Đề thi Cao học-Quy Nhơn 2011

f



x
,
y







x

y







x

n

n

k

k











BỘ G
IÁ
O
DỤC

VÀ

ð
À
O T
Ạ
O

T
R
ƯỜ
N
G
ð
ẠI
HỌ
C
Q
UY

N
HƠ
N


ð
Ề C
HÍNH
T
H
ỨC

ð
Ề TH
I
T
UY
Ể

N

SIN
H
CA
O HỌ
C

NĂ
M
2011

N
G
ÀN
H
:
TO
ÁN
HỌ
C

Môn
thi:
GIẢI
T
Í
C
H

Th
ời gi
an
l
àm
bài
:

180

phút,
k
hông
kể t
h
ời gi
an

p
hát ñề
.



Câu

1.
C
h
ứ

ng
mi
nh

r
ằ
ng

h
àm
số
f :

2


x
ác ñị
nh

b
ởi




x
2

 y

2



s
i
n



1

x
2

 y
2


khi


x
,
y




0,

0



0
khi


x
,
y




0,

0



liê
n
t
ụ
c
,
c
ó

các ñạ
o
hàm
r
iê
ng

f
'

, f
'

g
iá
n

ño
ạ
n

nh
ư
ng
f
kh
ả vi tại

0, 0


.

Câu

2.

a)
C
ho
dã
y

số


a
n



và hàm
số

f :

0,1


 xác ñị

nh

b
ởi

f

0


 0 và

f


x


 a
n

n
ế
u

x





1

,

1




v
ới
mọ
i
n



1.

Ch
ứ
ng

minh

r
ằ
ng

n

ế
u


a


b
ị
ch
ặ
n

thì

f

kh
ả
tích

trên


0,1

;
và



n

1

n


n

 

n
ế
u

a
n

 n
v
ớ
i

mọi
n
thì

f

không

kh
ả
tích

trên


0,1

;
.

1

b)

Xét

tính

kh
ả
tích

Lebesgue

của

f

và

tính



L





f
d



(n
ế
u

có)

v
ớ
i

0


8
x
2011



,
x 



0
;
1


f


x





x
2



x l
n
x
,
x 


\

,
x 


\






0
;
1
/
2







1
/
2
;
1


Câu

3.

a)

X
ét
không

g
ia
n
ñị
nh
c
hu
ẩ
n

c các
d
ã
y

số

hộ
i t
ụ

v
ới c
hu
ẩ
n
c
ho

b
ởi
x  sup
n

x
n

v
ới m
ọ

i
x 

x
n



 c
.
C
h
ứ
ng
mi
nh

r
ằ
ng
tậ
p

h
ợ
p
c
0

không

ñ
â
u
t
rù
mật t
rong
c
.

các
d
ã
y

số

hộ
i t
ụ

v
ề
0
là
không

g
ia

n
c
on

ñóng

v
à
b)
C
ho

X
là
không

g
ia
n
mê
-
t
r
ic ñầ
y

ñủ

v
à



f
n

: X 

là các
d
ã
y

h
àm liê
n
t
ụ
c
s
a
o
c
ho

v
ới

n



m
ọ
i x  X t
ồn
tại lim f
n



x


.
C
h
ứ
ng
mi
nh

r
ằ
ng
t
ồn
tại tậ
p
V

X

n


mở
,

kh
ác
rỗng

v
à t
ồn
tại
M

0

s
a
o
c
ho

f
n



x





M

v
ới m
ọ
i
x


V

v
à m
ọ
i
n



.


Câu

4.
C
ho

X
là
không

g
ia
n
Ba
n
ac
h
t
r
ê
n
t
r
ườ
ng

số

.

X
ét

d
ã
y
x
*

n

n

0



X
*

v
à
không

g
ia
n

v
ectơ
l
1



X




x 

x
n




X :

n

0

x
n

 


1)
C
h

ứ
ng
mi
nh

r
ằ
ng
l
1



X


là
không

g
ia
n
Ba
n
ac
h

v
ới c
hu

ẩ
n

x
0





n

0

n

.

2)
a
)

G
iả
s
ử
d
ã
y


x
*



b
ị c
h
ặ
n.

V
ới m
ỗ
i
n



0

ñặt
A, A
n
: l
1



X


 c
ho

b
ởi


Ax


 x
*



x

;


A
x

 x
*



x



x



x



l


X





k

k

n



k

k

k

k


0

1

k


0

0

k


n

Ch
ứ
ng

m

i
nh

r
ằ
ng

A
,

A
n

x
ác ñị
nh
các á
nh

x
ạ t
uy
ế
n
tí
nh
liê
n
t
ụ

c
.
Tí
nh
các c
hu
ẩ
n
A , A
n

.

Ch
ứ
ng

m
i
nh

r
ằ
ng



A
n



b
ị c
h
ặ
n

v
à
hộ
i t
ụ
t
h
e
o

ñ
iể
m

v
ề
A
.

b)

G

iả
s
ử á
nh

x
ạ
A
c
ho
t
rong
câ
u
a
)

ho
à
n
t
o
à
n

x
ác ñị
nh.

Ch

ứ
ng

m
i
nh

r
ằ
ng

d
ã
y


x
*



b
ị c
h
ặ
n.

3)

Cho

d
ã
y


a
n





.

S
ử
dụng
câ
u

2)
c
h
ứ
ng

m
i
nh

r
ằ
ng
các
ñ
iề
u

k
iệ
n

s
a
u
là tươ
ng
ñươ
ng
:

a
)

n

a
x

k

1



l
v
ới
mỗ
i x



l ;




b)


a
n



 l


.



n

1

n

0


HẾT


T
h
í
s
i
nh

không

ñ
ược
sử

dụng

t
ài liệ
u.

Cán

bộ
coi
th
i
không
gi
ả
i
th
íc
h

g
ì
th
ê
m.