SKKN về Bất đẳng thức toán lớp 8

A. Đặt vấn đề
I- Mở đầu.
Cùng với sự phát triển của đất nớc ta, sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng
đổi mới. Vì thế các nhà trờng càng phải luôn luôn chú trọng đến chất lợng của học
sinh một cách toàn diện. Bởi vậy phải có sự đầu t thích đáng cho nền giáo dục.
Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các
em học tốt bản thân môn toán và các môn khoa học khác.
Một vấn đề đợc đặt ra là dạy nh thế nào để học sinh không những nắm vững
nội dung kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải rèn luyện khả năng t duy
lô gíc, rèn luyện kỹ năng làm các bài tập của bộ môn toán cũng nh các môn khoa
học khác, có thái độ, quan điểm rõ ràng trong các bài tập của mình để các em tạo
đợc sự hứng thú say mê trong việc học tập, tiếp thu kiến thức và có thể đa các
kiến thức đó áp dụng ra ngoài cuộc sống đời thờng là câu hỏi mà mỗi thầy cô luôn
phải đặt ra để có thể truyền đạt kiến thức một cách tốt nhất cho các em học sinh
thân yêu của mình.
Để đáp ứng đợc yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của các
em học sinh, trong quá trình giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc ra những nội
dung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng ngắn gọn và đầy đủ nội dung, phải đi từ
dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tợng và phát triển rút ra những nội dung kiến thức
chính trong bài học giúp học sinh có thể nắm đợc cái quan trọng, nội dung chính
trong bài học đồng thời có thể gợi mở, đặt vấn đề để học sinh phát triển t duy và kĩ
năng phân tích nội dung và làm các bài tập toán học một cách chặt chẽ, rõ ràng có
hệ thống, đồng thời giúp cho các em nhận ra các dạng bài toán đã học một cách
nhanh nhất.
Qua một thời gian giảng dạy bộ môn toán tại trờng THCS Tuân Đạo, bản
thân tôi đã cố gắng chú trọng rèn luyện t duy cho học sinh trong quá trình học
toán và đã đạt đợc một số kết quả, có thể đây là bớc đầu trao đổi thành một đề tài
về kinh nghiệm rèn luyện t duy trong học toán của học sinh. Tôi mạnh dạn viết
thành sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề Rèn luyện, phát triển t duy học sinh
Trang 1
qua một số bài toán về bất đẳng thức lớp 8 của mình để cùng trao đổi với các

đồng nghiệp nhằm mục đích cùng trao đổi học hỏi lẫn nhau trong bồi dỡng học
sinh giỏi lớp 8 trong trờng một cách tốt hơn.
II- Thực trạng vấn đề nghiên cứu
* Trờng THCS Tuân Đạo có 400 học sinh cụ thể chất lợng là:
45 % Mức độ đạt yêu cầu trong đó 20 % Học sinh khá và giỏi
(kết quả khảo sát chất lợng đầu năm)
*Đối với học sinh lớp 8
Số học sinh: 84 em trong đó 20 học sinh khá giỏi
- Phân chia thành các nhóm tiếp thu kiến thức nh sau :
+ Nhóm những em tiếp thu nhanh, giải quyết vấn đề nhanh, linh hoạt:
30%.
+ Nhóm HS biết vận dụng trực tiếp: 55 %.
+ Nhóm HS cha biết vận dụng : 15 %.
( Phân chia các nhóm tiếp thu về bộ môn Toán )
- Học sinh cha biết lập luận trên cơ sở khoa học chặt chẽ và cha biết cách tự
học, tự giải quyết vấn đề chiếm tới 85 %.
- Về tài liệu: SGK, SGV đầy đủ, sách nâng cao, sách tham khảo của học
sinh và giáo viên còn hạn chế, phần lớn là do giáo viên và học sinh tự mua sắm.
- Qua quá trình trực tiếp giảng dạy Toán các khối lớp 8, 9 từ các tiết luyện
tập, các tiết kiểm tra, các tiết bồi dỡng học sinh yếu kém và ôn thi học sinh giỏi và
các tiết đi dự giờ thăm lớp các đồng nghiệp. Tôi nhận thấy học sinh thờng lúng
túng, không tìm ra hớng giải quyết hoặc đã tìm ra nhng không biết làm nh thế nào,
làm từ đâu, các bài làm của các em trong các giờ kiểm tra trên lớp cũng nh các bài
kiểm tra 1 tiết thờng là không chặt chẽ, không có tính logic nhiều bài làm cho lời
giải một cách rời rạc để nhiểu chỗ không hợp lý, đặc biệt là những bài toán khó,
những tình huống toán học mang tính thực tiễn.
Trang 2
b. Giải quyết vấn đề
I- Các giải pháp thực hiện:
1. Hình thành thái độ học tập bộ môn toán cho học sinh.

