Tìm hiểu lý thuyết lượng tử về mômen xung lượng và mômen spin

1

A mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nh chúng ta đã biết Vật lý hạt cơ bản là một chuyên ngành hẹp của
môn Vật lý trong đó đi sâu vào nghiên cứu các tính chất, các quy luật tơng
tác của hạt cơ bản và các phản hạt của chúng. Đồng thời nghiên cứu các quá
trình biến đổi giữa các hạt cơ bản cũng nh mối liên hệ của chúng với các
trờng lực xung quanh. Khi đi sâu vào thế giới các hạt cơ bản tức là ta đã nói
đến thế giới các hạt vi mô. Vì vậy lý thuyết cổ điển sẽ bị thay đổi bằng lý
thuyết lợng tử lý thuyết trờng lợng tử và đợc dùng nh một công cụ
khá tốt để nghiên cứu hạt cơ bản.
Nghiên cứu hạt cơ bản tức là một cách gián tiếp ta đã nghiên cứu vũ trụ,
vì các hạt cơ bản này cấu thành toàn bộ vật chất, trái đất cũng nh tất cả các
sự vật, các thiên hà và các lớp bụi giữa các vì sao, chúng đều đợc tạo thành từ
các hạt cơ bản. ớc muốn của con ngời là luôn muốn làm chủ đợc thiên
nhiên, vũ trụ. Vì vậy việc nghiên cứu hạt cơ bản là một vấn đề luôn luôn đặt ra
không chỉ cho các nhà vật lý mà cho tất cả những ai yêu thích môn hạt cơ bản.
Có thể nói vật lý hạt cơ bản chính là vật lý năng lợng cao, nó cho phép ta đi
sâu và thế giới bên trong hạt nhân.
Theo giả thiết của Borh về lợng tử hoá quỹ đạo thì mômen xung lợng
của điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân chỉ có thể nhận các giá trị gián
đoạn là một bội nguyên của hằng số Planck

.

Trong phần nội dung của luận văn này ta sẽ thấy rằng giả thiết của Bohr
chính là hệ quả của các tiên đề của CHLT. Để thấy rõ điều đó ta hãy nghiên
cứu lý thuyết lợng tử về mômen xung lợng. Trong đó để hình dung một
cách cụ thể về trị riêng của các toán tử mômen xung lợng ta có thể trình bày
một cách thô sơ trên hình vẽ. Nhng cách trình bày trên hình vẽ chỉ là để hiểu
một cách trực quan, không thể coi là một cách biểu diễn chính xác mômen
xung lợng. Vậy để hiểu một cách chính xác mômen xung lợng thì ta sẽ đi






2

xét một hệ gồm 2 hạt, bỏ qua tơng tác giữa 2 hạt làm thay đổi mômen xung
lợng thì mômen xung lợng

L
của hệ bằng tổng các mômen xung lợng của
hai hạt. Để đi đến đợc điều đó thì ta dùng quy tắc cộng mômen xung lợng,
cộng mômen spin nói riêng và cộng mômen nói chung.
Mặt khác khi chứng minh định luật bảo toàn mômen xung lợng quỹ đạo
chúng ta mới chỉ xét trờng hợp đơn giản nhất khi hàm sóng chỉ có một thành
phần. Bây giờ ta khảo sát trờng hợp tổng quát khi hàm sóng có nhiều thành
phần mà trong các phép quay không gian, mỗi thành phần chuyển thành một
tổ hợp tuyến tính của chính nó và các thành phần khác.
Cũng chính vì các lí do ở trên đã giúp tôi đọc, tìm hiểu và nghiên cứu đề
tài này: cộng mômen.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Thông qua quy tắc hay định lí cộng mômen cho một hệ gồm 2 hạt
không tơng tác ta có thể áp dụng cho hàm sóng một hạt với hai bậc tự do
khác nhau hoặc hệ nhiều hạt.
- Nâng cao tầm hiểu biết về vật lý học của thế giới vi mô. Mặt khác có
thể làm tài liện tham khảo cho các bạn đọc.
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
- Tìm hiểu về mômen xung lợng, mômen spin, cộng mômen xung lợng
và cộng mômen spin của các hạt.
- Dùng cho hệ các hạt vi mô không tơng tác với nhau.
4. Phơng pháp nghiên cứu
Dùng phơng pháp toán cho vật lý: Toán tử, giải phơng trình hàm riêng,
trị riêng, các phơng trình đặc biệt cho vật lý.










3

B - Nội dung
Chơng 1: Cộng mômen xung lợng
1.1. Mômen xung lợng
1.1.1. Toán tử mômen xung lợng
Trong cơ học lợng tử, cũng tơng tự nh trong CHCĐ, mômen xung
lợng

L
đợc định nghĩa nh sau:


L r P
=


(1)
Đó là một toán tử vectơ có 3 thành phần:









y z
z
L yP zP
L zP xP
L xP yP

=


=

=


x z y
x
y x
(2)
Các thành phần đó là các toán tử biểu diễn hình chiếu của vectơ mômen
xung lợng lên các trục x, y và z. Nếu chọn:


x x
=
;

y y
=
;

z z
=
;

P
x

=

x
- i
;

P
y

=


y
- i
;

P
z

=


z
- i

Thì các toán tử hình chiếu của mômen xung lợng trong toạ độ Đề Các
có biểu thức nh sau:


)

)

