Chường 2- Lý thuyết môđun

CHƯƠNG 2.
MÔĐUN TỰ DO VÀ TÍCH TENXƠ
1. Tích và tổng trực tiếp của các môđun
1.1. Các định nghĩa.
Cho (A
i
|i ∈ I) họ các tập A
i
với tập chỉ số I. Lúc đó ta có tích Descartes

i∈I
A
i
của họ
đó. Nếu cho A
i
là các R-môđun phải, ta cần trang bị các phép toán dể

i∈I
A
i
trở thành một
R-môđun phải. Ta có:
MỆNH ĐỀ 1.1. Cho R là vành và (A
i
|i ∈ I) là họ các R-môđun phải A
i
. Tích Descartes

i∈I
A

i
cùng với hai phép toán sau:
Phép cộng: (a
i
) + (b
i
) := (a
i
+ b
i
), (a
i
), (b
i
) ∈

i∈I
A
i
Phép nhân môđun: (a
i
)r = (a
i
r) (a
i
) ∈

i∈I
A
i

, r ∈ R
là R-môđun phải.
ĐỊNH NGHĨA 1.2. Phần tử (a
i
) ∈

i∈I
A
i
được gọi là có giá hữu hạn nếu như tập các chỉ
số i ∈ I mà a
i
= 0 là hữu hạn. Nói cách khác a
i
= 0 với mọi i trừ một số hữu hạn.
MỆNH ĐỀ 1.3. Tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của

i∈I
A
i
là môđun con của

i∈I
A
i
.
CHỨNG MINH. Gọi S là tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của

i∈I
A

i
. Trước hết ta
thấy S = ∅ vì (0) ∈ S. Ngoài ra nếu lấy (x
i
) và (y
i
) ∈ S thì (x
i
+ y
i
) cũng có giá hữu hạn
nên (x
i
) + (y
i
) ∈ S. Lấy (x
i
) ∈ S và α ∈ R thì (x
i
α) cũng có giá hữu hạn nên (x
i
)α ∈ S.
Theo Định lý I.??, S ≤

i∈I
A
i
. 
ĐỊNH NGHĨA 1.4.
(1) Cho họ các R-môđun phải (A

i
|i ∈ I). Lúc đó R-môđun phải

i∈I
A
i
được gọi là tích
trực tiếp của họ đó.
Nếu I = ∅ thì ta qui ước

∅
A
i
là môđun không.
(2) Môđun con gồm tất cả các phần tử có giá hữu hạn của

i∈I
A
i
được gọi là tổng trực
tiếp (ngoài) của họ (A
i
, i ∈ I). Ta hay kí hiệu nó là

i∈I
A
i
.
Có thể suy ngay từ định nghĩa là khi I hữu hạn thì


i∈I
A
i
=

i∈I
A
i
.
Khi xét đến tổng và tích trực tiếp của các môđun, ta thường hay chú ý đến một vài loại đồng
1
cấu đặc biệt sau:
π
j
:

i∈I
A
i
−→ A
j
(a
j
) −→ a
j
σ :

i∈I
A
i

−→

ß∈I
A
i
(a
i
) −→ (a
i
)
η
j
: A
j
−→

i∈I
A
i
a
j
−→ (t
i
)
trong đó t
i
= 0 nếu i = j và t
i
= a
j

nếu i = j.
Dễ dàng kiểm tra các tính chất sau của các đồng cấu trên.
BỔ ĐỀ 1.5.
(1) π
j
, π
j
σ là toàn cấu.
(2) η
j
, ση
j
là đơn cấu.
(3)

π
k
ση
j
= 1
A
j
, nếu k = j
0, nếu k = j
(4) (ση
j
π
j
)
2

= ση
j
π
j
và (η
j
π
j
σ)
2
= η
j
π
j
σ.
(5) Nếu I = {1, , n} thì
(η
j
π
j
)
2
= η
j
π
j
và 1

A
i

=
n

i=1
η
j
π
j
.
1.2. Tổng trực tiếp trong.
ĐỊNH LÍ 1.6. Giả sử M là một R-môđun phải và (M
i
)
i∈I
là họ các môđun con của M.
Xét ánh xạ
f :

i∈I
M
i
−→ M
(x
i
) −→

I
x
i
.

