phương trình, bất phương trình đại số bậc cao, phân thức hữu tỉ (phần 2)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.13 MB, 108 trang )
TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐN HỌC PHỔ THƠNG
______________________________________________________________
x
--------------------------------------------------------------------------------------------
CHUN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
E2 F5 QN ĐỒN BỘ BINH
CHỦ ĐẠO: DẠNG TỐN PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ
HỆ SỐ BẤT ĐỊNH.
PHÂN TÍCH HẰNG ĐẲNG THỨC.
THAM SỐ BIẾN THIÊN – HẰNG SỐ BIẾN THIÊN.
BÀI TOÁN HỒI QUY – HỆ SỐ ĐỐI XỨNG.
ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
BÀI TỐN NHIỀU CÁCH GIẢI.
CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); (GMAIL)
THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2013
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2
“Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh
quang để sánh vai với các cường quốc năm châu được hay khơng, chính là nhờ một phần lớn ở
công học tập của các em”
(Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh).
“Khi bạn tức giận run mình trước những bất cơng, thì bạn là người đồng chí của tơi”
(Trích lời Che Guevara).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO – PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trong chương trình Tốn học phổ thơng nước ta, cụ thể là chương trình Đại số, phương trình và bất phương
trình là một nội dung quan trọng, phổ biến trên nhiều dạng toán xuyên suốt các cấp học, cũng là bộ phận thường
thấy trong các kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi mơn Tốn các cấp và
kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức hết sức phong phú, đa dạng. Mặc dù đây là một đề tài quen
thuộc, chính thống nhưng khơng vì thế mà giảm đi phần thú vị, nhiều bài toán cơ bản tăng dần đến mức khó thậm
chí rất khó, với các biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ năng vẫn làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT.
Chương trình Đại số lớp 9 THCS đã giới thiệu, đi sâu khai thác các bài tốn về phương trình bậc hai, chương trình
Đại số 10 THPT đưa chúng ta tiếp cận tam thức bậc hai với các định lý về dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc
hai và ứng dụng. Trong phương trình và bất phương trình đại số nói chung, chúng ta bắt gặp rất nhiều bài toán cps
dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ, các bài tốn có mức độ khó dễ khác nhau, đòi hỏi tư duy linh hoạt và vẻ đẹp
cũng rất riêng ! Từ rất lâu rồi, đây vẫn là vấn đề quan trọng, xuất hiện hầu khắp và là công đoạn cuối quyết định
trong nhiều bài tốn phương trình, hệ phương trình chứa căn, phương trình vi phân, dãy số,...Vì thế về tinh thần, nó
vẫn được đơng đảo các bạn học sinh, các thầy cô giáo và các chuyên gia Tốn phổ thơng quan tâm sâu sắc. Sự đa
dạng về hình thức của lớp bài tốn căn này đặt ra yêu cầu cấp thiết là làm thế nào để đơn giản hóa, thực tế các
phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực đã hình thành, đi vào hệ thống. Về cơ bản để làm việc với lớp phương trình,
bất phương trình này chúng ta ưu tiên hạ hoặc giảm bậc của bài toán gốc, cố gắng đưa về các dạng bậc hai, bậc nhất
hoặc các dạng đặc thù (đã được khái quát trước đó). Trong chuyên đề này, Tiếp theo lý thuyết phương trình – bất
phương trình bậc cao, phân thức hữu tỷ phần 1, tác giả xin trân trọng tới quý độc giả lý thuyết phương trình – bất
phương trình bậc cao, phân tích hữu tỷ phần 2, trình bày thêm một số kỹ thuật – phương pháp giải như: Hệ số bất
định – phân tích hằng đẳng thức; Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn – tham số biến thiên – hằng số biến
thiên; Lớp các bài toán hồi quy và hệ số đối xứng, phản đối xứng; Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình,
phạm vi kiến thức phù hợp với các bạn học sinh THCS (lớp 8, lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, các bạn học sinh
THPT thi học sinh giỏi Toán các cấp và luyện thi vào hệ đại học, cao đẳng, cao hơn là tài liệu tham khảo dành cho
các thầy cơ giáo và các bạn u Tốn khác.
I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.
2.
3.
4.
5.
Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, hằng đẳng thức.
Nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Nắm vững các phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai.
Sử dụng thành thạo các ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương).
Kỹ năng giải hệ phương trình cơ bản – hệ đối xứng các loại.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4
II. MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC
Bài tốn 1. Giải phương trình x 4 x3 4 x 2 5 x 3 0
x .
Lời giải 1.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 3 x 1 2 x 2 x 1 2 x x 1 3 x 1 0 x 1 x 3 2 x 2 2 x 3 0
x 1 x3 3 x 2 x 2 3 x x 3 0 x 1 x 2 x 3 x x 3 x 3 0
x 1; x 3
x 1 x 3 x 2 x 1 0 2
x x 1 0
Phương trình (*) vơ nghiệm do 3 0 . Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 3;1 .
Lời giải 2.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 4 2 x 3 3 x 2 x3 2 x 2 3 x x 2 2 x 3 0 x 2 x 2 2 x 3 x x 2 2 x 3 x 2 2 x 3 0
x 1; x 3
x 2 x 1 x 2 2 x 3 0 2 x 2 2 x 2 x 1 x 3 0 2
x 3;1
2
x x 1 1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Lời giải 3.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 4 x 2 x 2 2 x 2 5 x 3 0 4 x 4 4 x 2 x 2 8 x 2 20 x 12 0
2
4 x 4 4 x 2 x 2 x 2 4 x 4 9 x 2 24 x 16 2 x 2 x 2 3x 4
2
2
2 x 2 2 x 2 2 x 2 4 x 6 0 x 1 x 2 1 x 1 x 3 0 x 3;1
Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm x 3; x 1 .
Nhận xét.
Ngồi 3 lời giải phía trên, bài tốn cịn ít nhất một lời giải sử dụng ẩn phụ khơng hồn tồn – tham số biến
thiên, xin khơng trình bày. Lời giải 1 dựa trên thao tác nhẩm nghiệm đặc biệt của phương trình (tổng các hệ số đa
thức bằng 0 nên tất yếu có nghiệm bằng 1, sử dụng phép nhóm nhân tử đưa về phương trình tích cơ bản). Lời giải 2
sử dụng hệ số bất định phân tích trực tiếp đa thức bậc bốn thành hai tam thức bậc hai, phép nhân trả lại mang tính
hình thức đảm bảo tính tự nhiên cho bài toán. Lời giải 3 khá khéo léo và bất ngờ, sử dụng phân tích hiệu bình
phương sau khi nhân thêm hằng số.
Bài tốn 2. Giải phương trình x 4 4 x3 2 x 2 x 6 0
x .
