thanh, văn bản, biểu đồ… được trình bày qua máy tính theo kịch bản
vạch sẵn nhằm đạt hiệu quả tối đa qua một quá trình học đa giác quan.
- Kĩ thuật đồ hoạ nâng cao có thể mô phỏng nhiều quá trình, hiện tượng
trong tự nhiên, xã hội trong con người mà không thể hoặc không nên để xảy
ra trong điều kiện nhà trường.
- Công nghệ tri thức nối tiếp trí thông minh của con người, thực hiện
những công việc mang tính trí tuệ cao của các chuyên gia lành nghề trên
những lĩnh vực khác nhau.
- Những ngân hàng dữ liệu khổng lồ và đa dạng được kết nối với nhau và
với người sử dụng qua những mạng máy tính kể cả Internet… có thể được
khai thác để tạo nên những điều kiện cực kì thuận lợi và nhiều khi không thể
thiếu để HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và
sáng tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
- Những thí nghiệm, tài liệu được cung cấp bằng nhiều kênh: kênh hình,
kênh chữ, âm thanh sống động làm cho HS dễ thấy, dễ tiếp thu và bằng suy
luận có lý, HS có thể có những dự đoán về các tính chất, những quy luật mới.
Đây là một công dụng lớn của CNTT tin và truyền thông trong quá trình đổi
mới phương pháp dạy học. Có thể khẳng định rằng, môi trường CNTT và
truyền thông chắc chắn sẽ có tác động tích cực tới sự phát triển trí tuệ của HS
và điều này làm nảy sinh những lý thuyết học tập mới.

Theo nhận định của một số chuyên gia, thì việc đưa CNTT và truyền
thông ứng dụng vào lĩnh vực giáo dục và đào tạo bước đầu đã đạt được những
kết quả khả quan. Tuy nhiên, những gì đã đạt được vẫn còn hết sức khiêm
10
tốn. Khó khăn, vướng mắc và những thách thức vẫn còn ở phía trước bởi
những vấn đề nảy sinh từ thực tiễn. Chẳng hạn:
- Tuy máy tính điện tử mang lại rất nhiều thuận lợi cho việc dạy học
nhưng trong một mức độ nào đó, thì công cụ hiện đại này cũng không thể hỗ
trợ GV hoàn toàn trong các bài giảng của họ. Nó chỉ thực sự hiệu quả đối với
phần nhiều bài giảng chứ không phải toàn bộ chương trình do nhiều nguyên
nhân, mà cụ thể là, với những bài học có nội dung ngắn, không nhiều kiến
thức mới, thì việc dạy theo phương pháp truyền thống sẽ thuận lợi hơn cho
HS, vì GV sẽ ghi tất cả nội dung bài học đó đủ trên một mặt bảng và như vậy
sẽ dễ dàng củng cố bài học từ đầu đến cuối mà không cần phải lật lại từng
“slide” như khi dạy trên máy tính điện tử. Những mạch kiến thức “vận dụng”
đòi hỏi GV phải kết hợp với phấn trắng bảng đen và các phương pháp dạy học
truyền thống mới rèn luyện được kĩ năng cho HS.
- Bên cạnh đó, kiến thức, kỹ năng về CNTT ở một số giáo viên vẫn còn
hạn chế, chưa đủ vượt ngưỡng để đam mê và sáng tạo, thậm chí còn né tránh.
Mặt khác, phương pháp dạy học cũ vẫn còn như một lối mòn khó thay đổi,
lối áp đặt vẫn chưa thể xoá được trong một thời gian tới. Việc dạy học tương
tác giữa người - máy, dạy theo nhóm, dạy phương pháp tư duy sáng tạo cho
HS, cũng như dạy HS cách biết, cách làm, cách chung sống và cách tự khẳng
định mình vẫn còn mới mẻ đối với GV và đòi hỏi GV phải kết hợp hài hòa
các phương pháp dạy học đồng thời phát huy ưu điểm của phương pháp dạy
học này làm hạn chế những nhược điểm của phương pháp dạy học truyền
thống. Điều đó làm cho CNTT dù đã được đưa vào quá trình dạy học, vẫn
chưa thể phát huy tính trọn vẹn tích cực và tính hiệu quả của nó.
1.2.2. Vai trò của máy tính điện tử đối với quá trình dạy học toán
• Làm thay đổi nội dung và phương pháp truyền đạt trong dạy học