)
L z
z y
L x
x z
L y
y x


=





=





=






x

y
z
i (y
i (z
i (x
(3)
Ngời ta còn định nghĩa toán tử bình phơng mômen xung lợng:


L L L L
= + +
2 2 2 2
x y z
(4)
Sau đây ta nêu lên một vài hệ thức giao hoán quan trọng giữa các toán tử
mômen xung lợng:


[ ]
L L L
=

x y z
, i
;

[ ]
x
L L L
=

y z
, i
;

[ ]
L L L
=

z x y
, i
(5)






4



0
L L L L L L
= = =
2 2 2
x y z
[ , ] [ , ] [ , ]
(6)
Từ các hệ thức trên ta thấy rằng không thể đo đợc một cách chính xác

đồng thời hình chiếu của mômen xung lợng lên hai trong ba trục toạ độ
vuông góc. Nếu đã đo đợc chính xác
L
z
chẳng hạn, thì đồng thời không thể
đo đợc chính xác
L
x
hoặc
L
y
. Có thể đo đợc chính xác đồng thời bình
phơng của mômen xung lợng và hình chiếu của nó lên một trục bất kì.
Đôi khi để cho thuận tiện, ngời ta đa vào các toán tử sau đây:


L L iL
+
= +
x y
;

L L L

=
x y
i
(7)
Các toán tử ấy tuân theo những hệ thức giao hoán:

z
z
L L L
L L L
L L L
+
+ +

=
=
=



z
[ , ] 2
[ , ] -
[ , ]
(8)
Và

L L L L L
+
= + +

2 2
z z

(9)
Nếu viết biểu thức của các toán tử mômen xung lợng trong toạ độ cầu
(dùng các công thức chuyển đạo hàm) thì ta có:


.




L
L
L







= +





=

=




x
y
z
i sin cotg cos
i cos cotg .sin
i
(10)
còn đối với
2

L
thì:

2
2 2
2 2
1 1

. sin . .
sin sin
L

= +





(11a)
Hay, nếu chú ý đến công thức:






5

sin

sin




= +



2

2 2
1 1
. .
,
sin

thì ta có thể viết:

L

=

2
.
,
(11b)
1.1.2. Trị riêng của mômen xung lợng
Ta hãy xét bài toán trị riêng của toán tử
z

L
. Để thuận tiện ta dùng toạ độ
cầu. Phơng trình trị riêng có dạng:

u
i L u


=

z
.
(12)
trong đó
u
là hàm riêng ứng với trị riêng
L
z
.
Giải phơng trình này ta tìm đợc biểu thức của hàm riêng
u
. Phần phụ
thuộc toạ độ

của
u
có dạng :

i
L
e


z
. .

Vậy
u
bằng một hằng số đối với

nhân với hàm số mũ nói trên, hằng số
này nói chung có thể phụ thuộc vào các toạ độ khác
(
r
và
)

:

z
L
u r c r e


=

i
. .
( , , ) ( , ).
(13)
Chú ý rằng khi

thay đổi
2

thì ta lại trở về điểm cũ. Muốn cho
u
là
một hàm đơn giá (theo vị trí trong không gian) thì khi

thay đổi
2

hàm
u

vẫn giữ nguyên giá trị
( 2 ) ( )
u u

+ =
.
Từ đó suy ra rằng:

z
. .2
1
i
L
e

=

hay
2 2
L
m

=

z
.
trong đó m là một số nguyên (dơng hoặc âm)

L m
=

z
(14)
với:
m
=
0;
1

;
2








6


Trị riêng

L
z
bằng một số nguyên lần


Thay giá trị của
L
z
vào biểu thức (13) của hàm riêng ta có:

im
u r c r e


=( , , ) ( , )
(15)
đó là hàm riêng ứng với trị riêng
m

.
Bây giờ ta chuyển sang tìm trị riêng của bình phơng mômen xung lợng
2

L
, xuất phát từ những hệ thức giao hoán (8). Từ hai hệ thức sau của (8) ta có
thể biến đổi và viết gộp lại:


L L L L L

=

z z
(16)
Ta lại biết theo (6) rằng
2

L
và

L
z
giao hoán, hai toán tử này có chung
những hàm riêng. Do đó hàm riêng
( , , )
m
u r

của

L
z
đã viết ở trên (theo
phơng trình (15)) cũng là hàm riêng của toán tử
2

L
.
Cho các toán tử ở hai vế của phơng trình (16) tác dụng lên
m

u

ta có:

L L u L L u L u
m m m
= +


z z

Chú ý rằng
z

z m m m
L u L u m u
= =


Ta có:
(
)
z

1
m m
L L u m L u

=

Từ đó ta có thể kết luận rằng:

m
L u

là hàm riêng của toán tử

L
z
ứng với
trị riêng
m

1.
Viết lại cho rõ ta có:
1
m m
L u constu
+ +
=


1

m m
L u constu

=

Nhớ lại rằng
m

là trị riêng của toán tử

z
L
, đó là một đại lợng vật lý
không thể bằng vô cực. Vậy ta có thể thừa nhận rằng
m
giới nội. Gọi
l
là giá
trị lớn nhất của
m
, ta sẽ có:

1

0
l l
L u constu
+ +
= =

vì nếu
1
0
l
u

+

thì
l
không phải giá trị lớn nhất của
m
.






