Bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy giải bài toán hình học bằng phương pháp vecto

Mục Lục
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài khóa luận
2. Mục tiêu của khóa luận
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Phương pháp nghiên cứu
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
7. Cấu trúc của khóa luận
Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học
1.2. Tư duy thuật giải
1.2.1. Khái niệm tư duy
1.2.2. Khái niệm tư duy thuật giải
1.2.3. Quy trình thuật giải
1.3. Các hoạt động hình thành tư duy thuật giải
1.3.1. Các hoạt động hình thành tư duy thuật giải
1.3.2. Mối quan hệ giữa các tình huống diển hình trong dạy học toán
1.4. Vị trí vai trò của thuật giải trong chương trình Toán học ở phổ thông
1.4.1. Đối với bộ môn Toán học
1.4.2. Một số vấn đề thuật giải trong các lĩnh vực khác
1.5. Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán nhằm phát triển
tư duy thuật giải
Kết luận chương I
Chương II: BỒI DƯỠNG TƯ DUY THUẬT GIẢI THÔNG QUA DẠY
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
2.1. Vị trí vectơ trong chương trình phổ thông
2.2. Cơ sở lý thuyết vectơ
2.2.1. Ưu điểm, hạn chế của việc sử dụng công cụ vectơ trong hoạt động giải
toán
2.2.2. Không gian vectơ

1
2.2.3. Hệ các vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
2.2.4. Tích vô hướng của hai vectơ
2.2.5. Tích có hướng của hai vectơ
2.2.6. Tích hỗn tạp
2.3. Các dạng bài toán ứng dụng phương pháp vectơ
2.3.1. Dạng toán chứng minh
2.3.2. Các bài toán quỹ tích dựng hình
2.3.3. Các bài toán tính toán
2.3.4. Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị
2.4. Định hướng về phương pháp
2.5. Bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy giải một số dạng
bài toán
2.5.1. Hệ thống các bài toán
2.5.2. Bồi dưỡng tư duy thuật giải thông qua dạy giải một số dạng bài
toán
2.5.2.1. Dạng toán chứng minh
2.5.2.2. Các bài toán quỹ tích dựng hình
2.5.2.3. Các bài tập về tính toán
2.5.2.4. Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị
Kết luận chương II
Chương 3: THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thử nghiệm
3.2. Nội dung thử nghiệm
3.3. Tổ chức thử nghiệm
3.3.1. Chọn đối tượng thử
nghiệm
3.3.2. Tiến hành thử nghiệm
3.3.3. Đánh giá kết quả thử nghiệm

3.3.4. Kết luận chung về thử nghiệm
KẾT LUẬN CHUNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

2
MỘT SỐ CỤM TỪ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt Giải nghĩa
THPT
S
V
mp
SL
SGK
SBT
ĐLTT
PTTT
ĐC
TN
Trung học phổ thông
Diện tích
Thể tích
Mặt phẳng
Số lượng
Sách giáo khoa
Sách bài tập
Độc lập tuyến tính
Phụ thuộc tuyến tính
Đối chứng
Thực nghiệm

3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài khóa luận
Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa học công nghệ có những bước tiến nhảy
vọt, ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh
mẽ nhằm đào tạo những con người có đầy đủ phẩm chất như năng động, sáng tạo,
tự chủ, có tính tổ chức, tính kỷ luật và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi
giải quyết công việc.
Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản
Việt Nam (Khóa IV, 1993) chỉ rõ: “Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc
đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những
vấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cực thể hiện mục tiêu lớn của đất nước là
dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh”.
Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp
hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) tiếp tục khẳng
định: “Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn
luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương
pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và
thời gian tự học, tự nghiên cứu”.
Điều 24 Luật giáo dục (2005) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, , bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong
quá trình dạy học là bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh.
Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông đặc biệt
trong dạy học toán. Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán có
thuật giải, có quy tắc giải, có sự phân chia thành các bước để giải thì học sinh dễ
tiếp thu lĩnh hội. Thông qua các bước hoạt động, yêu cầu bài toán được giảm dần

phù hợp với khả năng của học sinh.
Bồi dưỡng tư duy thuật giải trong các hoạt động giải toán, đặc biệt là trong
quá trình dạy toán sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học sinh
như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá. Hơn nữa còn hình

4
thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận chi tiết, tính linh
hoạt, tính độc lập, sáng tạo, Qua đó từng bước giúp học sinh thích nghi được yêu
cầu của xã hội, của đất nước đang trên con đường công nghiệp hoá, hiện đại hoá.
Tuy nhiên ở trường phổ thông hiện nay, vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư duy
thuật giải chưa được quan tâm đúng mức. Do đó, giáo viên chưa khai thác tốt các
tình huống và các nội dung dạy học nhằm bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học
sinh. Khi giải toán, học sinh thường bộc lộ những sai sót về tri thức toán học như
về phương pháp suy luận, chứng minh trong hoạt động toán học, thuật giải hay quy
trình tìm ra thuật giải.
Qua thực tế dạy và học giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương
trình hình học lớp 10 và lớp 12 - THPT cho thấy học sinh có những khó khăn trong
khi vận dụng, nhiều khi dạy bài toán nếu giải bằng những phương pháp hình học
thông thường thì khá phức tạp. Một phần vì lí do là các em chưa nắm rõ kiến thức
cơ bản, một phần vì học sinh chưa biết cách tư duy tìm ra thuật giải hay quy trình
thuật giải để giải các bài toán, cụ thể là thuật giải các bài toán bằng phương pháp
vectơ.
Vì vậy, trong nhà trường, việc bồi dưỡng và phát triển tư duy thuật giải cho
học sinh là việc làm cần thiết.
Với những lí do trên nên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Bồi dưỡng
tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy giải bài toán hình học bằng
phương pháp vectơ”.
2. Mục tiêu của khoá luận
Xây dựng quy trình tựa thuật giải theo các dạng bài toán để góp phần giải
quyết khó khăn và bỡ ngỡ của học sinh trong quá trình giải các bài toán hình học

bằng phương pháp vectơ nhằm bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận và tư duy thuật giải, quy trình tựa thuật giải.
- Lựa chọn và hệ thống các dạng bài toán hình học giải bằng phương pháp
vectơ và xây dựng quy trình giải từng dạng bài toán đó. Thông qua đó hình thành
phát triển và bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh.
- Tiến hành thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả
của khóa luận.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng một quy trình tựa thuật giải trong quá trình dạy giải bài toán
hình học bằng phương pháp vectơ thì có thể nâng cao khả năng giải toán cho học

