phương trình với toán tử d accretive

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Đặng Thị Hồng Dương
PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ d ACCRETIVE
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Đặng Thị Hồng Dương
PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ d ACCRETIVE
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUYÊN - 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời nói đầu
Cho X là không gian Banach thực phản xạ và lồi chặt cùng với không
gian đối ngẫu X
∗
của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là .. Ký
hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x
∗
∈ X
∗
tại x ∈ X là x
∗
, x.
Toán tử A : X → 2

X
được gọi là toán tử d-accretive nếu
Jx
1
− Jx
2
, y
1
− y
2
 ≥ 0
với mọi x
1
, x
2
∈ D(A), y
1
∈ Ax
1
, y
2
∈ Ax
2
, ở đây D(A) là kí hiệu miền
xác định của toán tử A.
Chúng ta xét phương trình toán tử
Ax = f.
Phương pháp hiệu chỉnh toán tử được Lavrent’ev [6] đưa ra đầu tiên
cho phương trình toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert. Những
nghiên cứu sâu sắc cho bài toán này được công bố trong [3]-[5]. Trong

không gian Banach X, nhưng không phải không gian Hilbert, ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc J của X là không tuyến tính. Khi đó, không thể áp dụng
phương pháp hiệu chỉnh toán tử trong [3]-[6] cho phương trình toán tử
Ax = f trong không gian Banach. Khi đó đòi hỏi những nghiên cứu mới
về phương pháp hiệu chỉnh toán tử cho phương trình toán tử phi tuyến.
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời nói đầu
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày một số kết quả cơ
bản về phương trình toán tử Ax = f với toán tử d-accretive trong không
gian Banach. Các vấn đề đề cập trong luận văn được tập hợp từ tài liệu
[2], trong các mục về: Toán tử accretive và toán tử d-accretive; Phương
trình toán tử accretive và phương trình toán tử d-accretive; Hiệu chỉnh
phương trình toán tử với toán tử d-accretive.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản về toán tử accretive
và toán tử d-accretive và một số tính chất hình học của không gian.
Chương 2 sẽ trình bày phương trình toán tử accretive, phương trình
toán tử d-accretive và phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử d-
accretive.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Thị
Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự
tận tâm và nhiệt tình của cô trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận
văn.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng,
tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ của các giáo sư công tác
tại trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Viện
Toán học, Viện Công nghệ thông tin - Viện Khoa học và Công nghệ
Việt Nam và Đại học Thái Nguyên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày

tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học,
Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời
gian học tập tại trường.
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời nói đầu
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động
viên tôi vượt qua những khó khăn trong cuộc sống để tôi có điều kiện
tốt nhất khi học tập nghiên cứu.
Do điều kiện thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận
văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận
được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để luận
văn được hoàn thiện hơn. Tôi hy vọng được tiếp tục nghiên cứu đề tài
trên trong thời gian tới.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, năm 2012
Tác giả
Đặng Thị Hồng Dương
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Bảng ký hiệu
H không gian Hilbert thực
X không gian Banach thực
X
∗
không gian liên hợp của X
R
n

không gian Euclide n chiều
∅ tập rỗng
x := y x được định nghĩa bằng y
∀x với mọi x
∃x tồn tại x
inf
x∈X
F (x) infimum của tập {F (x) : x ∈ X}
I ánh xạ đơn vị
A
T
ma trận chuyển vị của ma trận A
a ∼ b a tương đương với b
A
∗
toán tử liên hợp của toán tử A
D(A) miền xác định của toán tử A
R(A) miền giá trị của toán tử A
x
k
→ x dãy {x
k
} hội tụ mạnh tới x
x
k
 x dãy {x
k
} hội tụ yếu tới x
iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Mục lục
1 Toán tử accretive và d-accretive 1
1.1 Toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Toán tử d-accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Một số tính chất hình học của không gian . . . . . . . . 14
2 Phương trình với toán tử d-accretive 26
2.1 Phương trình toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Phương trình toán tử d- accretive . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Hiệu chỉnh phương trình toán tử d-accretive . . . . . . . 34
Tài liệu tham khảo 40
v
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Toán tử accretive và
d-accretive
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về
toán tử accretive và d-accretive. Các khái niệm và kết quả của chương
này được tham khảo trong tài liệu [1], [2].
1.1 Toán tử accretive
Cho X là không gian Banach thực phản xạ và lồi chặt cùng với không
gian đối ngẫu X
∗
của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là .. Ký
hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x
∗
∈ X
∗
tại x ∈ X là x
∗
, x.