11
- Nhờ các công cụ đa phương tiện của máy tính như văn bản, đồ họa,
hình ảnh, âm thanh, hoạt cảnh, GV sẽ xây dựng được bài giảng sinh động thu
hút sự tập trung của người học, dễ dàng thể hiện được các phương pháp sư
phạm như: phương pháp dạy học tình huống, phương pháp dạy học nêu vấn
đề, thực hiện đánh giá và lượng giá học tập toàn diện, khách quan ngay trong
quá trình học…tăng khả năng tích cực chủ động tham gia học tập của người học.
- Góp phần thay đổi hình thức dạy và học: hình thức dạy dựa vào máy
tính, hình thức học dựa vào máy tính
• Hình thành kiến thức toán cho học sinh
- Thay vì việc tiếp thu tri thức qua bài giảng của GV theo hình thức Thầy
giảng - Trò nghe - Trò viết, GV sử dụng phần mềm hỗ trợ với các hiệu ứng
trình chiếu, tổ chức cho HS hình thành kiến thức bằng hoạt động học tập
trong môi trường kích hoạt phần mềm, khi đó các kĩ năng như mắt nhìn, tai
nghe, miệng thảo luận, tay viết, óc phán đoán được phát huy tăng cường hoạt
động, do vậy HS lĩnh hội kiến thức tốt hơn.
- Với khả năng minh hoạ sinh động (bằng mô hình trực quan, bằng đồ thị
hoá, bằng hình ảnh chuyển động, ) ứng dụng CNTT giúp HS nhẹ nhàng,
nhanh chóng tiếp thu những tính chất trừu tượng của các đối tượng toán học,
các chủ đề khó trong chương trình Toán Trung học cơ sở. Ở khâu truyền thụ
kiến thức mới, ứng dụng CNTT (thông qua các phần mềm với đặc tính mô
hình hoá, biểu đồ hoá, trực quan hoá hoạt động) giúp cho HS nắm bắt nhanh
được kiến thức, hiểu được kiến thức, từ đó biết cách vận dụng kiến thức vào
giải bài tập một cách tích cực, sáng tạo.
12
• Rèn luyện kĩ năng thực hành, củng cố kiến thức đã học
- Nhiều chương trình về luyện tập thực hành trên máy tính, nhất là
chương trình trắc nghiệm, đưa tới cho HS một mức độ luyện tập không hạn
chế cả về nội dung lẫn thời gian. Tuỳ tốc độ giải quyết của HS, HS có thể tự
ôn tập, tự rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học qua việc giải các bài

