ĐỀ SỐ 27 MÔN TOÁN ÔN THI ĐH

Đề số 27
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm). Cho hàm số:
4 2
(2 1) 2
   
y x m x m
(m là tham số ).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân
biệt cách đều nhau.
Câu II (2 điểm).
1) Giải phương trình :

 
2 2
1 8 21 1
2cos os 3 sin 2( ) 3cos sin x
3 3 2 3

 
 
       
 
 
x c x x x .
2) Giải hệ phương trình:
1 2
2
(1 4 ).5 1 3 (1)
1

3 1 2 (2)
    

  


   


x y x y x y
x y y y
x
.
Câu III (2 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :

 
2
0, , 1
1
  

x
xe
y y x
x
.
Câu IV (1 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB = a,
BC = a,

0

90
BAD 
, cạnh
2
SA a

và SA vuông góc với đáy, tam giác SCD
vuông tại C. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích của tứ diện
SBCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn
1 1 1
2009
x y z
  
. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức: P =
1 1 1
2 2 2
x y z x y z x y z
 
     

II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
2 2
2 4 8 0
x y x y
    

1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(4;0;0) , (0;0;4)
A B và
mặt phẳng (P):
2 2 4 0
   
x y z . Tìm điểm C trên mặt phẳng (P) sao cho
ABC đều.
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và
đường tròn (C):
2 2
2 4 8 0
    
x y x y
. Xác định tọa độ các giao điểm A, B
của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương).
Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông ở B.
Câu VII.a
(1 điểm) Tìm phần thực của số phức :
(1 )
n
z i
 
.Trong đó n

N
và thỏa
mãn:





4 5
log 3 log 6 4
n n
   

B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2
điểm )
1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

1 2
2
4 1 5
: và : d : 3 3 .
3 1 2
x t
x y z
d y t t
z t
 

  

     

 






Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường
thẳng d
1
và d
2
.
2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện
tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên
đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.
Câu VII.b
(1 điểm) Cho số phức:
1 3.
 
z i
. Hãy viết số z
n
dưới dạng lượng giác
biết rằng n

N
và thỏa mãn:
2
3 3
log ( 2 6) log 5
2 2
2 6 4 ( 2 6)
 

     
n n
n n n n



Hướng dẫn Đề số 27

Câu I: 2) Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt cách đều nhau  phương
trình
4 2
(2 1) 2 0 (1)
x m x m    có 4 nghịêm phân biệt lập thành cấp số
cộng  phương trình: X
2
– (2m + 1)X + 2m = 0 (2) có hai nghiệm dương
phân biệt thoả mãn X
1
= 9X
2
.

2
2
4 4 1 0
0 (2 1) 8 0
0
1
0 2 1 0
1

2
0 2 0
2
0


  

   





  
       
   

   
 






m m
m m
m
S m m

m
P m
m
.
Câu II: 1) PT 
1 sin 0
(1 sin )(6cos sin 8) 0 1 sin 0
6cos sin 8 0
 

       

  

x
x x x x
x x

2) Xét (1): Đặt t = x – y. (1) 
1 4
5 1 9.3
5 5
 
   
  
 
   
   
 
t t

t
.
 Với t > 0 VT < 10, VP > 10.  Với t < 0, VT > 10, VP < 10.
 Phương trình (1) có nghiệm duy nhất t = 0 hay x = y.
Thay x = y vào phương trình (2) ta được: (2) 
2
1
2 1 3 0
    
x x x x
x
.
Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho x =
0 ta được:
(2) 
1 1
3 2 0
    
x x
x x
. Đặt
1
 
y x
x
(ĐK y  0).
Ta được phương trình: y
2
– 3y + 2 = 0 
1

2





y
y
. Từ đó ta tìm được x.
Câu III: S =
1
2
0
( 1)

x
xe
dx
x
. Đặt
2
1
1
x
u xe
dv dx
x( )










1 1
2
0 0
1
0
( 1) 1
  
 
 
x x
x
xe xe
dx e dx
x x

Câu IV:  Chứng minh:  ACD vuông tại C  ACD vuông cân tại C.

2; 2 ; 5
   
AC CD a CD a BD a

 V
SBCD
= V

S.ABCD
– V
SABD
.
 Chứng minh BC  (SAB)  BC  AH  AH  (SBC).
Kẻ AK  (SC)  AK  (SCD)  (AKH)  (SCD).
Kéo dài AB và CD cắt nhau tại E. Kéo dài AH cắt SE tại M.
Có (AMK)  (SCD) hay (AMK)  (SED).
AH  (SBC)  AH  HK  tam giác AHK vuông tại H.
Kẻ HI  MK có HI = d(H, (SCD)).
 Tính AH, AM  HM; Tính AK  HK. Từ đó tính được HI.
Câu V: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
4ab ≤ (a + b)
2

1
4
a b
a b ab

 

1 1 1
4
 
 
 
 
a b
. Dấu "=" xảy ra  a = b.

Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 2 4 8 2 2
x y z x y z x y z x y z
 
     
       
 
     
  
     
 

Tương tự:
1 1 1 1 1
2 8 2 2
x y z x y z
 
  
 
 
 
và
1 1 1 1 1
2 8 2 2
x y z x y z
 
  
 
 

 

Vậy
1 1 1
2 2 2
x y z x y z x y z
 
     
1 1 1 1 2009
4 4
x y z
 
   
 
 

Vậy MaxP =
2009
4
khi x = y = z =
12
2009

Câu VI.a: 1) C nằm trên mặt phẳng trung trực của AB.
2) Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình

2 2
0; 2
2 4 8 0
1; 3

5 2 0
y x
x y x y
y x
x y
 

    


 
   
  



Vì A có hoành độ dương nên ta được A(2;0), B(–3;–1).
Vì

0
90
ABC 
nên AC là đường kính đường tròn, tức là điểm C đối xứng với
điểm A qua tâm I của đường tròn. Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4).
Câu VII.a: Phương trình:
4 5
log ( 3) log ( 6) 4
   
n n có nghiệm duy nhất n = 19. (Vì
VT là hàm số đồng biến nên đồ thị cắt đường thẳng y = 4 tại một điểm duy

nhất)
Câu VI.b: 1) Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường
kính.
2) Ta có:


1;2 5
   

AB AB . Phương trình của AB là:
2 2 0
  
x y .



( ) : ;
  
I d y x I t t
. I là trung điểm của AC và BD nên:




2 1;2 , 2 ;2 2
 
C t t D t t
Mặt khác:
. 4
 

ABCD
S AB CH (CH: chiều cao)
4
5
 CH .
Ngoài ra:
 
   
4 5 8 8 2
; , ;
| 6 4| 4
3 3 3 3 3
;
5 5
0 1;0 , 0; 2

   
 

   

   
   


   

t C D
t
d C AB CH

t C D

Vậy tọa độ của C và D là
5 8 8 2
; , ;
3 3 3 3
   
   
   
C D hoặc




1;0 , 0; 2
 
C D
Câu VII.b: Đặt
 
3
3
log 5
log 5
2 2 2
3
log ( 2 6) 2 6 3 ; ( 2 6) 3 5
          
t t t
n n t n n n n .
Ta được phương trình: 3

t
+ 4
t
= 5
t
. Phương trình có nghiệm duy nhất t = 2.
 n
2
– 2n + 6 = 9  n
2
– 2n – 3 = 0  n =3