Đề thi Môn Giải tích 2005-2007 (ĐH Huế)

bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2005
Môn thi: Giải tích
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180phút
Câu I.
a. Cho dãy số thực (a
n
)
n
mà chuỗi


n=1
a
2
n
hội tụ. Chứng minh các chuỗi sau đây cũng
hội tụ:


n=1
a
n
n
3/4
;

n=1

a
n
+
1
n

2
.
b. Chứng minh rằng nếu hàm f(x, y) liên tục theo từng biến x, y và đơn điệu theo biến y
thì sẽ liên tục theo hai biến.
Câu II. Cho (X, F, à) là không gian độ đo, f là hàm đo đợc và g là hàm khả tích trên
A F. Chứng minh rằng với , là hai số thực cho trớc, nếu f hầu khắp A, thì
có một số thực [, ] sao cho

a
f|g|dà =

A
|g|dà
Câu III. Cho (X, d) là không gian metric.
a. Giả sử K
1
, K
2
là các tập con compact của X. Chứng minh rằng tồn tại x
1
K

1
, x
2
K
2
sao cho d(x
1
, x
2
) = d(K
1
, K
2
), với d(K
1
, K
2
) := inf{d(x, y)/x K
1
, y K
2
}.
b. Giả sử K là tập compact, F là tập đóng trong X sao cho K F = . Chứng minh
rằng d(K, F) > 0. Kết quả còn đúng không nếu thay K bằng tập đóng ?
c. Giả sử K là tập compact và F là tập đóng của X = R
k
. Chứng minh rằng tồn tại
x K, y F sao cho d(x, y) = d(K, F).
Câu IV. Giả sử L và M là hai không gian con tuyến tính đóng của không gian Banach X.
Chứng minh rằng nếu mỗi phần tử x X đều đợc biểu diễn một cách duy nhất dới dạng:

x = y + z, x L, z M thì tồn tại số K sao cho: y + z Kx, x X.
Câu V. Giả sử {e
n
} là một hệ thống trực chuẩn trong không gian Hilbert H, {
n
} là một
dãy số bị chặn. Chứng minh rằng:
a. Chuỗi


n=1

n
x, e
n
e
n
hội tụ với mọi x H.
b. Toán tử Ax =


n=1

n
x, e
n
e
n
, x H là toán tử tuyến tính liên tục và tính A.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Tran Mau Quy -
Bộ Giáo dục và đào tạo Họ và tên thí sinh
:

Đại Học Huế Số báo danh:

Tr-ờng Đại học S- phạm
kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005
Môn thi:
Giải tích
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Xét chuỗi hàm


n=1
u
n
với u
n
(x)=
x
2
n
1 x
2
n+1
, |x| < 1.
a) Với mỗi a :0<a<1, chứng minh |u
n

(x)|
a
n
1 a
x [a, a]. Từ đó suy ra


n=1
u
n
hội tụ
đều trên [a, a].
b) Tính tổng S của chuỗi hàm


n=1
u
n
trên (1, 1).
Câu 2. Cho hàm hai biến:
f(x, y)=





1 nếu y<x
2
0 nếu y = x
2

1 nếu y>x
2
Chứng minh rằng hàm f(x, y) khả tích Riemann trên hình chữ nhật D =[1, 2] ì [0, 5] và tính

D
f(x, y)dxdy.
Câu 3. Cho (X, d) là không gian mêtric, A là tập con khác trống của X, x
0
X và x
0
/ A. Đặt
d(x
0
,A) = inf
aA
d(x
0
,a).
a) Giả sử A đóng, chứng minh d(x
0
,A) > 0.
b) Giả sử A compact, chứng minh tồn tại y
0
A sao cho d(x
0
,A)=d(x
0
,y
0
).

c) Giả sử X = R
n
với mêtric Euclide thông th-ờng và A R
n
là tập đóng. Chứng minh tồn tại
y
0
A sao cho d(x
0
,A)=d(x
0
,y
0
).
Câu 4. Trong không gian C[0, 1] với chuẩn "max" cho dãy (x
n
) C[0, 1] với x
n
(t)=
2nt
n
4
+ t
2
,
t [0, 1] và toán tử A : C[0, 1] C[0, 1] cho bởi:
Ax(t)=
t