Lời giải 1.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
x 3 x 2 2 x 2 x 2 2 x x 2 3 x 2 0 x 2 x 3 2 x 2 2 x 3 0
x 2 x 2 x 3 x x 3 x 3 0 x 2 x 3 x 2 x 1 0
x 2; x 3
x 2; x 3
2
2
x 2;3
2
2x 2x 2 0
x x 1 1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5
Lời giải 2.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
x 4 5x3 6 x 2 x3 5 x2 6 x x2 5x 6 0
x2 x 2 5x 6 x x 2 5 x 6 x2 5x 6 0
x 2; x 3
x 2 x 1 x 2 5 x 6 0 x 2 x 1 x 2 x 3 0 2
x x 1 0
Phương trình [*] vơ nghiệm vì 0 . Kết luận nghiệm S 2;3 .
Lời giải 3.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 4 7 4 x x 2 5 x 2 x 6 0 4 x 4 4 7 4 x x 2 20 x 2 4 x 24 0
2
2
4 x 4 4 7 4 x x 2 7 4 x 36 x 2 60 x 25 2 x 2 4 x 7 6 x 5
2
2 x 2 10 x 12 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x 3 2 x 2 2 x 2 0
x 2; x 3
x 2; x 3
2
2
x 2;3
2
x x 1 1
2x 2x 2 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Lời giải 4.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với x 4 7 4 x x 2 5 x 2 x 6 0 . Đặt x 2 t thu được
t 2 7 4 x t 5 x 2 x 6 t 2 xt t 5 x 2 5 xt 5 x 6 x 6t 6 0
t t x 1 5 x x t 1 6 x t 1 0 t 5 x 6 t x 1 0
x 2; x 3
x 2 x 1 x 2 5 x 6 0 x 2 x 1 x 2 x 3 0 2
x x 1 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Nhận xét.
Bài tốn 2 cũng có 4 lời giải tương tự đối với bài tốn 1, trong đó lời giải 4 sử dụng phương pháp ẩn phụ khơng
hồn tồn – tham số biến thiên, vấn đề kỹ hơn xin trình bày sau. Phương trình đề bài vẫn có nghiệm nguyên đặc
biệt nên vẫn sử dụng nhóm nhân tử (hoặc lược đồ Horne, chia đa thức...) đưa về phương trình tích bình thường,
đây là nội dung lời giải 1. Lời giải 3 sử dụng phân tích hiệu bình phương sau khi nhân thêm hằng số 4 vào hai vế
tương ứng (lưu ý nhân thêm 4 chỉ tăng tính thẩm mỹ). Lời giải 2 sử dụng hệ số bất định, đây là một phương pháp
mạnh phân tích đa thức hệ số nguyên khả quy thành nhân tử, tuy cịn nhiều khó khăn khi các hệ số ngày càng lớn.
Cụ thể hóa bài tốn 2 với phương pháp hệ số bất định.
Giả sử có phân tích
x 4 4 x 3 2 x 2 x 6 ax 2 bx c mx 2 nx p amx 4 an bm x3 ap bn mc x 2 bp cn x cp
an bm 4
n b 4
ap bn mc 2
p bn c 2
Dễ thấy a m 1 . Sử dụng đồng nhất thức ta có
bp cn 1
bp cn 1
cp 6
cp 6
Giải hệ phương trình trên cũng khá phức tạp, để đơn giản hóa chúng ta có thể thử chọn
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6
n b 4
n 13
c 2; p 3 3b 2n 1 b 9 (Loại).
bn 3
bn 3
n b 4
n 9
c 3; p 2 2b 3n 1 b 13 (Loại).
bn 3
bn 3
n b 4 n 5
c 1; p 6 6b n 1 b 1 (Nhận).
bn 5
bn 5
Chú ý là còn nhiều trường hợp khác, tuy nhiên chỉ cần dùng một kết quả là bài toán coi như kết thúc, vì các
nghiệm hốn vị cho nhau trong các trường hợp. Kết quả thu được x 2 x 1 x 2 5 x 6 0 , từ đây nhân trả lại
sẽ thu được lời giải tự nhiên hơn.
Bài toán 3. Giải phương trình x 4 10 x 3 35 x 2 50 x 24 0
x .
Lời giải 1.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 4 3x 3 2 x 2 7 x 3 21x 2 24 x 12 x 2 36 x 24 0
x 2 x 2 3x 2 7 x x 2 3 x 2 12 x 2 3 x 2 0
x 2 7 x 12 x 2 3 x 2 0
x 3 x 4 x 1 x 2 0 x 1; 2;3; 4
Kết luận phương trình đã cho có bốn nghiệm như trên.
Lời giải 2.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
x 4 10 x 3 25 x 2 10 x 2 50 x 24 0 x 2 5 x 10 x 2 5 x 24 0 .
Đặt x 2 5 x t thì thu được
t 2 10t 24 0 t 4 t 6 0 x 2 5 x 6 x 2 5 x 4 0
x 2 x 3 x 1 x 4 0 x 1; x 2; x 3; x 4
Vậy phương trình đã cho có S 1; 2;3; 4 .
Bài tốn 4. Giải phương trình x 4 3x 3 5 x 2 4 x 2 0
x .
Lời giải 1.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 x 2 2 x 2 x x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 0 x 2 2 x 2 x 2 x 1 0
x 2 2 1
x 2 2 1 2 x 12 1 0
x 2 x 2 4 x 4 x 2 0
2
2 x 1 1
Hai phương trình hệ quả vơ nghiệm, kết luận phương trình ban đầu vơ nghiệm.
Lời giải 2.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
2
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7
2
x 4 3x 3 x 2 2 x 2 4 x 2 0 x 4 3 x 1 x 2 2 x 1 0 .
x 2 x 1 0; 0
Đặt x 2 u; x 1 v thu được u 2 3uv 2v 2 0 u v u 2v 0 2
x 2 x 2 0; 0
Vậy phương trình ban đầu vơ nghiệm.
Lời giải 3.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
x 4 3x 3 x 2 2 x 2 4 x 2 4 x 4 4 3 x 3 x 2 4 2 x 2 4 x 2
2
4 x 4 4.3 x 1 x 2 9 x 1 8 2 x 2 4 x 2 9 x 1
2
x 12 1
2 x 3 x 3 x 1 2 x 4 x 4 2 x 2 x 2 0
2
2
x 1 x 1
Kết luận phương trình đã cho vơ nghiệm.
2
2
2
2
2
Nhận xét.
Bài tốn 4 lúc này đã trở nên vô nghiệm nên thao tác thử nghiệm và dùng nhóm nhân tử theo nghiệm là bất khả
thi. Trong trường hợp đó các bạn có thể sử dụng hệ số bất định hoặc quy về dạng đồng bậc như lời giải 2. Lời giải
3 sử dụng phân tích hằng đẳng thức cũng rất ấn tượng. Trong phần đầu tài liệu tác giả chú trọng trình bày các lời
giải theo hướng hệ số bất định hoặc phân tích hằng đẳng thức, các bạn chú ý nhé.
