Toán cho vật lý

BÀI GIẢNG
AN GIANG - NĂM 2011
Ths Đổng Thị Kim Phượng
MỤC LỤC
Chương 1. MỞ ĐẦU 1
§1. SỐ PHỨC 1
1. Định nghĩa số phức: 1
2. Các phép tính về số phức: 1
3. Biểu diễn hình học của số phức. Dạng lượng giác của số phức: 3
4. Công thức Euler: 5
5. Hàm Hyperbôn: 6
§2. NHỮNG HỆ TỌA ĐỘ THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ 6
1. Hệ tọa độ Decarters vuông góc: 6
2. Các hệ tọa độ cong: 6
3. Hệ tọa độ cực: 8
§3. TRƯỜNG VÔ HƯỚNG VÀ TRƯỜNG VECTOR 8
1. Tr
ường vô hướng: 8
2. Trường vector: 8
3. Các toán tử vi phân: 9
4. Các định lý tích phân: 11
§4. CHUỖI FOURIER. 12
1. Định nghĩa: 12
2. Chuỗi Fourier sin và cos: 12
Bài tập chương 1 13
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG VẬT LÝ 15
§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 15
1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một: 15
2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi: 15
§2.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG VẬT LÝ. 17

1. Chuyển động của một chất điểm có gia tốc không đổi: 17
2. Dao động cơ h
ọc: 18
3. Dao động điện: 19
4. Sử dụng phương pháp vi tích phân để xác định một số đại lượng vật lý: 21
Bài tập chương 2. 24
Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG VẬT LÝ 26
§1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 26
§2. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG MỘT CHIỀU 27
1. Một bài toán Vật lý dẫn tới phương trình sóng: 27
2. Dao động của dây dài vô hạn. Bài toán Cauchy: 28
3. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn: 30
§3. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT MỘT CHIỀU 33
1. Thi
ết lập phương trình: 33
2. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh dài vô hạn: 35
3. Sự truyền nhiệt trong thanh hữu hạn: 36
§3. PHƯƠNG TRÌNH LAPLAXƠ 37
1. Thiết lập phương trình: 37
2. Bài toán: 38
§4. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 39
Bài tập chương 3 42

Toán cho Vật lý

1
Chương 1. MỞ ĐẦU
§1. SỐ PHỨC
Chúng ta đã biết khái niệm số thực. Số thực bao gồm những số hữu tỷ như: 2, 5, 78,
7

16
,… và những số vô tỷ như: 2, , ,e
π
…
Bình phương của mọi số thực đều là một số không âm. Cho nên nếu chỉ biết số thực,
thì không thể lấy căn bậc hai với hệ số thực. Chẳng hạn phương trình:
2
10x +=

không có nghiệm thực.
Để khắc phục trở ngại đó, người ta đưa vào khái niệm số phức. Việc đưa vào khái
niệm số phức cũng như xác định mọi phép toán về số phức phải đạt được yêu cầu sao cho
các số thực và các phép toán trên tập các số thực, có thể xem là trường hợp riêng của số
phức và các phép toán trên tập các số phức.
1. Định nghĩa số phức:
Ta g
ọi số phức là một biểu thức có dạng
x
iy
+
, trong đó x và y là những số thực,
còn số i được gọi là đơn vị ảo. Các số x và y lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức
x
iy+ . Ta thường kí hiệu:
z
xiy=+
(
)
Re Re
x

zxiy== +
(
)
Im z Imyxiy== +

Người ta thường kí hiệu tập hợp tất cả các số phức C.
Vậy
{
}
,CzxiyxRyR==+ ∈ ∈
.
Trong đó R là tập tất cả các số thực.
Nếu
0y = thì ta có
z
x= , nghĩa là số thực là trường hợp riêng của số phức, có phần
ảo bằng 0.
Nếu
0
x
= thì ta có
z
iy= , những số này được gọi là trường hợp riêng của số thuần
túy ảo.
Số phức
x
iy− được gọi là số phức liên hợp của số phức
z
xiy
=

+ và được kí hiệu
là
z
.
Số phức
x
iy−− được gọi là số phức đối của số phức
z
xiy
=
+ và kí hiệu là
(
)
z
−
.
Hai số phức
11 1
z
xiy=+ và
22 2
z
xiy
=
+ được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần
thực và phần ảo bằng nhau, nghĩa là
12
x
x
=

,
12
yy
=
. Khi đó ta viết
12
z
z= .
2. Các phép tính trên số phức:
a. Phép cộng:
Cho hai số phức
11 1
z
xiy
=
+ và
22 2
z
xiy
=
+ . Ta gọi số phức
(
)
(
)
12 12
z
xx iyy=++ + là tổng hai số phức
1
z

và
2
z
.
Từ định nghĩa trên, ta có thể suy ra dễ dàng các tính chất của phép cộng:
12 21
z
zzz+=+ (giao hoán)
(
)
(
)
123 123
z
zz zz z++=++ (kết hợp).
b. Phép trừ:
Toán cho Vật lý

2
Cho hai số phức
11 1
z
xiy=+
và
22 2
z
xiy
=
+
. Ta gọi số phức z là hiệu của hai số

phức
1
z
và
2
z
nếu
12
z
zz=+
.
Nếu gọi x, y lần lượt là phần thực, phần ảo của z thì theo định nghĩa, ta có:
12
x
xx=+
12
yyy=+
Vậy
12 12
;
x
xxyyy=− =−
và
(
)
(
)
12 12
z
xx iyy

=
−+ −.
Ta kí hiệu số phức là
12
z
zz=−
. Từ định nghĩa trên dễ dàng suy ra rằng:
(
)
12 1 2
z
zz z−=+−
c. Phép nhân:
Cho hai số phức
11 1
z
xiy=+ và
22 2
z
xiy
=
+ . Ta gọi số phức:
(
)
(
)
12 12 12 21
z
xx yy i xy x y=−+ + (1.1)
là tích của số phức

1
z
và số phức
2
z
. Khi đó ta viết
12
.
z
zz
=
.
Từ công thức (1.1) dễ dàng suy ra rằng phép nhân có các tính chất sau:
12 21

z
zzz= (giao hoán)
(
)
(
)
123 123

z
zz zz z= (kết hợp).
(
)
12 3 12 13

z

zz zzzz+= +
(phân phối đối với phép cộng)
(
)
1.
z
z−=−
.0 0. 0
z
z==
.1ii=−
d. Phép chia:
Cho hai số phức
11 1
z
xiy=+ và
22 2
z
xiy
=
+ . Nếu
2
0z
≠
, thì tồn tại duy nhất một
số phức
z
xiy=+
sao cho
21

.
z
zz
=
. Thật vậy, so sánh phần thực và phần ảo của hai đẳng
thức này, ta được:
221
x
xyyx−=
22 1
yx xy y+=

Đây là hệ phương trình bậc nhất đối với hai ẩn x và y. Định thức của hệ là
22
22
0xy∆= + ≠ . Vậy hệ có nghiệm duy nhất:
12 12 12 21
22 22
22 22
;
x
xyy yxyx
xy
x
yxy
+−
==
++

Số phức:

12 12 12 21
22 22
22 22
x
xyy yxyx
zi
x
yxy
+−
=+
++
(1.2)
được gọi là thương của hai số phức
1
z
và
2
z
và kí hiệu là
1
2
z
z
. Dễ dàng thấy rằng muốn
được (1.2), ta có thể nhân tử số và mẫu số của thương
111
222
z
xiy
z

xiy
+
=
+
với
22 2
z
xiy=−.
e. Phép nâng lũy thừa và khai căn:
Ta gọi tích của n số phức z là lũy thừa bậc n của z và kí hiệu:
. .
n
n
z
zzz z=


