ĐỀ TÀI: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SO SÁNH BẬC

UBND TỈNH THANH HÓA
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC







TIỂU LUẬN
MÔN: BẤT ĐẲNG THỨC

ĐỀ TÀI: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SO SÁNH BẬC






Học viên cao học : Lê Trung Hưng
Lớp: K7 Phương pháp toán Sơ cấp

Giảng viên hướng dẫn: GS-TS Nguyễn Văn Mậu

THANH HÓA, THÁNG 10 NĂM 2014


I- MỞ ĐẦU:
So sánh bậc nhất, so sánh bậc 2 là những công cụ rất hữu ích trong việc
chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, mà chúng ta đã rất
quen thuộc trong khi dạy học, và có rất nhiều sách tham khảo đã khai thác ứng
dụng.
Sau khi học môn Bất đẳng thức của Giáo sư –Tiến sĩ Nguyễn Văn Mậu, tôi
được biết thêm công cụ so sánh bậc

(

>1). Công cụ này giải quyết rất nhiều
dạng bài toán. Chúng ta có thể tổng hợp về các dạng toán, phát triển thành lớp
các bài toán, có sử dụng công cụ so sánh bậc


(

>1) để giải.
Vì vậy tôi viết tiểu luận này nhằm khai thác một số ứng dụng cơ bản nhất
của công cụ so sánh bậc

(

>1) để giải các bài toán Bất đẳng thức.
Mục tiêu của bản thân trong tiểu luận này là:
1- Nêu lại lý thuyết: So sánh bậc

(

>1)
2- Nêu một số bài tập áp dụng
3- Tổng quát hóa một số bài toán.
4- Một số bài tập tự luyện
II- NỘI DUNG:
1- Cơ sở lý thuyết:
Trong sách Bất đẳng thức của Giáo sư – Tiến sỹ Nguyễn Văn Mậu đã chứng
minh rất cơ bản bất đẳng thức sau:
Với
0, 0, 1xy

  
thì
1
. ( )x y y x y
  



  
dấu “=” xảy ra khi x=y. (*)
2- Một số bài tập áp dụng.
Bài tập 1: Cho a,b,c là các số dương thõa mãn.
5
9
12
a
ab
abc






  

Tìm min
3 3 3
A a b c  

Giải.
Phân tích: Theo giả thiết ta thấy a so sánh với 5, từ
ab
9
suy ra b so sánh
với 4, lại từ

12abc  
suy ra c so sánh với 3 và bậc cần so sánh

= 3 >1
Vậy ta giải bài toán như sau:
Ta chứng minh:

3 3 2
3 ( ) , 0x y y x y x y    


3 2 3
2
3 2 0
( ) ( 2 ) 0
x y x y
x y x y
   
   

Hiển nhiên đúng do x,y không âm.
Vậy ta có:

3 3 2
3 3 2
3 3 2
5 3.5 ( 5)
4 3.4 ( 4)
3 3.3 ( 3)
aa

bb
cc
  
  
  

Cộng các vế ta có:

3 3 3
A a b c  
3 3 3
5 4 3   
 
3 9( 5 4 3) 7( 5 4) 9( 5)a b c a b a          

Vậy
3 3 3
5 4 3A
dấu “=” xảy ra khi a=5, b=4, c= 3
Kết luận: min
3 3 3
5 4 3A
khi a=5,b=4,c= 3.
Bài tập 2: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng.

3 3 3 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c a b c
b c a b c a
    

Giải.
Phân tích: Trước hết ta đưa về bậc

>1 bằng cách
Đặt:
2 2 2
( ) ;( ) ;( ) , , 0
a b c
x y z x y z
b c a
   
và xyz=1
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

3 3 3
2 2 2
x y z x y z    

Nhận thấy đẳng thức xảy ra khi x=y=z = 1
Vậy ta sử dụng so sánh bậc
3
2


giữa x,y,z với số 1
Vậy ta giải bài toán như sau:
Đặt:
2 2 2
( ) ;( ) ;( ) , , 0

a b c
x y z x y z
b c a
   
và xyz=1
Suy ra
3
33x y z xyz   
(1)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

