TỔNG HỢP DAO ĐỘNG HAY VÀ KHÓ

Chuyên đề:
GIẢI NHANH tổng hợp dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
A.KIẾN THỨC:
1. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số như sau:
x
1
= A
1
cos (ωt + ϕ
1
) và x
2
= A
2
cos (ωt + ϕ
2
) thì: x = x
1
+ x
2
thì ta được x = Acos (ωt + ϕ) . Với:
A
2
=A
1
2
+ A
2
2
+2A
1

A
2
cos (ϕ
2
- ϕ
1
); ϕ: tan ϕ =
2211
2211
coscos
sinsin
ϕϕ
ϕϕ
AA
AA
+
+
với ϕ
1
≤ ϕ ≤ ϕ
2
(nếu ϕ
1
≤ ϕ
2
)
2.Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hoà cùng phương cùng tần số:
x
1
= A

1
cos (ωt + ϕ
1
), x
2
= A
2
cos (ωt + ϕ
2
) và x
3
= A
3
cos (ωt + ϕ
3
) thì dao động tổng hợp cũng là dao động
điều hoà cùng phương cùng tần số: x = Acos (ωt + ϕ) .
Chiếu lên trục Ox và trục Oy trong hệ xOy. Ta được: A
x
= Acos ϕ = A
1
cos ϕ
1
+

A
2
cos ϕ
2
+

A
3
cos ϕ
3
+


và A
y
= A sin ϕ = A
1
sin ϕ
1
+

A
2
sin ϕ
2
+

A
3
sin ϕ
3
+


Biên độ: : A =

2 2
x y
A A
+
và Pha ban đầu ϕ : tan ϕ =
y
x
A
A
với ϕ ∈ [ϕ
Min
, ϕ
Max
]
3.Khi biết dao động thành phần x
1
=A
1
cos (ωt + ϕ
1
) và dao động tổng hợp x = Acos(ωt + ϕ) thì dao
động thành phần còn lại là x
2
=x - x
1 .
với

x
2
= A

2
cos (ωt + ϕ
2
) .
Biên độ: A
2
2
=A
2
+ A
1
2
-2A
1
Acos(ϕ -ϕ
1
); Pha tan ϕ
2
=
1 1
1 1
sin sin
cos cos
A A
A A
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
−
với ϕ

1
≤ ϕ ≤ ϕ
2
(nếu ϕ
1
≤ ϕ
2
)
4.Nhược điểm của phương pháp trên khi làm trắc nghiệm:
-Xác định A và ϕ  của dao động tổng hợp theo phương pháp trên mất nhiều thời gian và dễ nhầm lẫn.Việc
biểu diễn giản đồ véctơ, đôi khi khó biểu diễn được với những bài toán tổng hợp từ 3 dao động trở lên.
-Xác định góc ϕ hay ϕ
2
thật sự khó khăn đối với học sinh bởi vì cùng một giá trị tanϕ  luôn tồn tại hai
giá trị của ϕ (ví dụ: tanϕ=1 thì ϕ = π/4 hoặc -3π/4), vậy chọn giá trị nào cho phù hợp với bài toán!.
B. PHƯƠNG PHÁP: Dùng máy tính CASIO fx – 570ES, 570ES Plus hoặc CASIO fx – 570MS.
1. Cơ sở lý thuyết :
+Dao động điều hoà  x = Acos(ωt + ϕ) có thể được biểu diễn bằng vectơ quay
ur
A
có độ dài tỉ lệ với biên
độ A và tạo với trục hoành một góc bằng góc pha ban đầu ϕ. Hoặc cũng có thể biểu diễn bằng số phức dưới
dạng: z = a + bi
+Trong tọa độ cực: z =A(sinϕ +i cosϕ) (với môđun: A=
2 2
a b+
) hay Z = Ae
j(
ω
t +

ϕ
).
+Vì các dao động có cùng tần số góc ω nên thường viết quy ước z = Ae
J
ϕ
, trong máy tính CASIO fx-
570ES kí hiệu dưới dạng là: r ∠ θ (ta hiểu là: A ∠ ϕ).
+Đặc biệt giác số ϕ trong phạm vi : -180
0
< ϕ < 180
0
hay -π<ϕ < π rất phù hợp với bài toán tổng hợp dao
động trên. Vậy tổng hợp các dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số bằng phương pháp Frexnen đồng
nghĩa với việc cộng các số phức biểu diễn của các dao động đó.
2.Chọn chế độ thực hiện phép tính về số phức của máy tính: CASIO fx – 570ES, 570ES Plus
Các bước Chọn chế độ Nút lệnh Ý nghĩa- Kết quả
Cài đặt ban đầu (Reset all): Bấm: SHIFT 9 3 = = Reset all
Chỉ định dạng nhập / xuất toán Bấm: SHIFT MODE 1 Màn hình xuất hiện Math.
Thực hiện phép tính về số phức Bấm: MODE 2 Màn hình xuất hiện CMPLX
Dạng toạ độ cực: r∠θ (ta hiêu:A∠ϕ) Bấm: SHIFT MODE  3 2 Hiển thị số phức kiểu r ∠θ
Dạng toạ độ đề các: a + ib. Bấm: SHIFT MODE  3 1 Hiển thị số phức kiểu a+bi
Chọn đơn vị đo góc là độ (D) Bấm: SHIFT MODE 3 Màn hình hiển thị chữ D
Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) Bấm: SHIFT MODE 4 Màn hình hiển thị chữ R
Để nhập ký hiệu góc ∠ Bấm SHIFT (-). Màn hình hiển thị ký hiệu ∠
Bấm: MODE 2 xuất hiện chữ CMPLX
Ví dụ: Cách nhập: Máy tính CASIO fx – 570ES
Cho: x= 8cos(ωt+ π/3) sẽ được biểu diễn với số phức 8∠ 60
0
hay 8∠π/3 ta làm như sau:
-Chọn mode: Bấm máy: MODE 2 màn hình xuất hiện chữ CMPLX

-Chọn đơn vị đo góc là độ (D) ta bấm: SHIFT MODE 3 trên màn hình hiển thị chữ D
-Nhập máy: 8 SHIFT (-) 60 sẽ hiển thị là: 8∠ 60
-Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) ta bấm: SHIFT MODE 4 trên màn hình hiển thị chữ R
-Nhập máy: 8 SHIFT (-) (π:3 sẽ hiển thị là: 8∠
1
π
3
Kinh nghiệm: Nhập với đơn vị độ nhanh hơn đơn vị rad
nhưng kết quả sau cùng cần phải chuyển sang đơn vị rad
cho những bài toán theo đơn vị rad. (Vì nhập theo đơn vị
rad phải có dấu ngoặc đơn ‘(‘‘)’nên thao tác nhập lâu hơn,
ví dụ: Nhập 90 độ thì nhanh hơn nhập (π/2)
Bảng chuyển đổi đơn vị góc: ϕ(Rad)=
φ(D).π
180
Đơn vị góc (Độ) 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 18
0
360
Đơn vị góc
(Rad)
1
π
12
1
π
6
1
π
4
1

π
3
5
π
12
1
π
2
7
π
12
2
π
3
9
π
12
5
π
6
11
π
12
π 2π
3.Lưu ý :Khi thực hiện phép tính kết quả được hiển thị dạng đại số: a +bi (hoặc dạng cực: A
∠

ϕ
).
-Chuyển từ dạng : a + bi sang dạng: A∠ ϕ , bấm SHIFT 2 3 =

Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 ->Nếu hiển thị: 4+ 4
3
i .Ta bấm phím SHIFT 2 3 = kết quả: 8∠
1
π
3
-Chuyển từ dạng A∠ ϕ sang dạng : a + bi : bấm SHIFT 2 4 =
Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 -> Nếu hiển thị: 8∠
1
π
3
, ta bấm phím SHIFT 2 4 =  kết quả :4+4
3
i
4. Tìm dao động tổng hợp xác định A và
ϕ
bằng cách dùng máy tính thực hiện phép cộng :
a.Với máy FX570ES: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX.
-Chọn đơn vị đo góc là độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D
(hoặc Chọn đơn vị góc là Rad bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R )
-Nhập A
1
SHIFT (-) φ
1,
+ Nhập A
2
SHIFT (-) φ
2
nhấn = hiển thị kết quả
(Nếu hiển thị số phức dạng: a+bi thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả: A∠ϕ)

b.Với máy FX570MS : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX.
Nhập A
1
SHIFT (-) φ
1
+ Nhập A
2
SHIFT (-) φ
2
=
Sau đó bấm SHIFT + = hiển thị kết quả là: A. SHIFT = hiển thị kết quả là: φ
c.Lưu ý Chế độ hiển thị màn hình kết quả:
Sau khi nhập ta ấn dấu = có thể hiển thị kết quả dưới dạng số vô tỉ, muốn kết quả dưới dạng thập phân ta
ấn SHIFT = (hoặc dùng phím SD ) để chuyển đổi kết quả Hiển thị.
d.Các ví dụ:
Ví dụ 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình:
x
1
= 5cos(
π
t +
π
/3) (cm); x
2
= 5cos
π
t (cm). Dao động tổng hợp của vật có phương trình
A. x = 5
3
cos(

π
t -
π
/4 ) (cm) B.x = 5
3
cos(
π
t +
π
/6) (cm)
Bấm SHIFT 2 màn hình xuất hiện như hình bên
Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quả dạng cực (r ∠ θ )
Nếu bấm tiếp phím 4 = kết quả dạng phức (a+bi )
( đang thực hiện phép tính )
C. x = 5cos(
π
t +
π
/4) (cm) D.x = 5cos(
π
t -
π
/3) (cm) Đáp án B
Phương pháp truyền thống Phương pháp dùng số phức
Biên độ:
2 2
1 2 1 2 2 1
2. .cos( )= + + −A A A A A
ϕ ϕ
Pha ban đầu ϕ: tan ϕ =

Thế số:(Bấm máy tính)
A=
2 2
5 5 2.5.5.cos( / 3) 5 3+ + =
π
(cm)
tan ϕ =
5.sin( / 3) 5.sin 0 5. 3 / 2 3
1
5cos( / 3) 5.cos0 3
5. 1
2
+
= =
+
+
π
π
=>
ϕ = π/6. Vậy :x = 5
3
cos(
π
t +
π
/6) (cm)
Giải 1: Với máy FX570ES: Bấm: MODE 2
-Đơn vị đo góc là độ (D)bấm: SHIFT MODE 3
Nhập: 5 SHIFT (-)∠ (60) + 5 SHIFT (-) ∠ 0 =
Hiển thị kết quả: 5