Đặt
(
)
w
n
n
z
xiy==+ , thì do định nghĩa phép nhân, ta có thể tính được Rew và
Imw theo x và y.
Toán cho Vật lý

3
Nếu

w
n
z =
thì ngược lại, ta nói z là căn bậc n của w và ta viết:
w
n
z =
. Sau này ta
sẽ còn xét kĩ hơn phép nâng lũy thừa và khai căn.
Ví dụ 1:
(
)
(
)
35 23 52iii++−=+
1
i
i
=−

25 3 7
122
i
i
i
+−
=+
−

Ví dụ 2:

(
)
(
)
22Re
z
zxiy xiy x z+= + + − = =

Ví dụ 3: Tìm các số thực x và y là nghiệm của phương trình:
(
)
(
)
(
)
(
)
32 1256
x
iixiy i i−++− +=+
Sau khi tách phần thực và phần ảo của vế trái, phương trình có thể viết được dưới
dạng:
(
)
(
)
721 5 256
x
yixy i+++ −−=+

Từ đó suy ra:
7215
526
xy
xy
++=
⎧
⎨
−−=
⎩

giải ra ta được:
20 36
;
17 17
xy==−

3. Biểu diễn hình học của số phức. Dạng lượng giác của số phức:
a. Biểu diễn hình học:
Cho số phức
z
xiy=+ . Trong mặt phẳng đã cho
chọn một hệ trục vuông góc
,Ox Oy
J
JG JJG
(gọi tắt là mặt
phẳng Oxy), ta xác định điểm M có hoành độ x, tung
độ y (hình 1.1).
Điểm M được gọi là tọa vị của số phức z.

Ngược lại, cho trước điểm M trong mặt phẳng, ta
biết được các tọa độ (x,y) của nó trong hệ trục Oxy, do
đó lập được số phức
z
xiy=+. Vậy giữa tập hợp các
số phức và tập hợp các điểm của mặt phẳng Oxy, thiết
lập được một song ánh.
x
y
O
x
y
M

(
)
,
x
iy M x y+↔ .
Vì lý do đó, ta gọi mặt phẳng Oxy là mặt phẳng phức. Sau này ta đồng nhất số phức
z với điểm M là tọa vị của nó, và đồng nhất C với mặt phẳng phức. Đáng lẽ nói số phức z
thì ta nói điểm z. Các điểm trên trục Ox biểu diễn số phức có phần ảo bằng 0, cho nên
trục Ox được gọi là trục thực. Các điểm trên Oy biểu diễn nh
ững số thuần ảo, cho nên
trục Oy được gọi là trục ảo.
Rõ ràng, hai số phức bằng nhau có cùng tọa vị, hai số phức liên hợp có tọa vị đối
xứng qua trục thực, hai số phức đối nhau có tọa vị đối xứng qua gốc tọa độ.
b. Môđun và acgumen của số phức z:
• Cho số phức z có tọa vị là M. Ta gọi độ dài r của vectơ OM
J

JJJG
là môđun của z và kí
hiệu là
z
.
Toán cho Vật lý

4
Góc lượng giác
(
)
,Ox OM
JJG JJJJG
xác định sai khác
2k
π
(k là số nguyên), được gọi là
acgumen của z và kí hiệu là Argz.
rzOM== (1.3)
(
)
,Argz Ox OM=
JJG JJJJG

Nếu
ϕ
là một trị số của góc
(
)
,Ox OM

J
JG JJJJG
thì ta có:
2
A
rgz k
ϕ
π
=+
(k nguyên bất kì).
Đặc biệt, trị số của Argz nằm giữa
π
−
và
π
được
gọi là giá trị chính của Argz và có kí hiệu là argz.
arg
z
π
π
−< ≤
Nếu z là một số thực dương thì
arg 0
z
=
, nếu z là một số
thực âm thì
arg
z

π
= , nếu
0
z
=
thì argz không xác định.
x
y
O
x
y
r
ϕ
M

• Liên hệ giữa phần thực, phần ảo, môđun và acgumen của số phức:
Chiếu vectơ OM
JJJJG
lên các trục tọa độ ta được:
cos
x
r
ϕ
=

sinyr
ϕ
=
(1.4)
Ngược lại, từ (1.4) suy ra:

22
rxy=+
y
tg
x
ϕ
=
(1.5)
Khi dùng công thức (1.5) để xác định góc
ϕ
, cần chú ý thêm là góc
ϕ
phải có côsin
cùng dấu với x.
•
Liên hệ giữa môđun và acgumen của hai số phức bằng nhau:
Vì hai số phức bằng nhau có cùng tọa vị nên môđun của chúng bằng nhau, còn
acgumen của chúng hơn kém nhau một bội số nguyên của
2
π
:
12
12
12
2
zz
zz
Argz Argz k
π
⎧

=
⎪
==
⎨
=+
⎪
⎩
(k nguyên bất kì) (1.6)
Ngoài ra cũng từ định nghĩa môđun và acgumen ta dễ dàng suy ra:
z
z=
()()
2
222 2 2
.
z
zxiyxiyxiyxy z=+ − =− =+=
2
.
z
zz= (1.7)
Ví dụ:
22
32 3 2 13i+= +=
()
arg 1
4
i
π
−=−

arg
2
i
π
=

c. Dạng lượng giác của số phức:
Nếu biểu diễn phần thực, phần ảo của số phức
z
xiy
=
+ theo r và
ϕ
thì ta được:
(
)
cos sinzxiyr i
ϕ
ϕ
=+ = +
(1.8)
công thức (1.8) được gọi là dạng lượng giác của số phức
z
xiy
=
+ .
Ví dụ: Viết các số phức sau đây dưới dạng lượng giác:
Toán cho Vật lý

5

1
2z =−
; vì
11
2,r
ϕ
π
==
nên
(
)
1
2cos sinzi
π
π
=
+

2
3
z
i=−; vì
22
31 2,
6
r
π
ϕ
=+= =− nên
2

2cos sin
66
zi
π
π
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠

3
3
z
i=
; vì
33
3,
2
r
π
ϕ
== nên
3
3cos sin
22
zi
π
π
⎛⎞
=+

⎜⎟
⎝⎠
.
Định lý 1:
Tích của hai số phức có môđun bằng tích các môđun của các thừa số và
có acgumen bằng tổng các acgumen của các thừa số. Nghĩa là nếu:
(
)
11
cos sinzr i
ϕ
ϕ
=+

(
)
22
cos sinzr i
ψ
ψ
=+

thì
(
)
(
)
12 12
cos sinzzz rr i
ϕ

ψϕψ
==⎡ ++ +⎤
⎣⎦

Định lý 2:
Thương của hai số phức có môđun bằng thương các môđun và có
acgumen bằng hiệu của acgumen của số bị chia và số chia:
() ()
11
22
cos sin
zr
i
zr
ϕ
ψϕψ
=⎡ − + −⎤
⎣⎦
(1.9)
Đặc biệt, trong (1.9) nếu
1
1, 0z
ϕ
=
= thì:
()
22
11
cos sini
zr