0

x(s)ds, với x C[0, 1],t [0, 1].
a) Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục.
b) Chứng minh (Ax
n
) hội tụ về 0 trong C[0, 1].
Câu 5. Giả sử {e
n
} là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H và X là không gian Banach. Giả
sử A L(H, X ) sao cho chuỗi


n=1
Ae
n

2
hội tụ. Chứng minh A là toán tử compact.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Tran Mau Quy - Tran Mau Quy - Tran Mau Quy -
Tran Mau Quy -
bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2006
Môn thi: Giải tích
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180phút
Câu I.
a. Chứng minh :

n=1
1
(n + 1)

n
< 2.
b. Tìm miền hội tụ và xét sự hội tụ đều trên miền đó của chuỗi


n=0
x(1 x)
n
.
Câu II.
a. Xét dãy hàm số (f
n
)
nN
xác định bởi
f
n
(x) = e
(xn)
2
, x R.
Chứng minh rằng dãy hàm (f
n
)

n
hội tụ điểm khắp nơi (trên R) nhng không hội tụ
theo độ đo Lebesgue trên R.
b. Cho không gian độ đo (X, A, à). Giả sử f : X
R sao cho cả f và f
2
đều khả tích
trên X. Chứng tỏ rằng nếu 1 p 2 thì |f|
p
khả tích trên X.
Câu III. ChoX là một không gian Banach và F là một tập con đóng của X có tính chất
sau: với mọi x X đều tồn tại một số > 0 (phụ thuộc vào x) sao cho x F, [0, ].
Chứng minh rằng F phải chứa một hình cầu mở B(x
0
, r) nào đó.
Câu IV. Chứng minh rằng:
f(x) =
0

1
x(t)dt
1

0
x(t)dt, x C
[1,1]
là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên C
[1,1]
với chuẩn "max". Tính f.
Câu V.

a. Giả sử H là không gian Hilbert, A : H H là một toán tử tuyến tính thỏa mãn điều
kiện:
Ax, y = x, Ay, x, y H.
Chứng minh rằng A liên tục.
b. Khi H là một không gian Hilbert phức, A L(H) và Ax, x = 0, x H.
Chứng minh rằng A = 0.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Tran Mau Quy -
D
-
ˆ
E
`
THI TUY
ˆ
E
’
N SINH SAU D
-
A
.
IHO
.
C
Chuyˆen ng`anh TO
´
AN, Mˆon thi : GIA
’
IT
´

ICH
Th`o
.
i gian l`am b`ai: 180 ph´ut
Cˆau I. Cho ha`m hai biˆe
´
nsˆo
´
f xa´c d¯i
.
nh trˆen R
2
nhu
.
sau:
f(x, y)=

xy
√
x
2
+y
2
nˆe
´
u x
2
+ y
2
=0

0nˆe
´
u x
2
+ y
2
=0
1. Kha
’
o sa´t tı´nh kha
’
vi cu
’
a ha`m sˆo
´
trˆen ta
.
id¯iˆe
’
m(0, 0).
2. Ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng ca´c d¯a
.
o ha`m riˆeng cu
’
a ha`m sˆo
´

f tˆo
`
nta
.
iva`bi
.
ch˘a
.
n trˆen R
2
nhu
.
ng
khˆong liˆen tu
.
cta
.
id¯iˆe
’
m(0, 0).
Cˆau II. Cho A, B l`a c´ac tˆa
.
p con d¯´ong cu
’
a khˆong gian mˆetric X thoa
’
m˜an A ∩B = ∅.
V´o
.
imˆo

˜
i x ∈ X ta d¯˘a
.
t
ϕ(x)=
d(x, A)
d(x, A)+d(x, B)
1. Ch´u
.
ng minh ϕ l`a mˆo
.
t ´anh xa
.
liˆen tu
.
ct`u
.
X → R thoa
’
m˜an d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n ϕ(x) ∈ [0, 1]
v´o
.
imo
.
i x ∈ X.
2. D

-
˘a
.
t G
1
= ϕ
−1
(−∞,
1
2
),G
2
= ϕ
−1
(
1
2
, +∞). Ch´u
.
ng minh G
1
,G
2
l`a hai tˆa
.
pmo
.
’
thoa
’

m˜an A ⊂ G
1
,B⊂ G
2
v`a G
1
∩ G
2
= ∅.
Cˆau III. K´yhiˆe
.
u X = C
1
0
[0, 1] l`a khˆong gian vecto
.
gˆo
`
m c´ac h`am sˆo
´
x(t) kha
’
vi liˆen
tu
.
co
.
’
trˆen [0, 1] thoa
’

d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n x(0) = 0. V´o
.
imˆo
˜
i x ∈ X ta d¯˘a
.
t
x = max
t∈[0,1]
|x

(t)|
Kiˆe
’
m tra r˘a
`
ng ·l`a mˆo
.
tchuˆa
’
n trˆen X v`a ch´u
.
ng minh (X, ·) l`a mˆo
.
t khˆong gian
Banach.

