Khóa luận tốt nghiệp toán tin: Khảo sát một số tính chất của trong không gian kiểu M–TRIC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SP TOÁN - TIN
KHẢO SÁT MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Ngành đào tạo: Sư phạm Toán học
Trình độ đào tạo: Đại học
Đồng Tháp, năm 2014
i
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SP TOÁN - TIN
KHẢO SÁT MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Ngành đào tạo: Sư phạm Toán học
Trình độ đào tạo: Đại học
Sinh viên thực hiện: Lê Thị Ngọc Thảo
Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Dũng
Đồng Tháp, năm 2014
ii
MỤC LỤC
Mở đầu 1
1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Tổng quan về đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7 Kế hoạch nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Một số tính chất của không gian kiểu-mêtric 10
2.1 Không gian kiểu-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Một số tính chất của không gian kiểu-mêtric . . . . . . . . . . 13
Kết luận và kiến nghị 25
1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình
nào khác.
Đồng Tháp, ngày 19 tháng 4 năm 2014
Tác giả
Lê Thị Ngọc Thảo
1
MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài
Nghiên cứu mở rộng không gian mêtric là một vấn đề được nhiều tác giả
quan tâm và đã đạt được những kết quả phong phú.
Năm 1965, V. S. Gahler [7] đã giới thiệu khái niệm 2-mêtric như là sự
tổng quát diện tích của tam giác trong mặt phẳng, mở rộng khái niệm không
gian mêtric thành không gian 2-mêtric. Một số tác giả khác đã chứng minh
được rằng 2-mêtric là hàm không liên tục trong khi mêtric là một hàm liên
tục. Vào năm 1992, S. G. Matthews [14] đã đưa ra khái niệm mêtric riêng
phần bằng cách cho khoảng cách giữa x và x khác 0. Năm 2006, Z. Mustafa
và B. Sims [15] đã giới thiệu khái niệm về không gian G-mêtric như là một
sự mở rộng khác của không gian mêtric. Năm 2007, bằng cách thay R trong
định nghĩa mêtric bằng một không gian Banach, L. G. Huang và X. Zhang

[11] đã giới thiệu khái niệm mêtric nón. Năm 2012, S. Sedghi và các cộng sự
[18] giới thiệu khái niệm không gian S-mêtric như là một sự suy rộng mới
của không gian mêtric. Những không gian này đã được nghiên cứu ở Trường
Đại học Đồng Tháp, xem [1], [2], [8], [10], [16], [17], [19].
Năm 2010, M. A. Khamsi và N. Hussain [13] đã giới thiệu một loại không
gian mới, đó là không gian kiểu-mêtric. Hướng nghiên cứu về tính chất của
không gian kiểu-mêtric và những tương tự của nó đã được một số tác giả
quan tâm nghiên cứu. Gần đây, N. V. Dung và các cộng sự [3], [4] đã chứng
minh một số tính chất của không gian kiểu-mêtric; mở rộng định lí điểm
bất động cho hai ánh xạ trong không gian kiểu-mêtric. Trong tài liệu [12],
M. Jovanovic và các cộng sự đã chứng minh một số kết quả cho điểm bất
2
động chung của không gian kiểu-mêtric. Định lí điểm bất động trong không
gian kiểu-mêtric còn được nghiên cứu trong tài liệu [9].
Tính chất của không gian kiểu-mêtric đã được các tác giả sử dụng trong
các công trình trên. Tuy nhiên, những tính chất này được trình bày rời rạc,
dưới dạng cô đọng và chưa mang tính hệ thống.
Xuất phát từ những vấn đề trên, chúng tôi chọn đề tài “Khảo sát một số
tính chất của không gian kiểu-mêtric” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
2 Tổng quan về đề tài
Năm 2010, M. A. Khamsi và N. Hussain [13] đã giới thiệu định nghĩa
không gian kiểu-mêtric như sau.
Cho X là một tập khác rỗng, K ≥ 1 và D : X × X −→ [0, ∞) thỏa mãn
các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X.
(1) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
(2) D(x, y) = D(y, x).
(3) D(x, y) ≤ K

D(x, z) + D(z, y)


.
Khi đó, D được gọi là một kiểu-mêtric trên X và (X, D, K) được gọi là
một không gian kiểu-mêtric.
Tiếp theo, M. A. Khamsi và N. Hussain [13] đã giới thiệu khái niệm hội
tụ, dãy Cauchy và đầy đủ trong không gian kiểu-mêtric như sau.
Cho (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric.
(1) Dãy {x
n
} được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim
n→∞
D (x
n
, x) = 0, kí hiệu
là lim
n→∞
x
n
= x.
(2) Dãy {x
n
} được gọi là một dãy Cauchy nếu lim
m,n→∞
D (x
m
, x
n
) = 0.
(3) Không gian kiểu-mêtric (X, D, K) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy
Cauchy trong X là một dãy hội tụ trong X.
Gần đây, N. V. Dung và các cộng sự [3] đã đưa ra nhận xét về không gian

kiểu-mêtric như sau.
(1) Mỗi không gian mêtric (X, d) là một không gian kiểu-mêtric (X, d, 1)
3
và ngược lại.
(2) Nếu (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric thì (X, D, K