ψ
ψ
=−
.
d. Công thức Moavơrơ (Moivre):
Áp dụng định lý 1 cho tích của n thừa số bằng z, ta được kết quả như sau:
Lũy thừa bậc n của
(
)
cos sinzr i
ϕ
ϕ
=+
có môđun bằng
n
r và có acgumen bằng
.n
ϕ
, nghĩa là:
()( )
cos sin cos sin
n
n
ri rnin
ϕ
ϕϕϕ
⎡+⎤= +
⎣⎦

Đặc biệt khi 1r = , ta được công thức:

(
)
cos sin cos sin
n
inin
ϕ
ϕϕϕ
+=+ (1.10)
được gọi là công thức Moavơrơ.
Thay
ϕ
bởi
ϕ
− , ta được:
(
)
cos sin cos sin
n
inin
ϕ
ϕϕϕ
−=−
.
4. Công thức Euler:
Từ
(
)
wcosisin
zxiyx
ee e y y

+
== = + (1.11)
Trong (1.11) cho
0
x
= , ta được công thức như sau gọi là công thức Euler:
cos sin
iy
eyiy=+ (1.12)
Thay y bởi –y, ta được:
cos sin
iy
eyiy
−
=−
Nhờ có công thức Euler mà số phức
(
)
cos sinzr i
ϕ
ϕ
=
+ còn viết được dưới dạng
mũ
.
i
z
re
ϕ
= .

Ta có:
(
)
cos sin .
i
z
rire
ϕ
ϕϕ
=+=. (1.13)
Ví dụ 1: 1)
.0
1cos0 sin0
i
ie=+ =
2)
.
2
cos sin
22
i
iie
π
ππ
=+ =

Toán cho Vật lý

6
3)

4
.ar
3
44
34 5osar isinar 5.
33
ictg
ic ctg ctg e
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
+= + =
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦

Ví dụ 2:
(
)
23 2
cos3 sin3
i
ee i
+
=+.
5. Hàm Hyperbôn:
a. Định nghĩa:
Các hàm Hyperbôn biến phức được định nghĩa theo những công thức:
;
22

zz zz
ee ee
chz shz
−
−
+−
==

zz
z;cothz
zz
sh ch
th
ch sh
== (1.14)
b. Các phép tính:
Ta có các công thức giống như trong giải tích thực:
zz
z
echsh=+
zz
z
echsh
−
=−
22
1ch z sh z−=
(
)
12 1 2 2 1

sh z z shz chz shz chz+= +

22
2ch z ch z sh z=+
§2. NHỮNG HỆ TỌA ĐỘ THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ
1. Hệ tọa độ Decarters vuông góc:
Hệ tọa độ Decarters còn gọi là hệ tọa độ vuông
góc thuận, gồm 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz đôi một
vuông góc nhau, sao cho một đinh ốc thuận quay từ
trục x sang trục y theo góc nhỏ thì đinh ốc sẽ tiến theo
chiều trục z. Trên mỗi trục đó lần lượt có các vector
đơn vị (vector có môđun bằng 1)
,,ijk
G
G
G
hướng dọc
theo chiều tăng của trục (hình 1.3). Dễ thấy:
;;kiji jkjki=× =× = ×
GGG
GGG G G G

Vị trí điểm M trong không gian được xác định
bởi vector tia
r
G
:
(
)
,,rOMxiyjzk xyz==++=

JJJJG
G
GG
G


x
x
yy
z
z
M
O
r
G

Bộ ba số
(
)
,,
x
yz
gọi là tọa độ của điểm M, cũng là tọa độ của vector tia
r
G
(còn gọi
là vector vị trí hay vector bán kính). Do đó khoảng cách từ điểm M đến điểm gốc tọa độ
là:
222
rOM x y z==++.

2. Các hệ tọa độ cong:
Trong nhiều bài toán, để xác định vị trí của điểm M, thay cho bộ ba số x, y, z, người
ta dùng bộ ba số khác
123
,,qq q phù hợp và thuận tiện hơn với bài toán đang xét. Ngược
lại, ta giả thiết một bộ ba số
123
,,qqq ứng với một bán kính vector
r
G
, do đó ứng với một
Toán cho Vật lý

7
điểm M nào đó của không gian. Các đại lượng
123
,,qqq
được gọi là tọa độ cong của
điểm M.
Hệ số Lame của hệ tọa độ cong đang xét:
222
2
i
iii
x
yz
h
qqq
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
∂∂∂

=++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

a. Hệ tọa độ trụ:
Vị trí của một điểm được xác định bằng bộ ba số:
,,
z
ρ
ϕ
.
Ta có mối liên hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ
Decarters vuông góc:
.cos
x
ρ
ϕ
=

.siny
ρ
ϕ
=
z
z=
Khoảng biến thiên:
ρ
: từ 0 đến
∞

.
ϕ
: từ 0 đến 2
π
.
z
: từ −∞ đến
+
∞ .
Các mặt tọa độ:
C
ρ
=
: mặt trụ có trục là Oz.
C
ϕ
=− : nửa mặt phẳng giới hạn bởi Oz.
x
x
y
y
z
z
M
O
r
G
ρ
ϕ
M

′

z
C=
: mặt phẳng vuông góc với trục Oz.
Các đường tọa độ:
Đường
ρ
: nửa đường thẳng xuất phát từ trục Oz và vuông góc với trục Oz.
Đường
ϕ
: đường tròn có tâm nằm trên trục Oz trong mặt phẳng vuông góc với
trục Oz.
Đường
z
: đường thẳng song song với trục Oz.
b. Hệ tọa độ cầu:
Vị trí của một điểm được xác định bởi bộ ba
số:
,,r
θ
ϕ
.
Hệ thức liên hệ giữa hệ tọa độ cầu và hệ tọa
độ Decarters vuông góc:
sin cosxr
θ
ϕ
=
sin sinyr

θ
ϕ
=
cos
z
r
θ
=
.
Khoảng biến thiên:
r : từ 0 đến
∞ .
θ
: từ 0 đến
π
.
ϕ
: từ 0 đến 2
π
.
Các mặt tọa độ:
rC= : mặt cầu tâm O.
C
θ
= : nửa mặt nón có đỉnh là O, trục là Oz.
C
ϕ
= : nửa mặt phẳng giới hạn bởi Oz.
Hình 1.5
x

y
z
O
θ
ϕ
r

Các đường tọa độ:
Đường
r
: nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O.
Đường
θ
: kinh tuyến trên mặt cầu.
Toán cho Vật lý

8
Đường
ϕ
: đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu.
3. Hệ tọa độ cực:

Hình chiếu của hệ tọa độ trụ lên mặt phẳng (Oxy)
cho ta hệ tọa độ cực. Trong hệ tọa độ cực, vị trí của
điểm M được xác định bởi bán kính cực r và góc cực
ϕ
. Ta có:
cos
x
r

ϕ
=
sinyr
ϕ
=


x
y
O
x
y
r
ϕ
M


§3. TRƯỜNG VÔ HƯỚNG VÀ TRƯỜNG VECTOR
1. Trường vô hướng:
Là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng với một giá trị của một đại
lượng vô hướng nào đó
(
)
M
ϕ
.
Cho một trường vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng
(
)
M

