Tải bản đầy đủ (.pdf) (60 trang)

Các đồng cấu của một số cấu trúc đại số và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (521.33 KB, 60 trang )

1

MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài khóa luận
Trong chương trình Toán ở bậc ñại học, chúng ta ñã ñược nghiên cứu về
các cấu trúc ñại số như nửa nhóm, nhóm, vành, trường trong ñó, ba cấu trúc
nhóm, vành, trường thường gặp trên những tập hợp số có mặt trong chương trình
phổ thông từ cấp Tiểu học, Trung học cơ sở ñến Trung học phổ thông. Các cấu
trúc ñại số này có mối quan hệ mật thiết với nhau. ðể so sánh các cấu trúc ñại số
cùng loại, ta có một công cụ là ñồng cấu, chẳng hạn ñể so sánh cấu trúc giữa hai
nửa nhóm ta có ñồng cấu nửa nhóm, so sánh cấu trúc giữa hai nhóm ta có ñồng
cấu nhóm, so sánh cấu trúc giữa hai vành ta có ñồng cấu vành ðồng cấu nối một
cấu trúc này với một cấu trúc khác, là một công cụ quan trọng ñể nghiên cứu một
cấu trúc qua quan hệ với một cấu trúc khác. Các ñồng cấu có mối quan hệ mật
thiết với nhau và có nhiều ứng dụng trong việc giải một số bài toán ñại số.
ðể tìm hiểu cấu trúc của cấu trúc X, người ta thường tìm cách thiết lập
một ñồng cấu giữa cấu trúc X và một cấu trúc Y quen biết. Nếu ñồng cấu tìm
ñược là một ñẳng cấu thì có thể coi X là một “nhân bản” của Y về mặt cấu trúc.
Nếu ñồng cấu chỉ là một ñồng cấu tầm thường thì quan hệ giữa X và Y cũng chỉ
là một quan hệ tầm thường, không mang lại một thông tin mới nào về X.
Nếu ta thiết lập ñược một ñẳng cấu giữa hai cấu trúc hữu hạn, ta sẽ suy ra
ñược số phần tử của cấu trúc này bằng số phần tử của cấu trúc kia. Như vậy, ta
ñã tính ñược số phần tử của một cấu trúc ñại số rất khó khảo sát thông qua việc
tính số phần tử của một cấu trúc rõ ràng hơn.
Hơn nữa, việc thay một phép toán phức tạp bằng một phép toán ñơn giản
hơn là một lợi ích lớn mà khái niệm ñẳng cấu mang lại. Chẳng hạn, xét ñẳng cấu:
*
log :
log
x x
+



ℝ ℝ
֏

2

Vì log là m

t
ñẳ
ng c

u t

nhóm nhân
*
+

lên nhóm c

ng

nên nó cho
phép ta thay phép nhân (mà vi

c nhân hai s

l

n r


t ph

c t

p) b

ng phép c

ng.
C

th


ñể
nhân hai s

th

c d
ươ
ng x và y v

i nhau, ta l

y logarit c
ơ
s


10 c

a x
và y (dùng b

ng logarit), sau
ñ
ó làm phép c

ng
(
)
log log log
x y xy
+ =
. Bi
ế
t
(
)
log
xy
, dùng b

ng logarit ta
ñượ
c tích
xy
.
Ngoài ra, các

ñồ
ng c

u còn nhi

u

ng d

ng khác nh
ư
ch

ng minh tính
ch

t c

a m

t c

u trúc
ñạ
i s

nào
ñ
ó, tính s


chi

u c

a m

t không gian vect
ơ
,
ch

ng minh s

t

n t

i c

a m

t ph

n t

th

a mãn
ñ
i


u ki

n cho tr
ướ
c…
Là m

t sinh viên s
ư
ph

m Toán, trên c
ơ
s


ñ
ã
ñượ
c trang b

nh

ng ki
ế
n
th

c n


n t

ng v


ñạ
i s

và v

i mong mu

n ti
ế
p t

c nghiên c

u các
ñồ
ng c

u
ñể

phát hi

n thêm nh


ng m

i liên h

,
ñồ
ng th

i tìm nh

ng

ng d

ng c

a
ñồ
ng c

u
trong m

t s

v

n
ñề
c


a toán h

c

b

c
ñạ
i h

c. Chính vì v

y chúng tôi
ñ
ã l

a
ch

n
ñề
tài
“Các ñồng cấu của một số cấu trúc ñại số và ứng dụng”
cho khóa
lu

n t

t nghi


p
ñạ
i h

c c

a mình.
2. Mục tiêu khóa luận

Phân tích và trình bày m

t cách h

th

ng m

t s

tính ch

t c

a
ñồ
ng
c

u nhóm,

ñồ
ng c

u vành và
ñồ
ng c

u mô
ñ
un.

Tìm ra m

t s

m

i quan h

gi

a
ñồ
ng c

u nhóm,
ñồ
ng c

u vành và

ñồ
ng c

u mô
ñ
un.
• ðư
a ra m

t s



ng d

ng c

a
ñồ
ng c

u nhóm,
ñồ
ng c

u vành và
ñồ
ng
c


u mô
ñ
un trong gi

i các bài toán
ñạ
i s

.
3. Nhiệm vụ và nội dung nghiên cứu

Nghiên c

u các tính ch

t c
ơ
b

n c

a

c

a
ñồ
ng c

u nhóm,

ñồ
ng c

u
vành


ñồ
ng c

u mô
ñ
un.

Xây d

ng m

t
ñồ
ng c

u gi

a hai c

u trúc
ñạ
i s


cùng lo

i.

Nghiên c

u

ng d

ng c

a
ñồ
ng c

u trong vi

c kh

o sát m

t s

bài toán
ñạ
i s


3


4. Phương pháp nghiên cứu

ðể
th

c hi

n khóa lu

n này, chúng tôi ch

y
ế
u s

d

ng ph
ươ
ng pháp
nghiên c

u lí lu

n. D

a theo ph
ươ
ng

phá
p

y,
chú
ng tôi ti
ế
n

nh
ñọ
c và
nghiên c

u tài li

u, giáo trình có liên quan
ñế
n các tính ch

t c
ơ
b

n c

a
ñồ
ng
c


u nhóm,
ñồ
ng c

u vành và
ñồ
ng c

u mô
ñ
un mà tr

ng tâm là các
ñị
nh lí v


thi
ế
t l

p
ñẳ
ng c

u. T


ñ

ó h

th

ng nh

ng ki
ế
n th

c c
ơ
b

n v


ñồ
ng c

u nhóm,
ñồ
ng c

u vành và
ñồ
ng c

u mô
ñ

un. Ti
ế
p theo, d

a vào nh

ng ki
ế
n th

c c
ơ
b

n
ñ
ã nêu

ch
ươ
ng 1, chúng tôi nghiên c

u v

cách xây d

ng m

t
ñồ

ng c

u trên
n

n t

ng m

t ánh x

cho tr
ướ
c. Cu

i cùng, d

a vào các
ñị
nh lí v


ñồ
ng c

u,
chúng tôi v

n d


ng vào gi

i và khai thác m

t s

bài toán
ñạ
i s

.
5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu


ðối tượng: ðồ
ng c

u nhóm,
ñồ
ng c

u vành và
ñồ
ng c

u mô
ñ
un.