tập trắc nghiệm đến việc hình thành cách giải các bài tập tự luận khó hơn.
- Qua việc ứng dụng CNTT với các phần mềm học tập, HS được thông
báo câu trả lời sai và gợi ý để HS sửa sai, từ đó các em tìm được câu trả lời
đúng. Với tốc độ hỏi - đáp tức thì, nội dung vấn đề hỏi - đáp phong phú đa
dạng, tạo nên động lực học tập và nhu cầu nắm vững nhiều kiến thức, kĩ năng
để giải quyết vấn đề.
• Rèn luyện và phát triển tư duy
Qua môi trường ứng dụng CNTT HS được rèn luyện các kĩ năng:
- Quan sát, mô tả, phân tích, so sánh.
- Mò mẫm, dự đoán, khái quát hoá, trừu tượng hoá.
- Lập luận suy diễn chứng minh.
Trong các phần mềm đại số (nhờ kĩ thuật vẽ đồ thị hay biểu đồ, ), phần
mềm hình học (nhờ sử dụng chương trình Geogebra, Cabri, ), với khả năng
xử lí nhanh, khả năng liên kết động các đối tượng đã gợi mở cho HS phát hiện
nhanh các đối tượng, quá trình tìm hướng chứng minh được rút ngắn lại, do
đó HS có điều kiện tốt để phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy thuật toán.
• Hình thành phẩm chất, đạo đức tác phong cho học sinh
Qua ứng dụng CNTT vào bài giảng, HS được hình thành và rèn luyện
phong cách làm việc khoa học; gồm các đức tính độc lập học tập, chủ động
sáng tạo trong việc tự học, tự rèn luyện, say sưa tìm tòi nghiên cứu, có thái độ
nghiêm túc và kỉ luật cao. Ứng dụng CNTT vào giảng dạy, HS biết thao tác
trên máy trong quá trình học tập do đó góp phần đào tạo người lao động có tư
13
duy công nghệ, thích nghi với xã hội công nghiệp cao, có tác phong lao động
trong thời đại mới.
1.3. Nội dung dạy học hàm số ở phổ thông
Khái niệm hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, nó
giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn toán ở nhà trường phổ thông, nội
dung hàm số được triển khai qua các lớp như sau:
- Trước lớp 7, học sinh chưa được học định nghĩa hàm số. Tuy nhiên, họ đã

được làm quen với những ví dụ cụ thể của khái niệm này. Chẳng hạn, Điền
vào dấu hỏi: 2 + ? = 5.
- Ở lớp 7, bắt đầu giới thiệu định nghĩa hàm số, tiếp đó nghiên cứu những
hàm cụ thể: đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Lớp 9, nghiên cứu hàm số bậc nhất
y ax b= +
trên
¡
, hàm số bậc hai
2
y ax=
trên tập
¡
.
- Lớp 10, tổng kết về hàm số, tiếp đó nghiên cứu hàm số bậc hai dạng tổng
quát.
- Lớp 11, trình bày những hàm số có đối số tự nhiên (dãy số, cấp số cộng, cấp
số nhân) và hàm số lượng giác.
- Lớp 12, nhờ đạo hàm là công cụ tổng quát và có hiệu lực để khảo sát hàm
số, sử dụng để nghiên cứu một số hàm cụ thể:
3 2
(a 0)y ax bx cx d= + + + ≠
4 2
(a 0)y ax bx c= + + ≠
(a' 0 và ab' ' 0)
' '
ax b
y ba
a x b
+

= ≠ − ≠
+
2
(a 0, a' 0)
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
= ≠ ≠
+
14
tiếp tục nghiên cứu những hàm số siêu việt: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và
hàm số lôgarit.
Maple là công cụ đưa vào phần nội dung hàm số giúp GV dạy học đạt
kết quả tốt hơn, chẳng hạn đối với phần khảo sát hàm số như định tham số m,
GV phải mất nhiều thời gian khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Khi sử dụng Maple
thì ta chỉ cần thay m với bất kì giá trị nào thì đều cho kết quả nhanh và chính
xác cao. Hơn thế khi gặp bài toán biện luận số giao điểm của một đường
thẳng với đồ thị thì việc vẽ đồ thị và tìm số nghiệm hay số giao điểm sẽ dễ
dàng và nhanh hơn. Vai trò đặc biệt là Maple giúp người sử dụng tăng cường
trực quan về hình dạng của các đường cong bất kỳ và dự đoán quỹ tích của
một điểm của một đường cong.
15
Kết luận chương 1
Trong chương này tôi đã trình bày về cơ sở lí luận và thực tiễn của việc
sử dụng phần mềm Maple trong dạy học môn Toán. Qua đây mục đích dạy
học toán ở trường phổ thông và quan điểm dạy học với sự hỗ trợ của công
nghệ thông tin được trình bày khá chi tiết giúp người đọc biết vai trò và vị trí
của môn toán trong trường phổ thông. Đặc biệt thấy được vai trò của CNTT