ϕ
có giá trị phụ
thuộc vào từng điểm của phần không gian đang xét.
Trong hệ tọa độ Decarters Oxyz, ta có:
(
)
(
)
,,
M
xyz
ϕ
ϕ
=
(1.15)
Ví dụ: Xét một vật không đồng chất thì mật độ
ρ
phụ thuộc vào từng điểm của vật
và ta có trường mật độ
(
)
M
ρ
.
Nếu hàm vô hướng
(
)
M
ϕ
của trường không đổi theo thời gian, ta nói ta có trường

dừng. Nếu
ϕ
còn phụ thuộc cả vào thời gian, thì ta có trường không dừng hay trường
thay đổi
(
)
,
M
t
ϕ
.
Để biểu diễn hình học trường vô hướng, ta dùng khái niệm mặt mức. Mặt mức là
một mặt trong không gian mà trên đó trường vô hướng có giá trị không đổi:
(
)
(
)
,,
M
xyz C
ϕ
ϕ
== (1.16)
Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức. Cho C có giá trị khác nhau, ta có một
họ các mặt mức.
2. Trường vector:
Là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng với một giá trị của đại
lượng vector
(
)

AM
G
nào đó.
Cho một trường vector có nghĩa là cho một hàm vector
(
)
AM
G
phụ thuộc vào từng
điểm M. Trong hệ tọa độ Decarters có:
(
)
(
)
,,AM Axyz=
GG
(1.17)
Ví dụ: Một điện tích điểm e sinh ra xung quanh nó một điện trường, được biểu diễn
bằng một vector cường độ điện trường
E
G
phụ thuộc vào điểm ta xét.
Toán cho Vật lý

9
3
e
Ek r
r
=

G
G

r
G
là bán kính vector.
rxiyjzk=++
G
GG
G
.
Để biểu diễn hình học trường vector, ta dùng các đường vector, là các đường trong
không gian mà tại mỗi điểm vector
A
G
nằm dọc theo tiếp tuyến của nó.
3. Các toán tử vi phân:
a. Građiên của một hàm vô hướng:
Građiên của một hàm vô hướng là một vector:
grad i j k
x
yz
ψ
ψψ
ψ
∂
∂∂
=++
∂
∂∂

G
GG

Xét trường vô hướng trong hệ tọa độ cong:
(
)
123
,,qq q
ϕϕ
=
()
3
12
123
11 2 2 33
,,
e
ee
grad q q q
hq hq hq
ϕ
ϕϕ
ϕ
∂
∂∂
=+ +
∂
∂∂
G
G

G

Ví dụ: Tìm biểu thức
grad
ψ
trong hệ tọa độ trụ.
Đầu tiên ta tính các hệ số Lame
222
22
xyz
h
ϕ
ρ
ϕϕϕ
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
∂∂∂
=++=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

22
1; 1
z
hh
ρ
==

Vậy
;1;1

z
hhh
ϕρ
ρ
===
z
e
grad e e
z
ϕ
ρ
ψ
ψψ
ψ
ρρϕ
∂∂∂
=++
∂∂∂
G
GG

b. Dive của một trường vector:
Xét một điểm M nào đó của trường, ta bao quanh nó bằng một thể tích nhỏ V và
tính thông lượng P của vector
A
G
qua mặt S bao quanh V:
S
n
S

PAd=
∫
v

n
A là hình chiếu của vector
A
G
trên phương pháp tuyến n
G
của S.
Lập tỷ số
P
V
để quy về một đơn vị thể tích rồi chuyển qua giới hạn khi mọi kích
thước của thể tích V tiến đến không. Kết quả ta nhận được một con số nào đó phụ thuộc
vào dáng điệu của vector
A
G
ở gần điểm M và đặc trưng cho mức độ chảy ra khỏi lân cận
điểm M, kí hiệu là
divA
G
:
0
lim
n
S
V
AdS

divA
V
→
=
∫
G
v

Trong hệ tọa độ Decarters:
y
x
z
A
A
A
divA
x
yz
∂
∂
∂
=++
∂∂∂
G

Biểu thức tính
divA
G
trong hệ tọa độ cong:
Toán cho Vật lý

10
(
)
(
)
(
)
123 231 312
123 1 2 3
1
Ah h A h h Ahh
divA
hh h q q q
⎡⎤
∂∂∂
=++
⎢⎥
∂∂∂
⎣⎦
G

Ví dụ: Viết biểu thức của
divA
G
trong hệ tọa độ trụ:
Các hệ số Lame
1; ; 1
z
hh h

ρϕ
ρ
== =
(
)
1
z
A
A
A
divA
z
ρ
ϕ
ρ
ρ
ρρ ϕ
⎡⎤
∂
∂
∂
⎢⎥
=++
∂∂∂
⎢⎥
⎣⎦
G

c. Rota của một trường vector:
Trong trường vector

A
G
, ta xét một vòng kín L nằm trên mặt phẳng có pháp tuyến
n
G
.
Tính lưu thông Q của vector
A
G
dọc theo L. Đó chính là tích phân đường loại hai.
L
QAdr=
∫
G
G
v

Bây giờ ta lấy điểm M trong trường, bao quanh nó bằng đường cong kín L vô cùng
bé. Diện tích của miền bao bởi L là S.
Tỷ số
Q
S
là mật độ lưu thông trung bình trên diện tích S. Ta đưa vào định nghĩa
vector
rotA
G
đặc trưng cho độ xoáy của trường tại điểm M như sau:
0
lim
n

S
Adr
rot A
S
→
=
∫
G
G
G
v

Trong đó
n
rot A
G
là hình chiếu của vector rotA
G
trên phương pháp tuyến của mặt.
Trong tọa độ Decarters:
yy
xx
zz
AA
AA
AA
rotA i j k
yz zx xy
∂∂
⎛⎞ ⎛⎞

∂∂
∂∂
⎛⎞
=− +− +−
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
G
G
G
G

Biểu thức của
rotA
G
trong hệ tọa độ cong:
()
()
()
()
() ()
13322
23 2 3
21133
31 3 1
32211
12 1 2
1

1
1
rot A A h A h
hh q q
rot A A h A h
hh q q
rot A A h A h
hh q q
⎧
⎡⎤
∂∂
=−
⎪
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
⎪
⎪
⎡⎤
∂∂
⎪
=−
⎨
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
⎪
⎪
⎡⎤
∂∂

⎪
=−
⎢⎥
⎪
∂∂
⎣⎦
⎩
G
G
G

Ví dụ: Viết biểu thức của
rotA
G
trong hệ tọa độ cầu:
Các hệ số Lame:
1; ; sin
r
hhrhr
θϕ
θ
== =
()
1
sin
sin
r
A
rot A A
r

θ
ϕ
θ
θ
θϕ
⎡⎤
∂
∂
=−
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
G

()
11
sin
r
A
rot A rA
rr
θϕ
θϕ
⎡⎤
∂∂
=−
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
G

()
1
r
A
rot A rA
rr
ϕθ
θ
∂∂
⎡⎤
=−
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
G

Toán cho Vật lý

11
() ()
()
111
sin
sin sin
1
r
r
r
A

A
rotA A e rA e
rrr
A
rA e
rr
θ
ϕϕθ
θϕ
θ
θθ ϕ θϕ
θ
⎡⎤⎡ ⎤
∂
∂∂∂
⇒= − + − +
⎢⎥⎢ ⎥
∂∂ ∂∂
⎣⎦⎣ ⎦
∂∂
⎡⎤
+−
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
G
G
G
G

d. Toán tử Hamilton (toán tử Nabla):
∇ là một vector, trong hệ tọa độ Decarters vuông góc, nó có dạng:
ijk
x
yz
∂∂∂
∇= + +
∂∂∂
G
GG

