Phân tích dị thường từ galăng bằng phương pháp đạo hàm góc nghiêng

1
MỞ ĐẦU
Địa Vật lý là một chuyên ngành thăm dò tài nguyên, khoáng sản, khảo sát
môi trường, thăm dò khảo cổ…, nên giữ một vai trò quan trọng trong sự phát triển
của đất nước, đặ
c biệt là trong sự nghiệp đổi mới, công nghiệp hóa và hiện đại hóa
đất nước. Tại Việt Nam các công tác Địa Vật lý được tiến hành từ thập niên 1950
nhằm khả
o sát địa chất, thăm dò tìm kiếm khoáng sản rắn, phòng chống thiên tai
như động đất, sóng thần, sạt lở bờ sông, đê điều; khảo sát tính kháng chấn phục vụ
xây dựng nhà cửa, cầu đường, các công trình thủy điện và đặc biệt công tác thăm dò
dầu khí,…. Do đó, c
ác phương pháp địa vật lý như thăm dò địa chấn, thăm dò từ,
thăm dò trọng lực, thăm dò điện, thăm dò phóng xạ, …, đã không ngừng được
nghiên c
ứu, phát triển và ứng dụng có hiệu quả.
V
ề thăm dò từ và trọng lực, song song với việc phát triển các máy đo và kỹ
thuật đo, người ta cũng phát triển nhiều phương pháp phân tích tài liệu để liên kết
giá trị của trường từ đo được với những đối tượng địa chất cần nghiên cứu. Việc
phân tích tài liệu từ có thể chia làm hai phần:
- Phân tích định tính: xây dựng các bản đồ dị thường từ, các bản đồ dị
thường khu vực, các bản đồ dị thường địa phương hay các bản đồ khác như bản đồ
chuyển trường lên, bản đồ chuyển trường xuống, bản đồ đạo hàm theo phương
ngang và phương thẳng đứng, bản đồ chuyển trường về cực, bản đồ giả trọng lực.
Mục đích của phương pháp này là nhằm làm nổi bật lên các dị thường cần nghiên
cứu, từ đó xác định vùng dị thường, phương và kích thước của dị thường để chuẩn
bị cho phần phân tích định lượng.
- Phân tích định lượng: nhằm xác định chính xác vị trí, độ sâu, hình dạng,
kích thước, phương nghiêng, tính chất, … của dị vật. Để thực hiện công tác này có

nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp tiến, phương pháp Parker
-
Oldenburg, phương pháp tín hiệu giải tích, phương pháp giải chập Euler….
Từ lâu, các phương pháp trên được tính bằng giải tích và giải tích số. Nhưng
từ năm 1958, Dean đã áp dụng phép biến đổi Fourier vào việc phân tích các bài toán
từ và trọng lực, và nhất là sau khi thuật toán biến đổi nhanh Fourier (Fast Fo
urier

2
Transform) ra đời (1964) và sự phát triển mạnh mẽ của máy tính, việc phân tích tài
liệu từ và trọng lực được thực hiện đơn giản hơn trong miền số sóng qua phép biến
đổi Fourier thuận; sau đó, chuyển giá trị tính được về miền không gian bằng phép
biến đổi Fourier ngược.
Trong đề tài này, chúng tôi tìm hiểu về một trong những phương pháp mới
trong việc phân tích tài liệu từ cho phép xác định hình dạng
, kích thước, vị trí và
bản chất của nguồn
; đó là phương pháp đạo hàm góc nghiêng và sau đó áp dụng
ph
ương pháp này để tính trên mô hình và phân tích vùng Ga-Lăng (Bình Thuận).
Bố cục luận văn chia ra như sau:
 Mở đầu
 Chương 1: Một số phương pháp phân tích tài liệu từ
 Chương 2: Phương pháp đạo hàm góc nghiêng
 Chương 3: Xây dựng chương trình và tính toán trên mô hình
 Chương 4: Phân tích dị thường từ Ga-Lăng
 Kết luận

iii
MỤC LỤC

Trang
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
DANH SÁCH HÌNH VÀ BẢNG v
MỞ ĐẦU 1
Chương 1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TÀI LIỆU TỪ
1.1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG 3
1.1.1. Chuyển trường lên 3
1.1.2.
Phép tính đạo hàm 6
1.1.3. Phép chuyển trường về cực 9
1.2.
PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 11
1.2.1
Định nghĩa 11
1.2.2 Một số tính chất của biến đổi Fourier 13
1.3.
ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG 15
1.3.1.
Tính chuyển trường lên 15
1.3.2 Tính đạo hàm theo phương ngang và phương thẳng đứng 16
1.3.3. Tính chuyển trường về cực 17
1.4. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GẦN ĐÂY 18
1.4.1. Phương pháp tín hiệu giải tích 18
1.4.2. Phương pháp giải chập Euler 21
1.4.3. Phương pháp số sóng địa phương 22
1.5. KẾT LUẬN 25
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM GÓC NGHIÊNG

(TILT – DEPTH METHOD)
2.1. ĐỊNH NGHĨA GÓC NGHIÊNG 27
2.2. PHÂN TÍCH TRỰC TIẾP (THỦ CÔNG) 28
2.3. PHÂN TÍCH BÁN TỰ ĐỘNG 32
2.3.1. Công thức 32
2.3.2. Cách tính 34
2.3.3.
Phương pháp bình phương tối thiểu xác định vị trí của nguồn và chỉ số cấu trúc.36
2.4.
KẾT LUẬN 37

iv
Chương 3
XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH VÀ TÍNH TOÁN TRÊN MÔ HÌNH
3.1. XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH 38
3.1.1.
Giải thuật 38
3.1.2.
Lưu đồ 41
3.1.3.
Giao diện chương trình 43
3.2. TÍNH TOÁN TRÊN MÔ HÌNH 47
3.3.
KẾT LUẬN 54
Chương 4
PHÂN TÍCH DỊ THƯỜNG TỪ GA-LĂNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM GÓC NGHIÊNG
4.1. VÙNG NGHIÊN CỨU VÀ DỮ LIỆU 55
4.1.1. Vùng nghiên cứu 55
4.1.2.