5
sinh giúp các em vận dụng tốt trong việc giải toán và mở rộng bài toán theo những
hướng giải khác nhau và góp phần phát triển, bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học
sinh. Qua đó nâng cao hiệu quả dạy học toán ở trường phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí thuyết dạy học môn toán,
sách giáo khoa hình học lớp 10, lớp 12, sách giáo viên, các đề tài khoa học đã được
công bố liên quan đến tư duy thuật giải và nội dung phương pháp vectơ trong hình học.
- Phương pháp phân tích tổng hợp: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình
tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức một cách đầy đủ và khoa học.
- Phương pháp điều tra quan sát: Dự giờ, trao đổi với một số giáo viên THPT.
- Phương pháp thống kê: Thu thập các số liệu, xử lý và đánh giá số liệu.
- Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Soạn thảo một số giáo án mẫu theo
phương pháp giải bằng thuật giải, chuyển cho các giáo viên trực tiếp giảng dạy
môn toán ở trường THPT nghiên cứu và so sánh với cách giảng dạy thông thường,
cho ý kiến nhận xét để đưa ra kết luận sư phạm.
6. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh THPT.

- Phạm vi nghiên cứu: Dạy giải bài toán hình học bằng phương pháp vectơ.
7. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục khóa luận bao gồm 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Bồi dưỡng tư duy thuật giải thông qua dạy giải bài toán hình học
bằng phương pháp vectơ
Chương 3. Thử nghiệm sư phạm

6
CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học
Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động
giao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học. Còn học tập là một
quá trình xử lý thông tin. Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi
nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối. Học sinh thực hiện
các chức năng này bằng những hoạt động của mình. Thông qua hoạt động thúc đẩy
sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích
cực.
Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ
với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một
số những hoạt động đã phát hiện. Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt
động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ
phức hợp vừa sức.
Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt
là tri thức phương pháp. Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt
động khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có thể
lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn. Do đó cần phân bậc những hoạt
động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học.
Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động.

Đề tài được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt
động làm nền tảng tâm lý học và những quan điểm về nhu cầu, định hướng trong
đổi mới phương pháp dạy học. Nội dung của quan điểm này được thể hiện một
cách tóm tắt qua những tư tưởng chủ đạo sau (theo PGS - Tiến sĩ Vương Dương
Minh):
* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động tương
thích với nội dung và mục đích dạy học.
* Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động.
* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phương
tiện và kết quả của hoạt động.
* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học.

7
1.2. Tư duy thuật giải
1.2.1. Khái niệm về tư duy
Từ điển Tiếng Việt định nghĩa: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận
thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình
thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý”.
Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối quan hệ và liên hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện
thực khách quan.
* Đặc điểm của tư duy:
+ Thứ nhất là tính “có vấn đề”, muốn kích thích được tư duy cần có hai điều
kiện: Trước hết là phải gặp tình huống có vấn đề, tức là ở hoàn cảnh chứa đựng
mục đích mới, cách thức mới mà những hiểu biết cũ không đủ khả năng giải quyết.
Sau nữa vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ và được chuyển thành
nhiệm vụ của cá nhân.
+ Thứ hai là tính gián tiếp: Tư duy phát hiện được bản chất nhờ các phương
tiện, công cụ, kết quả nhận thức, kinh nghiệm của chủ thể được biểu thị qua ngôn
ngữ.

+ Ngoài ra ngôn ngữ còn mang tính khái quát (phản ánh những thuộc tính
chung, những mối quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng), tính
trừu tượng (thoát ly nội dung có tính chất đặc thù của sự vật và hiện tượng). Tư
duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề.
Ngược lại tư duy và những kết quả của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm
giác, tri giác, làm cho khả năng cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn, làm
cho tri giác của con người mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa.
* Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành các
thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của tư duy, vì vậy ngôn ngữ được xem như là
phương tiện của tư duy.
* Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu
đạt bằng từ ngữ, câu,…, ký hiệu, công thức.
* Các giai đoạn của tư duy: Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao
gồm 4 bước cơ bản:
+ Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy (tức là tìm được
câu hỏi cần giải đáp).
+ Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về cách giải
quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.

8
+ Xác minh giả thiết trong thực tiễn. Nếu giả thiết đúng thì qua bước sau,
nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.
+ Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
K.K Platonov đưa ra sơ đồ sau:
* Các thao tác tư duy: Có nhiều thao tác tư duy; phân tích, tổng hợp, so
sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa,….Theo G.Polya: “Khái quát hóa là
chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một
tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu”. Như vậy có thể hiểu khái quát hóa là
thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luật phổ biến của một lớp các đối tượng
hoặc hiện tượng từ một hoặc một số các trường hợp riêng lẻ.