Bản thân vector
∇
không có một giá trị thực nào. Nó chỉ có ý nghĩa khi ta nhân nó
với một hàm vô hướng hoặc một hàm vector.
grad
ψ
ψ
∇=
AdivA∇=
GG

ArotA∇× =
GG

e. Toán tử Laplaxơ:
Tích vô hướng của
∇
với chính nó là một vô hướng gọi là Laplaxơ, và ký hiệu là
∆

hoặc
2
∇ . Toán tử
2
∇ có tính chất của vô hướng và của đạo hàm.
222
2
222
x
yz
∂
∂∂
∆=∇ = + +
∂∂∂

222
2
222
x
yz
ψ
ψψ
ψψ
∂
∂∂
∆=∇ = + +
∂
∂∂

22 2 2
x
yz
A
iAjAkA∇=∇ +∇ +∇
G
G
GG

Toán tử Laplaxơ trong hệ tọa độ cong:
23 31
12
123 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1
hh hh
hh
hhhqhq qhq qhq
ψψψ
ψ
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
∂∂∂∂∂∂
∆= + + +
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
∂∂∂∂∂∂
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠

⎣⎦

Trong hệ tọa độ trụ:
22
2
22
11
z
ψ
ψψ
ψρ ρ
ρρ ρ ρ
ϕ
⎡⎤
⎛⎞
∂∂ ∂ ∂
∇= + +
⎢⎥
⎜⎟
∂∂
∂∂
⎝⎠
⎣⎦

Trong hệ tọa độ cầu:
2
22
22
11
sin sin

sin
sin
r
rr
r
ψ
ψψ
ψθ θ
θθθ
θ
ϕ
⎡⎤
∂∂ ∂ ∂ ∂
⎛⎞⎛ ⎞
∇= + +
⎢⎥
⎜⎟⎜ ⎟
∂∂∂ ∂
∂
⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦

4. Các định lý tích phân:
a. Định lý Ôxtrôgratxki – Gauxơ:
Nếu các thành phần ,,
x
yz
A
AA của hàm vector
A

G
và
các đạo hàm riêng phần của chúng là liên tục trong một thể tích V bất kỳ nào đó, và nếu
σ
là mặt kín bao quanh thể tích V đó, ta có:
n
V
divAdV A d Ad
σσ
σ
σ
==
∫∫∫
GG
G
v
v

b. Phương trình liên tục:
Xét chất lỏng hoặc khí với trường vận tốc là
(
)
vM
G
và
ρ
là mật độ khối lượng thì:
Toán cho Vật lý

12

0
d
div v
dt
ρ
ρ
+=
G

được gọi là phương trình liên tục.
c. Định lý Stôcxơ (Stokes): Nếu các thành phần , ,
x
yz
AAA của hàm vector
A
G
và các
đạo hàm riêng phần của chúng là liên tục trên một mặt
σ
bất kỳ, và C là chu tuyến bao
quanh mặt
σ
đó, ta có:
C
rotAd Adr
σ
σ
=
∫∫
GG

GG
v
.
d. Công thức Grin (Green):
Xét trường vectơ
A
G
có dạng:
A
grad
ψ
ϕ
=
G
trong đó
ψ
và
ϕ
là các hàm vô hướng.
()
SV
dS dV
n
ϕ
ψψϕϕψ
∂
=∆+∇∇
∂
∫∫v
(1.18)

với
n
G
là pháp tuyến ngoài của mặt S. Đó là công thức Grin thứ nhất.
Nếu đổi chỗ giữa
ψ
và
ϕ
trong (1.18), ta có:
()
SV
dS dV
n
ψ
ϕϕψψϕ
∂
=∆+∇∇
∂
∫∫v
(1.19)
Trừ hai phương trình (1.18) và (1.19) cho nhau ta được:
()
SV
dS dV
nn
ψϕ
ϕψ ϕψψϕ
∂∂
⎛⎞
−=∆−∆

⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫v

Đó là công thức Grin thứ hai.
§4. CHUỖI FOURIER.
1. Định nghĩa:
Chuỗi lượng giác:
()( )
()
01 1 2 2
1
cos sin cos 2 sin 2 cos sin
2
nn
a a xb x a xb x a nxb nx+++ + ++ + +
là chuỗi Fourier của hàm
(
)
f
x
ở trên đoạn
[
]
,
π
π
− nếu các hệ số Fourier
n

a ,
n
b thỏa:
()
()
1
cos , 0,1, 2,
1
sin , 1,2,
n
n
afxnxdxn
bfxnxdxn
π
π
π
π
π
π
−
−
⎧
==
⎪
⎪
⎨
⎪
==
⎪
⎩

∫
∫

Người ta ký hiệu chuỗi Fourier của
(
)
f
x là:
()
()
0
1
1
cos sin
2
nn
n
f
xa anxbnx
∞
=
=+ +
∑

2. Chuỗi Fourier sin và cos:
Cho hàm
(
)
f
x

trên đoạn
[
]
,
π
π
−
(
)
(
)
f
xfx f−= ⇔ chẵn quanh
0
x
=
,
(
)
(
)
f
xfxf−=− ⇔ lẻ quanh 0
x
=

Nếu
(
)
f

x lẻ thì:
Toán cho Vật lý

13
()
1
cos 0 , 0,1,2,
n
afxnxdxn
π
π
π
−
===
∫


()
()
0
1
sin
2
sin , 1,2,
n
bfxnxdx
f x nxdx n
π
π
π

π
π
−
=
==
∫
∫

và lúc đó chuỗi Fourier của
(
)
f
x
trên đoạn
[
]
,
π
π
−
trở thành:
()
1
sin
n
n
f
xbnx
∞
=

∼
∑

với
()
0
2
sin , 1,2,
n
bfxnxdxn
π
π
==
∫

được gọi là chuỗi Fourier sin của
(
)
f
x trên đoạn
[
]
,
π
π
− .
Nếu
(
)
f

x
chẵn thì:
()
()
0
1
cos
2
cos , 0,1, 2,
n
afxnxdx
f x nxdx n
π
π
π
π
π
−
=
==
∫
∫

0 , 1,2,
n
bn==
Lúc đó chuỗi Fourier của
(
)
f

x trên đoạn
[
]
,
π
π
− trở thành:
()
0
1
1
cos
2
n
n
f
xa anx
∞
=
∼+
∑

với
()
0
2
cos , 0,1,2,
n
afxnxdxn
π

π
==
∫

và được gọi là chuỗi Fourier cos của
(
)
f
x trên đoạn
[
]
,
π
π
− .
Bài tập chương 1
Bài 1. Viết dưới dạng lượng giác các số phức:
123 4
2; 3 ; 3 ; 2 5
z
ziz iz i=− = = − =− +
Bài 2. Tính:
()
5
12 3
12
;;3
13
z
zzi

ii
== =−
−

Bài 3. Chứng minh rằng:
11
11
n
itg itgn
itg itgn
α
α
α
α
⎛⎞
++
=
⎜⎟
−−
⎝⎠

Bài 4. Giải các phương trình:
a.
2
10zz++=
Toán cho Vật lý

14
b.
(

)
2
23 13 0
z
iz i−+ −+=

c.
4
10z +=
Bài 5. Cho
cos sinzi
ϕ
ϕ
=+

Chứng minh:
2cos
nn
z
zn
ϕ
+=
2sin
nn
z
zin
ϕ
−=

Bài 6. Chứng minh:

(
)
rot A rotA A grad
ϕ
ϕϕ
⎡
⎤
=−×
⎣
⎦
GGG

Bài 7. Viết biểu thức của grad
ψ
trong hệ tọa độ cầu.
Bài 8. Viết biểu thức của divA
G
trong hệ tọa độ cầu.
Bài 9. Tìm div của trường vector:
333
A
xi y j zk=++
G
G
GG

Bài 10. Trong tọa độ trụ, A
G
có dạng:
A

z
eze
ρ
ρ
=+
G
GG

Tính
divA
G
.
Bài 11. Viết biểu thức của rotA
G
trong hệ tọa độ trụ.
Bài 12. Tính rot của trường vector
3
A
r
r
=
G
G
.
Bài 13. Tính
ψ
∆ trong hệ tọa độ cầu với
2
1
r

ψ
=
.
Toán cho Vật lý

15
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG VẬT LÝ
§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất có dạng:
(
)
0ypxy
′
+=
(2.1)
hàm
(
)
p
x liên tục trên
(
)
,ab R⊆ .
Nếu
0y ≠ , có thể viết (2.1) thành:
()
dy
p
xdx

y
=−

đó là một phương trình với biến số phân li. Suy ra:
(
)
ln lnypxdxC=− +
∫

C là hằng số tùy ý, do đó:
() ()
(
)
.expyx C pxdx=−
∫

đó là nghiệm tổng quát của phương trình (2.1).
2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi:
Phương trình vi phân:
(
)
12
yayayfx
′′ ′
++= (2.2)
trong đó
12
,aa là hằng số,
(
)

f
x là hàm liên tục theo biến x, được gọi là phương trình vi
phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất.
Trường hợp
(
)
0fx= , tức là:
12
0yayay
′′ ′
++= (2.3)
là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất.
a. Tính cộng được của nghiệm:
Định lý a: Nếu biết trước
(
)
1
yx là một nghiệm của phương trình (2.3), thì ta có thể
tìm được thêm
(
)
2
yx độc lập tuyến tính với
(
)
1
yx và
(
)
(

)
(
)
21
yx yxux=
(2.4)
Định lý b: Nếu
(
)
1
yx,
(
)
2
yx đều là nghiệm của phương trình (2.3) độc lập tuyến
tính, thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2.3) có dạng:
(
)
(
)
(
)
11 2 2
yx Cy x Cy x=+ (2.5)
Định lý c: Nếu
(
)
3
yx
là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (2.2),

thì nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (2.2) có dạng:
(
)
(
)
(
)
3
Yx yx y x=+ (2.6)
với
(
)
(
)
(
)
11 2 2
yx Cy x Cy x=+
là nghiệm tổng quát của (2.3).
b. Cách giải phương trình thuần nhất:
Từ phương trình (2.3), nếu đặt
x
ye
λ
= thì ta có
(
)
2
12
0

x
aae
λ
λλ
+
+= nên phương
trình:
Toán cho Vật lý

16
2
12
0aa
λλ
++=
(2.7)
được gọi là phương trình đặc trưng.
Phương trình đặc trưng luôn có hai nghiệm:
2
112
1,2
4
2
aaa
λ
−± −
=

y Khi
2

12 1,2
40,aa
λ
∆= − > là nghiệm thực phân biệt.
y Khi
2
12 12
40,aa R
λλλ
∆= − = = = ∈ .
y Khi
2
12 1,2
40,aa i
λ
αβ
∆= − < = ±
hai nghiệm phức, trong đó:
1
,
22
a
αβ
−
∆
=− =

•
Trường hợp phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt
12

λ
λ
≠ . Theo
cách đặt ở trên thì:
(
)
(
)
12
12
;
x
x
yx e yx e
λ
λ
==
Theo định lý b, ta có:
(
)
12
12
x
x
yx Ce Ce
λ
λ
=+
(2.8)
là nghiệm tổng quát của phương trình (2.3).

•
Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép:
Theo cách đặt ở trên thì:
(
)
1
x
yx e
λ
=
và
(
)
(
)
(
)
21
.yx yxux
=
(theo định lý a). Với
(
)
x
ux=
, ta có:
(
)
12
x

x
yx Ce Cxe
λ
λ
=+

(
)
(
)
12
x
yx C xC e
λ
=+ (2.9)
là nghiệm tổng quát của phương trình (2.3).
•
Trường hợp
12
, i
λ
λαβ
=±
với
2
,,1Ri
αβ
∈
=−
. Theo cách đặt

(
)
x
yx e
λ
=
, ta
có:
(
)
(
)
1
ix
yx e
α
β
+
= và
(
)
(
)
2
ix
yx e
α
β
−
=

là hai nghiệm riêng dạng phức. Vì chúng ta đang xét sự tồn tại nghiệm thực
()
yx, nên
đặt:
() ()
12 12
12
,
22
yy yy
yx yx
i
+−
==

Chúng ta nhận được hai nghiệm thực:
(
)
1
.cos
x
yx e x
α
β
=
(
)
2
.sin
x

yx e x
α
β
=
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2.3) là:
(
)
[
]
12
cos sin
x
yx C x C xe
α
ββ
=+ (2.10)
•
Trường hợp riêng:
1) Phương trình:
2
0yy
ω
′′
+=
(2.11)
Phương trình đặc trưng:
22
0r
ω
+

=
có hai nghiệm ảo:
(
)
12
,0,ri r i
ω
ωα β ω
==−==

Do đó theo (2.10) thì nghiệm tổng quát của (2.11) có dạng:
Toán cho Vật lý

17
12
cos sinyC xC x
ω
ω
=+

2) Phương trình:
2
0yy
ω
′′
−=
(2.12)
Phương trình đặc trưng:
22
0r

ω
−
=
có hai nghiệm thực:
12
,rr
ω
ω
==−
Do đó theo (2.8) thì nghiệm tổng quát của (2.12) có dạng:
12
x
x
yCe Ce
ω
ω
−
=+

hay
12
yDchxDshx
ω
ω
=+ nếu đặt
112212
;DCCDCC
=
+=−.
c. Cách giải phương trình không thuần nhất:

Trường hợp vế phải của (2.2) có dạng:
(
)
(
)
(
)
cos sin
mn
f
xPx xPx x
μ
μ
=+

trong đó:
(
)
(
)
,
mn
P
xPx là những đa thức bậc m, n;
μ
là hằng số.
Nếu
i
μ
± không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm

riêng của phương trình (2.2) có dạng:
(
)
(
)
(
)
3
cos sin
ll
yx Qx xRx x
μ
μ
=+
(2.13)
trong đó:
(
)
(
)
,
ll
Qx Rx là những đa thức bậc
(
)
max ,lmn= .
Nếu
i
μ
± là nghiệm của phương trình đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm riêng của

phương trình (2.2) có dạng:
(
)
(
)
(
)
3
cos sin
ll
yx xQx xRx x
μ
μ
=+⎡⎤
⎣⎦
(2.14)
§2.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG VẬT LÝ.
1. Chuyển động của một chất điểm có gia tốc không đổi:
a. Vận tốc của chất điểm:
Từ định nghĩa của gia tốc ta có phương trình:
dv adt=
Lấy tích phân ở cả hai vế, ta được:
00
dv
vt
vt
adt=
∫∫

Do gia tốc của chất điểm không đổi theo thời gian nên:

(
)
00
vv at t=+ − (2.15)
Như vậy, vận tốc của chất điểm có gia tốc không đổi là hàm bậc nhất của thời gian
(phụ thuộc tuyến tính vào thời gian).
b. Phương trình chuyển động:
Từ định nghĩa của vận tốc ta có phương trình:
(
)
00
vdx a t t dt=+−
⎡⎤
⎣⎦