Kiến trúc địa chất và đứt gãy 57
4.1.3. Dữ liệu từ 58
4.2
. KẾT QUẢ PHÂN TÍCH 60
4.2.1. Phân tích định tính 60
4.2.2. Phân tích định lượng 63
4.2.3. Thảo luận 67
4.3 KẾT LUẬN 68
KẾT LUẬN 69
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH 71
TÀI LIỆU THAM KHẢO 72
PHỤ LỤC 76

v
DANH SÁCH HÌNH VÀ BẢNG
Trang
Bảng 1.1: Chỉ số cấu trúc theo Thompson (1982) 22
Bảng 4.1: Toạ độ giới hạn của vùng nghiên cứu 56
Hình 1.1: Chuyển trường từ mặt mức lên một mặt mức khác. 4
Hình 1.2: Mạng lưới để tính đạo hàm bậc 2. 7
Hình 1.3: Lưới có ba đường tròn dùng để tính đạo hàm bậc hai 7
Hình 1.4: Mối liên hệ độ dốc của
z
theo r
2
và đạo hàm theo phương thẳng đứng. 9
Hình 1.5: Trường từ trước và sau khi chuyển về cực 10
Hình 2.1: (a): Dị thường từ của mô hình (b): Đạo hàm góc nghiêng (c): Mô hình.30
Hình 2.2: Từ trường của mô hình gồm hai dị vật thẳng đứng. 31
Hình 3.1: Giao diện ban đầu. 43

Hình 3.2: Giao diện khi bấm nút chọn file. 44
Hình 3.3: Giao diện sau khi chọn tính toán. 45
Hình 3.4: Giao diện sau khi chọn lưu dữ liệu. 46
Hình 3.5: Bản đồ trường từ

T 48
Hình 3.6: Bản đồ trường từ

T sau khi chuyển trường về cực 49
Hình 3.7: Bản đồ góc nghiêng. 50
Hình 3.8: Bản đồ góc nghiêng. 51
Hình 3.9: Bản đồ số sóng theo phương thẳng đứng k
z
52
Hình 3.10: Bản đồ số sóng toàn phần theo phương ngang k
h
52
Hình 3.11: Bản đồ độ sâu. 53
Hình 3.12: Bản đồ chỉ số cấu trúc

. 54
Hình 4.1: Bản đồ cường độ dị thường từ toàn phần vùng dị thường Ga-Lăng. 59
Hình 4.2: Bản đồ trường từ thu về cực của vùng dị thường Ga-Lăng 60
Hình 4.3: Bản đồ chuyển lên cao (0,3km) của trường từ thu về cực của 61
Hình 4.4: Bản đồ góc nghiêng vùng dị thường Ga-Lăng 62
Hình 4.5: Bản đồ góc nghiêng

45
o
của dị thường Ga-Lăng. 63

Hình 4.6: Bản đồ số sóng theo phương thẳng đứng k
z
của dị thường Ga-Lăng. 64
Hình 4.7: Bản đồ số sóng toàn phần theo phương ngang k
h
của dị thường 65
Hình 4.8: Bản đồ độ sâu của dị thường Ga-Lăng. 66
Hình 4.9: Bản đồ chỉ số cấu trúc của dị thường Ga-Lăng 66

3
Chương 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
TÀI LIỆU TỪ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số phương pháp phân tích tài liệu
t
ừ như phép chuyển trường, phép tính đạo hàm, phép chuyển trường về cực, phương
pháp tín hiệu giải tích, phương pháp Euler và phương pháp số sóng địa phương.
Đây là các phương pháp thông dụ
ng trong phân tích tài liệu từ, nhưng chúng được
trình bày
ở đây vì các phương pháp này được sử dụng trong luận văn.
1.1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG
Các phép biến đổi hỗ trợ việc thăm dò từ; tuy không xác định được độ sâu và
bản chất của nguồn, nhưng các phép biến đổi
này giúp chúng ta trong công tác phân
tích định tính tài liệu từ.
1.1.1. Chuyển trường lên
Phép chuyển trường lên nhằm mục đích đưa trường quan sát từ một mặt
phẳng gần nguồn lên một mặt phẳng xa nguồn hơn.
Vậy, phép chuyển trường lên
giúp chúng ta: (1) chuyển các dữ liệu đo lên trên một mặt phẳng ở xa nguồn hơn

mặt phẳng quan sát, (2) giảm các dị thường gây ra bởi các nguồn gần mặt đất (bước
sóng ngắn).
Từ phương trình thứ 3 của định lý Green; nếu hàm U điều hòa, liên tục, và có
các đạo hàm liên tục trên một khoảng của vù
ng không gian R thì:
S
1 1 U 1
U(P) U .dS
4 r n n r
 
 
 
 
  
 