3
∠30
Vậy :x = 5
3
cos(
π
t +
π
/6) (cm)
(Nếu Hiển thị dạng đề các:
15 5 3
2 2
+ i
thì
Bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: 5
3
∠30 )
Chọn B
Giải 2: Dùng đơn vị đo góc là Rad (R): SHIFT MODE 4
Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện: CMPLX. Tìm dao động tổng hợp:
Nhập: 5 SHIFT (-).∠ (π/3) + 5 SHIFT (-) ∠ 0 = Hiển thị: 5
3
∠
1
π
6
Hay: x = 5
3
cos(
π

t +
π
/6) (cm)
Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình:
x
1
= √3cos(ωt + π/2) cm, x
2
= cos(ωt + π) cm. Phương trình dao động tổng hợp:
A. x = 2cos(ωt - π/3) cm B. x = 2cos(ωt + 2π/3)cm C. x = 2cos(ωt + 5π/6) cm D. x = 2cos(ωt - π/6) cm
Cách 1:
( )
2 2
1 2 1 2 2 1
1 1 2 2
1 1 2 2
2 cos 2
2
3 sin 1.sin
:
sin sin 2
3
2
tan 3
cos cos 3
3 cos 1.cos
2
3
A A A A A cm
HD

A A
A A
ϕ ϕ
π
π
ϕ
π
ϕ ϕ π
ϕ ϕ
π
π
ϕ ϕ
π
ϕ

= + + − =




=
+


+
= = = − ⇒ ⇒ =


−
+



+
=




Đáp án B
Cách 2: Dùng máy tính:Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn chế độ máy tính theo độ: SHIFT MODE 3
Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy:
3
 SHIFT (-).∠ (90) + 1 SHIFT (-). ∠ 180 = Hiển thị:2∠120
Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình:
x
1
= √3cos(ωt - π/2) cm, x
2
= cos(ωt) cm. Phương trình dao động tổng hợp:
A. x = 2cos(ωt - π/3) cm B.x = 2cos(ωt + 2π/3)cm C.x = 2cos(ωt + 5π/6) cm D.x = 2cos(ωt - π/6) cm
Cách 1:
( )
2 2
1 2 1 2 2 1
1 1 2 2
1 1 2 2
2 cos 2
2
3 sin 1.sin 0

:
sin sin
3
2
tan 3
s s 3
3 cos 1.cos0
2
3
A A A A A cm
HD
A A
A co A co
ϕ ϕ
π
π
ϕ
ϕ ϕ π
ϕ ϕ
π
π
ϕ ϕ
ϕ

= + + − =



−


=
+


+
= = = − ⇒ ⇒ = −


−
−
+


+
=




Đáp án A
Cách 2: Dùng máy tính:Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn chế độ máy tính theo radian(R): SHIFT MODE 4
Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy::
3
 SHIFT (-).∠ (-π/2) + 1 SHIFT (-) ∠ 0 = Hiển thị:2∠-π/3
2211
2211
coscos
sinsin
ϕϕ

ϕϕ
AA
AA
+
+
Ví dụ 4: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương có phương trình dao động: x
1
= 2
3
cos(2πt +
3
π
) cm, x
2
= 4cos (2πt +
6
π
) cm ;x
3
= 8cos (2πt -
2
π
) cm. Giá trị vận tốc cực đại của vật và pha ban đầu của dao
động lần lượt là:
A. 12πcm/s và
6
π
−
rad . B. 12πcm/s và
3

π
rad. C. 16πcm/s và
6
π
rad. D. 16πcm/s và
6
π
−
rad.
HD: Cách 1: Tổng hợp x
2
vµ x
3
có:
π π
 
+ −
 ÷
π
 
ϕ = = − → ϕ = −
π π
 
+ −
 ÷
 
23 23
4 sin 8sin
6 2
tan 3

3
4 cos 8 cos
6 2
π
 
= + + ∆ϕ = ⇒ = π −
 ÷
 
2 2
23 23
A 4 8 2.4.8.cos 4 3 x 4 3 sin 2 t
3

Tổng hợp x
23
vµ x
1
có:
π π
 
+ −
 ÷
 
ϕ = = −
π π
 
+ −
 ÷
 
2 3 sin 4 3 sin

1
3 3
tan
3
2 3 cos 4 3 cos
3 3
Đáp án A
( ) ( )
= + + ∆ϕ =
2 2
A 2 3 4 3 2.2 3.4 3 cos 6
( )
π π
 
⇒ = π − ⇒ = ω= π ϕ = −
 ÷
 
max
x 6co s 2 t cm v A 12 ; rad
6 6
Cách 2: Với máy FX570ES: Bấm: MODE 2 ;Đơn vị đo góc là độ (D)bấm: SHIFT MODE 3
Nhập: 2
3
 SHIFT (-)∠ 60 + 4 SHIFT (-) ∠ 30 + 8 SHIFT (-) ∠ -90 = Hiển thị kết quả: 6∠-30
( Nếu hiển thị dạng : 3
3
-3i thì bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: 6 ∠-30 ) => vmax= Aω =12π (cm/s) ; ϕ=π/6
Ví dụ 5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số
x
1

= cos(2πt + π)(cm), x
2
=
3
.cos(2πt - π/2)(cm). Phương trình của dao động tổng hợp
A. x = 2.cos(2πt - 2π/3) (cm) B. x = 4.cos(2πt + π/3) (cm)
C. x = 2.cos(2πt + π/3) (cm) D. x = 4.cos(2πt + 4π/3) (cm)
Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4
-Nhập máy: 1 SHIFT(-) ∠ π +
3
 SHIFT(-) ∠ (-π/2 = Hiển thị 2∠-
2
π
3
. Đáp án A
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng dọc theo trục x’Ox có li độ
)()
2
2cos(
3
4
))(
6
2cos(
3
4
cmtcmtx
π
π

π
π
+++=
. Biên độ và pha ban đầu của dao động là:
A.
.
3
;4 radcm
π
B.
.
6
;2 radcm
π
C.
.
6
;34 radcm
π
D.
.
3
;
3
8
radcm
π
Đáp án A
Giải 1: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là radian(R): SHIFT MODE 4

Nhập máy:
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ (π/6) +
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ (π/2 = Hiển thị: 4 ∠
1
π
3
Giải 2: Với máy FX570ES : Chọn đơn vị đo góc là độ Degre(D): SHIFT MODE 3
Nhập máy:
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ 30 +
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ 90 = Hiển thị: 4 ∠ 60
Ví dụ 7: Ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x
1
= 4 cos(πt - π/2) (cm)
, x

2
= 6cos(πt +π/2) (cm) và x
3
=2cos(πt) (cm). Dao động tổng hợp của 3 dao động này có biên độ và pha ban
đầu là
A. 2
2
cm; π/4 rad B. 2
3
cm; - π/4 rad C.12cm; + π/2 rad D.8cm; - π/2 rad
Giải: Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị góc tính rad (R). SHIFT MODE 4 Tìm dao động tổng hợp, nhập máy:
4 SHIFT(-)∠ (- π/2) + 6 SHIFT(-)∠ (π/2) + 2 SHIFT(-)∠ 0 = Hiển thị: 2
2
∠ π/4. Chọn A
Ví dụ 8: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
x
1
= a
2
cos(πt+π/4)(cm) và x
2
= a.cos(πt + π) (cm) có phương trình dao động tổng hợp là
A. x = a
2
cos(πt +2π/3)(cm) B. x = a.cos(πt +π/2)(cm)
C. x = 3a/2.cos(πt +π/4)(cm) D. x = 2a/3.cos(πt +π/6)(cm) Chọn
B
Giải: Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
chọn đơn vị góc tính theo độ (D) Bấm : SHIFT MODE 3 ( Lưu ý : Không nhập a)

Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy :
2
 SHIFT(-)∠45 + 1 SHIFT(-)∠180 = Hiển thị: 1∠ 90,
e. Trắc nghiệm vận dụng :
Câu 1: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số x
1
=
3
cos(5πt +π/2) (cm) và
x
2
=
3
cos( 5πt + 5π/6)(cm). Phương trình dao động tổng hợp là
A. x = 3 cos ( 5πt + π/3) (cm). B. x = 3 cos ( 5πt + 2π/3) (cm).
C. x= 3 cos ( 5πt - 2π/3) (cm). D. x = 4 cos ( 5πt + π/3) (cm) Đáp án B
Câu 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo các phương trình:
x
1
= 4cos(πt )(cm) và x
2
= 4
3
cos(πt + π/2) (cm). Phương trình của dao động tổng hợp
A. x = 8cos(πt + π/3) (cm) B. x = 8cos(πt -π/6) (cm)
C. x = 8cos(πt - π/3) (cm) D. x = 8cos(πt + π/6) (cm) Đáp án A
Câu 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo các phương trình:
x
1
= acos(πt + π/2)(cm) và x

2
= a
3
cos(πt) (cm). Phương trình của dao động tổng hợp
A. x = 2acos(πt + π/6) (cm) B. x = 2acos(πt -π/6) (cm)
C. x = 2acos(πt - π/3) (cm) D. x = 2acos(πt + π/3) (cm) Đáp án A
5. Tìm dao động thành phần ( xác định A
2
và
ϕ
2
) bằng cách dùng máy tính thực hiện phép trừ :
Ví dụ tìm dao động thành phần x
2
: x
2
=x - x
1
với: x
2
= A
2
cos(ωt + ϕ
2
)
Xác định A
2
và ϕ
2
?

a.Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
-Chọn đơn vị đo góc là độ ta bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D
(hoặc Chọn đơn vị đo góc là Radian ta bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R )
Nhập A , bấm SHIFT (-) nhập φ
;
bấm - (trừ), Nhập A
1
, bấm SHIFT (-) nhập φ
1 ,
nhấn = kết quả.
(Nếu hiển thị số phức thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả trên màn hình là: A
2
∠ ϕ
2
b.Với máy FX570MS : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Nhập A , bấm SHIFT (-) nhập φ ;bấm - (trừ), Nhập A
1
, bấm SHIFT (-) nhập φ
1
nhấn =
Sau đó bấm SHIFT + = hiển thị kết quả là: A
2.
bấm