Lấy tích phân ở cả hai vế của phương trình trên, ta có:
()
00
00
v
xt
xt
dx a t t dt=+−⎡⎤
⎣⎦
∫∫

() ( ) ()
2
00 0 0
1

v
2
x
tx tt att=+ −+ −
(2.16)
Như vậy, khi chất điểm chuyển động với gia tốc không đổi thì tọa độ là hàm bậc hai
của thời gian.
Toán cho Vật lý

18
Khử t trong (2.16) ta sẽ thu được công thức độc lập với thời gian. Thật vậy từ (2.15)
ta có:
0
0
vv
tt
a
−
−=

thay vào (2.16) ta được:
(
)
22
00
vv2ax x−= −
2. Dao động cơ học:
Giả sử có một vật có khối lượng m được
đặt trên một lò xo đàn hồi (hình 2.1). Chọn
trục Oy thẳng đứng hướng từ trên xuống, gốc

O đặt ở trọng tâm của vật ở vị trí cân bằng. Gọi
y là độ dời tính từ vị trí cân bằng. Giả sử lực
kéo vật về vị trí cân bằng tỷ lệ với độ dời,
nghĩa là bằng
ky− , k là hệ số đàn hồi của lò
xo, còn lực cản hướng ngược chiều chuyển
động và tỷ lệ với vận tốc của vật, nghĩa là bằng
dy
dt
λ
−
,
λ
là hằng số dương.
y
Vị trí cân bằng
m
Hình 2.1
y
O


Theo định luật II Newton, phương trình chuyển động của vật trên lò xo là:
2
2
dy dy
mky
dt dt
λ
=− −

Nếu đặt:
,
k
pq
mm
λ
== thì:
0ypyqy
′′ ′
++= (2.17)
Phương trình đặc trưng của (2.10) có dạng:
2
0kpkq++=
có hai nghiệm là:
22
12
,
24 24
pp pp
kqkq=− + − =− − −
Nếu
2
4
p
q>
thì
12
,kk
là hai số âm. Nghiệm tổng quát của phương trình (2.17) là:
12

12
kt k t
yCe Ce=+

Do đó, với mọi điều kiện ban đầu, độ dời
0y → khi t →+∞. Trong trường hợp này
không có dao động, vì lực cản quá lớn.
Nếu
2
4
p
q
=
thì
12
2
p
kk==−
. Nghiệm tổng quát của (2.17) là:
()
2
12
p
t
yCCte
−
=+
Trong trường hợp này, độ dời y cũng dần đến 0 khi
t →+∞, nhưng không nhanh
như trường hợp trước.

Nếu
2
4
p
q<
thì
12
,kiki
α
βαβ
=+ =− , trong đó
2
p
α
=
−
,
2
4
p
q
β
=−. Nghiệm tổng
quát của phương trình (2.17) là:
Toán cho Vật lý

19
(
)
12

cos sin
t
ye C tC t
α
β
β
=+
.
Đặt
12
sin , cosCA C A
ϕ
ϕ
== ta có
22
12
A
CC=+,
1
2
C
arctg
C
ϕ
= .
Thế
12
,CC vào biểu thức của y, ta được biểu thức của nghiệm tổng quát của phương
trình (2.17) là:
(

)
sin
t
yeA t
α
β
ϕ
=+

Trong trường hợp này vật dao
động với biên độ
t
A
e
α
phụ thuộc vào
thời gian. Vì
0
2
p
α
=− <
, nên biên độ
dần đến 0 khi
t →+∞
. Vậy chuyển
động của vật là một dao động tắt dần.
Đồ thị của dao động tắt dần được biểu
diễn trên hình 2.2.
Đặc biệt nếu

0p = , tức là vật
chuyển động không bị lực cản thì
nghiệm tổng quát của phương trình
(2.17) là:
O
y
t
(
)
0
sin
t
yAe t
α
β
ϕ
=
+
Hình 2.2
(
)
12
cos sin sinyC tC tA t
β
ββϕ
=+=+
Chuyển động của vật là một dao động điều hòa có chu kì
2
T
π

β
= .
3. Dao động điện:
a. Dao động điều hòa:
Xét một mạch điện kín gồm một tụ điện có điện dung C
và một cuộn dây có độ tự cảm L và có điện trở thuần bằng
không (hình 2.3).
Nếu ban đầu tụ được tích một điện lượng Q (bản A có điện tích
Q, bản B có –Q) thì nó sẽ phóng điện qua cuộn dây, tạo thành
dòng điện xoay chiều, người ta nói có dao động điện trong
mạch.
Gọ
i q và i là giá trị đại số của điện tích bản A và cường độ
dòng điện chạy trong mạch, chiều dương quy ước là chiều đi
về bản A.
L
C
Hình 2.3
i
AB
q-q
Cường độ i liên quan với điện tích q như sau: trong khoảng thời gian dt dòng điện
chuyển một điện tích idt đến tích thêm vào bản A, vậy
idt dq
=
, ta suy ra:
dq
i
dt
=

Dòng điện biến thiên tạo nên suất điện động cảm ứng e trong cuộn dây:
2
2
di d q
eL L
dt dt
=− =−

Suất điện động cảm ứng này bằng hiệu điện thế giữa hai bản của tụ điện:
Toán cho Vật lý

20
2
2
dq q
L
dt C
−=

hay
1
0
qq
LC
′′
+=
Đặt
1
LC

ω
=
Ta sẽ có:
2
0qq
ω
′′
+=
(2.18)
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số là hằng số. Do
đó nghiệm tổng quát của phương trình (2.18) có dạng:
(
)
12
cos sinqt C t C t
ω
ω
=+

Nếu đặt:
12
sin , cosCA C A
ϕ
ϕ
== thì
22
1
12
2
;

C
ACC arctg
C
ϕ
=+ =
hay nghiệm của phương trình (2.18) có thể viết lại như sau:
(
)
(
)
sinqt A t
ω
ϕ
=+
.
b. Dao động tắt dần:
Bây giờ ta xét thêm trường hợp mạch có điện
trở thuần R ghép nối tiếp với cuộn dây (hình 2.4).
Lúc này hiệu điện thế hai đầu cuộn dây và điện trở
thuần là:
AB
q
u e Ri Lq Rq
C
′′ ′
=− =− − =

Ta có phương trình vi phân cho biến đổi của
điện tích q theo thời gian t:
L

C
R
Hình 2.4
i
AB
q-q
1
0
R
qq q
LLC
′′ ′
++ =

hay là:
2
0
20qqq
εω
′′ ′
++=
(2.19)
trong đó:
2
0
1
;
2
R
L

LC
εω
==

Phương trình (2.19) là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số
là hằng số. Phương trình đặc trưng của (2.19) có dạng:
22
0
20rr
εω
++= (2.20)
Biệt thức
′
∆
của phương trình (2.20) là:
22
0
ε
ω
′
∆= −

•
Nếu 0
′
∆<
tức là
0
ε
ω

< :
Khi đó phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức:
22
10
ri
ε
ωε
=− + −
và
22
20
ri
ε
ωε
=− − − ,
22
0
,
α
εβ ω ε ω
=
−=−=
Vậy nghiệm tổng quát của (2.19) có dạng:
(
)
(
)
12
cos sin
t

qt e C t C t
ε
ω
ω
−
=+
Nếu đặt:
10 20
sin , cosCA CA
ϕ
ϕ
==
thì
(
)
(
)
0
sin
t
qt e A t
ε
ω
ϕ
−
=+
Toán cho Vật lý