Định nghĩa 1.1.1. Toán tử A : X → X
∗
được gọi là
i) hemi-liên tục (hemicontinuous) trên X nếu A(x + ty)  Ax, khi
t → 0, ∀x, y ∈ X.
ii) demi-liên tục (demicontinuous) trên X nếu từ x
n
→ x suy ra
Ax
n
 Ax, n → ∞.
iii) liên tục yếu theo dãy (weak-to-weak continuous) nếu với bất kỳ
dãy x
n
⊂ X, x
n
 x
0
thì Ax
n
 Ax
0
.
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Định nghĩa 1.1.2. Toán tử J : X → 2
X
∗
được gọi là ánh xạ đối ngẫu

chuẩn tắc của X nếu
J(x), x = J(x)x = x
2
, ∀x ∈ X.
Mệnh đề 1.1.3. Giả sử X là không gian Banach. Khi đó,
i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x) với mọi λ > 0;
ii) J là toán tử đơn trị khi và chỉ khi X
∗
là không gian lồi chặt. Trong
trường hợp X là không gian Hilbert thì J ≡ I (trong đó I là toán tử đơn
vị trong X).
Định lý 1.1.4. Nếu X
∗
là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc J : X → X
∗
là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục.
Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì J là toán tử đơn điệu
chặt.
Định nghĩa 1.1.5. Toán tử A : X → 2
X
gọi là toán tử accretive nếu
J(x
1
− x
2
), y
1
− y
2

 ≥ 0 (1.1)
với mọi x
1
, x
2
∈ D(A), y
1
∈ Ax
1
, y
2
∈ Ax
2
, ở đây D(A) là kí hiệu miền
xác định của toán tử A.
Nếu toán tử A khả vi Gâteaux thì ta có định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.1.6. Toán tử khả vi Gâteaux A : X → X là toán tử
accretive nếu
Jh, A

(x)h ≥ 0, ∀x, h ∈ X.
Sau đây là một định nghĩa khác của toán tử accretive.
Định nghĩa 1.1.7. Toán tử A : X → 2
X
được gọi là toán tử accretive
nếu
x
1
− x
2

 ≤ x
1
− x
2
+ λ(y
1
− y
2
), λ > 0, (1.2)
với mọi x
1
, x
2
∈ D(A), y
1
∈ Ax
1
, y
2
∈ Ax
2
.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Định lý 1.1.8. Định nghĩa 1.1.5 và Định nghĩa 1.1.7 là tương đương.
Chứng minh: Thật vậy, giả sử (1.1) thỏa mãn, khi đó bất đẳng thức
J(x
1
− x

2
), x
1
− x
2
+ λ(y
1
− y
2
) ≥ x
1
− x
2

2
, λ > 0,
có giá trị và từ đó suy ra (1.2).
Hơn nữa, ta biết rằng nếu X
∗
là không gian lồi chặt thì X là không
gian trơn và Jx = 2
−1
gradx
2
. Từ tính lồi của hàm x
2
ta có bất đẳng
thức
x
1

− x
2

2
≥ x
1
− x
2
+ λ(y
1
− y
2
)
2
−2λJ(x
1
−x
2
+λ(y
1
−y
2
)), y
1
−y
2
.
Nếu (1.2) thỏa mãn thì
J(x
1

− x
2
+ λ(y
1
− y
2
)), y
1
− y
2
 ≥ 0.
Cho λ → 0 và sử dụng tính chất hemi-liên tục của J ta nhận được (1.1)
✷
Sau đây là một số tính chất của toán tử accretive.
Định nghĩa 1.1.9. Toán tử accretive A : X → 2
X
là toán tử bức nếu
Jx, y ≥ c(x)x, ∀y ∈ Ax,
ở đây c(t) → +∞ khi t → +∞.
Định nghĩa 1.1.10. Toán tử A : X → 2
X
được gọi là bị chặn địa
phương tại điểm x ∈ D(A) nếu tồn tại một lân cận M của điểm đó sao
cho tập hợp
A(M) = {y : y ∈ Ax, x ∈ M ∩ D(A)}
là bị chặn trong X.
Định lý 1.1.11. Cho A : X → 2
X
là toán tử accretive, ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J : X → X

∗
và J
∗
: X
∗
→ X liên tục trong X và X
∗
tương
ứng. Khi đó toán tử A bị chặn địa phương tại mọi điểm x ∈ intD(A).
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Chứng minh: Giả sử ngược lại. Lấy x
0
∈ intD(A), x
n
∈ D(A), n =
1, 2, , x
n
→ x
0
và y
n
 → ∞, ở đây y
n
∈ Ax
n
. Lấy t
n
= x

n
− x
0

1
2
.
Với bất kì z ∈ X
∗
, ta xây dựng dãy {z
n
} bởi
z
n
= J(x
n
− x
0
− t
n
w) + t
n
z,
ở đây w = J
∗
z. Dãy phần tử z
n
xác định vì D(J) = X. Từ tính liên tục
của J và từ t
n