) cũng là
một không gian kiểu-mêtric với mọi K

≥ K.
Trong khóa luận này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một số tính chất
của không gian kiểu-mêtric. Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa
cho kết quả đạt được.
3 Mục tiêu nghiên cứu
- Hệ thống, thiết lập và chứng minh một số tính chất của không gian
kiểu-mêtric.
- Xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu một số tính chất của không gian kiểu-mêtric trong
chuyên ngành hẹp Tôpô đại cương.
5 Nội dung nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu một số tính chất của không gian kiểu-mêtric. Nội
dung chính của khóa luận được trình bày trong hai chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày
những khái niệm, tính chất cơ bản của không gian mêtric và không gian tôpô
được sử dụng trong khóa luận.
Chương 2: Một số tính chất của không gian kiểu-mêtric. Trong chương
này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản của không gian kiểu-mêtric.
Sau đó, chúng tôi thiết lập, chứng minh một số tính chất của không gian
kiểu-mêtric và xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.

4
6 Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, hệ thống những kết quả, bằng cách tương tự những
kết quả đã có đề xuất kết quả mới.
Mô tả phương pháp: Sinh viên nghiên cứu tài liệu, nắm vững những
kết quả đã có, sau đó trình bày trước nhóm thảo luận. Cùng với sự hướng
dẫn của giảng viên, sinh viên đề xuất kết quả và chứng minh.
7 Kế hoạch nghiên cứu
Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng
dẫn
Thời gian
thực hiện
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
- Hệ thống những khái niệm,
tính chất cơ bản của không
gian mêtric và không gian
tôpô.
- Tổ chức thảo luận
nhóm, kiểm tra kết
quả.
Từ 12/2013
đến 1/2014
Chương 2. Một số tính chất của
không gian kiểu-mêtric.
- Hệ thống những kiến
thức cơ bản của không gian
kiểu-mêtric.
- Thiết lập, chứng minh một
số tính chất của không gian
kiểu-mêtric và xây dựng ví dụ

minh họa cho kết quả đạt được.
- Tổ chức thảo luận
nhóm, kiểm tra kết
quả.
Từ 1/2014 đến
3/2014
5
Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng
dẫn
Thời gian
thực hiện
- Trình bày kết quả trước nhóm
nghiên cứu, bộ môn.
- Hướng dẫn sinh viên
chỉnh sửa các ý kiến
đóng góp.
Tháng 4/2014
- Hoàn thành khóa luận. - Kiểm tra khóa luận. Tháng 5/2014
6
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian mêtric
Từ khoảng cách giữa hai điểm trong không gian R
2
hoặc R
3
, khái niệm
khoảng cách đã được mở rộng thành khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong
không gian R
n

và rộng hơn là khoảng cách của hai phần tử trong tập hợp bất
kì. Hàm khoảng cách cùng với tập hợp đó trở thành một không gian, được
gọi là một không gian mêtric.
1.1.1 Định nghĩa ([5], trang 24). Cho X là một tập tùy ý khác rỗng và
hàm d : X × X −→ R thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X.
(1) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
(2) d(x, y) = d(y, x).
(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Khi đó, d được gọi là một mêtric trên X và (X, d) được gọi là một không
gian mêtric. Nếu không sợ nhầm lẫn, ta thường kí hiệu vắn tắt không gian
mêtric (X, d) là X.
Sau đây, chúng tôi trình bày một số ví dụ về không gian mêtric.
1.1.2 Ví dụ ([5], trang 25). Giả sử M là tập con khác rỗng của tập số thực
R. Đặt d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ M. Khi đó, d là một mêtric và được
gọi là mêtric thông thường trên M.
7
1.1.3 Ví dụ ([5], trang 26). Giả sử X là một tập khác rỗng. Đặt
d(x, y) =



0 nếu x = y
1 nếu x = y
với mọi x, y ∈ X. Khi đó, d là một mêtric và được gọi là mêtric rời rạc trên X.
Chứng minh. Để chứng minh d là một mêtric, ta kiểm tra các điều kiện trong
Định nghĩa 1.1.1. Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có
(1) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
(2) d(x, y) = d(y, x).
(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Thật vậy,
Nếu x = z thì d(x, z) = 1 còn d(x, y) + d(y, z) ≥ 1 do y = x hoặc y = z.

Nếu x = z thì d(x, z) = 0 còn d(x, y) + d(y, z) ≥ 0.
Vậy d là một mêtric trên X.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số khái niệm trong không gian mêtric.
1.1.4 Định nghĩa ([5]). Cho (X, d) là một không gian mêtric.
(1) Dãy {x
n
} trong X được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim
n→∞
d(x
n
, x) = 0,
kí hiệu là lim
n→∞
x
n
= x.
(2) Dãy {x
n
} trong X được gọi là một dãy Cauchy nếu lim
m,n→∞
d(x
m
, x
n
) = 0.
(3) Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mỗi
dãy Cauchy trong X là một dãy hội tụ trong X.
1.2 Không gian tôpô
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và ví dụ của không
gian tôpô.