Cˆau IV. Cho {e
1
,e
2
, ,e
n
} l`a hˆe
.
c´ac vecto
.
d¯ ˆo
.
clˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh trong khˆong gian d¯i
.
nh
chuˆa
’
n X.
1. Ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng tˆo
`
nta
.

i c´ac phiˆe
´
m h`am f
i
∈ X
∗
,i=1, ,n sao cho f
i
(e
j
)=δ
ij
,
o
.
’
d¯ˆay δ
ij
l`a k´y hiˆe
.
u Kronecker.
2. K´yhiˆe
.
u M = {e
1
,e
2
, ,e
n
} v`a d¯˘a

.
t A : X → X, Ax =
n

i=1
f
i
(x)e
i
v´o
.
i c´ac
f
i
d¯ u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh bo
.
’
i cˆau 1. Ch´u
.
ng minh A l`a mˆo
.
t ´anh xa
.

tuyˆe
´
n t´ınh liˆen tu
.
cv`a
X = M ⊕ Ker A.
3. Cho Y c˜ung l`a mˆo
.
t khˆong gian d¯i
.
nh chuˆa
’
nv`a(A
α
)
α∈I
l`a mˆo
.
tho
.
c´ac ´anh xa
.
tuyˆe
´
n
t´ınh liˆen tu
.
ct`u
.
X v`ao Y. D

-
˘a
.
t Q = {x ∈ X | sup
α∈I
A
α
x≤1} v`a gia
’
su
.
’
intQ = ∅. Ch´u
.
ng
minh r˘a
`
ng sup
α∈I
A
α
 < +∞.
T b A S-T X
Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
Tran Mau Quy - Tran Mau Quy -
Tran Mau Quy -
bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:

Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2007
Môn thi: Giải tích
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180phút
Câu I.
a. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm :


n=1
1
n ln
n
x
.
b. Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm


n=1
1
(x + n)(x + n + 1)
trên miền (0; +).
c. Tính tích phân:

D
(x
2
+ y
2
)dxdy
trong đó: D = {(x; y) R

2
/2ax x
2
+ y
2
2bx}, 0 < a < b.
Câu II. Cho X là tập gồm tất cả các tập con compact khác của R.
a. Với mọi x R, đặt d(x, A) = inf{|x y| : y A}. Chứng minh rằng, với mọi
x R, A X, tồn tại x
0
A sao cho |x x
0
| = d(x, A).
b. Gọi d : X ì X R là ánh xạ đợc xác định nh sau:
d(A, B) := inf{ : A B

, B A

},
trong đó, A

= {x R : d(x, A) }. Chứng minh rằng d là một metric trên X.
Câu III. Ký hiệu X = C
[0,2]
là không gian định chuẩn các hàm số liên tục trên [0, 2] với
chuẩn:
x = max{|x(t)| : t [0, 2]}
và không gian con Y = x X : x(0) = 0 của X.
Cho ánh xạ A : X Y, x Ax xác định bởi:
Ax(t) =

t

0
x(s)ds; t [0, 2]
a. Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y .
b. Tính A. ánh xạ A có phải là một toàn ánh không ?
Câu IV. Cho không gian Hilbert phức H và tập hợp {
n
|n N} H thỏa mãn
n
= 1
với mọi n N và sao cho với mọi f H, ta có:
f
2
=


n=1
|f,
n
|
2
.
Chứng minh rằng:
a. {
n
|n N} là một cơ sở trực chuẩn của H.
b. Dãy (
n
)

nN
hội tụ yếu đến 0.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Tran Mau Quy -
BO GIAO
DAI
VA
DAO TAO
HUE
Ho vd, ten
thi sinh:
56
b6o danh:
DVC
HQC
KV
Sv
THI
TUYEN
SrNH
SAU
DAr HOC
NAM
2AO7
M6n
thi:
Giai
tich
(dd,nh
cho

Cao
hp r)
Thdi
gi,an
ld,m
bd,i,;
180
phirt
CAu
I.
1.
Cho
hdm
hai
bi6n
f
(r,a)
KliAo s6t
tinh
liOn tuc
cria
hilm
/
1x
',
A2f
lr6n
hsp
d;N(O,0)
khong tbn

n6u
(*,y)
+
(0,0),
n6u
(*,a)
-
(0,0).
Chirng
minh
rHng dao
hA"m
riOng
cia
R.
hoi
tu
vb
0
-I
-I
2ra
,2
+
a''
0,
tai didm
(0,0)
tai
(huu hat)