2. Phân loại bài tập và yêu cầu đối tợng học sinh qua từng bài tập để phù
hợp và hiệu quả khi giải bài tập bất đẳng thức.
3. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh.
4. Tham khảo các tài liệu trong th viện, trên báo chí, ý kiến của các đồng
nghiệp, các chuyên gia, điều tra, thống kê kết quả học tập của học sinh,
hiệu quả trang công tác giảng dạy, đúc rút kinh nghiệm kịp thời về các
vấn đề nghiên cứu và một số vấn đề liên quan.
II- Các biện pháp thực hiện
1. Hình thành thái độ học tập bộ môn toán cho học sinh.
Học sinh ở cấp THCS đang ở lứa tuổi hiếu động, bồng bột, giải quyết vấn đề
hầu nh dựa vào cảm tính. Nắm đợc sự phát triển tâm lí này, giáo viên cần phải tạo
cho học sinh một thái độ học tập đúng đắn, nghiêm túc nhằm tạo cho học sinh tính
kỉ luật, khoa học đồng thời kích thích sự h ớng thú say mê học tập của học sinh
trong quá trình học tập môn toán.
Để làm đợc điều này là một ngời giáo viên cần có nhiều biện pháp nh: cho
học sinh học tập theo nhóm để rèn luyện tính tập thể, tổ chức học tập dới hình
thức trò chơi, tiến hành đo đạc, giới thiệu những bài toán lí thú, Đặc biệt là phải
phân rõ các dạng toán một cách rõ ràng để học sinh dễ hình dung và dễ tiếp thu nó
2. Phân loại và yêu cầu đối tợng học sinh qua từng bài tập để phù hợp và hiệu
quả khi giải bài tập.
Đợc chia làm 2 phần
+ Giới thiệu kiến thức cơ bản
+ Các bài tập áp dụng
(ở phần này đợc chia làm các dạng toán để học sinh có hệ thống trong quá trình
làm các bài tập)
Trang 3
3. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh qua các dạng bài tập
1. Giới thiêu kiến thức cơ bản
a). Định nghĩa
a > b nếu a b > 0

b). Tính chất (Có 3 tính chất)
- Tính chất 1: Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức
a > b

a + c > b + c
- Tính chất 2: Nhân hai vế của bất đẳng thức với một cùng một số dơng



>
>
0c
ba


a.c > b.c
- Tính chất 3: Nhân hai vế của bất đẳng thức với một cùng một số âm



<
>
0c
ba


a.c < b.c
Nhận xét: Phần này giáo viên giới thiệu nội dung kiến thức cơ bản nhất, là tiền đề
để làm các bài tập áp dụng. Trong từng dạng giáo viên phải nhấn mạnh đã dũng
tính chất gì, hớng phân tích bài toán, tìm ra lời giải thì phải hớng dẫn mẫu và cách

trình bày lời giải để học sinh đỡ lúng túng trong cách trình bày lời giải.
2. Các bài toán áp dụng
I. Khi nào một biểu thức có giá trị âm hoặc dơng
Dạng 1: Biểu thức có dạng tổng
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x, sao cho:
a). Biểu thức A = 2x 1 > 0 có giá trị dơng
b). Biểu thức B = 8 2x có giá trị âm
Giải
a). 2x 1 > 0

2x > 1

x >
2
1
. Với mọi x >
2
1
thì A > 0
b). 8 2x < 0

8 < 2x

4 < x

x > 4. Với mọi x > 4 thì B < 0
Nhận xét:- ở đây đã dùng chiều ngợc lại của tính chất 1 (a b > 0

a > b)
Dạng 2: Biểu thức đa về dạng tích

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức A = (x - 1)(x + 3) có giá trị âm
Trang 4
Giải
A < 0

(x - 1) và (x + 3) trái dấu.
Do x 1 < x + 3





>+
<
03
01
x
x






>
<
3
1
x
x

-3 < x < 1
Chú ý: Dùng trục số để lấy khoảng nghiệm trong trờng hợp này
x < 1 để trắng, x

1 loại (dùng dấu trên trục số)
x > -3 để trắng, x

-3 loại (dùng dấu trên trục số)
Phần còn lại trên trục số không bị gạch bỏ chính là phần nghiệm chung.
(Rèn luyện kĩ năng lấy tập nghiệm trên trục số)
Nhận xét: Tập cho học sinh khả năng viết gọn tập nghiệm bằng cách dùng trục số
Ví dụ 3: Khi nào biểu thức x
2
3x có giá trị dơng?
Giải
Biến đổi B = x(x - 3).
Cách 1: B > 0 khi các thừa số x, x 3 cùng dấu. Do x 3 < x nên
TH1: Cùng dơng