1.2.1 Định nghĩa ([5], trang 92). Cho X là một tập khác rỗng và một họ
T các tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau.
(1) ∅ ∈ T , X ∈ T .
8
(2) Nếu (G
α
)
α∈I
là một họ những phần tử của T thì

α∈I
G
α
∈ T .
(3) Nếu G
1
, G
2
∈ T thì G
1
∩ G
2
∈ T .
Khi đó, T được gọi là một tôpô trên X và cặp (X, T ) được gọi là một không
gian tôpô xác định trên tập nền X. Các phần tử của T được gọi là tập mở.
Nếu không sợ nhầm lẫn, ta thường kí hiệu vắn tắt không gian tôpô (X, T )
là X.
Lưu ý rằng, điều kiện (3) trong Định nghĩa 1.2.1 tương đương với điều
kiện sau: Nếu G
1

, G
2
, . . . , G
n
∈ T thì

α∈I
G
α
∈ T .
Sau đây, chúng tôi trình bày một số ví dụ về tôpô.
1.2.2 Ví dụ ([5], trang 92 - 93). Cho X là một tập hợp khác rỗng.
(1) T = {X, ∅} là một tôpô trên X và được gọi là tôpô thô.
(2) T = P(X), tập hợp tất cả các tập con của X, là một tôpô trên X và
được gọi là tôpô rời rạc.
(3) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric. Gọi T là họ tất cả các tập
mở theo d trên X. Khi đó, T là một tôpô trên X và được gọi là tôpô sinh
bởi mêtric. Đặc biệt trên R, tôpô sinh bởi mêtric d(x, y) = |x − y| với mọi
x, y ∈ R được gọi là tôpô thông thường.
Chứng minh. Để chứng minh T là một tôpô, ta kiểm tra các điều kiện trong
Định nghĩa 1.2.1. Chúng tôi chứng minh chi tiết cho T = {X, ∅}, các trường
hợp còn lại được chứng minh tương tự. Thật vậy, ta có
(1) ∅ ∈ T , X ∈ T .
(2) Giả sử (G
α
)
α∈I
⊂ T . Ta xét hai trường hợp sau.
Trường hợp 1. G
α

= ∅ với mọi α ∈ I. Khi đó

α∈I
G
α
= ∅ ∈ T .
Trường hợp 2. Tồn tại α ∈ I sao cho G
α
= X. Khi đó

α∈I
G
α
= X ∈ T .
(3) ∅ ∩ ∅ = ∅ ∈ T , ∅ ∩ X = ∅ ∈ T , X ∩ X = X ∈ T .
Vậy T = {X, ∅} là một tôpô trên X.
Thông thường để cho một tôpô trên X ta phải chỉ rõ tất cả các tập mở.
9
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp ta chỉ cần tìm một tập con của T là đủ
xác định tôpô T . Ta có định nghĩa sau.
1.2.3 Định nghĩa ([5], trang 97). Giả sử (X, T ) là một không gian tôpô và
∅ = B ⊂ T . Họ B được gọi là một cơ sở của tôpô T nếu với mọi G ∈ T tồn
tại một họ con B

⊂ B sao cho G =

B∈B

B.
1.2.4 Ví dụ ([5], trang 97). (1) Theo định nghĩa thì T chính là một cơ sở

của không gian tôpô (X, T ).
(2) Tôpô thông thường trên R nhận họ các khoảng mở

a, b

làm một cơ sở
của nó.
1.2.5 Định nghĩa ([5], trang 104). Cho (X, T
X
) và (Y, T
Y
) là hai không gian
tôpô và ánh xạ f : X −→ Y .
(1) f được gọi là liên tục tại điểm x
0
∈ X nếu với mỗi lân cận V của f(x
0
)
đều tồn tại một lân cận U của x
0
sao cho f(U) ⊂ V .
(2) f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
10
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN
KIỂU-MÊTRIC
2.1 Không gian kiểu-mêtric
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và ví dụ của không
gian kiểu-mêtric.
2.1.1 Định nghĩa ([13], Definition 6). Cho X là một tập khác rỗng, K ≥ 1

và D : X × X −→ [0, ∞) thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X.
(1) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
(2) D(x, y) = D(y, x).
(3) D(x, y) ≤ K

D(x, z) + D(z, y)

.
Khi đó, D được gọi là một kiểu-mêtric trên X và (X, D, K) được gọi là một
không gian kiểu-mêtric.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số ví dụ về không gian kiểu-mêtric.
2.1.2 Ví dụ ([13], Example 1). Cho X là tập các hàm f trên C[0, 1] sao cho

1
0
|f(x)|
2
dx < ∞.
Đặt D(f, g) =

1
0
|f(x)− g(x)|
2
dx với mọi f, g ∈ X. Khi đó, (X, D, 2) là một
không gian kiểu-mêtric.
11
Chứng minh. Để chứng minh (X, D, 2) là một không gian kiểu-mêtric, ta
chứng minh hàm D thỏa mãn các điều kiện trong Định nghĩa 2.1.1 với K = 2.
Thật vậy, với mọi f, g, h ∈ X, ta có