SHIFT = hiển thị kết quả là: φ
2

c.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình dao động tổng hợp x=5
2

cos(πt+5π/12)(cm)
với các dao động thành phần cùng phương, cùng tần số là x
1
=A
1
cos(πt + ϕ
1
) và x
2
=5cos(πt+π/6)(cm),
Biên độ và pha ban đầu của dao động 1 là:
A. 5cm; ϕ
1
= 2π/3 B.10cm; ϕ
1
= π/2 C.5
2
(cm) ϕ
1
= π/4 D. 5cm; ϕ
1
= π/3
Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
-Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần:
Nhập máy : 5
2
 SHIFT(-) ∠ (5π/12) – 5 SHIFT(-) ∠ (π/6 = Hiển thị: 5 ∠
2
π
3

, chọn A
Ví dụ 2: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
= 2
3
cos(2πt + π/3) (cm), x
2
= 4cos(2πt +π/6) (cm) và x
2
= A
3
cos(πt + ϕ
3
) (cm). Phương trình dao động tổng
hợp có dạng x = 6cos(2πt - π/6) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:
A. 8cm và - π/2 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2. Chọn A
Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần thứ 3: x
3
= x - x
1
–x
2

Nhập: 6 SHIFT(-) ∠ (-π/6) - 2
3
 SHIFT(-) ∠ (π/3) - 4 SHIFT(-) ∠ (π/6 = Hiển thị: 8 ∠-
1
π
2

.
d.Trắc nghiệm vận dụng:
Câu 1: Một vật đồng thời tham gia 2 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=
8cos(2πt + π/2) (cm) và x
2
= A
2
cos(πt + ϕ
2
) (cm). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x=8
2
cos(2πt
+ π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 2:
A. 8cm và 0 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2.
Câu 2: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=
8cos(2πt + π/2) (cm), x
2
= 2cos(2πt -π/2) (cm) và x
3
= A
3
cos(πt + ϕ
3
) (cm). Phương trình dao động tổng
hợp có dạng x = 6
2

cos(2πt + π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần
thứ 3:
A. 6cm và 0 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2.
Câu 3: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=
a.cos(2πt + π/2) , x
2
= 2a.cos(2πt -π/2) và x
3
= A
3
cos(πt + ϕ
3
). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x
= a
2
cos(2πt - π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:
A. a và 0 . B. 2a và π/3. C. a
2
và π/6 . D. 2a
2
và π/2.
C. BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 1. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có các
phương trình là:
1
x 4cos(10t )
4
π

= +
(cm) và x
2
= 3cos(10t +
4
3
π
) (cm). Xác định vận tốc cực đại và gia tốc
cực đại của vật.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Ta có: A =
0
21
2
2
2
1
90cos2 AAAA ++
= 5 cm
 v
max
= ωA = 50 cm/s = 0,5 m/s; a
max
= ωA = 500 cm/s
2
= 5 m/s
2
.
Cách 2: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
chọn đơn vị góc tính theo độ (D) Bấm : SHIFT MODE 3

Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy : 4  SHIFT(-)∠45 + 3 SHIFT(-)∠135 = Hiển thị: 5∠ 81,869,
Suy ra A = 5cm  v
max
= ωA = 50 cm/s = 0,5 m/s; a
max
= ωA = 500 cm/s
2
= 5 m/s
2
.
Bài 2. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức x = 5
3
cos(6πt +
2
π
) (cm).
Dao động thứ nhất có biểu thức là x
1
= 5cos(6πt +
3
π
) (cm). Tìm biểu thức của dao động thứ hai.
Hướng dẫn giải:.
Cách 1: Ta có: A
2
=
)cos(2
11
2
1

2
ϕϕ
−−+ AAAA
= 5 cm; tanϕ
2
=
11
11
coscos
sinsin
ϕϕ
ϕϕ
AA
AA
−
−
= tan
3
2
π
.
Vậy: x
2
= 5cos(6πt +
3
2
π
)(cm).
Cách 2: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần thứ 2: x

2
= x - x
1

Nhập: 5
3
 SHIFT(-) ∠ (π/2) - 5 SHIFT(-) ∠ (π/3 = Hiển thị: 5 ∠
2
π
3
.Vậy: x
2
= 5cos(6πt +
3
2
π
)(cm).
Bài 2. Một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương với các phương trình: x
1
= 5cos5πt
(cm); x
2
= 3cos(5πt +
2
π
) (cm) và x
3
= 8cos(5πt -
2
π

) (cm). Xác định phương trình dao động tổng hợp của
vật.
Hướng dẫn giải:.
Cách 1: Ta có: x
1
= 3sin(5πt +
2
π
) (cm) = 3cos5πt (cm); x
2
và x
3
ngược pha nên : 8-3 =5 =>
x
23
=5cos(5πt -
2
π
) (cm), x
1
và x
23
vuông pha . Vậy: x = x
1
+ x
2
+ x
3
= 5
2

cos(5πt -
4
π
) (cm).
Cách 2: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị góc tính rad (R). SHIFT MODE 4 Tìm dao động tổng hợp, nhập máy:
5 SHIFT(-)∠ 0 + 3 SHIFT(-)∠ (π/2) + 8 SHIFT(-)∠ (-π/2) = Hiển thị: 5
2
∠ -π/4. Chọn A
D.TRẮC NGHIỆM :
Câu 1: Hai dao động cùng phương, cùng tần số, có biên độ lần lượt là 3cm và 4cm. Biết độ lệch pha của 2
dao động là 90
0
, biên độ dao động tổng hợp hai dao động trên là :
A. 1cm B. 5cm C. 7cm D. không tính được
Câu 2: Hai dao động cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và ngược pha nhau. Biên độ dao động tổng
hợp hai dao động trên là :
A. 0 B. 5cm C. 10cm D. không tính được
Câu 3: Hai dao động cùng phương, cùng tần số, có biên độ lần lượt là 2cm và 6cm. Biên độ dao động tổng
hợp hai dao động trên là 4cm khi độ lệch pha của 2 dao động là :
A. 2kπ B. (2k – 1) π C. ( k – ½)π D. (2k + 1 ) π/2 (k nguyên)
Câu 4: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số 10Hz và có biên độ lần
lượt là 7cm và 8cm. Hiệu số pha của 2 dao động là π/3 rad. Độ lớn vận tốc của vật khi vật có li độ 12cm là :
A. 314cm/s B. 100cm/s C. 157cm/s D. 120πcm/s
Câu 5: Một vật khối lượng m = 100g thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương :
1 2
5 20 12 20
π
= = +
cos ( ); cos( )( )x t cm x t cm

. Năng lượng dao động của vật là :
A. 0,25J B. 0,098J C. 0,196J D. 0,578J
Câu 6: Cho 2 dao động điều hòa :
1 2
3 4 4 4
2
π
π π
= − =cos( )( ); cos ( )x t cm x t cm
. Dao động tổng hợp của 2
dao động trên là
A.
37
5 4
180
π
π
= +cos( )( )x t cm
B. x = cos 4πt (cm) C. x =7cos4πt (cm) D.
37
5 4
180
π
π
= −cos( )( )x t cm
Câu 7: Cho 2 dao động điều hòa :
1 2
2
8 10 8 10
6 3

π π
π π
= − = −
cos( )( ); cos( )( )x t cm x t cm
. Dao động tổng hợp
của 2 dao động trên là :
A.
8 10
2
π
π
= +cos( )( )x t cm
B.
5
8 2 10
12
π
π
= −
cos( )( )x t cm
C.
8 2 10
12
π
π
= −
cos( )( )x t cm
D.
16 10
4

π
π
= +
cos( )( )x t cm
Câu 8: Cho 2 dao động điều hòa :
1 2
2 2 3
3 6
π π
ω ω
= − = +cos( )( ); cos( )( )x t cm x t cm
. Dao động tổng hợp của
2 dao động trên là
A.
8
2
π
ω
= −
cos( )( )x t cm
B.
8
2
π
ω
= +
cos( )( )x t cm
C.
4
3

π
ω
= −
cos( )( )x t cm
D.
4
ω
= cos ( )x t cm
Câu 9: Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng, dọc theo trục x’ox có li độ thỏa mãn phương trình :
4 4
2 2
3
3 3
π
π π
= − +
cos( ) cos ( )x t t cm
. Biên độ và pha ban đầu của dao động là :
A. A = 4(cm); ϕ = - π/3(rad) B. A = 4 (cm); ϕ = - π/6(rad)
C. A =
4 3
(cm); ϕ = π/6(rad) D. A =
8
3
(cm); ϕ = 2π/3(rad)
Câu 10: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và có phương trình
dao động lần lượt là
1 2
os(20 )( ), 3 os(20 )( )
2

x c t cm x c t cm
π
π
π
= = +
. Phương trình dao động của vật là
A.
14cos(5 )( )
3
x t cm
π
π
= +
B.
4
2cos(5 )( )
3
x t cm
π
π
= +
C.
10cos(5 )( )
3
x t cm
π
π
= +
D.
2cos(5 )( )

3
x t cm
π
π
= +
Câu 11: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Biết phương trình
của dao động tổng hợp là
5
3cos(10 )( )
6
x t cm
π
π
= −
, phương trình của thành phần dao động thứ nhất là
1
5cos(10 )( )
6
x t cm
π
π
= +
. Phương trình của thành phần dao động thứ hai là
A.
2
8cos(10 )( )
6
x t cm
π
π

= +
B.
2
2cos(10 )( )
6
x t cm
π
π
= +
C.
2
5
8cos(10 )( )
6
x t cm
π
π
= −
D.
2
5
2cos(10 )( )
6
x t cm
π
π
= −
Câu 12: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo các phương trình
1 2
2cos(5 )( ), 2cos(5 )( )

2
x t cm x t cm
π
π π
= + =
. Vận tốc của vật có độ lớn cực đại là
A.
10 2 ( / )cm s
π
B.
10 2( / )cm s
C.
10 ( / )cm s
π
D.
10( / )cm s
Câu 13: (ĐH-2009) Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có các pha ban
đầu là
3
π
và
6
π
−
. Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng
A.
2
π
−
B.