2
F_{i
1I
I
P'
^
tz'J')4)s)"
Cdu
III. Kj'
liiOu X
:
co
z. KhAo s6,t su
hoi
tu dbu cria
chu6i
hd,m
f
," .i"
,,fu
tr6n c6,c
tAp
sau:
fl':L
,)
A:
lp,+-),
p
)
0i

ii) B
-
(0,
+oo).
Cdu
II. Trong
khong
gian
metric
IR. v6i khoAng
c6ch
thong
thulng,
chitng
minh
rXng,
1. E
-
{t,2,
1, 1, 1,
.
!.u-L^'-,2,3)4) 1n' ).*^^^Y""7
.
,
1,
. . . .
)
U.Ong
phai
th, mot

t6,p con
compact
)
th, khong
gian
dinh
chudn
gbm
c6c
day
s6 thuc
llrll
-
sup
lrnl,,
Yr
-
(r.)n
e
co
chudn
Euclide
rL
llsll
-
WiZ,
va
-
(ar,.
. .,un)

eY.
V6i
m6i s6
tu nhien k
ta x6t 5nh
x?
An
:
X
*
Y x6"c dinh
bdi
Anr
-
("n+r,
fr1xa2t''
)
rk+n),
Yr
:
(rt)zeN
€
X.
1.
Chirng
minh
Ap
lit" c6,c
6nh
xa tuy6n

tinh
lien tuc
tri
X vh,o
Y.
2. Chirng
td
rXng
J*
Ann
-
0
€
R.'
v6i moi z
e
X.
CAu
IV.
Tren
khong
gian Hilbert
phitc
12
vsi tich
vo hu6ng
/ \ S
@,il
:2*^y,,
*ong d6

,:
(r,-)n
e
{2,
U
:
(Un)-
e
12.
'"_
:
Cho
o
-
(a),
ie
mQt duy
c5,c s6
phric
bi
ch5,n
vA, ,4.
:
12
-
t2
Ib" mot to5,n trl
ducvc
x6c
dinh

bdi
Ar
-
(onrn)n,
Yr
e
!2.
1.
Chirng
minh
rXng
,4 th mQt to6n
trl
tuy6n tinh
lien
tuc
vd,
tinh chudn
c:d:a
A.
2.
Tim to6n
trl
liOn
hiep A*
cia
A. Khi
nb,o
thi A ld mQt
to6n

tr] tu
lien
hiep?
v6i
chudn
vb,Y-lR'v6i
Ghi
chri
z
Cd,n
bo coi,
thi,
khong
gi,d,i,
thi,ch
gi,
th€m
Tran Mau Quy -
Bˆo
.
Gi´ao du
.
cv`aD
-
`ao ta
.
oK
`
Y THI TUY
ˆ

E
’
N SINH SAU D
-
A
.
IHO
.
CN
˘
AM
D
-
a
.
iho
.
cHuˆe
´
D
-
ˆe
`
thi tuyˆe
’
n sinh Cao ho
.
c
Mˆon thi : Gia
’

it´ıch Th`o
.
i gian l`am b`ai: 180 ph´ut.
Cˆau 1.
1. Cho (x
n
)
n
l`a mˆo
.
t d˜ay t˘ang, bi
.
ch˘a
.
n trˆen v`a x
n
> 0v´o
.
imo
.
i n ∈ N. Ch´u
.
ng minh
chuˆo
˜
isˆo
´
sau d¯ˆay hˆo
.
itu

.
:
∞

n=1

1 −
x
n
x
n+1

2. T`ım miˆe
`
nhˆo
.
itu
.
v`a t´ınh tˆo
’
ng cu
’
a chuˆo
˜
i h`am ( biˆe
’
udiˆe
˜
nb˘a
`

ng h`am sˆo
´
so
.
cˆa
´
p)
cu
’
a chuˆo
˜
i lu˜y th`u
.
a:
∞

n=1
x
2n
2n − 1
.
Cˆau 2. Cho (X, d
X
), (Y,d
Y
) l`a hai khˆong gian mˆetric trong d¯´o X l`a compact. K´y
hiˆe
.
u C(X, Y ) l`a tˆa
.

pho
.
.
p c´ac ´anh xa
.
liˆen tu
.
ct`u
.
X v`ao Y . Gia
’
su
.
’
f, g ∈C(X, Y ).
1. D
-
˘a
.
t ϕ(x)=d
Y
(f(x),g(x)). Ch´u
.
ng minh ϕ(x) l`a mˆo
.
t h`am sˆo
´
liˆen tu
.
ctrˆen X.

2. V´o
.
i f, g ∈C(X, Y ) ta d¯˘a
.
t d(f,g) = max
x∈X
ϕ(x). Ch´u
.
ng minh d l`a mˆo
.
t mˆetric
trˆen C(X, Y ).
3. Gia
’
su
.
’
Y l`a mˆo
.
t khˆong gian d¯ˆa
`
yd¯u
’
.Ch´u
.
ng minh C( X, Y )c˜ung l`a mˆo
.
t khˆong
gian d¯ˆa
`

yd¯u
’
.
Cˆau 3. Cho X l`a mˆo
.
t khˆong gian d¯i
.
nh chuˆa
’
n thu
.
.
c.
1. Gia
’
su
.
’
x
1
,x
2
, ,x
n
l`a c´ac vecto
.
d¯ ˆo
.
clˆa
.