3 3 3
2 2 2
x y z x y z    

Sử dụng bất đẳng thức (*) ta có:

3
2
3
2
3
2
3
1 ( 1)
2
3
1 ( 1)
2
3

1 ( 1)
2
xx
yy
zz
  
  
  

Cộng các vế Bất đẳng thức ta được
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
39
3 ( )
22
33
()
22
1
( ) ( 3) (1)
2
()
x y z x y z
x y z x y z

x y z x y z x y z do
x y z x y z
      
      
         
     

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1 hay ta có

3 3 3 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c a b c
b c a b c a
    

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.
Bài tập 3: Cho a,b,c dương và abc=1. Chứng minh rằng

4 4 4 3 3 3
a b b a b c    

Giải.
Đặt
3 3 3
,,a x b y c z  
ta có x,y,z >0 và xyz= 1
Suy ra
3
33x y z xyz   
(1)

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

4 4 4
3 3 3
x y z x y z    

Sử dụng bất đẳng thức (*) ta có:

4
3
4
3
4
3
4
1 ( 1)
3
4
1 ( 1)
3
4
1 ( 1))
3
xx
yy
zz
  
  
  

Cộng các vế Bất đẳng thức ta được.
4 4 4
3 3 3
4 4 4
3 3 3
4 4 4
3 3 3
4
3 ( 3)
3
1
( 3)
3
(1)
x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z do
      
         
     

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1 hay ta có

4 4 4 3 3 3
a b b a b c    

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c = 1
Qua đó ta thấy với bậc

>1 bất kỳ ta đều có thể giải được bài toán. Vậy vấn

đề đặt ra là ”Liệu ta có thể tổng quát các bài toán trên được không?”.
Sau đây tôi xin trình bày một số cách tổng quát như sau:
3- Tổng quát hóa các bài toán.
Suy nghĩ: Ta có thể tổng quát theo các hướng sau:
1- Theo các số hạng
2- Theo số mũ lũy thừa của các số hạng.
Bài toán tổng quát của Bài tập 1:
Cho dãy số
12
; ;
n
a a a
dương
12
; ;
n
  
là một dãy số dương thõa mãn
12

n
  
  
, với
1


và

11

1 2 1 2
1 2 1 2


nn
a
aa
a a a


  



  




      


CMR:
1 2 1 2

nn
a a a
     
  
      

dấu”=”xảy ra khi
1,
ii
a i n



Ta thấy bài toán 2, bài toán 3 đều có cách giải như nhau trong đó cốt lõi
của hai bài này đó là:
1- Tích các số hạng đều bằng 1
2- So sánh bậc
1


với số 1
Từ hai bài toán trên ta có thể tổng quát như sau:
Bài toán tổng quát thứ nhất : (**)
Cho dãy số
12
; ; ;
n
a a a
dương và
12
1
n
a a a 
,
,,p N q N p q  

Chứng minh rằng:

1 2 1 2

p p p q q q
nn
a a a a a a      

Giải:
Đặt
1; 1,
q
ii
p
a x i n
q

   

Ta có
1 2 1 2 1 2
1;
n
n n n
x x x x x x n x x x n     
(2)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:


1 2 1 2

nn
x x x x x x
  
      


Sử dụng bất đẳng thức (*) ta có

1
11
1
22
1
1 .1 ( 1)
1 .1 ( 1)

1 .1 ( 1)
nn
xx
xx
xx
  
  
  







  
  
  


Cộng các vế ta có:

1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( )
( )
( )
(2)
nn
nn
n n n
nn
x x x n x x x n
p
x x x n x x x n
q
pq
x x x x x x x x x n
q
x x x x x x do
  
  

  
  

        
         

           
       


Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi

1 2 1 2
1 1
nn
x x x hay a a a       



Bài toán tổng quát thứ hai : (***)
Cho dãy số
12
; ; ;
n
a a a
dương và
12
( 0)
n
n

a a a b b
,
,,p N q N p q  

Chứng minh rằng:

1 2 1 2
( )
p p p p q q q q
nn
a a a b a a a

      