Các điều kiên sau là tương đương:
(1) f là một đẳng cấu.
(2) Mọi phần tử x ∈ M đều có thể viết được duy nhất dưới dạng x =

x
i
, trong đó (x
i
)
là phần tử của ⊕M
i
, nghĩa là có giá hữu hạn.
(3) M =

i∈I
M
i
và mọi hệ thức có dạng

i∈I
x
i
= 0 trong đó phần tử (x
i
) có giá hữu hạn
đều suy ra x
i
= 0 với mọi i ∈ I.
(4) M =


i∈I
M
i
và M
i
∩ (

i=j
M
j
) = 0 với mọi i ∈ I.
2
CHỨNG MINH. (1) ⇒ (2). Do f đẳng cấu nên ∀x ∈ M, ∃!(x
i
) ∈ ⊕M
i
để x = f((x
i
)) =

I
x
i
. Đó chính là (2).
(2) ⇒ (3). Trước hết chứng minh M =

i∈I
M
i
. Thật vậy với x ∈ M, ta viết x =


i∈I
x
i
,
(x
i
) là phần tử có giá hữu hạn. Vậy x ∈

i∈I
M
i
.
Bây giờ cho

i∈I
x
i
= 0 với phần tử (x
i
) có giá hữu hạn. Do (2) cách biểu diễn 0 =

i∈I
0
là duy nhất nên x
i
= 0 với mọi i ∈ I.
(3) ⇒ (4). Cho x ∈ M
i
∩ (


i=j
M
j
) thì x = x
i
=

i=j
x
j
trong đó (x
j
) có giá hữu hạn.
Lập phần tử (x

j
) mới như sau:
x

j
= x
j
với j = i
x

i
= −x
i
∈ M

i
thì từ đẳng thức trên ta có 0 =

j∈I
(x

j
) mà phần tử (x

j
) cũng có giá hữu hạn. Theo (3) x

j
= 0
với mọi j ∈ I. Từ đó ta có
x = −x
i
= x

i
= 0.
Vậy M
i
∩ (

j=i
M
j
) = 0.
(4) ⇒ (1). Chúng thể kiểm tra f là một đồng cấu dễ dàng. Khi x ∈ M thì theo (4) x có

thể viết x =

i∈I
x
i
trong đó (x
i
) có giá hữu hạn. Lấy phần tử (x
i
)
i∈I
∈ ⊕M
i
thì f((x
i
)) = x
nên f là một toàn cấu. Ngoài ra giả sử (x
i
) ∈ Kerf, nghĩa là f((x
i
)
I
) =

i∈I
x
i
= 0. Lúc đó
với mọi i ∈ I x
i

=

j=i
(−x
j
) ∈ M
i
∩ (

j=i
M
j
) = 0. Vậy Kerf = 0 hay f là một đơn cấu.
Tóm lại ta có f là một đẳng cấu. 
ĐỊNH NGHĨA 1.7. Cho M
R
và họ (M
i
)
i∈I
các môđun con của M. M được gọi là tổng
trực tiếp trong của họ các môđun con (M
i
)
i∈I
nếu và chỉ nếu các điều kiện tương đương của
Định lý II.1.6 được thoả mãn. Lúc đó ta kí hiệu:
M =

I

M
i
.
Khi I hữu hạn ta viết M = M
1
+ · · · + M
n
.
Mối quan hệ giữa tổng trực tiếp trong và ngoài.
(1) Khi cho M
R
và (M
i
)
I
là họ các môđun con của M. Ta luôn luôn lập được tổng trực tiếp
ngoài

i∈I
M
i
. Ngoài ra nếu M
i
∩ (

j=i
M
j
) = 0 với mọi i thì ta cũng lập được tổng trực tiếp
trong


I
M
i
. Theo Định lý II.1.6 ta có
⊕M
i


M
i
.
3
(2) Nếu cho (M
i
)
i∈I
là họ các R-môđun phải . Ta luôn luôn lập được M = ⊕M
i
. Lúc đó M
là tổng trực tiếp trong của họ môđun con (M

i
)
I
sao cho với mọi i ∈ I, M
i
 M

i

.
Thật vậy, với η
k
: M
k
−→ ⊕M
i
thì mỗi x ∈ M biểu diễn duy nhất dưới dạng x =

I
η
i
(x
i
) trong đó (x
i
) có giá hữu hạn. Theo Định lý II.1.6(2), M chính là tổng trực tiếp
trong của họ M

i
= η
i
(M
i
) ≤ M. Do η
i
đơn cấu nên M

i
 M

i
. Do những lý do trên người
ta thường đồng nhất hai khái niệm trên và ít khi phân biệt chúng, và dùng chung một kí hiệu

i∈I
M
i
.
1.3. Hạng tử trực tiếp.
ĐỊNH NGHĨA 1.8. Cho M
R
và N ≤ M. N được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn
tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P . Lúc đó ta nói P là môđun con phụ của N
trong M.
Từ định nghĩa ta suy ra ngay: N là hạng tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu
∃P ≤ M[M = N + P và N ∩ P = 0].
VÍ D Ụ 1.9.
(1) Cho M là không gian vectơ hữu hạn chiều. Lúc đó mọi không gian con của M đều
có không gian con phụ.
(2) Nói chung không phải mọi môđun con của một môđun đều có môđun con phụ,
chẳng hạn ta xét ZZ. Lấy N = nZZ với n = 0. Với mọi mZZ, m = 0 ta có mn ∈
nZZ ∩ mZZ nên nZZ ∩ mZZ = 0 nghĩa là nZZ + mZ không là tổng trực tiếp. Vậy
nZZ không có môđun con phụ nào trong ZZ.
MỆNH ĐỀ 1.10. Mọi môđun con phụ của N trong M nếu có đều đẳng cấu với nhau.
CHỨNG MINH. Cho N ≤ M và N có môđun con phụ trong M là P và P

