Tài liệu Hướng dẫn tự học Giải tích 12

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG
Kí hiệu Tên gọi Diễn giải
Tài liệu lưu hành nội bộ
1
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
oOo
 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Dấu nhị thức bậc nhất:
• Dạng f(x) = ax + b (a ≠ 0). Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.
• Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a ≠ 0):
x
-∞ -
a
b
+∞
ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a
2. Dấu tam thức bậc hai:
• Dạng f(x) = ax
2
+ bx + c (a ≠ 0). Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình ax
2
+ bx + c = 0.
• Tính ∆ = b
2
- 4ac
• Nếu ∆ < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm và
x
-∞ +∞
f(x) cùng dấu với a

• Nếu ∆ = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x = -
a
b
2
và
x
-∞ -
a
b
2
+∞
f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a
• Nếu ∆ > 0 thì: phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) và
x
-∞ x
1
x
2
+∞
f(x) cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a
* Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo
∆

' nếu hệ số b chẵn.
3. Xét dấu biểu thức và giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương
trình một ẩn:
Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Giải được bất phương trình
chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn.
Ví dụ1: Xét dấu các biểu thức sau:
a) f(x) = (x - 1)(x
2
- 2x - 3); b) f(x) =
2
)1(
1
+
−
x
; c) f(x) =
2
)1(
2
−x
; d) f(x) =
5
21
2
++
−
xx
x
.
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:

a) x
2
+ 2x + 3 < 0; b) (x - 1)(x + 1)
2
≥ 0; c)
12
5
1
2
−
≤
− xx
; d)
1
1
13
2
<
−
+−
x
xx
.
Ví dụ 3: Giải các hệ bất phương trình sau: a)



≤+−−
>−
043

01
2
xx
x
; b)



≥+−
>−+
086
0152
2
2
xx
xx
.
4. Dấu các nghiệm phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (*) (∆ = b
2
- 4ac)
Phương trình (*) có hai
nghiệm trái dấu (x
1
< 0 < x
2
)
khi và chỉ khi: P =

a
c
< 0.
Phương trình (*) có hai nghiệm
âm phân biệt (x
1
< x
2
< 0) khi và
chỉ khi:









<−=
>=
>∆
≠
0
0
0
0
a
b
S

a
c
P
a
Phương trình (*) có hai nghiệm
dương phân biệt (0 < x
1
< x
2
) khi
và chỉ khi:









>−=
>=
>∆
≠
0
0
0
0
a
b

S
a
c
P
a
5. Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c (a ≠ 0).
Tài liệu lưu hành nội bộ
2
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
a) f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔



≤∆
>
0
0a
; b) f(x) ≤ 0 ∀x ∈ R ⇔



≤∆
<
0
0a
.
6. Chia đa thức:

Yêu cầu biễu diễn
)(
)(
)(
)(
)(
xg
xr
xk
xg
xf
+=
(với f(x) là đa thức có bậc lớn hoặc bằng bậc của g(x)), trong đó k(x)
là thương và r(x) là dư trong phép chia
)(
)(
xg
xf
.
Ví dụ 1: Biễu diễn các phân thức dạng
)(
)(
xg
xf
thành dạng
)(
)(
)(
xg
xr

xk +
:
a)
1
2
+
−
x
x
; b)
1
52
2
−
−+
x
xx
; c)
2
13
3
−
+−
x
xx
; d)
1
1
2
3

−
−
x
x
;
e)
1
13
2
3
−
++
x
xx
; f)
x
xx
−
+−−
1
12
2
; g)
22
23
3
−
−+
x
xx

; h)
x
xxx
21
25
23
−
+−−
.
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau đây thành tích của nhị thức bậc nhất với một đa thức có bậc nhỏ hơn đa
thức đã cho:
a) -x
3
+ 3x
2
- 3x + 1; b) x
3
+ x
2
- 2x - 2; c) x
3
+ (m - 1)x
2
- m.
7. Các khái niệm liên quan đến hàm số:
Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức chứa biến x.
• Tập xác định của hàm số: D = {x ∈ R  f(x) có nghĩa}.
• Giá trị của hàm số y = f(x) tại x
0
là y

0
= f(x
0
).
Ví dụ 1: Giá trị của hàm số y = x
2
+ 1 tại x
0
= 2 là 5
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) =
7
23
+
−
x
x
(1)
a) Tính f(2), f(-1);
b) Tính giá trị của hàm số tại x = -2;
c) Tìm tọa độ điểm M có hoành độ x = 0 trên đồ thị hàm số
(1);
d) Tìm trên đồ thị hàm số (1) những điểm có tung độ bằng
0.
Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y =
4
x
– 2
2
x

+ 3; b) y =
x
x
−
+
1
13
;
c) y =
1
1
2
−
+−
x
xx
; d) y =
22
)9(
2
−x
x
;
e) y =
20
2
−− xx
; f) y =
2
16 x

x
−
.
8. Tính giới hạn:
Yêu cầu tính được các giới hạn dạng:
)(lim
0
xf
xx
+
→
,
)(lim
0
xf
xx
−
→
,
)(lim xf
x ±∞→
.
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
a)
x
x
x
−
+
+

→
1
13
lim
1
; b)
x
x
x
−
+
−
→
1
13
lim
1
; c)
x
x
x
−
+
+∞→
1
13
lim
; d)
x
x

x
−
+
−∞→
1
13
lim
;
e)
)13(lim
23
+−+
+∞→
xxx
x
; f)
)13(lim
23
+−+
−∞→
xxx
x
; g)
2
1
4
lim
x
x
+

+∞→
; h)
2
1
4
lim
x
x
+
−∞→
;
i)
20
12
lim
2
−−
−
+∞→
xx
x
x
; j)
20
12
lim
2
−−
−
−∞→

xx
x
x
; k)
x
x
x
4
lim
2
+
±∞→
; l)
2
2
4
lim
x
x
x
−
±∞→
.
9. Đạo hàm:
a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm, khi đó:
Tài liệu lưu hành nội bộ
3
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12
(u + u - w)' = u' + v' - w'; (uv)' = u'v + v'u; (k.u)' = k.u' ;
2

''
)'(
v
uvvu
v
u −
=
2
'
)'
1
(
v
v
v
−=
.
b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))
(C)' = 0
(x
α
)' = αx
α
-1
(α ∈ R, x > 0)
x
x
2
1

)'( =
(x > 0)
2
1
)'
1
(
x
x
−=
(x ≠ 0)
(u
α
)' = αu
α
-1
.u'(α ∈ R, u > 0)
u
u
u
2
'
)'( =
(u > 0)
2
'
)'
1
(
u

u
u
−=
(u ≠ 0)
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(tanx)' =
x
2
cos
1
(x ≠
π
π
k+
2
, k ∈ Z)
(cotx)' = -
x
2
sin
1
(x ≠ kπ, k ∈ Z).
(sinu)' = cosu.u'
(cosu)' = -sinu.u'
(tanu)' =
u
u
2
cos

'
(u ≠
π
π
k+
2
, k ∈ Z)
(cotu)' = -
u
u
2
sin
'
(u ≠ kπ, k ∈ Z).
c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt:
• (
dcx
bax
+
+
)' =
2
)( dcx
bcad
+
−
•
2
22
)(

2
)'(
edx
dcbeaexadx
edx
cbxax
+
−++
=
+
++
•
22
2
2
2
)(
)(2)(
)'(
fexdx
ecbfxdcafxbdae
fexdx
cbxax
++
−+−+−
=
++
++
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau đây:
a) y = x

3
+
x
1
-
1
2
+x
; b) y =
2
3
+
−
x
x
; c) y =
2
1
−
−
x
x
; d) y =
1
1
+x
.
d) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x
0

; y
0
) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) là f'(x
0
) và phương trình tiếp
tuyến tại M(x
0
; y
0
) có dạng: y - y
0
= f'(x
0
)(x - x
0
).
Ví dụ: Cho hàm số y = x
2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đó, biết:
a) Tiếp điểm là điểm (1; 1);
b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4;
c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 2;
d) Tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng y =
1
2
1
+x
.
10. Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y = ax + b & y = ax
2

+ bx + c (a ≠ 0):
• u cầu lập được bảng biến thiên và vẽ được đồ thị các hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.
Ví dụ:Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x - 1; b) y = 1 - x; c) y = 2; d) x = -3; e) y = x.
11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường:
• u cầu tìm được tọa độ giao điểm của hai đường có phương trình cho trước.
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:
a) (C): y = x
2
- 2x + 2 và d: y = x; b) (C): y = x
3
+ 4x
2
+ 4x + 1 và d: y = x + 1;
c) (C): y = x
3
+ 3x
2
+ 1 và d: y = 2x + 5; d) (C): y = x
3
- 3x và d: y = x
2
+ x - 4.
Ví dụ 2: Tìm tọa giao điểm của các đường sau đây với hai trục tọa độ:
a) y = x + 1; b) y = x
2
+ 1; c) y = x
2
- 5x + 6; d) y = x
4

- 4x
2
+ 3.
 Ghi chú:


Tài liệu lưu hành nội bộ
4
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Tài liệu lưu hành nội bộ
5
O
y
x
O
y
x
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12
§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1) Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a; b] hoặc K = [a; b])
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu
với mọi cặp x
1
, x
2
thuộc K sao cho:
x
1
< x
2
⇒ f(x

1
) < f(x
2
)
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu
với mọi cặp x
1
, x
2
thuộc K sao cho:
x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
Bảng biến thiên:

x a b

−
→
bx
lim

y

+
→
ax
lim

Bảng biến thiên:

x a b

+
→
ax
lim

y

−
→
bx
lim

Đồ thị hàm số đồng biến
là đường đi lên từ trái sang phải
Đồ thị hàm số nghịch biến
là đường đi xuống từ trái sang phải
2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:
 Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thò hàm số y = f(x) để hoàn thiện bảng biến thiên và rút
ra nhận xét:
a) y = x
2

.
TXĐ: D = R
y' = 2x
y' = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0
Bảng biến thiên: Đồ thò:
x -∞ 0 +∞
y'
- 0 +
y
+∞ +∞
0
b) y =
x
1
.
TXĐ: D =
y' =
Bảng biến thiên: Đồ thị:
x
-∞ 0 +∞
y'

y
Nhận xét: Nếu y' < 0 trên K thì hàm số trên K.
Nếu y' > 0 trên K thì hàm số trên K.
Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'(x) > 0
∀
x
∈

K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'(x) < 0
∀
x
∈
K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
Tài liệu lưu hành nội bộ
6
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12
* Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K, K gọi chung là khoảng đơn
điệu của hàm số y = f(x).
Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số
a) y = 2x
4
+ 1; b) y = sinx trên khoảng (0; 2π).
Giải:

* Chú ý: Quan sát đồ thò hàm số y = x
3
và trả lời câu hỏi:
Khẳng đònh sau đúng hay sai? vì sao?
"Nếu hàm số y = f(x) tăng trên R thì f'(x) > 0 với mọi x ∈ R".
Trả lời:




Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)
≥
0 (f'(x)
≤
0),
∀
x
∈
K và f'(x) = 0
chỉ tại một số hữu hạn điểm x
0
thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

•
Nếu f'(x) = 0
∀
x
∈
K thì f(x) khơng đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm hằng y = c trên K)
II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x):
 Trình bày bài giải:
• Tìm tập xác định D của hàm số. (D = {x
∈
R | f(x) có nghĩa})
• Tính đạo hàm f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, , n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
khơng xác định.
• Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên).
• Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) =
22
2
1
3
1
23
+−− xxx
Giải:

Tài liệu lưu hành nội bộ
7
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12












Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y = 2x
3
+ 6x
2
+ 6x - 7; b) y = x
4
- 2x
2

- 3; c) y = -
2
4
x
- x
2
+
2
3
; d) y =
1
1
+
−
x
x
.
Giải:

2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ: Chứng minh rằng x > sinx trên khoảng (0;
2
π
).
Giải:




Tài liệu lưu hành nội bộ
8
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12






 Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y =
3
1
x
3
+ 3x
2
- 7x - 2; b) y = -x

3
+ x
2
- 5; c) y = 3x
3
- 8x
2
;
d) y = x
3
- 6x
2
+ 9x; e) y = x
3
- 3x
2
- x + 3; f) y = 2x
3
- 6x + 2.
Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y = x
4
- 2x
2
+ 3; b) y = x
4
+ 8x
2
+ 5;
c) y = 16x + 2x

2
-
3
16
x
3
- x
4
; d) y =
4
x
– 2
2
x
+ 3.
Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y =
x
x
−
+
1
13
; b) y =
7
23
+
−
x
x

; c) y =
1
1
−
+
x
x
.
Bài 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y =
1
1
2
−
+−
x
xx
; b) y =
x
xx
−
−
1
2
2
; c) y =
1
32
2
+

+−
x
xx
.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y =
9
2
2
−x
x
; b) y =
20
2
−− xx
.
Tài liệu lưu hành nội bộ
9
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y =
1
2
+x
x
đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞;
-1) và (1; +∞). (HD: Chứng minh y'
≥
0
∀

x
∈
(-1;1) và y'
≤
0
∀
x
∈
(-
∞
;-1)
∪
(1; +
∞
))
Bài 3: Chứng minh hàm số y =
2
2 xx −
đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2).
Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) tanx > x (0 < x <
2
π
); b) tanx > x +
3
3
x
(0 < x <
2
π

).
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI











§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU:
Lập bảng biến thiên của hàm số sau:
y =
xxx
2
5
2
3
6
1
23
++

Đồ thị hàm số y =
xxx
2
5
2
3
6
1
23
++
Tài liệu lưu hành nội bộ
10
Ti liu hng dn t hc mụn Gii tớch 12
nh ngha: Cho hm s y = f(x) xỏc nh v liờn tc trờn khong (a; b) (cú th a l -; b l +) v im x
0
(a; b).
a) Nu tn ti s h > 0 sao cho f(x) < f(x
0
) vi mi x (x
0
- h; x

0
+ h) v x x
0
thỡ ta núi hm s f(x) t
cc i ti x
0
.
b) Nu tn ti s h > 0 sao cho f(x) > f(x
0
) vi mi x (x
0
- h; x
0
+ h) v x x
0
thỡ ta núi hm s f(x) t
cc tiu ti x
0
.
* Chỳ ý:
a) Nu hm s f(x) t cc i (cc tiu) ti x
0
thỡ x
0
gi l im cc i (im cc tiu) ca hm s;
f(x
0
) c gi l giỏ tr cc i (giỏ tr cc tiu) ca hm s, kớ hiu l f
C
(f

CT
) hay y
C
(y
CT
), cũn im M(x
0
;
f(x
0
)) gi l im cc i (im cc tiu) ca th hm s.
b) Cỏc im cc i, im cc tiu gi chung l im cc tr. Giỏ tr cc i (giỏ tr cc tiu) cũn gi l
cc i (cc tiu) v c gi chung l cc tr ca hm s.
c) Nu hm s y = f(x) cú o hm trờn khong (a; b) v t cc tr ti x
0
thỡ f'(x
0
) = 0.
II. IU KIN HM S Cể CC TR:
nh lớ: Gi s hm s y = f(x) liờn tc trờn khong K = (x
0
- h; x
0
+ h) v cú o hm trờn K hoc
trờn K \{x
0
}, h > 0.
a) Nu f'(x) > 0 trờn khong (x
0
- h; x

0
) v f'(x) < 0 trờn khong (x
0
; x
0
+ h) thỡ x
0
l mt im cc i
ca hm s f(x).
b) Nu f'(x) < 0 trờn khong (x
0
- h; x
0
) v f'(x) > 0 trờn khong (x
0
; x
0
+ h) thỡ x
0
l mt im cc tiu
ca hm s f(x).
III. QUY TC TèM CC TR:
1. Quy tc 1: Tỡm cỏc im cc tr ca hm s y = f(x)
Tỡm tp xỏc nh.
Tớnh f'(x). Tỡm cỏc im x sao cho ti ú f'(x) bng 0 hoc f'(x) khụng xỏc nh.
Lp bng bin thiờn.
T bng bin thiờn suy ra cỏc im cc tr.
x x
0
- h x

0
x
0
+ h
f'(x) + 0 -
f(x)
y
C
x x
0
- h x
0
x
0
+ h
f'(x) - 0 +
f(x)

y
CT
"o hm i du t dng sang õm" "o hm i du t õm sang dng"
Vớ d 1: Tỡm cỏc im cc tr ca hm s y = x
3
- x
2
- x + 3.
Gii:

Vớ duù 2: Tỡm cửùc trũ cuỷa haứm soỏ y =
1
13
+
+
x
x
.
Gii:

Ti liu lu hnh ni b
11
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12

 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm cực trò của hàm số f(x) = x(x
2
- 3)
2. Quy tắc 2:
Đònh lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x
0
- h; x
0
+ h), với h > 0. Khi đó:
a) Nếu



>
=
0)(''
0)('
0
0
xf
xf
thì x
0
là điểm cực tiểu. b) Nếu




<
=
0)(''
0)('
0
0
xf
xf
thì x
0
là điểm cực đại.
Quy tắc 2:
• Tìm tập xác định.
• Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu x
i
(i = 1, 2, ) là các nghiệm của nó.
• Tính f''(x) và tính f''(x
i
).
• Dựa vào dấu của f''(x
i
) để suy ra tính chất cực trị của điểm x
i
.
Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) f(x) =
4
1
x

4
- 2x
2
+ 6; b) f(x) = sin2x.
Giải:

 Ghi chú:












Tài liệu lưu hành nội bộ
12
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12






BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x
3
+ 3x
2
- 36x - 10; b) y = x
4
+ 2x
2
- 3; c) y = x +
x
1
;
d) y = x
3
(1 - x)
2
; e) y =
1
2
+− xx
.
Bài 2: Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x
4
- 2x
2
+ 1; b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx; d) y = x
5
- x
3

- 2x + 1.
Bài 3: Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 2.
Bài 4: Tìm các giá trị của m để x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số y =
1
1
2
+
−+−
x
mmxx
.
Bài 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y =
mx
mxx
+
++ 1
2
đạt cực đại tại x = 2.
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x
3
- mx
2
- 2x + 1 luôn có một điểm cực đại
và một điểm cực tiểu. (HD: Chứng minh y' = 0 có hai nghiệm phân biệt)
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho hàm số y = x

3
- 6x
2
+ 3(m + 1)x - m - 6. Xác định m sao cho:
a) Hàm số có cực trị; b) Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu.
Bài 2: Tìm a và b để các cực trị của hàm số y =
3
5
a
2
x
3
+ 2ax
2
- 9x + b đều là những số dương và x
0
=
9
5
−
là
điểm cực đại.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu lưu hành nội bộ
13
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Tài liệu lưu hành nội bộ
14
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. ĐỊNH NGHĨA:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)
≤
M với mọi x thuộc D và tồn
tại x
0
∈
D sao cho f(x
0
) = M. Kí hiệu M =
D
max
f(x).
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)

≥
m với mọi x thuộc D và tồn
tại x
0
∈
D sao cho f(x
0
) = m. Kí hiệu m =
D
min
f(x).
II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG:
 Quan sát đồ thị các hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng:
Giá trị lớn nhất của hàm số f(x)= -x
2
+ 4x - 5 trên
(-∞; +∞) là: tại x =
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x - 5 +
x
1
trên
(0; +∞) là: tại x =
 Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng (a; b).
 Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), từ đó suy ra kết luận.
(Nếu bài tốn khơng chỉ ra khoảng K thì ta tìm GTLN, GTNN trên tập xác định)
x a x
0

f'(x)

b
+ -
f(x)
GTLN
x a x
0
b
f'(x) - +
f(x)

GTNN
Trong đó: f'(x) = 0 hoặc khơng xác định tại x
0
.
Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = x - 5 +
x
1
trên khoảng (0; +∞).
Giải:










Ví dụ 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) f(x) = -
1
1
2
+x
; b) f(x) =
x
1
trên (0; 1).
Giải:
Tài liệu lưu hành nội bộ
15
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN:
1/ Đònh lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất trên đoạn đó.
 Quan sát đồ thò hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng:
Giá trò lớn nhất của hàm số y = x
3
- x
2
- x + 2 trên
đoạn [0; 2] là: tại x =
Giá trò nhỏ nhất của hàm số y = x
3
- x
2
- x + 2 trên
đoạn [0; 2] là: tại x =
2/ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:
• Tìm các điểm x

1
, x
2
, , x
n
trên khoảng (a; b), tại đó f'(x
i
) = 0 hoặc khơng xác định (i = 1, 2, n).
• Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(b).
• Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong {f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(b)}. Ta có:
[ ]
ba;
max
f(x) = M,
[ ]
ba;
min
f(x) = m.

Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x
3
- 3x
2
- 12x + 10 trên [-3; 1].
Giải:










Tài liệu lưu hành nội bộ
16
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12




Ví dụ 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y = sinx trên các đoạn [
6
7
;
6
ππ

] và [
π
π
2;
6
].
Giải:














* Chú ý:
• Nếu hàm số y = f(x) đồng biến
trên [a; b] thì:

];[
max
ba
y
= f(b),

];[
min
ba
y
= f(a)
• Nếu hàm số y = f(x) nghòch biến
trên [a; b] thì:

];[
max
ba
y
= f(a),
];[
min
ba
y
= f(b)

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = -x
3
+ 1 trên [-1; 1].
Giải:

IV. ỨNG DỤNG:
Ví dụ: Cho một tấm nhôm hình vuông
cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình
vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại
như hình vẽ để được một cái hộp không
nắp. Tính cạnh của các hình vuông bò cắt
sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.
Giải:






Tài liệu lưu hành nội bộ
17
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

 Ghi chuù:











Tài liệu lưu hành nội bộ
18
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x
3

- 3x
2
- 9x + 35 trên [-4; 4] và [0; 5];b) y = x
4
- 3x
2
+ 2 trên [0; 3] và [2; 5];
c) y =
x
x
−
−
1
2
trên [2; 4] và [-3; -2]; d) y =
x45 −
trên [-1; 1].
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
xx +−
2
4
.
Bài 3: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a) y =
2
1
4
x+
; b) y = 4x
3

- 3x
4
; c) y = x +
x
4
(x > 0);
d) y = |x|; e) y =
2
4 x
x
+
; f) y =
4
1
1
x+
.
Bài 4: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. (HD:
Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và chu vi của hình chữ nhật theo x.)
Bài 5: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48cm
2
, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ
nhất. (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và diện tích hình chữ nhật theo x.)
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y =
2
3
2
2

++
+
xx
x
; b) f(x) = -3x
2
+ 4x - 8 trên [-2;
2
3
); c) y = x -
x
1
trên (0; 2].
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +
1
2
−x
với x > 1.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x
2
- 3x + 2 trên đoạn [-10; 10].
Bài 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a) y = 2sin
2
x + 2sinx - 1; b) y = cos
2
2x - sinxcosx + 4.
Bài 5: Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.
Bài 6: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.
Bài 7: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng

hằng số a (a > 0).
Bài 8: Cho hàm số
4 2
2 3 2 1y x x x= − + +
. Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến
đường thẳng (d): y = 2x - 1 là nhỏ nhất.
Bài 9: Tìm x để các hàm số sau đây đạt giá trị lớn nhất:
a) y = x(6 - x), x ∈[0; 6]; b) y = (x + 3)(5 - 2x), x ∈[-
2
5
;3
].
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI






Tài liệu lưu hành nội bộ
19
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
§4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
 Quan sát đồ thị hàm số y =
2
1
−
−
x
x

, trả lời các câu hỏi sau:
• Tính các giới hạn
2
1
lim
2
−
−
+
→
x
x
x
và
2
1
lim
−
−
+∞→
x
x
x
.
• Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ
thị hàm số đến đường thẳng y = 1 càng gần số
nào khi x → ± ∞? và đồ thị hàm số như thế
nào với đường thẳng y = 1 khi x → ±∞?
• Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ
thị hàm số đến đường thẳng x = 2 càng gần số

nào khi x → 2
+
và khi x →2
-
và đồ thị hàm số
như thế nào với đường thẳng x = 2 khi x → 2
+
và khi x →2
-
?
I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +
∞
), (-
∞
; b) hoặc (-
∞
; +
∞
)). Đường thẳng y = y
0
là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
+∞→x
lim
f(x) = y
0
(hoặc
−∞→x
lim

f(x) = y
0
).
* Chú ý: Nếu
lxfxf
xx
==
−∞→+∞→
)(lim)(lim
, ta viết chung là
lxf
x
=
±∞→
)(lim
.
II – ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
Định nghĩa: Đường thẳng x = x
0
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y
= f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
+
→
0
lim
xx
f(x) = +
∞
.
(hoặc

−
→
0
lim
xx
f(x)= -
∞
;
+
→
0
lim
xx
f(x) = -
∞
;
−
→
0
lim
xx
f(x) = +
∞
)
Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) y =
42
1
+
−

x
x
; b) y =
x
1
; c) y =
1
3
2
−
−+
x
xx
.
Giải:

Tài liệu lưu hành nội bộ
20
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

 Ghi chuù:






BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) y =
12
23
+
−
x
x
; b) y =
3

5
+−
+
x
x
; c) y =
x
x
−2
; d) y =
1
7
+
+−
x
x
;
e) y =
1
4
+
−
x
; f) y =
25
52
−
−
x
x

; g) y =
1
7
−
x
; h) y =
x
2
.
Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
a) y =
2
9
2
x
x
−
−
; b) y =
2
2
523
1
xx
xx
−−
++
; c) y =
1
23

2
+
+−
x
xx
;
d) y =
4
3
2
−
+
x
x
; e) y =
4
1
2
2
+−
+−
x
xx
; f) y =
1
1
−
+
x
x

.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho hàm số y =
1
12
+
−
x
x
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị (C), tìm điểm M thuộc
(C) sao cho IM nhỏ nhất.
Bài 2: Cho hàm số y =
3
2
−
+
x
x
(1). Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số (1) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm
cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI






Tài liệu lưu hành nội bộ
21
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
 Điểm uốn của đồ thị hàm số:
Loõm
Loài
O
x
y
Ñieåm uoán
• Điểm uốn của đồ thị hàm số là điểm I(x
0
; y
0
) với x
0
là nghiệm
phương trình y'' = 0.
• Nếu hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0) có hai cực trị thì
điểm uốn là trung điểm hai điểm cực trị của đồ thị.
* Nhận xét:
Hàm bậc ba hoặc có một điểm uốn hoặc không có điểm uốn.
Hàm bậc bốn trùng phương hoặc có hai điểm uốn hoặc không có
điểm uốn.
Phần đồ thị hai bên điểm uốn khác nhau về hình dáng: bên
"lồi" lên, bên "lõm" xuống.
I- KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax

3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
• Tập xác định: D = R
• y' = f'(x)
y' = 0: giải phương trình f'(x) = 0.
• y'' = f''(x)
y'' = 0. Kết luận điểm uốn I.
• Tính các giới hạn
y
x −∞→
lim
= ,
y
x +∞→
lim
= (chỉ cần kết quả, không cần giải thích)
• Vẽ bảng biến thiên.
+ Kết luận các khoảng đơn điệu.
+ Kết luận cực trị của hàm số.
• Điểm đặc biệt:
Điểm cực trị (nếu có)
Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y.
Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.
• Đồ thị: đồ thị hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.
Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = x

3
+ 3x
2
- 4; b) y = -x
3
+ 3x
2
- 4x + 2; c) y =
3
3
x
- x
2
+ x + 1.
Giải:

Tài liệu lưu hành nội bộ
22
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12

2. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
• Tập xác định: D = R
• y' = f'(x)
y' = 0: giải phương trình f'(x) = 0.
• Tính các giới hạn
y
x −∞→
lim
= ,
y
x +∞→
lim
= (chỉ cần kết quả, khơng cần giải thích)
• Vẽ bảng biến thiên.
+ Kết luận các khoảng đơn điệu.
+ Kết luận các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

• Điểm đặc biệt:
Điểm cực trị;
Tài liệu lưu hành nội bộ
23
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12
Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y;
Giao điểm với trục hồnh (nếu có): y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.
• Đồ thị: đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
Ví du: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = x
4
- 2x
2
- 3; b) y = -
2
4
x
- x
2
+
2
3
.
Giải:

3. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y =
dcx
bax
+
+
(c ≠ 0, ad - bc ≠ 0)
• Tập xác định: D = R\{
c
d
−

}
• y' = f'(x)
• Tính các giới hạn:
y
x −∞→
lim
=
c
a
,
y
x +∞→
lim
=
c
a
⇒ Tiệm cận ngang y =
c
a
Tài liệu lưu hành nội bộ
24
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12
y
xx
+
→
0
lim
= ,
=

−
→
y
xx
0
lim
⇒ Tiệm cận đứng x = x
0
(chỉ cần kết quả, khơng cần giải thích)
• Vẽ bảng biến thiên.
Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Hàm số khơng có cực trị
• Điểm đặc biệt: Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y.
Giao điểm với trục hồnh: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.
• Đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y =
1
2
+
+−
x
x
; b) y =
12
2
+
−
x
x

.
Giải:

II – SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1/ Tọa độ giao điểm của hai đồ thò:
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường: (C) y = x
2
+ 2x - 3 và d: y = 2x + 1.
Giải:

Tài liệu lưu hành nội bộ
25