Bài tốn 5. Giải phương trình x 4 10 x 3 9 x 2 24 x 9 0
Lời giải 1.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
x .
2
x 4 10 x 3 25 x 2 16 x 2 24 x 9 x 2 5 x 4 x 3
2
1 13 1 13 9 69 9 69
x 2 x 3 x 2 9 x 3 0 x
;
;
;
2
2
2
2
Lời giải 2.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
x 2 x 2 9 x 3 x x 2 9 x 3 3 x 2 9 x 3 0
1 13 1 13 9 69 9 69
x 2 x 3 x 2 9 x 3 0 x
;
;
;
2
2
2
2
1 13 1 13 9 69 9 69
;
;
;
Kết luận tập hợp nghiệm S
.
2
2
2
2
Nhận xét.
Dễ thấy các nghiệm đều vô tỷ nên có thể thấy các phương pháp nhẩm nghiệm nguyên nói chung bất khả thi,
(mặc dù sử dụng định lý Viete để suy ra nhân tử rất thành công), hơn nữa bài tốn cũng khơng nằm trong các dạng
đặc biệt mà ta đã biết. Trong trường hợp này các bạn có thể nghĩ tới kỹ thuật phân tích hằng đẳng thức, đưa bài
toán về nhân tử một cách tự nhiên như lời giải 1.
Vì sao chúng ta lại có x 4 10 x 3 9 x 2 24 x 9 x 2 x 3 x 2 9 x 3 ?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8
Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Cụ thể là do hệ số hạng tử chứa x 4 bằng 1 nên giả định
x 4 10 x 3 9 x 2 24 x 9 x 2 ax b x 2 cx d x 4 a c x 3 b d ac x 2 ad bc x bd .
Trong đó dễ thấy b; d 9; 1 , 9;1 , 3; 3 . Hốn vị vẫn khơng thay đổi kết quả bài toán.
a c 10
b d ac 9
Sử dụng đồng nhất hệ số
và b; d 9; 1 , 9;1 , 3; 3 suy ra các hệ số a, b, c, d .
ad bc 24
bd 9
Nếu tích hệ số bd quá lớn, các bạn có thể sử dụng phép gán giá trị và thử chọn.
Bài toán 6. Giải phương trình 21x 2 x 4 10 x 3
x .
Lời giải 1.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 x 2 5 x 3 5 x x 2 5 x 3 x 2 5 x 3 0
5 21 5 21 5 13 5 13
x 2 5 x 1 x 2 5 x 3 0 x
;
;
;
2
2
2
2
Kết luận phương trình ban đầu có ba nghiệm.
Lời giải 2.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
2
25 x 2 10 x 1 x 4 4 x 2 4 5 x 1 x 2 2
2
5 21 5 21 5 13 5 13
x 2 5 x 1 x 2 5 x 3 0 x
;
;
;
2
2
2
2
Kết luận phương trình đã cho có bốn nghiệm.
Bài tốn 7. Giải phương trình x 4 1 9 x 2 6 x
x .
Lời giải 1.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
x 4 9 x 2 6 x 1 x 4 3 x 1 0 x 2 3 x 1 x 2 3x 1 0
3 13
3 13
3 5
3 5
;x
;x
;x
2
2
2
2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm.
Lời giải 2.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 x 2 3x 1 3 x x 2 3x 1 x 2 3 x 1 0
x
3 13 3 13 3 5 3 5
x 2 3x 1 x 2 3 x 1 0 x
;
;
;
2
2
2
2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm.
Bài tốn 8. Giải phương trình x 4 7 x 3 2 x 2 28 x 24 0
Lời giải 1.
Điều kiện x .
x .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9
Phương trình đã cho tương đương với
x 4 7 x 3 2 x 2 28 x 24 0 x 3 x 1 6 x 2 x 1 4 x x 1 24 x 1 0
x 3 6 x 2 4 x 24 x 1 0 x 1 x 2 x 2 4 x x 2 12 x 2 0
x 1 x 2 x 2 4 x 12 0 x 1 x 2 x 2 x 6 0 x 2;1; 2; 6
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm.
Lời giải 2.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
x 2 x 2 4 7 x x 2 4 6 x 2 4 0 x 2 7 x 6 x 2 4 0
x 1 x 6 x 2 x 2 0 x 2;1; 2; 6
Kết luận tập nghiệm S 2;1; 2; 6 .
Lời giải 3.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
x 4 2 7 x x 2 4 7 x 6 0 4 x 4 4 2 7 x x 2 16 7 x 6
2
2
4 x 4 4 2 7 x x 2 2 7 x 2 7 x 16 7 x 6
2
2
2 x 2 7 x 2 7 x 10 2 x 2 8 2 x 2 14 x 12 0
x 2 7 x 6 x 2 4 0 x 1 x 6 x 2 x 2 0 x 2;1; 2; 6
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm.
Bài tốn 9. Giải phương trình x 4 2 x 2 8 x 4 0
x .
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
2
x 4 4 x 2 4 2 x 2 8x 8 x2 2 2 x 2 x2 2 x 2 2 2
x
2
2x 2 2 2 0 .
x 2 2 x 2 2 2 0, 0 , phương trình này vơ nghiệm.
2 8 22
2 8 2 2
;x
.
2
2
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm.
x2 2x 2 2 2 0 x
x
Bài toán 10. Giải phương trình x 4 4 x 3 3 x 2 14 x 7 0
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
x 4 4 x 3 4 x 2 7 x 2 14 x 7 x 2 2 x 7 x 1
x2 2 x 7 x 7
o
x2 2x 7 x 7 0 x
x
2
2
2x 7 x 7 0
2 7 11
2 7 11
;x
2
2
7 2 11
7 2 11
o x2 2x 7x 7 0 x
.
;x
2
2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm.
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10
Nhận xét.
Đối với các phương trình – bất phương trình bậc bốn khuyết hạng tử chứa x 3 hoặc x 2 chúng ta có thể quy về
2
2
phân tích hằng đẳng thức dưới dạng m ax 2 b n cx d . Cụ thể hóa phân tích đối với một số bài toán
Bài toán 6. Giải phương trình 21x 2 x 4 10 x 3 .
2
2
Biến đổi x 4 21x 2 10 x 3 x 2 b 21x 2 10 x 3 2bx 2 b 2 x 2 b 21 2b x 2 10 x b 2 3 .
Chú ý mục tiêu 21 2b x 2 10 x b 2 3 n cx d
2
[*].
2
Giả định [*] là hai phương trình ẩn x tương đương 21 2b x 2 10 x b 2 3 0 và n cx d 0 .
2
Mặt khác phương trình n cx d 0 ln có nghiệm x duy nhất, do vậy mục tiêu [*] tồn tại khi và chỉ khi phương
trình 21 2b x 2 10 x b 2 3 0 có nghiệm kép (mặc định bỏ trường hợp hệ số đầu tiên bằng 0). Nghĩa là
x 25 21 2b b 2 3 0 2b3 21b 2 6b 88 0 b 2 2b2 25b 44 0 .
