Bài Tập lớn Tấm Vỏ Mỏng (cao học)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (181.99 KB, 12 trang )
Page 1 of 12
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG
Bài 1: Tấm chữ nhật cạnh 2a x 3a đặt trên nền đàn hồi có hệ số nền K = αD/a
4
chịu tải
trọng phân bố đều q
0
vuông góc mặt trung bình của tấm. Bằng phương pháp sai phân hữu hạn
với bước chia đều ∆, hãy tính gần đúng độ võng và mô men uốn tại điểm K1,2 theo sơ đồ G
như sau: (∆ = a). Hệ số nền α = 16.
Ta tiến hành lập lưới sai phân và đánh số thứ tự như hình vẽ:
=====================================================================
K1 K2
K1 K2
1
2
3
4
6
5
7 8
9
10
11 12
13
14
15
16
x
y
17
18
19
20
21 22
Page 2 of 12
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
Phương trình vi phân độ võng tấm trên nền đàn hồi như sau:
∇
4
w +
D
k
w =
D
q
0
Với K = α
4
a
D
thay vào phương trình trên ta được:
∇
4
w +
4
a
α
w =
D
q
0
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K
1
là:
20W
k1
– 8(W
2
+ W
K2
+ W
5
+ W
8
) + 2(W
1
+ W
3
+ W
9
+ W
7
) + W
11
+ W
6
+ W
13
+ W
15
+ +a
4
4
a
α
W
K1
=
D
aq
4
0
(1)
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K
2
là:
20W
k2
– 8(W
k1
+ W
3
+ W
6
+ W
9
) + 2(W
2
+ W
4
+ W
8
+ W
10
) + W
5
+ W
12
+ W
14
+ W
16
+ +a
4
4
a
α
W
k2
=
D
aq
4
0
(2)
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K
1
là:
20W
2
– 8(W
3
+ W
K1
+ W
1
+ W
11
) + 2(W
5
+ W
12
+ W
K2
+ W
19
) + W
17
+ W
21
+ W
8
+ W
4
+ +a
4
4
a
α
W
2
=
D
aq
4
0
(3)
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 2 là:
20W
3
– 8(W
K2
+ W
2
+ W
4
+ W
12
) + 2(W
6
+ W
11
+ W
20
+ W
K1
) + W
1
+ W
9
+ W
22
+ W
18
+ +a
4
4
a
α
W
3
=
D
aq
4
0
(4)
Điều kiện biên:
Tại biên ngàm:
W
k2
= W
14
; W
4
= W
6
= W
10
= W
20
= 0;
Tại các biên khớp:
W
k1
= -W
13
= - W
15
; W
k2
= -W
16
; W
1
= W
5
= W
7
= W
8
= W
9
= W
19
= 0;
Thay các điều kiện biên này vào các phương trình (1) và (2), thay α=16 ta được:
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K
1
34W
k1
- 8W
k2
- 8W
2
+ 2W
3
+ W
11
=
D
aq
4
0
. (1*)
=====================================================================
Page 3 of 12
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K
2
- 8W
k1
+ 36W
k2
+ 2W
2
– 8W
3
+ W
12
=
D
aq
4
0
. (2*)
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 2
-8W
k1
+ 2W
k2
+ 35W
2
- 8W
3
- 8W
11
+ 2 W
12
+ W
17
=
D
aq
4
0
. (3*)
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 3
2W
k1
- 8W
k2
- 8W
2
+ 37W
3
+ 2W
11
- 8W
12
+ W
18
=
D
aq
4
0
. (4*)
Thêm phương trình từ điều kiện biên tự do:
=
∂∂
∂
−+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
0
y
W
)2(
x
W
Q
0
y
W
x
W
M
2
3
3
3
2
2
2
2
x
x
td
x
µ
µ
( )
( )( )
( )
( )( )
=−−+++−−+−+−
=+−++−
=−−+++−−+−+−
=+−++−
⇒
0WWWWW2W22WW2W2W
0WW2WWW2W
0WWWWW2W22WW2W2W
0WW2WWW2W
6K12011K2129K21218
234K2312
5K21912K1118K11117
123K1211
µ
µ
µ
µ
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
=−−−+−+−−
=+++−
=−−−+−+−−
=+++−
⇒
0W2W2W32W32W
0WWW12W
0W2W2W32W32W
0WWW12W
K111K21218
2K2312
K212K11117
3K1211
µµµµ
µµ
µµµµ
µµ
Sau khi thay thế các điều kiện biên ta thu được hệ 8 phương trình chứa hai ẩn số W
k1
và W
k2
như sau:
34W
k1
- 8W
k2
- 8W
2
+ 2W
3
+ W
11
=
D
aq
4
0
. (a)
- 8W
k1
+ 36W
k2
+ 2W
2
– 8W
3
+ W
12
=
D
aq
4
0
. (b)
-8W
k1
+ 2W
k2
+ 35W
2
- 8W
3
- 8W
11
+ 2 W
12
+ W
17
=
D
aq
4
0
. (c)
2W
k1
- 8W
k2
- 8W
2
+ 37W
3
+ 2W
11
- 8W
12
+ W
18
=
D
aq
4
0
. (d)
( )
0WWW12W
1132K1
=+++−
µµ
(e)
=====================================================================
Page 4 of 12
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
( )
0WW12WW
1232K2
=++−+
µµ
(f)
( ) ( ) ( ) ( )
0WW2W32W2W32
171211K2K1
=+−+−−−−−
µµµµ
(g)
( ) ( ) ( ) ( )
0WW32W2W32W2
181211K2K1
=+−−−+−+−−
µµµµ
(h)
Sử dụng chương trình Mathematica 5.0 để giải hệ phương trình trên ta thu được kết quả:
m={{34,-8,-8,2,1,0,0,0},{-8,36,2,-8,0,1,0,0},{1,0,(-2-2*n),n,1,0,0,0},
{0,1,n,(-2-2*n),0,1,0,0},{(6-2*n),(-2+n),0,0,(-6+2*n),(2-n),1,0},
{(-2+n),(6-2*n),0,0,(2-n),(-6+2*n),0,1},{-8,2,35,-8,-8,2,1,0},{2,-8,-8,37,2,-8,0,1}};
m.
{Wk1,Wk2,W2,W3,W11,W12,W17,W18}=={q*a^4/d,q*a^4/d,0,0,0,0,q*a^4/d,q*a^4/d};
Solve[%,{Wk1,Wk2,W2,W3,W11,W12,W17,W18}];
Simplify[%]
W17
a
4
82320
257316 n
164305 n
2
41208 n
3
16011 n
4
q
d
916605
377584 n
241788 n
2
46224 n
3
11079 n
4
,
W18
a
4
66832
162820 n
118435 n
2
43344 n
3
15651 n
4
q
d
916605
377584 n
241788 n
2
46224 n
3
11079 n
4
,
W11
a
4
64425
43606 n
32390 n
2
13446 n
3
405 n
4
q
d
916605
377584 n
241788 n
2
46224 n
3
11079 n
4
,
Wk1
a
4
44813
19841 n
10826 n
2
2445 n
3
405 n
4
q
d
916605
377584 n
241788 n
2
46224 n
3
11079 n
4
,
Wk2
a
4
42031
18533 n
10374 n
2
2331 n
3
387 n
4
q
d
916605
377584 n
241788 n
2
46224 n
3
11079 n
4
,
W2
a
4
54619
17302 n
12625 n
2
798 n
3
q
d
916605
377584 n
241788 n
2
46224 n
3
11079 n
4
,
W3
a
4
50869
16638 n
12653 n
2
786 n
3
q
d
916605
377584 n
241788 n
2
46224 n
3
11079 n
4
,
W12
a
4
59707
32376 n
30906 n
2
13440 n
3
387 n
4
q
d
916605
377584 n
241788 n
2
46224 n
3
11079 n
4
=====================================================================
Page 5 of 12
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
d
a^2
a
4
n
54619
17302n
12625n
2
798 n
3
q
d
916605
377584 n
241788 n
2
46224n
3
11079n
4
a
4
42031
18533n
10374n
2
2331n
3
387n
4
q
d
916605
377584 n
241788 n
2
46224n
3
11079n
4
2 a
4
1
n
44813
19841n
10826n
2
2445n
3
405 n
4
q
d
916605
377584 n
241788n
2
46224n
3
11079n
4
;
Simplify[%]
a
2
47595
13858 n
33658 n
2
6468 n
3
4515 n
4
810 n
5
q
916605
377584 n
241788 n
2
46224 n
3
11079 n
4
d
a^2
a
4
42031
18533n
10374n
2
2331n
3
387 n
4
q
d
916605
377584n
241788n
2
46224n
3
11079n
4
2
1
n
a
4
44813
19841n
10826n
2
2445 n
3
405 n
4
q
d
916605
377584n
241788n
2
46224n
3
11079n
4
n
a
4
50869
16638n
12653n
2
786 n
3
q
d
916605
377584n
241788n
2
46224n
3
11079n
4
;
Simplify[%]
a
2
47595
17608 n
34322 n
2
6440 n
3
4527 n
4
810 n
5
q
916605
377584 n
241788 n
2
46224 n
3
11079 n
4
Vậy :
Kết quả độ võng tại điểm K1 là:
W
K1
=
4
4 3 2
0
4 3 2
q
405 2445 10826 19841 44813
.
11079 46224 241788 377584 916605
a
D
µ µ µ µ
µ µ µ µ
+ − − +
+ − − +
Kết quả độ võng tại điểm K2 là:
W
K2
=
4
4 3 2
0
4 3 2
q
387 2331 10374 18533 42031
.
11079 46224 241788 377584 916605
a
D
µ µ µ µ
µ µ µ µ
+ − − +
+ − − +
- Tính Mômen tại điểm K1:
( )
( )
( )
( )
1
2 1 5 8 1 2 2 1 2
2 2
. 2 2 . 2 1
K
x K K K K K
D D
M W W W W W W W W W
a a
µ µ µ
= − + + − + = − + +
5 4 3 2
1 2
0
4 3 2
810 4515 6468 33658 13858 47595
.
11079 46224 241788 377584 916605
K
x
M q a
µ µ µ µ µ
µ µ µ µ
+ − − + +
= −
+ − − +
( )
( )
( )
( )
1
8 1 2 5 1 2 2 1 2
2 2
. 2 2 . 2 1
K
y K K K K K
D D
M W W W W W W W W W
a a
µ µ
= − + + − + = − + +
5 4 3 2
1 2
0
4 3 2
810 4515 6468 33658 13858 47595
.
11079 46224 241788 377584 916605
K
y
M q a
µ µ µ µ µ
µ µ µ µ
+ − − + +
= −
+ − − +
- Tính Mômen tại điểm K2:
=====================================================================
Page 6 of 12
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
( )
( )
( )
( )
2
6 2 1 9 2 3 1 2 3
2 2
. 2 2 . 2 1
K
x K K K K K
D D
M W W W W W W W W W
a a
µ µ µ
= − + + − + = − + +
5 4 3 2
2 2
0
4 3 2
810 4527 6440 34322 17608 47595
.
11079 46224 241788 377584 916605
K
x
M q a
µ µ µ µ µ
µ µ µ µ
+ − − + +
= −
+ − − +
( )
( )
( )
( )
2
6 2 1 9 2 3 1 2 3
2 2
. 2 2 . 2 1
K
y K K K K K
D D
M W W W W W W W W W
a a
µ µ µ
= − + + − + = − + +
5 4 3 2
2 2
0
4 3 2
810 4527 6440 34322 17608 47595
.
11079 46224 241788 377584 916605
K
y
M q a
µ µ µ µ µ
µ µ µ µ
+ − − + +
= −
+ − − +
=====================================================================
Page 7 of 12
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
Bài 2: Vỏ cầu thoải có mặt bằng hình chữ nhật kích thước 5a x 9a liên kết khớp tựa chịu
tải trọng pháp tuyến với mặt trung bình trong trường hợp
lực tập trung hoán vị đặt tại điểm
6.
Yêu cầu: 1. Chọn hàm độ võng thỏa mãn điều kiện biên theo chuỗi lượng giác kép.
2. Tính chuyển vị W
max
.
1. Chọn hàm độ võng thỏa mãn điều kiện biên theo chuỗi lượng giác kép:
Phương trình hàm độ võng đối với vỏ cầu thoải bán kính R có dạng như sau:
∇
4
w + 4λ
4
w =
D
q
(1)
Trong đó
4
22
2
4
)1(12
Rh
µ
λ
−
=
Nghiệm của (1) được chọn dưới dạng chuỗi như sau:
a
yn
a
xm
AyxW
m n
mn
5
sin
9
sin),(
1 1
ππ
∑∑
∞
=
∞
=
=
(2)
Trong đó A
mn
là hệ số của chuỗi (m, n = 1, 2, 3, ).
Thế (2) vào (1), sau khi rút gọn ta được:
+
∑∑
∞
=
∞
=
a
yn
a
xm
a
n
a
m
A
n
mn
m
5
sin
9
sin
59
1
2
22
1
ππππ
∑∑
∞
=
∞
=
+
11
4
5
sin
9
sin4
n
mn
m
a
yn
a
xm
A
ππ
λ
=
D
q
=====================================================================
a
a
X
Y
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10
11
12
13
14
15
16
17 18
19
20
21
22
23
24
25 26
27
28
P
29
30
31
32
Page 8 of 12
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
⇔
+
+
∑∑
∞
=
∞
=
a
yn
a
xm
a
n
a
m
DA
n
mn
m
5
sin
9
sin4
59
1
4
2
22
1
ππ
λ
ππ
= q (3)
Phân tích hàm q(x,y) dưới dạng chuỗi kép Fourier trong miền 0 ≤ x ≤ 9a; 0 ≤ y ≤ 5a.
a
yn
a
xm
Cyxq
m n
mn
5
sin
9
sin),(
1 1
ππ
∑∑
∞
=
∞
=
=
(4)
Ở đây:
dxdy
a
yn
a
xm
yxq
aa
C
aa
mn
∫∫
=
5
0
9
0
5
sin
9
sin),(
5.9
4
ππ
Do tải trọng tập trung q đặt tại điểm 6 nên x
0
= 6a, y
0
= a. Vậy:
dxdy
a
an
a
am
dydx
q
aa
C
aa
mn
∫∫
=
5
0
00
9
0
5
sin
9
6
sin
5.9
4
ππ
⇔
=
5
sin
9
6
sin
5.9
4
ππ
nm
aa
q
C
mn
Thay C
mn
vừa tìm được ở trên vào (4) ta được:
a
yn
a
xmnm
aa
q
yxq
m n
5
sin
9
sin
5
sin
9
6
sin
5.9
4
),(
1 1
ππππ
∑∑
∞
=
∞
=
=
(5)
Từ (3) và (5) tiến hành cân bằng hệ số ta có:
=
+
+
5
sin
9
6
sin
5.9
4
4
59
4
2
22
ππ
λ
ππ
nm
aa
q
a
n
a
m
DA
mn
⇒
+
+
×=
4
2
22
4
59
5
sin
9
6
sin
5.9
4
λ
ππ
ππ
a
n
a
m
D
nm
aa
q
A
mn
Vậy hàm độ võng cần tìm là:
a
yn
a
xm
a
n
a
m
Da
nm
q
yxW
m n
5
sin
9
sin
4
59
45
5
sin
9
6
sin4
),(
1 1
4
2
22
2
ππ
λ
ππ
ππ
∑∑
∞
=
∞
=
+
+
=
2. Tính chuyển vị W
max
.
Khi đó:
=====================================================================
Page 9 of 12
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
2
2 2
1 1
2 4
6
4 sin sin
9 5
( , ) sin sin
9 5
45. . . 4
9 5
m n
m n
q
m x n y
W x y
a a
m n
a D
a a
π π
π π
π π
λ
∞ ∞
= =
=
+ +
÷ ÷
∑∑
Sử dụng chương trình Mathematica ta tính được độ võng, ta nhận thấy sự lặp lại của các số
hạng trong chuỗi số.Dễ dàng, nhận thấy chuỗi đạt giá trị độ võng lớn nhất khi
sin 1
9
m x
a
π
=
,
sin 1
5
m y
a
π
=
đạt khi x=9a/2, y=5a/2
Ta có hàm độ võng như sau:
2
2 2
1 1
2 4
6
4 sin sin sin sin
9 5 2 2
( , )
45. . . 4
9 5
m n
m n mx ny
q
W x y
m n
a D
a a
π π
π π
λ
∞ ∞
= =
=
+ +
÷ ÷
∑∑
Sử dụng phần mềm tính toán Mathematica ta thu được W
max
như sau
( )
2
4
3
5 5
2
ax =
106
4 4
2025
Wm C
π
λ
−
+
+
, trong đó C là một số vô cùng bé
=====================================================================
Page 10 of 12
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
Phụ lục tính toán bằng Mathematica:
A=Sin[6*m*Pi/9]*Sin[n*Pi/5];
B=Sin[m*Pi*x/9/a]*Sin[n*Pi*y/5/a];
m^2*Pi^2/81/a^2+n^2*Pi^2/25/a^2+4*L^4
4 L
4
m
2
2
81 a
2
n
2
2
25 a
2
A*B/Out[5]
Sin
2 m
3
Sin
n
5
Sin
m
x
9a
Sin
n
y
5a
4 L
4
m
2
2
81a
2
n
2
2
25a
2
Sum[Out[6],{m,1,1},{n,1,1}]
3
2
5
5
Sin
x
9a
Sin
y
5a
4
4 L
4
106
2
2025a
2
Sum[Out[6],{m,1,2},{n,1,2}]
3
2
5
5
Sin
x
9a
Sin
y
5a
4
4 L
4
106
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
2
x
9a
Sin
y
5a
4
4 L
4
181
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
x
9a
Sin
2
y
5a
4
4 L
4
349
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
2
x
9a
Sin
2
y
5a
4
4 L
4
424
2
2025a
2
Sum[Out[6],{m,1,3},{n,1,3}]
3
2
5
5
Sin
x
9a
Sin
y
5a
4
4 L
4
106
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
2
x
9a
Sin
y
5a
4
4 L
4
181
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
x
9a
Sin
2
y
5a
4
4 L
4
349
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
2
x
9a
Sin
2
y
5a
4
4 L
4
424
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
x
9a
Sin
3
y
5a
4
4 L
4
754
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
2
x
9a
Sin
3
y
5a
4
4 L
4
829
2
2025a
2
Sum[Out[6],{m,1,4},{n,1,4}]
=====================================================================
Page 11 of 12
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
3
2
5
5
Sin
x
9a
Sin
y
5a
4
4 L
4
106
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
2
x
9a
Sin
y
5a
4
4 L
4
181
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
4
x
9a
Sin
y
5a
4
4 L
4
481
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
x
9a
Sin
2
y
5a
4
4 L
4
349
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
2
x
9a
Sin
2
y
5a
4
4 L
4
424
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
4
x
9a
Sin
2
y
5 a
4
4 L
4
724
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
x
9a
Sin
3
y
5a
4
4 L
4
754
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
2
x
9a
Sin
3
y
5a
4
4 L
4
829
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
4
x
9a
Sin
3
y
5a
4
4 L
4
1129
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
x
9a
Sin
4
y
5a
4
4 L
4
1321
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
2
x
9a
Sin
4
y
5a
4
4 L
4
1396
2
2025a
2
3
2
5
5
Sin
4
x
9a
Sin
4
y
5 a
4
4 L
4
1696
2
2025a
2
Sau khi thay x=9a/2, y=5a/2, ta có
A=Sin[6*m*Pi/9]*Sin[n*Pi/5];
B=Sin[m*Pi/2]*Sin[n*Pi/2];
m^2*Pi^2/81+n^2*Pi^2/25+4*L^4
4 L
4
m
2
2
81
n
2
2
25
A*B/Out[19]
Sin
m
2
Sin
2 m
3
Sin
n
5
Sin
n
2
4 L
4
m
2
2
81
n
2
2
25
Sum[Out[20],{m,1,1},{n,1,1}]
3
2
5
5
4 4 L
4
106
2
2025
Sum[Out[20],{m,1,2},{n,1,2}]
=====================================================================
Page 12 of 12
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
3
2
5
5
4 4 L
4
106
2
2025
Sum[Out[20],{m,1,3},{n,1,3}]
3
2
5
5
4
4 L
4
106
2
2025
3
2
5
5
4
4 L
4
754
2
2025
Sum[Out[20],{m,1,4},{n,1,4}]
3
2
5
5
4
4 L
4
106
2
2025
3
2
5
5
4
4 L
4
754
2
2025
=====================================================================