→ 0 suy ra z
n
→ θ
X
∗
và phần tử x
0
+ t
n
w ∈ D(A) với mọi
w ∈ X và n > 0 đủ lớn. Nếu f ∈ Av, v = x
0
+ σw, u
n
∈ A(x
0
+ t
n
w) thì
từ tính chất accretive của toán tử A ta nhận được
(t
n
− σ)z, u
n
− f ≥ 0,
từ đó z, u
n
 ≤ z
∗
f với t

n
< σ. Vì R(J) = X
∗
, ở đây R(J) là kí hiệu
miền giá trị của toán tử J, ta được
lim sup
n→∞
z, u
n
 < ∞, ∀z ∈ X
∗
.
Sử dụng định lý Banach-Steinhaus suy ra tính bị chặn của dãy {u
n
},
hay u
n
 ≤ C với mọi n > 0. Hơn nữa, vì A là toán tử accretive, ta có
z
n
− t
n
z, y
n
− u
n
 ≥ 0.
Vì vậy,
z, y
n

 ≤
1
t
n
z
n
, y
n
 −
1
t
n
z
n
− t
n
z, u
n
 ≤
z
n

∗
t
n
y
n
 + C

z

n

∗
t
n
+ z
n

∗

.
Đặt
τ
n
(z) =
z
n

∗
t
n
=




J(
x
n
− x

0
t
n
− J
∗
z) + z




∗
ta suy ra
lim sup
n→∞
z, y
n

1 + y
n
τ
n
(z)
< ∞.
Hàm
ϕ(z) =
z, y
n

1 + y
n

τ
n
(z)
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
liên tục theo biến z vì J và J
∗
liên tục. Do đó, theo chứng minh định lý
Banach-Steinhaus, ta suy ra tồn tại các hằng số C
1
> 0 và r > 0 sao cho
z, y
n

1 + y
n
τ
n
(z)
≤ C
1
, n = 1, 2, (1.3)
nếu z ∈ X
∗
với z
∗
≤ r. Trong (1.3) lấy z =
z
n

∈ B
∗
(θ
X
∗
, r) thỏa mãn
điều kiện z
n
, y
n
 = ry
n
. Do đó
y
n

1 + y
n
τ
n
(¯z
n
)
≤
C
1
r
.
Suy ra,
y

n
 ≤
C
1
r

1 −
C
1
r
τ
n
(
z
n
)

−1
.
Từ tính liên tục của J suy ra
τ
n
(z
n
) =




J


x
n
− x
0
t
n
− J
∗
z
n

+ JJ
∗
z
n




∗
→ 0, n → ∞.
Vì vậy, với ε > 0 thỏa mãn 1 −C
1
r
−1
ε > 0 và với n > 0 đủ lớn, bất đẳng
thức sau thỏa mãn
y
n

 ≤
C
1
r

1 −
C
1
r
ε

−1
.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết y
n
 → ∞ khi n → ∞.
✷
Hệ quả 1.1.12. Nếu A : X → 2
X
là một toán tử accretive, J là ánh xạ
liên tục, D(A) = X và X là không gian hữu hạn chiều thì toán tử A bị
chặn.
Định lý 1.1.13. Nếu toán tử T : X → X là không giãn trong D(A) thì
A = I − T là toán tử accretive.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Chứng minh: Với mọi x, y ∈ D(A) ta có
J(x − y), Ax − Ay = −J(x − y), T x − T y + J(x − y), x − y
≥ x − y

2
− T x − Tyx − y
≥ x − y
2
− x − y
2
= 0.
✷
Định nghĩa 1.1.14. Toán tử accretive A : X → 2
X
được gọi là toán tử
accretive cực đại nếu đồ thị của nó không được chứa thực sự trong bất
kỳ đồ thị của một toán tử accretive B : X → 2
X
nào khác.
Bổ đề sau đây chỉ ra rằng đồ thị của bất kỳ một toán tử accretive
cực đại nào cũng demi-đóng.
Bổ đề 1.1.15. Cho A : X → 2
X
là toán tử accretive cực đại, x
n
∈
D(A), y
n
∈ Ax
n
. Giả sử x
n
→ x, y
n