(1.1)
với,


P R

, S là chu vi của R, n là vectơ pháp tuyến, r là bán kính vectơ tính từ P
đến điểm lấy tích phân của S (Hình
1.1).
Vậy, chúng ta có thể tính trường thế tại mọi điểm trong một vùng dựa trên
dáng điệu của trường trên bề mặt bao vùng đó mà không cần biết về các nguồn gây

4
ra trường, chỉ biết là không có nguồn nào nằm giữa hai mặt phẳng quan sát và

chuyển trường lên cao
.
Hình 1.1: Chuyển trường từ mặt mức lên một mặt mức khác. Biết trước trường thế
trên mặt phẳng ngang
0
z z

, tính trường thế tại điểm
0
P(x, y,z z)
 
,
z 0
 
. Mặt
bao S gồm có mặt phẳng ngang và một bán cầu bán kính

. Điểm
P

là ảnh qua
gương của P qua mặt phẳng. Điểm lấy tích phân Q nằm trên mặt S, và r,

là
khoảng cách tương ứng từ Q tới P và từ Q tới
P

.
Mặt bao gồm có mặt mức
0

z
và bán cầu bán kính

ở nửa mặt phẳng không
chứa nguồn. Khi

rất lớn thì tích phân Green thứ 3 trên bán cầu sẽ tiến tới 0. Do
đó, khi
  
(Hình 1.1):
 


 
0
0 0
U x , y ,z
1 1 1
U x, y,z z U x , y ,z dx dy
4 r z z r
 
 
 

 

   
   
 
 

  
 
 
(1.2)
với,
     
2 2 2
0
r x x y y z z z
  
      
Trong tích phân (1.2), cần có gradien của U theo chiều thẳng đứng. Nhưng
trong hầu hết các trường hợp, gradien này không tính được. Để khử thành phần này,
chúng ta sử dụng công thức thứ 2 của định lý Green
:
S
1 U V
V U dS 0
4 n n
 
 
 
 
  
 


5
với, V là một hàm điều hòa khác ở khắp R. Đưa công thức này vào (1.1), chúng ta
được:

 
S
1 1 U 1
U P V U V dS
4 r n n r
   
   
   
   
 
  
   
 

(1.3)
Để khử số hạng thứ nhất dưới dấu tích phân của (1.3), hàm điều hòa V chọn
sao cho
1
V 0
r
 
tại mỗi điểm của S. Chúng ta tạo một điểm P’, là ảnh qua gương
của P tại (x,
y, z
0
+z), và đặt
1
V
 


, với:
     
2 2 2
0
x x y y z z z
  
        
Khi đó hàm
V
thỏa các tính chất sau:

1
V 0
r
 
trên mặt phẳng
0
z z

.

1
V
r

triệt tiêu trên bán cầu khi

rất lớn.
 V luôn là hàm điều hòa vì


luôn khác 0.
Khi đó, phương trình (1.3) trở thành:
(1.4)
Số hạng thứ nhất dưới dấu tích phân sẽ triệt tiêu tại mọi điểm trên mặt S khi
bán kính của bán cầu lớn, còn số hạng thứ hai sẽ triệt tiêu tại mọi điểm không nằm
trên mặt phẳng
0
z z

. Do đó:
   
0 0
1 1 1
U x, y,z z U x , y ,z dx dy
4 z r
 
 
 

   
    
 

  
 
 
Tính đạo hàm và cho
z

chuyển lên mặt phẳng ngang:

 
S
1 1 1 U 1 1
U P U dS
4 r n n r
 
   
 
   
 
   
    
   
 


6
 


   
0
0
3/ 2
2 2
2
U x , y ,z
z
U x, y,z z dx dy
2

x x y y z
 
 
 

 
  

 
 
    
 
 
,
z 0
 
(1.5)
Phương trình (1.5) gọi là tích phân chuyển trường lên và nó vẫn đúng khi
thay thế U bằng trường dị thường
T; nhiều tác giả đã đưa ra công thức khai triển
để tính tích phân trên dưới dạng:
(1.5a)
trong đó, C
i
là các hệ số trọng lượng và
i
T(s )
 là các giá trị trung bình của dị
thường từ trên vòng tròn có bán kính s
i

.
Tuy nhiên, đơn giản nhất là việc tính tích phân trên trong miền số sóng nhờ
phép biến đổi
Fourier mà chúng tôi sẽ trình bày trong mục 1.3.1.
1.1.2. Phép tính đạo hàm
Giá trị của dị thường địa phương (thặng dư) tỉ lệ với giá trị của đạo hàm theo
phương thẳng đứng
- đặc biệt là đạo hàm bậc hai; do đó, bản đồ đạo hàm bậc hai làm
nổi bật các dị thường địa phương, đôi khi rõ hơn cả bản đồ thặng dư.
Tuy nhiên,
trong những thập niên gần đây người ta chú ý tới phương pháp đạo hàm theo
phương ngang và đạo hàm toàn phần; đạo hàm theo phương ngang làm nổi bật
các
biên của nguồn. Trong phần sau đây chúng tôi trình bày cách tính đạo hàm theo
phương pháp gần đúng (phương pháp tính).
1.1.2.1. Tính đạo hàm bậc nhất theo phương ngang
 Công thức tính đạo hàm tiến
2 1
1
( ) ( )
'( )
T x T x
T x
x
  
 

(1.6)
 Công thức tính đạo hàm lùi
T(x

0
) T(x
2
)T(x
1
)
 
n
0 i i
i 1
T x,y,z z C T(s )

    


x

7
1 0
1
( ) ( )
'( )
T x T x
T x
x
  
 

(1.7)
 Công thức tính đạo hàm trung tâm

2 0
1
( ) ( )
'( )
2
T x T x
T x
x
  
 

(1.8)
1.1.2.2. Tính đạo hàm bậc hai theo phương thẳng đứng
Để tính giá trị đạo hàm bậc hai chúng ta xét một mạng lưới ô vuông phân bố
như hình
1.2, với
43210
, ,, , TTTTT





là giá trị của
T

tại các điểm nút.
Hình 1.2: Mạng lưới để tính đạo
hàm bậc 2
.