(1) D(f, g) = 0 khi và chỉ khi

1
0
|f(x) − g(x)|
2
dx = 0.
Điều này tương đương với |f(x) − g(x)|
2
= 0 với mọi x ∈

0, 1

hay f = g.
(2) D(f, g) =

1
0
|f(x) − g(x)|
2
dx =

1
0
|g(x) − f(x)|
2
dx = D(g, f).
(3) 2

D(f, h) + D(h, g)


= 2


1
0
|f(x) − h(x)|
2
dx +

1
0
|h(x) − g(x)|
2
dx

=

1
0
2

|f(x) − h(x)|
2
+ |h(x) − g(x)|
2

dx
=


1
0

1
2
+ 1
2

|f(x) − h(x)|
2
+ |h(x) − g(x)|
2

dx
≥

1
0

|f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|

2
dx
≥

1
0


f(x) − h(x) + h(x) − g(x)



2
dx
=

1
0


f(x) − g(x)


2
dx
= D(f, g).
Vậy (X, D, 2) là một không gian kiểu-mêtric.
2.1.3 Ví dụ. Cho X =

a, b, c

và D xác định bởi
D(a, a) = D(b, b) = D(c, c) = 0
D(b, c) = D(c, b) = 4
D(a, b) = D(b, a) = D(a, c) = D(c, a) = 1.
Khi đó, (X, D, 2) là một không gian kiểu-mêtric.
Chứng minh. Để chứng minh (X, D, 2) là một không gian kiểu-mêtric, ta
chứng minh hàm D thỏa mãn các điều kiện trong Định nghĩa 2.1.1 với K = 2.
Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có
(1) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.

(2) D(x, y) = D(y, x).
12
(3) Ta xét các trường hợp sau.
Trường hợp 1. D(x, y) = D(a, b) = 1. Ta chỉ cần xét z = c. Khi đó
D(a, b) = 1 < 10 = 2

D(a, c) + D(c, b)

.
Trường hợp 2. D(x, y) = D(a, c) = 1. Ta chỉ cần xét z = b. Khi đó
D(a, c) = 1 < 10 = 2

D(a, b) + D(b, c)

.
Trường hợp 3. D(x, y) = D(b, c) = 4. Ta chỉ cần xét z = a. Khi đó
D(b, c) = 4 = 2

D(b, a) + D(a, c)

.
Từ các trường hợp trên, chứng tỏ D(x, y) ≤ 2

D(x, z) + D(z, y)

. Vậy D
là một kiểu-mêtric trên X với K = 2.
Tiếp đến, chúng tôi trình bày một số nhận xét về không gian kiểu-mêtric.
2.1.4 Nhận xét ([3], Remark 1.3). (1) Mỗi không gian mêtric (X, d) là một
không gian kiểu-mêtric (X, d, 1) và ngược lại.

(2) Nếu (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric thì (X, D, K

) cũng là một
không gian kiểu-mêtric với mọi K

≥ K.
Tương tự như trong không gian mêtric, chúng ta có khái niệm sự hội tụ,
dãy Cauchy và tính đầy đủ trong không gian kiểu-mêtric.
2.1.5 Định nghĩa ([13], Definition 7). Cho (X, D, K) là một không gian
kiểu-mêtric.
(1) Dãy {x
n
} được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim
n→∞
D (x
n
, x) = 0, kí hiệu là
lim
n→∞
x
n
= x.
(2) Dãy {x
n
} được gọi là một dãy Cauchy nếu lim
m,n→∞
D (x
m
, x
n

) = 0.
(3) Không gian kiểu-mêtric (X, D, K) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy
trong X là một dãy hội tụ trong X.
13
2.1.6 Nhận xét. Trong không gian kiểu-mêtric, tôpô T
1
được hiểu là tôpô
cảm sinh bởi sự hội tụ của nó. Điều này có nghĩa là tập A mở trong không
gian kiểu-mêtric khi và chỉ khi với mỗi x ∈ A, lim
n→∞
x
n
= x, tồn tại n
0
sao cho
x
n
∈ A với mọi n ≥ n
0
.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một tôpô khác trên không gian kiểu-mêtric.
Trước hết, chúng tôi định nghĩa hình cầu mở trong không gian kiểu-mêtric
như sau.
2.1.7 Định nghĩa. Cho (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric. Với r > 0
và x ∈ X, đặt B(x, r) = {y ∈ X : D(x, y) < r}. Khi đó, B(x, r) được gọi là
hình cầu mở tâm x bán kính r.
2.1.8 Mệnh đề ([6], Proposition 1.2.1). Cho một tập X và một họ B những
tập con của X có các tính chất sau.
(1) Với mỗi U
1