2
2
Chọn nghiệm hữu tỷ b 2 ta thu được kết quả x 2 2 5 x 1 .
Bài tốn 9. Giải phương trình x 4 2 x 2 8 x 4 0 .
2
Biến đổi x 4 2 x 2 8 x 4 x 2 a 2 x 2 8 x 4 2ax 2 a 2 2 2a x 2 8 x a 2 4
2
Chú ý mục tiêu 2 2a x 2 8 x a 2 4 n cx d .
Phương trình 2 2a x 2 8 x a 2 4 0 có nghiệm duy kép khi và chỉ khi
x 16 2 2a a 2 4 0 a 3 a 2 4a 12 0 a 2 a 2 a 6 0 .
2
2
Chọn nghiệm hữu tỷ a 2 ta thu được kết quả x 2 2 2 x 2 .
Bài tốn 11. Giải phương trình x 4 8 3 x 4
x .
Lời giải 1.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
2
x 4 4 x 2 4 4 x 2 24 x 36 x 2 2 2 x 6 x 2 2 x 8 x 2 2 x 4 0
2
2
x 1 7 x 1 5 0 x 1 5 x 5 1; x 1 5
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Lời giải 2.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 x 2 2 x 4 2 x x2 2 x 4 8 x 2 2 x 4 0
x2 2 x 8 0
x 2 x 8 x 2 x 4 0 2
x
x 2x 4 0
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm như trên.
2
2
Bài tốn 12. Giải phương trình x 4 4 x 1
Lời giải.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
5 1;1 5
x .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11
x2 2x 1 2 0
x 2 x 1 2 x 4 x 2 x 1 2 x 1
x2 1 2x 2 0
4
2
2
2
2
2
2 4 22
2 4 2 2
;x
.
2
2
x 2 1 2 x 2 0, 0 nên trường hợp này vô nghiệm.
Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm.
x2 2x 1 2 0 x
Bài toán 13. Giải phương trình x 4 8 x 7
x .
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x2 1 2x 2 2
2
2
x 4 2 x 2 1 2 x 2 8 x 8 x 2 1 2 x 2
x2 2x 2 2 1 0
2 8 22
2 8 2 2
;x
.
2
2
x 2 2 x 2 2 1 0, 0 nên trường hợp này vô nghiệm.
x2 1 2x 2 2 x
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x
2 8 2 2
2 8 22
;x
.
2
2
Nhận xét.
Quan sát các bài toán 10, 11, 12, 13 các bạn có thể thấy nghiệm của phương trình có dạng vơ tỷ rất phức tạp,
ngun do hệ quả thu được là các phương trình bậc hai với hệ số không nguyên. Điều này gây cản trở cho thao tác
sử dụng hệ số bất định. Trong những trường hợp này phương án khả thi chỉ có thể là đặt ẩn phụ khơng hồn tồn
hoặc phân tích hằng đẳng thức như trên. Phép phân tích hằng đẳng thức vơ cùng cơ bản, thuần túy, địi hỏi tư duy
không quá sâu nhưng vẫn yêu cầu sự khéo léo trong biến đổi, hoàn toàn phù hợp với các bạn học sinh thế hệ
THCS. Để đi sâu hơn nữa mời q bạn theo dõi các ví dụ tiếp theo.
Bài tốn 14. Giải phương trình x 4 x 2 4 x 3
x .
Lời giải 1.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x2 x 3 0
2
2
x 4 2 x 2 1 x 2 4 x 4 x 2 1 x 2 2
x x 1 0
2
x x 3 0, 0 nên phương trình vơ nghiệm.
1 5
1 5
.
;x
2
2
Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm.
Lời giải 2.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 x 2 x 1 x x 2 x 1 3 x 2 x 1 0 x 2 x 3 x 2 x 1 0
x2 x 1 0 x
x 2 x 1 2 5
1 5
1 5
x
;x
2
2
2
x x 1 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12
Bài toán 15. Giải phương trình x 4 3x 2 10 x 4
x .
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 1 5 x 1
x 2 x 1 5 x 10 x 5 x 1 5 x 1
x 2 1 5 x 1
4
2
2
2
2
2
5 1 4 5
5 1 4 5
;x
.
2
2
x 2 5 x 5 1 0, 0 nên trường hợp này vơ nghiệm.
Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm.
x 2 1 5 x 1 x 2 5 x 5 1 0 x
Bài toán 16. Giải phương trình x 4 2 x 2 8 x 3
x .
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
x 4 2 x 2 1 4 x 2 8 x 4 x 2 1 2 x 2
2
x 2 2 x 3 x 2 2 x 1 0 x 1 2;1 2
Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S 1 2;1 2 .
Bài tốn 17. Giải phương trình x 4 2 x 3 x 132
x .
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
x 4 2 x 3 x 2 x 2 x 132 x 2 x x 2 x 132 0
x 2 x 12 x 2 x 11 0 x 4; x 3
Kết luận S 3; 4 .
Bài tốn 18. Giải phương trình x 4 10 x 2 4 x 14
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x .
x 8 x 16 2 x 4 x 2 x 4
4
2
x2 2x 2 4 0 x
2
2
2
x 2 4 2 x 1
2 x 1
x 2 4 2 1 x
2
2 18 4 2
2 18 4 2
;x
.
2
2
2 18 4 2
2 18 4 2
;x
.
2
2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm.
x2 2x 4 2 0 x
Bài toán 19. Giải phương trình x 4 6 x3 16 x 2 40 x 16
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
13
2
x 4 6 x3 9 x 2 25 x 2 40 x 16 x 2 3x 5 x 4
2
3 .
x 2 2 x 4 x 2 8 x 4 0 x 1 5; 1 5; 4 2 3; 4 2 3
Kết luận tập nghiệm S 1 5; 1 5; 4 2 3; 4 2
x .
Bài toán 20. Giải phương trình x 4 6 x3 8 x 2 2 x 1
Lời giải 1.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
x 4 6 x3 9 x 2 x 2 2 x 1 x 2 3 x x 1
2
x 2 4 x 1 x 2 2 x 1 0 x 2 3; 2 3;1 2;1 2
Kết luận tập nghiệm S 2 3; 2 3;1 2;1 2 .
Lời giải 2.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 x 2 2 x 1 4 x x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 0
x 2 2 x 1 x 2 4 x 1 0 x 2 3; 2 3;1 2;1 2
Kết luận tập nghiệm S 2 3; 2 3;1 2;1 2 .
Bài toán 21. Giải phương trình x x 3 4 x 2 12 9
x .
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 4 4 x 3 12 x 9 x 4 4 x 3 4 x 2 4 x 2 12 x 9
2
2
x 2 2 x 2 x 3 x 2 3 x 2 4 x 3 0
x 2 7; x 2 7
Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x 2 7; x 2 7 .