mà cụ thể là phần mềm Maple và những chức năng chính trong dạy học hàm
số ở trường phổ thông.
16
CHƯƠNG 2
SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ HỖ TRỢ THIẾT KẾ BÀI GIẢNG
MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ
2.1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Các bước khảo sát hàm số:
1. Tìm tập xác định.
2. Xét sự biến thiên.
- Xét chiều biến thiên của hàm số.
+ Tính đạo hàm y’.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định.
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị.
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
- Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).
3. Vẽ đồ thị.
- Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
- Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị (nếu có).
2.1.1. Tìm giới hạn của hàm số
• Tính giới hạn của hàm số tại một điểm
Cú pháp của lệnh tìm giới hạn hàm số
( )f x
tại điểm a là
[> limit(f(x),x=a);
Trong đó
( )f x
là biểu thức ta cần tìm giớ hạn và a là điểm tại đó cần

tính giới hạn (nếu a là
∞
thì ta viết
x infinity=
). Sau khi cho thực hiện lệnh,
chỉ cần chờ một lát là sẽ có ngay đáp số.
17
Ví dụ 2.1.1: Tính giới hạn:
( ) ( ) ( )
2
4
0
sin 2 sin sin 4
lim
x
x x x
x
→
−
[> limit((sin(2*x)^2-sin(x)*sin(4*x))/x^4,x=0);
6
Ví dụ 2.1.2: Tính giới hạn:
3
2
2
2 6 1
lim
2 3
x
x x

x
→
+ −
+
[> limit((2*x^3+6*x-1)/(2*x^2+3),x=2);
Khi ta viết một hàm ví dụ như Lim hay lim nếu ta viết kí hiệu đầu tiên
là chữ hoa thì có nghĩa là ta muốn hiển thị trên màn hình kí hiệu của công
thức đó, nếu ta viết kí hiệu đầu tiên là chữ thường thì có nghĩa là ta muốn hiển
thị giá trị của công thức ấy mà thôi. Nếu muốn hiển thị cả hai ví dụ như giới
hạn trên thì ta dùng cách ghi sau đây:
[> Limit(f,x=a)=limit(f,x=a);
Giá trị a ở đây có thể là cộng vô cực hay trừ vô cực. Nếu ta muốn ghi a
là cộng vô cực thì ta viết
infinity
, nếu muốn ghi trừ vô cực thì ta ghi
infinity−
. Nếu muốn tính giới hạn bên phải hay bên trái của a thì ta viết :
[> limit(f,x=a,right); hay [> limit(f,x=a,left);
• Tính giới hạn theo hướng (trái hoặc phải)
Ví dụ 2.1.3: Tính giới hạn sau:
( )
( )
0
lim cot
x
x
→
−
[> Limit(tan(x+Pi/2),x=0,left);
[> value(%);

18
[> Limit(tan(x+Pi/2),x=0,right);
[> value(%);
Vì giới hạn trái và phải không bằng nhau cho nên không tồn tại giới hạn.
2.1.2. Tính đạo hàm của hàm số
MAPLE có thể giúp chúng ta tính đạo hàm của một hàm số bất kỳ một
cách nhanh chóng. Cú pháp của lệnh tính đạo hàm của hàm số
( )f x
theo biến
số
x
như sau:
[> diff(f(x),x);
Trong đó
( )f x
là hàm số và
x
là biến số mà ta cần tính đạo hàm. Chú ý
dấu chấm phẩy “ ; ” ở dưới cuối dòng lệnh. Sau khi cho thực hiện lệnh, ta chỉ
cần chờ một lát sẽ có ngay đáp số.
Ví dụ 2.1.4: Tính đạo hàm của
2 2
1y x x= +
.
[> diff(x^2*sqrt(x^2+1),x);
Muốn biểu diễn quá trình này một cách tường minh (qua các công thức
đã biết) ta thực hiện các thao tác sau đây:
Bước 1: Xác định hàm số bằng dòng lệnh có cú pháp như sau:
[> f:=x
→