Hình 1.3
: Lưới có ba đường tròn
dùng để tính đạo hàm bậc hai
.
Trước tiên, tính đạo hàm bậc 2 theo phương ngang lần lượt theo phương x và
y:
2
2
T( 0 )
x








3 0 0 1
T T T T
1
r r r
   
 
 

 
 
3 1 0
2

T T 2 T
r
  
 

(1.9)
Tương tự:
2
4 2 0
2 2
T T 2 T
T
y r
  

 


(1.10)
Trường từ thỏa phương trình Laplace:

8

















2
2
2
2
2
2
y
T
x
T
z
T
(1.11)
Vậy:











4
4
4321
0
22
2
TTTT
T
rz
T
(1.12)
Nếu quay trục x và y một góc rất nhỏ là
n
2

, chúng ta được các giá trị mới
của
T tại bốn nút giao điểm giữa các trục này với vòng tròn là T
5
, T
6
, T
7
, T
8
;
tương tự như trên:











4
4
8765
0
22
2
TTTT
T
rz
T
(1.13)
Nếu lặp lại n lần như trên, rồi cộng kết quả với nhau:

















n
TTTTTTTT
T
rz
T
nnnn
n
4

4
l
41424344321
0
22
2
im
(1.14)
Với n khá lớn, tỉ số nằm trong số hạng thứ hai ở vế phải của (1.14) chính là
trị trung bình của T trên vòng tròn bán kính r. Vậy:





0
22
2
[
4
lim
T
rz
T
n
trị trung bình của
T

trên vòng tròn bán kính r ] (1.15)
Để tính giới hạn trên, Elkins (1951) đã chứng minh nếu
T

đối xứng xuyên
tâm quanh một điểm thì nó có thể biểu diễn bằng một đa thức bậc chẵn.
)(
4
4
2
20
 raraarT (1.16)
Giá
trị đạo hàm bậc 2 cho bởi
2
2
2

4
)(
a
z
rT



(1.17)
và a
2
chính là độ dốc tại r
2
bằng 0 của đường cong
T

(r) đối với r
2
(Hình 1.4)

9
Hình 1.4: Mối liên hệ độ dốc
2
a
của
T

z
theo r
2

và đạo hàm theo phương thẳng đứng.
Và sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu để tìm các số hạng a
i
, công
thức tính đạo hàm bậc hai có dạng như sau:
   
2
2 2 2
(0) 1
64 (0) 2 ( ) 4 2 5 5
60
T
T T s T s T s
z k s
 
 
       
 

(1.18)
v
ới,
1
k
là tỉ lệ bản đồ,




( ), 2 , 5

  T s T s T s lần lượt là giá trị trung bình trên
vòng tròn bán kính
, 2, 5
s s s
(Hình 1.3).
Ngày nay, người ta ít khi sử dụng các công thức tính có dạng như công thức
(1.18) mà thay bằng cách tính trong miền số sóng mà chúng tôi sẽ trình bày trong
mục 1.3.2.
1.1.3. Phép chuyển trường về cực
Các dị thường từ thường bất đối xứng do sự thay đổi của độ từ khuynh và
góc nghiêng của vectơ cường độ từ hóa. Baranov (1957) [8] đưa ra phép tính giả
trọng lực còn gọi là phép tính biến đổi trường từ về cực, tức là đưa giá trị cường độ
từ toàn phần về tại từ cực, lúc đó cường độ từ toàn phần chỉ còn thành phần thẳng
đứng nên bản chất tương tự giá trị trọng lực gọi là “giả trọng lực” (pseudogravity);
trong trường hợp vectơ cường độ từ hóa cũng đưa về cực
nên có phương thẳng
đứng thì cường độ từ trường được gọi là giá trị biến đổi trường từ về cực (reduction
to the magnetic pole, RTP) (Hình 1.5).

10
Hình 1.5: Trường từ trước và sau khi chuyển về cực
Cơ sở của phương pháp là công thức Poisson:
Vgrad
G
J
U


(1.19)
trong đó, U là thế từ, V là thế trọng lực, G là hằng số trọng trường ,  là mật độ.

Nếu i là phương của vectơ cường độ từ hóa.
i
V
G
J
U




(1.20)
Nếu  là phương của vectơ cường độ từ toàn phần thì:
(1.21)
T gọi là giá trị giả trọng lực (vì đạo hàm




V
g
theo phương của vectơ cường độ
từ toàn phần). Nếu bây giờ chuyển
T về cực; lúc đó, vectơ cường độ từ hóa có
phương thẳng góc với mặt đất
, T trong công thức (1.21) trở thành giá trị trường từ
ở cực cho bởi:
(1.22)
(trong công thức này g =

V/


z , vì đặt ở cực)
U J V J V
T
G i G i
    
   
    
    
   
    
   
Pole
J g
T
G z


 


11
g’ =

g/

z được tính từ giá trị của cường độ từ toàn phần quan sát T. Baranov đề
nghị công thức tính g’ như sau:
I)0(T'g