4
π
. C.
6
π
. D.
12
π
.
Câu 14: (ĐH-2009) Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao
động này có phương trình lần lượt là
1
x 4cos(10t )
4
π
= +
(cm) và
2
3
x 3cos(10t )
4
π
= −
(cm). Độ lớn vận
tốc của vật ở vị trí cân bằng là
A. 100 cm/s. B. 50 cm/s. C. 80 cm/s. D. 10 cm/s.
Câu 15: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ x =
4cos(πt -
6
5

π
) (cm).
Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x
1
=
5cos(πt
+
6
π
) (cm). Dao động thứ hai
có phương trình li độ là
A. x
2
=
9cos(πt
+
6
π
) (cm). B. x
2
=
cos(πt
+
6
π
) (cm).
C. x
2
=
cos(πt

-
6
5
π
) (cm). D. x
2
=
9cos(πt
-
6
5
π
) (cm).
Câu 16: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này
có phương trình lần lượt là x
1
= 3cos10t (cm) và x
2
=
4sin(10 )
2
t
π
+
(cm). Gia tốc của vật có độ lớn cực đại
bằng
A. 7 m/s
2
. B. 1 m/s
2

. C. 0,7 m/s
2
. D. 5 m/s
2
.
Câu 17: Một vật tham gia đồng thời 2 dao động thành phần cùng phương, cùng tần số x
1
= 4cos100πt (cm)
và x
2
= 4cos(100πt +
2
π
) (cm) có phương trình tổng hợp là
A. x = 4
2
cos(100πt +
4
π
) (cm) B. x = 4
2
cos100πt(cm)
C. x = 4cos(100πt +
4
π
) (cm) D. x = 4cos100πt (cm)
Câu 18: Cho 2 dao động
)cos(
1
πω

+= tAx
và
)
3
cos(
2
π
ω
+= tAx
. Biên độ và pha ban đầu của dao động
tổng hợp
A.
3
;
2
3
π
A
B.
3
2
;
π
A
C. 2A ; 0 D.
6
;3
π
A

Câu 19: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x
1
=2cos(5
π
t+
π
/2) cm, x
2
=2cos(5
π
t) cm. Vận tốc của vật lớn nhất bằng
A. 10
2
π
cm/s B. 10
2
cm/s C.10
π
cm/s D. 10cm/s
Câu 20: Một vật đồng thời tham gia 2 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=
8cos(2πt + π/2) (cm) và x
2
= A
2
cos(πt + ϕ
2
) (cm). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x=8
2

cos(2πt
+ π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 2:
A. 8cm và 0 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2.
Câu 21: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ
5
3cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ
1
5cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). Dao động thứ
hai có phương trình li độ là
A.
2
8cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). B.

2
2cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm).
C.
2
5
2cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm). D.
2
5
8cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm).
Câu 22: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số f=10Hz. Có biên độ A
1
=7cm;

A
2
=8cm độ lệch pha của hai dao động là
π
/3. Vận tốc của vật ứng với li độ tổng hợp x =12cm bằng
A.
10
π
±
m/s B.
10
π
±
cm/s C.
π
±
m/s D.
π
±
cm/s
Câu 23: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình là: x
1
=4cos(10t+
π
/4) cm; x
2
=3cos(10t-3
π
/4) cm. Độ lớn vận tốc khi nó qua vị trí cân bằng là

A. 10cm/s B. 7cm/s C. 20cm/s D. 5cm/s
Câu 24: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình là: x
1
=4cos(10t+
π
/4) cm; x
2
=3cos(10t-3
π
/4) cm. Gia tốc khi nó qua vị trí biên bằng
A. 10cm/s
2
B. 1cm/s
2
C. 10m/s
2
D. 1m/s
2
Câu 25: Cho 3 dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x
1
=2Acos(10
π
t+
π
/6), x
2
=2Acos(10
π
t+5

π
/6) và x
3
=A(10
π
t-
π
/2) (với x tính bằng m, t tính bằng s). Phương trình tổng hợp của ba dao động trên
là.
A. x=Acos(10
π
t+
π
/2) cm B. x=Acos(10
π
t-
π
/2) cm
C. x=Acos(10
π
t+5
π
/2) cm D. x=Acos(10
π
t-5
π
/2) cm
Câu 26: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=

8cos(2πt + π/2) (cm), x
2
= 2cos(2πt -π/2) (cm) và x
3
= A
3
cos(πt + ϕ
3
) (cm). Phương trình dao động tổng
hợp có dạng x = 6
2
cos(2πt + π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần
thứ 3:
A. 6cm và 0 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2.
Câu 27: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=
a.cos(2πt + π/2) , x
2
= 2a.cos(2πt -π/2) và x
3
= A
3
cos(πt + ϕ
3
). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x
= a
2
cos(2πt - π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:
A. a và 0 . B. 2a và π/3. C. a

2
và π/6 . D. 2a
2
và π/2.
Câu 28: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương cùng tần số với phương trình có dạng: x
1
=
3
cos(
π
t) cm; x
2
= 2cos(
π
t +
2
π
) cm; x
3
= 3cos(
π
t –
2
π
) cm. Phương trình dao động tổng hợp có dạng.
A. x = 2cos(
π
t –
6
π

) cm B. x = 2cos(
π
t +
2
π
) cm C. x = 2cos(
π
t +
3
π
) cm D. x = 2cos(
π
t –
3
π
)
cm
Câu 29: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động 1 có biên độ A
1
= 10 cm, pha ban đầu
π/6 và dao động 2 có biên độ A
2
, pha ban đầu -π/2. Biên độ A
2
thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A
có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. A = 2
3
(cm) B. A= 5
3

(cm) C. A = 2,5
3
(cm) D. A=
3
(cm)
Giải: Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ qauy như hình vẽ bên:
Hình vẽ dễ dàng ta thấy:
A min khi Biên độ dao động tổng hợp A trùng với OM.
A= A
1
cos (π/6) =10
3
/2 = 5
3
(cm) .Chọn B
Và A
2
= A
1
sin (π/6) =10.1/2 = 5 (cm)
Câu 30: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông điều hoà cung phương:
x
1
= A
1
cos(ωt+π/3)(cm) và x
2
= A
2
cos(ωt- π/2)(cm).Phương trình dao động tổng

hợp là: x=5cos(ωt+ ϕ)(cm). Biên dộ dao động A
2
có giá trị lớn nhất khi ϕ bằng bao nhiêu? Tính A
2max
?
A π/3; 8cm B π /6;10cm C. π/6; 10cm D. B hoặc C
Giải: Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ qauy như hình vẽ bên:
A
2
max khi góc đối diện với nó ( góc β) trong tam giác tạo bởi A
1
,A
2
,A là góc vuông
1
A

α
A
2
A
ϕ
1
A
π/6
A
2
A
O
M

(tam giác vuông tại góc β mà A
2
là cạnh huyền)
Theo định lý hàm số sin ta có
A
Sin
A
Sin
αβ
=
2
=>
α
β
Sin
A
SinA .
2
=
.
Theo đề ta có A =5cm, α= π/6. Nên A
2
phụ thuộc vào Sin β.
Trên hình vẽ: A
2
max khi góc đối diện β =π/2 =>
cm
Sin
A
A 10

2
1
5
6
.1
max2
===
π
Hình vẽ dễ dàng ta thấy: ϕ = /β - ϕ
1
/= / π/2 - π/3 / = π/6
Vì ϕ <0 => ϕ = - π/6 . Chọn B
Câu 31: Hai chất điểm dao động điều hoà trên cùng một trục tọa độ 0x, coi trong quá trình dao động hai chất
điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của hai chất điểm lần lượt là: x
1
= 4cos(4t +
3
π
)
cm và x
2
= 4
2
cos(4t +
12
π
) cm. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là:
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. ( 4
2
- 4)cm

GIẢI:
Cáh 1: (Xem hình vẽ 2 véctơ biểu diễn 2 dao động thảnh phần )
Vì 2 dao động thành phần cùng tần số góc nên trong quá trình các
Véc tơ quay tròn đều thì tam giác OA
1
A
2
có độ lớn không đổi.
Độ lệch pha giữa 2 dao động thành phần :
3
π
-
12
π
=
4
π
Cạnh OA
1
= 4cm ,OA
2
= 4
2
cm , và góc A
1
OA
2
=π/4
Dễ thấy góc OA
1

A
2
= π/2 và tam giác OA
1
A
2
vuông cân tại A
1
.
Suy ra đoạn OA
1
=A
1
A
2
= 4cm (không đổi trong quá trình dao động)
A
1
A
2
là khoảng cách giữa 2 vật .
Khi đoạn A
1
A
2
song song với x’0x thi lúc đó khoảng cách giữa hai vật chiếu
xuống trục x’ox là lớn nhất và bằng 4cm .Chọn A.
Cách 2: Gọi hai chất điểm là M
1
(toạ độ x1) và M

2
(toạ độ x2).
Độ dài đại số đoạn M
2
M
1
là x = x
1
- x
2
= 4cos(4t +5π/6) ( cm) .
Suy ra khoảng cách lớn nhất giữa M
1
và M
2
là x
max
= 4cm( bằng biên độ của x).
Câu 32: Ba con lắc lò xo 1,2,3 đặt thẳng đứng cách đều nhau theo thứ tự 1,2,3. Ở vị trí cân bằng ba vật có
cùng độ cao. Con lắc thứ nhất dao động có phương trình x
1
= 3cos(20πt +
2
π
) (cm), con lắc thứ hai dao động
có phương trình x
2
= 1,5cos(20πt) (cm). Hỏi con lắc thứ ba dao động có phương trình nào thì ba vật luôn luôn
nằm trên một đường thẳng?
A.x

3
= 3
2
cos(20πt -
4
π
) (cm). B.x
3
=
2
cos(20πt -
4
π
) (cm).
C.x
3
= 3
2
cos(20πt -
2
π
) (cm). D.x
3
= 3
2
cos(20πt -+
4
π
) (cm).
Để ba vật luôn nằm trên một đường thẳng thì

2
31
2
xx
x
+
=
hay x
3
= 2x
2
– x
1
→ Dao động của m
3
là tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số.
Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen:
)(2
123
AAA

