Sai phân và bài toán tính tổng

SAI PHÂN VÀ BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
I. Kí hiệu
+ ∆ được gọi là sai phân.
+ U
x
là hàm biến x
+ ∆U
x
= U
x+1
− U
x
+ U
x
= U
0
+ x
(1)
∆
1
U
0
+
x
(2)
2!
∆
2
U
0
+ +

x
(n)
n!
∆
n
U
0
(**)
II. Biến đổi đa thức dưới dạng chuỗi lũy thừa.
Ví dụ: U
x
= 2x
3
− 3x
2
+ 3x − 10
x U
x
∆ ∆
2
∆
3
x
0
= 0 U
0
= −10 2 6 12
x
1
= 1 U

1
= −8 8 18
x
2
= 2 U
2
= 0 26
x
3
= 3 U
3
= 26
• Giải thích:
+ ∆U
0
= U
0+1
− U
0
= U
1
− U
0
= 2 sai phân cấp 1.
+ ∆
2
U
0
= ∆(∆U
0

) = U
0+1+1
− U
0+1
− (U
0+1
− U
0
) = U
2
− 2U
1
+ U
0
= sai
phân cấp 2.
∆U
1
− ∆U
0
= 6
+ Tương tự ∆
3
(U
0
) = ∆
2
U
1
− ∆

2
U
0
= 12 sai phân cấp 3.
Thay các giá trị ∆U
0
, ∆
2
U
0
, ∆
3
U
0
vào phương trình (**) ta được:
U
x
= 2x
(3)
+ 3x
(2)
+ 2x
(1)
− 10
Chú ý: Đối với đa thức bậc n thì ứng với n + 1 mốc nội suy. Ví dụ như bậc 3 thì
có 4 mốc nội suy. x
0
, x
1
, x

2
, x
3
III. Áp dụng sai phân vào tính tổng
• Kí hiệu ∆ được hiểu như lấy đạo hàm cấp 1. Ví dụ:
∆(
x
(4)
4
+ C) = x
(3)
• Kí hiệu ∆
−1
được hiểu như việc lấy nguyên hàm. Ví dụ:
∆
−1
(x
(−3)
) =
x
(4)
4
+ C
•
n−1

k=1
a
k
= ∆

(−1)
a
k
|
n
1
1
• Một số ví dụ:
1/ 2 + 4 + 6 + + 2n = A
A =
n

x=1
2x = ∆
(−1)
(2x)|
n+1
1
= 2∆
−1
(x
(1)
)|
n+1
1
= 2.
x
(2)
2
|

n+1
1
= (n + 1)
(2)
− (1)
(2)
=
(n + 1)n
2/
n

x=1
x
2
= ∆
−1
x
2
|
n+1
1
= ∆
−1
(x
(2)
+ x
(1)
)|
n+1
1

=
(n + 1)n(2n + 1)
6
• Chú ý: 1
(2)
= 0, (1)
(1)
= 1
• Cấp số cộng: Đặt S
n
= U
1
+ U
2
+ U
3
+ + U
n
=
n

x=1
U
1
+ (x − 1)d
(d là công sai)
Ta có
n

x=1

U
1
+ (x − 1)d = ∆
−
1(xd + U
1
− d)|
n+1
1
= ∆
−1
(dx
(1)
+ U
1
− d)|
n+1
1
= (
dx
(2)
2
+(U
1
−d)x
(1)
)|
n+1
1
=

d(n + 1)n
2
+(U
1
−d)(n+1)−
d(1)
(2)
2
−(U
1
−d)(1)
(1)
= nU
1
+
n(n − 1)
2
d =
n(U
1
+ U
n
)
2
• Một số tính chất của tích phân bất định ∆
−1
+ ∆
−1
(U
x

± V
x
) = ∆
−1
(U
x
) ± ∆
−1
(V
x
)
+ ∆
−1
(kU
x
) = k∆
−1
(U
x
)
• Ví dụ:
+ ∆
−1
(0) = C
1. ∆
−1
(a
x
) =
a

x
a − 1
Chứng minh:
∆(a
x
) = (a − 1)a
x
⇒ a
x
= ∆
−1
((a − 1)a
x
) = (a − 1)∆
−1
a
x
⇒ ∆
−1
(a
x
) =
a
x
a − 1
2. ∆x
(n)
=
x
(n+1)

n + 1
+ C
Chứng minh:
∆x
(n)
= nx
(n−1)
⇒ ∆
−1
(x
(n−1)
) =
x
(n)
n
⇒ ∆
−1
(x
(n)
) =
x
(n+1)
n + 1
3. ∆
−1
(a + bx)
(n)
=
(a + bx)
(n+1)

b(n + 1)
+ C
2
4. Công thức tích phân từng phần:
∆
−1
(U
x
∆V
x
) = U
x
V
x
− ∆
−1
(V
x+1
∆U
x
) + C
Ví dụ: Tính ∆
−1
(x.2
x
)
Giải:
Đặt

U

x
= x
∆V
x
= 2
x
⇒



∆U
x
= x + 1 − x = 1
V
x
=
2
x
2 − 1
= 2
x
∆
−
1(x.2
x
) = x.2
x
− ∆
−
1(2

x+1
.1)
= x.2
x
− 2.∆
−
1(2
x
)
= x.2
x
− 2.2
x
= 2
x
(x − 2)
Ghi nhớ:
+ Đối với đa thức thì chuyển sang dạng giai thừa mới tính ∆
−1
+ Đối với hàm lũy thừa thì không cần chuyển mà tính ngay ∆
−1
bằng công thức
• Cấp số nhân:
Cho cấp số nhân (U
n
) với công bội q = 1 Đặt
S =
n

x=1

U
1
.q
x−1
= U
1
+ U
2
+ U
3
+ + U
n
= ∆
−1
(U
1
q
x−1
)|
n+1
1
= U
1
∆
−1
q
x−1
|
n+1
1

U
1
q
x−1
q − 1
|
n+1
1
=
U
1
q
n+1−1
q − 1
−
U
1
q
1−1
q − 1
=
U
1
(q
n
− 1)
q − 1
=
U
1

(1 − q
n
)
1 − q
3