Bài toán 22. Giải phương trình x 4 2 x 3 6 x 2 10 x 3 0
x .
Lời giải 1.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 x 2 4 x 3 2 x x 2 4 x 3 x 2 4 x 3 0 x 2 2 x 1 x 2 4 x 3 0
x 2 2 x 1 x 1 x 3 0 x 1; x 3; x 1 2; x 1 2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm S 1; 3;1 2;1 2
Lời giải 2.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
x 4 2 x 2 x 1 x 2 2 x 1 9 x 2 12 x 4 x 2 x 1 3x 2
2
x 2 2 x 1 x 2 4 x 3 0 x 2 2 x 1 x 1 x 3 0
x 1; x 3; x 1 2; x 1 2
Kết luận tập hợp nghiệm S 1; 3;1 2;1 2 .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
14
Nhận xét.
Đối với các phương trình đa thức bậc bốn khả quy, sử dụng hệ số bất định là một lựa chọn phổ biến đưa về
phương trình tích, tuy nhiên chưa tối ưu đối với một số trường hợp mà phương trình bậc hai hệ quả có hệ số khơng
ngun. Trong hồn cảnh đó, thao tác phân tích hằng đẳng thức trở nên hiệu quả, cơ bản và thú vị.
Với các đa thức bậc bốn đầy đủ như bài toán 22, các bạn có thể quy về dạng tổng quát
2
2
2
2
n
m ax 2 bx c n dx 2 ex f ax 2 bx c k dx 2 ex f ; k .
m
Để phân tích được hằng đẳng thức như thế này cần khéo léo và thủ thuật. Cách làm truyền thống vẫn dựa trên lý
thuyết phương trình tương đương – đồng nhất thức như các bài toán hệ số khuyết. Xin cụ thể hóa bài tốn 22.
Bài tốn 22. Giải phương trình x 4 2 x 3 6 x 2 10 x 3 0
x .
2
2
1 2
2x a
2x a
2
2
2
Biến đổi x 2 x a x
6 x 10 x 3 ax
a 7 x a 10 x a 3 .
4
2
2
1
2
2
Dễ thấy a 7 x 2 a 10 x a 2 3 k ex f k a 10 a 7 a 2 12 0 .
4
3
2
a 6a 8a 16 0 a 2 a 2 8a 8 0; a 2 .
4
2
2
2
Khi đó ta có x 2 x 1 3x 2 , ý tưởng bài tốn cơ bản hồn thiện.
x .
Bài tốn 23. Giải phương trình x 4 2 x 3 11x 2 12 x 3
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 x 3 2 x 1
2
2
x 4 2 x 3 x 2 12 x 2 12 x 3 x 2 x 3 2 x 1
x 2 x 3 2 x 1
2 3 1 13
2 3 1 13
x2 1 2 3 x 3 0 x
.
;x
2
2
2 3 1 13
2 3 1 13
.
x2 1 2 3 x 3 0 x
;x
2
2
Kết luận phương trình ban đầu có bốn nghiệm kể trên.
Bài tốn 24. Giải phương trình 4 x 4 4 x 3 3x 2 6 x 7 0
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x .
2
4 x 4 x x 1 x 2 x 1 2 x 8 x 8 2 x x 1 2 x 2
4
2
2
1 2 x 1 2
2
2
2
2 x 2 x 1 2 x 2
2 x 2 x 1 2 x 2
2 1 14 2 5 2 1 14 2 5
;
.
4
4
2 0, 0 nên trường hợp này vô nghiệm.
2 x2 1 2 x 1 2 2 0 x
2 x2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Bài tốn 25. Giải phương trình 2 x 4 4 x 3 3 x 2 2 x 1 0
Lời giải.
x .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
15
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
2 x 4 4 x 2 x 1 2 x 2 2 x 1 9 x 2 6 x 1 2 x 2 x 1 3x 1
2 x2
2 x2
2 3 x
2
2 3 x 2 1 0
2 1 0
o
2 x2
2 3 x 2 1 0 x 2 1; x
o
2 x2
2 3 x 2 1 0 x 2 1; x
2
.
2
2
.
2
1
1
Kết luận nghiệm S 2 1; 2 1;
;
.
2
2
Nhận xét.
Tác giả xin thực hành phân tích hằng đẳng thức đối với ba bài tốn 23, 24, 25.
Bài tốn 23. Giải phương trình x 4 2 x 3 11x 2 12 x 3
x .
Biến đổi
2
2
2
2x a
a2
2x a
2x a
x x 2x a
11x 2 12 x 3
ax 2 x 2
12 a x 2 12 a x 3 .
2
4
2
2
Mục tiêu
a2
2
2
12 a x 2 12 a x 3 k cx d ; k x 12 a 12 a a2 12 0
4
a a 12 a 1 0 a 0;1; 12
Kết quả rất đẹp đẽ, ba nghiệm đều nguyên. Mặc định bỏ trường hợp a 12 .
4
2
2
2
Với a 0 x 2 x 3 2 x 1 , đây chính là kết quả dẫn đến lời giải phía trước.
2
2
x 1
13
2
2
2
Với a 1 x 2
13 x 13x 2 x x 1 13 2 x 1 .
2
4
Trường hợp thứ 2 dễ thấy khơng thỏa mãn.
Bài tốn 24. Giải phương trình 4 x 4 4 x 3 3x 2 6 x 7 0
x .
Biến đổi
2
2
4x a
4x a
2
4 x4 x 2 4 x a
3 x 2 6 x 7
ax
4
4
2
a2
2 4x a
a
2
2x
a 2 x 6 x 7
4
16
2
2
a
2
a
k cx d .
Theo đuổi mục tiêu a 2 x 2 6 x 7
16
2
2
a
1
x 6 a 2 a 2 112 0 a 3 3a 2 88a 368 0 a 4 a 2 a 92 0 a 4 .
2
4
2
2
Suy ra 2 x 2 x 1 2 x 2 . Tiếp tục giải hai phương trình bậc hai cơ bản.
Bài tốn 25. Giải phương trình 2 x 4 4 x 3 3 x 2 2 x 1 0
Biến đổi
x .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
16
2
2
4
2x a
2x a
2
2
2
2 x x 2x a
3 x 2 x 1 2 2 2ax
2
2
2x a
1 2
2
2 x2
2a 5 x 2a 2 x a 1
2
2
3
2
1
Cố định mục tiêu x a 1 2a 5 a 2 1 0 2a 3 3a 2 8a 12 0 a 2; ; 2; .
2
2
2
2
Thử các giá trị ta chọn a 2 2 x 2 x 1 3 x 1 và biến đổi tuần tự để lời gian được tự nhiên.
Bài tốn 26. Giải phương trình 2 x 4 4 x 3 6 x 2 64 x 73 0
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x .