(1.23)
với:
2
3
0 0
1
( ) ( ) ( , ) ( )
2
d
I T và T T d


     
 

     
 
(1.24)
Sau cùng,
đưa tới công thức có dạng:
' (0) ( )
k i k
k i
g T T i
  
   

(1.25)

Giá trị T
k
(i) được tính từ các giá trị T trên một hình lục giác (mạng lưới
tam giác) và Baranov đã đưa ra các hệ số

i
, 
k
của palet để tính giá trị trường từ thu
về cực. Tuy nhiên, phương pháp của Baranov chỉ giới hạn khi độ khuynh I
 30
0
.
Sau
đó, Baranov và Naudy (1964) [9] đã đưa ra palet khác tính được cho những
vùng có I  16
0
30’ và Battacharyya (1960) [11] sử dụng chuỗi Fourier để tính cho
mọi giá trị I và về
sau có rất nhiều tác giả đưa ra các công thức tính kể cả vùng vĩ độ
thấp.
Việc tính toán trong miền không gian tương đối phức tạp nên ngày nay người
ta thường sử dụng phép tính trong miền số sóng mà chúng tôi sẽ trình bày trong
mục 1.3.3
.
1.2. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
1.2.1
Định nghĩa
Phép biến đổi Fourier ánh xạ một hàm số trong miền thời gian hay không
gian vào một miền khác là miền tần số hay miền số

sóng.
Chúng ta dùng ký hiệu F[u] để chỉ phép biến đổi Fourier của hàm f(x):
(1.26a)
 
 
iux
F u f x e dx






12
Hàm số f(x) tuần hoàn hoặc thỏa điều kiện khả tích:
 




dxxf
(1.26b)
2
u



là số sóng (đơn vị là nghịch đảo của khoảng cách, tương tự như đơn vị của
tần số góc là nghịch đảo của thời gian)
,


là độ dài sóng.
Khi u
= 0, phương trình (1.26) cho thấy biến đổi Fourier của hàm f(x) chỉ là
trị trung bình của hàm đó trên toàn trục x:
   
F 0 f x dx




(1.27)
Trong trường hợp tổng quát, biến đổi Fourier của hàm số f(x) là hàm phổ
F(u) thường có dạng một hàm phức và có thể được viết dưới dạng:

( )
( ) ( ) ( ) Re ( ) Im ( )
iux i u
F u f x e dx F u e F u i F u




   

(1.28)
Từ (1.28) người ta định nghĩa phổ biên độ là:
   
2
2

)(Im))((Re uFuFuF 
(1.29)
và phổ pha là:
 
Im ( )
( ) arctan arg ( )
Re ( )
F u
u F u
F u

  (1.30)
Năng lượng toàn phần của hàm f(x) được tính theo công thức Parserval:
2
E dx
F(u)




(1.31)
trong đó, |F(u)|
2
gọi là phổ mật độ năng lượng, biểu diễn sự phân bố năng lượng
của tín hiệu trên trục tần số.
Từ hàm phổ F(u), người ta sử dụng phép biến đổi Fourier ngược để tìm hàm
f(x) theo công thức:

13




 dueuFxf
iux
)(
2
1
)(

(1.32)
Biến đổi Fourier thuận (1.26) và biến đổi Fourier ngược (1.32) hợp thành cặp
biến đổi Fourier của hàm f(x), được ký hiệu:
)()( uFxf
F

Trong trường hợp hàm hai biến f(x,y), chúng ta có cặp biến đổi Fourier là:

( )
( , ) ( , )
i xu yv
F u v f x y e dxdy
 
 
 

 
(1.33a)
( )
2
1

( , ) ( , )
4
i xu yv
f x y F u v e dudv

 

 

 
(1.33b)
với u, v gọi là số sóng theo phương x và y, chúng tỉ lệ nghịch với bước sóng tương
ứng,
u = 2/
x
, v = 2/
y
.
Như vậy hàm f(x) và F(u) là hai cách khác nhau để xem xét một hiện tượng;
hai miền không gian và miền số sóng là hai bức tranh khác nhau để nhìn cùng một
hiện tượng.
Trong tính toán, người ta sử dụng phép biến đổi Fourier rời rạc và sử dụng
kỹ thuật tính biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform, FFT)
1.2.2 Một số tính chất của biến đổi Fourier
1.2.2.1 Đạo hàm
Đạo hàm của một hàm trong miền không gian tương đương với tích của hàm
đó với lũy thừa của số sóng trong miền số sóng. Nếu
)()( uFxf
F
 thì:

     
n
n
F
n
d
f x iu F u
dx
 (1.34)
Trong trường hợp hàm hai biến; nếu




F
f x, y F u, v
 thì:
       
n n
F
n n
f x,y iu iv F u,v
x y
 

 
(1.35)

14
Tính chất này thường được áp dụng nhiều nhất trong các bài toán từ và trọng

lực để tính đạo hàm theo phương ngang
.
1.2.2.2 Định lý tích chập
- Định nghĩa tích chập
Tích chập giữa hai hàm f(x) và g(x) được định nghĩa bằng tích phân sau:
     
h x f x g x x dx


  
 

(1.36)
và trong trường hợp hai biến:
     
h x, y f x , y g x x , y y dx dy


     
  

(1.37)
Từ định nghĩa này, chúng ta thấy công thức chuyển trường lên (1.5) là một
tích chập hai chiều.
- Định lý tích chập
Nếu trong miền không gian tích chập của f(x) và g(x) là hàm h(x), thì biến
đổi Fourier của h(x) sẽ tính được qua công thức:







H u F u G u

(1.38)
với,




F
f x F u

và




F
g x G u

.
Tương tự cho các hàm hai chiều:
(1.39)

V
ậy, tích chập trong miền không gian (hay là thời gian) sẽ biến đổi thành
các phép nhân đại số trong miền số sóng.
Ngược lạ

i, nếu f(x), g(x) và h(x) có biến đổi Fourier tương ứng là F(u), G(u)
và H(u
), và nếu






h x f x g x

thì:






H u,v =F u,v G u,v

15
     
1
H u F u' G u u ' du'
2


 



(1.40)
Hệ thức tương tự cũng có thể được viết cho trường hợp hàm 2 chiều.
1.3. ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG
Trong phần sau đây chúng tôi trình bày cách tính một số các phép biến đổi
trường trong miền số sóng qua phép biến đổi Fourier thuận, sau khi có kết quả trong
mi
ền số sóng, tính giá trị biến đổi trường trong miền không gian bằng phép biến đổi
Fourier ngược.
1.3.1. Tính chuyển trường lên
Công thức chuyển trường lên (1.5) được dùng để chuyển trường từ một mặt
đẳng mức lên một mặt mới xa nguồn trường hơn; đó là một tích phân 2 lớp
– đòi
hỏi tính toán phức tạp. Quá trình tính toán trở nên đơn giản khi thực hiện trong
miền Fourier
(Phan Lê Anh Quân (2005) [4]).
Phương trình (1.5) viết cho thế U, nó cũng được áp dụng cho trường ∆T, nên
(1.5)
được viết lại:
(1.41)
với:
 
 
u
3/2
2 2 2
z 1
x,y, z
2
x y z


  

 
(1.42)
là nhân của phép chuyển trường lên, ∆T(x’, y’,z
0
) là trường đo trên mặt phẳng có độ
cao z
0
, ∆T(x, y, z
0
- ∆z) là trường đo trên mặt phẳng có độ cao z
0
–z ở xa nguồn.
Công thức (1.41) là một tích chập, nên trong miền số sóng nó được viết:






0 u 0
F T x,y,z z F .F T x’,y’,z
     
   
   
(1.43)
     
0 0 u
T x, y,z z T x , y ,z x x , y y , z dx dy

 
 
     
        
 

16
với,


0
F T x,y,z z
  
 
 
là biến đổi Fourier của trường chuyển lên. Còn biểu thức
cho


u
F

có được bằng cách lấy biến đổi Fourier của (1.42):
Trước hết, lưu ý rằng:
 
u
1 1
F x, y, z F
2 z r


 
    
 
 
 
 
(1.44)
v
ậy biến đổi Fourier của (1.44) là:


k z
u
F e , z 0
 
   
(1.45)
trong đó, |k| =
2 2
u v

: số sóng toàn phần ; u, v lần lượt là số sóng theo phương x,
y.
Việc chuyển trường lên sẽ: (a) làm giảm biên độ tại mỗi số sóng, ngoại trừ
k 0

, (b) ứng với mỗi số sóng, độ suy giảm sẽ cao hơn so với các số sóng bé hơn
và (c) độ suy giảm càng cao khi
z


càng lớn.
Hàm (1.5) là một hàm số thực, không có thành phần pha, do đó khi chuyển
trường lên sẽ không có sự thay đổi về pha.
1.3.2 Tính đạo hàm theo phương ngang và phương thẳng đứng
1.3.2.1 Tính đạo hàm theo phương ngang
Trong miền số sóng, các đạo hàm theo phương ngang cũng tính được dễ
dàng qua công thức (1.34) mở rộng: (Phan Lê Anh Quân (2005) [4], Nguyễn Thị
Tâm (2006) [5])
(1.46 )
1.3.2.2 Tính đạo hàm bậc 2 theo phương thẳng đứng
Đạo hàm bậc hai theo phương thẳng đứng có thể tính được qua phương trình
Laplace:
     
n
n
F
n
d
f x iu F u
dx


17
2 2 2
2 2 2
T T T
z x y
     
  
  

(1.47)
Nếu T được đo trên mặt nằm ngang, phương trình Laplace có thể được
chuyển về miền Fourier theo phương trình (
1.34) như sau:
     
2
2
2 2
2
T
F u F T v F T k F T
z
 
 
     
 

 
(1.48)
Thừa số
2
k
trong phương trình (1.48) cho thấy sẽ khuếch đại bước sóng
ngắn nên đạo hàm bậc hai theo phương thẳng đứng làm nổi bật các nguồn ở
nông.
1.3.2.3 Tính đạo hàm bậc bất kỳ theo phương thẳng đứng
Mọi đạo hàm theo phương thẳng đứng đều có thể tính được trong miền số
sóng bằng cách sử dụng kết quả của phép chuyển trường lên. Giả sử chiều dương
trục z (thẳng đứng) là chiều hướng xuống,
z 0

 
, đạo hàm bậc nhất theo phương
thẳng đứng sẽ là:
(1.49)
Đổi qua miền số sóng:
(1.50)
Tương tự, chúng ta suy ra đạo hàm thẳng đứng bậc n là:
 
n
n
n
T
F k F T
z
 
 
 
 

 
(1.51)
1.3.3. Tính chuyển trường về cực
Trong miền số sóng, công thức tính có dạng tổng quát như phép chuyển
trường
[4]:
 





z 0
T x, y,z T x,y,z z
T x, y,z lim
z z
 
    

 
 