Phạm vi nghiên cứu:
Khóa lu

n ch

t

p trung nghiên c

u các tính ch

t
c
ơ
b

n v


ñồ
ng c

u nhóm,
ñồ
ng c

u vành và
ñồ
ng c


u mô
ñ
un nh
ư
c

u trúc
c

a các t

p

nh, t

o

nh qua m

t
ñồ
ng c

u; tính
ñơ
n c

u, toàn c

u,

ñẳ
ng
c

u và m

t s



ng d

ng ban
ñầ
u c

a chúng vào kh

o sát m

t s

bài toán
ñạ
i s

trong ph

m vi ch
ươ

ng trình toán b

c
ñạ
i h

c.
6. Ý nghĩa khoa học
Khóa lu

n là tài li

u tham kh

o cho các sinh viên chuyên ngành Toán có
mong mu

n tìm hi

u sâu v

các
ñồ
ng c

u c

a m

t s


c

u trúc
ñạ
i s



ng
d

ng trong gi

i các bài toán
ñạ
i s

. V

i b

n thân, nghiên c

u v

các
ñồ
ng c


u
c

a m

t s

c

u trúc
ñạ
i s

giúp tôi hi

u rõ h
ơ
n v

các
ñồ
ng c

u c

a các c

u trúc
ñạ
i s


và v

n d

ng vào nh

ng bài t

p c

th

.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài các ph

n: M

c l

c, m


ñầ
u, k
ế
t lu

n, tài li


u tham kh

o, n

i dung
c

a khóa lu

n
ñượ
c chia thành ba ch
ươ
ng:
Chương 1. Các phép ñồng cấu
Chương 2. Xây dựng ñồng cấu từ một ánh xạ cho trước
Chương 3.

Ứng dụng của các ñồng cấu
4

Chương 1.
CÁC ðỒNG CẤU CỦA MỘT SỐ CẤU TRÚC ðẠI SỐ
Ch
ươ
ng này trình bày m

t cách có h


th

ng nh

ng ki
ế
n th

c c
ơ
b

n v


ñồ
ng c

u nhóm,
ñồ
ng c

u vành và
ñồ
ng c

u mô
ñ
un nh
ư


ñị
nh ngh
ĩ
a, các
ñị
nh lí
và m

nh
ñề
v


ñồ
ng c

u, trong
ñ
ó có
ñư
a ra m

t s

ví d

và nh

n xét.

1.1. ðồng cấu nhóm
1.1.1. ðịnh nghĩa và ví dụ
ðịnh nghĩa 1.1 [5]. Một ñồng cấu nhóm là một ánh xạ f từ một nhóm X ñến một
nhóm Y sao cho
(
)
(
)
( )
f ab f a f b
=
với mọi
,
a b X

. Nếu
X Y
=
thì ñồng cấu
f
gọi là một tự ñồng cấu của
X
.
Một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một ñơn ánh thì gọi là một ñơn cấu
nhóm, hay một phép nhúng của nhóm; một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một
toàn ánh gọi là một toàn cấu nhóm; một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một song
ánh gọi là một ñẳng cấu nhóm; một tự ñồng cấu song ánh gọi là một tự ñẳng
cấu.
Nếu có một ñẳng cấu nhóm
:

f X Y

thì ta nói
X
ñẳng cấu với
Y

viết
X Y

. Quan hệ ñẳng cấu là một quan hệ tương ñương.
Ví dụ 1.1 [5]. Giả sử
,
X Y
là hai nhóm tùy ý, ánh xạ

X Y
x e

֏

với e là phần tử trung lập của
Y
, là một ñồng cấu gọi là ñồng cấu tầm thường.
Ví dụ 1.2 [5]. Ánh xạ ñồng nhất
1
X
của một nhóm
X
là một ñồng cấu gọi là tự

ñẳng cấu ñồng nhất của
X
.
Ví dụ 1.3 [5]. Giả sử
A
là một nhóm con của một nhóm
X
. ðơn ánh chính tắc

A X
a a

֏

là mộ
t
ñơ
n c

u g

i là
ñơ
n c

u chính t

c.
5


Ví dụ 1.4 [5].
Xét ánh x

t

nhóm nhân các s

th

c d
ươ
ng
*
+

ñế
n nhóm c

ng
các s

th

c


*
log :
log
x x

+

ℝ ℝ
֏

Trong
ñ
ó
log
x
là lôgarit c
ơ
s

10 c

a x. Vì
(
)
log log log
xy x y
= +
, nên log là
m

t
ñồ
ng c

u.

ðồ
ng c

u này còn là m

t song ánh nên là m

t
ñẳ
ng c

u.
Ví dụ 1.5.
Xét ánh x

t

nhóm c

ng các s

th

c


ñế
n nhóm nhân các s

th


c
d
ươ
ng
*
+


*
10
x
x
+

ℝ ℝ
֏

là ánh x

ng
ượ
c c

a log, là m

t
ñẳ
ng c


u.
Ví dụ 1.6 [5].
Gi

s

A là m

t nhóm con chu

n t

c c

a m

t nhóm X. Ánh x


: /
( )
h X X A
x h x xA

=
֏

là m
ột ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm thương
/

X A
. ðồng cấu này còn là một
toàn c
ấu, gọi là toàn cấu chính tắc.
Ví dụ 1.7. Cho G là một nhóm và
a G

. Ánh xạ
:
a
G G
ϕ

xác ñịnh bởi
1
( )
a
x axa
ϕ

=
là m
ột tự ñẳng cấu của G.
ðịnh nghĩa 1.2 [5]. Giả sử
:
f X Y

là một ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y,
các phần tử trung lập của X và Y ñược kí hiệu theo thứ tự là
X

e

Y
e
. Ta kí
hiệu:

Im ( )
f f X
=


{
}
1
Ker ( ) ( )
Y Y
f x X f x e f e

= ∈ = =
và gọi
Im
f
là ảnh của ñồng cấu
f
,
Ker
f
là hạt nhân của ñồng cấu
f

.


6

1.1.2 Một vài ñịnh lí và mệnh ñề về ñồng cấu nhóm
ðịnh lí 1.1 [5]. Giả sử
, ,
X Y Z
là những nhóm;
:
f X Y


:
g Y Z


những ñồng cấu. Thế thì ánh xạ tích

:
gf X Z


cũng là một ñồng cấu. ðặc biệt tích của hai ñẳng cấu là một ñẳng cấu.
ðịnh lí 1.2 [5]. Nếu
:
f X Y

là một ñẳng cấu nhóm từ nhóm

X
ñến nhóm
Y

thì ánh xạ ngược
1
:
f Y X


c
ũ
ng là m

t
ñẳ
ng c

u.