0 < x 3 < x

x < 3
TH2: Cùng âm

x 3 < x < 0

x < 0
Cách 2: chú ý: x = 0 hoặc x = 3 làm cho các thừa số x và x 3 bằng 0, do đó ta

xét 3 khoảng giá trị của x
a). Với x < 0 thì 2 thừa số đều âm

B > 0
b). Với 0 < x < 3 thì hai thừa số trái dấu nhau

B < 0
c). x > 3 thì hai thừa số cùng dờng

B > 0
Kết luận: Vậy B > 0

x > 3 hoặc x < 0
Có thể tổng hợp các kết quả trên vào 1 bảng xét dấu nh sau:
x 0 3
x - 0 + +
Trang 5
-3 1
x - 3 - - 0 +
x(x - 3) - 0 + 0 +
(Rèn luyện kĩ năng lấy tập nghiệm bằng cách dùng bảng)
Nhận xét: - Rèn cho học sinh thêm một cách giải khác bằng cách dùng bảng xét
dấu.
- Một bài toán không chỉ có 1 cách giải mà có thể có nhiều cách, tuỳ vào từng
bài toán mà chúng ta có thể chọn 1 trong những cách đơn giản để trình bày.
- Một số bài toán muốn đơn giản thì cần phải quan sát bài toán, có thuộc vào các
bài toán giải bằng phơng pháp đặc biệt không. Có những bài toán thì cần phải
phân tích từ bên trong những cũng có những bài toán cần phải phân tích từ phía
ngoài mới tìm ra đợc lời giải hay.
Dạng 3: Biểu thức đa về dạng thơng

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của x để biểu thức A =
1
3

+
x
x
có giá trị âm.
Giải
A < 0

x + 3 và x 1 trái dấu. Do x 1 < x + 3





>+
<
03
01
x
x






>

<
3
1
x
x


-3 < x < 1
Nhận xét: - Có thể dùng trục số xét dấu hoặc bảng xét dấu để thu gọn tập nghiệm,
học sinh có thể thấy đợc việc dùng trục xét dấu nó đơn giản hơn bảng xét dấu.
- Xét dấu ở dạng tích cũng tơng tự nh việc xét dấu ở dạng thơng. Ta có thể quy về
dạng tích để xét dấu.
- Luyện cách dùng dấu
{
thay cho chữ và hoặc dùng dấu
[
thay cho chữ
hoặc để giải toán.
II. Khi nào thì A > B hoặc A < B
Thực chất của loại toán này là tìm giá trị của biến để biểu thức A B có
giá trị dơng hoặc âm.
Ví dụ 5: Cho biểu thức A =
8
5
+
+
x
x
. Tìm các giá trị của x để A > 1
Giải

Trang 6
Do A > 1


8
5
+
+
x
x
- 1 > 0


8
)8()5(
+
++
x
xx
> 0


8
3
+

x
> 0

8
3
+x
< 0

x + 8 < 0

x < -8
Vậy x < -8 thì A > 1
Ví dụ 6: Với giá trị nào của x thì
5
2
1
1
4
3
+> xx
Giải
5
2
1
1
4
3
+> xx



05
2

1
1
4
3
>+ xx



06
4
1
>x



6
4
1
>x


x > 24
Nhận xét: Rèn luyện cho học sinh khả năng quy đồng mà mẫu số bằng chữ nh ở
ví dụ số 5, đồng thời rèn luyện quy tắc chuyển vế đợc ứng dụng trong các bất đẳng
thức tơng tự nh trong các đẳng thức
III. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Một biểu thức có thể có những giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Chẳng hạn
biểu thức x
2
. Biểu thức này có giá trị dơng khi x

0. Có giá trị bằng 0 khi x = 0.
Nh vậy biểu thức x
2
có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0. Biểu thức này không có
giá trị lớn nhất. Thật vậy, giả sử x
2
có giá trị lớn nhất là m tại x
1
thì x
2
cũng bằng
m tại x
2
là số đối của x
1
. Giả sử x
1
> 0, ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại một giá trị x
3
mà
mx >
2
3
. Ta chọn x
3
> x
1
> 0 khi đó
2