−+=
Từ giản đồ suy ra: A
3
=
2
1
2
2
)2( AA +

= 3
2
cm
Dễ thấy φ
3
= - π/4 rad → x
3
= 3
2
cos(20πt -
4
π
) (cm).
(hoặc dùng máy tính tổng hợp dao động ).
1
A

1
A

−
2
A

2
2A

3
A


O
x’
III
I
A
1
π/4
O
IV
x
II
A2
Hình
Câu 33: Dao động của một chất điểm có khối lượng 100g là tổng hợp
của hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình li độ lần lượt
là x
1
=5cos(10
π
t) cm, x
2
=10cos(5
π
t) cm (t tính bằng s). Chọn mốc thế năng
ở VTCB. Cơ năng của chất điểm bằng
A. 220J B. 0,1125J C. 0,22J D. 112,5J
Câu 34: Một vật nhỏ có chuyển động là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có
phương trình là
1 1
cosx A t

ω
=
và
2 2
cos
2
x A t
π
ω
 
= +
 ÷
 
. Gọi E là cơ năng của vật. Khối lượng của vật bằng:
A.
2 2 2
1 2
2E
A A
ω
+
B.
2 2 2
1 2
E
A A
ω
+
C.
( )

2 2 2
1 2
E
A A
ω
+
D.
( )
2 2 2
1 2
2E
A A
ω
+
HD: Hai dao động vuông pha :
2
2
2
1
AAA +=
suy ra :
=⇒+= mAAmE )(
2
1
2
2
2
1
2
ω

( )
2 2 2
1 2
2E
A A
ω
+
Chọn D
Câu 35. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
1 1
os( )x Ac t cm
ω
=
và
2 2
5
os( )
6
x A c t cm
π
ω
= −
được
6 os( )x c t cm
ω ϕ
= +
. Biên độ A
2
đạt cực đại bằng giaù trò naøo sau ñaâu:
A.

6 3
cm. B.
4 3
cm. C. 12 cm. D. 6 cm.
E.Ý NGHĨA CỦA CHUYÊN ĐỀ :
-Gíup HS giải nhanh trắc nghiệm nhờ sử dụng số phức trên máy tính
-Giúp HS tự tin hơn trong lúc làm bài thi TRẮC NGHIỆM .
-Giúp HS hiểu sâu hơn về kiến thức TỔNG HỢP DAO ĐỘNG.
Các em HS dùng MÁY TÍNH CASIO fx–570ES & Fx- 570ES Plus & Fx-991 ES Plus!
Để GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP DAO ĐỘNG VẬT LÝ 12!
Nguyên tắc thành công: Suy nghĩ tích cực; Cảm nhận đam mê; Hoạt động kiên trì !
Chúc các em học sinh THÀNH CÔNG trong học tập!
Người sưu tầm và chỉnh lý: GV: Đoàn Văn Lượng
 Email: ; ; ;
 Điện Thoại: 0915718188 – 0906848238
Lời giải chi tiết hoặc hướng dẫn
CHUYÊN ĐỀ: TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Bài 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số và cùng biên độ có pha ban đầu là
π
/3 và –
π
/6. Pha của dao động tổng hợp là
A. –
π
/2 B.
π
/4 C.
π
/6 D.
π

/12
Hd: Áp dụng công thức:
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin
tan
os os
A A
A c A c
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
+
=
+
để ý A
1
=A
2
Từ đó tính được:
ϕ
=
π
/12
Bài 2*: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ
5
3cos( )
6
x t
π

π
= −
(cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ
1
5cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). Dao động thứ
hai có phương trình li độ là
A.
2
8cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). B.
2
2cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm).
C.

2
5
2cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm). D.
2
5
8cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm).
Hd: Ta có phương trình tổng hợp: x=x
1
+x
2
suy ra: x
2
=x-x
1
hay x
2
=x+(-x
1

) mà
1
5cos( )
6
x t
π
π
= +
nên –x
1
=
5
5cos( ) 5cos( )
6 6
t t
π π
π π
− + = −
Vậy: x
2
=
5
3cos( )
6
t
π
π
− +
5
5cos( )

6
t
π
π
−
=
5
8cos( )
6
t
π
π
−
(cm)
Bài 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số f=10Hz. Có biên độ A1=7cm;
A2=8cm độ lệch pha của hai dao động là
π
/3. Vận tốc của vật ứng với li độ tổng hợp x=12cm bằng
A.
10
π
±
m/s B.
10
π
±
cm/s C.
π
±
m/s D.

π
±
cm/s
Hd: Áp dụng công thức:
2 2
v A x
ω
= ± −
(1)với
ω
=2
π
f=20
π

2 2 2
1 2 1 2
2 os
2
A A A A A c
π
= + +
Dễ dàng tính được A=13cm
Thay vào (1) Dễ dàng tính được v=
π
±
m/s
Bài 4*: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình là: x1=4cos(10t+
π

/4) cm; x2=3cos(10t-3
π
/4) cm. Độ lớn vận tốc khi nó qua vị trí cân bằng là
A. 10cm/s B. 7cm/s C. 20cm/s D. 5cm/s
Hd: Qua VTCB thì V=V
max
=
A
ω
±
. Do độ lệch pha của hai dao động là:
ϕ
∆
=-3
π
/4-
π
/4=-
π
nên 2 dao động
ngược pha. Suy ra A=1cm. Dễ dàng tính được v=10cm/s.
Bài5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=6cos(5
π
t+
π
/3) cm, x2= 8cos(5
π
t+4
π
/3) cm. Phương trình dao động tổng hợp là

A. x=14cos(5
π
t+
π
/3) cm B. x=2cos(5
π
t+
π
/3) cm.
C. x=10cos(5
π
t+
π
/3) cm D. x=2cos(5
π
t+4
π
/3) cm
Hd:
ϕ
∆
=4
π
/3-
π
/3 =
π
Hai dao động ngược pha nên A= 8-6=2cm
Dùng công thức
1 1 2 2

1 1 2 2
sin sin
tan
os os
A A
A c A c
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
+
=
+
suy ra được
ϕ
=4
π
/3 chọn D
Cách 2: Để ý: x1= 6cos(5
π
t+
π
/3) x1= -6cos(5
π
t+4
π
/3)
Nên x=x1+x2= - 6cos(5
π
t+4
π

/3) +8cos(5
π
t+4
π
/3) =2cos(5
π
t+4
π
/3) cm
Bài 6: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình
là: x1=4cos(10t+
π
/4) cm; x2=3cos(10t-3
π
/4) cm. Gia tốc khi nó qua vị trí biên bằng
A. 10cm/s
2
B. 1cm/s
2
C. 10m/s
2
D. 1m/s
2
Hd: Qua VTB thì a=a
max
=
A
ω
±
2

. Do độ lệch pha của hai dao động là:
ϕ
∆
=-3
π
/4-
π
/4=-
π
nên 2 dao động
ngược pha. Suy ra A=1cm. Dễ dàng tính được a=100cm/s
2
=1m/s
2
Bài 7: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=2cos(5
π
t+
π
/2) cm, x2=2cos(5
π
t) cm. Vận tốc của vật lớn nhất bằng
A. 10
2
π
cm/s B. 10
2
cm/s C.10
π
cm/s D. 10cm/s
Hd: V=V

max
=
A
ω
±
. Do độ lệch pha của hai dao động là:
ϕ
∆
=
π
/2 nên 2 dao động vuông pha. Suy ra A=
2 2
1 2
A A+
=2
2
cm. Dễ dàng tính được v=10
2
π
cm/s.
Bài 8*: Một vật dao động trên một đường thẳng có phương trình x =3cos
ω
t +4sin
ω
t . Biên độ và pha ban
đầu dao động này là
A. A=5cm;
ϕ
=0,93 rad B. A=1cm;
ϕ

=0,93 rad
C. A=1cm;
ϕ
=3
π
/4 rad D. A=5cm;
ϕ
=3
π
/4 rad
Hd: Ta thấy x=x1+x2 =3cos
ω
t +4sin
ω
t=3cos
ω
t +4cos(
ω
t+
π
/2)
Do đó:
ϕ
∆
=
π
/2 Suy ra A=
2 2
1 2
A A+

=5 cm Và tan
ϕ
=4/3 nên
ϕ

≈
53,1
0
=0,93 rad
Bài 9: Dao động của một chất điểm có khối lượng 100g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
phương có phương trình li độ lần lượt là x1=5cos(10
π
t) cm, x2=10cos(5
π
t) cm (t tính bằng s). Chọn mốc
thế năng ở VTCB. Cơ năng của chất điểm bằng
A. 220J B. 0,1125J C. 0,22J D. 112,5J
Hd: Cơ năng W=
2 2 2
1 1
2 2
kA m A
ω
=
. Do
ϕ
∆
=0 nên 2 dao động cùng pha suy ra A=15cm=0,15m
Từ đó dễ dàng tính được W=0,1125J
Bài 10*: Cho 3 dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x1=2Acos(10

π
t+
π
/6), x2=2Acos(10
π
t+5
π
/6) và x3=A(10
π
t-
π
/2) (với x tính bằng m, t tính bằng s). Phương trình tổng hợp của ba dao động trên
là.
A. x=Acos(10
π
t+
π
/2) cm B. x=Acos(10
π
t-
π
/2) cm
C. x=Acos(10
π
t+5
π
/2) cm D. x=Acos(10
π
t-5
π

/2) cm
Hd: Sử dụng phương pháp giản đồ vectơ ta có
1 1 2 2 3 3
sin sin sin
x
A A A A
ϕ ϕ ϕ
= + + =
A
1 1 2 2 3 3
s s s
y
A Aco A co A co
ϕ ϕ ϕ
= + + =
0
Từ đó suy ra A
TT
=
2 2
x y
A A+
=A; Pha ban đầu tan
ϕ
=
x
y
A
A
nên