 y và ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc J liên tục hoặc x
n
 x, y
n
→ y và J liên tục yếu theo dãy. Khi đó
x ∈ D(A) và y ∈ Ax.
Chứng minh: Từ tính chất accretive của A suy ra
J(x
n
− u), y
n
− v ≥ 0, ∀u ∈ D(A), ∀v ∈ Au.
Cho n → ∞. Với giả thiết của định lý, ta nhận được
J(x − u), y − v ≥ 0, ∀u ∈ D(A), ∀v ∈ Au.
Từ tính accretive cực đại của A suy ra x ∈ D(A) và y ∈ Ax.
✷
Bổ đề 1.1.16. Tập giá trị của toán tử accretive cực đại A : X → 2
X
tại
bất kỳ điểm nào thuộc tập xác định của nó là một tập lồi đóng.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Định lý 1.1.17. Cho A : X → X là toán tử accretive và hemi-liên tục
với D(A) = X. Khi đó A là toán tử accretive cực đại.
Chứng minh: Từ bất đẳng thức
J(x − y), Ax − f ≥ 0, ∀x ∈ X, (1.4)
suy ra f = Ay. Từ D(A) = X ta có thể đặt trong (1.4)
x = x

t
= y + tz, ∀z ∈ X, t > 0.
Khi đó, Jz, Ax
t
− f ≥ 0. Cho t → 0 và sử dụng tính chất hemi-liên
tục của A ta nhận được
Jz, Ay − f  ≥ 0, ∀z ∈ X.
Vì R(J) = X
∗
, ta suy ra f = Ay.
✷
Định lý 1.1.18. Cho A : X → X là một toán tử accretive với D(A) =
X, ánh xạ đối ngẫu J và J
∗
liên tục. Khi đó tính chất hemi-liên tục và
demi-liên tục của A trong intD(A) trùng nhau.
Định nghĩa 1.1.19. Toán tử A : X → 2
X
được gọi là accretive chặt
nếu dấu bằng trong (1.1) chỉ thỏa mãn khi x
1
= x
2
.
Định nghĩa 1.1.20. Toán tử A : X → 2
X
được gọi là accretive đều nếu
tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0 sao cho:
J(x
1

− x
2
), y
1
− y
2
 ≥ γ(x
1
− x
2
),
ở đây, x
1
, x
2
∈ D(A), y
1
∈ Ax
1
, y
2
∈ Ax
2
. Một toán tử A được gọi là
accretive mạnh nếu γ(t) = ct
2
, c > 0.
Định nghĩa 1.1.21. Toán tử A : X → 2
X
được gọi là m-accretive nếu

R(A + αI) = X
với mọi α > 0, ở đây I là toán tử đơn vị trong X.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Bổ đề 1.1.22. Nếu toán tử A là m-accretive thì nó là toán tử accretive
cực đại.
Chứng minh: Theo Định nghĩa 1.1.21, R(A + I) = X. Vì A + I là
toán tử accretive mạnh, nên tồn tại duy nhất cặp (x, y) ∈ grA sao cho
y + x = f với mọi f ∈ X. Giả sử
˜
A là toán tử accretive cực đại chứa
toán tử A (nó tồn tại theo bổ đề Zorn’s). Nếu tồn tại một cặp (˜x, ˜y)
thuộc đồ thị của
˜
A và không thuộc vào đồ thị của A, thì dẫn đến mâu
thuẫn với nghiệm duy nhất của phương trình
˜
Ax + x = f. Vậy
˜
A = A.
✷
Chiều ngược lại của Bổ đề 1.1.22 không đúng. Tuy nhiên ta có kết
quả sau đây.
Định lý 1.1.23. Giả sử X
∗
là không gian Banach lồi đều, ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc J
∗
liên tục, toán tử A : X → 2

X
là toán tử accretive và
D(A) là tập mở. Khi đó A là m-accretive khi và chỉ khi A là accretive
cực đại.
Tiếp theo đây là kết quả quan trọng về tổng của các toán tử m-
accretive.
Định lý 1.1.24. Cho X và X
∗
là các không gian Banach lồi đều, A :
X → 2
X
và B : X → 2
X
là các toán tử m-accretive trong X, D(A) ∩
D(B) = ∅ và một trong chúng bị chặn địa phương. Khi đó A + B là toán
tử m-accretive.
1.2 Toán tử d-accretive
Cho X là không gian Banach lồi chặt và phản xạ và không gian liên
hợp X
∗
cũng lồi chặt. Trong mục này chúng tôi nghiên cứu toán tử
d-accretive cổ điển.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Định nghĩa 1.2.1. Một toán tử A : X → 2
X
với D(A) ⊆ X được gọi
là toán tử d-accretive nếu
Jx − Jy, u − v ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A), ∀u ∈ Ax, ∀v ∈ Ay. (1.5)