1
2
3
xx >
. Mà
mx =
2
1
nên
2
3
x
> m , trái với
điều giả sử m là giá trị lớn nhất của biểu thức.
Muốn tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x), ta phải thực hiện hai
yêu cầu: Chứng tỏ rằng f(x)

m (m là hằng số) với mọi giá trị của x rồi chỉ ra
rằng dấu = đợc xảy ra .
Muốn tìm giá trị lớn nhất (GTNN) của biểu thức f(x), ta phải thực hiện hai
yêu cầu: Chứng tỏ rằng f(x)

m (m là hằng số) với mọi giá trị của x rồi chỉ ra
rằng dấu = đợc xảy ra .
Nếu chỉ chứng minh đợc yêu cầu thứ nhất thì cha đủ để kết luận về giá trị
lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Chẳng hạn ta có
( )
2
2
3+x

0. Muốn
dấu = xảy ra ta phải có x
2
+ 3 = 0, điều này không thể xảy ra vì x
2
+ 3

3 với
Trang 7
mọi x. Nh vậy mặc dù (x
2
+ 3)

0 nhng 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của biểu
thức (x
2
+ 3)
2
, GTNN của biểu thức này là 9 khi x = 0.
Một số ví dụ khác: xét biểu thức x
2
+ (x - 2)
2
. Ta cũng có x
2
+ (x - 2)
2

0
nhng dấu đẳng thức không xảy ra. GTNN của biểu thức này là 2 khi x = 1.
Phơng pháp:
Để chứng tỏ rằng f(x)

m (m là hằng số), ta thờng dùng đến bất đẳng thức:
x
2


0 ; |x|

0
Để chứng tỏ rằng f(x)

m (m là hằng số), ta thờng dùng đến bất đẳng thức:
-x
2


0 ; -|x|

0
Sau đây một số ví dụ về việc sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2(x + 3)
2
5
Giải
Ta có: (x + 3)

2


0

x

R.

2(x + 3)

0

2(x - 5) 5

-5 (Sử dụng tính
chất 1) .
TGNN của A = 5

x = x + 3 = 0

x = -3
Chú ý: Có những biểu thức không có GTLN và GTNN
Chẳng hạn A = 4x ; B =
x
5
. Tuy nhiên nếu xét các giá trị của biến trong một tập
hợp hẹp hơn, biểu thức là có thể có GTLN hoặc GTNN. Chẳng hạn, xét x

R; x

Q; x

Z thì biểu thức x + 5 không có GTNN những nếu xét x

N thì biểu thức
đó có GTNN bằng 5 với x = 0.
Ví dụ 8: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức D =
x
x


4
14
có giá trị lớn nhất.
Tìm giá trị đó.
Giải
Biến đổi D =
x
x


4
14
=
xx
x

+=

+
4
10
1
4
104
D lớn nhất khi và chỉ khi
x4
10
lớn nhất.
TH1: x > 4


x4
10
< 0 (1)
Trang 8
TH2: x > 0


x4
10
> 0. Phân số
x4
10
có tử và mẫu đều dơng, tử không đổi nên
giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Mộu 4 x nguyên dơng, nhỏ nhất khi 4 x =
1

x = 3. Khi đó

10
4
10
=
x
(2)
Từ (1) và (2)


x4
10


10. Vậy D lớn nhất bằng 11 tại x = 3.
Nhận xét: Dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất mà tử và mẫu đều có biến bậc nhất thì
phơng pháp chung là phải là sao mất biến ở tử số (bằng cách nhóm, thêm, bớt, )
còn biến ở mẫu số.
- Dựa vào điều kiện của đề bài để đa ra kết quả.
4. Tham khảo ý kiến của các đồng nghieep, các loại sách tham khảo tôi thấy
hầu hết các sách đều trình bày theo lối.
- Đa ra các nội dung kiến thức cơ bản
- Đa ra các dạng toán và hớng giải quyết các dạng bài toán này.
- Một số chú ý khi làm các dạng bài toán này.
- Đa ra một số bài toán nâng cao và cách giải để học sinh tham khảo. Đó chính là
tiền đề để bồi dỡng học sinh giỏi mà trong các giờ lên lớp giáo viên không thể bồi
dỡng đợc. Vì kiến thức ở lớp chỉ là các kiến thức cơ bản để cho học sinh từ yếu,
kém, trung bình cũng nh học sinh khá giỏi nắm đợc cái căn bản của tri thức.
- Kinh nghiệm đúc rút ra trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi là không những
củng cố lại phần kiến thức cơ bản mà học sinh đợc học ở lớp mà còn củng cố cho
học sinh một số kĩ năng, cách giải các bài toán, cách phân tích các bài toán để có