, U
2
∈ B và với mỗi x ∈ U
1
∩ U
2
, tồn tại U ∈ B sao cho
x ∈ U ⊂ U
1
∩ U
2
.
(2) Với mỗi x ∈ X, tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U.
Gọi O là họ tất cả các tập con của X mà mỗi tập được biểu diễn dưới dạng
hợp của một họ con của B. Khi đó, họ O là một tôpô trên X và họ B là một
cơ sở của không gian tôpô (X, O). Tôpô O được gọi là tôpô sinh bởi họ B.
Kí hiệu T
2
là tôpô sinh bởi họ C = {B(x, r) : x ∈ X, r > 0}.
Ta đã biết trong không gian mêtric thì T
1
= T
2
. Mối quan hệ giữa T
1
và
T
2
trong không gian kiểu-mêtric sẽ được tìm hiểu trong mục tiếp theo.
2.2 Một số tính chất của không gian kiểu-mêtric

Trước hết, chúng tôi xét mối quan hệ giữa hai tôpô T
1
và T
2
trong không
gian kiểu-mêtric (X, D, K).
2.2.1 Mệnh đề. Cho (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric. Khi đó,
T
1
⊂ T
2
.
14
Chứng minh. Lấy U ∈ T
1
. Giả sử ngược lại U /∈ T
2
. Khi đó tồn tại x ∈ U sao
cho B(x,
1
n
)  U với mọi n ∈ N. Nghĩa là, với mỗi n ∈ N, tồn tại x
n
∈ B(x,
1
n
)
và x
n
∈ U. Do đó D(x

n
, x) <
1
n
với mọi n ∈ N. Suy ra lim
n→∞
D (x
n
, x) = 0.
Điều này chứng tỏ rằng lim
n→∞
x
n
= x trong (X, T
1
). Khi đó tồn tại n
0
sao cho
x
n
∈ U với mọi n ≥ n
0
. Điều này là mâu thuẫn vì x
n
∈ U với mọi n ∈ N.
Vậy T
1
⊂ T
2
.

Sau đây, chúng tôi trình bày một số tính chất của không gian kiểu-mêtric.
2.2.2 Mệnh đề. Giả sử (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric và l > 0.
Khi đó D
1
và D
2
là những kiểu-mêtric trên X với
(1) D
1
(x, y) = min {l, D(x, y)} với mọi x, y ∈ X.
(2) D
2
(x, y) =
D(x, y)
1 + D(x, y)
với mọi x, y ∈ X.
Hơn nữa, nếu X =
n

i=1
A
i
, A
i
∩ A
j
= ∅ với mọi i = j thì
(3) D
3
(x, y) =




D(x, y) nếu tồn tại i để x, y ∈ A
i
l + D(x, y) nếu ngược lại
là một kiểu-mêtric trên X.
Chứng minh. Để chứng minh D
1
, D
2
, D
3
là kiểu-mêtric, ta kiểm tra các điều
kiện trong Định nghĩa 2.1.1.
(1) D
1
là một kiểu-mêtric trên X. Thật vậy, với mỗi x, y, z ∈ X, ta có
(a) D
1
(x, y) = 0 khi và chỉ khi min {l, D(x, y)} = 0. Điều này tương đương
với D(x, y) = 0 hay x = y.
(b) D
1
(x, y) = min

l, D(x, y)

= min


l, D(y, x)

= D
1
(y, x).
(c) Ta xét hai trường hợp sau đây
Trường hợp 1. l ≤ D(x, y). Khi đó
D
1
(x, y) = min

l, D(x, y)

= l
≤ min

l, K

D(x, z) + D(z, y)

≤ K min

l, D(x, z) + D(z, y)

15
≤ K

min {l, D(x, z)} + min {l, D(z, y)}

= K


D
1
(x, z) + D
1
(z, y)

.
Trường hợp 2. l > D(x, y). Khi đó
D
1
(x, y) = min

l, D(x, y)

= D(x, y)
≤ min

l, K[D(x, z) + D(z, y)]

≤ K min

l, D(x, z) + D(z, y)]

≤ K

min {l, D(x, z)} + min {l, D(z, y)}

= K


D
1
(x, z) + D
1
(z, y)

.
(2) D
2
là một kiểu-mêtric trên X. Thật vậy, với mỗi x, y, z ∈ X, ta có
(a) D
2
(x, y) = 0 khi và chỉ khi
D(x, y)
1 + D(x, y)
= 0. Điều này tương đương
với D(x, y) = 0 hay x = y.
(b) D
2
(x, y) =
D(x, y)
1 + D(x, y)
=
D(y, x)
1 + D(y, x)
= D
2
(y, x).
(c) D
2

(x, y) =
D(x, y)
1 + D(x, y)
= 1 −
1
1 + D(x, y)
≤ 1 −
1
1 + K

D(x, z) + D(z, y)

=
K

D(x, z) + D(z, y)

1 + K

D(x, z) + D(z, y)

=
KD(x, z)
1 + K

D(x, z) + D(z, y)

+
KD(z, y)
1 + K


D(x, z) + D(z, y)

≤
KD(x, z)
1 + KD(x, z)
+
KD(z, y)
1 + KD(z, y)
≤
KD(x, z)
1 + D(x, z)
+
KD(z, y)
1 + D(z, y)
= KD
2
(x, z) + KD
2
(z, y)
= K

D
2
(x, z) + D
2
(z, y)