Sau đây là một vài ví dụ về toán tử d-accretive.
Ví dụ 1.2.2. Nếu F là toán tử đơn điệu từ X
∗
vào X, thì toán tử
A = F J với D(A) = {x ∈ X : Jx ∈ D(F )} là toán tử d-accretive từ X
vào X.
Thật vậy, vì F thỏa mãn điều kiện
ϕ
1
− ϕ
2
, ψ
1
− ψ
2
 ≥ 0, ∀ϕ
1
, ϕ
2
∈ D(F ) ⊂ X
∗
, ∀ψ
1
∈ F ϕ
1
, ∀ψ
2
∈ F ϕ
2
,

ta có thể viết
JJ
∗
ϕ
1
− JJ
∗
ϕ
2
, ψ
1
− ψ
2
 ≥ 0, ∀ψ
1
∈ F ϕ
1
, ∀ψ
2
∈ F ϕ
2
,
bởi vì JJ
∗
= I
X
∗
. Đặt J
∗
ϕ

1
= x và J
∗
ϕ
2
= y, ta có
Jx − Jy, ψ
1
− ψ
2
 ≥ 0, ∀ψ
1
∈ Ax, ∀ψ
2
∈ Ay.
Ta cũng nhận thấy rằng nếu A : X → 2
X
là toán tử d-accretive thì
AJ
∗
: X
∗
→ 2
X
là toán tử đơn điệu.
Ví dụ 1.2.3. Giả sử toán tử T : X → X thỏa mãn bất đẳng thức
T x − T y ≤
Jx − Jy, x − y
Jx − Jy
∗

, ∀x, y ∈ D(T ). (1.6)
Khi đó toán tử A = I − T , ở đây I là toán tử đơn vị trong X, là toán
tử d-accretive.
Thật vậy,
Jx − Jy, Ax − Ay = Jx − Jy, (I − T )x − (I − T )y
= Jx − Jy, x − y − Jx − Jy, T x − Ty
≥ Jx − Jy, x − y − T x − T yJx − Jy ≥ 0.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Chú ý rằng từ (1.6) suy ra
T x − T y ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(T ),
nghĩa là T là ánh xạ không giãn. Chiều ngược lại nói chung không đúng.
Trong không gian Hilbert, vế phải của (1.6) là x − y.
Ví dụ 1.2.4. Cho Ω là một con lồi đóng khác rỗng của X. Ta xét hàm
Lyapunov W : X × X → R
+
xác định bởi
W (x, ξ) = 2
−1
(x
2
− 2Jx, ξ + ξ
2
) (1.7)
Theo tính chất của hàm W(x, ξ), với mỗi x ∈ X tồn tại duy nhất một
phần tử x ∈ Ω là nghiệm của bài toán cực trị
min{W (x, ξ)|ξ ∈ Ω}.
Ký hiệu x bởi Π
Ω

x, ta xác định toán tử chiếu suy rộng Π
Ω
: X → Ω ⊆ X.
Phần tử x được gọi là phần tử chiếu suy rộng của x lên Ω.
Ta thấy Π
Ω
là toán tử d-accretive trong không gian X. Thật vậy, với
x
1
= Π
Ω
x
1
và x
2
= Π
Ω
x
2
bất đẳng thức
W (x
1
, ξ) ≥ W (x
1
, x
1
) và W (x
2
, η) ≥ W (x
2

, x
2
)
thỏa mãn với mọi ξ, η ∈ Ω và mọi x
1
, x
2
∈ X. Suy ra ξ = x
2
và η = x
1
.
Khi đó,
W (x
1
, x
2
) ≥ W (x
1
, x
1
) và W (x
2
, x
1
) ≥ W (x
2
, x
2
)

Suy ra
x
1

2
− 2Jx
1
, x
2
 + x
2

2
+ x
2

2
− 2Jx
2
, x
1
 + x
1

2
≥ x
1

2
− 2Jx

1
, x
1
 + x
1

2
+ x
2

2
− 2Jx
2
, x
2
 + x
2

2
.
Do vậy
Jx
1
, x
1
 + Jx
2
, x
2
 ≥ Jx

1
, x
2
 + Jx
2
, x
1

10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
và
Jx
1
− Jx
2
, Π
Ω
x
1
− Π
Ω
x
2
 ≥ 0, ∀x
1
, x
2
∈ X.
Điều này nghĩa là Π