2
2 x 4 2 x 2 x 1 x 2 2 x 1 12 x 2 60 x 75 2 x 2 x 1 3 2 x 5
2 x 2 x 1 3 2 x 5
2 x 2 x 1 3 2 x 5
1
2x2
2
1
2
2 2 3 x 2 5 3 0, 6 24 6 0 , trường hợp này vô nghiệm.
2 2 3 24 6 6 2 2 3 24 6 6
2 2 3 x 2 5 3 0 x
;
.
2 2
2 2
Kết luận phương trình có hai nghiệm.
2
2x2
Nhận xét.
Bài tốn này các bạn có thể nhận thấy vẫn quy về dạng
2
2
2
m ax 2 bx c n dx 2 ex f ax 2 bx c k dx 2 ex f
2
;k
n
m
3
Trong đó k ; d 0 . Đối với các bài toán ad 0 sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Các thao tác phân tích hằng đẳng
2
thức được thực hiện tương tự các bài tốn phía trước. Biến đổi
2
2
2x a
2x a
2
2 x4 x2 2x a
6 x 2 64 x 73 2
2ax
2
2
2
2x a
1 2
2
2 x2
2a 8 x 2a 64 x a 73
2
2
1
2
Chú ý 2a 8 x 2 2a 64 x a 2 73 k cx d . Cho nên
2
2
x a 32 a 4 a 2 146 0 a3 3a 2 210a 440 0
2
a 2 a 2 5a 220 0 a 2 2 x 2 x 1 3 2 x 5
2
Bài tốn về cơ bản hồn tất.
Bài tốn 27. Giải phương trình 2 x 4 x3 6 x 2 x 6 0
x .
Lời giải 1.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
17
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 3 2 2 x 2 x 3 0
2x2 x 3 0
2 x 2 x 3 x 2 x 2 0 2
x x 2 0
Hai phương trình hệ quả đều vơ nghiệm nên phương trình đã cho vơ nghiệm.
Lời giải 2.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
16 x 4 8 x 7 x 2 8 x 2 8 x 48 16 x 4 8 x 7 x 2 x 7 9 x 2 6 x 1
2 x 2 x 3 0
2
2
4 x 2 x 7 3 x 1 4 x 2 4 x 8 4 x 2 4 x 6 0 2
x x 2 0
Kết luận phương trình ban đầu vơ nghiệm.
Bài tốn 28. Giải phương trình 3 x 4 2 x 3 4 x 2 4 x 4 0
x .
Lời giải 1.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 3 x 2 2 x 2 2 3x 2 2 x 2 0 x 2 2 3x 2 2 x 2 0
x2 2
x 2
2
2
2 x x 1 1 x 2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Lời giải 2.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
x 4 2 x 2 x 2 x 2 4 x 4 4 x 4 4 x3 x 2 x 2 x 1 2 x 2 x
2
x2 2
x 2
x 2 3 x 2 x 2 0 2
2
2 x x 1 1 x 2
2
2
Kết luận tập nghiệm S 2; 2 .
Lời giải 3.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
9 x 4 6 x3 12 x 2 12 x 12 0 9 x 4 6 x 2 x 2 x 2 4 x 4 x 2 8 x 16
2
3x x 2 x 4
2
2
x2 2
x 2
2
2
2 x x 1 1 x 2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Bài tốn 29. Giải phương trình x 4 6 x 3 9 x 2 16 x 3 0
Lời giải 1.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x .
2
x 4 2 x 2 3x 2 9 x 2 12 x 4 4 x 2 4 x 1 x 2 3 x 2 2 x 1
x 2 5 x 1 x 2 x 3 0 x
2
5 21
5 21
;x
2
2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
18
Lời giải 2.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 x 2 x 3 5 x x 2 x 3 x 2 x 3 0 x 2 x 3 x 2 5 x 1 0
x 2 x 1 2 5
5 21 5 21
;
x
2
2
x 2 5x 1 0
5 21 5 21
;
Kết luận tập hợp nghiệm S
.
2
2
Bài toán 30. Giải phương trình 8 x 4 4 x 3 10 x 2 2 x 3 0
x .
Lời giải 1.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
4 x 2 2 x 2 1 2 x 2 x 2 1 3 2 x 2 1 0 2 x 2 1 4 x 2 2 x 3 0
1 1 2 13 2 13
;
;
;
x
4
4
2 2
Kết luận phương trình đã cho có bốn nghiệm.
Lời giải 2.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x 4 2 x 2 x 1 x 2 2 x 1 9 x 4 6 x 2 x 2 x 2 4 x 4
2
2
x 2 x 1 3x 2 x 2 2 x 2 1 4 x 2 2 x 3 0
1 1 2 13 2 13
;
;
;
x
4
4
2 2
Lời giải 3.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
2
2
2x 5
2x 5
16 x 4 8 x 3 20 x 2 4 x 6 0 4 x 2 4 x 2 2 x 5
4x 6
2
2
2
2
2
2x 5
4 x2 4 x 1
2
4x2
8 x 2 2 x 5 2 x 1 8 x 2 4 x 6 8 x 2 4 0
2
4
1 1 2 13 2 13
2 x 2 1 4 x 2 2 x 3 0 x
;
;
;
4
4
2 2
Kết luận phương trình đã cho có bốn nghiệm như trên.
Bài tốn 31. Giải phương trình 2 x 4 2 x 3 x 2 4 x 1 0
x .
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
4 x4 4 x3 2 x2 8 x 2 0 4 x 4 4 x2 x 2 x 2 2 x 1 3x 2 6 x 3
2 x 2 x 1 3 x 1
2 x x 1 3 x 1
2 x 2 x 1 3 x 1
2
2
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
19
2 x 2 x 1 3 x 1 2 x 2 1 3 x 3 1 0, 0 nên trường hợp này vô nghiệm.
2 x2
3 1 10 3 4
3 1 10 3 4
;x
.
4
4
3 1 x 1 3 0 x
Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm.
Bài tốn 32. Giải phương trình 3 x 4 2 x 3 14 x 2 6 x 15 0
x .
Lời giải 1.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
4 x 4 4 x 2 x 4 x 2 8 x 16 x 4 2 x 2 x 1 x 2 2 x 1
x 2 3
2 x x 4 x x 1 x 3 3x 2 x 5 0
2
2
x 1 2 x 4
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Lời giải 2.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
3 x 4 2 x 14 x 2 3 2 x 5 0
2
2
2
2
2
2
9 x 4 2.3 x 7 x 2 x 2 14 x 49 9 2 x 5 x 2 14 x 49
2
3x x 7 x 2
2
2
x 2 3
x 3 3 x 2 x 5 0
2
2
x 1 2 x 4
2
2
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Bài tốn 33. Giải phương trình 2 x 4 8 x 3 8 x 2 2 x 17 0
x .
Lời giải.
Điều kiện x .