ðịnh lí 1.3 [5].
Gi

s


:
f X Y

là m


t
ñồ
ng c

u t

m

t nhóm
X

ñế
n m

t
nhóm
Y
. Th
ế
thì
(i)
( )
X Y
f e e
=
;
(ii)
[
]

1
1
( ) ( )
f x f x


=
v

i m

i
x X

.
ðịnh lí 1.4 [5].
Gi

s


:
f X Y

là m

t
ñồ
ng c


u t

m

t nhóm
X

ñế
n m

t
nhóm
Y
,
A
là m

t nhóm con c

a
X

B
là m

t nhóm con chu

n t

c c


a
Y
.
Th
ế
thì
(i)
( )
f A
là m

t nhóm con c

a
Y
;
(ii)
1
( )
f B

là m

t nhóm con chu

n t

c c


a
X
.
N
ếu
A
là một nhóm con chuẩn tắc của
X
thì
(
)
f A
có là nhóm con
chuẩn tắc của
Y
không? Khi nào thì
(
)
f A
là nhóm con chuẩn tắc của
Y
? Ta có
nhận xét sau.
Nhận xét 1.1. Nếu
f
là một toàn cấu và
A
là một nhóm con chuẩn tắc của
X


thì
(
)
f A
cũng là một nhóm con chuẩn tắc của
Y
.
Thật vậy, giả sử
f
là một toàn cấu và
A
là một nhóm con chuẩn tắc của
X
.
Ta ñã biết nếu
A
là một nhóm con của
X
thì
(
)
f A
là một nhóm con của
Y
.
Giả sử
y Y


( )

b f A

, tồn tại
x X

sao cho
( )
f x y
=
. Xét phần tử
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
y by f x f a f x f x ax f A vì x ax A
− − − −
= = ∈ ∈

7

V

y
(
)
f A
là m

t nhóm con chu

n t


c c

a
Y
.
N
ế
u
f
không toàn c

u và
A
là m

t nhóm con chu

n t

c c

a
X
thì
(
)
f A

không là nhóm con chu


n t

c c

a
Y
. Th

t v

y, ta xét ví d

sau
ñ
ây.
a) Cho
Y

là m

t nhóm. L

y
X
là m

t nhóm con không chu

n t


c c

a
Y
.
:
f X Y

là m

t
ñơ
n c

u chính t

c và
A X
=
; v

y
A
là nhóm con chu

n t

c
c


a
X

(
)
f A X
=
là nhóm con không chu

n t

c c

a
Y
.
b) Xét 2 nhóm
2
X
=



3
Y S
=
= { (1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3)}

2 3
:

0 (1)
1 (1 2)
f S


֏
֏

f
là m

t
ñồ
ng c

u. Ta có
2

là nhóm con chu

n t

c c

a
2

nh
ư
ng

(
)
(
)
{
}
2
( ) 1 , 1 2
f =

không là nhóm con chu

n t

c c

a
3
S
.
ðặ
c bi

t,
f
là m

t
ñẳ
ng c


u t

m

t nhóm
X

ñế
n m

t nhóm
Y
, n
ế
u
A

m

t nhóm con chu

n t

c c

a
X
thì
( )

f A
là nhóm con chu

n t

c c

a
Y
, khi
ñ
ó,
( )
A f A

là m

t song ánh gi

a hai t

p h

p các nhóm con chu

n t

c c

a

X

c

a
Y
.
Hệ quả 1.1 [5].

Giả sử f: X

Y là một ñồng cấu từ một nhóm X ñến một nhóm
Y. Thế thì
Im
f
là một nhóm con của Y và
Ker
f
là một nhóm con chuẩn tắc của
X.
Kết quả này cho phép chúng ta khi chứng minh một bộ phận khác rỗng
A

là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm
X
ta có thể xác ñịnh một ñồng cấu
:
f X Y

với

Y
là một nhóm nào ñó mà
ker
f A
=
.


8

ðịnh lí 1.5 [5]. Giả sử f: X

Y là một ñồng cấu từ một nhóm X ñến một nhóm
Y. Thế thì
(i) f là một toàn cấu nếu và chỉ nếu
Im
f Y
=
;
(ii) f là một ñơn cấu nếu và chỉ nếu
{
}
ker .
X
f e
=

Mệnh ñề 1.1 [2]. Giả sử
:
f X Y


là một ñồng cấu nhóm.
(i) Nếu có một ñồng cấu
':
f Y X

sao cho
'
X
f f id
=
(khi ñó
'
f
ñược
gọi là một nghịch ñảo trái của
f
) thì
f
là một ñơn cấu.
(ii) Nếu có một ñồng cấu
':
f Y X

sao cho
'
Y
ff id
=
(khi ñó

'
f
ñược
gọi là một nghịch ñảo phải của
f
) thì
f
là một toàn cấu.
(iii)
f
là một ñẳng cấu nếu và chỉ nếu có một ñồng cấu
':
f Y X

sao
cho
'
X
f f id
=
,
'
Y
ff id
=
. Khi ñó
1
'
f f


=
cũng là một ñẳng cấu.
Nhận xét 1.2. Các mệnh ñề ñảo của (i) và (ii) ñều không ñúng. Ta xét các ví dụ
sau ñây:
a) ðồng cấu
:
f

ℤ ℤ
ñược cho bởi
( ) 2
f x x
=
. ðây rõ ràng là một ñơn
cấu, nhưng không có nghịch ñảo trái. Thật vậy, nếu có ñồng cấu
':
f

ℤ ℤ
ñể cho
'
f f id
=

thì
1 ' (1) '(2) (1) (1) 2 (1)
f f f f f f
= = = + =
.
Trong


không có phần tử
x
nào nghiệm ñúng hệ thức
2 1
x
=
. ðiều
vô lí này chứng tỏ
f
không có nghịch ñảo trái.
b) Phép chiếu chính tắc
: / 2 , ( ) [ ]
x x
ϕ ϕ
→ =
ℤ ℤ ℤ
, là một toàn cấu không
có nghịch ñảo phải. Thật vậy, giả sử phản chứng có ñồng cấu
: / 2
ψ

ℤ ℤ ℤ
ñể cho
/2
id
ϕψ
=
ℤ ℤ
. Ta có

[1] [1] [2] [0] 0
+ = = =
trong
/ 2
ℤ ℤ
. Do ñó
2 ([1]) ([1]) ([1]) (0) 0
ψ ψ ψ ψ
= + = =
trong

. Suy ra
([1]) 0
ψ
= ∈

. Từ ñó ta có
/2
[1] ([1]) ([1]) (0) 0
id
ϕψ ϕ
= = = =
ℤ ℤ
.
9

Nghịch lí này chứng tỏ
ϕ
không có nghịch ñảo phải.
ðịnh lí 1.6 [5]. (ñịnh lí ñồng cấu nhóm)

Giả sử
:
f X Y

là một ñồng cấu từ một nhóm X ñến một nhóm Y,
: / Ker
p X X f

là toàn cấu chính tắc từ nhóm X ñến nhóm thương của X trên
hạt nhân của
f
.Thế thì
(i) Có một ñồng cấu duy nhất
: / Ker
f X f Y

sao cho tam giác sau

/ Ker
f
X Y
p f
X f
→
ց ր

là giao hoán, tức là
f f p
=
;