Cũng theo G.Polya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đó”. Đặc biệt
hóa có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lý khái
quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể.
G.Polya cho rằng: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các

9
Nhận thức vấn đề
Đặc biệt hóa
Sàng lọc các liên tưởng, hình thành
giả thuyết
Khẳng định Phủ định
Chính xác hóa
Giải quyết vấn đề
Hành động tư duy mới
mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng”. Cần chú ý rằng,
cùng hai yếu tố hoặc hai đối tượng có thể xác lập được những sự tương tự khác
nhau tùy thuộc vào vấn đề chúng ta cần nghiên cứu.
1.2.2. Khái niệm tư duy thuật giải
a. Thuật giải
Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức
tạp. Đối với một số bài toán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải.
Từ đó, người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải và khái niệm này đã được
dùng từ lâu, kéo dài suốt mấy nghìn năm trong Toán học.
Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ
dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại
kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành thông tin ra
(OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán đó.
Đây chưa là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu, giúp ta
hình dung khái niệm thuật giải một cách trực giác.

* Tính chất của thuật giải
- Tính đơn trị: Tính đơn trị đòi hỏi các thao tác trong thuật giải phải đơn trị,
nghĩa là những lần thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng phải cho
cùng một kết quả. Nói một cách tổng quát, thuật giải cho phép thực hiện đúng các
thao tác, theo đúng trình tự thì được kết quả hoàn toàn xác định duy nhất. Tính
chất này cho phép tự động hóa thuật giải khi lập trình cho thiết bị giải quyết bài
toán.
Ví dụ: Thuật giải phương trình bậc hai
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
- Tính dừng: Tính dừng đòi hỏi thuật giải phải có hữu hạn bước thực hiện để
được kết quả như mong muốn (khi mô tả thuật giải, có thể có các bước vẫn chưa
xác định, nhưng khi thực hiện không được lặp lại mãi).
Ví dụ: Thuật toán Euclide tìm ước số chung lớn nhất của hai số A và B.
Quy trình giải:
+ Bước 1: Phân tích hai số A, B thành tích các thừa số nguyên tố.
+ Bước 2: Tìm thừa số nhỏ nhất của số thứ nhất.
+ Bước 3: Kiểm tra trong số thứ hai có thừa số nào bằng thừa số nhỏ nhất
của số thứ nhất không. Nếu có thì sang bước 4, nếu không thì sang bước 5.
+ Bước 4:
g
Viết riêng thừa số đó.

g
Xóa thừa số đó trong cả hai số.

10
+ Bước 5: Xóa thừa số nhỏ nhất khỏi số thứ nhất.
+ Bước 6: Kiểm tra trong số thứ nhất có còn lại thừa số nào chưa xóa không.

Nếu có thì trở lại Bước 2
→
Bước 3
→
Bước 4
→
Bước 5
→
Bước 6. Nếu
không thì sang bước 7.
+ Bước 7: Nhân tất cả các thừa số đã viết riêng. Tích đó là ước chung lớn
nhất của hai số A và B.
- Tính đúng đắn: Thuật giải phải đúng đắn không được phép cho kết quả sai
hay không đầy đủ, tức là phải giải quyết được đúng đắn vấn đề đã đặt ra, là được
đúng công việc mà ta mong muốn.
Ví dụ: Tính diện tích tam giác ABC theo 3 cạnh của nó.
+ Bước 1: Đưa vào 3 số thực dương a, b, c ứng với 3 cạnh của tam giác.
+ Bước 2: Tính giá trị của biểu thức
2
a b c
P
+ +
=
.
+ Bước 3: Tính giá trị của biểu thức
( ) ( ) ( )
S p p a p b p c
= − − −
.
+ Bước 4: Diện tích tam giác có 3 cạnh a, b, c là S.

+ Bước 5: Kết thúc.
Quy tắc nêu ở trên đã vi phạm tính đúng đắn vì 3 số thực dương bất kỳ
không phải bao giờ cũng biểu thị số đo 3 cạnh của tam giác. Theo cách này thì với
mọi a, b, c là những số thực dương thì ta luôn tính được diện tích tam giác.
Đây là thuật giải tính giá trị biểu thức S, chứ không phải là thuật giải tính
diện tích của tam giác theo 3 cạnh như ta mong muốn. Để nó trở thành thuật giải
như đã định ta phải bổ sung thêm thao tác kiểm tra điều kiện a, b, c biểu thị số đo 3
cạnh của tam giác.
- Tính phổ dụng: Thuật giải phải áp dụng được cho một lớp các bài toán chứ
không phải cho một bài riêng lẻ. Nói cách khác, tất cả các bài toán cùng loại, cùng
kiểu phải được giải bởi thuật giải.
Ví dụ: Thuật giải phương trình bậc nhất
0ax b+ =
, phương trình bậc hai
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
,
- Tính hiệu quả: Thuật giải cho kết quả tối ưu, cụ thể là:
g
Thực hiện nhanh, tốn ít thời gian.
g
Tốn ít thiết bị trung gian.
g
Đáp ứng nhu cầu thực tiễn.
b. Tư duy thuật giải

11
Tư duy toán học là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con
người nhận thức khoa học toán học hay thông qua hình thức áp dụng toán học vào

các khoa học khác. Như vậy, tư duy toán học là tư duy biện chứng.
Tư duy thuật giải là một loại hình thức tư duy toán học. Nó là phương thức
tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:
T
1
: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
thuật giải.
T
2
: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo những
trình tự xác định.
T
3
: Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành
một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.
T
4
: Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
T
5
: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết bài toán.
Trong đó, (T
1
) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (T
2
- T
5
) thể hiện năng
lực xây dựng thuật giải.
Giáo viên trong quá trình dạy học cần phải có ý thức thông qua việc dạy học

các quy tắc mà rèn luyện cho học sinh một loại hình tư duy quan trọng đó là thuật
giải.
1.2.3. Quy trình thuật giải (quy tắc tựa thuật giải)
Trong quá trình dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang
đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật giải nhưng có một số trong các đặc điểm khác
và đã tỏ ra có hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán. Đó là những quy
tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được
theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành
thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó.
Ví dụ: Theo quy trình 4 bước của G.Polya để tìm ra lời giải của một bài toán.
+ Bước 1: Tìm hiểu đề toán.
+ Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
+ Bước 3: Thực hiện chương trình giải.
+ Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Mỗi quy trình có thể chia thành các bước, mỗi bước là một hoạt động nhằm
một mục đích nhất định. Một hoạt động có nhiều thao tác như hoạt động tìm hiểu
nội dung đề toán có thao tác sau: Vẽ hình, chọn kí hiệu, phân tích giả thiết, kết
luận bài toán,…
Quy trình 4 bước của G.Polya được mỗi người vận dụng theo một cách khác

