Giải đáp các câu hỏi về kết cấu tấm và vỏ

GIÁP ĐÁP CÁC CÂU HỎI VỀ KẾT CẤU TẤM VỎ

1. Phân tích sự khác nhau giữa Tấm Mỏng và Tấm Dày:
Phạm vi áp dụng:
Tính toán cho tấm chữ nhật, tấm hình vuông và tấm tròn với các biên là ngàm cứng, tựa
khớp, tựa đàn hồi và tự do. Nhưng trong Tấm Mỏng bỏ qua biến dạng cắt trong mặt phẳng
pháp tuyến còn trong tấm dày có kể đến biến dạng cắt trong mặt phẳng pháp tuyến.

Các giả thiết tính toán:
Tấm mỏng dùng giả thiết Kirchhoff, đó là:
Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm, nên σ
z
= 0.
Khi tấm chịu uốn, chuyển vị thẳng trên mặt trung bình bằng không, u(x,y,0) = v(x,y,0) = 0.
Phần tử thẳng m-n vuông góc với mặt phẳng trung bình trước biến dạng và sau biến dạng vẫn
thẳng, vẫn vuông góc với mặt phẳng trung bình và không thay đổi độ dài. Từ đó, rút ra ε
z
=
γ
xz
= γ
yz
= 0.
Từ giả thiết trên, tấm mỏng chịu uốn thành phần chuyển vị u(x, y, z); v(x, y, z), biến dạng,
ứng suất và nội lực được xác định qua chuyển vị w(x, y) và bài toán 3 chiều thành bài toán 2
chiều.
Tấm dày dung giả thiết Mindlin:
Góc xoay có kể đến biến dạng cắt tức là phần tử thẳng m-n vuông góc với mặt phẳng trung
bình trước biến dạng và sau biến dạng không nhất thiết phải vuông góc với mặt phẳng trung
bình và góc xoay θ
x

, θ
y
được bổ sung một lượng bằng góc xoay của pháp tuyến quanh các
trục x, y là ϕ
x
, ϕ
y
do lực cắt gây ra.

Vận dụng các lý thuyết khi tính toán Tấm:
Nói chung các bài toán cơ học được giải trên cơ sở 3 nhóm phương trình cơ bản: Hình học,
vật lý, cân bằng kết hợp với điều kiện biên.
Nhóm phương trình hình học biểu thị quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị.
Nhóm phương trình vật lý biểu thị quan hệ ứng suất và biến dạng.
Nhóm phương trình cân bằng biểu thị điều kiện cân bằng của phân tố hoặc của toàn hệ.
Tấm mỏng chịu uốn theo giả thiết Kirchhoff:
Phương trình hình học:
Xét tấm mỏng có chiều dày h = const, vật liệu đàn hồi tuyến tính. Tách từ tấm một phân tố
VCB có các cạnh dx, dy như hình sau:

Theo lý thuyết đàn hồi và giả thiết 3,
( , , )
0
z
w x y z
z


 


nên theo chiều dày tấm
( , , ) ( , )
w x y z w x y const
 
.
Từ giả thiết 2 và 3, chuyển vị u(x, y, z), v(x, y, z) tại điểm k bất kỳ cách mặt trung bình
khoảng cách z được biểu diễn qua chuyển vị
( , )
w x y
như hình sau:

( , )
( , , ) . .
y
w x y
u x y z z z
x


   

;
( , )
( , , ) . .
x
w x y
v x y z z z
y



   


Từ lý thuyết đàn hồi, các thành phần biến dạng của tấm được xác định theo công thức:
2
2
( , , ) ( , )
.
x x
u x y z w x y
z zk
x x

 
   
 
;
2
2
( , , ) ( , )
.
y y
u x y z w x y
z zk
y y

 
   
 

2
1 2
( , , ) ( , , ) ( , )
2 .
xy xy
u x y z u x y z w x y
z zk
y x x y
  
  
      
   

Trong đó:
,
x y
k k
và
xy
k
là độ cong uốn và độ cong xoắn

2
2
( , )
x
w x y
k
x


 

,
2
2
( , )
y
w x y
k
y

 

,
2
( , )
2
xy
w x y
k
x y

 
 





Phương trình vật lý:

Các thành phần ứng suất của tấm được xác định theo lý thuyết đàn hồi với các thành phần
biến dạng xác định theo hình sau:

2 2
2 2 2 2
.
( )
1 1
x x y
E E z w w
x y
   
 
 
 
    
 
   
 

2 2
2 2 2 2
.
( )
1 1
y y x
E E z w w
y x
   
 

 
 
    
 
   
 

2
.
. .
(1 )
xy yx xy
E z w
G
x y
  


   
  

Trong đó:
,
E

- Mô đun đàn hồi và hệ số Poisson vật liệu.
G
- Mô đun trượt của vật liệu
2(1 )
E

G




Trong tính toán kết cấu công trình thường xác định nội lực thay cho xác định ứng suất. Nội
lực kết cấu tấm bao gồm: Mô men uốn
,
x y
M M
; mô men xoắn
xy
M
; lực cắt
,
x y
Q Q
. Nội lực
phân bố trên một đơn vị chiều dài, được xác định qua ứng suất bằng các công thức sau:

/2
2 2
2 2
/2
/2
2 2
2 2
/2
/2
2

/2
.
.
. (1 )
h
x x p
h
h
y y p
h
h
xy yx xy p
h
w w
M z dz D
x y
w w
M z dz D
y x
w
M M z dz D
x y
 
 
 



 
 

   
 
 
 
 
 
   
 
 
 

    
 




Trong đó,
p
D
- độ cứng trụ:
3
2
12(1 )
p
Eh
D




,
h
- chiều dày tấm.
Nội lực
,
x y
Q Q
được xác định từ điều kiện cần bằng.
Phương trình cân bằng:
Xét cân bằng của phân tố tấm dưới tác dụng của các thành phần nội lực và ngoại lực phân bố
( , )
q x y
.

Chiếu các lực lên trục OZ và giản ước cho
dxdy
:
( , ) 0
y
x
Q
Q
q x y
x y


  
 

Lấy tổng mô men trục x, y và bỏ qua đại lượng VCB bậc cao, giản ước cho

dxdy
:
0
0
xy
x
x
y xy
y
M
M
Q
x y
M M
Q
y x


   
 
 
   
 

Từ phương trình trên nếu ta kết hợp với mô men uốn và mô men xoắn biểu diễn qua chuyển
vị
( , )
w x y
, lực cắt
,

x y
Q Q
được xác định theo công thức sau:
2
2
( , y)
( ,y)
x p
y p
Q D w x
x
Q D w x
y

  


  


Với
2

- là toán tử Laplat:
2 2
2
2 2
x y
 
  

 

Tấm dày chịu uốn theo giả thiết Mindlin:
Theo giả thiết này, tấm dày hay tấm nhiều lớp khi chịu uốn đều xét đến biến dạng cắt. Tức là
phần tử m-n không nhất thiết phải vuông góc với mặt phẳng trung bình sau khi biến dạng,
biến dạng cắt này được bổ sung bằng góc xoay của pháp tuyến quanh các trục x và y là ϕ
x
, ϕ
y
vào góc xoay θ
x
, θ
y
theo hình vẽ sau:

x x x x
y y y y
w w
x x
w w
y y
   
   
 
       
 
 
     
 

Công thức xác định nội lực:
Ứng suất tiếp
zx

và
zy

gây ra do biến dạng cắt
x

,
y

; đối với tấm đẳng hướng xác định bằng
công thức:
1 0
0 1
2(1 )
xz
y
yz
x
E





 
 

 

   
 

 
 
 

Lực cắt
,
x y
Q Q
được xác định bằng công thức
/2
/2
/2
/2
h
x xz
h
h
y yz
h
Q dz
Q dz
















hoặc được biểu diễn dưới dạng ma
trận như sau:

Nội lực mô men uốn M
x
, M
y
và mô men xoắn M
xy
, lực cắt Q
x
, Q
y
được biểu diễn dưới dạng
tổ hợp:

Trong đó:

Biểu diễn



p

theo
w
,
x

và
y




2. Nêu phạm vi áp dụng và các đặc điểm tính Tấm Mỏng bằng phương pháp Chuỗi
Lượng Giác.
Phạm vi áp dụng của phương pháp này là chỉ tính cho bài toán tấm mỏng chữ nhật chu vi
tựa khớp chịu tải trọng phân bố q(x,y) hoặc tải trọng tập trung vuông góc với mặt phẳng tấm
như hình sau:

Đặc điểm của phương pháp chuỗi lượng giác là hàm chuyển vị w(x,y) theo phương pháp
tuyến được biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác, tải trọng phân bố q(x,y) hay tải trọng tập
trung cũng được triển khai dưới dạng chuỗi lượng giác mà các chuỗi này được chọn phải
thỏa mãn điều kiện biên của tấm chu vi tựa khớp, đồng thời phải thỏa mãn tính chất trực giao
của hàm lượng giác, cụ thể:
Chuỗi lượng giác đơn:
Hàm chuyển vị:

Trong đó

( )
n
y y
là hàm cần tìm biểu diễn chuyển vị của tấm theo phương trục y.