ϕ
=
π
/2 vậy chọn A.
Bài 11: Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao
động lần lượt là x
1
= 10cos(
2
π
t + φ) cm và x
2
= A
2
cos(
2
π
t
2
π
−
) cm thì dao động tổng hợp là x = Acos(
2
π
t
3
π
−
) cm. Khi năng lượng dao động của vật cực đại thì biên độ dao động A
2

có giá trị là:
A.
20 / 3
cm B.
10 3
cm C.
10 / 3
cm D. 20cm
Giải:
Vẽ giãn đồ véc tơ như hình vẽ
A = A
1
+ A
2
Năng lượng dao động của vật
tỉ lệ thuận với A
2
Theo định lí sin trong tam giác
α
sin
A
=
6
sin
1
π
A
>
A = 2A
1

sinα. A = A
max
khi sinα = 1.=> α = π/2 (Hình vẽ)
Năng lượng cực đại khi biên độ A= 2A
1
= 20 cm.
Suy ra A
2
=
2
1
2
AA −
= 10
3
(cm). Chọn đáp án B
Bài 12: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li
độ lần lượt là x
1
= 3cos(
3
2
π
t -
2
π
) và x
2
=3
3

cos
3
2
π
t (x
1
và x
2
tính bằng cm, t tính bằng s). Tại các thời
điểm x
1
= x
2
li độ của dao động tổng hợp là:
A. ± 5,79 cm. B. ± 5,19cm. C. ± 6 cm. D. ± 3 cm.
Giải 1: Phương trình dao động tổng hợp
x = 6cos(
3
2
π
t -
6
π
) (cm); 3cos(
3
2
π
t -
2
π

) =3sin(
3
2
π
t )
x
1
= x
2
=> 3cos(
3
2
π
t -
2
π
) = 3
3
cos
3
2
π
t
=> tan
3
2
π
t =
3
= tan

3
π
=>
3
2
π
t =
6
π
+ kπ > t =
4
1
+
2
3k
x = 6cos(
3
2
π
t -
6
π
) = x = 6cos[
3
2
π
(
4
1
+

2
3k
) -
3
π
]
π/6
π/3
O
π/3
α
A
2
A
A
1
O
π/3
A
A
1
A
2
π/6
A
1
A
2
A
= 6cos(kπ -

6
π
) = ± 3
3
cm = ± 5,19 cm
Giải: Cách 2 Dùng giản đồ véctơ:
Với các số liệu đề bài ta vẽ được giản đồ
véctơ như hình trên
Ta dễ dàng có: xhiệu = 6cos(
2
3
π
t
π
−
5
6
) ; xtổng = 6cos(
2
3
π
t
π
−
6
)
Nhận xét khi x
1
= x
2

thi x
1
-x
2
= 0 khi véc tơ biểu điễn x
hiệu
= x
1
-x
2
vuông góc với trục ngang,
Lúc đó x
tổng
= x
1
+x
2
lệch với trục ngang một góc π/6 hoặc 5π/6.
Nên ta có x = 6cos (π/6) = 3
3
= 5,19cm ; x = 6cos (5π/6)= -3
3
= -5,19cm . Chọn B
Giải: Cách 3 Dùng số phức với máy tính Fx570Es:
Bấm máy ta có x
hiệu
= x
1
-x
2

= 6cos(
2
3
π
t
π
−
5
6
) ; xtổng = 6cos(
2
3
π
t
π
−
6
)
Khi x
hiệu
= 0 thì cos(
2
3
π
t
π
−
5
6
) = 0 =>

2
3
π
t
π
−
5
6
=
π
±
2
=> t= 2s hoặc t= 0,5s
Thế t=2s vào xtổng: xtổng = 6cos(
2
3
π
2.
π
−
6
) = 6cos(
π
4
3
π
−
6
) =6cos(
π

7
6
) = -3
3
= -5,19cm
Thế t=0,5s vào xtổng: xtổng = 6cos(
2
3
π
0,5.
π
−
6
) = 6cos(
π
3
π
−
6
) =6cos(
π
6
) =3
3
= 5,19cm Chọn B
Bài 13. Dao động tổng hợp của 2 trong 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:x
12
=2cos(2πt + π/3)
cm, x
23

=2
3
cos(2πt +5π/6)mcm, x
31
=2cos(2πt + π)cm. Biên độ dao động của thành phần thứ 2?
A. 1 cm. B. 3 cm. C.
3
cm. D. 2
3
cm.
Giải: Chọn trục Ox như hình vẽ.
Vẽ các giản đồ vec tơ
A
12
=2cm; A
23
= 2
3
cm, A
31
= 2cm
vẽ véc tơ A
A = A
12
+ A
31
Ta thấy A = A
12
= 2cm
A = A

12
+ A
31
= A
1
+ A
2
+ A
1
+ A
3

A = 2A
1
+ A
2
+ A
3
= 2 A
1
+ A
23
Từ giản đồ ta tính được A
1
= 1 cm.
Xét tam giác OA
23
M: A
23
M

= 2A
1
góc A
23
OM = 30
0
Định lí hàm số cosin: 4A
1
2
= (2
3
)
2
+ 2
2
– 2.2
3
.2 cos30
0
= 4 => A
1
= 1 cm và
Véc tơ A
1
trùng với trục Ox Từ đó suy ra A
2
=
3
cm . chọn đáp án C

Bài 14: Hai phương trình dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình x
1
= A
1
cos(
ω
t -
π
/6) cm và x
2
= A
2
cos(
ω
t -
π
) cm. Dao động tổng hợp có phương trình x = 9cos(
ω
t -
ϕ
) cm. Để biên độ A
2
có giá trị cực đại thì A
1
có giá trị là:
A. 15
3
cm B. 9
3
cm C. 7 cm D. 18

3
cm
Giải: Xem hình vẽ
Khi A
2
max , theo ĐL hàm số sin ta có:
2 1
2 1
2
sin / 2 sin / 3
3
A A
A A
π π
= => =
(1)
Tam giác OAA
2
vuông tại A nên ta có:
2 2 2
1 2
9A A
+ =
(2)
Thế (1) vào (2) Ta có:
2 2 2
1 1
4
9
3

A A
+ =
=> A
1
=9
3
cm. Chọn B
M
30
0
60
0
x
O
A
2A
1
A
3
A
2
A
1
A
31
A
23
A
12
X

1
x
2
π/6
X
tổng
=x
1
+ x
2
0
X
hiệu
=x
1
- x
2
-x
2
π/6
Trục
dọc
Trục ngang x
π/6
A
O
Hình vẽ
A
2
π/3

A
1
π/6
10 BÀI TẬP HAY
CHUYÊN ĐỀ: TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Bài 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số và cùng biên độ có pha ban đầu là
π
/3 và –
π
/6. Pha của dao động tổng hợp là
A. –
π
/2 B.
π
/4 C.
π
/6 D.
π
/12
Bài 2*: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ
5
3cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ
1
5cos( )

6
x t
π
π
= +
(cm). Dao động thứ
hai có phương trình li độ là
A.
2
8cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). B.
2
2cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm).
C.
2
5
2cos( )
6
x t

π
π
= −
(cm). D.
2
5
8cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm).
Bài 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số f=10Hz. Có biên độ A1=7cm;
A2=8cm độ lệch pha của hai dao động là
π
/3. Vận tốc của vật ứng với li độ tổng hợp x=12cm bằng
A.
10
π
±
m/s B.
10
π
±
cm/s C.
π
±
m/s D.
π

±
cm/s
Bài 4*: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình là: x1=4cos(10t+
π
/4) cm; x2=3cos(10t-3
π
/4) cm. Độ lớn vận tốc khi nó qua vị trí cân bằng là
A. 10cm/s B. 7cm/s C. 20cm/s D. 5cm/s
Bài 5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=6cos(5
π
t+
π
/3) cm, x2= 8cos(5
π
t+4
π
/3) cm. Phương trình dao động tổng hợp là
A. x=14cos(5
π
t+
π
/3) cm B. x=2cos(5
π
t+
π
/3) cm.
C. x=10cos(5
π
t+

π
/3) cm D. x=2cos(5
π
t+4
π
/3) cm
Bài 6: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình
là: x1=4cos(10t+
π
/4) cm; x2=3cos(10t-3
π
/4) cm. Gia tốc khi nó qua vị trí biên bằng
A. 10cm/s
2
B. 1cm/s
2
C. 10m/s
2
D. 1m/s
2
Bài 7: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=2cos(5
π
t+
π
/2) cm, x2=2cos(5
π
t) cm. Vận tốc của vật lớn nhất bằng
A. 10
2
π

cm/s B. 10
2
cm/s C.10
π
cm/s D. 10cm/s
Bài 8*: Một vật dao động trên một đường thẳng có phương trình x =3cos
ω
t +4sin
ω
t . Biên độ và pha ban
đầu dao động này là
A. A=5cm;
ϕ
=0,93 rad B. A=1cm;
ϕ
=0,93 rad
C. A=1cm;
ϕ
=3
π
/4 rad D. A=5cm;
ϕ
=3
π
/4 rad
Bài 9: Dao động của một chất điểm có khối lượng 100g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
phương có phương trình li độ lần lượt là x1=5cos(10
π
t) cm, x2=10cos(5
π

t) cm (t tính bằng s). Chọn mốc
thế năng ở VTCB. Cơ năng của chất điểm bằng
A. 220J B. 0,1125J C. 0,22J D. 112,5J
Bài 10*: Cho 3 dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x1=2Acos(10
π
t+
π
/6), x2=2Acos(10
π
t+5
π
/6) và x3=A(10
π
t-
π
/2) (với x tính bằng m, t tính bằng s). Phương trình tổng hợp của ba dao động trên
là.
A. x=Acos(10
π
t+
π
/2) cm B. x=Acos(10
π
t-
π
/2) cm
C. x=Acos(10
π
t+5
π