12
nhau và đạt được mức độ thành công khác nhau, nên đây chưa phải là một thuật giải.
Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:
+ Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định.
+ Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị.
+ Quy tắc không bảo đảm chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem
lại kết quả là lời giải của lớp bài toán.
Mặc dầu có một số hạn chế nói trên so với thuật giải, quy tắc tựa thuật giải
cũng vẫn là những tri thức phương pháp có ích cho quá trình hoạt động và giải toán.
Sau đây ta đưa ra một ví dụ minh họa về quy tắc tựa thật giải để thấy được

sự phân biệt giữa quy tắc tựa thuật giải với thuật giải.
Ví dụ: Quy tắc tìm đạo hàm của một hàm số
( )
y f x=
+ Bước 1: Cho
x
số gia
x∆
, tính
( ) ( )
y f x x f x∆ = + ∆ −
.
+ Bước 2: Lập tỉ số
y
x
∆
∆
.
+ Bước 3: Tìm
0x
y
lim
x
∆ →
∆
∆
.
Giới hạn (nếu có) của hàm số trên là đạo hàm của hàm số tại
x
.

Bước 3 không mô tả một cách xác định việc tìm
0x
y
lim
x
∆ →
∆
∆
. Vì vậy, có những
học sinh tuy áp dụng quy tắc nêu trong ví dụ này nhưng vẫn không tính được đạo
hàm của một hàm số cụ thể nào đó, mặc dầu đạo hàm này tồn tại.
Quy trình thuật giải là quy trình gồm một số hữu hạn các hoạt động có mục
đích rõ ràng, cụ thể, được sắp xếp theo một trình tự nhất định, nhằm đi đến kết quả
là giải được một loại công việc nào đó theo đúng yêu cầu đã định.
Ví dụ: Giải phương trình bậc hai
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
+ Bước 1: Xác định a, b, c.
+ Bước 2: Tính
2
4b ac∆ = −
.
+ Bước 3:
g
Nếu
0∆ <
thì phương trình vô nghiệm.

g

Nếu
0∆ =
thì phương trình có nghiệm kép:
1 2
2
b
x x
a
= = −

g
Nếu
0∆ >
thì chuyển sang bước 4.
+ Bước 4: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là

1 2
,
2 2
b b
x x
a a
− − ∆ − + ∆
= =
Quy trình trên để giải cho tất cả các phương trình bậc hai, gồm các đặc điểm sau:
+ Là một dãy hữu hạn các bước sắp xếp theo trình tự nhất định.
+ Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích cụ thể, có bước là một
thao tác sơ cấp, có bước chỉ là gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc là hướng dẫn thao
tác được lựa chọn trong một số hữu hạn trường hợp.

13
+ Sau khi thực hiện xong tất cả các bước thì đi đến kết quả. Quy trình thuật
giải được thể hiện dưới nhiều hình thức như: Ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ phỏng
trình, ngôn ngữ lập trình,
Ví dụ: Giải phương trình bậc hai
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
g
Dạng 1: Ngôn ngữ tự nhiên (Trình bày ở trên)
g
Dạng 2: Sơ đồ khối.
g
Dạng 3: Ngôn ngữ phỏng trình.

14
Hỏi giá trị
0
∆ >
0
=∆
Có 2 nghiệm
phân biệt ,
Có nghiệm kép Vô nghiệm

Kết thúc
2
4b ac
∆ = −
1,2

2
b
x
a
− ± ∆
=
0
∆ <
Bắt
đầu
Thuật giải phương trình bậc hai
Biến
1 2
, , , , ,a b c x x∆
* Bắt đầu:
2
4b ac∆ = −
;
Nếu
0∆ <
thì phương trình vô nghiệm;
Nếu
0∆ =
⇒
Phương trình có nghiệm kép:
1 2
2
b
x x
a

= = −
Kết thúc
Nếu
0∆ >
thì bắt đầu trả lời:
⇒
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− − ∆ − + ∆
= =
Kết thúc
* Kết thúc.
1.3. Các hoạt động hình thành và bồi dưỡng tư duy thuật giải
1.3.1. Các hoạt động hình thành và bồi dưỡng tư duy thuật giải
Tư duy thuật giải là một loại hình thức tư duy toán học. Nó là phương thức
tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:
a. Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
thuật giải cho trước, hay chính là thực hiện thuật giải theo quy tắc tựa thuật giải đã
biết.
b. Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo những
trình tự xác định.
c. Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành
một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.
d. Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
e. Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết bài toán.

Thành phần đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật giải có sẵn.
Bốn thành phần sau thể hiện khả năng xây dựng thuật giải mới. Các thành
phần này có thể được phát biểu vắn tắt như sau:
a. Thực hiện thuật giải đã biết.
b. Phân tách hoạt động.
c. Tường minh hóa thuật giải.
d. Khái quát hóa hoạt động.
e. Chọn con đường tối ưu.
Trong đó, (a) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (b

- e) thể hiện năng lực
xây dựng thuật giải.
1.3.2. Mối quan hệ giữa các tình huống điển hình trong dạy học toán với việc và
bồi dưỡng và phát triển tư duy thuật giải

15
Rèn luyện tri thức, rèn luyện kỹ năng, phát triển tư duy cho học sinh đó là
những nhiệm vụ chủ yếu trong dạy học Toán. Nếu chia tri thức thành hai dạng:
+ Tri thức thực vật (trong Toán học thường là những khái niệm, định lí…).
+ Tri thức phương pháp: Những phương pháp có tính thuật toán (thuật giải),
những phương pháp có tính tìm đoán…
Thì trong dạy học Toán cần coi trọng đúng mức cả hai dạng tri thức đó, tạo
cơ sở cho việc giáo dục toàn diện. Tuy nhiên cần hiểu rằng tri thức phương pháp
ảnh hưởng trực tiếp đến rèn luyện kỹ năng, tri thức phương pháp (nổi bật là
phương pháp có tính thuật giải) đóng vai trò đặc biệt quan trọng vì chúng là cơ sở
định hướng trực tiếp cho mọi hoạt động.
Trong dạy học môn Toán có các tình huống điển hình sau:
+ Dạy học khái niệm.
+ Dạy học định lí.
+ Dạy học giải bài tập.

