xây dựng thuật toán lượng tử giải bài toán tìm kiếm với tri thức heuristic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
I HC KHOA HC T NHIÊN

HUỲNH VĂN ĐỨC

XÂY DNG THUNG T
GII BÀI TOÁN TÌM KIM
VI TRI THC HEURISTIC

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH
Mã số chuyên ngành: 62 48 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN




Tp. Hồ Chí Minh năm 2013


















Công trình được hoàn thành tại:
Khoa Công Nghệ Thông Tin
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, Viện Toán Học
2. GS.TSKH. Bùi Doãn Khanh, Đại Học Paris VI, Pháp

Phản biện 1: PGS.TS. Phan Trung Huy
Phản biện 2: PGS.TS. Lê Anh Vũ
Phản biện 3: TS. Trần Nam Dũng
Phản biện độc lập 1: PGS.TS. Đoàn Văn Ban
Phản biện độc lập 2: TS. Hồ Trung Dũng
Phản biện độc lập 3: PGS.TS. Bùi Xuân Hải

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Tp.
Hồ Chí Minh vào lúc giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
 Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM
 Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên


1

LI CM T
Tác giả xin khắc ghi công ơn GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, Viện
Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam; GS. TSKH. Bùi
Doãn Khanh, Đại học Paris VI, Cộng hòa Pháp, những người thầy
đáng kính, đã dày công hướng dẫn và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận
án này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thành viên trong Hội

đồng chấm luận án đã đọc và có các góp ý quý báu để tác giả hoàn
thiện luận án.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến:
 Quý Thầy Cô Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia TP.HCM;
 Quý Thầy Cô, Nhân viên Khoa Hệ thống Thông tin kinh
doanh, Trường Đại học Kinh Tế TP.HCM;
 Quý Thầy Cô, Nhân viên Trường Đại học Kinh Tế
TP.HCM;
bởi sự quan tâm giúp đỡ tận tâm và thiết thực trong quá trình
nghiên cứu cũng như trong quá trình hoàn thành luận án.
Xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, những người thân
đã động viên giúp đỡ trong suốt quá trình thực hiện luận án.
Cuối cùng xin cảm ơn người vợ thân yêu và hai con ngoan đã
đóng góp giá trị tinh thần to lớn để chồng, cha hoàn thành công việc.

2

M U
1 Lý do ch tài
Chúng tôi chọn xây dựng thuật toán lượng tử là vì chúng tôi tin rằng
tính toán lượng tử hứa hẹn một cuộc cách mạng trong lĩnh vực khoa
học máy tính. Niềm tin này càng được củng cố khi sự kiện giải Nobel
vật lý năm 2012 được trao cho 2 nhà khoa học Pháp (Serge Haroche)
và Mỹ (David Wineland) vì những phương pháp đột phá của họ liên
quan đến khả năng xây dựng máy tính lượng tử. Với các nhà tin học,
trong lúc chờ đợi các nhà vật lý khắc phục được các rào cản công
nghệ để xây dựng máy tính lượng tử, các nghiên cứu về thuật toán vẫn
phải được tiến hành. Thêm vào đó, hiện trạng nghiên cứu thuật toán
lượng tử ở trong nước hầu như im ắng lại càng thôi thúc chúng tôi

hơn. Theo chỗ chúng tôi biết, hiện trong nước chỉ có nhóm của PGS
Phan Trung Huy quan tâm xây dựng phần mềm hỗ trợ cài đặt các
thuật toán lượng tử đã có, với mục đích thực nghiệm, các nghiên cứu
thuật toán hầu như còn bỏ ngỏ. Vì thế chúng tôi cho rằng việc xây
dựng thành công thuật toán lượng tử sẽ có một ý nghĩa khích lệ lớn
các nhà tin học trong nước. Bên cạnh đó chúng tôi còn thấy, trong lúc
phép biến đổi Fourier có vai trò hết sức to lớn trong xây dựng thuật
toán lượng tử, thì các phép biến đổi khác hầu như vắng mặt, trong đó
có các phép biến đổi xử lý ảnh. Chúng tôi cho rằng xây dựng thuật
toán lượng tử dựa trên các phép biến đổi xử lý ảnh có thể là một trong
những điểm khởi đầu tốt cho các nghiên cứu trong nước.
2 Mng và phm vi nghiên cu
Mục đích. Xây dựng thuật toán lượng tử giải bài toán tìm mẫu, được
biểu diễn bằng hộp đen, dựa trên thuật toán Grover và phép biến đổi
Hough, một trong những phép biến đổi có ý nghĩa trong lĩnh vực xử lý
ảnh, cho phép bổ sung thông tin heuristic.
3