/2) cm D. x=Acos(10
π
t-5
π
/2) cm
TRÁC NGHIỆM ÔN TẬP TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
I. Các bài tập không nên dùng máy tính
Câu 1: Một vật tham gia vào hai dao động điều hòa có
cùng tần số thì
A. dao động tổng hợp của vật là một dao động tuần hoàn
cùng tần số.
B. dao động tổng hợp của vật là một dao động điều hòa
cùng tần số.
C. dao động tổng hợp của vật là một dao động điều hòa
cùng tần số và có biên độ phụ thuộc vào hiệu pha của hai
dao động thành phần.
D. dao động của vật là dao động điều hòa cùng tần số nếu
hai dao động thành phần cùng phương.
Câu 2: Chọn câu đúng. Biên độ dao động tổng hợp của
hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có
A. giá trị cực tiểu khi hai dao động thành phần lệch pha
π
/2.
B. giá trị bằng tổng biên độ của hai dao động thành phần.
C. giá trị cực đại khi hai dao động thành phần cùng pha.
D. giá trị cực đại khi hai dao động thành phần ngược pha.
Câu 3: Khi tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương
cùng tần số có biên độ thành phần 4cm và 4
3
cm được

biên độ tổng hợp là 8cm. Hai dao động thành phần đó
A. vuông pha với nhau. B. cùng pha với nhau.
C. lệch pha
3
π
. D. lệch pha
6
π
.
Câu 4: Chọn câu đúng. Khi nói về sự tổng hợp dao động.
A. Biên độ dao động tổng hợp có giá trị cực tiểu, khi độ
lệch pha của hai dao động thành phần bằng một số lẻ của
/ 2
π
.
B. Biên độ dao động tổng hợp có giá trị cực tiểu, khi độ
lệch pha của hai dao động thành phần bằng một số chẵn
của
π
.
C. Biên độ dao động tổng hợp có giá trị cực đại, khi độ
lệch pha của hai dao động thành phần bằng một số chẵn
của
π
.
D. Biên độ dao động tổng hợp có giá trị cực đại, khi độ
lệch pha của hai dao động thành phần bằng một số lẻ của
π
.
Câu 5 : Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều

hòa cùng phương theo các phương trình sau : x
1
= 4sin(
t
π α
+
) cm và x
2
=
4cos( )
2
t
π
π
−
cm. Biên độ của dao
động tổng hợp lớn nhất là
A.
2
π
α
=
rad. B.
2
π
α
= −
rad.
C.
α π

=
rad. D.
0
α
=
rad.
Câu 6: Hai dao động thành phần có biên độ 4cm và
12cm. Biên độ dao động tổng hợp có thể nhận giá trị
A. 2 cm. B. 4 cm. C. 3 cm. D. 7 cm.
Câu 7: Hai dao động điều hòa (1) và (2) cùng phương,
cùng tần số và cùng biên độ A = 4cm. Tại một thời điểm
nào đó, dao động (1) có li độ x = 2
3
cm, đang chuyển
động ngược chiều dương, còn dao động (2) đi qua vị trí
cân bằng theo chiều dương. Lúc đó, dao động tổng hợp
của hai dao động trên có li độ bao nhiêu và đang chuyển
động theo hướng nào?
A. x = 8cm và chuyển động ngược chiều dương.
B. x = 0 và chuyển động ngược chiều dương.
C. x = 4
3
cm và chuyển động theo chiều dương.
D. x = 2
3
cm và chuyển động theo chiều dương.
Câu 8: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng
phương có phương trình :
1
2 3 os10 t(cm)x c

π
=
và
2
2 os(10 t + )(cm)
2
x c
π
π
=
.
Nhận định nào sau đây là không đúng?
A. Khi
1
2 3x
= −
cm thì
2
0x
=
.
B. Khi
2
2x =
cm thì
1
2 3x
=
cm.
C. Khi

1
2 3x
=
cm thì
2
0x
=
.
D. Khi
1
0x
=
thì
2
2x
= −
cm.
Câu 9: Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số
có phương trình
1
os( )
1
6
x A c t cm
π
ω
= −
và
os( )
2 2

x A c t cm
ω π
= −
động tổng hợp có phương trình
9 os( )x c t cm
ω π
= +
. Để
biên độ A
2
có giá trị cực đại thì A
1
có giá trị
A.
9 3
cm. B.
2
9 3
cm. C.
15 3
cm. D.
18 3
cm.
II. Các bài toán nên dùng máy tính
1. Bài toán tổng hợp 2 dao động và các tính toán liên
quan
Câu 10: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động x
1
=127cos (ωt-π/3)mm , x
2

=127cos ωt mm .
A. Biên độ dao động tổng hợp là 200mm.
B. Pha ban đầu của dao động tổng hợp là π/6.
C. phương trình dao động tổng hợp là
x = 220cos( ωt - π/6)mm.
D. tần số góc của dao động tổng hợp là ω=2rad/s.
Câu 11: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hòa cùng phương theo các phương trình:
x
1
= - 4sin
π
t cm và x
2
= 4
3
cos
π
t cm.
Phương trình dao động tổng hợp là
A. x = 8cos(
π
t +
6
π
) cm. B. x = 8sin(
π
t -
6
π

) cm.
C. x = 8cos(
π
t -
6
π
) cm. D. x = 8sin(
π
t +
6
π
) cm.
Câu 12 : Cho hai dao động điều hoà cùng phương, cùng
tần số, cùng biên độ
2
cm và có các pha ban đầu lần
lượt là
2
3
π
và
6
π
. Pha ban đầu và biên độ của dao động
tổng hợp của hai dao động trên là
A.
5
12
π
;2cm. B.

3
π
;
2 2
cm.
C.
;2 2
4
π
cm. D.
2
π
; 2cm.
Câu 13: Cho 2 dao ®éng:
x
1
=
3
cos
3
t
π
 
−
 ÷
 
cm; x
2
=3cos
5

6
t
π
 
−
 ÷
 
cm, s
Dao ®éng tæng hîp cã biªn ®é vµ pha ban ®Çu lµ
A. 3
3
cm;
6
π
rad . B.
2 3
cm; -
2
3
π
rad.
C.
3
cm;
3
π
rad. D. 2
2
cm;
6

π
rad.
Câu 14: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều
hoà cùng phương, có phương trình lần lượt là
x
1
= 3sin(10t - π/3) (cm); x
2
= 4cos(10t + π/6) (cm) (t đo
bằng giây). Vận tốc cực đại của vật là
A. 50m/s. B. 50cm/s. C. 10m/s. D. 10cm/s.
Câu 15: Hai dao động điều hòa (1) và (2) cùng phương,
cùng tần số và cùng biên độ A = 10cm. Tại một thời
điểm nào đó, dao động (1) có li độ x = 5
3
cm, đang
chuyển động ngược chiều dương, còn dao động (2) đi
qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Lúc đó, dao động
tổng hợp của hai dao động trên có biên độ bao nhiêu và
đang chuyển động theo hướng nào?
A. A = 8cm và chuyển động ngược chiều dương.
B. A = 0 và chuyển động ngược chiều dương.
C. A = 10
3
cm và chuyển động theo chiều dương.
D. A = 10cm và chuyển động theo chiều dương.
Câu 16: Cho hai dao động điều hòa cùng phương cùng
chu kì T=2s. Dao động thứ nhất tại thời điểm t = 0 có li
độ bằng biên độ và bằng 2cm. Dao động thứ hai có biên
độ bằng 2

3
cm, tại thời điểm ban đầu có li độ bằng 0
và vận tốc âm. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao
động trên là
A. 4 cm. B. 3 cm. C. 5 cm. D. 2
3
cm.
Câu 17: Hai dao động điều hào cùng phương cùng tần
số, cùng biên độ và các pha ban đầu là
/ 3; / 6
π π
−
. Pha ban đầu của hai dao động tổng hợp
trên bằng
A.
2
π
−
. B.
12
π
. C.
4
π
. D.
6
π
.
Câu 18: Chuyển động của một vật là tổng hợp của 2 dao
động điều hòa cùng phương. 2 dao động này có phương

trình lần lượt là:
1
4 os(10 )( )
4
x c t cm
π
= +
và
2
3
3 os(10 )( )
4
x c t cm
π
= −
. Độ lớn vận tốc của vật ở vị
trí cân bằng là
A. 10cm/s. B. 50cm/s. C. 100cm/s. D. 80cm/s.
Câu 19: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hòa cùng phương theo các phương trình:
x
1
= - 4sin
π
t và x
2
= 4
3
cos
π

t cm.
Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm t
1
= 0 đến thời
điểm t
2
= 2s là
A. 16cm. B. 32cm. C. 24cm. D. 8cm
Câu 20 : Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hòa cùng phương, cùng tần số 10 Hz với các biên độ
thành phần là 7 cm và 8 cm. Cho biết hiệu số pha của hai
dao động là
3
π
. Vận tốc của vật khi nó qua vị trí có li độ
x = 12 cm là
A. 314 cm/s. B. 100 cm/s.
C. 157 cm/s. D. 120π cm/s.
2. Bài toán tổng hợp nhiều dao động
Câu 21: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều
hòa cùng phương cùng tần số sau:
1 2
3
1,5 os ( ); os( )( );
2 2
x c t cm x c t cm
π
ω ω
= = +
3

5
3 os( )( )
6
x c t cm
π
ω
= −
. Phương trình dao động
tổng hợp của vật là
A.
3 7
os( )
2 6
x c t
π
ω
= +
cm.
B.
7
6 os( )
12
x c t
π
ω
= +
cm
C.
3 os( )
2

x c t
π
ω
= +
cm.
D.
3 os( )
3
x c t
π
ω
= −
cm.
Câu 22: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều
hoà cùng phương cùng tần số với phương trình có dạng:
x
1
=
3
cos(
π
t) cm; x
2
= 2cos(
π
t +
2
π
) cm;
x

3
= 3cos(
π
t –
2
π
) cm. Phương trình dao động tổng hợp
có dạng
A. x = 2cos(
π
t –
6
π
) cm. B. x = 2cos(
π
t +
2
π
) cm.
C. x = 2cos(
π
t +
3
π
) cm. D. x = 2cos(
π
t –
3
π
) cm.