Biểu thức của
x
.
Bước 2: Thiết lập công thức biểu diễn đạo hàm của
( )f x
theo biến
x
bằng
dòng lệnh có cú pháp sau:
[> Diff(f(x),x);
Bước 3: Tính đạo hàm và gọi nó là
f
- phẩy bằng lệnh tính giá trị biểu thức trên:
[> f_prim:=value(%);
Bước 4: Nếu giá trị thu được là cồng kềnh thì có thể rút gọn bằng lệnh:
19
[> simplify(%);
Ví dụ 2.1.5: Tính đạo hàm của hàm số sau đây:
2
3 1
)
4 2
x x
a y
x
+ +
=
+
)
x

b y x=
arcsin( )
)
arccos( )
x
c y
x
=
Ta sẽ thực hiện các lệnh sau đây, chú ý nếu kết quả tính ra chưa được
gọn lắm thì bạn có thể dùng hàm simplify hay normal để viết chúng về dạng
đơn giản nhất.
a)
[> y:=(x^2+3*x+1)/(4*x +1);
[> diff(y,x);
b)
[> y:=x^x:diff(y,x);
c)
[> y:=arcsin(x)/arccos(x):diff(y,x);
Rút gọn:
Nhận xét : Thật ra ta có kết quả arcsin(x) + arccos(x) = Pi/2 nhưng máy
chưa hiểu điều này.
Chẳng hạn: Tính đạo hàm của
3 2 3
5 3 2y x x x
−
= − −
20
[> y:=5*x^3-3*x^2-2*x^(-3);
[> diff(y,x);
Tính đạo hàm cấp cao

Người ta định nghĩa đạo hàm cấp hai của hàm một biến là đạo hàm của
hàm số thu được sau phép lấy đạo hàm cấp một, cho nên phép lấy đạo hàm
cấp hai có thể thực hiện dễ dàng thông qua hai lần dùng lệnh lấy đạo hàm bậc
nhất. Tuy nhiên, công việc này có thực hiện một cách đơn giản hơn nhờ dùng
một dòng lệnh có cú pháp như sau:
[> diff(f(x),x,x);
Hoặc viết dưới dạng khác là:
[> diff(f(x),x$2);
Tương tự, ta lấy đạo11 hàm cấp k của hàm f bằng một lệnh có cú pháp là:
[> diff(f(x),x$k);
Ví dụ 2.1.6: Cho hàm số:
2
2
2 1
4 2 1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
Tính đạo hàm các cấp của y.
[> y:=(2*x^2+x+1)/(4*x^2+2*X+5);
Đạo hàm cấp 2 của hàm số là:
[> simplify(diff(y,x$2));
Đạo hàm cấp 3 của hàm số là:
[> simplify(diff(y,x$3));
21
Đạo hàm cấp 7 của hàm số là:
[> simplify(diff(y,x$7));

Ví dụ 2.1.7: Cho hàm số:
4
siny x x x= +
. Tính đạo hàm cấp 4 của y.
[> y:=x^4+x*sin(x);
[> diff(y,x,x);
[> diff(y,x$2);
[> diff(y,x$4);
2.1.3. Tìm cực đại, cực tiểu
Để xác định cực đại, cực tiểu của hàm số ta xét đạo hàm bậc nhất và tính
đơn điệu của hàm số hoặc dùng tính lồi thông qua đạo hàm bậc hai, cụ thể:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: [> diff(f(x),x);
Bước 2: Giải phương trình
'
( ) 0f x =
để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị.
[> solve(f'(x)=0,x);
Bước 3: Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:
22
[> solve(f'(x)>=,x)
Bước 4: Xét xem tại
0
x
:
1) Nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì
0
x
là điểm cực đại.
2) Nếu đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì là
0

x
điểm cực tiểu.
3) Nếu qua
0
x
đạo hàm không đổi dấu thì
0
x
không phải là điểm cực trị.
Ví dụ 2.1.8: Tìm cực trị của hàm số:
3 2
6 4 8y x x x= − + −
Bước 1:

[> a:=diff(x^3-6*x^2+4*x-8,x);
Bước 2: [> b:=solve(a=0,{x});
Bước 3: [> c:=solve(a>=0,{x});
Bước 4: [> c:=solve(a<=0,{x});
Qua
1
2 6
2
3
x = −
đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên
1
2 6
2
3
x = −

là
điểm cực đại, còn qua điểm
2
2 6
2
3
x = +
đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm
sang dương nên
2
2 6
2
3
x = +
là điểm cực tiểu của hàm số
3 2
6 4 8y x x x= − + −
.
Nếu dựa vào đạo hàm bậc 2 ta có thể tiến hành các bước sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số:[> dhb1:=diff(f(x),x);
Bước 2: Giải phương trình
'
( ) 0f x =
để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị
23
[> solve(dhb1=0,x);
Bước 3: Tìm đạo hàm bậc hai:[> dhb2:=diff(dhb1,x);
Ví dụ 2.1.9: Tìm cực trị của hàm số
3 2
6 4 8y x x x= − + −

Bước 1: [> a:=diff(x^3-6*x^2+4*x-8,x);
Bước 2: : Tìm những điểm mà đạo hàm bậc nhất = 0:
[> b:=solve(a=0,{x});

Bước 3: Tìm đạo hàm bậc hai:
[> b:=diff(a,x);
Bước 4: Tính giá trị của đạo hàm bậc 2 tại những điểm mà tại đó đạo hàm bậc
nhất bằng không: [> subs(x=2+2/3*sqrt(6),b);
[> subs(x=2-2/3*sqrt(6),b);
Bước 5: Xét giá trị của đạo hàm bậc 2 và kết luận, chẳng hạn ở ví dụ này ta
có:
2 6
''(2 ) 4 6 0
3
y + = >
nên
2
2 6
2
3
x = +
là điểm cực tiểu của hàm số.
2 6
''(2 ) 4 6 0
3
y − = <
nên
1
2 6
2

3
x = −
là điểm cực đại của hàm số.
2.1.4. Tìm điểm uốn
Điểm uốn là điểm mà tại đạo hàm bậc 2 đổi dấu. Để xác định điểm uốn
của hàm số ta lần lượt thực hiện những câu lệnh sau:
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất: [> dhb1:=diff(f(x),x);
Trong đó
( )f x
là hàm số mà ta cần khảo sát tính lồi.
24
Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai: [> dhb2:=diff(dhb1,x);
Bước 3: Điểm
0
x
là điểm uốn của hàm số nếu
0
x
là nghiệm chung của 2 bất
phương trình: [> solve(dhb2>=0);và [> solve(dhb2<=0);
Ví dụ 2.1.10: Tìm điểm uốn của hàm số
4 2
2x x−
.
Bước 1: [> a:=diff(x^4-2*x^2,x);
Bước 2:[> b:=diff(a,x);
Bước 3: [> solve(b>=0);
[> solve(b<=0);
Kết luận
3

3
x = −
và
3
3
x =
là hai điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
2.1.5. Vẽ đồ thị
Vẽ đồ thị là một trong những chức năng mạnh của Maple. Để vẽ đồ thị
hàm số
( )f x
trên đoạn
[ ]
,a b
, ta sử dụng lệnh:
[> plot(f((x),x=a b);
Vẽ đồ thị hàm số:
4 2
2y x x= −

[> plot(x^4-2*x^2,x=-2 2);
25