21
Như vậy q biến đổi theo thời gian theo quy luật dạng sin với biên độ

0
t
A
eA
ε
−
=
giảm
theo thời gian theo quy luật hàm mũ âm.
•
Nếu 0
′
∆> tức là
0
ε
ω
> :
Khi đó phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt:
22
10
r
ε
εω εδ
=− + − =− +

và
22
20
r
ε

εω εδ
=− − − =− + với
22
0
0
δεω
=
−>
Vậy nghiệm tổng quát của (2.19) có dạng:
(
)
(
)
12
tt t
qt e Ce Ce
εδ δ
−−
=+
• Nếu 0
′
∆= tức là
0
ε
ω
=
:
Khi đó nghiệm tổng quát của (2.19) có dạng:
(
)

(
)
12
t
qt C Cte
ε
−
=+
c. Dao động cưỡng bức:
Xét một đoạn mạch RLC (hình 2.5). Đặt
vào hai đầu của đoạn mạch một hiệu điện thế
xoay chiều:
()
0
cosut U t=Ω

Áp dụng định luật ôm cho toàn mạch, ta có:
0
cos
q
Lq Rq U t
C
′′ ′
++= Ω


L
C
R
Hình 2.5

(
)
ut
i
AB
q-q
hay
2
00
2cosqqqU t
εω
′′ ′
++= Ω
(2.21)
với
2
0
1
,
2
R
L
LC
εω
==.
Phương trình (2.21) là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất.
Phương trình thuần nhất tương ứng là:
2
0
20qqq

εω
′′ ′
++=
(2.22)
nghiệm của phương trình (2.15) được xét như ở mục b.
Vì
i±Ω không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng
(
)
2
qx của
phương trình (2.21) có dạng:
(
)
2
cos sinqt a tb t=Ω+Ω

Sau đó lấy đạo hàm cấp một và cấp hai của
(
)
2
qt
rồi thế vào phương trình (2.21) ta
sẽ tìm được các hệ số a và b bằng cách cân bằng hệ số ở hai vế.
Nếu đặt
cos ; sin
A
aA b
ϕ
ϕ

== thì nghiệm riêng
(
)
2
qx có dạng:
(
)
(
)
2
cosqt A t
ϕ
=Ω+

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2.21) là:
(
)
(
)
(
)
32
qt qt qt=+
với
(
)
qt là nghiệm của phương trình thuần nhất (2.22).
4. Sử dụng phương pháp vi tích phân để xác định một số đại lượng vật lý:
a.
Xác định khối tâm của một vật thể hình quạt tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở

tâm
2
α
.
Toán cho Vật lý

22
Chọn trục Ox là đường phân giác của góc ở
tâm như hình 2.6. Dễ thấy Ox chính là trục đối
xứng của hệ. Suy ra khối tâm G phải nằm trên
Ox.
Xét một yếu tố diện tích dS. Trong hệ tọa
độ cực, ta có
dS rdrd
ϕ
=
. Khối lượng chứa trong
dS là dm dS
σ
= ; hoành độ của dS là cos
x
r
ϕ
=
.
Hoành độ của khối tâm G là:
cos cos
SS S
G
x

dm r dS r rdrd
x
mm m
ϕ
σϕσϕ
== =
∫∫∫ ∫∫
d
ϕ
ϕ
dS
r
dr



2
0
2
cos
2sin
3
R
G
rdr d
R
x
R
α
α

σϕϕ
α
σα α
−
⇒= =
∫∫

trong đó:
2
mS R
σ
σα
== là khối lượng của hình quạt.
Vậy khối tâm của vật thể hình quạt đồng nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh,
cách tâm một đoạn
G
x
được xác định như trên.
b.Tính moment quán tính của hình trụ rỗng, thành mỏng, đồng chất, khối lượng phân bố
đều đối với trục của nó.
Chia bề mặt hình trụ thành những vi phân diện
tích dS, khối lượng là dm. Gọi
σ
là mật độ khối lượng
phân bố trên mặt trụ, ta có:
dm dS Rd dz
σ
σϕ
==
23

dI R dm R d dz
σ
ϕ
==
Vì khối lượng phân bố đều nên
const
σ
=
.
2
33
00
2
h
IdIRddzRh
π
σ
ϕσπ
⇒= = =
∫∫∫

32
2IhRmR
πσ
⇒= =
với
2mhR
π
σ
= là khối lượng hình trụ.

Vậy moment quán tính đối với trục của hình trụ
rỗng, khối lượng phân bố đều là:
2
ImR= .
x
y
z
O
dz
d
ϕ
R

c. Xét một vòng tròn làm bằng một dây dẫn mảnh bán kính R mang điện tích q
(
)
0q >
và được phân bố đều trên dây. Hãy xác định cường độ điện trường tại một điểm M nằm
trên trục của vòng dây.
Toán cho Vật lý

23
Cường độ điện trường
dE
G
do một phần
tử điện tích
dq
gây ra tại M.
Ta thấy

dE
G
có thể phân tích thành hai
thành phần
1
dE
G
và
2
dE
G
. Vì tính chất đối xứng
nên tổng các thành phần
1
dE
G
bằng không.
Như vậy:
2M
vong
EdE=
∫
GG

và vì các vectơ
2
dE
G
cùng phương chiều nên:
2M

vong
EdE=
∫


M
dE
G
2
dE
G
1
dE
G
α
O
dl
R
r
h
Hình 2.8
Theo hình 2.8
2
cosdE dE
α
= (
α
là góc giữa
dE
G

và
OM
J
JJJG
). Điện trường gây bởi dq
tại M bằng:
2
0
4
dq
dE
r
π
ε
=
với r là khoảng cách từ dq đến M:
22
rRh
=
+
.
Vậy
2
2
0
4
hdq
dE
rr
πε

=
, (với
cos
h
r
α
=
)
(
)
3/2
22
2
0
4
hR h
dE dq
πε
−
+
=

Suy ra:
(
)
3/2
22
2
0
4

M
vong vong
hR h
EdE dq
πε
−
+
==
∫∫

hay
(
)
3/2
22
0
4
M
qh R h
E
πε
−
+
=
.
d. Xét trường hợp dòng điện có cường độ I chạy trong dây dẫn mảnh có dạng đường
tròn bán kính R. Hãy tính từ trường gây bởi dòng điện tại một điểm M nằm trên trục của
nó cách tâm O đường tròn một khoảng h.
Ta chia dòng điện ra các
phần tử

Idl
G
. Mỗi phần tử này
gây ra tại M từ trường mà vectơ
cảm ứng từ
dB
G
có giá trị:
0
2
4
Idl
dB
r
μ
π
=

có phương vuông góc với mặt
phẳng chứa
dl
G
và r
G
, tức là nằm
trong mặt phẳng chứa OM và
r
G
;
có chiều xác định theo quy tắc

vặn nút chai.
M
n
dB
G
β
O
1
dl
J
JG
R
r
h
2
dl
J
JG
1
dB
G
2
dB
G
β
Nếu xét những phần tử Idl
G
khác nhau trên đường tròn, ta thấy vectơ cảm ứng từ dB
G

do chúng gây ra tại M có phương và chiều khác nhau. Vì thế tích phân vectơ không thể