.
(3) D

3
là một kiểu-mêtric trên X. Thật vậy, với mỗi x, y, z ∈ X, ta có
(a) D
3
(x, y) = 0 khi và chỉ khi D(x, y) = 0 hay x = y.
16
(b) D
3
(x, y) = D
3
(y, x).
Để chứng minh D
3
thỏa mãn các điều kiện (3) trong Định nghĩa 2.1.1, ta
chỉ cần chứng minh cho trường hợp D
3
(x, y) = l + D(x, y), trong đó x, y, z
không cùng thuộc A
i
với mọi i =
1, n.
(c) Ta xét hai trường hợp sau đây
Trường hợp 1. x, y ∈ A
i
, z /∈ A
i
. Khi đó
D
3
(x, y) = D(x, y) (2.1)

K

D
3
(x, z) + D
3
(z, y)

= K

2l + D(x, z) + D(z, y)

(2.2)
Từ (2.1), (2.2) ta có D
3
(x, y) ≤ K

D
3
(x, z) + D
3
(z, y)

.
Trường hợp 2. x, y /∈ A
i
với mọi i = 1, n, z ∈ A
i
. Khi đó
D

3
(x, y) = l + D(x, y) (2.3)
K

D
3
(x, z) + D
3
(z, y)

= K

2l + D(x, z) + D(z, y)

(2.4)
Từ (2.1), (2.2) ta có D
3
(x, y) ≤ K

D
3
(x, z) + D
3
(z, y)

.
Trong không gian mêtric chúng ta đã được làm quen với khái niệm mêtric
rời rạc. Bằng cách tương tự khái niệm mêtric rời rạc, chúng tôi đưa ra khái
niệm kiểu-mêtric rời rạc như sau.
2.2.3 Mệnh đề. Giả sử X là một tập khác rỗng. Đặt

D(x, y) =



0 nếu x = y
1 nếu x = y
với mọi x, y ∈ X. Khi đó, D là một kiểu-mêtric trên X và được gọi là
kiểu-mêtric rời rạc.
Chứng minh. Ta kiểm tra D là một kiểu-mêtric trên X bằng cách chứng
minh D thỏa mãn các điều kiện trong Định nghĩa 2.1.1. Thật vậy, với mỗi
x, y, z ∈ X, ta có
17
(1) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
(2) D(x, y) =



0 nếu x = y
1 nếu x = y
= D(y, x).
(3) Ta xét hai trường hợp sau
Trường hợp 1. x = y = z. Khi đó
D(x, y) = 0 ≤ K

D(x, z) + D(z, y)

.
Trường hợp 2. x = y hoặc y = z, hoặc z = x. Nếu x = y thì D(x, y) = 1.
Ta thấy D(x, z) và D(z, y) không thể đồng thời bằng 0. Thật vậy, nếu
D(x, z) = D(z, y) = 0 thì x = y = z. Điều này mâu thuẫn với giả thiết

trong trường hợp 2. Suy ra
D(x, z) + D(z, y) ≥ 1.
Do đó D(x, y) ≤ D(x, z) + D(z, y) ≤ K

D(x, z) + D(z, y)

.
Lập luận tương tự cho hai trường hợp còn lại.
Vậy D là một kiểu-mêtric trên X.
Tiếp đến, chúng tôi trình bày một số kiểu-mêtric trên X×Y với (X, D
1
, K
1
)
và (Y, D
2
, K
2
) là hai không gian kiểu-mêtric.
2.2.4 Mệnh đề. Cho (X, D
1
, K
1
) và (Y, D
2
, K
2
) là hai không gian kiểu-mêtric.
Khi đó các công thức sau là kiểu-mêtric trên X × Y , ở đây x = (x
1

, x
2
),
y = (y
1
, y
2
) ∈ X × Y .
(1) D(x, y) = D
1
(x
1
, y
1
) + D
2
(x
2
, y
2
) với K = max {K
1
, K
2
}.
(2) D(x, y) = max {D
1
(x
1
, y

1
), D
2
(x
2
, y
2
)} với K = max {K
1
, K
2
}.
(3) D(x, y) =

D
1
2
(x
1
, y
1
) + D
2
2
(x
2
, y
2
) với K = max {K
1

, K
2
}.
Không gian kiểu-mêtric (X × Y, D, K) được gọi là không gian kiểu-mêtric
tích với kiểu-mêtric đã chọn.
Chứng minh. Để chứng minh (X × Y, D, K) là một không gian kiểu-mêtric,
ta chứng minh hàm D trong từng trường hợp thỏa mãn các điều kiện trong
Định nghĩa 2.1.1.
18
(1) D(x, y) = D
1
(x
1
, y
1
) + D
2
(x
2
, y
2
) là một kiểu-mêtric trên X × Y với
K = max {K
1
, K
2
}.
Thật vậy, với mỗi x = (x
1
, x

2
), y = (y
1
, y
2
), z = (z
1
, z
2
) ∈ X × Y , ta có
(a) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi D
1
(x
1
, y
1
) + D
2
(x
2
, y
2
) = 0. Điều này tương
đương với D
1
(x
1
, y
1
) = D

2
(x
2
, y
2
) = 0 hay x
1
= y
1
và x
2
= y
2
, nghĩa là x = y.
Vậy D(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
(b) D(x, y) = D
1
(x
1
, y
1
) + D
2
(x
2
, y
2
) = D
1
(y

1
, x
1
) + D
2
(y
2
, x
2
) = D(y, x).
(c) D(x, y) = D
1
(x
1
, y
1
) + D
2
(x
2
, y
2
)
≤ K
1

D
1
(x
1

, z
1
) + D
1
(z
1
, y
1
)

+ K
2

D
2
(x
2
, z
2
) + D
2
(z
2
, y
2
)

≤ K

(D

1
(x
1
, z
1
) + D
2
(x
2
, z
2
)) + (D
1
(z
1
, y
1
) + D
2
(z
2
, y
2
))

= K

D(x, z) + D(z, y)

.

