Đề thi thử Đại học Môn Toán năm 2010 chuyên Trần Phú Hải Phòng

- Thư viện sách trực tuyến
SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO HẢI PHÒNG

ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN 2 – THÁNG 2/2010
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ Môn thi: TOÁN HỌC – Khối A, B

Thời gian: 180 phút
ðỀ CHÍNH THỨC

Câu I:

Cho hàm số
( )
x 2
y C .
x 2
+
=
−

1. Khảo sát và vẽ
(
)
C .

2. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
, biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm
(

)
A 6;5 .
−

Câu II:
1. Giải phương trình:
cosx cos3x 1 2 sin 2x
4
π
 
+ = + +
 
 
.
2. Giải hệ phương trình:
3 3
2 2 3
x y 1
x y 2xy y 2

+ =


+ + =



Câu III:
Tính
( )

4
2 3x
4
dx
I
cos x 1 e
π
−
π
−
=
+
∫

Câu IV:
Hình chóp tứ giác ñều SABCD có khoảng cách từ A ñến mặt phẳng
(
)
SBC
bằng 2. Với giá trị
nào của góc
α
giữa mặt bên và mặt ñáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?
Câu V:
Cho
a,b,c 0:abc 1.
> =
Chứng minh rằng:
1 1 1
1

a b 1 b c 1 c a 1
+ + ≤
+ + + + + +

Câu VI:
1. Trong mặt phẳng Oxy cho các ñiểm
(
)
(
)
(
)
(
)
A 1;0 ,B 2;4 ,C 1;4 ,D 3;5
− −
và ñường thẳng
d : 3x y 5 0
− − =
. Tìm ñiểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.
2. Viết phương trình ñường vuông góc chung của hai ñường thẳng sau:
1 2
x 1 2t
x y 1 z 2
d : ; d : y 1 t
2 1 1
z 3
= − +

− +


= = = +

−

=


Câu VII:
Tính:
0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010
2 C 2 C 2 C 2 C 2 C
A
1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012
= − + − + +




- Thư viện sách trực tuyến
ðÁP ÁN ðỀ THI THỬ ðH LẦN 2 – KHỐI D
Câu I:
1. a) TXð:
{
}
\ 2

\

b) Sự biến thiên của hàm số:
-) Giới hạn, tiệm cận:
+)
x 2 x 2
lim y , lim y x 2
− +
→ →
= −∞ = +∞ ⇒ =
là tiệm cận ñứng.
+)
x x
lim y lim y 1 y 1
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là tiệm cận ngang.
-) Bảng biến thiên :
( )
2
4
y' 0 x 2
x 2
= − < ∀ ≠
−

c) ðồ thị :
-) ðồ thị cắt Ox tại
(
)
2;0
−

, cắt Oy tại
(
)
0; 1
−
, nhận
(
)
I 2;1
là tâm ñối xứng.


2. Phương trình ñường thẳng ñi qua
(
)
A 6;5
−
là
(
)
(
)
d : y k x 6 5
= + +
.
(d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :
( )
( )
( )
( )

( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
4 x 2
x 2
x 6 5
k x 6 5
x 2
x 2
x 2
4
4
k
k
x 2
x 2
4x 24x 0
4 x 6 5 x 2 x 2 x 2
x 0;k 1
4
4
1

k
k
x 6;k
x 2
4
x 2
+

+

− ⋅ + + =
+ + =


−
−
−
 
⇔
 
 
= −
= −
−
 
−





− =
− + + − = + −
= = −




⇔ ⇔ ⇔
 
= −

= −
= = −
 
−

−


Suy ra có 2 tiếp
tuyến là :
( ) ( )
1 2
x 7
d : y x 1; d : y
4 2
= − − = − +


Câu II:

- Thư viện sách trực tuyến
( )
( )( )
2
1. cosx cos3x 1 2 sin 2x
4
2cos x cos2x 1 sin 2x cos2x
2cos x 2sin x cos x 2cos x cos2x 0
cos x cos x sinx cos2x 0
cos x cos x sinx 1 sinx cosx 0
x k
2
cos x 0
cos x sinx 0 x k
4
1 sinx cosx 0
sin x
4
π
 
+ = + +
 
 
⇔ = + +
⇔ + − =
⇔ + − =
⇔ + + − =
π
= + π
=


π

⇔ + = ⇔ = − + π


+ − =

π
 
−
 
 
1
2
x k
2
x k
2
x k
4
x k
4
x k2
x k2
4 4
5
x k2
4 4








= −


π

= + π

π

= + π


π


= − + π

π

⇔ ⇔ = − + π
 
π π
 
− = − + π

= π
 
 
π π


− = + π



( )
( )
( )
1 3
1 1 3 3
2x
2 x y
y x
y x x y
2.
1 3
1 3
2y
2x
x y
y x
x y
4 x y
2 x y
xy 2

xy
1 3
1 3
2x
2x
y x
y x
x y
1 3
x y 1
2x
x x
x y 1
2
x 2, y 2
y
x
x 2, y 2
x 3
2x
2 x

   

+ =
− + − = −

   

 

   
⇔
 
 
+ =
+ =
 



=
 −

− = −



= −
 

⇔ ⇔
 
 
+ =
+ =
 



=





= =


+ =



= = −

⇔ ⇔


= = −
= −




= − =


− =













Câu III:
- Thư viện sách trực tuyến
(
)
( )
2
1 1 1
2
4 2 2
2 2
0 0 0
3
1
2
2 2
2
1
0
2
2
d x
xdx 1 1 dt

I
x x 1 2 2 t t 1
x x 1
1 dt 1 du
2 2
1 3 3
t u
2 2 2
= = =
+ + + +
+ +
= =
   
 
+ + +
   
 
 
   
∫ ∫ ∫
∫ ∫

ðặt
2
3 3 dy
u tan y, y ; du
2 2 2 2 cos y
π π
 
= ∈ − ⇒ = ⋅

 
 

( )
3 3
2 2
6 6
1 3
u y ;u y
2 6 2 3
3
dy
1 1
2
I dy
3
2
3 6 3
cos y 1 tan y
4
π π
π π
π π
= ⇒ = = ⇒ =
π
⇒ = = =
⋅ ⋅ +
∫ ∫

Câu IV:

Gọi M, N là trung ñiểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM. Ta có:

(
)
(
)
(
)
(
)
2
ABCD
2
SABCD
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
SABCD
SMN ,d A; SBC d N; SBC NH 2
NH 2 4
MN S MN
sin sin sin
tan 1
SI MI.tan
sin cos

1 4 1 4
V
3 sin cos 3.sin .cos
sin sin 2cos 2
sin .sin .2cos
3 3
1
sin .cos
3
V min sin .cos max
s
= α = = =
⇒ = = ⇒ = =
α α α
α
= α = =
α α
⇒ = ⋅ ⋅ =
α α α α
α + α + α
α α α ≤ =
⇒ α α ≤
⇔ α α
⇔
2 2
1
in 2cos cos
3
α = α ⇔ α =

Câu V:

Ta có:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( )
2 2
3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
3 3 3 3
a b a b a ab b ab a b
a b 1 ab a b 1 ab a b abc ab a b c
1 1 c
a b 1
a b c
ab a b c
+ = + − + ≥ +
⇒ + + ≥ + + = + + = + +
⇒ ≤ =
+ +
+ +

+ +
Tương tự suy ra
=> ðiều phải chứng minh

N
M
I
D
A
B
C
S
H
- Thư viện sách trực tuyến
Câu VI:
1. Giả sử
(
)
M x; y d 3x y 5 0.
∈ ⇔ − − =

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
AB
CD
MAB MCD
AB 5,CD 17
AB 3;4 n 4;3 PT AB: 4x 3y 4 0
CD 4;1 n 1; 4 PT CD : x 4y 17 0

S S AB.d M;AB CD.d M;CD
4x 3y 4 x 4y 17
5 17 4x 3y 4 x 4y 17
5
17
3x y 5 0
4x 3y 4 x 4y 17
3x y 5 0
3x 7y 21 0
= =
− ⇒ ⇒ + − =
⇒ − ⇒ − + =
= ⇔ =
+ − − +
⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ + − = − +
− − =


⇒

+ − = − +


− − =

+ − =
⇔
uuur uuur
uuur uuur
( )

1 2
7
M ;2 ,M 9; 32
3
3x y 5 0
5x y 13 0




 

⇒ − −
 

− − =
 



− + =






2. Gọi
(
)

(
)
1 2
M d M 2t;1 t; 2 t , N d N 1 2t';1 t ';3
∈ ⇒ − − + ∈ ⇒ − + +

(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
MN 2t 2t ' 1;t t '; t 5
2 2t 2t ' 1 t t ' t 5 0
MN.u 0
2 2t 2t ' 1 t t ' 0
MN.u 0
6t 3t ' 3 0
t t ' 1
3t 5t ' 2 0
M 2;0; 1 , N 1;2;3 ,MN 1;2;4
x 2 y z 1
PT MN :
1 2 4
⇒ − + − + − +


− + − − + + − + =
=

 
⇔
 
− + − + + =
=




− + + =

⇔ ⇔ = =

− + − =

⇒ − −
− +
⇒ = =
−
uuuur
uuuur uur
uuuur uur
uuuur


Câu VII:
0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010
2 C 2 C 2 C 2 C 2 C
A

1 2 3 4 2011
= − + − + +
Ta có:
( )
( )
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
k k
k k
k
2010
k
k 1
k 1
2011
1 2 2011
1 2 2011
2011 2011 2011
2011 0
0
2011

2 2010! 2 2010!
2 C
1
k 1 k! 2010 k ! k 1 k 1 ! 2010 k !
2 2011!
1 1
2 C
2011 k 1 ! 2011 k 1 ! 4022
1
A 2 C 2 C 2 C
4022
1 1
2 1 2 C
4022 2011
+
+
− −
− = =
+ − + + −
−
= ⋅ = − ⋅ −
+ − −
 
⇒ = − ⋅ − + − + + −
 
 
= − ⋅ − + − − =
 