(ii) ðồng cấu
f
là một ñơn cấu và
Im ( )
f f X
=
.
Hệ quả 1.2 [5]. Với mọi ñồng cấu
:
f X Y

từ một nhóm
X
ñến một nhóm
Y
,
ta có:
(
)
/ Ker
f X X f

.
ðịnh lí trên có thể làm mạnh thêm bằng hai ñịnh lí sau ñây:
ðịnh lí 1.7 [2]. Giả sử
:
f X Y

là một ñồng cấu nhóm, K là một nhóm con
chuẩn tắc của X và

: /
K
p X X K

là phép chiếu chính tắc. ðiều kiện cần và
ñủ ñể có một ñồng cấu nhóm
': /
f X K Y

sao cho
'
K
f f p
=

Ker
K f

.
Khi ñó,
'
f
ñược xác ñịnh duy nhất.
ðịnh lí 1.8 [2]. Giả sử
: '
f X X

là một ñồng cấu nhóm,
'
K

là một nhóm con
chuẩn tắc của
'
X
, và
1
( ')
K f K

=
. Khi ñó, K cũng là một nhóm con chuẩn tắc
và có duy nhất một ñơn cấu nhóm
: / '/ '
f X K X K

làm giao hoán biểu ñồ
sau:
10

'
'

/ '/ '
f
K K
f
X X
p p
X K X K
→

↓ ↓
→

trong ñó,
K
p

'
K
p
là các phép chiếu chính tắc.
Hệ quả 1.3 [2]. Giả sử K là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi ñó mỗi
nhóm con chuẩn tắc của
/
G K
ñều có dạng
/
H K
trong ñó H là một nhóm con
chuẩn tắc của G chứa K. Hơn nữa
/ ( / ) / ( / )
G H G K H K

.
Hê quả 1.4 [2]. Giả sử H và K là các nhóm con của G. Nếu H ñược chứa trong
nhóm chuẩn hóa của K trong G thì
H K

là một nhóm con chuẩn tắc của H và
HK KH

=
là một nhóm con của G. Hơn nữa
/ / ( ).
HK K H H K
≅ ∩

1.2. ðồng cấu vành
1.2.1. ðịnh nghĩa và ví dụ
ðịnh nghĩa 1.3 [5]. Một ñồng cấu (vành) là một ánh xạ
f
từ một vành
X
ñến
một vành
Y
sao cho
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
f a b f a f b
f ab f a f b
+ = +
=

với mọi a, b


X. Nếu X = Y thì ñồng cấu
f
gọi là một tự ñồng cấu của X.
Nhận xét 1.3 [5]. Ta không ñòi hỏi mọi vành ñều có ñơn vị, nên không bắt buộc
mọi ñồng cấu vành
:
f X Y

phải có tính chất là
(1 ) 1
X Y
f
=
, ngay cả trong
trường hợp
X

Y
có ñơn vị (tương ứng là
1
X

1
Y
). Tuy nhiên, nếu
0
f




Y
là một miền nguyên thì từ hệ thức
(1 ) (1 ) (1 )
x X X
f f f
=
và suy ra rằng
(1 ) 1
X Y
f
=
.
Một ñồng cấu vành ñồng thời là một ñơn ánh ñược gọi là một ñơn cấu
vành (hay một phép nhúng vành).
11

Một ñồng cấu vành ñồng thời là một toàn ánh ñược gọi là một toàn cấu
vành.
Một ñồng cấu vành ñồng thời là một song ánh ñược gọi là một ñẳng cấu
vành. Nếu có một ñẳng cấu vành
: '
f R R

thì ta nói vành
R
ñẳng cấu với
vành
'
R
, và viết

'
R R

.
Ví dụ 1.8 [5]. Giả sử
A
là một vành con của một vành
X
. ðơn ánh chính tắc

A X
a a

֏

là một ñồng cấu gọi là ñơn cấu chính tắc.
Ví dụ 1.9. Ánh xạ ñồng nhất
1
X
của một vành
X
là một ñồng cấu gọi là tự ñẳng
cấu ñồng nhất của
X
.
Ví dụ 1.10 [5]. Giả sử
A
là một iñêan của một vành
X
. Ánh xạ

: /

h A X A
x x a

+
֏

là một ñồng cấu từ vành
X
ñến vành thương
/
X A
. ðồng cấu này còn là toàn
cấu, gọi là toàn cấu chính tắc.
Ví dụ 1.11. Giả sử
X

Y
là hai vành, ánh xạ
0
X Y
x

֏

vớ
i 0 là ph

n t


không c

a
Y
, là m

t
ñồ
ng c

u g

i là
ñồ
ng c

u không.
Ví dụ 1.12 [5].
Phép chi
ế
u t

nhiên
[
]
: / , ( )
n x x
π π
→ =

ℤ ℤ ℤ
, là m

t
ñồ
ng c

u
vành,
ñố
i v

i m

i
0
n

.
1.2.2. Một vài ñịnh lí và mệnh ñề về ñồng cấu vành
ðịnh lí 1.9 [5]. Giả sử X, Y, Z là những vành và
:
f X Y


:
g Y Z


những ñồng cấu. Thế thì ánh xạ tích

:
gf X Z


cũng là một ñồng cấu. ðặc biệt tích của hai ñẳng cấu là một ñẳng cấu.

12

ðịnh lí 1.10 [5]. Giả sử
:
f X Y

là một ñồng cấu từ một vành X ñến một vành
Y. Thế thì
(i)
(0) 0
f
=
;
(ii)
( ) ( )
f x f x
− = −
với mọi
x X

.
ðịnh lí 1.11 [5]. Giả sử
:
f X Y


là một ñồng cấu từ một vành
X
ñến một
vành
Y
,
A
là một vành con của
X

B
là một iñêan của
Y
. Thế thì
(i)
(
)
f A
là m

t vành con c

a
Y
;
(ii)
1
( )
f B


là m

t i
ñ
êan c

a
X
.
Từ ñịnh lí trên ta có các nhận xét sau:
Nhận xét 1.4. Nếu
A
là iñêan của
X
thì
( )
f A
chưa chắc là iñêan của
Y
. ðặc
biệt, nếu
f
là một toàn cấu và
I
là một iñêan của
X
thì
( )
f I

là một iñêan của
Y
.
Thật vậy, giả sử
f
là toàn cấu.
Ta có
0 (0) ( ).
f f I
= ∈

Giả sử
', ' ( )
a b f I

khi ñó tồn tại
,
a b I

sao cho
( ) '
f a a
=
,
( ) '
f b b
=
.
Như vậy
' ' ( ) ( ) ( ) ( )

a b f a f b f a b f I
− = − = − ∈
.
Giả sử
' ( ), , ' ( ), .
a f I y Y a f a a I
∈ ∈ = ∈

f
là toàn cấu nên
x X
∃ ∈
sao cho
( )
f x y
=
. Khi ñó
' ( ) ( ) ( ) ( )
a y f a f x f ax f I
= = ∈
.
Vậy
( )
f I
là một iñêan của
Y
.
Nếu
f
không là toàn cấu và