(2) D(x, y) = max

D
1
(x
1
, y
1
), D
2
(x
2
, y
2
)

là một kiểu-mêtric trên X × Y với
K = max {K
1
, K
2
}.
Thật vậy, với mỗi x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2

), z = (z
1
, z
2
) ∈ X × Y , ta có
(a) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi max

D
1
(x
1
, y
1
), D
2
(x
2
, y
2
)

= 0. Điều này
tương đương với D
1
(x
1
, y
1
) = D
2

(x
2
, y
2
) = 0 hay x
1
= y
1
và x
2
= y
2
, nghĩa là
x = y.
(b) D(x, y) = max

D
1
(x
1
, y
1
), D
2
(x
2
, y
2
)


= max {D
1
(y
1
, x
1
), D
2
(y
2
, x
2
)}
= D(y, x).
(c) D(x, y) = max

D
1
(x
1
, y
1
), D
2
(x
2
, y
2
)


≤ max

K
1

D
1
(x
1
, z
1
) + D
1
(z
1
, y
1
)

, K
2

D
2
(x
2
, z
2
) + D
2

(z
2
, y
2
)

≤ K max

D
1
(x
1
, z
1
) + D
1
(z
1
, y
1
), D
2
(x
2
, z
2
) + D
2
(z
2

, y
2
)

≤ K max

D
1
(x
1
, z
1
), D
2
(x
2
, z
2
)} + max {D
1
(z
1
, y
1
), D
2
(z
2
, y
2

)

= K

D(x, z) + D(z, y)

.
(3) D(x, y) =

D
1
2
(x
1
, y
1
) + D
2
2
(x
2
, y
2
) là một kiểu-mêtric trên X × Y với
K = max {K
1
, K
2
}.
Thật vậy, với mỗi x = (x

1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
), z = (z
1
, z
2
) ∈ X × Y , ta có
19
(a) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi

D
1
2
(x
1
, y
1
) + D
2
2
(x
2
, y
2
) = 0. Điều này

tương đương với D
1
2
(x
1
, y
1
) = D
2
2
(x
2
, y
2
) = 0 khi và chỉ khi
D
1
(x
1
, y
1
) = D
2
(x
2
, y
2
) = 0
hay x
1

= y
1
và x
2
= y
2
, nghĩa là x = y.
(b) D(x, y) =

D
1
2
(x
1
, y
1
) + D
2
2
(x
2
, y
2
)
=

D
1
2
(y

1
, x
1
) + D
2
2
(y
2
, x
2
)
= D(y, x).
(c) D(x, y) =

D
1
2
(x
1
, y
1
) + D
2
2
(x
2
, y
2
)
≤



K
1
(D
1
(x
1
, z
1
) + D
1
(z
1
, y
1
))

2
+

K
2
(D
2
(x
2
, z
2
) + D

2
(z
2
, y
2
))

2
≤ K


D
1
(x
1
, z
1
) + D
1
(z
1
, y
1
)

2
+

D
2

(x
2
, z
2
) + D
2
(z
2
, y
2
)

2
≤ K


D
1
2
(x
1
, z
1
) + D
2
2
(x
2
, z
2

) +

D
1
2
(z
1
, y
1
) + D
2
2
(z
2
, y
2
)

= K

D(x, z) + D(z, y)

.
Vậy D(x, y) =

D
1
2
(x
1

, y
1
) + D
2
2
(x
2
, y
2
) là một kiểu-mêtric trên X × Y
với K = max {K
1
, K
2
}.
Sau đây, chúng tôi trình bày một số tính chất trong không gian kiểu-mêtric tích.
2.2.5 Mệnh đề. Cho (X
1
, D
1
, K
1
), (X
2
, D
2
, K
2
) là hai không gian kiểu-mêtric
và kiểu-mêtric tích được xác định như trong Mệnh đề 2.2.4.