Mặc dù mỗi tình huống có những đặc điểm khác nhau nhưng thực ra không
hoàn toàn độc lập với nhau, mà chúng có liên quan mật thiết với nhau, hỗ trợ nhau
trong quá trình dạy học.
* Phát triển tư duy thuật giải trong khi dạy học khái niệm: Để nhận dạng và thể
hiện khái niệm ta có thể hướng dẫn học sinh vận dụng tư duy thuật giải.
- Trong trường hợp các dấu hiệu đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội của
nhiều thuộc tính, các phản ví dụ thường được xây dựng khi có một thành phần
trong cấu trúc hội không được thỏa mãn và do đó đối tượng đang xét không thuộc
vào khái niệm.
Ví dụ: Dạy khái niệm cấp số cộng (Đại số và giải tích 11)
“Một cấp số cộng là một dãy số, trong đó mỗi số hạng đứng sau bằng số
hạng đứng trước nó cộng với một số d không đổi” (d là công sai của cấp số cộng).
+ Ta có thể hướng dẫn học sinh như sau:
+ Để xây dựng một cấp số cộng ta làm các bước:
g
Bước 1: Chọn một số làm số hạng đầu tiên
1
u
.
g
Bước 2: Chọn một số (khác không) làm công sai.
g
Bước 3: Viết dãy số:
1 1 1 1
, , 2 , 3 , u u d u d u d+ + +
Dãy số đó là một cấp số cộng.
* Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học các định lí.
Theo GS.TSKH Nguyễn Bá Kim “Dạy học các định lí toán học nhằm đạt
được các yêu cầu sau đây:
- Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ

đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán, cũng như giải quyết
những vấn đề trong thực tiễn…”

16
Ví dụ: Khi dạy định lí dấu tam thức bậc hai, ta thường hướng dẫn học sinh
xét dấu
( ) ( )
2
0f x ax bx c a= + + ≠
theo quy tắc thuật giải như sau:
+ Bước 1: Xác định hệ số a, b, c và dấu của hệ số a
+ Bước 2: Tính
2
4b ac∆ = −
+ Bước 3: Áp dụng định lí dấu của tam thức bậc hai cho các trường hợp sau:
g
Nếu a > 0
0∆ <
thì
( )
0f x x> ∀
0∆ =

( )
0
2
b
f x x
a
> ∀ ≠ −

0∆ >
: Giả sử
1 2
,x x
là nghiệm của phương trình
( )
0f x =
với giả
thiết
1 2
x x<
thì
( )
0f x >
với
( )
1
2
; 0
x x
f x
x x
<

<

>

với
1 2

x x x< <
.
g
Nếu a < 0
0∆ <
thì
( )
0f x x< ∀
0∆ =
:
( )
0
2
b
f x x
a
< ∀ ≠ −
0∆ >
: Giả sử
1 2
,x x
là nghiệm của phương trình
( )
0f x =
với giả
thiết
1 2
x x<
thì
( )

0f x <
với
1
2
x x
x x
<


>

;
( )
0f x >
với
1 2
x x x< <
.
Với quy trình thuật giải thể hiện nội dung định lí sẽ giúp học sinh áp dụng
định lí để làm bài tập một cách dễ dàng.
* Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học giải các bài toán.
Giải toán là một hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học, thông qua dạy
học giải các bài toán sẽ giúp học sinh nắm vững tri thức, rèn luyện kỹ năng kỹ xảo,
phát triển năng lực tư duy, năng lực ứng dụng toán học vào thực tiễn. Không có
một thuật giải tổng quát nào để giải mọi bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua
dạy học giải các bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh những kinh
nghiệm để tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán.
Ví dụ: Hướng dẫn giải bài toán sau:
Cho hình chóp S.ABC, các cạnh bên đều bằng a và cùng tạo với đáy một góc
α

, đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh AB bằng a. Tính thể tích V của
hình chóp đó.
+ Phân tích: Sau khi đã xác định chân đường cao H của hình chóp là trung
điểm của cạnh BC, hướng dẫn học sinh phân tích:
g
Muốn tính V ta phải tính diện tích đáy
ABC
S
∆
và SH
g
Muốn tính SH ta phải giải tam giác SHB.

17
g
Muốn tính
ABC
S
∆
ta phải tính AC.
g
Muốn tính AC ta phải tính BC.
g
Muốn tính BC ta phải tính HB.
g
Muốn tính HB ta phải giải tam giác SHB.
+ Từ sự phân tích trên ta có thuật giải tính thể tích V.
g
Bước 1: Giải tam giác SHB để tính SH và HB.
g