A
là iñêan của
X
thì
( )
f A
không là iñêan của
Y
.
Thật vậy, ta xét ví dụ sau ñây:
Cho
Y
là một vành,
X
là một vành con của
Y
,
X
không là iñêan của
Y
.
Xét ñơn cấu chính tắc
:
f X Y

.
Lấy
A X
=
, khi ñó

A
là một iñêan của
X

( )
f A X
=
là vành con của
Y

nhưng không là iñêan của
Y
.
13

Chẳng hạn
:
f

ℤ ℚ


n n
֏

là ánh xạ nhúng tự nhiên từ vành số nguyên

vào trường số hữu tỉ

. Tuy

nhiên

là iñêan của

nhưng
( )
f

không là iñêan của

.
Nhận xét 1.5. Nếu
P
là một iñêan nguyên tố của
Y
thì
1
( )
f P

là m

t i
ñ
êan
nguyên t

c

a

X
. K
ế
t qu

này không còn
ñ
úng n
ế
u ta thay gi

thi
ế
t “nguyên t


b

ng gi

thi
ế
t “t

i
ñạ
i”.
Th

t v


y,
P
là i
ñ
êan c

a
Y
suy ra
1
( )
f P

là m

t i
ñ
êan c

a
X
.
Gi

s

hai ph

n t



1 2
,
x x
thu

c
X
sao cho
1
1 2
( )
x x f P


nh
ư
v

y ta có
1 2
( ) ( )
f x x P

hay
1 2
( ) ( ) ( )
f x f x P


.

P
là m

t i
ñ
êan nguyên t

nên ho

c
1
( ) ( )
f x P

ho

c
2
( ) ( )
f x P

.
N
ế
u
1
( ) ( )
f x P


thì
1
1
( )
x f P

∈ , n
ế
u
2
( ) ( )
f x P

thì
1
2
( )
x f P

∈ .
V

y
1
( )
f P

là i
ñ

êan nguyên t

c

a
X
.
N
ế
u
P
là i
ñ
êan t

i
ñạ
i c

a
Y
thì không th

k
ế
t lu

n
1
( )

f P

là i
ñ
êan t

i
ñạ
i c

a
X
. Ch

ng h

n
:
f

ℤ ℚ


n n
֏

là ánh x

nhúng t


nhiên t

vành s

nguyên

vào tr
ườ
ng s

h

u t



. Tuy
nhiên
{
}
0
là i
ñ
êan t

i
ñạ
i c

a


nh
ư
ng
{
}
1
(0) 0
f

=
không là i
ñ
êan t

i
ñạ
i c

a

.
Hệ quả 1.5 [5].
Gi
ả sử
:
f X Y

là một ñồng cấu từ một vành X ñến một vành
Y. Thế thì

Im
f
là một vành con của Y và
Kerf
là một iñêan của X.
Kết quả này cho phép chúng ta khi chứng minh một bộ phận khác rỗng
A

là một iñêan của vành
X
ta có thể xác ñịnh một ñồng cấu
:
f X Y

với
Y

một vành nào ñó mà
ker
f A
=
.
14

ðịnh lí 1.12 [5]. Giả sử
:
f X Y

là một ñồng cấu từ một vành
X

ñến một
vành
Y
. Thế thì
(i)
f
là một toàn cấu nếu và chỉ nếu
Im
f Y
=
;
(ii)
f
là một ñơn cấu nếu và chỉ nếu
{
}
0
Kerf
=
.
Mệnh ñề 1.2 [2].
Gi

s


:
f X Y

là m


t
ñồ
ng c

u vành.
(ii)

N
ế
u
f
có ngh

ch
ñả
o trái (t

c là có m

t
ñồ
ng c

u vành
':
f Y X


sao cho

'
X
f f id
=
) thì
f
là m

t
ñơ
n c

u.
(ii) N
ế
u
f
có ngh

ch
ñả
o ph

i (t

c là có m

t
ñồ
ng c


u vành
':
f Y X


sao cho
'
Y
ff id
=
) thì
f
là m

t toàn c

u.
(iii)
f
là m

t
ñẳ
ng c

u n
ế
u và ch


n
ế
u
f
có ngh

ch
ñả
o (t

c là có m

t
ñồ
ng c

u vành
':
f Y X

sao cho '
X
f f id
=
, '
Y
ff id
=
).
Các m

ệnh ñề ñảo của (i) và (ii) ñều không ñúng.
ðịnh lí 1.13 [5]. (ñịnh lí ñồng cấu vành)
Giả sử
:
f X Y

là một ñồng cấu từ một vành
X
ñến một vành
Y
,
: /
p X X Kerf

là toàn cấu chính tắc từ vành
X
ñến vành thương của
X

trên
Kerf
. Thế thì
(i) Có một ñồng cấu duy nhất
: /
f X Kerf Y

sao cho tam giác sau

/
f

X Y
p f
X Kerf
→
ց ր

là giao hoán, tức là
f f p
=
;
(ii) ðồng cấu
f
là một ñơn cấu và
Im ( )
f f X
=
.
Hệ quả 1.6 [5]. Với mọi ñồng cấu
:
f X Y

là từ một vành
X
ñến một vành
Y
, ta có
( ) /
f X X Kerf

.

15

Mệnh ñề 1.3 [2]. Giả sử
:
f X Y

là một ñồng cấu vành và
A
là một iñêan
của
X
. ðiều kiện cần và ñủ ñể có một ñồng cấu vành
: /
f X A Y

sao cho

f f p
=
, trong ñó
: /
p X X A

là phép chiếu chính tắc, là
A Kerf

. Khi ñó,
f
ñược xác ñịnh duy nhất.
ðịnh lí ñồng cấu vành có thể ñược làm mạnh hơn như sau:

Mệnh ñề 1.4 [5]. Giả sử
: '
f X X

là một ñồng cấu vành và
'
A
là một iñêan
của
'
X
, và
1
( ')
A f A

=
. Khi
ñ
ó, có duy nh

t m

t
ñơ
n c

u vành
: / '/ '
f X A X A


làm giao hoán bi

u
ñồ
sau
ñ
ây:
'
'