Trong đó:
A
n
, B
n
, C
n
, D
n
– Các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên tại y = 0 và y = b.
0
n
y
- nghiệm riêng phụ thuộc tải trọng q(x,y). Nếu q(x,y) = q
o
= const, nghiệm riêng có dạng:

Tải trọng phân bố q(x,y):

Trong đó: q
n
(y) – là hàm cần tìm theo công thức sau:

Các thành phần nội lực như mô men uốn M
x

, M
y
; mô men xoắn M
xy
; lực cắt Q
x
, Q
y
được xác
định theo công thức sau:






Chuỗi lượng giác kép:
Hàm chuyển vị:

Trong đó:
A
nm
- hệ số cần xác định theo công thức sau:


Khi tải phân bố đều q(x,y) = q
o
:

Tải trọng phân bố q(x,y):

Với q
nm
và α
n
, β
m
được xác định như trên.
Các thành phần nội lực như mô men uốn M
x
, M
y
; mô men xoắn M
xy
; lực cắt Q
x
, Q
y
được xác
định theo công thức sau:



3. Nội dung phương pháp, cơ sở xây dựng phương pháp, đặc điểm của phương
pháp Biến Phân: Ritz và Butnop – Galoockin. Sự khác nhau giữa 2 phương pháp
Ritz và Butnop – Galoockin.
Nội dung của phương pháp biến phân đó là sử dụng các nguyên lý năng lượng như nguyên
lý công khả dĩ hoặc nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần để tìm phương trình
chuyển vị w(x,y) của tấm.

Nguyên lý công khả dĩ: “Điều kiện cần và đủ để hệ ở trạng thái cân bằng là tổng công khả dĩ
của ngoại lực và nội lực bằng không”.
Nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần (hay nguyên lý thế năng toàn phần dừng):
“Trong tất cả các trường chuyển vị (trạng thái chuyển vị) khả dĩ động (các chuyển vị thỏa
mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên động học) thì trường chuyển vị thực tương ứng
với sự cân bằng sẽ làm cho thế năng toàn phần Π đạt giá trị dừng”.
Biểu thức toán học δΠ = 0.
Cụ thể của phương pháp biến phân đó là Phương pháp Ritz và Phương pháp Butnop –
Galoockin
Trong đó phương pháp Ritz dùng nguyên lý thế năng toàn phần dừng để tìm phương trình
chuyển vị w(x,y) còn phương pháp Butnop – Galoockin sử dụng nguyên lý công khả dĩ để
tìm phương trình chuyển vị.
Dạng chuỗi trong phương trình chuyển vị của hai phương pháp trên về mặt biểu thức thì
hoàn toàn giống nhau:

Nhưng cách tìm hệ số a
i
và hàm φ
i
(x,y) lại khác nhau. Hàm φ
i
đều là hàm chọn trước, độc lập
tuyến tính, thỏa mãn điều kiện biên động học còn điều kiện biên tĩnh học chỉ bắt buộc với
phương pháp Butnop – Galoockin còn phương pháp Ritz thì không yên cầu.
Hệ số a
i
trong phương pháp Ritz được tìm từ điểu kiện thế năng toàn phần Π đạt cực tiểu:

Với biểu thức thế năng toàn phần Π có dạng:

Lấy đạo hàm riêng của Π theo a
i
, ta được:


Trong đó:

Được phương trình đại số xác định các hệ số a
i
:

Hệ số a
i
trong phương pháp Butnop – Galoockin được xác định bằng cách thay phương trình
chuyển vị của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi như trên vào phương trình vi phân cân
bằng:

Sau đó nhân hai vế với φ
k
(x,y) và tích phân trên toàn bộ diện tích tấm:

Khai triển biểu thức tích phân trên nhận được hệ phương trình đại số xác định hệ số a
i
:


4. Phân tích độ chính xác khi tính toán Tấm theo phương pháp biến phân
Khi tính toán theo phương pháp biến phân, độ chính xác phụ thuộc vào số lượng thành phần
chuỗi, việc này dẫn đến khi chọn sẵn một hàm bất kỳ thì việc thỏa mãn hai điều kiện biên
động học và điều kiện biên tĩnh học không phải là đơn giản. Cụ thể đối với bài toán tấm chu

vi là gối tựa và chịu lực phân bố như các thí dụ việc đưa ra hàm φ
i
(x,y) phù hợp với hai điều
kiện đề cập như trên là một điều không dễ thì những bài toán phức tạp hơn về điều kiện biên
và tải trọng là một vấn đề mà phương pháp này còn hạn chế!

5. Sự khác nhau giữa lý thuyết phi mô men và mô men tổng quát về phạm vi áp
dụng, đặc điểm lý thuyết và các phương trình sử dụng trong hai phương pháp
Phạm vi áp dụng:
Đối với lý thuyết mô men tổng quát thì áp dụng tính toán với các loại vỏ mỏng đàn hồi mà
không yêu cầu về hình học của vỏ, tải trọng tác dụng lên vỏ, liên kết giữa các vỏ và liên kết
nối đất.
Đối với lý thuyết phi mô men thì hình học của vỏ phải trơn, không gãy góc, độ cong cũng
như chiều dày vỏ thay đổi liên tục và đều đặn. Về phần tải trọng tác dụng lên vỏ là tải trọng
phân bố liên tục và đều đặn, không chịu lực tập trung, cũng như mô men tập trung. Mặt khác
khi các vỏ liên kết với nhau cần gia cường bằng vành tăng cứng để ngăn cản biến dạng lớn
hoặc ngăn cản sự tập trung ứng suất. Liên kết nối đất phải đảm bảo phản lực theo phương
tiếp tuyến với mặt vỏ.
Đặc điểm lý thuyết:
Lý thuyết mô men tổng quát dung để tính vỏ khi trong vỏ tồn tại cả nhóm lực màng, nhóm
lực uốn, xoắn và thỏa mãn:
min
1
20
r


với
min
r

là bán kính cong nhỏ nhất của mặt trung bình,


là chiều dày vỏ.
Lý thuyết phi mô men được sử dụng khi trong vỏ chỉ tồn tại nhóm lực màng và thỏa mãn
1 1
100 250
r

 
.
Các phương trình sử dụng trong hai phương pháp:
Giữa lý thuyết mô men tổng quát và phi mô men thì các phương trình cân bằng, phương trình
hình học và phương trình vật lý đều xuất phát từ phương trình mô men tổng quát nhưng chỉ
giảm bớt một vài đại lượng, cụ thể:
Trong phương trình cân bằng: M
1
= M
2
= H = Q
1
= Q
2
= 0.
Trong phương trình hình học và vật lý:
1 2
0
  
  
.

6. Sự khác nhau giữa lý thuyết bán mô men và mô men tổng quát về phạm vi áp
dụng, đặc điểm lý thuyết và các phương trình sử dụng trong hai phương pháp
Phạm vi áp dụng:
Lý thuyết mô men tổng quát như câu 5.
Lý thuyết bán mô men áp dụng cho vỏ trụ tròn chịu tác dụng của tải trọng là hằng số và vỏ
đặt trên gối tựa theo suốt chiều dài thì có thể tính vỏ trụ tròn như một vành tròn có chiều dài
bằng đơn vị.

Còn nếu tải trọng phân bố không đều hoặc trên các biên dọc có liên kết tùy ý, khi tính toán
cần xét đến biến dạng theo phương vòng.
Đặc điểm lý thuyết:
Lý thuyết mô men tổng quát dung để tính vỏ khi trong vỏ tồn tại cả nhóm lực màng, nhóm
lực uốn, xoắn và thỏa mãn:
min
1
20
r


với
min
r
là bán kính cong nhỏ nhất của mặt trung bình,


là chiều dày vỏ.
Lý thuyết bán mô men được sử dụng cho vỏ trụ dài, tiết diện hở
4
L

D
 

 
 
với L, D là chiều
dài và đường kính vỏ. Lý thuyết này, xem vỏ chỉ chịu uốn theo phương vòng nên bỏ qua M
1
,
Q
1
theo phương dọc trục vỏ và bỏ qua mô men xoắn H.
Các phương trình sử dụng trong hai phương pháp:
Các phương trình trong lý thuyết bán mô men cũng đều được suy ra từ lý thuyết mô men
tổng quát với vỏ trụ tròn, trong đó giá trị mô men uốn M
1
= M
x
, mô men xoắn H và lực cắt
Q
1
= Q
x
rất nhỏ so với các thành phần nội lực còn lại nên có thể bỏ qua trong tính toán.