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu. Đối tượng nghiên cứu của luận án là
phép biến đổi unita, phần chính của một thuật toán lượng tử, giới hạn
trên hộp đen và phép biến đổi trực giao SO(2N).
3 Nhng kt qu mi ca lun án
Bao gồm:
1. Thuật toán lượng tử giải bài toán tìm mẫu với thông tin heuristic.
Mẫu chịu tác động của nhóm H và thuật toán nhằm cài đặt hàm
Boole f xác định trên H, xác định lời giải bài toán. Hàm f được sử
dụng trong thuật toán Grover để giải bài toán. Thuật toán cho phép
dùng một phần tử nhóm làm heuristic, thu hẹp không gian tìm
kiếm trên một lớp kề của một nhóm con K cho trước.
2. Kỹ thuật phân tích hộp đen thành các cổng lượng tử. Hộp đen được

biểu diễn qua các phần tử đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn. Các
phần tử này được xây dựng hiệu quả bởi dãy tác động phụ hợp của
các cổng CNOT và Toffoli lên cơ sở của đại số Lie su(2). Dùng kỹ
thuật này, các phép biến đổi so sánh, tịnh tiến và hoán vị dùng để
xây dựng thuật toán tìm mẫu cũng được cài đặt hiệu quả.
3. Thủ tục phân rã Cartan chuẩn. Chọn một phân rã Cartan hạng cực
đại từ xuyến tối đại chuẩn của nhóm tương ứng, thủ tục được xây
dựng có sự kết hợp của phân rã không gian nghiệm. Áp dụng phân
rã đồng thời các phép biến đổi hoán vị, cung cấp một cách cài đặt
khác các phép biến đổi của nhóm hoán vị, tùy thuộc ý đồ của người
xây dựng thuật toán giải bài toán cụ thể.
4

4 Pu
1. Cài đặt phép biến đổi Hough. Tổng quát hóa phép biến đổi Hough
dưới thuật ngữ tác động nhóm. Mô tả các hàm bầu chọn thông qua
các phép toán nhóm. Mở rộng khái niệm hộp đen lượng giá hàm
thành hộp đen nhóm, biểu diễn tác động nhóm, phép toán nhóm, và
hàm bầu chọn bằng hộp đen. Dùng các hộp đen này và các hộp đen
biểu diễn dữ liệu bài toán xây dựng phiên bản lượng tử cho phép
biến đổi Hough.
2. Cài đặt heuristic. Mô tả hàm heuristic qua phép toán nhóm. Vẫn
dùng hộp đen biểu diễn nhóm và phép toán hợp thành của nhóm,
qua đó thiết kế thuật toán cho phép cài đặt heuristic.
3. Cài đặt hộp đen. Chéo hóa đồng thời các hộp đen, chuyển bài toán
về khảo sát trên đại số Lie. Chọn cơ sở không gian véc tơ thích hợp
và dùng tác động phụ hợp của các cổng CNOT và Toffoli cài đặt
hiệu quả các phần tử cơ sở này. Phân rã một hộp đen lúc này đơn
giản là giải một bài toán đại số tuyến tính. Áp dụng cài đặt các hộp
đen dùng trong mô hình thuật toán tìm mẫu.