/ '/ '
f
A A
f
X X
p P
X A X A
→
↓ ↓
→

trong
ñ
ó
A
p

'
A

p
là các phép chi
ế
u chính t

c.
Hệ quả 1.7 [2].
Gi

s


A
là m

t i
ñ
êan c

a vành
X
. Khi
ñ
ó m

i i
ñ
êan c

a vành

th
ươ
ng
/
X A

ñề
u có d

ng
/
B A
, trong
ñ
ó B là m

t i
ñ
êan c

a X ch

a A. H
ơ
n
n

a, ta có
ñẳ
ng c


u vành
/ ( / ) / ( / )
X B X A B A

.
Hệ quả 1.8 [2].
N
ế
u S là m

t vành con và A là m

t i
ñ
êan c

a vành X, thì ta có
ñẳ
ng c

u vành
( ) / / ( )
S A A S S A
+ ≅ ∩
.
ðịnh lí 1.14 [5]. (ðịnh lí Trung Hoa về dư). Giả sử X là một vành giao hoán, có
ñơn vị, và
1
( )

i i n
A
≤ ≤
là n iñêan của X sao cho
i j
A A X
+ =
với i

j. Lúc ñó ta có
một ñẳng cấu chính tắc
1
1
/ /
n
n i
i
X A A X A
=


.
ðịnh lí Trung Hoa về dư thường ñược áp dụng cho vành các số nguyên

. Giả
s
ử m là một số nguyên lớn hơn 1, và giả sử
16

1

i
k
r
i
i
m p
=
=


là phân tích c
ủa m thành thừa số nguyên tố, với mũ
1
i
r

. Thế thì ta có một ñẳng
cấu vành
1
/ / .
i
k
r
i
i
m p
=


ℤ ℤ ℤ ℤ


Nếu
1 2

n
m m m m
=
với các
i
m
ñôi một nguyên tố cùng nhau, thế thì ta có một
ñẳng cấu vành
1 2
/ / / /
n
m m m m
≅ × × ×
ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ
.
Các ñẳng cấu này có một số ứng dụng vào một số bài toán trong số học.
1.3. ðồng cấu môñun
1.3.1. ðịnh nghĩa và ví dụ
ðịnh nghĩa 1.4 [6]. Một ánh xạ
f
từ A-môñun M vào A-môñun M’ ñược gọi là
một ñồng cấu A-môñun hay ánh xạ tuyến tính nếu
f
thỏa mãn hai tính chất sau:
(i)
(

)
(
)
(
)
f x y f x f y
+ = +
v

i m

i
,
x y M

;
(ii)


(
)
(
)
f ax af x
=
v

i m

i

a A

và v

i m

i
x M

.
Nếu ñồng cấu
f
là một ñơn ánh, toàn ánh, song ánh, thì nó tương ứng
ñược gọi là một ñơn cấu, toàn cấu, ñẳng cấu. Hai A-môñun
M

'
M
ñược gọi
là ñẳng cấu, và viết là
'
M M

, nếu tồn tại một ñẳng cấu A-môñun từ
M
ñến
'
M
.
Nếu

{
}
'
( ) 0
M
f M
=
, thì
f

ñượ
c g

i là
ñồ
ng c

u không và th
ườ
ng
ñượ
c
vi
ế
t là 0.
ðịnh nghĩa 1.5 [6]. Giả sử
:
f M N

là một ñồng cấu từ môñun

M
ñến
môñun
N
. Ta kí hiệu:

Im ( )
f f M
=


{
}
1
Ker ( ) 0 (0)
f x M f x N f

= ∈ = ∈ =
17

và gọi
Im
f
là ảnh của ñồng cấu
f
,
Ker
f
là hạt nhân hay hạch của ñồng cấu
f

.
Coker ’ / Im
f M f
=
ñược gọi là ñối hạch của
f
, còn
Coim /
f M Kerf
=

ñược gọi là ñối ảnh của
f
.
Nhận xét 1.6 [6]. Cho ñồng cấu các A-môñun
: '
f M M

. Khi ñó
f
là ñồng
cấu không khi và chỉ khi
Ker
f M
=
;
f
là một toàn cấu khi và chỉ khi
Im '
f M

=
, và
f
là một ñơn cấu khi và chỉ khi
{
}
Ker 0
M
f
=
. Do
f
cũng là
một ñồng cấu giữa hai nhóm abel
M

'
M
, nên
( ) ( )
f x f x
− = −
với
x M

, và
'
(0 ) 0
M M
f

=
.
Ví dụ 1.13. Giả sử
,
M N
là các A-môñun. Ánh xạ
:
0
f M N
x

֏

là một ñồng cấu.
Ví dụ 1.14. Giả sử
,
M N
là các A-môñun. Ánh xạ
:
,
a M M
x ax a A
λ


֏

là một ñồng cấu môñun.
Ví dụ 1.15 [6]. Với mỗi môñun con
N

của một A-môñun
M
, ánh xạ nhúng
:

i N M
x x

֏

là một ñơn cấu, gọi là ñơn cấu chính tắc hay phép nhúng chính tắc từ
N
vào
M
.
Ví dụ 1.16 [6]. Cho
N
là một môñun con của A-môñun
M
, thì ta có môñun
thương
/
M N
. Khi ñó, quy tắc
: /
p M M N

cho bởi
( )
p x x

=
là một ñồng
cấu A-môñun. Hơn thế nữa,
p
còn là một toàn cấu, ñược gọi là toàn cấu chiếu
chính tắc. Toàn cấu này có
Ker
p N
=
.
18

Mệnh ñề ñơn giản dưới ñây sẽ giúp cho việc kiểm tra ñồng cấu có phần
nhanh chóng hơn kiểm tra qua ñịnh nghĩa.
Mệnh ñề 1.5 [6]. Ánh xạ
: '
f M M

là một ñồng cấu các A-môñun khi và chỉ
khi
( ) ( ) ( )
f ax by af x bf y
+ = +

với mọi
,
a b A

và mọi
,

x y M

.
Cho
M

N
là các A-môñun, kí hiệu
( , )
A
Hom M N
là tập tất cả các A-
ñồng cấu từ
M
vào
N
. Trong trường hợp A là một vành giao hoán, thì với mọi
, ( , )
A
f g Hom M N

và với mọi
,
a b A

, ta xác ñịnh ñối tượng
af bg
+
như
sau :

( )( ) ( ) ( )
af bg x af x bg x
+ = +

với mọi
x M

. Khi ñó, bởi A là một vành giao hoán, nên
( )( ) [ ]( ) [ ]( )
af bg cx dy c af bg x d af bg y
+ + = + + +

với mọi
,
x y M

và mọi
,
c d A

. Do ñó
( , )
A
af bg Hom M N
+ ∈
.
Tập
( , )
A
Hom M N

, với các phép toán xác ñịnh như vậy, trở thành một A-môñun,
ñược gọi là môñun các ñồng cấu từ
M
ñến
N
.
Nếu vành
A
không giao hoán thì
( , )
A
Hom M N
chỉ là một nhóm abel với
phép cộng ñồng cấu.
1.3.2. Một vài ñịnh lí và mệnh ñề về ñồng cấu môñun
Mệnh ñề 1.6 [6]. Nếu các ánh xạ
: '
f M M

và là hai ñồng cấu các A-môñun,
thì ánh xạ tích
gf
cũng là một ñồng cấu A-môñun từ
M

''
M
.
ðịnh lí 1.15 [6].
Cho

: '
f M M

là m

t
ñồ
ng c

u các A-mô
ñ
un. Khi
ñ
ó ta có
các kh

ng
ñị
nh sau:
(i)

N
ế
u
'
N
là m

t mô
ñ

un con c

a
'
M
, thì
1
( ')
f N

là m

t mô
ñ
un con c

a
M
, tr
ườ
ng h

p riêng
Ker
f
là m

t mô
ñ
un con c


a M.
19

(ii)