Câu 23: Một vật thực hiện đồng thời 4 dao động điều
hòa cùng phương và cùng tần số có các phương trình
x
1
= 3sin(πt + π) cm; x
2
= 3cosπt (cm);x
3
= 2sin(πt + π)
cm; x
4
= 2cosπt (cm). Hãy xác định phương trình dao
động tổng hợp của vật
A.
)2/cos(5
ππ
+=
tx
.
B.
5 2 os( / 4)x c t
π π
= +

C.
)2/cos(5
ππ
+=
tx
.

D.
)4/cos(5
ππ
−=
tx
.
Câu 24: Có bốn dao động điều hoà cùng phương cùng
tần số có biên độ và pha ban đầu là A
1
=8cm; A
2
=6cm;
A
3
=4cm; A
4
=2cm và

1 3 4
2
0; 2; ; 2
ϕ ϕ π ϕ π ϕ π
= = = = −
. Biên độ và pha
ban đầu của dao động tổng hợp là
A.
4 2 ;
4
cm rad
π

. B.
3
4 2 ;
4
cm rad
π
.
C.
4 3 ;
4
cm rad
π
−
. D.
3
4 3 ;
4
cm rad
π
−
.
Câu 25: Một vật thực hiện đồng thời 4 dao động điều
hòa cùng phương và cùng tần số có các phương trình
x
1
= 3sin(πt + π) cm; x
2
= 3cosπt (cm);x
3
= 2sin(πt + π)

cm; x
4
= 2cosπt (cm). Hãy xác định phương trình dao
động tổng hợp của vật
A.
)2/cos(5
ππ
+=
tx
.
B.
5 2 os( / 4)x c t
π π
= +

C.
)2/cos(5
ππ
+=
tx
.
D.
)4/cos(5
ππ
−=
tx
.
Câu 26: Có bốn dao động điều hoà cùng phương cùng
tần số có biên độ và pha ban đầu là A
1

=8cm; A
2
=6cm;
A
3
=4cm; A
4
=2cm và
1 2 3 4
0; 2; ; 2
ϕ ϕ π ϕ π ϕ π
= = = = −
.
Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp là
A.
4 2 ;
4
cm rad
π
. B.
3
4 2 ;
4
cm rad
π
.
C.
4 3 ;
4
cm rad

π
−
. D.
3
4 3 ;
4
cm rad
π
−

3. Bài toán tìm một dao động thành phần biết dao
động tổng hợp và các dao động thành phần còn lại
Câu 27: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hòa cùng phương
1
6cos(12 / 2)x t
π π
= −
cm.
2 2 2
cos(12 )x A t
π ϕ
= +
cm. Phương trình dao động tổng
hợp:
6cos(12 / 6)x t
π π
= +
cm. Giá trị của A
2

và ϕ
2
là
A. A
2
= 6cm,
2
2
π
ϕ
=
. B. A
2
= 6
3
cm,
3
2
π
ϕ
=
. C.
A
2
= 12cm,
2
2
π
ϕ
=

. D. A
2
= 12cm,
3
2
π
ϕ
=
.
Câu 28: Một vật tham gia đồng thơi hai dao động điều
hoà cùng phương cùng tần số. Biết phương trình dao
động của vật 1 là
1
8 3 cos( )
6
x t
π
ω
= +
và phương trình
dao động tổng hợp
16 3 cos( )
6
x t cm
π
ω
= −
. Phương
trình dao động của vật 2 là
A.

2
24cos( )( )
3
x t cm
π
ω
= −

B.
2
24cos( )( )
6
x t cm
π
ω
= −

C.
2
8cos( )( )
6
x t cm
π
ω
= +

D.
2
8cos( )( )
3

x t cm
π
ω
= +
Câu 29 : Cho hai dao động điều hoà cùng phương, cùng
tần số . Biết dao động thứ nhất có biên độ cm và có pha
ban đầu là
2
3
π
. Biết dao động tổng hợp có biên độ và
pha ban đầu lần lượt là 2;
5
12
π
. Biên độ và pha ban đầu
của dao động thứ 2 là
và
6
π
. Pha ban đầu và biên độ của dao động tổng hợp
của hai dao động trên là
A.
2
cm.
6
π
. B.
2 2
;

3
π
.cm.
C.
2 2
cm;
4
π
. D.
2
cm
2
π
.
Câu 30: Một vật thực hiện hai dao động điều hòa x
1
; x
2
=
2 3 os(5 / 2)c t cm
π
+
. Biết phương trình dao động
tổng hợp là:
4 os(5 / 3)x c t cm
π
= +
. Phương trình dao
động x
1

là
A.
2
2cos(5 )
6
x t cm
π
= +

B.
2
2cos(5 )
4
x t cm
π
= +

C.
2
2cos(5 )x t cm
π
= +

D.
2
2cos5x t cm=
Câu 31: Hai dao động điều hào cùng phương cùng tần
số. phương trình thứ nhất:

2 2

4cos(10 ) ;
3
x t cm x
π
π
= +

. Phương trình dao động tổng hợp là
2 3cos(10 )
2
x t cm
π
π
= +
. Dao động x2 có phương trình
A.
2
2 3cos10x t cm
π
=

B.
2
4cos(10 )
4
x t cm
π
π
= +
C.

2
2cos(10 )x t cm
π π
= +
D.
2
2cos(10 )
4
x t cm
π
π
= +
Câu 32: Một vật thực hiên 3 dao động điều hòa. Biết hai
dao động thành phần và một dao động tổng hợp có
phương trình:
1
8 os(5 / 2)x c t cm
π
= −
;
2
6 os5x c t cm= −
;
5 os5x c t cm
=
. Phương trình dao
động thành phần thứ 3 là
A.
3
8 2 os(5 / 4) .x c t cm

π
= +
B.
3
8 2 os(5 / 2) .x c t cm
π
= +
C.
3
8 os(5 / 3) .x c t cm
π
= +
D.
3
8 os(5 / 6) .x c t cm
π
= +
Câu 33: Một vật tham gia đồng thời vào dao động điều
hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là
1 1
os(20 / 6) .x A c t cm
π
= +
và

2 2
os(20 5 / 6) .x A c t cm
π
= +
Biết tốc độ cực đại trong

quá trình dao động là 140cm/s, biên độ
A
2
=5cm. Biên độ A
1
có giá trị
A. 8cm . B. 7cm. C. 16cm. D.6cm.
4. Bài toán về vận tốc, gia tốc, năng lượng trong dao
động tổng hợp.
Câu 34: Chất điểm m = 50g tham gia đồng thời hai dao
động điều hoà cùng phương cùng biên độ 10 cm và cùng
tần số góc 10 rad/s. Năng lượng của dao động tổng hợp
bằng 25 mJ. Độ lệch pha của hai dao động thành phần
bằng
A. 0. B. π/3. C.π/2. D. 2π/3.
Câu 35 :Một vật nhỏ có khối lượng m = 100g thực hiện
đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương được biểu
diễn theo hai phương trình sau :
1
3 os20x c t
=
cm và
2
2 os(20 / 3)x c t
π
= −
cm. Năng lượng của vật là
A. 0,016 J. B. 0,038 J. C. 0,032 J. D. 0,040 J.
Câu 36 : Một vật có khối lượng 200g thực hiện hai dao
động điều hòa cùng phương:

2
5cos(2 )( )
6
x t cm
π
π
= −
;
2
2cos(2 )( )
6
x t cm
π
π
= −
Lấy
2
10
π
=
. Gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,25s là
A. -1,4m/s2. B. 1,4m/s2. C. 2,8 m/s2. D. -2,8 m/s2.
Câu 37 : Một vật có khối lượng 200g thực hiện hai dao
động điều hòa cùng phương:

1
6cos(5 )
2
x t

π
π
= −
cm.
2
6cos5x t
π
=
cm. Lấy
2
10
π
=
. Thế năng của vật tại
thời điểm t = 2s là
A. 90mJ. B. 180mJ. C. 900mJ. D. 18mJ.
Câu 38 : Một chất điểm thực hiện 2 dao động điều hòa
với phương trình:
1
8cos5x t
π
=
cm;

1
6cos(2 )
2
x t
π
π

= +
cm. Vận tốc cực đại của vật là
A.
20
π
cm/s. B. 60cm/s. C.
4
π
cm/s. D. 120cm/s.
5. Tìm biên độ của dao động thành phần khi biết vận
tốc, gia tốc, năng lượng.
Câu 39 : Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hoà có phương trình: x
1
=A
1
cos(20t+
π
/6)cm,
x
2
= 3cos(20t + 5
π
/6)cm, Biết vận tốc cực đại của vật là
140cm/s. Biên độ A
1
của dao động thứ nhất là
A. 8cm. B. 6cm. C. 9cm. D. 7cm.
Câu 40: Một vật xuất hiện đồng thời 2 dao động cùng
phương có dạng

1
6cos(20 )
6
x t
π
= −
(cm) và
2 2
cos(2 )
2
x A t
π
π
= +
(cm). Biết dao động tổng hợp có
vận tốc cực đại v
max
=1,2
3
m/s. Biên độ A
2

bằng:
A. 6cm. B. 8cm. C. 12cm. D.20cm.
Câu 41: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều
hòa cùng phương với
1
4cos(5 2 )
2
x t

π
= −
(cm) và
2 2
cos(5 2 )x A t
π
= +
(cm). Biết độ lớn vận tốc của vật
tại thời điểm động năng bằng thế năng là 40cm/s. Biên
độ dao động thành phần A
2
là
A. 4cm. B. 4
2
cm. C.
3
cm. D. 4
3
cm.
Câu 42: Một vật khối lượng m=200g thực hiện đồng thời
2 dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao
động
1
3cos(15 )
6
x t
π
= +
(cm) và
2 2

cos(15 )
2
x A t
π
= +
(cm). Biết cơ năng dao động tổng
hợp của vật 0,06075J. Biên độ A
2
là
A. 1cm. B. 3cm. C. 4cm. D.6cm.
Câu 43: Một vật thực hiện 2 dao động điều hòa cùng
phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là
1
5
3sin(20 )
6
x t
π
= +
(cm) và
2 2
cos(20 )
3
x A t
π
= −

(cm). Biết vận tốc cực đại của vật là 140cm/s. Biên độ A
2
của dạo động thứ hai là

A. 8cm. B. 10cm. C. 12cm. D.2cm.
Câu 44: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông
điều hoà cung phương: x
1
= A
1
cos(ωt+π/3)(cm) và x
2
=
A
2
cos(ωt- π/2)(cm).Phương trình dao động tổng hợp là:
x=5cos(ωt+ ϕ)(cm). Biên dộ dao động A
2
có giá trị lớn
nhất khi ϕ bằng bao nhiêu? Tính A
2max
?
A π/3; 8cm B π /6;10cm
C. π/6; 10cm D.B hoặc C
Câu 45: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần
số, dao động 1 có biên độ A
1
= 10 cm, pha ban đầu π/6 và
dao động 2 có biên độ A
2
, pha ban đầu -π/2. Biên độ A
2

thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị

nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. A = 2
3
(cm) B. A= 5
3
(cm)
C. A = 2,5
3
(cm) D. A=
3
(cm)
Hết