. Lúc đó
M = N ⊕ P. từ đó M/N  (N ⊕ P )/N. Theo định lý đẳng cấu thứ nhất, M/N 
P/N ∩ P = P/0  P. Tương tự ta cũng có M/N  P


. Suy ra P  P

. 
2. Môđun tự do
2.1. Định nghĩa và tính chất.
ĐỊNH NGHĨA 2.1. Cho X là một tập. Ta gọi môđun tự do trên X là một R-môđun M
R
cùng với ánh xạ f : X −→ M sao cho với mọi N
R
và mọi ánh xạ g : X −→ N, tồn tại duy
nhất một R-đồng cấu h : M −→ N sao cho g = hf, nghĩa là sơ đồ sau giao hoán
X
M N
❄
g



✠
f
✲
h
4
NHẬN XÉT 2.2.
(1) Nếu (M, f) là môđun tự do trên X, thì f đơn ánh.
(2) Nếu (M, f) và (M

, f

) là các môđun tự do trên X, thì tồn tại R-đẳng cấu φ :

M −→ M

sao cho f

= φf.
ĐỊNH NGHĨA 2.3. Một R-môđun phải được gọi là tự do nếu nó đẳng cấu với một môđun
tự do trên một tập nào đó.
MỆNH ĐỀ 2.4. Môđun F là môđun tự do nếu và chỉ nếu tồn tại tập X sao cho
F
∼
=
R
(X)
.
CHỨNG MINH. Vì F là môđun tự do nên F
∼
=
M với M là môđun tự do trên tập X
nào đó. Khi X = ∅ thì rõ ràng F
∼
=
R
(∅)
. Vậy ta có thể giả thiết X = ∅. Bây giờ ta xét
các R-môđun phải (M
x
)
x∈X
chỉ số hoá bởi X, sao cho với mọi x ∈ X, M
x

= R. Khi đó
R
(X)
=

x∈X
M
x
. Giả sử j
x
: R −→ R
(X)
là phép nhúng chỉ số x sao cho j
x
chuyển một phần
tử r ∈ R thành một họ có tất cả các thành phần bằng 0, trừ thành phần với chỉ số x bằng r.
Với mỗi x ∈ X, đặt e
x
= j
x
(1). Khi đó, mọi phần tử t ∈ R
(X)
được viết một cách duy nhất
dưới dạng
t =

x∈X
e
x
r

x
trong đó (r
x
)
X
có giá hữu hạn.
Xét ánh xạ f : X −→ R
(X)
x −→ e
x
Bây giờ ta sẽ chứng minh (R
(X)
, f) là môđun tự do trên X. Thật vậy nếu N
R
là một
R-môđun phải bất kì và g : X −→ N là ánh xạ. Đặt h : R
(X)
−→ N xác định bởi
h(

x∈X
e
x
r
x
) =

x∈X
g(x)r
x

. Ta có thể kiểm tra được h là R-đồng cấu duy nhất sao cho
hf = g. Vậy theo Nhận xét II.2.2, F
∼
=
R
(X)
. 
ĐỊNH LÍ 2.5. Cho F
R
là R-môđun phải. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) F có cơ sở.
(2) F =

i∈I
A
i
và với mọi i ∈ I, R
R
 A
i
.
(3) F là môđun tự do.
CHỨNG MINH. Chú ý đối với trường hợp F = 0 thì cơ sở của F chính là tập ∅ và do vậy
trong (2) ta lấy I = ∅. Do vậy ta giả sử F = 0.
(1) ⇒ (2). Cho X là cơ sở của F và a ∈ X. Lập ánh xạ
ϕ
a
: R
R
−→ aR

R
r −→ ar.
Lúc đó ϕ
a
là toàn cấu R-môđun phải. Ngoài ra, do với mọi r ∈ R, ar = 0 thì ar = 0 = a0.
Vì X là cơ sở nên r = 0. Vậy ϕ
a
là đơn cấu. Từ đó ϕ
a
là đẳng cấu.
5
Ta sẽ chứng minh F =

a∈X
aR. Thật vậy, vì X là cơ sở nên nó là hệ sinh. Ta có ngay
F =

a∈X
aR. Bây giờ cho a
0
∈ X là phần tử tuỳ ý. Xét phần tử c ∈ a
o
R ∩

a∈X,a=a
0
aR. Lúc
đó tồn tại a
1
, , a

n
∈ X, a
i
= a
0
và r
0
, r
1
, , r
n
∈ R sao cho
c = a
0
r
0
= a
1
r
1
+ + a
n
r
n
.
Từ đó 0 = −a
0
r
0
+

n

i=1
a
i
r
i
. Do a
i
thuộc cơ sở X nên r
0
= r
1
= = r
n
= 0. Vậy c = 0,
nghĩa là a
0
R ∩

a∈X,a=a
0
aR = 0. Theo Định lý 1.6, F =

a∈X
aR.
(2) ⇒ (1). Cho ϕ
i
: R
R

−→ A
i
là các đẳng cấu theo giả thiết (2). Ta sẽ chứng minh
{ϕ
i
(1) : i ∈ I} là cơ sở của F. {ϕ
i
(1)} là hệ sinh : Ta có A
i
= ϕ
i
(R) = ϕ
i
(1.R) = ϕ
i
(1)R.
Ngoài ra
F =

i∈I
A
i
=

i∈I
ϕ
i
(1)R.
Điều này chứng tỏ {ϕ
i

(1)} là hệ sinh của F . {ϕ
i
(1)} độc lập: Điều này suy ngay từ tính chất
của tổng trực tiếp trong.
(2) ⇔ (3). Bởi Mệnh đề II. 2.4. 
2.2. Mối quan hệ giữa R-môđun tự do và R-môđun.
ĐỊNH LÍ 2.6. Mỗi R-môđun phải M là ảnh toàn cấu của một R-môđun phải tự do nào
đó. Nếu M
R
hữu hạn sinh thì M
R
là ảnh toàn cấu của một R-môđun phải tự do với cơ sở hữu
hạn.
CHỨNG MINH. Giả sử Y là một hệ sinh nào đó của M. Xét môđun tự do

Y
R =

b∈Y
ϕ
b
(1)R.
Từ tính chất biểu diễn duy nhất qua các phần tử cơ sở của

Y
R suy ra rằng qui tắc

Y
R =


b∈Y
ϕ
b
(1)R −→ M

ϕ
b
(1)r
b
−→

br
b
là một toàn cấu.
Khi Y = {y
1
, , y
n
} thì

Y
R = R
n
. 
ĐỊNH L Í 2.7. Nếu ϕ : A
R
−→ F
R
là một toàn cấu từ R-môđun phải A vào môđun tự do
F thì tồn tại đồng cấu ϕ


: F
R
−→ A
R
sao cho ϕϕ

= 1
F
.
CHỨNG MINH. Giả sử Y là cơ sở nào đó của môđun F
R
và đối với mỗi b ∈ Y chọn
a
b
∈ A sao cho ϕ(a
b
) = b. Khi đó ánh xạ
ϕ

: F −→ A,

br
b
−→

a
b
r
b

6
là đồng cấu do Y là cơ sở. Vì vậy
ϕϕ

(

br
b
) = ϕ(

a
b
r
b
) =

ϕ(a
b
)r
b
=

br
b
,
nghĩa là ϕϕ

= 1
F
. Dĩ nhiên, ta cũng có:

A = Im(ϕ

) ⊕ Ker(ϕ).

3. Tích Tenxơ
3.1. Các định nghĩa và tính chất.
Chúng ta đi xây dựng tích tenxơ của các môđun thông qua tính chất phổ dụng và sau đó
chỉ ra một mô hình cụ thể của nó.
ĐỊNH NGHĨA 3.1. Cho R là vành có đơn vị 1 = 0. Cho R-môđun phải M
R
, R-môđun
trái
R
N và nhóm aben A. Ánh xạ β : M × N −→ A từ tích Descartes M × N vào A được
gọi là song tuyến tính trong trường hợp với mọi m, m
1
, m
2
∈ M, n, n
1
, n
2
∈ N và r ∈ R, β
thỏa mãn:
(1) β(m
1
+ m
2
, n) = β(m
1

, n) + β(m
2
, n),
(2) β(m, n
1
+ n
2
) = β(m, n
1
) + β(m, n
2
),
(3) β(mr, n) = β(m, rn).
VÍ DỤ 3.2. Ví dụ quen thuộc nhất của ánh xạ song tuyến tính là phép toán trong (nhân)
của vành R: R × R −→ R. (1), (2) và (3) được thỏa mãn do tính phân phối hai phía của phép
nhân đối với phép cọng và tính kết hợp của phép nhân.
ĐỊNH NGHĨA 3.3. Cho M
R
và
R
N là các môđun. Cặp (T, τ ) bao gồm một nhóm aben T
và một ánh xạ song tuyến tính τ : M × N −→ T được gọi là tích tenxơ của M và N nếu với
mọi nhóm aben A và mọi ánh xạ song tuyến tính β : M × N −→ A tồn tại duy nhất ZZ-đồng
cấu (nghĩa là đồng cấu nhóm) f : T −→ A sao cho giản đồ sau giao hoán:
M × N
T
A
❅
❅
❅

❅
❅❘
β
✲
τ
❄
f
nghĩa là, f ◦ τ = β.
NHẬN XÉT 3.4. (1). Nếu (T, τ) là tích ten xơ của M và N thì rõ ràng f ◦ τ cũng là ánh
xạ song tuyến tính với mọi đồng cấu nhóm f : T −→ A. Vậy (T, τ) là tích tenxơ của M và
N khi và chỉ khi với mỗi nhóm aben A
Hom
ZZ
(T, A)  f −→ f ◦ τ ∈ {β|β là ánh xạ song tuyến tính M × N −→ A},
7
là một song ánh.
(2). Nếu (T, τ ) là tích tenxơ của M và N thì τ(M × N) sinh ra nhóm T
Tính duy nhất của tích tenxơ thể hiện qua:
MỆNH ĐỀ 3.5. Nếu (T, τ) và (T

, τ

) là hai tích tenxơ của M và N thì lúc đó tồn tại một
ZZ-đẳng cấu f : T −→ T

sao cho giản đồ sau giao hoán:
M × N
T
T


❅
❅
❅
❅
❅❘
τ

✲
τ
❄
f
nghĩa là, τ

= f ◦ τ.
CHỨNG MINH. Theo giả thiết, tồn tại các đồng cấu nhóm f và g sao cho các giản đồ sau
giao hoán:
M × N
T
M × N
T

T

T
❅
❅
❅
❅
❅❘
τ


✲
τ
❄
f
❅
❅
❅
❅
❅❘
τ
✲
τ

❄
g
Lúc đó sự giao hoán của các giản đồ:
M × N
T
M × N
T
T T
❅
❅
❅
❅
❅❘
τ
✲
τ

❄
gf
❅
❅
❅
❅
❅❘
τ
✲
τ
❄
id
T
cho ta gf = id
T
. Tương tự f g = id
T

. Vậy f là một đẳng cấu.
Bây giờ chúng ta bàn đến sự tồn tại của tích tenxơ. Để xây dựng được tích tenxơ của M
và N, ta lấy F = ZZ
(M×N)
là nhóm aben tự do sinh ra bởi M × N. Lúc đó F có cơ sở tự do
(x
α
)
α∈M×N
và có thể viết F cụ thể như sau:
F = {


t
i
(m
i
, n
i
)|t
i
∈ ZZ và tổng này chỉ là tổng hữu hạn }.
Gọi K là nhóm con của F sinh bởi các phần tử có dạng: (m
1
+ m
2
, n
1
) − (m
1
, n
1
) −
(m
2
, n
1
), (m
1
, n
1
+ n
2

) − (m
1
, n
1
) − (m
1
, n
2
), (m
1
r, n
1
) − (m
1
, rn
1
), và tiếp đó ta lấy nhóm
thương T = F/K.
Xác định τ : M × N −→ T bởi τ = pj trong đó p là toàn cấu chính tắc p : F −→ F/K
còn j là phép nhúng M × N −→ F. Nghĩa là
τ(m, n) = (m, n) + K, ∀m ∈ M, n ∈ N.
8
Ta kiểm chứng τ là ánh xạ song tuyến tính. Thật vậy,
τ(m
1
+ m
2
, n
1
) − τ(m

1
, n
1
) − τ(m
2
, n
1
) =
= (pj)(m
1
+ m
2
, n
1
) − (pj)(m
1
, n
1
) − (pj)(m
2
, n
1
) =
= p(m
1
+ m
2
, n
1
) − p(m

1
, n
1
)p(m
2
, n
1
) =
= p((m
1
+ m
2
, n
1
) − (m
1
, n
1
) − (m
2
, n
1
)) =
= 0 (do (m
1
+ m
2
, n
1
) − (m

1
, n
1
) − (m
2
, n
1
) ∈ K.
Vậy τ(m
1
+ m
2
, n
1
) = τ (m
1
, n
1
) + τ(m
2
, n
1
), ∀m
1
, m
2
∈ M, n
1
∈ N.
Tương tự ta kiểm chứng được:

τ(m
1
, n
1
+ n
2
) = τ (m
1
, n
1
) + τ(m
1
, n
2
), ∀m
1
∈ M, n
1
, n
2
∈ N.
τ(m
1
r, n
1
) = τ (m
1
, rn
1
), ∀r ∈ R, ∀m

1
∈ M, n
1
∈ N.

Ta có kết quả:
MỆNH ĐỀ 3.6. Với T và τ xác định như ở trên, (T, τ ) là tích tenxơ của M
R
và
R
N.
CHỨNG MINH. Giả sử cho β : M × N −→ A là một ánh xạ song tuyến tính từ M × N
vào nhóm aben A tùy ý. Vì F là tự do trên M × N nên có một đồng cấu nhóm g : F −→ A
sao cho giản đồ sau giao hoán:
M × N
F
A
❅
❅
❅
❅
❅❘
β
✲
j
❄
g
nghĩa là, β = g ◦ j. Vì β là song tuyến tính, ta có:
g((m
1

+m
2
, n
1
)−(m
1
, n
1
)−(m
2
, n
1
)) = g(j(m
1
+m
2
, n
1
)−j(m
1
, n
1
)−j(m
2
, n
1
)) =
(gj)(m
1
+m

2
, n
1
)−(gj)(m
1
, n
1
)−(gj)(m
2
, n
1
) = β(m
1
+m
2
, n
1
)−β(m
1
, n
1
)−β(m
2
, n
1
) =
0
Tương tự kiểm chứng được
g((m
1

, n
1
+ n
2
) − (m
1
, n
1
) − (m
1
, n
2
)) = 0, g((m
1
r, n
1
) − (m
1
, rn
1
)) = 0.
Suy ra K ⊆ Kerf. Theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm, tồn tại một ZZ-đồng cấu
f : T −→ A sao cho giản đồ sau giao hoán:
M × N
T
A
❅
❅
❅
❅

❅❘
β
✲
τ
❄
f
nghĩa là, β = f ◦ τ. Do τ(M × N) sinh ra T nên f được xác định duy nhất qua giản đồ vừa
nêu. 
9
Qua các Mệnh đề vừa nêu, ta nhận thấy rằng khi cho M
R
,
R
N và (T, τ) là tích tenxơ vừa
mới thiết lập, thì (T, τ) xác định duy nhất sai khác một phép đẳng cấu. Chính vì vậy, ta viết
T = M ⊗
R
N
và với mỗi (m, n) ∈ M × N, ta viết τ(m, n) = m ⊗ n. Ta thường hay gọi M ⊗
R
N là tích
tenxơ của M
R
và
R
N, còn τ là ánh xạ tenxơ. Chú ý rằng do τ không đơn ánh nên không thể
đồng nhất M × N với τ(M × N) ⊆ M ⊗ N được, chính vì thế cũng cần lưu ý khi ta lấy
m ∈ M

≤ M và n ∈ N


≤ N, thì m ⊗ n có thể được hiểu theo nhiều nghĩa, đó là nghĩa
theo tích tenxơ M

⊗
R
N

và theo tích tenxơ M ⊗
R
N. Chú ý rằng tập sinh của M ⊗
R
N là:
{m ⊗ n|m ∈ M, n ∈ N}
Ta có:
MỆNH ĐỀ 3.7. Với mỗi ánh xạ song tuyến tính β : M × N −→ A tồn tại duy nhất một
đồng cấu nhóm aben: f : M ⊗
R
N −→ A sao cho với mọi m ∈ M, n ∈ N : f (m ⊗ n) =
β(m, n).
CHỨNG MINH. Theo định nghĩa của tích tenxơ.

Ta sẽ nêu lên các tính chất số học của tích tenxơ mà việc chứng minh suy ra ngay từ định
nghĩa.
MỆNH ĐỀ 3.8. Với mỗi phần tử của M ⊗ N có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hữu
hạn

i
(m
i

⊗ n
i
)(m
i
∈ M, n
i
∈ N). Ngoài ra, với mọi m
1
, m
2
∈ M, n
1
, n
2
∈ N, r ∈ R, ta
có:
(1) (m
1
+ m
2
) ⊗ n
1
= (m
1
⊗ n
1
) + (m
2
⊗ n
1

),
(2) m
1
⊗ (n
1
+ n
2
) = (m
1
⊗ n
1
) + (m
1
⊗ n
2
),
(3) (m
1
r) ⊗ n = m
1
⊗ (rn).
ĐỊNH NGHĨA 3.9. Cho R và S là hai vành có đơn vị khác không. Nhóm aben (M, +) là
một song môđun R-bên phải S-bên trái, kí hiệu
S
M
R
nếu
(a) M là R-môđun phải và S-môđun trái.
(b) (sx)r = s(xr), ∀ r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M.
CHÚ Ý 3.10. (1) Mặc dù τ(M ×N) = {m ⊗ n|m ∈ M, n ∈ N} sinh ra M ⊗

R
N, nhưng
nói chung τ(M × N) = M ⊗
R
N. Ngoài ra, sự biểu diễn các phần tử của M ⊗
R
N như là
tổng hữu hạn

i
(m
i
⊗ n
i
) không phải duy nhất. (2) Tích tenxơ của hai môđun khác không
có thể bằng không. Ví dụ lấy A = ZZ/2ZZ, U = ZZ/3ZZ. Khi đó với mọi a ∈ A, u ∈ U, trong
A ⊗
ZZ
U, ta có:
0 = 0 ⊗ 0 = a ⊗ 0 − 0 ⊗ u = a ⊗ (3u) − (2a) ⊗ u = 3(a ⊗ u) − 2(a ⊗ u) = a ⊗ u. Vậy
A ⊗
ZZ
U = 0. (3) Nhóm aben M ⊗
R
N nói chung không phải là R-môđun. Tuy nhiên cấu
10
trúc song môđun trên M hay N cảm sinh cấu trúc môđun trên M ⊗
R
N. Giả sử, ví dụ ta lấy
S

M
R
,
R
N. Lúc đó với mỗi s ∈ S ta dễ dàng kiểm tra được với phép toán s(m⊗n) = (sm)⊗n
làm cho M ⊗
R
N trở thành một S-môđun trái. Tương tự cho N =
R
N
T
là song môđun thì
M ⊗
R
N là T-môđun phải với phép toán (m ⊗ n)t = m ⊗ (nt).
Đối với
R
R
R
, ta có ngay M ⊗
R
R là một R-môđun phải còn R ⊗
R
N là một R-môđun
trái. Ta có:
MỆNH ĐỀ 3.11. Với mỗi R-môđun phải M, có R-đẳng cấu:
ν
r
: M ⊗
R

R −→ M xác định bởi ν
r
(m ⊗ r) = mr.
CHỨNG MINH. Ta có ánh xạ M × R −→ M xác định bởi (m, r) −→ mr là ánh xạ song
tuyến tính nên tồn tại ν
r
: M ⊗
R
R −→ M sao cho ν
r
(m ⊗ r) = mr. Ta kiểm tra được ν
r
là
đẳng cấu thông qua đồng cấu η : M −→ M ⊗
R
R xác định bởi η(m) = m ⊗ 1 và ta có ngay
ν
r
◦ η = id
M
, η ◦ ν
r
= id
M⊗
R
R
. 
Tương tự ta có:
MỆNH ĐỀ 3.12. Với mỗi R-môđun trái N, có R-đẳng cấu:
ν

l
: R ⊗
R
N −→ N xác định bởi ν
l
(r ⊗ n) = rn.
3.2. Tích tenxơ của các đồng cấu.
Cho M, M

là các R-môđun phải, và cho N, N

là các R-môđun trái. Hơn nữa, giả sử cho
f : M −→ M

, g : N −→ N

là các R-đồng cấu. Xác định ánh xạ
(f, g) : M × N −→ M

⊗
R
N

xác định bởi (f, g)(m, n) = f(m) ⊗ g(n). Rõ ràng (f, g) là một ánh xạ song tuyến tính. Vì
vậy tồn tại duy nhất một ZZ− đồng cấu từ M ⊗
R
N vào M

⊗
R

N

sao cho giản đồ sau giao
hoán:
M × N
M ⊗
R
N
M

⊗
R
N

◗
◗
◗
◗
◗
◗s
(f,g)
✲
τ
❄
ĐỊNH NGHĨA 3.13. Ánh xạ vừa mới nêu được gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f và g,
kí hiệu f ⊗ g, xác định bởi
(f ⊗ g)(m ⊗ n) = f(m) ⊗ g(n), m ∈ M, n ∈ N.
MỆNH ĐỀ 3.14. Xét M
R
, M


R
,
R
N,
R
N

, ∀ f
1
, f
2
, f ∈ Hom
R
(M, M

) và ∀g
1
, g
2
, g ∈
Hom
R
(N, N

). Ta có:
(1) (f
1
+ f
2

) ⊗ g = (f
1
⊗ g) + (f
2
⊗ g)
11
(2) f ⊗ (g
1
+ g
2
) = (f ⊗ g
1
) + (f ⊗ g
2
).
(3) f ⊗ 0 = 0 ⊗ g = 0.
(4) id
M
⊗ id
N
= id
M⊗
R
N
.
CHỨNG MINH. Ta chứng minh dựa vào các phần tử sinh m ⊗ n của M ⊗
R
N.

MỆNH ĐỀ 3.15. Cho các R-đồng cấu f : M −→ M


, f

: M

−→ M”, g : N −→ N

và g

: N

−→ N”. Ta có:
(f

⊗ g

)(f ⊗ g) = (ff

) ⊗ (gg

).
CHỨNG MINH. Ta chứng minh cũng dựa vào các phần tử sinh m ⊗ n của M ⊗
R
N. 
3.3. Tích tenxơ và tổng trực tiếp. Định lý sau nói lên sự giao hoán của tích tenxơ với
tổng trực tiếp.
ĐỊNH LÍ 3.16. Cho M
R
và
R

N = ⊕
Λ
N
λ
với phép nhúng chính tắc 
λ
:
R
N
λ
−→
R
N
và phép chiếu π
λ
:
R
N −→
R
N
λ
. Lúc đó (M ⊗
R
N, id
M
⊗ 
λ
) là một tổng trực tiếp của
{M ⊗
R

N
λ
}
Λ
, nghĩa là
M ⊗ (⊕
Λ
N
λ
)  ⊕
Λ
(M ⊗
R
N
λ
).
CHỨNG MINH. Với các ánh xạ id
M
⊗ π
λ
: M ⊗
R
N −→ M ⊗
R
N
λ
, từ các tính chất của
tích tenxơ của các đồng cấu ta có:
(id
M

⊗ π
µ
)(id
M
⊗ 
λ
) = ∂
λµ
id
M⊗N
λ
.
trong đó ∂
λµ
= 0 nếu λ = µ và ∂
λµ
= 1 nếu λ = µ.
Với họ {f
λ
: M ⊗N
λ
−→ X}
Λ
của các ZZ-đồng cấu, chúng ta xác định f : M ⊗
R
N −→
X bởi
f(m ⊗ n) =

λ ∈Λ

f
λ
(id
M
⊗ π
λ
)(m ⊗ n),
trong đó tổng này luôn luôn hữu hạn. Rõ ràng, f(id
M
⊗ ) = f
λ
và (M ⊗
R
N, id
M
⊗ 
λ
) là
một tổng trực tiếp của {M ⊗
R
N
λ
}
Λ
. 
HỆ QUẢ 3.17. Với các giả thiết ở trên, nếu cho thêm M
R
= ⊕
Λ


M
µ
. Ta có:
M(⊕
Λ

M
µ
) ⊗
R
N  ⊕
Λ

(M
µ
⊗
R
N).
(⊕
Λ

M
µ
) ⊗
R
(⊕
Λ
N
λ
)  ⊕

Λ

×Λ
(M
µ
⊗
R
N
λ
).
CHỨNG MINH. Đối ngẫu. 
Bây giờ ta nêu tính kết hợp của tích tenxơ:
ĐỊNH LÍ 3.18. Cho ba môđun M
R
,
R
N
S
và
S
L. Lúc đó có thể lập (M ⊗
R
N) ⊗
S
L và
M ⊗
R
(N ⊗
S
L) và có đẳng cấu

σ : (M
R
⊗ N) ⊗
S
L −→ M ⊗
R
(N ⊗
S
L),
12
xác định bởi (m ⊗ n) ⊗ l −→ m ⊗ (n ⊗ l).
CHỨNG MINH. Chúng ta chỉ cần chứng minh sự tồn tại của đồng cấu σ như vậy. Lúc đó,
do tính đối xứng ta có thể lập ánh xạ theo hướng ngược lại mà đó cũng chính là nghịch đảo
của σ.
Trước hết chúng ta xác định, với mọi l ∈ L, một đồng cấu f
l
: N −→ N ⊗
S
L, l −→
n ⊗ l, sau đó ta đi thành lập tích tenxơ id
M
⊗ f
l
: M ⊗
R
N −→ M ⊗
R
(N ⊗
S
L) để ta thu

được
β : (M ⊗
R
N) × L −→ M ⊗
R
(N ⊗
S
L),
xác định bởi (m ⊗ n, l) −→ id
M
⊗ f
l
(m ⊗ n).
Ta phải đi chứng minh rằng β là ánh xạ song tuyến tính để thu được đẳng cấu ta cần. 
4. Bài tập
BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng môđun tự do sinh ra bởi một phần tử duy nhất đẳng cấu
với R
R
.
BÀI TẬP 2. Chứng minh rằng nếu M = M
1
⊕ M
2
thì M/M
1
∼
=
M
2
.

BÀI TẬP 3. Chứng minh rằng một môđun con N của môđun M là một hạng tử trực tiếp
nếu và chỉ nếu môđun X/A là tự do.
BÀI TẬP 4. Chứng minh rằng môđun ZZ
ZZ
không có hạng tử trực tiếp khác 0 ngoài nó.
BÀI TẬP 5. Giả sử M, M

và M” là các môđun trên vành R. Giả sử f : M

→ M” là
đơn cấu và g : M → M” là toàn cấu sao cho Imf = Kerg. Chứng minh rằng:
(a) Tồn tại một đồng cấu ϕ : M” → M sao cho gϕ = id
M”
khi và chỉ khi tồn tại một đồng
cấu ψ : M → M

sao cho ψf = id
M

.
(b) Nếu thỏa các điều kiện ở câu a) thì ta có
M = Imf ⊕ Kerψ = Kerg ⊕ Imϕ.
BÀI TẬP 6. Chứng minh rằng một môđun tự do có thể chứa những phần tử x = 0 mà tập
{x} không độc lập tuyến tính.
BÀI TẬP 7. Tìm một ví dụ chứng tỏ M
R
= 0,
R
N = 0 mà M ⊗
R

N = 0
BÀI TẬP 8. Cho F
R
là môđun tự do và f :
R
N →
R
M là đơn cấu của các môđun trái.
Chứng minh rằng id
F
⊗ f là đơn cấu.
13