p tuyˆe
´
n t´ınh trong X. Ch´u
.
ng minh
r˘a
`
ng tˆo
`
nta
.
i c´ac phiˆe
´
m h`am tuyˆe
´
n t´ınh liˆen tu
.
c x
∗
1
, ,x
∗
n
∈ X
∗
sao cho
x
∗
i
(x

j
)=

1, nˆe
´
u i = j
0, nˆe
´
u i = j
2. Cho M l`a mˆo
.
ttˆa
.
p con cu
’
a X v`a x
0
∈ X. K´yhiˆe
.
u Y = M l`a khˆong gian con
cu
’
a X sinh bo
.
’
i M. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng x

0
∈ Y khi v`a chı
’
khi v´o
.
imo
.
i x
∗
∈ X
∗
thoa
’
d¯ i ˆe
`
u
kiˆe
.
n x
∗
(M)={0} th`ı x
∗
(x
0
)=0.
Cˆau 4. Cho {e
n
,n∈ N} l`a mˆo
.
thˆe

.
tru
.
.
c chuˆa
’
n trong khˆong gian Hilbert H v`a
(λ
n
)
n
l`a mˆo
.
t d˜ay sˆo
´
bi
.
ch˘a
.
n. Ch´u
.
ng minh
1. V´o
.
imo
.
i x ∈ H, chuˆo
˜
i
∞


n=1
λ
n
x, e
n
e
n
hˆo
.
itu
.
trong H.
2. D
-
˘a
.
t Ax =
∞

n=1
λ
n
x, e
n
e
n
v´o
.
imo

.
i x ∈ H. Ch´u
.
ng minh A l`a to´an tu
.
’
tuyˆe
´
n t´ınh
liˆen tu
.
ctrˆen H. T´ınh A.
Cˆau 5. Cho X l`a mˆo
.
t khˆong gian d¯i
.
nh chuˆa
’
nv`aM l`a mˆo
.
ttˆa
.
p con cu
’
a X. Gia
’
su
.
’
v´o

.
imo
.
i f ∈ X
∗
ta c´o sup
x∈M
|f(x)| < +∞. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng M l`a mˆo
.
ttˆa
.
pbi
.
ch˘a
.
n
trong X.
Tran Mau Quy -
Tran Mau Quy -
Bˆo
.
Gi´ao du
.
cv`aD
-
`ao ta

.
oK
`
Y THI TUY
ˆ
E
’
N SINH SAU D
-
A
.
IHO
.
CN
˘
AM
D
-
a
.
iho
.
cHuˆe
´
D
-
ˆe
`
thi tuyˆe
’

n sinh Cao ho
.
c
Mˆon thi : Gia
’
it´ıch Th`o
.
i gian l`am b`ai: 180 ph´ut.
Cˆau 1.
1. Kha
’
o s´at su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
isˆo
´
sau d¯ˆay:
∞

n=1
ln(1 + n)
n

α
,α>1.
2. Kha
’
o s´at su
.
.
hˆo
.
itu
.
d¯ ˆe
`
ucu
’
a chuˆo
˜
i h`am:
∞

n=1
2
n
sin
1
3
n
x
,x>0.
Cˆau 2. K´yhiˆe

.
u N = {1, 2, 3, ,} l`a tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
nguyˆen tu
.
.
nhiˆen. D
-
˘a
.
t
d(m, n)=

0nˆe
´
u m = n
1+
1
m + n
nˆe
´
u m = n.
1. Ch´u
.
ng minh d l`a mˆo

.
t mˆetric trˆen tˆa
.
p N v`a (N,d) l`a mˆo
.
t khˆong gian mˆetric
d¯ ˆa
`
yd¯u
’
.
2. K´yhiˆe
.
u B

n
l`a c´ac h`ınh cˆa
`
u d¯´ong c´o tˆam l`a n v`a b´an k´ınh l`a 1 +
1
2n
trong N.
Ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng
∞


n=1
B

n
= ∅.
Cˆau 3. K´yhiˆe
.
u X = C
[0,1]
l`a khˆong gian d¯i
.
nh chuˆa
’
n c´ac h`am sˆo
´
liˆen tu
.
c trˆen
[0, 1] v´o
.
i chuˆa
’
n “max”. D
-
˘a
.
t
M = {x ∈ C
[0,1]

: x(0) = 1, 0 ≤ x(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, 1]}.
1. Ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng M l`a mˆo
.
ttˆa
.
p d¯´ong v`a bi
.
ch˘a
.
n trong C
[0,1]
.
2. X´et h`am sˆo
´
f : C
[0,1]
→ R x´ac d¯i
.
nh b o
.
’
i cˆong th´u
.
c f(x)=

1

0
x
2
(t)dt. Ch´u
.
ng
minh r˘a
`
ng f liˆen tu
.
c trˆen tˆa
.
p M nhu
.
ng f khˆong d¯a
.
td¯u
.
o
.
.
c gi´a tri
.
nho
’
nhˆa
´
ttrˆen M.
Tˆa
.