Bước 2: Tính BC.
g
Bước 3: Tính AC.
g
Bước 4: Tính
ABC
S
∆
.
g
Bước 5: Tính V.
1.4. Vị trí vai trò của thuật giải trong chương trình Toán học ở phổ thông
cũng như trong các lĩnh vực khác
1.4.1. Đối với bộ môn Toán học
Trong chương trình Toán học nói chung, chương trình toán học ở bậc THPT
nói riêng thuật giải có vai trò rất quan trọng. Không chỉ các nhà nghiên cứu, các
giáo viên giảng dạy mà các em học sinh đều quan tâm và tìm hiểu về vấn đề này.
Thuật giải gúp các em phát triển năng lực trí tuệ, kỹ năng, kỹ xảo. Giúp các em có
một cái nhìn khái quát hơn về cách giải bài toán. Thuật giải gúp các em định
hướng được quy trình giải bài tập và qua đó tạo niềm tin cho các em về việc tìm ra
kết quả của bài toán. Quy trình thuật giải hay tựa tuật giải sẽ giúp các em tư duy
ngắn gọn, logic, chính xác trong khi giải toán.
Đối với bộ môn toán thuật giải được sử dụng rất nhiều như môn đại số, môn
hình học, môn giải tích, , nhất là trong môn hình học thuật giải được áp dụng để
xây dựng quy trình giải một lớp các bài toán với một phương pháp xác định. Tùy
vào từng dạng bài tập mà ta dựa vào các kiến thức có liên quan để xây dựng thuật
giải phù hợp thuận tiện cho người tham gia giải bài toán và người đọc.
Ví dụ: Thuật giải phương trình bậc nhất
0ax b+ =
; với

,a b∈¡
:
- Bước 1: Chuyển b sang vế phải và đổi dấu:
ax b= −
- Bước 2: Nếu
0a =
thì:
0x b= −
g
Nếu
0b = ⇒
Kết luận: Phương trình vô số nghiệm.
g
Nếu
0b ≠ ⇒
Kết luận: Phương trình vô nghiệm.
g
Nếu
0a ≠
thì sang bước 3.
- Bước 3: Chia cả hai vế cho a, ta được
b
x
a
= −
⇒
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là
b
x
a

= −
Thuật giải trên giúp các em rèn luyện cách giải phương trình với quy trình
chặt chẽ, tránh sai lầm về các trường hợp vô nghiệm, vô số nghiệm, có nghiệm.
Ví dụ: Quy trình xác định giao tuyến qua hai điểm chung của hai mặt phẳng:
- Bước 1: Tìm điểm chung sẵn có của hai mặt phẳng đã cho.

18
Điểm chung sẵn có của hai mặt phẳng đã cho thường được biểu hiện bởi các
trường hợp sau:
+ Là điểm đã cho của hai mặt phẳng.
+ Là điểm của mặt phẳng này lại thuộc một đường thẳng của mặt
phẳng kia.
+ Là điểm của mặt phẳng này, thuộc mặt phẳng kia.
- Bước 2: Tìm hai đường thẳng của hai mặt phẳng đã cho, cùng thuộc mặt
phẳng thứ ba.
- Bước 3: Xác định giao điểm của hai đường thẳng đã tìm được ở bước 2 để
được một điểm chung.
- Bước 4: Xác định đường thẳng qua hai điểm chung tìm được để tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng đã cho.
Ví dụ: Từ đồ thị hàm số
3 2
6 2 3y x x x= − + +
suy ra cách vẽ đồ thị hàm số
3 2
6 2 3y x x x= − + +
. Từ đồ thị (C) của hàm số
( )
y f x=
suy ra cách vẽ đồ thị
(C’) của hàm số

( )
y f x=
.
Xuất phát từ sự phân tích
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
f x khi f x
y f x
f x khi f x
 ≥
= =

− <

Ta có quy trình cách vẽ đồ thị (C’) như sau:
- Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị của (C) thuộc nửa mặt phẳng phía trên
giới hạn bởi
Ox
.
- Bước 2: Lấy đối xứng qua
Ox
phần đồ thị của (C) thuộc nửa mặt phẳng phía
dưới giới hạn bởi
Ox
.
- Bước 3: Kết luận: Đồ thị (C’) bao gồm phần đồ thị của (C) được giữ
nguyên và phần đồ thị của (C) đã được lấy đối xứng qua

Ox
.
Qua những ví dụ trên cho ta thấy vị trí, vai trò to lớn của bộ môn Toán trong
việc phát triển tư duy thuật giải của học sinh. Nếu biết khai thác một cách đúng
đắn thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán trong nhà trường phổ thông.
1.4.2. Một số vấn đề thuật giải trong các lĩnh vực khác
* Trong cuộc sống hằng ngày nhiều hoạt động mang tính chất thuật giải như.
- Xây dựng một ngôi nhà.
- Điều khiển xe máy, ôtô.
- Cách lắp ráp một chiếc laptop,…
Vậy, phát triển tư duy thuật giải trong nhà trường phổ thông là rất cần thiết, vì:
- Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa trong
những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn
cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa. Nó giúp học sinh thấy được nền tảng
của việc tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móc

19
của quá trình thực hiện thuật giải, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một số chức
năng của con người cho máy thực hiện.
- Tư duy thuật giải giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải
bài toán bằng máy tính điện tử. Thật vậy, thiết kế thuật giải là một khâu rất cơ bản
của việc lập trình tư duy thuật giải tạo điều kiện cho học sinh thực hiện tốt khâu đó.
- Tư duy thuật giải giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trường
phổ thông, rõ nét nhất là môn Toán. Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh
hội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi học các phép tính trên những tập
hợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai v.v…
- Tiến hành các hoạt động tư duy thuật giải có thể dẫn đến hình thành tri
thức phương pháp để giải quyết một số vấn đề, góp phần hình thành năng lực giải
quyết vấn đề ở học sinh trong học tập cũng như ngoài cuộc sống
- Tư duy thuật giải cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung

như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, và hình thành những phẩm chất của người
lao động mới như: tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra…
Như vậy việc phát triển tư duy thuật giải trong môn Toán nhằm góp phần
nâng cao chất lượng dạy học môn Toán một cách toàn diện.
1.5. Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán nhằm bồi dưỡng
và phát triển tư duy thuật giải
* Định hướng 1: Thông qua dạy học các quy tắc, phương pháp toán học để hình
thành khái niệm thuật giải và bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh và được thể
hiện qua các cấp học và các môn học.
* Định hướng 2: Phân tích các hoạt động tương thích trên một nội dung toán học
để có thể mô tả, sắp xếp các hoạt động theo một trình tự xác định thuật giải hay tựa
thuật giải.
Theo GS.TSKH Nguyễn Bá Kim, tư duy thuật giải liên hệ chặt chẽ với khái
niệm thuật giải, nó được thể hiện ở những khả năng và đó cũng là các hoạt động
hình thành tư duy thuật giải (5 hoạt động).
Ví dụ: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P)
( )
0 0 0
: : 0
x x y y z z
d P Ax By Cz D
a b c
− − −
= = + + + =
Xét vị trí tương đối của d và (P)
- Quy trình giải:
+ Quy trình 1:
g
Bước 1: Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng d và tọa độ vectơ
pháp tuyến của