thể giải một số bài toán khó những đợc quy về một số dạng nào đó mà học sinh đã
có dịp bồi dỡng, đặc biệt là rèn luyện cho học sinh cách t duy các bài toán, từ dễ
đến khó, từ đơn giãn đến phúc tạp, một số kĩ xảo để giải các bài toán về dạng
bất đẳng thức này. Đây là một dạng toán mà ở lớp các học sinh cha có dịp học một
cách cụ thể.
Trang 9
- Đồng thời rèn luyện cho các em có tinh thần học tập, khả năng tự học, tự đọc và
tìm ra các lời giải hay, phong phú, tao hng phấn cho học tập bộ môn toán này, một
môn học mà nhiều ngời cho là khô khan.
- Bất đẳng thức là một trong những lĩnh vực mà theo tôi là tơng đối khó. Bởi vậy
phải luyện cho học sinh nhiều để cho học sinh nắm đợc các dạng toán này để có
thể giải đợc nhiều bài tập hơn.
C- Kết luận
I- Kết quả nghiên cứu vào giảng dạy
- Khi cha áp dụng sáng kiến vào giảng daỵ, đại đa số học sinh đều lúng
túng khi làm bài tập, chỉ dừng lại ở những bài tập cơ bản và dễ, các bài toán phải
ở sẵn dạng quen thuộc đã làm thì học sinh theo dạng đó mới làm đợc, cha có
những suy luận logic, phân tích bài toán hợp lý để giải các bài toán mà nó cha có
sẵn dạng quen thuộc. Nếu có bài tập nâng cao thì làm xong bài nào chỉ biết cách
làm bài đó không biết cách suy luận để chuyển về những bài toán về những dạng
đã làm, đã giải, không biết mở rộng những bài toán đã làm
- Sau khi áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy tôi thấy:
+ Học sinh vận dụng nhanh kiến thức vào giải toán.
+Học sinh giải các bài toán từ cơ bản mở rộng lên những bài toán
nâng cao chính xác và nhanh hơn.
+Tạo điều kiện cho học sinh khả năng t duy thành thói quen, suy
nghĩ, phân tích nội dung và yêu cầu của bài toán một cách cẩn thận, chính xác trớc
khi giải một bài toán học nói riêng và các bài toán nói chung.
+Tạo nếp suy nghĩ, nếp khai thác chiều sâu, hay mở rộng bài toán.
+Tạo nếp tự học, độc lập suy nghĩ trong đại đa số học sinh, đồng thời

có ý thức tham khảo ý kiến, cách làm hay của các em học sinh khác
để từ đó rút ra những lời giải hay trong quá trình giải toán.
+ Giúp học sinh say mê, hứng thú trong quá trình học tập bộ môn
toán nói riêng cũng nh các bộ môn khoa học khác nói chung.
Trang 10
II- Kiến nghị đề xuất:
- Vấn đề sách tham khảo trờng trung học cơ sở Tuân Đạo còn hạn chế, cha
đáp ứng đủ yêu cầu, của giáo viên và học sinh, vì vậy cần đợc đầu t thêm về tài
liệu học tập cũng nh các thiết bị phục vụ cho công tác giảng dạy đợc tốt hơn, giáo
viên chủ động trong công tác giảng dạy và học sinh tích cực hơn trong việc học
tập.
- Với việc đổi mới phơng pháp dạy học theo chiều hớng tích cực, phát huy
tính độc lập của học sinh không thể trong chốc lát mà là cả một quá trình lâu dài
từng bớc từ thấp đến cao. Mục tiêu cuối cùng là hớng dẫn cho học sinh nắm đợc
nội dung kiến thức của từng tiết học, của từng chơng, của từng cấp học để học sinh
giải các bài toán một cách chặt chẽ, có đủ cơ sở lý luận trong lời giải của mình,
học toán và vận dụng toán học vào các bộ môn khác cũng nh vào thực tế.
Bản thân tôi ít nhiều qua nhiều năm cũng đã cố gắng thể hiện chuyên đề này
tại trờng dù sao vẫn còn nhiều điều phải học tập và phấn đấu để đạt kết quả cao
hơn. Nhng tôi vẫn mạnh dạn áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này áp dụng vào việc
giảng dạy, ít nhiều có kết quả với đối tợng học sinh tôi đợc phân công giảng dạy.
Mong các cấp quản lý chuyên môn, các đồng nghiệp góp ý thêm để tôi làm
hoàn thành sáng kiên kinh nghiệm một cách tốt hơn!
Tuân Đạo, ngày 10 tháng 05 năm 2009
Ngời viết
Bùi Văn Vịnh
Trang 11