p M c´o pha
’
i l`a tˆa
.
p compact khˆong?
Cˆau 4. Cho H l`a mˆo
.
t khˆong gian Hilbert v`a M l`a mˆo
.
ttˆa
.
p con lˆo
`
i, d¯´ong v`a kh´ac
trˆo
´
ng trong H v`a x
0
∈ H. Ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tmˆo
.

t phˆa
`
ntu
.
’
y ∈ M sao
cho
x
0
− y = inf
u∈M
{x
0
− u}.
Cˆau 5. Cho X l`a mˆo
.
t khˆong gian d¯i
.
nh chuˆa
’
n thu
.
.
cv`af : X → R l`a mˆo
.
t phiˆe
´
m
h`am tuyˆe
´

n t´ınh. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng f ∈ X
∗
khi v`a chı
’
khi tˆa
.
p M = {x ∈ X : f(x) ≥ 1}
l`a mˆo
.
ttˆa
.
p d¯´ong trong X.
Tran Mau Quy -
bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2005
Môn thi: đại số
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180phút
Câu I. Cho G = a là một nhóm xiclic cấp n sinh bởi phần tử a và b = a
k
. Ký hiệu d là
ớc chung lớn nhất của n và k. Chứng minh rằng:
a. Cấp của b bằng

n
d
và G = b khi và chỉ khi d = 1. Suy ra các phần tử sinh của G.
b. Nếu q là ớc của n thì trong G tồn tại một nhóm con cấp q và nhóm con này là xiclic.
Câu II.
a. Cho Z là vành số nguyên và R là vành tùy ý với phần tử đơn vị e. Chứng minh rằng
ánh xạ
: Z R
m m.e
là một đồng cấu vành. Xác định ảnh Im của đồng cấu .
b. Tìm ví dụ về một vành R có đơn vị e = 0 sao cho tồn tại phần tử x R thỏa điều
kiện Rx xR và Rx = xR.
Câu III. Cho K là một trờng và cho hai hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất theo n biến
x
1
, x
2
, . . . , x
n
:
AX = 0 (1)
BX = 0 (2)
với X =



x
1
.
.

.
x
n



, và A = (a
ij
), B = (b
ij
) là các ma trận m hàng, n cột có số hạng trong
K. Chứng tỏ rằng nghiệm của hệ (1) và nghiệm của hệ (2) là trùng nhau khi và chỉ khi tồn
tại ma trận không suy biến C M
mìn
(K) sao cho A = CB.
Câu IV. Với mỗi ma trận A, ta định nghĩa hạng của A là số các cột độc lập tuyến tính
của A, ký hiệu r
A
. Chứng minh rằng:
a. Nếu f : V W là một ánh xạ tuyến tính của các không gian vectơ hữu hạn chiều trên
trờng K có ma trân đối với cặp cơ sở của V và W là A thì r
A
=dim(Imf).
b. Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp và C = A + B thì r
C
r
A
+ r
B
.

Tran Mau Quy -
bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2006
Môn thi: đại số
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180phút
Câu I.
1. Cho G là một nhóm hữu hạn. Một phần tử x G đợc gọi là không sinh nếu tính chất
sau đợc thỏa mãn: với mọi tập con S của G, đẳng thức G = S, x kéo theo G = S.
Một nhóm con thực sự K của G đợc gọi là cực đại nếu không tồn tại nhóm con L
nào của G chứa K sao cho L = K, L = G. Đặt:
(G) = {x G|x là không sinh}
M = {K G|K là nhóm con cực đại của G}
Chứng tỏ rằng (G) =

KM
K. Suy ra (G) là một nhóm con của G.
2. Chứng minh rằng nếu G là nhóm chỉ có 2 nhóm con tầm thờng là {e} và G thì G là
xiclic hữu hạn cấp nguyên tố.
Câu II. Cho R là một vành có nhiều hơn một phần tử. Chứng minh các khẳng định sau:
1. Nếu R hữu hạn có đơn vị thì mọi phần tử của R không phải là ớc của 0 đều khả
nghịch.
2. Nếu với mọi a R, a = 0, tồn tại duy nhất b R (phụ thuộc a) thỏa aba = a thì R là
một thể.
Câu III. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n trên trờng số thực R có dạng:

1
1 0 . . . 0

2
0 1 . . . 0
. . . . . . .