7

Bây giờ cho toán tử
2

L
tác dụng lên
l
u
, theo (9) ta có:

2 2

l - + l l z l
L u L L u L u L u
= + +

2 2
l l
l u l u
= +



2
l
l(l +1) u
=


Vậy trị riêng của toán tử
2

L
là:
2
2
L l(l +1)
=

(17)
l
có những giá trị nguyên, kể cả giá trị bằng không.
ứ
ng với một giá trị đã

cho của
l
thì m có thể có nhiều giá trị. Nh trên đã nói
l
là giá trị lớn nhất của
m
. Mặt khác hai hớng giữa trục z là tơng đơng về mặt vật lý, nên ứng với
mỗi giá trị của
m
lại có một giá trị khác trái dấu. Nh vậy
m
có thể có các
giá trị nguyên từ
l
+
đến -
l
.

m

=
l; l-1; l-2;; -l
(18)
tất cả là
(2l+1)
giá trị.
1.1.3. Hàm riêng của toán tử mômen xung lợng
Các toán tử mômen xung lợng
2

L
và

z
L
chỉ chứa các toạ độ

,

và
đạo hàm theo các tọa độ này. Vì vậy ta chỉ xác định đợc phần phụ thuộc


và

trong hàm riêng (chung) của hai toán tử ấy, các hàm riêng ấy có chứa
một hằng số nhân phụ thuộc vào
r
.
Gọi
lm
u (r,
, )

là hàm riêng (chung) của
2

L
và

z
L
ứng với các trị riêng
lần lợt là
2
l(l + 1)

và
m

. Phần phụ thuộc các toạ độ

và

gọi là hàm cầu
và kí hiệu là:

m
l
Y (
, )


vậy
m
lm l
u (r,
, )= c(r).Y (, )

Khi viết phơng trình trị riêng của toán tử
2

L
và

z
L
ta có thể không để ý
tới hằng số nhân
( )
c r
:


2 m 2 m
l l
(
, ) = l(l + 1) (, )
L Y Y


(19)

8



m m
z l l
(
, )= m (, )
L Y Y


(20)
Giải phơng trình (20) giống nh (12) ta có:

(
)
m m im
l l
(, ) =
Y K e



(21)
thay vào (19) ta có:

m 2
m m
l
l l

2
1 d dK m
sin
- - .K + l(l +1)K = 0
sin d d sin




(22)
Ta đổi biến số, đặt
x cos

=
và chú ý rằng:

( )
(
)
.
d cos
d d d
sin
d d cos d dx



= =

Phơng trình (22) có dạng:

( )
2
2
2
1 ( 1) 0
1
m
m
l
l
d dK m
x l l K
dx dx x

+ =




Hay:
( )
2 2
2
2 2
1 2 . ( 1) 0
1
m m
m
l l

l
d K dK m
x x l l K
dx dx x

+ + =




Ta thấy rằng đây chính là phơng trình Lơgiăngđrơ liên kết. Nghiệm
m
l
K
chính là đa thức liên kết Lơgiăngđrơ trong đó biến số là
cos

.

( ) ( )
m m
l l
K x P cos

=

cuối cùng:
( , ) . (cos ).
m m im
l l

Y const P e


=
(23)
Hằng số đợc xác định bằng điều kiện chuẩn hoá.
Sau đây ta tính vài giá trị của hàm cầu
m
l
Y
. Muốn thế trớc hết cần tính
đa thức liên kết Lơgiăngđrơ theo công thức:

2
2
( )
( ) (1 ) .
m
m
m
l
l
m
d P x
P x x
dx
=
ta đợc:
0
( ) ( ) 1

P x P x
= =


0
1 1
( ) ( )
P x P x x
= =







9


2 2 2
1 1
( ) 1 . ( ) 1
d
P x x P x x
dx
= =


0 2
2 2

1
( ) ( ) (3 1)
2
P x P x x
= =


2
2 2 2
2
3 1
( ) 1 . 3 1
2
d x
P x x x x
dx



= =




2 2
1 2 2
2
2
3 1
( ) 1 . 3 1

2
d x
P x x x
dx



= =



Thay vào (23) và thừa nhận các hằng số chuẩn hoá mà ngời ta đã tính
đợc, ta có:

0
0
1
4
Y

=
;
0
1
3
4
Y cos


=

1
1
3
8
i
Y sin e




=
;
( )
0
2
5
3 1
16
2
Y cos


=


( )
1
2

15
8
i
Y cos sin e




=
;
2 2 2
2
15
8
i
Y sin e




=

1.1.4. Mẫu vectơ và phép cộng mômen xung lợng
Để hình dung một cách cụ thể về trị riêng của các toán tử mômen xung
lợng ta có thể trình bày một cách thô sơ trên hình vẽ.
Vectơ mômen xung lợng
L

có độ dài là:
( 1).