N
ế
u
N
là m

t mô
ñ
un con c

a
M
, thì
( )
f N
là m

t mô
ñ
un con c

a
'
M

, tr
ườ
ng h

p riêng
Im
f
là m

t mô
ñ
un con c

a
'
M
.
(iii)

f

ñơ
n c

u khi và ch

khi
Ker 0
f
=

.
ðịnh lí 1.16 [6]. (ðịnh lí ñồng cấu môñun)
Cho
:
f M N

là một ñồng cấu các A-môñun và
: / ker
p M M f


toàn cấu chính tắc. Khi ñó tồn tại duy nhất một ñơn cấu:
: / ker
x f(x)
f M f N

֏

sao cho biểu ñồ sau giao hoán:



/ er
f
M N
p f
M K f
→
ց ր
Hệ quả 1.9 [6]. Cho

:
f M N

là một ñồng cấu các A-môñun.
Khi ñó ta có
/ Ker Im
M f f

, và nếu
f
là toàn cấu thì
/ Ker
M f N

.
Hệ quả 1.10 [6]. (ðịnh lí ñẳng cấu Nother thứ nhất)
Cho P là một môñun con của N và N là một môñun con của môñun M.
Khi ñó ta có ñẳng cấu
(
)
(
)
/ / / / .
M N M P N P


Hệ quả 1.11 [6]. (ðịnh lí ñẳng cấu Noether thứ hai)
Nếu M và N là hai môñun con của cùng một môñun thì ta có
(
)

/ / ( ).
M N N M M N
+ ≅ ∩


20

Chương 2.
XÂY DỰNG ðỒNG CẤU TỪ MỘT ÁNH XẠ CHO TRƯỚC
Chương này ñưa ra một số mệnh ñề về xây dựng ñồng cấu giữa các cấu
trúc ñại số từ một ánh xạ cho trước, trong ñó có ñưa ra một số ví dụ minh họa;
tìm ra một số mối liên hệ giữa ñồng cấu nhóm, ñồng cấu vành và ñồng cấu
môñun.
2.1. Xây dựng ñồng cấu nhóm từ một ánh xạ cho trước
Mệnh ñề 2.1. Giả sử
X
là một nhóm,
Y
là một tập hợp,
:
f X Y

là một song
ánh. Khi ñó ta có thể trang bị phép toán ñể
Y
là một nhóm và
f
là một ñẳng
cấu nhóm.
Chứng minh.

Ta trang bị phép toán hai ngôi trên
Y
như sau:
1 1
1 2 1 2
* ( ( ). ( ))
y y f f y f y
− −
= v

i
1 2
,
y y Y

.
trong
ñ
ó,
1
1
( )
f y

là t

o

nh c


a
1
y
,
1
2
( )
f y

là t

o

nh c

a
2
y
.
Khi
ñ
ó
Y
cùng v

i phép toán hai ngôi xác
ñị
nh nh
ư
trên l


p thành m

t nhóm.
Th

t v

y, ta có:
+)
1 2 3
, ,
y y y Y
∀ ∈
, ta có:
1 1
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1
1 2 3
1 1 1
1 2 3
1 1 1
1 2 3
*( * ) ( ). ( * )
( ). ( ( ). ( ))
( ).( ( ). ( ))
( ( ). ( )). ( )

y y y f f y f y y
f f y f f f y f y

f f y f y f y
f f y f y f y
− −
− − − −
− − −
− − −
 
=
 
 
=
 
 
=
 
 
=
 
1 1 1 1
1 2 3
1 1
1 2 3
1 2 3
( ( ). ( )). ( )
( * ). ( )
( * )* .
f f f f y f y f y
f f y y f y
y y y
− − − −

− −
 
=
 
 
=
 
=

Do
ñ
ó phép toán hai ngôi
ñ
ã cho trong
Y
có tính ch

t k
ế
t h

p.

21

+)
ðặ
t
( )
Y X

e f e
=
. Khi
ñ
ó,
y Y
∀ ∈
ta có
1 1
1
1
* ( )*
( ( ). ( ))
( . ( ))
( ( ))
.
Y X
X
X
e y f e y
f f f e f y
f e f y
f f y
y
− −


=
=
=

=
=

T
ươ
ng t

ta có *
Y
y e y
=
,
y Y
∀ ∈
.
V

y Y có ph

n t

trung l

p
Y
e
.
+)
y Y
∀ ∈

,
ñặ
t
(
)
1
1 1
( )
y f f y

− −
 
=
 
. Suy ra ta có
(
)
(
)
1
1 1
1
1 1
* * ( )
( ). ( )
( )
.
X
Y
y y y f f y

f f y f y
f e
e

− −

− −
 
=
 
 
=
 
=
=

T
ươ
ng t

ta c
ũ
ng có
1
*
Y
y y e

=
.

V

y m

i
y Y

,
(
)
1
1 1
( )
y f f y

− −
 
∃ =
 
sao cho
1 1
* *
Y
y y y y e
− −
= =
.
Do
ñ
ó

Y
là m

t nhóm và
f
là m

t
ñẳ
ng c

u nhóm.
Mệnh ñề 2.2. Giả sử
,
X Y
là các nhóm. X là nhóm tự do sinh bởi cơ sở là tập S.
{
}
1 2
, , ,
n
S s s s
=
.
:
f X Y

là m

t ánh x


.
Khi
ñ
ó
f
có m

r

ng thành
ñồ
ng c

u
:
f X Y



1 2 1
1 2 1
. ( ) ( )
i
i
k k
k k
i i i i i
s s s f s f s
ε

ε
εε ε
֏

v

i
1, 1, ; 1, , 1,
j j
i i i
i k s S j k
ε ε
= ± = = ± ∈ =
.



22

Chứng minh.
X
là nhóm tự do sinh bởi cơ sở là tập
S
. Khi ñó
x X
∀ ∈
,
x
ñược biểu diễn duy
nhất dưới dạng

1 2
1 2
.
k
k
i i i
x s s s
ε
ε ε
= , với
1, 1, ; 1, , 1,
j j
i i i
i k s S j k
ε ε
= ± = = ± ∈ =
.
Xét ánh xạ
:
f X Y



1 2 1
1 2 1
. ( ) ( )
i
i
k k
k k

i i i i i
s s s f s f s
ε
ε
εε ε
֏
.
Dễ chứng minh ñược
f
là một ñồng cấu.
Mệnh ñề 2.3. Cho
G

'
G
là hai nhóm, ánh xạ
: '
f S G

, trong ñó S là tập
sinh của G. Khi ñó nếu tồn tại ñồng cấu
: ’
F G G

sao cho
S
F f
=
thì F là
duy nhất.