n1
0 0 . . . 1

n
0 0 . . . 0






1. Hãy chỉ ra một vectơ x R
n
sao cho các vectơ x, Ax, A
2
x, A
n1
x độc lập tuyến tính.

2. Chứng minh rằng nếu ma trận A chéo hóa thành ma trận có
1
,
2
, . . . ,
n
trên đờng
chéo chính thì tất cả các số
1
,
2
, . . . ,
n
đều khác nhau từng đôi một.
Câu IV. Gọi V
n+1
là không gian vectơ các đa thức hệ số phức, bậc bé hơn hoặc bằng n. Xét
ánh xạ : V
n+1
V
n+1
xác định bởi:
[(g)](x) = g(x + 1) g(x), g V
n+1
.
Chứng tỏ:
1. Hệ u
0
= 1, u
1

(x) = x, u
2
(x) = x(x 1), . . . , u
n
(x) = x(x 1) . . . (x n + 1) là một
cơ sở của không gian vectơ V
n+1
.
2. ánh xạ là một tự đồng cấu tuyến tính. Xác định Im() và Ker().
Tran Mau Quy -
e0 ctRo DUc
vA DAo
rAo
.{
DAI HOC
HUE
Hq
vd
t€n
thf
sinh
Sd
bdo danh
KV rHr
ruydN
srNH sAU
DAr
Hoc
NAM
2006

Mdn thi: Dai
sd
(ddnh
cho: Cao
hgc)
Thdi
gian
ldm
bdi: 180
phut
Cflu
1.
a. Cho
n1,r2, ,r, id cr{c
vecto
khr{c khOng ctia m6t khOng
gian vecto,
cbn
A
le
mQt
ph6p
bidn
ddi tuydn
tinh
cfia
khOng
gian vectd
d6
sao

cho
Art
-
11, Anp
:
trk
*
rt
-t,
k
:2,3,
)n.
Chtrng
minh rang
cdc
vectd
rr,n2, ,rn dOc
ldp
tuyOn tfnh.
b.
Cho B
lil ma trAn
vuOng
cdp
n
sao
cho
Bk
:0,
vdi

k le
mQt
sd
tu
nhiOn
ndo
d6.
Tim
(E^
-
B)-t, trong d6
E-
ld ma trAn
vuOng
don vr cdp
n.
Chu
2.
Cho
c le nh6m sinh
boi
hai
phdn
tir
r
vd
a
vu
cdc
quan

h€:
tr4:a2:!,ar-r3a.
a.
X6c dinh nhfrng
phdn
tr? cfra
nh6m G.
b.
Tim tdt ca ciic
nh6m con
cfia
nh6m
G.
CAu
3.
Cho n
le
mQt vdnh.
DFtt"
Z(R)
-
{,
e
Rlra:
an,Vo
e
R}.
a.
Chtnrg
minh rang

Z(R)
lh
mOt vdnh con
giao
ho6n
cira
R.
b.
Xdc dinh z(Mt(n)), trong d5 twt(n) lh
vinh
cdc
ma
trQn vuOng
cdp 3 h0
sd thuc.
CAu
4.
Chtnrg
minh rang ndu da
thrlc
13
+
arz
+
br
*
c
c6
3 nghiOm thuc,
phAn

biet
thi da
thrlc
13
+
ar2
+
i@'
+
b)r
+
#
cflng c6 3 nghigm th1rc,
phAn
bigt.
Tran Mau Quy -
bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2007
Môn thi: đại số
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180phút
Câu I.
1. Cho x
1
, x
2
, . . . , x

n
là các vectơ khác không của một không gian vectơ và A là một phép
biến đổi tuyến tính của không gian vectơ đó sao cho:
Ax
1
= x
1
, Ax
k
= x
k
+ x
k1
, k = 2, 3, . . . , n.
Chứng minh rằng các vectơ x
1
, x
2
, . . . , x
n
độc lập tuyến tính.
2. Cho B là ma trận vuông cấp n xác định trên trờng F sao cho B
k
= 0, với k là một
số tự nhiên nào đó. Tìm (E
n
B)
1
, trong đó E
n

là ma trận vuông đơn vị cấp n.
3. Tính

0 1
1 0

2000
với

0 1
1 0

là ma trận xác định trên trờng F.
Câu II.
1. Cho và là hai tự đồng cấu của một không gian vectơ hữu hạn chiều trên trờng số
phức C sao cho = . Chứng minh rằng và có chung một vectơ riêng.
2. Cho E là một không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều và (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) là một hệ trực
chuẩn trong E. Chứng minh rằng nếu với mọi v E ta đều có:
|v|
2
=
n

i=1

v, v
i

2
thì (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) là một cơ sở của E.
Câu III. Cho G là một nhóm nhân hữu hạn sao cho G có một tự đẳng cấu thỏa
(a) = a, a = 1
G
. Chứng minh rằng:
1. Với mọi G tồn tại g G sao cho = g
1
(g);
2. Nếu có cấp bằng 2, tức là = id và
2
= id, thì (g) = g
1
với mọi g G
và G là một nhóm aben có cấp là một số lẻ.
Câu IV.
1. Cho R là một vành giao hoán với đơn vị 1 = 0 và I là một iđêan của R. Chứng minh
rằng với mỗi a R, tập con J = {ax + I|x R} R/I là một iđêan của R/I sinh
bởi a + I R/I. Từ đó suy ra rằng khi I là iđêan tối đại của vành R thì mọi phần tử
khác không của R/I đều khả nghịch.
2. Chứng minh rằng tập hợp các số hữu tỷ dạng