L l l
= +


Hình chiếu của vectơ này lên trục z có độ lớn đại
số là:

z
L m
=


trong đó
m
có nhiều giá trị từ
l

đến
l
+
(tất cả
2 1
l
+
giá trị).
Nh vậy véctơ
L

không thể hớng tuỳ ý trong không gian, nó chỉ có thể

10

hớng nh thế nào để hình chiếu có giá trị nh trên.
Hình vẽ 1: Vẽ sơ đồ vectơ
L

gọi là mẫu vectơ của mômen xung lợng
ứng với trờng hợp
l
=2

2(2 1) 6
2 , ,0, ,2
z
L
L
= + =
=



Trên mặt phẳng của hình vẽ vectơ mômen xung lợng
L

chỉ có thể có 5

cách định hớng khác nhau (ở nửa bên phải trục z).
Nếu ta quay hình vẽ quanh trục z thì đợc các hớng có thể của
L

trong
không gian.
Cách trình bày trên đây chỉ là để hiểu một cách trực quan, không thể coi
là một cách biểu diễn chính xác mômen xung lợng.
Bây giờ ta xét một hệ gồm hai hạt có mômen xung lợng lần lợt là
1
L

và
2
L

. Nếu bỏ qua tơng tác của hai hạt làm thay đổi mômen xung lợng thì
mômen xung lợng
L

của hệ bằng tổng của các mômen
1
L

và
2
L

. Nếu biết
các lợng tử số

1
l
,
1
m
và
2
l
,
2
m
xác định các mômen xung lợng
1
L

và
2
L

thì
ta có thể suy ra đợc các số lợng tử
l
và
m
xác định mômen xung lợng
L

.
Cách suy ra
l

và
m
gọi là phép cộng mômen xung lợng trong cơ học lợng
tử.
Ngời ta có thể chứng minh đợc một cách chặt chẽ phép cộng mômen
xung lợng, sau đây ta dùng một phơng pháp đơn giản để hiểu phép cộng
mômen xung lợng.
Trớc hết ta có:
1 2
z z z
L L L
= +

tức là
1 2 1 2
m m m m m m
= + = +

(24)
Ta lại biết rằng giá trị cực đại của
1
m
là
1
l
, của
2
m
là
2

l
, vậy giá trị cực
đại của
m
, tức cũng là giá trị của
l
là:

1 2
l l l
= +







11

ta có thể hiểu một cách thô sơ rằng đây là trờng hợp hai vectơ
1
L

và
2
L

cùng
hớng. Trờng hợp hai vectơ ấy cùng phơng ngợc chiều thì:

1 2
l l l
=
.
Còn có những trờng hợp khác thì
l
có giá trị nguyên ở khoảng giữa hai
giá trị trên.
Nói tóm lại với
1
l
và
2
l
đã cho thì
l
có giá trị sau đây:

1 2 1 2 1 2
, 1, ,
l l l l l l l
= + +
(25)
Tất cả có
2
2 1
l
+
giá trị (nếu
2 1

l l
<
).
1.2. Lý thuyết lợng tử về mômen xung lợng
Theo giả thiết của Bohr về lợng tử hoá quỹ đạo thì mômen xung lợng
của điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân chỉ có thể nhận các giá trị gián
đoạn là một bội nguyên của hằng số Planck

. Trong chơng này chúng ta sẽ
thấy rằng giả thiết của Bohr chính là hệ quả của các tiên đề của cơ học lợng
tử đã trình bày ở chơng truớc. Để thấy rõ điều này chúng ta hãy nghiên cứu
lý thuyết lợng tử về mômen xung lợng.
1.2.1. Lợng tử hoá mômen xung lợng
Nh chúng ta đã biết, các hàm sóng của hạt vi mô chuyển động trong
trờng thế đối xứng cầu thực hiện biểu diễn của nhóm quay, các toán tử thành
phần của vectơ mômen xung lợng

i
J
( 1,2,3)
i
=
của hạt tỉ lệ với các vi tử

i
L

của biểu diễn đó:

i i

J L
=

,
1,2,3
i
=
.
Xuất phát từ các hệ thức giao hoán các vi tử

i
L


1 2 3

,
L L iL

=

;
2 3 1

,
L L iL

=

;

3 1 2

,
L L iL

=


ta hãy tìm ra tất cả các biểu diễn tối giản của nhóm quay và thiết lập quy tắc
lợng tử hoá mômen xung lợng.
Từ các hệ thức giao hoán giữa các vi tử

i
L
vừa viết ở trên suy ra rằng
toán tử:






12

2 2 2 2
1 2 3

L L L L
= + +

giao hoán với tất cả các vi tử

i
L
:

2

, 0
i
L L

=


1,2,3
i
=
(26)
ta đặt:
( )
1 2

L L iL
+
= +
;
( )
1 2

L L iL

=
(27)
và hãy ding
( )

L
+
,
( )

L

thay cho
1

L
và
2

L
. Lu ý rằng
1

L
,
2

L

có thể biểu diễn
qua
( )

L
+
,
( )

L

nh sau:

( )
( ) ( )
1
1

2
L L L
+
= +
;
( )
( ) ( )
2
1

2
L L L

i
+
=
(28)
Dễ dàng thử lại đợc rằng:

( ) ( )
3

,
L L L
+ +

=

(29)

( ) ( )
3

,
L L L


=

(30)

( )
3

, 2
L L L
+

=

(31)
và:
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2
3
1

. .
2
L L L L L L
+ +

= + +

(32)
Trong mỗi biểu diễn của nhóm quay mỗi toán tử ở trên có dạng một ma
trận. Biểu thức của các yếu tố ma trận phụ thuộc vào sự lựa chọn hệ cơ sở
trong không gian thực hiện biểu diễn. Trong quá trình thiết lập biểu diễn
chúng ta sẽ lựa chọn hệ cơ sở một cách thích hợp.
Xét một biểu diễn tối giản thứ nguyên hữu hạn bất kỳ. Vì toán tử
2

L
giao

hoán với tất cả các vi tử, công thức (26), nên theo bổ đề Shur trong lý thuyết
biểu diễn nhóm ma trận của toán tử này phải là bội của ma trận đơn vị.