Ω
là toán tử d-accretive.
Định nghĩa 1.2.5. Cho W(x, ξ) định nghĩa bởi
W(x, ξ) = 2
−1
(x
2
− 2Jξ, x + ξ
2
).
Ta nói rằng A : X → 2
X
với miền xác định D(A) là toán tử d-accretive
nếu
W(x
1
, x
2
) ≤ W(x
1
+ λ(y
1
− y
2
), x
2
) (1.8)
với mọi x
1
, x

2
∈ D(A), với mọi y
1
∈ Ax
1
, y
2
∈ Ax
2
và λ > 0.
Định lý 1.2.6. Định nghĩa 1.2.1 và 1.2.5 là tương đương.
Chứng minh: Cho ξ là một điểm xác định. Dễ ràng suy ra gradW(x, ξ) =
Jx − Jξ, do đó nó là toán tử đơn điệu. Suy ra W(x, ξ) là hàm lồi với
mọi x ∈ X. Do đó
W(x
1
, x
2
) ≥ W(x
1
+λ(y
1
−y
2
), x
2
)−λJ(x
1
+λ(y
1

−y
2
))−Jx
2
, y
1
−y
2
.
Từ bất đẳng thức này và (1.8) suy ra
J(x
1
+ λ(y
1
− y
2
) − Jx
2
, y
1
− y
2
 ≥ 0.
Cho λ → 0 và sử dụng tính chất hemi-liên tục của J ta nhận được tính
d-accretive của toán tử A trong Định nghĩa 1.2.1.
Ngược lại, giả sử (1.5) thỏa mãn, x
1
, x
2
∈ D(A) và λ > 0. Khi đó

(1.8) được suy ra từ tính lồi của W(x, ξ)
W(x
1
+ λ(y
1
− y
2
), x
2
) ≥ W(x
1
, x
2
) + λJx
1
− Jx
2
, y
1
− y
2
.
Kết quả nhận được suy từ tính đơn điệu của J.
✷
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Định nghĩa 1.2.7. Toán tử A được gọi là d-accretive cực đại nếu đồ
thị của nó không thực sự chứa trong đồ thị của bất kỳ một toán tử
d-accretive B : X → 2

X
nào khác.
Bổ đề 1.2.8. Tập giá trị của toán tử d-accretive cực đại tại điểm bất kỳ
của miền xác định của nó là tập lồi và đóng.
Định lý 1.2.9. Cho A : X → X là toán tử d-accretive, demi-liên tục
với D(A) = X và cho ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J
∗
là liên tục. Khi đó,
A là toán tử d-accretive cực đại.
Chứng minh: Ta sẽ chỉ ra rằng từ bất đẳng thức
Jx − Jy, Ax − f  ≥ 0, ∀x ∈ X (1.9)
suy ra Ay = f. Từ D(A) = X, ta có thể đặt trong (1.9) x = x
t
=
J
∗
(Jy + tJz) với mọi z ∈ X và t > 0. Khi đó
Jz, Ax
t
− f ≥ 0.
Cho t → 0. Sử dụng tính chất demi-liên tục của toán tử A và tính liên
tục của J
∗
ta nhận được giới hạn
Jz, Ay − f  ≥ 0, ∀z ∈ X.
Vì R(J) ∈ X
∗
suy ra điều cần chứng minh.
✷
Định lý 1.2.10. Cho A : X → 2

X
là toán tử d-accretive cực đại, x
n
∈
D(A), y
n
∈ Ax
n
. Giả sử rằng hoặc x
n
→ x, y
n
 y và ánh xạ đối ngẫu
J liên tục, hoặc x
n
 x, y
n
→ y và ánh xạ đối ngẫu J liên tục yếu theo
dãy. Khi đó, x ∈ D(A) và y ∈ Ax.
Định nghĩa 1.2.11. Một toán tử d-accretive A : X → 2
X
được gọi là
m-d-accretive nếu R(A + αI) = X với mọi α > 0, ở đây I là toán tử đơn
vị trong X.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Bổ đề 1.2.12. Nếu toán tử A là m-d-accretive thì nó là d-accretive cực
đại.
Định lý 1.2.13. Cho A : X → 2

X
là toán tử d-accretive, ánh xạ đối
ngẫu J : X → X
∗
và J
∗
: X
∗
→ X liên tục. Khi đó A bị chặn địa phương
tại bất kì x
0
∈ intD(A).
Chứng minh: Giả sử ngược lại, x
0
∈ D(A), x
n
∈ D(A), n = 1, 2, ,
x
n
→ x
0
nhưng y
n
 → ∞, ở đây y
n
∈ Ax
n
. Đặt z
n
= Jx

n
− Jx
0
,
t
n
= Jx
n
− Jx
0

1
2
và ta xây dựng một dãy phần tử w
n
= J
∗
(Jx
0
+t
n
Jw)
với w ∈ X. Rõ ràng rằng z
n
 = t
2
n
. Ta suy ra từ tính liên tục của J
rằng t
n