( )
P
. Ta có
( )
; ;u a b c=
r
,
( )
; ;n A B C=
r
g
Bước 2: Tính
.k u n=
r r
g
Bước 3: Nếu
0k ≠
thì d cắt
( )
P
.

20
Nếu
0k =
thì chuyển sang bước 4.
g
Bước 4: Thay tọa độ điểm
( )
0 0 0 0

; ;M x y z
vào
( )
P
:
Nếu điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
thỏa mãn phương trình mặt phẳng
( )
P
d⇒

nằm trong
( )
P
.
Nếu điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
không thỏa mãn phương trình mặt phẳng
( )
P
d⇒
song song với
( )
P
.

+ Quy trình 2:
g
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z x ct
= +


= +


= +


g
Bước 2: Thay tọa độ điểm
( )
0 0 0
; ;M x at y bt z ct d+ + + ∈
vào phương
trình tổng quát của mặt phẳng
( )
P
.
Ta có
( ) ( ) ( )

0 0 0
0A x at B y bt c z Ct D+ + + + + + =
, đưa phương trình về
dạng
( )
mt n= ∗
.
g
Bước 3: Nếu phương trình trên vô nghiệm thì
d
không cắt
( )
P
.
Nếu phương trình trên vô số nghiệm thì
( )d P⊂
.
Nếu phương trình trên có một nghiệm
n
t
m
=
(theo
( )
∗
) thì d cắt
( )
P
khi đó ta thay
n

t
m
=
vào phương trình tham số của d, tìm được tọa độ điểm
( )A d P= ∩
.
Trong trường hợp chỉ cần xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt
phẳng
( )
P
thì ta chọn quy trình 1, còn nếu phải tìm tọa độ giao điểm A (nếu có)
của (d) và mặt phẳng
( )
P
thì ta chọn quy trình 2. Ví dụ trên đã rèn luyện cho học
sinh khả năng khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ
thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng và phát hiện thuật giải tối ưu để
giải quyết bài toán.
* Định hướng 3: Tập luyện cho học sinh rèn luyện những thao tác theo một trình tự
xác định phù hợp với thuật giải cho trước. Có thể phát biểu một số quy tắc toán
học thành những thuật giải dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên, sơ đồ khối, ngôn ngữ
phỏng trình,…

21
KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Thuật giải là một trong những vấn đề quan trọng nhất của Toán học. Tư duy
thuật giải được thể hiện qua các cấp học, các môn học của bộ môn Toán. Thuật
giải liên hệ chặt chẽ với các tình huống dạy học điển hình như: Dạy học khái niệm,
dạy học định lí, dạy học giải bài tập, chúng hỗ trợ nhau trong quá trình dạy học. Tư
duy thuật giải có vị trí và vai trò quan trọng rất lớn trong nhà trường phổ thông và

trong cuộc sống hằng ngày, đặc biệt là trong Toán học.
Việc bồi dưỡng và phát triển tư duy thuật giải thông qua dạy giải các bài
toán là phương pháp hiệu quả hơn cả nhằm vào việc nâng cao chất lượng đào tạo
của nhà trường phổ thông.
CHƯƠNG II

22
BỒI DƯỠNG TƯ DUY THUẬT GIẢI THÔNG QUA DẠY GIẢI
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
2.1. Vị trí vectơ trong chương trình phổ thông
Phương pháp vectơ là một trong những phương pháp cơ bản của Toán học.
Phương pháp này không những cung cấp cho học sinh công cụ mới nhất để nghiên
cứu hình học mà còn mang tính chất hiện đại hơn, có nhiều ưu điểm so với phương
pháp truyền thống. Vì vậy chương trình cải cách giáo dục đã đưa phương pháp
vectơ vào dạy trong chương trình hình học ở phổ thông.
* Phương pháp vectơ giữ vai trò quan trọng trong chương trình phổ thông.
- Phương pháp vectơ giúp học sinh tiếp cận những kiến thức Toán học phổ
thông một cách gọn gàng, mạch lạc như những bài toán hình học không gian.
- Phương pháp vectơ là một phương pháp giải toán có hiệu quả một cách
nhanh chóng, tổng quát mà đôi khi không cần phải vẽ hình. Mặt khác chúng có tác
dụng tích cực phát triển tư duy trừu tượng, năng lực phân tích tổng hợp,…
- Phương pháp vectơ trang bị những công cụ giải toán để xây dựng lý thuyết
hình học chặt chẽ cho tinh thần toán học hiện đại, đồng thời trình bày được cách
đại số hóa hình học và hình học hóa đại số
- Phương pháp vectơ giúp hình thành năng lực giải toán cho học sinh, tạo
khả năng cho học sinh làm quen với những phép toán trên các đối tượng không
phải là các số nhưng lại có những tính chất tương tự. Từ đó sẽ dẫn đến sự hiểu biết
về tính thống nhất của toán học, về cú pháp toán đại số, các cấu trúc đại số.
- Phương pháp vectơ tạo điều kiện thực hiện mối quan hệ giữa môn toán và
một số môn học khác trong chương trình phổ thông.