2


.1
L

=
(33)
Với một hằng số

nào đó. Sau này ta sẽ thấy hằng số

trong công
thức (33) hoàn toàn đặc trng cho biểu diễn tối giản đang xét. Ta chọn hệ cơ






13

sở trong không gian thực hiện biểu diễn là hệ các vectơ riêng của toán tử
3

L
.

Ký hiệu các trị riêng là
à
và các vectơ riêng tơng ứng là
|
à
>
.

3

L
|
à
>
=
|
à à
>
(34)
Ta quy ớc rằng các vectơ riêng
à
đều thoả mãn điều kiện trực giao
chuẩn hoá.

'
'
àà
à à
=
(35)

Vì
3

L
là toán tử tự liên hợp nên các giá trị riêng
à
phải là các số thực.
Hãy tác dụng toán tử
(
)
3

L L
+
lên vectơ riêng
à
.
Theo các hệ thức (29) và (34) ta có:

( ) ( ) ( )
(
)
3 3

L L L L L
à à
+ + +
= +

(
)
(
)
(
)
(
)
3

1 1L L L
à à à
+ +
= + = +

Hệ thức này chứng tỏ
(
)

L
à
+
cũng là một vectơ riêng của toán tử
3

L
ứng
với trị riêng
(
)

1
à
+
, nghĩa là
(
)

L
à
+
phải tỉ lệ với
1
à
+
.

(
)

L
à
+
=
à

1
à
+
(36)
Trong đó

à

là hằng số phụ thuộc vào
à
(vào cả

nữa)
Từ hệ thức (36) suy ra:

( )
(
)
( )
1,

1L L
à
à à
à à
+ +
+
= + =

Và nói chung, theo các công thức (35) và (36) các yếu tố ma trận của ma trận
ứng với toán tử
(
)

L
+

có dạng:

( )
(
)
( )
', 1
',

'L L
à à à
à à
à à
+ +
+
= =

(37)
Tơng tự nh vậy, theo các công thức (30) và (34) ta có:

( ) ( ) ( )
(
)
3 3

L L L L L
à à

= +

14


(
)
(
)
(
)
(
)
3

1 1L L L
à à à

= =

Hệ thức này chứng tỏ
(
)

L
à

+
cũng là một vectơ riêng của toán tử
3

L
ứng
với trị riêng
(
)
1
à

. Vì
1

L
và
2

L
là các toán tử tự liên hợp cho nên
(
)

L
+
và
(
)

L

là hai toán tử liên hợp Hermitic với nhau.

( ) ( )
(
)

L L
+
+
=

Và do đó:
( )
(
)
( ) ( )
',

' '
L L L
à à
à à à à

= =


' , ' 1 1 , ' 1
à à à à à à

= =
(38)
Lấy yếu tố ma trận cả hai vế của hệ thức giao hoán (31) giữa các vectơ
riêng của
3

L
với cùng một trị riêng
à
và sử dụng các hệ thức (37), (38) và
tính chất đủ của vectơ riêng.

'
' ' 1
à
à à
=


Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )
(
)
3
'

' ' ' ' 2L L L L L
à
à à à à à à à à à à
+ +
=



( ) ( )
2 2
'

' ' 2
L L
à
à à à à à
+

=




Nghĩa là:
2 2
1
2
à à
à

=
(39)
Lời giải tổng quát của phơng trình (39) có dạng:

( )
2
1
C
à
à à
= +
(40)
Với
C
là một hằng số tuỳ ý. Vì
2
à

không âm nên
à
chỉ có thể nhận các
giá trị trong một khoảng hữu hạn từ
min
à
đến
max
à
nếu không vế phải của (40)
sẽ âm khi
à

đủ lớn để
(
)
1
C
à à
+ >







15

Vì
max
à
là trị riêng lớn nhất nên:

(
)
max

0
L
à
+
=

và do đó từ hệ thức (37) ta suy ra:
max
0

=
(41)
Tơng tự, vì
min
à
là trị riêng nhỏ nhất nên:

(
)
min

0
L
à

=

Và do đó theo hệ thức (38) ta suy ra:
( )
min
1
0
à

=
(42)
Ký hiệu
max
j
à
=
(43)
và sử dụng đẳng thức (41) trong công thức (40) ta tính đợc

(
)
1
C j j
= +

và do đó công thức (40) trở thành:

( ) ( )
2
1 1
j j
à
à à
= + +
(44)
Theo công thức (44) phơng trình
2
0

à

=
có hai lời giải:

j
à
=
và
1
j
à
=

Theo đẳng thức (43) lời giải thứ nhất là
max
à
, nghĩa là
max
j
à
=
. Lời giải
thứ hai ứng với điều kiện (42), nghĩa là:

min
1 1
j
à
=

Vậy
min
j
à
=
(45)
Rõ ràng,
j
phải là một số không âm.
Tóm lại, các trị riêng
à
của
3

L
có thể nhận các giá trị thay đổi từ
j


đến
j
, hai giá trị liên tiếp khác nhau một đơn vị nghĩa là
à
có thể nhận các
giá trị sau đây:

, 1, 2, , 2, 1,
j j j j j j
à

= + +

Số các giá trị đó là
2 1
j
+
. Số này phải bằng một số nguyên. Nếu số đó
là số lẻ:
2 1 2 1
j n
+ = +
thì
j
là một số nguyên
j n
=
.






16

Còn nếu đó là một số chẵn:
2 1 2 2
j n
+ = +
thì

j
là số bán nguyên
1
2
j n
= +

Bây giờ hãy tính yếu tố ma trận của toán tử
2

L
giữa hai vectơ ứng với
cùng một trị riêng bất kì
à
của
3

L
và tìm hằng số

. Sử dụng công thức (32)
và (44) ta có:

2

L
à à
=

( ) ( ) ( ) ( )
(
)
2
3
'
1

' ' ' '
2
L L L L L
à
à à à à à à à à à à
+ +
= + +



(
)
2 2
2
1
1
2
à à
à

= + +

( ) ( ) ( ) ( )
2
1
1 1 1 1
2
j j j j
à à à à à
= + + + + +




(
)
1
j j
= +
. (46)
Các yếu tố ma trận của các toán tử
(
)

L
+
và
(
)

L

có môdun xác định bởi
công thức (44), còn pha của chúng thì tuỳ vào sự lựa chọn các pha của các
véctơ riêng
à
với
à
khác nhau. Ta quy ớc chọn các pha này thế nào để tất
cả các hệ số
à

đều là các số thực không âm.
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
j j j j
à
à à à à
= + + = + +
(47)
và có:
( )
(
)

(
)

1 1 .
L j j
à à à à

= + +

Xét thí dụ đơn giản khi
1
2
j
=
. Hình chiếu
à
có thể có hai giá trị là
1
2
à
= +
và
1
2
à
=
. Từ công thức (47) ta suy ra
1
2
0

=
và
1
2
1


=
. Do đó theo
các hệ thức (37) và (38) có:






17


( )
0 1

0 0
L
+

=

;
( )
0 0

1 0
L


=



Sử dụng các đẳng thức (28) ta tính đợc:

1
0 1
1

1 0
2
L


=


;
2
0
1

0
2
i
L
i


=



Ngoài ra:
3
1 0
1

0 1
2
L

=




Ta thấy rằng 2
1

L

,
2

2
L
và 2
3

L
chính là các ma trận Pauli.
Từ những kết quả thu đợc ở trên ta đi đến quy tắc lợng tử hoá mômen
xung lợng sau đây: Toán tử bình phơng mômen xung lợng toàn phần
2

J
của hạt vi mô có trị riêng bằng
(
)
2
1
j j
+

, trong đó
j
là số không âm
nguyên hoặc bán nguyên. Ta thờng gọi
j
là mômen xung lợng toàn phần
của hạt (khi nói nh vậy ta ngầm hiểu rằng ta đã lấy

làm đơn vị mômen
xung lợng). Toán tử hình chiếu
3

J
của mômen xung lợng trên trục oz có tất
cả (2
j
+1) trị riêng:

j


,
(
)
1
j
+

,,
(
)
1
j


,
j

.
Tập hợp
2 1
j
+
hàm sóng ứng với
2 1
j
+
trị riêng khác nhau nói trên của
toán tử
3

J
và với cùng một trị riêng:
(
)
2
1
j j
+

của toán tử
2

J
đợc gọi là một
đa tuyến. Trờng hợp riêng
0

j
=
chỉ ứng với một hàm sóng và gọi là đơn
tuyến. Với
1
2
j
=
có hai hàm sóng tạo thành lỡng tuyến. Với
1
j
=
có ba hàm
sóng tạo thành tam tuyến
Toán tử Spin

S
của hạt vi mô tuân theo các hệ thức giao hoán giống hệt
nh của

J
. Do đó những kết luận với

J
cũng dùng ngay đợc cho

S
. Mỗi hạt
vi mô có Spin
s

xác định, là các số nguyên hoặc bán nguyên không âm. Toán






18

tử
2

S
có trị riêng bằng:
(
)
2
1
s s
+

còn toán tử hình chiếu
3

S
trên trục oz có tất
cả
2 1
s
+

trị riêng:
s


,
(
)
1
s
+

,,
(
)
1
s


,
s

.
Hàm sóng của hạt có Spin
s
là hàm sóng
2 1
s
+
thành phần.
1.2.2. Mômen xung lợng quỹ đạo và các hàm cầu

Bây giờ hãy xét trờng hợp đặc biệt là trờng hợp toán tử mômen xung
lợng quỹ đạo

L
. Trong chơng trớc ta
đã biết rằng các thành phần của toán tử

L
là những toán tử vi phân chứa các toạ độ
, ,
x y z
và các đạo hàm riêng
x


,
y


,
z


.
Do đó có thể tìm đợc các trị riêng và biểu
thức cho các hàm riêng của toán tử
3

L
và

2

L
bằng cách giải trực tiếp các phơng
trình vi phân tơng ứng. Muốn vậy ta biểu
diễn các toạ độ Descartes
, ,
x y z
qua các toạ độ cầu
r
,

,

(Hình 3).
sin cos
x r

=
.
sin sin
y r

=
.

cos
z r

=

.
và có các biểu thức sau đây của các toán tử
3

L
và
2

L
:
3

L
=

z
L
=
i





(48)
2

L
2 2
2

2 2 2
1
cot
sin
g




= + +





2
2
2 2
1 1
sin
sin sin





= +

(49)






19

Vì trong công thức (49) chỉ có sự phụ thuộc vào

và

nên ta kí hiệu
hàm riêng của
2

L
là Y(

,

)

2

L

(
)
,
Y

=
2


(
)
,
Y

(50)
Với

là trị riêng. Thay thế biểu thức (49) vào phơng trình (50) ta có :