4. Phân rã phép biến đổi SO(2N). Chọn một phân rã Cartan từ phân
rã không gian nghiệm hình thành từ các nghiệm định nghĩa trên
xuyến tối đại chuẩn của SO(2N). Cách làm này cho phép phân rã
tiếp theo vẫn làm việc với SO(2N). Hơn nữa việc chọn xuyến tối tại
chuẩn đủ tường minh để xây dựng thủ tục phân rã.
5. Sử dụng heuristic. Mô tả phép biến đổi hoán vị dưới dạng hộp đen
điều khiển cho phép bổ sung heuristic qua các giá trị này. Ngoài ra,
sắp xếp các phép biến đổi hoán vị dưới dạng tổng trực tiếp cho
phép phân rã đồng thời cũng là một cách bổ sung heuristic.
5

5 Cu trúc lun án
Luận án gồm phần 141 trang, bao gồm:
 Phần mở đầu: 9 trang;
 Chương 1: 28 trang, trình bày tổng quan về thuật toán lượng tử,
tích nửa trực tiếp, cấu trúc đại số Lie và phép biến đổi Hough;
 Chương 2: 29 trang, xây dựng mô hình và khung thuật toán cho bài
toán tìm mẫu với thông tin heuristic, sử dụng tích nửa trực tiếp của
nhóm và phép biến đổi Hough;
 Chương 3: 35 trang, trình bày các kết quả nghiên cứu hộp đen
thông qua đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn của nhóm Lie SU(N),
các kết quả này giúp cài đặt hiệu quả các phép biến đổi dùng trong
xây dựng mô hình thuật toán ở chương 2;
 Chương 4: 27 trang, đề xuất phân rã Cartan chuẩn, là sự kết hợp
giữa phân rã không gian nghiệm và phân rã Cartan; chương này
cũng đề xuất một thủ tục phân rã cho phép phân rã các biến đổi
trực giao;
 Phần kết luận: 1 trang, liệt kê 3 kết quả mới của luận án;
 Phần kiến nghị: 1 trang, liệt kê 6 công việc cần nghiên cứu tiếp;
 Phần danh mục công trình của tác giả: 1 trang, liệt kê 5 công trình,

trong đó 4 bài báo được đăng trên các tạp chí và tuyển tập công
trình trong nước, 1 bài báo đăng trong kỷ yếu quốc tế được tổ chức
ở Việt Nam và được in ở Paris, Pháp;
 Phần danh mục các tài liệu tham khảo: 10 trang, liệt kê 114 tài liệu
tiếng Anh.
Để tiện đối chiếu, bản tóm tắt này phản ảnh trung thực kết cấu, bố cục
và nội dung của luận án bao gồm cả thứ tự đánh số các định nghĩa, bổ
đề, mệnh đề, định lý, công thức.
6


TNG QUAN
Trong chương này chúng tôi trình bày vắn tắt về thuật toán lượng tử,
nhóm tích bện, cấu trúc đại số Lie, và phép biến đổi Hough. Chúng tôi
dùng nhóm tích bện cài đặt phép biến đổi Hough trong chương 2;
dùng đại số Lie cài đặt hộp đen trong chương 3, qua đó cài đặt một số
phép biến đổi quan trọng được sử dụng trong mô hình ; dùng cấu trúc
đại số Lie phân rã một số phép biến đổi quan trọng khác trong chương
4. Tất cả nhằm hoàn chỉnh thuật toán tìm mẫu được xây dựng trong
chương 2. Sơ đồ sau cung cấp một cái nhìn tổng thể, trong đó phép
dịch chuyển bít và phép toán so sánh đã được cài đặt từ trước bởi các
tác giả khác
7


THUT TOÁN TÌM MU
Trong chương này chúng tôi đề xuất một thuật toán lượng tử cho bài
toán tìm mẫu dùng thông tin heuristic dựa trên lý thuyết nhóm. Chúng
tôi phát biểu bài toán dưới thuật ngữ phép toán nhóm, tổng quát hóa
phép biến đổi Hough dùng tác động nhóm, qua đó phát biểu tiêu

chuẩn tối ưu thành các đẳng thức dùng các phép toán nhóm. Từ đó
xây dựng các bước thiết kế thuật toán dễ theo dõi và đáng tin cậy.
1 Phát biu bài toán
Ký hiệu tập mẫu