→ 0 và z
n
→ θ
X
∗
khi n → ∞. Từ J
∗
J = I
X
và J
∗
liên tục, ta
có w
n
→ x
0
. Do đó w
n
∈ D(A) với t
n
≤ σ. Cho v = J
∗
(Jx
0
+ σJw),
u
n
∈ Aw
n
và f ∈ Av. Khi đó, tính d-accretive của A được suy từ

(t
n
− σ)Jw, u
n
− f ≥ 0,
và ta nhận được từ t
n
≤ σ bất đẳng thức
z, u
n
− f ≤ 0, z = Jw. (1.10)
Vì R(J) = X
∗
, (1.10) thỏa mãn với mọi z ∈ X
∗
. Do đó, dãy {u
n
} bị
chặn theo định lý Banach-Steinhaus. Giả sử u
n
 ≤ C. Từ tính chất
d-accretive của A suy ra
z
n
− t
n
z, y
n
− u
n

 ≥ 0.
Do đó,
z, y
n
 ≤
1
t
n
z
n
, y
n
 −
1
t
n
z
n
− t
n
z, u
n

≤
x
∗
t
n
y
n

 + C

z
n

∗
t
n
+ z
∗

,
từ bất đẳng thức sau
lim sup
n→∞
z, y
n

1 + y
n
τ
n
< ∞, ∀z ∈ X
∗
,
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
ở đây τ
n

= t
−1
n
z
n

∗
. Sử dụng định lý Banach-Steinhaus, tồn tại hằng số
K > 0 thỏa mãn
y
n
 ≤ K(1 + y
n
τ
n
).
Vì τ
n
→ 0, nên đánh giá Kτ
n
≤ 2
−1
thỏa mãn với mọi n đủ lớn. Do đó
y
n
 ≤ 2K. Tính bị chặn của {y
n
} mâu thuẫn với giả thiết phản chứng.
✷
1.3 Một số tính chất hình học của không

gian
Cho X là không gian Banach, kí hiệu S
X
= {x ∈ X : x = 1} là mặt
cầu đơn vị của X.
Định nghĩa 1.3.1. Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu
∀x, y ∈ S
X
, x = y ta có
(1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1).
Ví dụ 1.3.2. Xét X = R
n
, n ≥ 2 với chuẩn Euclid
x =

n

i=1
x
2
i

1
2
, x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n

.
Khi đó, X là không gian lồi chặt.
Thật vậy, ∀x, y ∈ S
X
, x =

n

i=1
x
2
i

1
2
= 1, y = 1. Khi đó ∀λ ∈
(0, 1) ta có
(1 − λ)x + λy ≤ (1 − λ)x + λy
= (1 − λ)x + λy
= (1 − λ).1 + λ = 1.
Vậy X là không gian lồi chặt với chuẩn Euclid.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Định nghĩa 1.3.3. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với
mọi ε mà 0 < ε ≤ 2, ∀x, y ∈ X, x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε đều tồn
tại δ = δ(ε) > 0 sao cho

x + y
2

 ≤ 1 − δ.
Ví dụ 1.3.4. Không gian Hilbert là không gian lồi đều.
Thật vậy, vì không gian Hilbert là không gian định chuẩn đầy đủ
thỏa mãn điều kiện bình hành
x + y
2
+ x − y
2
= 2(x
2
+ y
2
), ∀x, y ∈ X.
Nên với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, ∀x, y ∈ X sao cho x ≤ 1,
y ≤ 1, x − y ≥ ε ta có
x + y
2
= 2(x
2
+ y
2
) − x − y
2
≤ 2(1 + 1) − ε
2
= 4 − ε
2
.
Suy ra


x + y
2

2
≤ 1 −
ε
2
4
.
Khi đó

x + y
2
 ≤ 1 −
ε
2
4
.
Chọn δ =
ε
2
4
> 0 suy ra,

x + y
2
 ≤ 1 − δ, ∀x, y ∈ X.
Vậy X là không gian lồi đều.
Định nghĩa 1.3.5. Cho x ∈ X và ε > 0. Hàm
δ