(
)
(
)
( )
2
2 2
, ,
1 1
sin , 0
sin sin

Y Y
Y





+ + =



(51)
Ta hãy tìm lời giải của phơng trình (51) dới dạng phân li biến số:
Y(

,

) =

( ) ( )

(52)
Thay thế biểu thức (52) vào phơng trình (51) và chia cả hai vế cho
2
sin


( ) ( )

ta đợc:

(
)
( )
( )
( )
2
2
2
sin sin
sin















+ =

(53)
Vế trái của đẳng thức (53) chỉ phụ thuộc vào

, còn vế phải lại phụ thuộc
vào

nên hai vế chỉ có thể bằng nhau nếu mỗi vế đều bằng một hằng số, đặt
là
2
m
. Khi đó ta có:

(
)
( )
2
2
2
0
m




+ =


(54)
Và:
(

)
( )
2
2
1
sin 0
sin sin
m







+ =







(55)
Lời giải của phơng trình (54) là:

(
)
(
)

im
m
Ce


= =


Vì:
(
)
(
)
2
m m

= +

nên
m
phải là các số nguyên
Từ điều kiện chuẩn hoá:






20

( )
2
2
0
1
m
d


=



ta tính đợc
1
2
C

=
.
Vậy:
( )
1
2
im
m
e

=

,
0; 1; 2;
m
=
(56)
Để tiện giải phơng trình (55) ta làm phép đổi biến số:
cos
à
=
.
và có:
1
à

,
2
1sin
à
=


2
1
à
à
à à

= =



Với biến
à
phơng trình (55) trở thành:

( )
(
)
(
)
( )
2
2
2
2 2
1 2 0
1
m
à à
à à à
à à à


+ =

(57)
Để tránh hai điểm đặc biệt
1
à
=
trong phơng trình (57) ta tìm
(
)
à


dới dạng:

( )
( )
( )
2
2
1
s
u
à à à
=

(58)
Và tìm cách xác định
s
và

(
)
u
à
sao cho ngay cả khi
1
à
=
hàm
(
)
à

,
vẫn là hàm hữu hạn, liên tục và khả vi. Thay thế biểu thức (58) vào phơng
trình (57) ta thu đợc phơng trình đối với
(
)
u
à
:

( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
1 2 1 0
1
s m

u s u s s u
à à à à à
à



+ + =



(59)
trong đó:
( )
(
)
'
u
u
à
à
à




Và
( )
(
)
2

2
u
u
à
à
à











21

Nếu ta chọn
s m
=
thì phơng trình (59) đối với
(
)
u
à
sẽ không có các
điểm đặc biệt. Hơn nữa, cần chọn
s m

=
vì nếu không thì khi
1
à

, hàm
(
)
à

xác định theo biểu thức (58) sẽ phân kì. Nh vậy thay cho biểu thức
(58) và phơng trình (59) bây giờ ta có:

( )
( )
( )
2
2
1
m
u
à à à
=

(60)
Và:
(
)
( )
(

)
( )
(
)
( )
2
2
1 '' 2 1 ' 0
u m u m m u
à à à à à
+ + =
(61)
Tìm lời giải của phơng trình (61) dới dạng chuỗi :

( )
0
k
k
k
u a
à à

=
=

(62)
Thay thế chuỗi (62) vào phơng trình (61), ta đi đến phơng trình móc
xích đối với các hệ số:
(
)

(
)
( )( )
2
1
1 2
k k
k m k m
a a
k k

+
+ + +
=
+ +
(63)
Từ công thức (62) ta thấy rằng khi
à
lớn chỉ có các số hạng với
k
lớn là
cho đóng góp chủ yếu. Từ phơng trình móc xích (63) ta có:
2
1
k
k
a
a
+

khi
k

. Điều này cho thấy
(
)
u
à
xác định theo chuỗi (62) phải bị cắt khi k
lớn hơn một giá trị
K
nào đó, nghĩa là
0
k
a

khi
k K

và
0
k
a
=
khi
k K
>
.
Nh thế, ta có
2

0
k
a
+
=
và từ phơng trình (63) ta suy ra:

(
)
(
)
1K m K m

+ + + =

hay
(
)
1
l l

= +
(64)
với
l K m
= +

Ta đi đến một kết luận là trị riêng của toán tử bình phơng mômen xung
lợng quỹ đạo
2

L
chỉ có thể nhận các giá trị bằng:
(
)
2
1
l l
+


trong đó
l
là các số nguyên không âm:
0;1;2
l
=







22

Phơng trình (61) đối với
(
)
u

à
trở thành:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 2 1 1 1 0
u m u l l m m u
à à à à à


+ + + + =

(65)
Để giải phơng trình này ta xét hàm
(
)
à
định nghĩa nh sau:

( )
(
)
2
1
l
à à
=

Dễ dàng chứng minh đợc đồng nhất thức:

( )
( )
(
)
( )
( )
1
1
2
1 ' 2 0
l m
l m
l
à à à à
+ +
+ +

+ =

(66)
Trong đó :
( )
( )
(
)


n
n
n
à



.
Khai triển đồng nhất thức (66) và đặt:

( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)

( )
( )
2
1
1
l m
l m
l m l m
l
l m
u
à
à à à
à à
+
+
+ +
+



= =




Với
m l

ta thu đợc :

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 1 1
1 2 1 1 0
u m u l m l m u
à à à à à