m
n
với mẫu số là một số nguyên lẻ tạo
thành một miền nguyên chính.
Tran Mau Quy -
e0 ctao
DIJc
vA
DAo
T4.o
.f
DAI
HQC
HUE
Hg
ud,
t€n tht
s'inh:
Sd
bd"o
danh:
KV
rHr ruYiN
srNH
sAU
D+r
HQC
NAnn
2oo7
M6n

thi: D'F:'I
56
(dd,nh
cho Cao
hpr)
Thdi
g'ian
lam
bd,i,:
180
phft
CAu
I.
GiA
su
y
ld tap tdt
cA cdc
6nh
xa tri
tAp s6
thuc
lR, vA,o
R
vdi cdc
ph6p
todn
xdc
dinh bdi:
Va,a

€
R,Yf
,g
€V
:
(/
+
s)@):
f
(o)
+
g(a),
("f
)(o)
-
af
(a),
.
1.
Chring
minh
r},ng
y
ld kh6ng
gian
vectcr
tr6n
trubng
s6 thuc.
Tbong

khong
gian
vectcr
V,
t4p
{f.
t
n
-
I,2,
.
}
v6i
f"(t):
sin'
t
c6 d6c
l6,p tuy6n
tinh
kh6ng?
2.
Trong
V,
x6t t6,p con
E
gbm
tdt cA
c6,c
6nh
xq,

f
c6
dang
sau
il6,y:
f
(t)
-
as
+
t
(47,
cos
kt
+
b7, sin
kt),
k 7
trong d.6
n
li,
m6t
s6 nguy6n
duong
de cho;
ai)'i:0,
1,
,fribi,i
-
1,2, ,n

Ih
c5,c
s6
thuc tiy
y.
Chirng
minh
rXng E
Id mQt
kh6ng
gian vectcv con
crla
V.
3.
Tim
mQt co sd
ci,a E
vh xd,c
dinh
dimE.
CAu II.
'
'
1.
Cho
,p
te, mQt to5,n
tri tuy6n
tinh
crla

F-' c6
n
gi5 tri ri6ng
phan
bi6t
(F
Ib
mQt
trubng
vh n
th, m6t
s6 nguyOn
ducrng).
Tim
tdt
cA cdc
khong
gian
con
bdt bi6n
ci"a
g.
2. Chirng
t6 rXng khong
gian
M(r,R)
gbm
c5c
ma trA,n
vu6ng

thuc
ci,p n
v6i
ph6p
tod,n
\A,
B)
-
tr(ABt)
lAp thd,nh
m6t kh6ng
gian
(vectcr) Euclid.
CAU
III.
Kf hiOu G
lb
nh6m nhan c6,c
ma
trq,n
vu6ng
cdp
n
khA nghich
tr6n
trubng s6
thuc.
Goi
/J
th, tap con

cta
G
chfra
cd,c
ma trAn
c6
dinh
thitc
bXng
t hay
-1.
Goi
/( Ii, t6,p
con cta G
gbm
c6c ma
trA,n c6 dinh
thitc
ducrng.
Chirng
minh rXng'
1.
H vit"
/{ Ie c6c
nh6m con
chudn
tic ctja G;
2.
nh6m thucrng
G

I
H dXng
cdu
vdi
nh6m
nh6,n
cdc s6
thuc
ducrng;
3.
nh5m thucrng GIK
d8ng
cdu
vdi
nh6m cyclic
c6,p
2.
Cdu
fV.
1. Cho
(A,+,.)
lA,mQt
vA,nh,5ld
mQt
t|p
hqp
vd
?
:
S

*
A
Ie mQt song
6nh. Chfrng
minh rXng 5
v6i hai
ph6p
to6n
a@b
-
q-'(rt(o)+
?(b)),
vA
a*b
-
q-th@)
'q(b))
,
Ya,,b e
5
lb,
mot
vhnh.
2.
Chring
minh
rXng
mQt vh,nh
(R,
+,

.)
bdt
kj,
c6 dcvn
vi
1 cfrng
cbn
14, mot
vh,nh v6i
hai
ph6p
toSn
a@b
-
a
-lb -
l,
vb a*b
:
a
*b
-
ab, Ya,b €R.
Ghi
chri:
Cd,n
b6
coi, thi,
klt}ng
gi,d,i,

th,fuh
gi
tlt'€m.
Tran Mau Quy -