 
 
k z
z 0
k z
z 0
F T F T e
T
F lim
z z
1 e
lim F T
z
k F T
 
 
 

 
  

 

 
 
 

 

 

18
T
Pole
(u,v) = K(u,v).T
qs
(u,v) (1.52)
trong đó, T
Pole
(u,v) là biến đổi Fourier của trường từ chuyển về cực; T
qs
(u,v) là biến
đổi Fourier của trường từ quan sát và
K(u,v) là toán tử chuyển trường về cực.
Ở vùng vĩ độ cao (I >16,5
0
), K(u,v) tính theo công thức của Grant và Dodds
(1972) [17]:

     
2
1
( , )
sin cos cos
K u v
I i I D


 
 
 
(1.53)
Công t
hức này khá đơn giản và tính toán dễ dàng; tuy nhiên, nó vẫn không
tính được cho vùng vĩ độ thấp. Vì vậy
, nhiều tác giả đã phát triển cho vùng vĩ độ
thấp (I
0
 16,5
0
); công thức của Mac Leod và ccs. (1993) [19] như sau:
     
           
2
2 2 2 2 2 2
sin cos cos
( , )
sin cos cos sin cos cos
C C

I i I D
K u v
I I D I I D

 
  
 

   
   
   
(1.54)
t
rong đó, I : Độ từ khuynh.
D :
Độ từ thiên.
( / )
arctag u v


: hướng của số sóng (u, v lần lượt là số sóng theo
phương Bắc
– Nam và Đông – Tây).
I
C
: Độ từ khuynh hiệu chỉnh (|I
C
|  |I|).
1.4. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GẦN ĐÂY
1.4.1. Phương pháp tín hiệu giải tích

Phương pháp tín hiệu giải tích là sự kết hợp građien ngang và građien thẳng
đứng của dị thường từ. Hai građien này phụ thuộc vào vị trí của dị vật nhưng không
phụ thuộc phương từ hóa của nguồn
(Nabighian (1972) [22]). Nabighian [22] là
người đầu tiên áp dụng tín hiệu giải tích vào việc giải đoán tài liệu từ cho trường
hợp hai chiều; sau đó, phương pháp đã được mở rộng cho trường hợp ba chiều
[24],
đặc biệt là phương pháp tín hiệu giải tích mở rộng bậc hai của S.K. Hsu, J. C. Sibuet

19
và C.T. Shyu (1996) [18]. Sau đây là phần tóm tắt cơ sở của phương pháp cho
trường hợp 3-D.
Đối với trường hợp 3 chiều, tín hiệu giải tích đơn giản được cho bởi
(Nabighian (1984) [24]):
k
z
T
ij
y
T
i
x
T
)y,x(A
0
















(1.55)
với
i

,
j

và
k

là véc tơ đơn vị của trục x, y và z. T(x,y,z) là cường độ dị thường từ
được đo trên mặt phẳng x, y.
Biên độ của tín hiệu giải tích đơn giản được định nghĩa
:
2
z
2
y
2
x0

)T()T()T()y,x(A 
(1.56)
với,
z
T
T,
y
T
T,
x
T
T
zyx












là các građien ngang và građien
thẳng đứng.
Mở rộng phương trình (1.
56) sang bậc cao hơn gọi là tín hiệu giải tích được
nâng lên bậc n

(Hsu và ccs. (1996) [18]):
k
z
T
z
ij
z
T
y
i
z
T
x
)y,x(A
n
n
n
n
n
n
n










































(1.57)
và biên độ của nó là:
2
z
n2
y
n2
x
n
n
)T()T()T()y,x(A 
(1.58)
trong đó,
n
n
n
z



Trong quá trình phân tích, Hsu và các cộng sự đã chứng minh rằng việc lấy
đạo hàm bậc cao của phương trình (1.
57) và (1.58) thì phức tạp, không ổn định và
không cần thiết mà chỉ cần lấy đạo hàm tới bậc hai là đủ.
Vậy, từ phương trình (1.
58):

20
 với n =1, biên độ tín hiệu giải tích bậc 1 là:

2 2 2
1
( , ) ( ) ( ) ( )
x y z
A x y T T T
     
(1.59)
 với n = 2, biên độ tín hiệu giải tích bậc 2 là:
2
z
22
y
22
x
2
2
)T()T()T()y,x(A 
(1.60)
A
2
(x,y) là biên độ của tín hiệu giải tích bậc hai ứng với việc lấy đạo hàm bậc hai; biên
độ của tín hiệu giải tích đơn giản và tín hiệu giải tích bậc hai đều không phụ thuộc
vào hệ trục tọa độ. Người ta sử dụng bản đồ biên độ của tín hiệu giải tích được nâng
lên bậc hai này để phát hiện các dị thường từ và phương của chúng, từ đó dễ dàng xác
định các đứt gãy và ranh giới địa chất.
Từ giá trị cực đại cả biên độ tín hiệu giải tích đơn giản và biên độ của tín hiệu
giải tích bậc hai, có thể ước lượng được độ sâu đến mặt trên của ranh giới địa chất:
max
2
max

0
)y,x(A
)y,x(A
2)y,x(h

(1.61)
Ưu điểm của phương pháp tín hiệu giải tích so với những phương pháp khác
là việc tính toán có thể thực hiện bán tự động. Dù rằng công thức (1.
61) xác định độ
sâu không phụ thuộc vào
 (tham số do ảnh hưởng của môi trường đất đá xung
quanh), nhưng thực tế giá trị của biên độ của tín hiệu giải tích n bậc hai


max
y,xA
2
và biên độ của tín hiệu giải tích đơn giản


max
y,xA
0
đã chịu ảnh hưởng
của hệ số này.
Ngoài ra, các dị thường thực tế nằm gần nhau ảnh hưởng lên nhau nên sẽ làm
sai lệch kết quả xác định vị trí và độ sâu. Với giả thiết ranh giới của các cấu tạo địa
chất có độ sâu bên dưới là vô hạn cũng không có ý nghĩa thực tế nên chúng ta phải
giả sử là độ sâu đủ lớn để phương pháp có độ phân giải tốt. Ngoài ra, với các ranh
giới địa chất gần xích đạo hoặc các ranh giới có phương Nam

-Bắc thì biên độ của
tín hiệu được nâng lên bậc hai nhỏ (do ảnh hưởng của tham số
).