X
(x, ε) = inf{1 −
x − y
2
: x = y = 1, x − y = ε}
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
gọi là mô đun lồi địa phương của không gian X tại điểm x. Nếu δ
X
(x, ε) >
0, ∀ε > 0 thì X được gọi là không gian lồi đều địa phương. Nếu hàm
δ
X
(x, ε) không phụ thuộc vào x thì δ
X
(x, ε) = δ
X
(ε) là mô đun lồi của
X.
Định nghĩa 1.3.6. Hàm ρ xác định bởi
ρ
X
(τ) = sup{
x + y
2
+
x − y
2
− 1 : x = 1, y = τ}

là môđun trơn của không gian X.
Định nghĩa 1.3.7. Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu với
mỗi ε > 0 cho trước, ∃δ > 0 sao cho ∀x, y ∈ X với x = 1, y ≤ δ ta
có
2
−1
(x + y + x − y) − 1 ≤ εy.
Chú ý 1.3.8. Ánh xạ đối ngẫu là liên tục đều trên mỗi tập bị chặn
trong không gian Banach trơn đều, nghĩa là ∀R > 0, ∀x, y ∈ X thỏa
mãn x ≤ R, y ≤ R, tồn tại một hàm thực không âm và liên tục
ω
R
: [0, +∞) → R sao cho ω
R
(t) > 0 với t > 0 và ω
R
(0) = 0,
Jx − Jy ≤ ω
R
(x − y). (1.11)
Chú ý 1.3.9. Ánh xạ đối ngẫu là đơn điệu đều trên mọi tập bị chặn trong
không gian Banach lồi đều X, nghĩa là ∀R > 0, ∀x, y ∈ X với x ≤ R,
y ≤ R, tồn tại hàm thực không âm liên tục ψ
R
: [0, +∞) → R sao cho
ψ
R
(t) > 0, t > 0; ψ
R
(0) = 0 ta có

Jx − Jy, x − y ≥ ψ
R
(x − u). (1.12)
Ta sẽ đi tìm dạng phân tích của các hàm ω
R
(t), ψ
R
(t) và ước lượng
hàm ˜ω
R
(t) sao cho
Jx − Jy, x − y ≥ ˜ω
R
(x − y). (1.13)
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Các ước lượng (1.11)-(1.13) đóng vai trò cơ bản trong sự hội tụ và
giải thích tính ổn định của phương pháp xấp xỉ cho bài toán phi tuyến
trong không gian Banach. Ta đã biết δ
X
(ε), ρ
X
(τ) lần lượt là mô đun
lồi và mô đun trơn của không gian Banach X. Chú ý rằng, trong không
gian Banach trơn đều ta có, 0 < τ < σ
τ
2
ρ
X

(σ) ≤ Lσ
2
ρ
X
(τ), (1.14)
trong đó 1 < L < 1, 7 là hằng số Figiel.
Định lý 1.3.10. Trong không gian Banach trơn đều X, với mọi R > 0,
∀x, y ∈ X sao cho x ≤ R, y ≤ R ta có
Jx − Jy, x − y ≤ 8x − y
2
+ c
1
ρ
X
(x − y), (1.15)
với c
1
= 8max{L, R}.
Chứng minh: Kí hiệu
D = 2
−1
(x
2
+ y
2
− 2
−1
x + y
2
). (1.16)

1) Nếu x + y ≤ x − y, thì
x ≤ x + y ≤ x − y,
y ≤ x + y ≤ x − y.
Suy ra
x + y ≤ x + y + x − y ≤ 2x − y, (1.17)
Từ (1.17), ta nhận được
(x + y)
2
≤ 4x − y
2
,
hay
x
2
+ 2x.y + y
2
≤ 4x − y
2
.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive
Suy ra
2
−1
x
2
+ 2
−1
y

2
+ x.y ≤ 2x − y
2
. (1.18)
Trừ cả hai vế của (1.18) cho 2
−1
(x + y)
2
ta nhận được
2
−1
x
2
+2
−1
y
2
+x.y−2
−1
(x+y)
2
≤ 2x −y
2
−2
−1
(x+y)
2
,
hay
2

−1
(x
2
+ y
2
− 2
−1
x + y
2
) ≤ 2x − y
2
− (4
−1
x + y
2
+ x.y).
Từ (1.16) suy ra
D ≤ 2x − y
2
− (4
−1
x + y
2
+ x.y).
Nếu
2
−1
(x + y)
2
+ x.y ≥ x − y

2
, (1.19)
thì
D ≤ 2x − y
2
− x − y
2
= x − y
2
. (1.20)
Ngược lại nếu
2
−1
(x + y)
2
+ x.y ≤ x − y
2
,
thì
(x − y)
2
≤ x + y
2
⇔ x
2
− 2x.y + y
2
≤ x + y
2
,

hay
2
−1
x
2
+ 2
−1
y
2
− 2
−1
(x + y)
2
≤ 2
−1
(x + y)
2
+ x.y
≤ x − y
2
.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên