SỔ TAY CÔNG THUC HỌC NHANH môn TOÁN LUYÊN THI đại HỌC

  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 1












.

: 

 


 
2
ax bx c 0; a 0 .   

2
b 4ac;  

'
b
b

2

thì
 
2
''
b ac  


 
'
0; 0   


''
11
''
22
bb
x ; x
2a a
bb
x ; x
2a a


     









     










 
'
0; 0   

'
1 2 1 2
bb
x x ; x x
2a a

     




 
'
0; 0   
p

 
2
ax bx c 0; a 0 .   

12
x , x 
theo viét ta có :
2
12
1
b
S x x
a
c
P x .x
a

   






 




  





12
a0
0
c
x .x 0
a

 




  





a0

0
c
P0
a













  


a0
0
c
P0
a
b
S0
a

  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .

 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 2

cùng âm











  


a0
0
c
P0
a
b
S0
a



 
 

   
 
 
2
22
22
2
22
a b a 2ab b
a b a b a b
a b a b 2ab
   
   
   

 
 
 
 
 
3
3 2 2 3
3 3 2 2
2
4 4 2 2 2 2
a b a 3a b 3ab b
a b a b a ab b
a b a b 2a b
    
   

   





   
f x ax b; a 0  
l
 
0
b
f x 0 ax b 0 x
a
      


x



0
x



 
fx





   
2
f x ax bx c; a 0   
l
 
2
f x 0 ax bx c 0    


0  

12
xx
.

x



1
x

2
x



 

fx



0  

12
b
xx
2a


.

x




b
2a



 
fx



0  



x





 
fx

i a


   
32
f x ax bx cx d; a 0    
l
   
32
f x 0 ax bx cx d 0; 1     


 
1

1 2 3
x x x
.

x



1
x

2
x

3
x



 
fx



 
1

 
0 0 1
x ; x x



x



0
x

1
x



 
fx


  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 3



 
1


x





 
fx




   
2
f x ax bx c; a 0   

*
 
a0
f x 0 x R
0



   




*
 
a0
f x 0 x R
0




   





*
 
a0
f x 0 x R
0



   




*
 
a0
f x 0 x R
0



   






 
 B
*
a khi a 0
a
a khi a 0








*
a a a R.   

*
ab
ab
ab








*
 
ab
a b b 0
ab


  





*
aa
a R.
aa








*
b0
a b

b a b





  



*
ab
a b
ab







*
 
2
2
a a a R.  

*
a b a b  
.

a.b 0.
*
a b a b  
.
a.b 0.

 
*
   
 
   
2
g x 0
f x g x
f x g x








*
   
 
 
   
2
g x 0

f x g x f x 0
f x g x



  





*
   
f x g x
TH 1 :
 
 
f x 0
g x 0







TH 2 :
 
   
2

g x 0
f x g x









1c 
' ' '
ax by c
a x b y c








' ' '
a,b, c,a, b , c


' ' ' ' ' '
xy
a b c b a c

D ; D = , D
a b c b a c

.

D0

y
x
D
D
x ;y
DD





  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 4



xy
D D D 0  

xR
c ax
y
b











x
y
D0
D0
D0














 

 
 
f x; y a
I
g x;y b








    
2
S x y , P xy , DK: S 4P 0

 
 
 
F S;P 0
I
G S;P 0










2
X SX P 0.  


 
 
 
f x; y a
II
f y;x b








       
 
xy
f x;y f y;x 0 x y g x;y 0
g x;y 0


     









1.Hệ thức cơ bản

 
22
sin x cos x 1
s inx
t anx x k
cos x 2
cosx
co t x x k
sin x



   


  

2
2
2
2
t anx.cot x 1

1
1 tan x
cos x
1
1 cot x
sin x




2.Gi trị cc hàm lượng gic ca góc (cung) đặc biệt:
  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 5

Truc cos
Truc sin
Truc tan
Truc cotan
-
3
2
-
2
2
-1
2
1
2
2
2

3
2
-1
2
-
2
2
-
3
2
2
2
3
2
1
2
-
3
-1
-
3
3
-1
-
3
3
-
3
3
3

3
3
3
3
1
3

/2


/2
5

/6
3

/4
2

/3

/3

/4

/6
A(0;1)

Giá tr cung
x

Cung I

Cung II

Cung III

Cung IV

Sinx
+
+
-
-
Cosx
+
-
-
+
Tanx
+
-
+
-
Cotx
+
-
+
-

3. Cung liên kết.

a.i nhau:
 
 
cos x cos x
sin x sin x

  

 
 
tan x tan x
cot x cotx
  
  

b.Hai cung bù nhau:
 
 
cos x cos x
sin x sin x
   
  

 
 
tan x tan x
cot x cotx
   
   

c.Hai cung ph nhau:
cos x sin x
2
sin x cosx
2











tan x cot x
2
cot x tan x
2











d.

:
 
 
cos x cos x
sin x sin x
   
   

 
 
tan x tan x
cot x cot x
  
  


  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 6

   
   
 
k
k
cos k x 1 .cos x
sin k x 1 .sin x
tan k x tan x

   
   
  

 
 
 
cos k2 x cos x
sin k2 x sin x
cot k x cot x
  
  
  

e. Hai cung 
2

:
cos x sin x
2
sin x cosx
2


  









tan x cot x
2
cot x tan x
2


  




  




4.Công thức biến đổi:
a. Công thc cng:

 
 
 
 
sin x y s inx.cos y sin y.cos x
sin x y s inx.cos y sin y.cosx
cos x y cosx.cos y sin x.sin y
cos x y cos x.cos y sin x.sin y

  
  
  
  

 
 
 









t anx tan y
tan x y
1 tan x.tan y
cot x.cot y 1
cot x y
cot x cot y
cot x.cot y 1
cot x y
cot x cot y

b. Công th
22
22

sin 2x 2 sin x.cos x
cos2x cos x sin x
2cos x 1 1 2sin x.


   

2
2
2 tan x
tan 2x
1 tan x
cot x 1
cot2x
2 cotx








c. Công thc nhân 3:

3
3
sin 3x 3 sin x 4 sin x
cos3x 4 cos x 3 cos x










3
2
3
2
3 tan x tan x
tan 3x
1 3 tan x
cot x 3 cot x
cot 3x
3 cot x 1

d. Công thc h bc:

2
2
2
1 cos2x
sin x
2
1 cos2x
cos x
2

x 1 cosx
sin
22















2
2
2
x 1 cosx
cos
22
1 cos2x
tan x
1 cos2x
1 cos2x
cot x
1 cos2x

e.Công thc bii tng thành tích:
  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 7


x y x y
cos x cos y 2cos cos
22
x y x y
cos x cos y 2sin sin
22
x y x y
sin x sin y 2sin cos
22



  



 
 
x y x y
sin x sin y 2cos sin
22
sin x y
tan x tan y

cos x.cos y
sin x y
cot x cot y
s inx.sin y







H qu:

s inx cos x 2 sin x
4


  



s inx-cos x 2 sin x
4






f. Công thc bii tích thành tng:

   
   
1
cos x.cos y cos x y cos x y
2
1
sin x.sin y cos x y cos x y
2

   


    


   
1
sin x.cos y sin x y sin x y
2
t anx tan y
tan x.tan y
cot x cot y

   





g.Công th

x
t tan
2





2
2
2
2t
sin x
1t
1t
cosx
1t






2
2
2
2t
tan x
1t
1t

cotx
1t









ng trình c bn.
a.
 
x k2
s inx sin k z .
x k2

   
   

     


c 
s inx 1 x k2
2
s inx 1 x k2
2
s inx 0 x k .


    

      
   

b.
 
x k2
cosx cos k z .
x k2

   
   

   


c 
cos x 1 x k2
cosx 1 x k2
cos x 0 x k .
2
   
      

    

c.
 

tanx tan . x k
2
x k k z .


    


     
c 
tan x 1 x k
4
tanx 1 x k
4
tanx 0 x k .

    

      
   

d.
 
 
cotx cot . x k
x k k z .
   
     
c 
co t x 1 x k

4
cotx 1 x k
4
cotx 0 x k .
2

    

      

    



t s inx
(
cosx, tanx, cotx
) ta 
  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 8


n n 1 0
n n 1 0
a t a t a t 0


   

t s inx


t cosx

1 t 1  
)



a sin x b cosx c.

a.b 0
u 
2 2 2
a b c


22
ab




22
a sin x bsin x.cox c cos x d.  


Xét
cosx 0 x k
2


    

Xét
cosx 0

2
cos x

t tanx
.



 
a. s inx cos x b.s inx.cos x c.  




t sinx cos x 2 sin x ; DK : 2 t 2
4


      



2
t1
s inx.cos x

2



2
1t
s inx.cos x
2















-BÀI TOÁN LIÊN QUAN.

I.

 
32
y ax bx cx d a 0    


x
y
O

I
x
y
O

I
a < 0
a > 0


,
y0


x
y
O

I
x
y
O

I
a < 0
a > 0

,
y0


  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 9

 
42
y ax bx c a 0   


ax b d
y TXD: D R \
cx d c


  












II.Các Bài Toán Liên Quan.



       
12
y f x C và y = g x C

a.
 
1
C
và
 
2
C
là :
     
f x g x *

 
*

0
x 
 
1
C
và
 
2
C


 
 
00
M x ;f x

 
*


 
1
C
và
 
2
C

 
*

0
x 
 
1
C
và
 
2
C


 
*

1
x 
 
1
C
và
 
2
C

 
 
11
N x ;f x
.
b.
 
1
C
và
 
2
C
.
 
1

C
và
 
2
C

   
   
''
f x g x
f x g x









0
x
. (
0
x

2

   
y f x ; C .



 
C

 
00
M x ;y

   
'
0 0 0
y f x x x y  
.
 
'
0
fx




x
y
O
x
y
O

a < 0
a > 0
 pt y

0
x



x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
 



y
I
x
y
O
Dng 2: hàm s nghch bin

Dng 1: hàm s ng bin
x

O
I
  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 10


 
C

 
11
N x ;y

   
11
y k x x y    
.
k


 


 
C
   
 
 
11
'

f x k x x y
1
f x k

  







 
1


 



n song song.

 
C

 
y k x b

  
nên có

 
'
0
f x k



0
x

 
C
tìm
0
y





 
C

 
d
d y k x b
nên có
 
'
0d

f x .k 1

0
x

 
C
tìm
0
y





 
ax b
y ; C .
cx d





 
C

B
y A
cx d





 
C

B

cx d




12
x , x
thay vào
 
C

12
y , y


   
1 1 1 2 2 2
M x ;y , M x ;y

4..


   
y f x ; C .


 
C

   
F x;m 0 *
=0.

 
*

 
C

   
d : y g x;m
.

 
*

 
d
và
 
C
.


 
C





 
y f x
.

 
'
00
x f x 0


 
 
'
0
0
''
0
f x 0
x
f x 0











 
 
'
0
0
''
0
f x 0
x
f x 0









 
I. Công thc s  và logarit cn nh:
  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .

 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 11

   
0
a 1; a 0
oï nguyeân haø

a
log 1 0
oï nguyeân ha
 
1
aa



a
log a 1

 
1
a
a








a
log a

     
a . a a
  






a
1
log a

 
 
 
a
a
a






 


   
aa
log b .log b; a, b 0,a 1

     
a . b a.b
  






a
a
1
log b .log b

 
 
 
a
a
; b 0
b
b















a
a
log a .log b

   
aa







 

a a a
log b log c log b.c


 


   
a
a b log b






a a a
b
log b log c log
c

 
.
aa

  




a
b
1
log b
log a

   
aa

    



c
a
c
log b
log b
log a

 
a.b a. b; a,b 0





 

   
a
log b b a

 
aa
; a 0;b 0

b
b



  


 
aa
log b log b



e
;ln a log a



aa







a
log
a



10
;lg a log a log a

.
aa
  




aa
log b log c b c  

 
a a ; a 1

     


 
aa
log b log c b c; a 1   

 
a a ; 0 a 1

      

 
aa
log b log c b c; 0 a 1    


 -  
1.P   

*
   
   
f x g x
a a f x g x  

*
 
 
fx
a
a b f x log b x   

*
   
     
   
f x g x
a a f x g x ; a 1

*

   
     
    
f x g x
a a f x g x ; 0 a 1

  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 12





   
 
2f x f x
m.a n.a p 0 *  

 
 
fx
t a DK: t 0

 
2
* mt nt p 0   
i 

 2 :
   

 
f x f x
m.a n.b p 0 **  
trong 
a.b 1

 
 
 
f x f x
1
t a DK : t 0 b
t
   

 
1
** mt n p 0
t
   
i 

:
 
 
 
 
 
fx
2f x 2f x

m.a n. a.b p.b 0 *  

 
 
fx
t a DK: t 0

 
2
* mt nt p 0   
i 

2 

 
a
log f x

 
f x 0
0 a 1









*
   
   
   
aa
f x 0,g x 0
log f x log g x
f x g x









*
   
b
a
log f x b f x a  

*
     
aa
log f x log g x *


a1

thì
 
   
 
f x g x
*
g x 0










0 a 1
thì
 
   
 
f x g x
*
f x 0









  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 13



Công tho hàm cn nh:
 
'
A0
oï nguyeân haø C

 
'
''
u v u v  
oï nguyeân ha
 

'
x1


 
'
''
u.v u .v u.v

'
2
11
xx






'
'
2
1u
uu





 
'
1
x .x
 



'
''

2
u u .v u.v
v
v






   
'
1
ln x ; x 0
x



 
'
'
u
ln u
u


 
'
xx
ee

 
'
u ' u
e u .e

 
'
xx
a a ln a.


 
'
u ' u
a u .a ln a.

 
'
a
1
log x
x ln a



 
'
'

a
u
log u
u ln a


 
'
s inx cos x


 
'
'
s inu u .cosu


 
'
cosx sin x


 
'
'
cosu u .sin u

 
'
2

1
tanx
cos x



 
'
'
2
u
tanu
cos u


 
'
2
1
cotx
sin x



 
'
'
2
u
cotu

sin u


   
''
kx k x k


   
''
ku k u

   
''
1
kx k x k. .x
  
  


   
 
''
'
1
ku k u k. .u . u
  
  

 

'
'1
sin u u . .sin u.cosu
 



 
'
'1
cos u u . .cos u.sin u
 
  


 TÍCH PHÂN.
I.Công thc nguyên hàm cn nh :

1
x
x dx C
1







 

 
 
1
ax b
ax b dx C
a1



  



1
dx ln x C
x




11
dx ln ax b C
ax b a
  



x
x
a

a dx C
ln a




kx b
kx b
a
a dx C
k.ln a





xx
e dx e C



ax b ax b
1
e dx e C
a




  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .

 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 14

sinxdx cosx C  



   
1
sin ax b dx cos ax b C
a
    


cosxdx sinx C



   
1
cos ax b dx sin ax b C
a
   


2
1
dx tanx C
cos x



 
 
2
11
dx tan ax b C
a
cos ax b
  




2
1
dx co t x C
sin x
  



 
 
2
11
dx co t ax b C
a
sin ax b
   




tan xdx ln cos x C  



   
1
tan ax b dx ln cos ax b C
a
    


cotxdx ln sin x C



   
1
cot ax b dx ln sin ax b C
a
   


adx ax C



 

 
 
'
fx
dx ln f x C
fx



1
dx 2 x C
x




22
1 1 x a
dx ln C
2a x a
xa







 tích Phân.


   
b
a
I f x .g x dx. 


 
 
 
   
'
du f x dx
u f x
dv g x dx
v g x dx G x














       

    

bb
b
b
'
a
a
aa
I u.v vdu f x .G x G x .f x dx


   
 
b
a
I f x .ln g x dx


 
 
 
u ln g x
dv f x









2:
   
 
b
a
I f x sin g x dx


 
 
 
u f x
dv sin g x dx









   
 
b
a
I f x cos g x dx



 
 
 
u f x
dv cos g x dx








:
 
 
b
gx
a
I f x .e dx


 
 
gx
u f x
dv e dx









:
 
 
 
b
gx
a
I sin f x .e dx


 
 
 
gx
u sin f x
dv e dx








 
 
 
b
gx
a
I cos f x .e dx


 
 
 
gx
u cos f x
dv e dx









I
.
  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 15

 


2
1
b
22
b
I a x dx


2
1
b
22
b
dx
I
ax





x a sin t

x a cos t

2

1
b
22
b
I x a dx


2
1
b
22
b
dx
I
xa





sint

a
x
h

a
x
cost
;

2
1
b
22
b
I a x dx



x a tan t

x a cott

2
1
b
b
ax
I dx
ax





2
1
b
b
ax

I dx
ax






x a cos2t

   
2
1
b
b
I x a b x dx  



 
2
x a b a sin t  

2
1
b
22
b
1
I dx

ax





x a tan t



1. 
 
   
y f x C

 
y0
và ha
x a,x b
.
 
C
và
 
12
ox f x 0 x ,x   

 
b
a

S f x dx


   
1
1
x
b
ax
S f x dx f x dx   


 
       
12
y f x C ;y g x C

x a,x b
.
   
b
a
S f x g x dx  


 
       
12
y f x C ;y g x C


 
1
C
và
     
2 1 2 3
C f x g x x ,x ,x   

   
3
1
x
x
S f x g x dx  


   
 
   
 
3
2
12
x
x
xx
S f x g x dx f x g x dx     



2. 

   
y f x C ,y 0
;
x a,x b
xoay quanh
 
b
2
a
ox V f x dx.  



   
x f y C ,x 0
;
y a,y b
xoay quanh
 
b
2
a
oy V f y dy.  



  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 16

CHUYÊN 

*
 
2 4m 4m 1 4m 2 3m 3
i 1 ; i 1 ; i i ; i 1 ; i i m N .
  
        

*Cho
z a bi z a bi ;     
 
22
z a b

*Cho
1 1 1 2 2 2
z a b i ; z a b i   


12
12
12
aa
zz
bb










   
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i    
.

1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
z .z a .a a .b i a .b i b .b   

   
1 1 2 2
1 1 2
22
2 2 2
22
a b i . a b i
z z .z
z z .z
ab




*Cho
a khi a 0

z a z
a i khi a 0



  




.
*Cho
22
x y a
z a bi z w mà w x yi
2xy b



      







 
22
az bz c 0 a 0 .xét =b 4ac     

khi
0

12
b i b i
z và z
2a 2a
     

.
khi
0
 
12
b
zz
2a



khi
0

     

12
bb
z và z
2a 2a


z a bi



22
r a b
a rcos
b rsin



   




ng giác
 
z r cos isin   


 
1 1 1
z r cos isin   
và
 
2 2 2
z r cos isin   

       
11
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
22
zr
cos isin ; z .z r .r cos isin
zr
                
   
   

* a  
     
n
nn
z r cos isin z r cos isin r cosn isinn           



 
nN




  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 17





1.
T
T


A
A


Đ
Đ




Đ
Đ
I
I


M
M


V
V

À
À


V
V
E
E
C
C
T
T
Ơ
Ơ


1. a  im : 
Cho 2 




 
AA
A x ;y
) và
 
BB
B x ; y

:
 
B A B A
AB x x ; y y  

.

22
B A B A
AB (x x ) (y y )   

:
A B A B
x x y y
I;
22





2. a   : 
);();;(
2121
bbbaaa 




12

12
aa
ab
bb










 
1 2 1 2
a b a a ;b b .   

   
1 2 1 2
ka k a ;a ka ;ka

.
:
1 1 2 2
a.b (a b a b )



a







b


   

1 1 2 2
a.b 0 a b a b 0.


22
12
a a a

,
22
12
b b b





1 1 2 2
2 2 2 2

1 2 1 2
a b a b
a.b
cos a.b .
a . b
a a . b b









2 

   
0
0
x x at
: t R
y y bt











00
; yx
)  và
u (a;b)




 
00
x x y y
:
ab



a;b 0
)

00
; yx
)  và
u (a;b)





     
00
: A x x B y y 0.    

Hay
Ax By C 0  

00
C Ax By  
và
22
A B 0

00
; yx
)  và
 
n A;B


**  :
*

 :
 
u a;b

:
     
u a;b n b; a b;a   


.








VTPT :
 
n A;B

:
     
n A;B u B; A B;A   

.
*M



  









.
*M



  








.
  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 18

*
   
12
12
12
nn
song song
uu





  






*
   
1
2
2
1
12
nu
vuông góc
un






  








4.





:
 
xy
1
ab

( 



).

 
00
M x ; y
k 
 
00
y y k x x  

 
00
; yx
 
) =
22
00
BA
cBxAx




1

và
2

c
1 1 1
n (a ;b )

,
2 2 2
n (a ;b )

là
(
 
12

n ,n

) ta có :

  



1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
12
1 1 2 2
n .n a a b b
cos .
n . n
a b . a b



 
1 1 1 1
: a x b y c 0   
và
 
2 2 2 2
: a x b y c 0.   


1



2


1
1
b
a

2
2
b
a
;

1

 
2


1
1
b
a
=
2
2
b
a


2
1
c
c
;

1


2


1
1
b
a
=
2
2
b
a
=
2
1
c
c

2
a

,
2
b
,
2
c
khác 0)

8.











:

 
1 1 1 1
: a x b y c 0   
và
 
2 2 2 2
: a x b y c 0.   
   

  

1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
(


2 



)

3.PH





.


 
I a;b

     
– – = 1

22
2
x a y b R

hay
 
– – 2  
22
x y 2ax 2by c 0

2 2 2
R a b c  

 i iu kin
22
a b – c 0

22
x y – 2ax – 2by c 0  


 
I a;b
bán kính R.
 ng tròn (C) tâm I (a ; b) bán kính R tip xúc vi ng thng
 
: Ax By C 0    


22

A.a B.b C
d(I ; ) R.
AB

  



  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 19

c
b
a
M
H
C
B
A



.

1. Hệ thức lượng trong tam gic vuông : cho
ABC
 :
a)  :
2 2 2
BC AB AC

b)
CBCHCABCBHBA .;.
22


c) AB. AC = BC. AH
d)
222
111
ACABAH


e) BC = 2AM
f)
sin , os , tan ,cot
b c b c
B c B B B
a a c b
   

g) b = a.sinB = a.cosC, c = a.sinC = a.cosB, a =
sin cos
bb
BC

, b = c.tanB = c.cotC
2.Hệ thức lượng trong tam gic thường:
* : a
2

= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA
* :
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
  

3. Các công thức tính diện tích.
a/ :

1
2
S 
a.h
a
=
1 . .
. sin . .( )( )( )
24
abc
ab C p r p p a p b p c
R
     


2
abc
p



Đặc biệt :*
ABC
 :
1
.
2
S AB AC
,*
ABC

2
3
4
a
S 

b/  
c/  
d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2

d/  hình thang :
1

2
S 

e/  
f/  :
2
S. R





A.NG SONG
§1.
I. :
    

    
chung.

a/ /(P) a (P)   



a
(P)

II.
  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 20

   

     
    


d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)









d
a
(P)

 

      

a.
a / /(P)
a (Q) d / /a

(P) (Q) d









d
a
(Q)
(P)

     

    
    

(P) (Q) d
(P)/ /a d / /a
(Q) / /a








a
d
Q
P


§2.
I. 
     

 nào chung.
(P)/ /(Q) (P) (Q)   


Q
P

II.
    

    
       

a,b (P)
a b I (P)/ /(Q)
a/ /(Q),b / /(Q)




  




I
b
a
Q
P

    

     

(P)/ /(Q)
a/ /(Q)
a (P)






a
Q
P

 




chúng song song.
(P)/ /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b


  





b
a
R
Q
P


  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 21


B.QUAN 

§1.
I.
    


     
    

a mp(P) a c, c (P)    




P
c
a


II. 
    d
v    
  nhau a và b cùng
    


d a ,d b
a ,b mp(P) d mp(P)
a,b caét nhau



  





d
a
b
P

    
    
    



      
trên (P).
a mp(P),b mp(P)
b a b a'

  

a'
a
b
P


§2.
I.



0
.

II. 






nhau.


a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)







Q
P
a

    
     


    

    


(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d



   





d
Q
P
a

  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 22

 
     
      
     
     



(P) (Q)
A (P)
a (P)
Aa
a (Q)













A
Q
P
a

 

     
    


(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)



  





a
R
Q
P


§3.



       




d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

a
H
O
H
O
P

       
ng song:
       
    

d(a;(P)) = OH
a
H
O
P


         

d((P);(Q)) = OH
H
O
Q
P

      
nhau:



d(a;b) = AB
B
A
b
a


  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 23

B
h
a
b
c
a
a
a

§4.GÓC


1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
 

b.
b'
b
a'

a

2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc
với mặt phẳng (P)
          
mp(P).
Đặc biệt
         
mp(P) là 90
0
.
P
a'
a

3. Góc giữa hai mặt phẳng





b
a
Q
P

P
Q
a
b

4. Diện tích hình chiếu


S' Scos





C
B
A
S





1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h

B: dieän tích ñaùy
h : chieàu cao




a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c


b) Thể tích khối lập phương:
V = a
3











  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 24

B
h
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=
1
3
Bh

B: dieän tích ñaùy

h : chieàu cao





3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:




SABC
SA'B'C'
V
SA SB SC
V SA' SB' SC'





* MSC, ta cã:

.
.


S ABM
S ABC
V

SASB SM SM
V SASB SC SC



C'
B'
A'
C
B
A
S

4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:

 
h
V B B' BB'
3
  


B, B': dieän tích hai ñaùy
h : chieàu cao





B

A
C
A'
B'
C'

5.THỂ TÍCH-DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ:


xq
2
S 2 Rh
V R h




R : ban kính ñaùy
h : chieàu cao


I o’

h


J R O

6.THỂ TÍCH-DIỆN TÍCH HÌNH NÓN
s

xq
= Rl.
V=
1
3
R
2
h.





R : ban kính ñaùy
h : chieàu cao
l:duong sinh




l
h

A
C
B
S
M
R
R

  Theo chương trình mới nhất ca B Gio Dc - Đào Tạo .
 Tel:0974200379-0633755711 -Trang 25

7.THỂ TÍCH-DIỆN TÍCH HÌNH NÓN CỤT:
 
 
22
xq
S R r l , V h R r Rr      






R,r : ban kích 2 ñaùy
h : chieàu cao
l:duong sinh






8.THỂ TÍCH-DIỆN TÍCH HÌNH CẦU:

= 
2
S 4 R

3
4
VR
3






Chú ý:

2
,

3
,

2 2 2
abc
,
 
3
2

a
h




4/ L



1.
T
T


A
A


Đ
Đ




Đ
Đ
I
I


M
M


V

V
À
À


V
V
E
E
C
C
T
T
Ơ
Ơ
I/.  
1).
 
M M M M M M
M x ;y ;z OM x i y j z k   
   

2). Cho
 
A A A
A x ;y ;z
và
 
B B B
B x ;y ;z

ta có:
B A B A B A
AB (x x ;y y ;z z )   


2 2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )     

3). 
 
MA kMB
 
thì ta có :


A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x ; y ; z
1 k 1 k 1 k
  
  
  
-1)
r’
h
R
l
O

O’
O
. R