21
Tuy nhiên, các yếu tố trên cũng không làm kém đi tính đơn giản và hiệu quả
của phương pháp, nên nó càng được sử dụng rộng rãi trong phân tích tài liệu từ.
1.4.2. Phương pháp giải chập Euler
Phương pháp Euler được nhiều tác giả sử dụng để phân tích dị thường từ
(Thompson (1982) [34], Barongo (1984) [12], Reid (1990) [28], Đặng Văn Liệt
(2006) [2], Trần Thị Thanh Tâm (2006) [5]) và dị thường trọng lực (Marson và
Klingele (1993) [20]).
Gọi T là cường độ dị thường từ toàn phần được đo sát mặt đất, tạo ra do
vật thể có dạng hình học đơn giản (một khối cầu hoặc khối trụ). Theo Thompson
(1982) [34], phương trình thuần nhất dùng để xác định vị trí và độ sâu của dị vật có
dạng:
)()()()(
000
TB
z
T
zz
y
T
yy
x
T
xx 














(1.62)
trong đó, (x
o
, y
o
, z
o
) là vị trí của nguồn từ (tâm khối cầu tích từ). Dị thường từ toàn
phần
T được đo tại tọa độ (x, y, z); B là từ trường khu vực;  là chỉ số cấu trúc của
dị vật. Theo Thompson
(1982) [34],  là số đo tỉ số giữa độ biến thiên trường với
khoảng cách của trường, vậy trường từ của một hình cầu thì giảm theo nghịch đảo
của tam thừa khoảng cách, nên chỉ số cấu trúc của hình cầu là 3; trong khi một hình
trụ thẳng, hẹp đứng tạo ra một trường từ giảm theo nghịch đảo của bình phương
khoảng cách, nên có chỉ số cấu trúc là 2
; các vật thể có dạng mở rộng như một tấm
phẳng vô hạn có thể xem là tập hợp của vô số các lưỡng cực, có chỉ số cấu trúc nằm
trong khoảng từ 0 đến 3. Thực tế, ta không biết nguồn gốc chỉ số cấu trúc các vật

thể mở rộng. Bảng 1.
1 cho thấy chỉ số cấu trúc của một số dị vật có hình dạng khác
nhau.
Thompson (1982) [34
] đề nghị đối với vùng tiếp xúc thì chỉ số cấu trúc nhỏ
hơn 0,5. Giá trị này dẫn đến việc ước lượng độ sâu, ngay cả khi đo các vật thể lý
tưởng. Trong Bảng
1.1, giá trị của vùng tiếp xúc nghiêng là 0, nên cần phải đưa vào
một phần bù A. Dạng thích hợp của phương trình Euler lúc này là:

22
0 0 0
( ) ( ) ( )
T T T
x x y y z z A
x y z
  
     
  
(1.63)
Trong biểu thức (1.63), A là hệ số phụ thuộc vào biên độ, đường phương và
độ nghiêng, chúng không thể dễ dàng tách rời như một thông tin độc lập.
Phương trình Euler rất hiệu quả khi xác định vị trí vật thể dạng lý tưởng, như
dạng khối cầu hoặc hình trụ, nhưng có nhiều khó khăn khi áp dụng cho những phân
bố nguồn thực tế vì khi đó N có thể không là hằng số đối với độ sâu và vị trí của
nguồn, vì trường đo đạt không đơn giản là hàm 1/r mà là một tích phân trên sự phân
bố toàn nguồn. Theo Reid và ccs
. (1990) [28] cho rằng dị thường trên những vật thể
mở rộng, như những vỉa nghiêng mỏng thì thoả phương trình Euler, nhưng trường
hợp này hiếm khi xảy ra.

Ravat (1996) [29] kết luận rằng phương pháp này chỉ đúng
khi dị thường có hệ số tắt dần là hằng số tương ứng với khoảng cách tính từ nguồn.
Bảng 1.1: Chỉ số cấu trúc theo Thompson (1982)
Mô hình Chỉ số cấu trúc N
Hình cầu (hoặc vật thể kết khối) 3
Thanh thẳng đứng 2
Vỉa 1 -2
Vùng tiếp xúc 0
Dạng 3-D của các phương trình Euler (1.62) hoặc (1.63) dễ dàng áp dụng
cho dữ liệu trên mạng lưới ô vuông.
1.4.3. Phương pháp số sóng địa phương
Đối với trường dị thường từ T (x,z), số sóng địa phương hai chiều (2-D) k
x
được định nghĩa là sự thay đổi vận tốc pha của tín hiệu giải tích (theo Bracewell
(1965) [10], M. Pilkington và P. Keating (2006) [27],
Bùi Thị Ánh Phương (2007)
[3],
Trương Thị Bạch Yến (2008) [7]):