Chứng minh.
Giả sử tồn tại hai ñồng cấu
, ': '
F F G G

sao cho
S
F f
=

'
S
F f
=
.
Ta biết
x G

thì
1 2
1 2

k
n
n n
k
x x x x
= v

i

i
x S

,
i
n


,
i I

.
Suy ra
1 2
1
1
1 2
1 2
1
1
1 2
( ) ( )
( ) ( )
'( ) '( )
'( )
'( ).
k
k
k
k

nn n
k
nn
k
n
n
k
n
n n
k
F x F x x x
F x F x
F x F x
F x x x
F x
=
=
=
=
=

V

y
(
)
(
)
’ .
F x F x

=

Ví dụ 2.1. Nhóm cộng

là nhóm cyclic sinh bởi
{
}
1
S
=
; (
*

,.) là một nhóm.
Với mỗi ánh xạ
*
:f S →

.
Khi
ñ
ó t

n t

i duy nh

t m

t

ñồ
ng c

u
*
:
F

ℤ ℝ

sao cho
S
F f
=
.

Th

t v

y, xét
*
:f S →



1 1
֏

23


x
∀ ∈

thì
(
)
(
)
1. 1 1 1 1 .
x x
= = +…+ + − +…+ −

Xây d

ng t
ươ
ng

ng
*
:
F

ℤ ℝ

ñượ
c xác
ñị
nh nh

ư
sau:
x
∀ ∈

,
1 1 1 1
( ) (1) (1) (1) (1) 1
F x f f f f
− −
= =
.
F

ñồ
ng c

u t

m th
ườ
ng.
Ta có
1


, do
ñ
ó
(1) 1

F
=
. V

y
S
F f
=
.
Gi

s

t

n t

i
ñồ
ng c

u
*
:g →
ℤ ℝ
th

a mãn
(1) 1
g

=
.
L

y
a


thì
(
)
(
)
.1 1 1 1 1 .
a a
= = +…+ + − +…+ −
Khi
ñ
ó
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)
F a f f f f g g g g
− − − −
= =
.
Vì th
ế

(
)

(
)
(
)
(1 1 1 1
F a g
= +…+ + − +…+ −
(vì
g

ñồ
ng c

u).
Nên
( ) ( )
F a g a
=
, v

i m

i
a
thu

c

.
V


y
F g
=
hay
F
là duy nh

t.
Mệnh ñề 2.4. Cho
X
là nhóm sinh bởi tập
S
với
{x }
i i I
S

=
,
Y
là nhóm bất kỳ

:
f X Y

,
:
g X Y


là các ñồng cấu nhóm. Khi ñó
f g
=
khi và chỉ khi
(
)
(
)
i i
f x g x
=
, vớ
i m

i
i I

.
Chứng minh.
ð
i

u ki

n c

n.
Nếu
f g
=

thì
( ) ( )
f x g x
=
,
x X
∀ ∈
. Do ñó
(
)
(
)

i i
f x g x
=
, v

i m

i
i I

.

ðiều kiện ñủ.
N
ế
u
(

)
(
)
i i
f x g x
=
,

i I

ta ph

i ch

ng minh
f g
=
. Th

t
v

y, v

i m

i
x
thu


c
X
ta có
1 2
1 2

k
n
n n
k
x x x x
=
;
, 1, ; ,
i i
x S i k k n
∈ = ∈

;
i I

. Th
ế

thì
(
)
1 2
1 2
1 2

1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
( )
[ ( )] [ ( )] [ ( ) ]
[ ( )] [ ( )] [ ( ) ]
( ).
k
k
k
k
n
n n
k
n
n n
k
n
n n
k
nn n
k
f x f x x x
f x f x f x
g x g x g x
g x x x
=
=

=
=
=
24

Nên
( ) ( )
f x g x
=
, v

i m

i
x
thu

c
X
. V

y
f g
=
.
Mệnh ñề 2.5. Tập hợp các số tư nhiên

với phép cộng là một nửa nhóm.
Giả sử G là một nhóm.
:

f G


là một ñồng cấu nửa nhóm. Khi ñó f mở rộng
ñược duy nhất thành ñồng cấu nhóm

-1
:
( )
( )
f G
n f n
n f n



֏
֏

n
∀ ∈

.
Th
ật vậy,
,
m n
∀ ∈

ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
f m n f m n f m f n f m f n
+ = + = =

Giả sử
m n
>
ta có:
( ) ( );
f m n f m n
− = −


-1
( ) ( ) ( ) ( ) .
f m f n f m f n
− =

Mặt khác:

-1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).
f m f m n n f m n f n
f m f n f m n
= − + = −
⇒ = −

T



ñ
ó suy ra
-1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f m n f m f n f m f n
− = − = .
V

y
f

ñồ
ng c

u nhóm.
Ch

ng minh
f
là duy nh

t.
Gi

s


f
có m


r

ng thành
ñồ
ng c

u nhóm
':
'( )
( )
f G
n f n
n f n

− −

֏
֏

n
∀ ∈

.
n
∀ ∈

, ta có
( ) ( ) '( )
f n f n f n

= =
.
,
m n
∀ ∈

, gi

s


m n
>
ta có:
( ) ( ) '( ).
f m n f m n f m n
− = − = −

M

t khác:
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
f m n f m f n f m f n

− = − = −


'( ) '( ) '( ) ( ) '( ).
f m n f m f n f m f n

− = − = −

25

T


ñ
ó suy ra:
1
'( ) ( ) ( )
f n f n f n

− = − =
.
Do
ñ
ó
'
f f
=
.
Khái quát:

Giả sử
A
là một nửa nhóm có luật giản ước, có phần tử ñơn vị.
B

là nhóm ñối xứng của

A
. Coi
A B

.
G
là một nhóm.
:
f A G

là một ñồng
nửa nhóm. Khi ñó
f
có thể mở rộng duy nhất thành ñồng cấu
:
f B G

.
Chứng minh.
Giả sử
A
là một nửa nhóm có luật giản ước, có phần tử ñơn vị.
B
là nhóm ñối
xứng của
A
. Coi
A B

.

G
là một nhóm.
:
f A G

là một ñồng nửa nhóm.
Xét ánh xạ
:
f B G



1 1
( )
( )
x f x
x f x
− −



x A
∀ ∈

,
x y A
∀ ∈
, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) (y)
f xy f x f y f x f= =

;
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ((yx) ) (yx) ( ) ( ) ( ) ( )
f x y f f f x f y f x f y
− − − − − − − −
= = = =
;
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) (( ) ) ((yx ) ) (yx ) ( ) ( ) ( ) ( )
f xy f x y f f f x f y f x f y
− − − − − − − − − −
= = = = =
;
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ( ) ) ((y x) ) (y x) ( ) ( ) ( ) ( )
f x y f x y f f f x f y f x f y
− − − − − − − − − −
= = = = =
.
Vậy
:
f B G

là một ñồng cấu nhóm.
Ví dụ 2.2.
( , )
+

là một nửa nhóm có luật giản ước, có phần tử ñơn vị.



nhóm ñối xứng của

.
{
}
( \ 0 ,.)

là một nhóm.
Xét ánh xạ
{
}
: \ 0
f

ℕ ℝ


3
n
n
֏

Ta có:
( ) 3 3 .3 ( ) ( )
m n m n
f m n f m f n
+
+ = = =
.

V

y
f
là m

t
ñồ
ng c

u nhóm.

×