Phương trình đã cho tương đương với
3 x 4 2 x 2 1 3 x 9 x 2 6 x 1 5 x 4 2 x 2 2 x x 2 4 x 4
2
3 x 2 3x 1 5 x 2 x 2
5 x
3 5 x2
3
2
Giải phương trình (1) thu được x
2
3 x
5 3 3 x 3 2 5 0
1
5 3
2
32 5 0
3 3 5 6 15 20
2
3 5
;x
3 3 5 6 15 20
2
3 5
.
Phương trình (2) vơ nghiệm do 20 6 15 0 .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên.
Bài tốn 34. Giải phương trình x 4 6 x 3 30 x 2 18 x 44 0
Lời giải.
Điều kiện x . Phương trình đã cho tương đương với
x .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
20
4 x 4 4 x 2 x 1 x 2 2 x 1 5 x 4 2 x 2 x 3 x 2 6 x 9
2 5 x2 1 5 x 1 3 5 0
1
2 x 2 x 1 5 x 2 x 3
2 5 x2 1 5 x 1 3 5 0
2
Phương trình (1) có 26 5 62 0 và phương trình (2) có 26 5 62 0 nên (1) và (2) vơ nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
2
2
Nhận xét.
Qua 34 bài tốn trên các bạn độc giả có thể thấy phương trình đa thức bậc bốn khả quy ln đưa được về các
phương trình bậc hai hệ quả. Tùy theo đặc thù mỗi bài tốn các bạn có thể lựa chọn cho mình phương pháp ghép
nhân tử chung, đặt ẩn phụ, hệ số bất định hay phân tích hằng đẳng thức. Nói riêng về phân tích hằng đẳng thức,
một kỹ thuật khá hay và rất cơ bản mà tác giả đã trình bày, xin lưu ý có hai trường hợp
2
2
n
ax2 bx c k dx2 ex f ; k m i
2
m ax 2 bx c k ex f
2
ii
Một số thí dụ đã chứng tỏ rằng (i) luôn quy được về (ii) trong trường hợp các đa thức hệ quả đều có hệ số hữu
tỷ (điển hình là các bài tốn 28 và 29), và làm cách nào để quy được về (ii) thì vấn đề này đã được đề cập. Đối với
trường hợp (i) với hệ số vô tỷ phức tạp như các bài tốn 31, 32 thì việc phân tích có lẽ cần sử dụng đến sự trợ giúp
của máy tính với các thủ thuật, hoặc nếu khơng phụ thuộc ít nhiều vào yếu tố may mắn và kinh nghiệm. Phần tiếp
theo mời các bạn đến với các bài tập bậc cao với phân thức, địi hỏi phân tích hằng đẳng thức ở một góc độ khác
cũng như sự linh hoạt, tổng hợp các kiến thức đã học.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
21
Bài tập tương tự.
Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực
1. x 4 6 x 2 12 x 8 .
2. x 4 6 x3 22 x 2 10 x 1 .
3. x 4 2 x 3 24 x 4 35 x 2 .
4. 21x 2 x 4 10 x 3 .
5. 4 x 4 5 x 2 4 x 3 .
6. 9 x 4 8 x 1 12 x 2 .
7. 35 x 4 6 x 3 13x 2 6 x 3 0 .
8. x 4 2 x3 8 x 1 15 x 2 .
9. x 4 4 x3 5 x 2 6 x 1 .
10. x 4 3x 2 4 x 3 .
11. x 4 8 x 3 7 x 2 12 x 4 .
12. x 4 10 x 3 9 x 2 24 x 9 .
13. x 4 1 10 x 2 8 x .
14. 4 x 4 4 x 3 3 x 2 1 4 x .
15. x 4 5 x 3 5 x 2 5 x 6 0 .
16. x 4 2 x 3 8 x 2 18 x 9 0 .
2
17. x 3 4 8 x 2 x 3 x 2 .
18. x 4 2 x 3 7 x 2 8 x 2 .
19. x 2 4 x 2 x 4 2 x3 .
x4
1.
20. 2
x 12 x 11
21. 4 x 4 2 x 2 12 x 5 .
22. 5 x 4 x 2 6 x 9 .
23. 2 x 4 12 x 3 11x 2 31x 5 0 .
2
24. x 1 x 3 1 x 1 10 x 3 .
25. 5 x 4 1 4 x 2 4 x .
26. x 4 48 x 42 x 2 16 .
27. x 4 13 x 2 24 x 12 .
x 2 14 x
x
28.
.
3
x 8
x2
2
29. 3 x 2 2 15 x 3 10 x 0 .
30. x 4 3 x 2 2 x 2 6 x 4 0 .
31. 3 x 4 6 x 3 5 x 2 2 x 5 0 .
2
4
32. x 2 4 x 21 x 3 .
4
33. 2 x 2 x 2 1 4 x .
34. x 4 11x 2 12 x 11 .
35. x 4 8 10 x 2 25 x .
2
36. x 2 16 16 x 1 .
37. 2 x 4 3 x 2 10 x 3 0 .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
22
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
x 4 19 x 2 10 x 8 0 .
x4 x2 6x 1 0 .
x 4 2 3x2 x 3 3 .
x 4 12 x 2 16 2 x 12 .
x 4 3x 3 3 x 1 0 .
x 4 2 x 2 12 x 8 .
x 4 4 x 3 3 x 2 12 x 16 .
x 4 4 x 3 3 x 2 14 x 12 0 .
x 4 2 x 3 7 x 2 8 x 15 0 .
x 4 2 x 3 6 x 2 7 x 10 0 .
4 x x4 5 x2 5 .
3x 4
4 3x .
10 x 2 9 x 12
x 4 10 x 3 29 x 2 20 x 8 .
x 4 6 x3 9 x 2 2 x 7 0 .
x 4 14 x 3 54 x 2 38 x 11 0 .
x 4 16 x 3 66 x 2 16 x 55 0 .
x 4 16 x 3 57 x 2 52 x 35 0 .
2 x 4 32 x3 127 x 2 38 x 243 .
x 4 4 x 2 8 x 4 5 x 2 x 1 .
57. x 4 10 x3 26 x 2 1 0 .
11x 6
58. x 4
.
6 x 11
59. 8 x 4 30 x 3 29 x 2 1 .
60. x 4 x3 5 x 2 4 x 4 0 .
61. x 4 4 x 3 10 x 2 37 x 14 .
62. 16 x 4 30 x 3 35 x 2 1 0 .
63. 9 x 4 30 x 3 10 x 1 .
64. x 4 12 x3 32 x 2 8 x 4 .
65. 9 x 4 12 x 3 12 x 2 8 x 1 .
66. 9 x 4 30 x 3 16 x 2 6 x 1 .
67. x 4 2 x 3 4 x 2 3x 2 0 .
68. 32 x 4 48 x 3 10 x 2 21x 5 0 .
69. 25 x 4 10 x 3 27 x 2 32 x 2 50 0 .
70. x 4 2 x 3 x 2 10 x 17 0 .
71. 4 x 4 4 x 3 8 x 2 18 x 19 0 .