Giải:
Từ giả thiết:
12
( 0)
n
n
a a a b b
ta có
12
1
n
a
aa
b b b


Đặt
0 1;
i
i
a
x i n
b
  
ta có
12
1
n
x x x 

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

p p p p q q q q
nn
p p p q q q
nn
bx bx bx b bx bx bx
x x x x x x


      


       

Với
12
1
n
x x x 
và
0 1;
i
x i n

Đây chính là bài toán tổng quát thứ nhất (**) đã chứng minh.
4- Một số bài toán tự luyện.
Bài toán 1: Cho dãy số
12
; ;
n
a a a
dương thõa mãn

1
12
12
21

( 1)

2
n

an
a a n
nn
a a a



  






   


với
nN

CMR:
2 2 2
12
( 1)(2 1)

6
n
n n n
a a a


   

Bài toán 2: Cho dãy số
12
; ;
n
a a a
dương thõa mãn

1
12
12
21

( 1)

2
n
an
a a n
nn
a a a



  







   


với
nN

CMR:
22
3 3 3
12
( 1)

4
n
nn
a a a

   

Bài toán 3: Cho dãy số
12
; ;
n
a a a
dương thõa mãn

2
1

22
12
22
12
( 1)

( 1)

4
n
an
a a n n
nn
a a a



   






   


với
nN

CMR:
3 3 3
22
2 2 2
12
( 1)

4
n
nn
a a a

   

Bài toán 4: Cho 4 sô a,b,c,d dương.Chứng minh rằng:
a)
3 3 3 3
5 5 5 5
3 3 3 3
( ) ( ) ( ) ( )
a b c d a b c d
bcd cda dab abc
bcd cda dab abc
      

b)
4 4 4 4 3 3 3 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c d a b c d
b c d a b c d a

      

c)
10 10 10 10 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ab bc cd da ab bc cd da
cd da ab bc cd da ab bc
      

Bài toán 5: Cho 5 số dương a,b,c,d, e thõa mãn abcde= 32. Chứng minh rằng

5 5 5 5 5 3 3 3 3 3
4( )a b c d e a b c d e        

Bài toán 6: Cho n số dương
12
; ;
n
a a a
thõa mãn
12
ln ln ln
n
a a a n   
.
Chứng minh rằng:
3 3 3 2
1 2 1 2
( )
nn

a a a e a a a      

Bài toán 7: Cho n số dương
12
; ;
n
a a a
thõa mãn
3 1 3 2 3
log log log
2
n
n
a a a   
.
Chứng minh rằng:
7 7 7 3 3 3
1 2 1 2
9( )
nn
a a a a a a      

Bài toán 8: Cho n số dương
12
; ;
n
a a a
thõa mãn
4 1 4 2 4
log log log

2
n
n
a a a   
.
Chứng minh rằng:
4 4 4 2 2 2
1 2 1 2
4( )
nn
a a a a a a      

Bài toán 9: Cho n số dương
12
; ;
n
a a a
.Chứng minh rằng:
5 5 5 3 3 3
1 2 1 2
2 3 3 4 1 1 2 1 2 3 3 4 1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

nn
n n n n n n
aa
a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

      

Có thể khai thác thêm rất nhiều các bài tập khác nữa, nhưng trong khuôn
khổ của tiểu luận.Cá nhân tôi chỉ đề xuất một số bài tập ví dụ như vậy. Rất mong
các bạn tiếp tục bổ sung để bài tập ứng dụng ngày càng phong phú hơn.
III- KẾT LUẬN
Trong tiểu luận cá nhân đã áp dụng được so sánh bậc

(

>1) để giải số
bài tập,tổng quát hóa một số bài toán và đề xuất một số bài tập tự luyện.
Đây là tiểu luận được viết hoàn toàn từ suy nghĩ của cá nhân, rất mong
nhận được sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp.
Xin chân thành cám ơn sự dạy dỗ, chỉ bảo của Giáo sư- Tiến sỹ Nguyễn
Văn Mậu trong quá trình giảng dạy lớp Cao học K7 Phương pháp Toán sơ cấp –
Trường Đại học Hồng Đức.

Tài liệu: Sách Bất đẳng thức của GS-TS Nguyễn Văn Mậu