(1) Khi đó sự hội tụ trong không gian tích X
1
× X
2
tương đương với sự hội
tụ theo tọa độ, nghĩa là lim
n→∞
(x
n
, y
n
) = (x, y) trong X
1
× X
2
khi và chỉ
khi lim
n→∞
x
n
= x trong (X
1
, D
1
, K
1
) và lim
n→∞
y
n

= y trong (X
2
, D
2
, K
2
).
(2) {(x
n
, y
n
)} là dãy Cauchy trong không gian tích X
1
× X
2
khi và chỉ khi
{x
n
} và {y
n
} lần lượt là dãy Cauchy trong (X
1
, D
1
, K
1
) và (X
2
, D
2

, K
2
).
(3) Không gian kiểu-mêtric tích X
1
× X
2
là đầy đủ khi và chỉ khi X
1
và X
2
là đầy đủ.
20
Chứng minh. Chúng tôi chứng minh chi tiết cho trường hợp
D(x, y) = D
1
(x
1
, y
1
) + D
2
(x
2
, y
2
).
Hai trường hợp còn lại được chứng minh tương tự.
(1) Ta có lim
n→∞

(x
n
, y
n
) = (x, y) khi và chỉ khi
lim
n→∞
D

(x
n
, y
n
), (x, y)

= lim
n→∞

D
1
(x
n
, x) + D
2
(y
n
, y)

= 0.
Điều này tương đương với lim

n→∞
D
1
(x
n
, x) = 0 và lim
n→∞
D
2
(y
n
, y) = 0, nghĩa là
lim
n→∞
x
n
= x trong (X
1
, D
1
, K
1
) và lim
n→∞
y
n
= y trong (X
2
, D
2

, K
2
).
(2) Ta có
lim
n,m→∞
D

(x
n
, y
n
), (x
m
, y
m
)

= 0
khi và chỉ khi lim
n,m→∞

D
1
(x
n
, x
m
) + D
2

(y
n
, y
m
)

= 0. Điều này tương đương
với lim
n,m→∞
D
1
(x
n
, x
m
) = 0 và lim
n,m→∞
D
2
(y
n
, y
m
) = 0. Nói cách khác, {x
n
}
là một dãy Cauchy trong (X
1
, D
1

, K
1
) và {y
n
} là một dãy Cauchy trong
(X
2
, D
2
, K
2
).
(3) Giả sử X
1
, X
2
đầy đủ ta cần chứng minh X
1
× X
2
đầy đủ. Thật vậy,
lấy {(x
n
, y
n
)} là dãy Cauchy trong X
1
× X
2
. Theo tính chất (2) ta có {x

n
},
{y
n
} lần lượt là dãy Cauchy trong X
1
, X
2
. Vì X
1
, X
2
là đầy đủ nên {x
n
},
{y
n
} là dãy hội tụ. Theo tính chất (1) ta có {(x
n
, y
n
)} là dãy hội tụ trong
X
1
× X
2
.
Vậy X
1
× X

2
là đầy đủ.
Ngược lại, giả sử X
1
× X
2
đầy đủ ta cần chứng minh X
1
, X
2
đầy đủ. Thật
vậy, lấy {x
n
}, {y
n
} lần lượt là dãy Cauchy trong X
1
, X
2
. Theo tính chất (2)
ta có {(x
n
, y
n
)} là dãy Cauchy trong X
1
× X
2
. Vì X
1

× X
2
là đầy đủ nên
{(x
n
, y
n
)} là dãy hội tụ. Theo tính chất (1) ta có {x
n
}, {y
n
} lần lượt là dãy
hội tụ trong X
1
, X
2
.
Vậy X
1
, X
2
là đầy đủ.
Lưu ý rằng, kiểu-mêtric D : X × X −→ [0, ∞) là liên tục tại (x, y) khi
và chỉ khi lim
n→∞
D(x
n
, y
n
) = D(x, y) với mọi dãy {x

n
}, {y
n
} mà lim
n→∞
x
n
= x,
21
lim
n→∞
y
n
= y. Ví dụ sau chứng tỏ tồn tại kiểu-mêtric D không liên tục theo T
1
.
2.2.6 Ví dụ ([3], Example 2.2). Cho X =

0, 1,
1
2
, . . . ,
1
n
, . . .

và
D(x, y) =






















0 nếu x = y
1 nếu x = y ∈ {0, 1}
|x − y| nếu x = y ∈

0,
1
2n
,
1
2m


1
4
trường hợp khác.
Khi đó, D là một kiểu-mêtric không liên tục trên X với K = 4. Đặc biệt,
D là một kiểu-mêtric trên X nhưng không là một mêtric trên X.
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ X, ta có D(x, y) ≥ 0, D(x, y) = 0 khi và chỉ khi
x = y và D(x, y) = D(y, x).
Nếu D(x, y) = D(0, 1) = 1 thì
D(x, z)+D(z, y) =











D

0,
1
2n

+ D

1
2n

, 1

=
1
2n
+
1
4
nếu z =
1
2n
D

0,
1
2n + 1

+ D

1
2n + 1
, 1

=
1
4
+
1
4
nếu z =

1
2n + 1
.
Nếu D(x, y) = D

0,
1
2n

=
1
2n
thì
D(x, z) + D(z, y)
=




















D

0,
1
2m

+ D

1
2m
,
1
2n

=
1
2m
+



1
2m
−
1
2n




nếu z =
1
2m
D

0,
1
2m + 1

+ D

1
2m + 1
,
1
2n

=
1
4
+
1
4
nếu z =
1
2m + 1
= 1

D(0, 1) + D

1,
1
2n

= 1 +
1
4
nếu z = 1.