72. 9 x 4 6 x 3 35 x 2 20 x 2 .
73. 9 x 4 18 x 3 44 x 2 78 x 19 0 .
74. 2 x 4 4 x 3 27 x 2 22 x 95 0 .
75. 5 x 4 12 x3 14 x 2 36 x 19 0 .
76. 58 x 4 32 x 3 52 x 2 2 x 17 .
77. 3 x 4 6 x 3 x 2 116 x 127 .
78. 3 x 4 93 x 2 132 x 41 0 .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
23
Bài toán 35. Giải phương trình x x 2
1
x5
2
x 2 x 1 x 1
x .
Lời giải.
Điều kiện x 1 .
Phương trình đã cho tương đương với
1
x 1 4
1
4
x2 2x
2 x2 2x 1
4
2
2
x 1
x 1
x 1 x 1
2
2
x2 2x 1 x 3
2
2
1
x 3
x 1
2 x 1
2
x 1
x 1
x 2x 1 x 3
x2 x 2 0
2
x 2;1
x 3x 4 0
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x 2; x 1 .
Bài toán 36. Giải phương trình 4 x 2 12 x 10
9
2x 8
x 2x 1 x 1
2
x .
Lời giải.
Điều kiện x 1 .
Phương trình đã cho tương đương với
2
9
2x 8
9
6
2
3
2
4 x 12 x 9
2 1 2 x 3
1
1
2
2
x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
2
2 x 3 x 1 x 4
2 x2 2 x 7 0
1 15
1 15
x4
;x
2 x 3
2
x
2
2
x 1
2 x 3 x 1 x 4
2x 1 0
1 15
1 15
Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm x
.
;x
2
2
2
Bài toán 37. Giải phương trình x 2 x
4
2 x 11
x 4x 4 x 2 4
2
x .
Lời giải.
Điều kiện.
Phương trình đã cho tương đương với
2
2
1
4
2x
1
4
4
2
2
x x
2
1 x
1
1
4 x 22
x2
2 x 22 x 2
x2
2
2
2 x 2 5x 2 2 x 8
2 x 2 3x 6 0
3 57 3 57
2x 1 x 4
;
2
x
2
4
4
2 x2
2 x 5 x 2 2 x 8
2 x 7 x 10 0
Kết luận phương trình có hai nghiệm như trên.
Bài tốn 38. Giải phương trình x 2 4 x 6
2 x2 4 x 3 3 x
x2 2 x 1 1 x
x .
Lời giải.
Điều kiện x 1 .
Phương trình đã cho tương đương với
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
24
2
x 4x 4
2 x 2 2 x 1 1
x2 2x 1
x 1 2
1
2
2
2
1
2 x 2
1 x 2
1
2
x 1
x 1
x 1 x 1
2
2
x 2 3x 2 2 x
x2 2x 0
2
2x
x 2
2
2
x 0; 2
x 3x 2 x 2
x 4x 4 0
x 1
So sánh điều kiện, kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm.
Bài tốn 39. Giải phương trình x x 2
1 4
3
x2 x
x .
Lời giải.
Điều kiện x 0 .
Phương trình đã cho tương đương với
2
2
1 4
2
2
1
1 2x
4 x 1 2 x 1
2
x
x
x
x
x2 x 2 x 1
x2 x 1 0
1 5 1 5 3 5 3 5
2
2
x
;
;
;
2
2
2
2
x x 2 x 1 x 3 x 1 0
1 5 1 5 3 5 3 5
So sánh điều kiện, kết luận phương trình có bốn nghiệm S
;
;
;
.
2
2
2
2
x2 2x 1
Bài toán 40. Giải phương trình x 1 x 3
2x 1
x2
x .
Lời giải.
Điều kiện x 0 .
Phương trình đã cho tương đương với
2
1 2
2
2
2
x 2 4 x 4 2 1 x 2 x 2 x 1 x 2 2 x x 2
x
x
2
x 2 x 2 x 2 3x 2 0 x 2 x 1 x 1 0 x 2; 1;1
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x 2; x 1; x 1 .
Bài tốn 41. Giải phương trình
1
3 2x
2
2x 3
7 16 x 2 8 x
2x 3
x .
Lời giải.
Điều kiện x
3
. Phương trình đã cho tương đương với
2
1
2x 3 6
1
6
2
8 16 x 2 8 x 1
9 4 x 1
2
2
2x 3
2 x 3
2 x 3 2 x 3
2
2
6 x 8 8 x 2 14 x 3
2
2
1
6x 8
3 4 x 1
4 x 1
2
2x 3
2x 3
8 6 x 8 x 14 x 3
8 x 2 20 x 11 0
5 3
5 3
2 14
2 14
2
x
;x
;x
;x
4
4
4
4
8 x 8 x 5 0
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm kể trên.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
25
Bài toán 42. Giải phương trình
1 4 x
4 x 2 3 x 1
2
x
x
x .
Lời giải.
Điều kiện x 0 .
Phương trình đã cho tương đương với
2
2 x 1 2 x 2 3x
1 4
2
1 2x
2
4 4 x 12 x 9
2 x 3
2
x2 x
x
2 x 2 2 x 3 x
2 x2 x 1 0
1
1
2
x 2; ; 1;
2
2
2x 5x 2 0
1 1
Đối chiếu điều kiện ta thu được tập hợp gồm bốn nghiệm S 2; 1; ; .
2 2
Bài tốn 43. Giải phương trình
1 2x
1
2x 8
6
2
2
x
x 1 x 1
x .
Lời giải.
Điều kiện x 1; 0 .
Phương trình đã cho tương đương với
2
1 2 x 8 x 1 7 x 2 2 x 1
x 1 9 x 2 24 x 16
1 2x
1
2
2
x2
x2
x 1
x 1
2
2
x 2 2 x 1 3x 2 4 x
x 1 3x 4
2
2
x x 1
x 2 x 1 3 x 4 x
2 x2 2 x 1 0
1 3 1 3 3 5 3 5
;
;
;
2
x
2
4
4
2
4x 6x 1 0
Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có bốn nghiệm.
Bài tốn 44. Giải phương trình
1 6x
20
20
36
2
2
x
2 x 1 2 x 1
x .
Lời giải.
1
Điều kiện x ; 0 .
2
Phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
2
1 6
4
12
1
2
3x 1
6x 1
9 5
9 3 5
3
5 2x 1
2
x2 x
x
2x 1
x
2 x 1 2 x 1
6 6 5 x2 5 5 x 1 0
6 x 2 5x 1 5 6 x 2 x
1
2
6 6 5 x2 5 5 x 1 0
2
2
6 x 5x 1 5 6 x x
Giải phương trình [1] thu được x
5 5 5 6 14 5
12 12 5
;x
5 5 5 6 14 5
12 12 5
.
Phương trình [2] vơ nghiệm vì 0 .
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm như trên.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CREATED BY GIANG SƠN;
E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