* Nội dung chương trình vectơ phổ thông.
- Chương trình vectơ trong phẳng bao gồm những nội dung sau:
+ Đại cương về vectơ: Khái niệm vectơ, vectơ bằng nhau, vectơ không.
+ Các phép toán trên vectơ: Phép cộng, trừ hai vectơ, tích vectơ với một số
thực, tích vô hướng của hai vectơ.
Trong đó các phép toán trên được trình bày theo thứ tự như sau:
g
Định nghĩa phép toán.
g
Các tính chất.
g
Các bài toán ứng dụng.

23
Ứng dụng của vectơ trong mặt phẳng là để làm công cụ nghiên cứu các hệ
thức lượng trong tam giác, trong đường tròn và các phép biến hình.
- Chương trình vectơ trong không gian. Nội dung về cơ bản các vấn đề vectơ
trong không gian được trình bày tương tự như trong mặt phẳng.
Ví dụ:
Trong mặt phẳng
Hai vectơ cộng tuyến
Không cộng tuyến
Quy tắc hình bình hành
Phân tích một vectơ theo 2 vectơ
Tương tự
Trong không gian
Ba vectơ đồng phẳng
Không đồng phẳng
Quy tắc hình hộp
Phân tích một vectơ theo 3 vectơ

Trong chương trình vectơ ở phổ thông chúng ta cần lưu ý những điểm sau:
+ Ở đầu chương trình hình học thì vectơ là một khái niệm mới.
+ Sử dụng phương pháp vectơ thường phải thoát ly khỏi hình ảnh trực quan,
hình vẽ nên khó tưởng tượng.
+ Việc chuyển đổi ngôn ngữ các bài toán từ ngôn ngữ hình học thông
thường sang ngôn ngữ vectơ và ngược lại.
+ Việc lựa chọn công cụ giải toán.
2.2. Cơ sở lý thuyết vectơ
2.2.1. Ưu điểm, hạn chế của việc sử dụng công cụ vectơ trong hoạt động giải toán
a. Ưu điểm.
Việc sử dụng công cụ vectơ để giải toán cung cấp cho học sinh phương pháp
giải toán phong phú đa dạng. Cùng một quan hệ giữa các hình hình học, cùng một
tính chất hình học, nếu phát biểu dưới dạng ngôn ngữ thông thường thì chỉ có một
vài cách phát biểu. Nhưng bằng phương pháp vectơ thì có thể phát biểu dưới nhiều
dạng, do đó học sinh có nhiều hướng suy nghĩ và giải quyết. Chẳng hạn “H là trực
tâm của tam giác ABC” nếu phát biểu dưới dạng ngôn ngữ vectơ thì nó tương
đương với một trong ba cách phát biểu sau:
+
. . .HA HB HB HC HC HA= =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
+
OH OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
(O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
+
. tan . tan . tan 0HA A HB B HC C+ + =
uuur uuur uuur r
Hơn nữa từ ngôn ngữ vectơ ta có thể xây dựng phương pháp tọa độ một cách
chặt chẽ và là công cụ đắc lực để giải quyết nhiều bài toán thậm chí cả những bài
toán đại số, lượng giác. Điều này giúp cho học sinh hiểu biết về tính thống nhất

của bài toán.

24
Ví dụ 1: Chứng minh công thức
( )
cos cos . cos sin .sina b a b a b− = +
Lời giải: Trên vòng tròn lượng giác ta thấy:
- Góc giữa hai vectơ
OA
uuur
và
OM
uuuur
là a
- Góc giữa hai vectơ
ON
uuur
và
OM
uuuur
là
a b−
- Góc giữa hai vectơ
OA
uuur
và
ON
uuur
là b
- Tọa độ của vectơ

OM
uuuur
là cosb và sinb
- Tọa độ của vectơ
ON
uuur
là cosa và sina
Ta có
( ) ( ) ( )
. . .cos cos 1OM ON OM ON a b a b= − = −
uuuur uuur uuuur uuur
Theo biểu thức tọa độ ta có:
( )
. cos . cos sin .sin 2OM ON a b a b= +
uuuur uuur
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2 : Nhận dạng tam giác ABC biết rằng :

. . . 0BC GA AC GB AB GC+ + =
uuur uuur uuur r
(trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC)
Lời giải: Ta đã biết nếu G là trọng tâm tam giác thì:
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r

GC GA GB⇔ = − −
uuur uuur uuur
Theo điều kiện bài toán ta có:
( )
. . . 0BC GA AC GB AB GA GB+ + − − =

uuur uuur uuur uuur r

( ) ( )
0
0
0
BC AB GA AC AB GB
BC AB
AB BC AC
AC AB
⇔ − + − =
− =

⇔ ⇔ = =

− =

uuur uuur r
Vậy tam giác ABC đều.
Mặt khác việc dùng phương pháp vectơ để giải toán đã chỉ ra cho học sinh
khả năng áp dụng phương pháp với cả một lớp đối tượng rộng rãi. Phương pháp
vectơ chặt chẽ, không dùng các thủ thuật đặc biệt, khi giải toán nhiều khi không
phải dùng đến hình vẽ nên có thể tránh được những sai lầm do trực giác.
Về mặt tư duy, giải toán bằng phương pháp vectơ có tác dụng tích cực phát
triển tư duy trừu tượng, năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy thuật toán. Việc giải
toán bằng phương pháp vectơ phải sử dụng các phép toán trên những đối tượng
không phải là số nhưng lại có các tính chất tương tự giúp học sinh thấy được mối
liên hệ sâu sắc giữa các tập hợp gồm các phần tử khác nhau. Từ đó học sinh sẽ
phát triển các phẩm chất trí tuệ như năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự
hóa, tìm được cái chung nhất, cái quy luật giữa những cái khác nhau, giữa những

cái hỗn độn.

25
M
A
N
B
O