+ + + + =
(67)
Vì:
(
)
(
)
(
)

(
)
1 1 1
l m l m l l m m
+ + = + +

nên phơng trình (67) đối với
1
u
có dạng giống hệt phơng trình (65) đối với
u
và do đó hai hàm này chỉ khác nhau bởi một hệ số:
(
)
(
)
1
u constu
à à
=

Hay một cách tờng minh hơn ta có:

( )
( )
2
1
l m
l
lm

l m
u C
à à
à
+
+


=



(68)
Với
lm
C
là các hệ số tỉ lệ. Thay thế công thức (68) vào hệ thức (60) ta nhận
đợc:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
1 1
l m
m
l m
l
lm lm
C
à à à à

à
+
+


= =











23


( )
( )
2
2
2
1
1
2 !
l
m

m
l
lm
l l
m
C
l
à
à
à
à






=









( )
( )
2

2
1
m
m
lm l
m
C P
à à
à

=



(
)
lm lm
C P
à
=
(69)
Trong đó:
( )
(
)
2
1
2 2!
l
l

l
l l
P
à
à
à




=




Và:
( )
( )
( )
2
2
1
m
m
lm l
m
P P
à à à
à

=

là các đa thức Legendre.
Sử dụng điều kiện chuẩn hoá:

( )
1
2
1
1
lm
d
à à


=




ta tính đợc hệ số
lm
C
:

( )
(
)
( )
2 1 !

2 !
lm
l l m
C
l m
+
=
+
(70)
Từ các công thức (70), (69), (56) và (52), ta xác định đợc biểu thức
tờng minh của các hàm riêng của toán tử
2

L
.
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
2
2
2 1 !
, , 1
4 !
m
lm
l l m
Y Y cos

l m


+
= = ì
+

ì
( )
( )
1
2 !
l
2
l m
im
l m
l
cos
e
l
cos



+
+

(71)
Đó là các hàm cầu, chúng thoả mãn điều kiện trực giao chuẩn hoá:



à à à


=

2 1
*
1
( , ) ( , )
lm l m ll mm
d d Y Y
(72)






24

Một vài hàm cầu đơn giản nhất là:

=
00
1
4
Y
;
cos


=
10
3
4
Y
;
sin





=
1 1
3
8
i
Y e
;
[ ]

cos


= +
20
5
1 3 (2 )
16
Y
;
sin sin





= =
2 2
2 1 2 2
15 15
(2 ) ;
32 32
i i
Y e Y e
,
Các hàm cầu cũng là các hàm riêng của toán tử
3

L
với các giá trị riêng

m

, vì:

3
( , ) ( )

( , ) ( )( ( ) ( )
lm m
lm lm lm m
Y
L Y i i m




= = =





( , )
lm
mY

=

(73)
Vậy các hàm riêng của

2

L
và
3

L
là các hàm cầu. Mômen xung lợng quỹ
chỉ đạo có thể nhận các giá trị gián đoạn
l

với
l
là các số nguyên không âm
còn hình chiếu của mômen xung lợng quỹ đạo chỉ có thể nhận các giá trị
gián đoạn bằng
m

với
m
là các số nguyên thoả mãn điều kiện
m l

,hoàn
toàn phù hợpvới quy tắc lợng tử hoá Bohr. Các trạng thái có
l
bằng 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9 theo thứ tự đợc kí hiệu là
s, p,d, f,g,h,i,k,l,m

1.2.3. Biểu diễn đại số Lie của toán tử mômen xung lợng quỹ đạo



=

,
i j ijk k
L L i L
(Đại số Lie) (74)
Xét một đại số mà các yếu tố đó là
A

mà:



=

, .
A A f A

Thì nói rằng các
A

tạo thành một đại số Lie
Xét một không gian n chiều tìm đợc các ma trận
i
J
mà các

i
J
thoả
mãn:


=

,
i j ijk k
J J i J

Thì các
i
J
gọi là các biểu diễn đại số (74)
Nghiên cứu biểu diễn của các đại số Lie






25

* Xét biểu diễn trong không gian 3 chiều
Chọn hệ cơ sở:

= = = =



(1) (2)
1 0
0 ; 1 ;
0 0
x y
z
(3)
0
0
1



= =




Giả sử biểu diễn trong không gian ba chiều đợc biểu diễn bằng các ma
trận
x y z
s s s
, ,

Định nghĩa:

= = =
= = =
= = =
x y z z y
x x x
x z y z x
y y y
x y y x z
z z z
s s i s i
s i s s i
s i s i s
0; ;
; 0;
; ; 0

Ta muốn
i j ijk k
s s i s
,


=

(*)
Ta đi chứng minh

x y z
s s s
, ,
định nghĩa nh trên thoả mãn (*)


( )

0; ;
x
x x x
L i y z
z y
L x L y iz L z iy

=

= = =

Vậy các
i
s
là biểu diễn của mômen xung lợng trong không gian 3 chiều
* Xét biểu diễn trong không gian 2 chiều


+

=

( )
1
0
các
x y z
s s s
, ,
mà
i i
s
1
2

=




=


( )
0
1
với



= = =

i
i
i
1 2
0 1 0 1 0
; ;
1 0 0 0 1




=

i j ijk k
s s s
,


x y y x z
z z z
s i s i s
; ; 0

= = =


z

là hàm riêng của
z
s
còn
x

,
y

không phải là hàm riêng của
z
s