Mô hình tính toán vỏ trụ tròn theo lý thuyết bán mô men gồm tập hợp vô số các dải qua các
liên kết thanh nằm trong mặt cong nên theo phương dọc chỉ tồn tại lực trượt S, lực dọc N
1
=
N

x
, còn theo phương vòng tồn tại các thành phần nội lực: lực dọc N
2
= N
s
, lực trượt S, mô
men uốn M
2
= M
s
, lực cắt Q
2
= Q
s
.
Các phương trình sau đây là nghiệm gần đúng trong trường hợp vỏ chịu tải trọng đối xứng
như tải trọng gió, áp lực thủy tĩnh trong bình chứa chất lỏng, tải trọng từ gối đỡ tác dụng lên
vỏ,…

Tóm lại là trong lý thuyết mô men tổng quát thì phương trình cân bằng gồm 5 phương trình
(8.1a : 8.1e); Phương trình hình học gồm 6 phương trình (8.2a : 8.2f); Phương trình vật lý
cũng gồm 6 phương trình (8.3a : 8.3f).
Còn trong lý thuyết bán mô men thì phương trình cân bằng gồm 4 phương trình cân bằng
(8.38a : 8.38d); Phương trình hình học gồm 4 phương trình (8.40 : 8.43); Phương trình vật lý
cũng có 4 phương trình (8.47 : 8.50).




7. Sự khác nhau giữa lý thuyết vỏ thoải và mô men tổng quát về phạm vi áp dụng,

đặc điểm lý thuyết và các phương trình sử dụng trong hai phương pháp
Phạm vi áp dụng:
Lý thuyết mô men tổng quát như câu 5.
Lý thuyết vỏ thoải chỉ áp dụng cho những vỏ mà thỏa mãn các điều kiện sau:

Hoặc góc giữa mặt phẳng tiếp tuyến với mặt trung bình và mặt phẳng XOY khoảng 20
0
như
hình sau:
Trong đó f - độ vồng của vỏ.
Đặc điểm lý thuyết:
Lý thuyết mô men tổng quát dung để tính vỏ khi trong vỏ tồn tại cả nhóm lực màng, nhóm
lực uốn, xoắn và thỏa mãn:
min
1
20
r


với
min
r
là bán kính cong nhỏ nhất của mặt trung bình,


là chiều dày vỏ.
Lý thuyết vỏ thoải cần phải có các giả thiết như:
Giả thiết hình học:
Vỏ thoải đến mức có thể coi hình học bề mặt vỏ trùng với hình học mặt phẳng hình chiếu
bằng của nó.

Theo giả thiết này có thể xấp xỉ dạng bình phương thứ nhất:

Như vậy khi tính vỏ thoải tọa độ cong α = x, β = y, A = B = l.
Giả thiết tĩnh học:
Đối với vỏ thoải, ứng suất do mô men bằng hay nhỏ hơn ứng suất do lực màng nên có thể bỏ
qua chuyển vị u, v trong công thức tính
1 1
, ,
  
. Điều đó cho phép bỏ qua lực cắt Q
1
, Q
2

trong hai phương trình cân bằng của lý thuyết mô men tổng quát:


Khi tính toán vỏ thoải thừa nhận qui luật đối ngẫu: S
1
= S
2
= S và H
1
= H
2
= H.
Từ những giả thiết trên của lý thuyết vỏ thoải nên các phương trình sử dụng trong lý thuyết
vỏ thoải phần nào cũng đơn giản hơn so với lý thuyết mô men tổng quát. Cụ thể như sau:
Phương trình cân bằng gồm 5 phương trình (từ 9.1a : 9.1e).
Phương trình hình học bỏ qua chuyển vị u, v trong công thức tính

1 1
, ,
  
có dạng như hệ 6
phương trình (từ 9.2a : 9.2f).
Phương trình vật lý: Các phương trình vật lý có dạng (5.38) của lý thuyết mô men tổng quát,
trong đó các nội lực uốn và xoắn chỉ phụ thuộc vào chuyển vị w.