 
:
nm
f B B
, (2.1)
với B = {0, 1} và B
m
là nhóm. Giả sử nhóm H tác động lên B
n
, hình
thành nhóm tích bện

[]n
m
Wr
B H H


, (2.2)

 
1
:
hh
h

p p x p x



. (2.3)
Xét mẫu p, quỹ đạo của p dưới tác động của H là họ các mẫu

 
h
hH
p


, (2.4)
định nghĩa hàm Boole quyết định f xác định trên H

   
 
1,
h
f h q p R

  
. (2.5)
Với phép biến đổi Hough, quan hệ R được xác định bởi các phiếu bầu.
Bài toán 2.1
Tìm h thuộc H thỏa f(h) = 1.
8

Trong thực tế ứng dụng, cấp của H thường rất lớn, chúng tôi quan tâm

đến việc tìm h thỏa f(h) = 1 trong một nhóm con K của H, với số phần
tử của K ít hơn rất nhiều so với số phần tử của H. Với h như vậy, xét

 
 
1
,
h
f g f gh g H

  
. (2.6)
Bài toán 2.2
Với dữ kiện của Bài toán 2.1, xét nhóm con K và h thuộc về lớp kề
chứa lời giải, bài toán quy về tìm k thuộc K sao cho
 
1
1
h
fk


, với
1
h
f

được định nghĩa bởi (2.6).
2 Xây dng thut toán tìm mu
2.1 

Ký hiệu hàm Boole so khớp d
p,q
xác định p nằm trong q

     
 
   
 
,
10
pq
d x d x p x p x q x     
; (2.10)
ngoài ra với hàm Boole b, đặt

     
1
1
b
c b c b x b

  

; (2.11)
và với mẫu p, ký hiệu
p
là hàm Boole xác định p khác với đơn vị 0

   
10p x p x  

. (2.12)
2.3
Giả sử p, q thuộc
ℱ
, ta định nghĩa (p, q) ∈ R nếu

 
 
,pq
c d c p
, (2.13)
trong đó d
p,q
, c và
p
cho bởi (2.10), (2.11) và (2.12).
Như vậy với p, q thuộc
ℱ
, ta có

 
 
 
 
,
1
h
pq
f h c d c p


  
. (2.14)
9

Các kết quả dưới đây được chuẩn bị cho việc thiết kế thuật toán.
M 2.5
Với p, q tùy ý thuộc
ℱ
, ta có

1
,
22
pq
p q p q p q d

     
(2.15)
H qu 2.1
Với p, q tùy ý thuộc
ℱ
, ta có

     
 
 
1
,
22
pq

c p q c p c q c p q c d

     
; (2.16)
trường hợp m = 1

     
 
 
,
22
pq
c p c q c p q c d c pq    
. (2.17)
Ký hiệu
 
 
 
 
1
1
2
h
h
c c p q
c c p q






. (2.18)
nh lý 2.1
Cho G là nhóm tích bện
[]n
m
Wr
G B H H

  
, trong đó H tác
động lên B
n
cảm sinh đồng cấu
𝜑,
công thức

(2.3). Dùng ký hiệu
(2.18), ta có

     
 
21
12
h
f h c c c q c p

    
. (2.19)
nh lý 2.2

Dưới giả thiết của Định lý 2.1, ta có

     
21
12f h c c c q c p    
(2.22)
trường hợp m = 1

     
2
1f h c c q c p   
. (2.23)
10

2.2 
Với x ∈ B
n
và h ∈ H, dùng hộp đen lượng giá mẫu U
p


 
:
p
U x y x y p x
,
và hộp đen tác động nhóm U
h

1
:
h
h
U x y x y

,
chúng tôi cài đặt hộp đen nhóm tích bện

 
   
 
 
 
1
,
h p h
ph
h
U x y U U x y U x y p x x y p x

    
.
Suy ra
 
   
 
1
,,
,

,
h
p e e h
pe
eh
U U U U



.
Để cài đặt hộp đen U
f
, chúng tôi dùng công thức (2.22) và sử dụng các
hộp đen sau:
 Các hộp đen tịnh tiến

:
:
k
U k x k x k
U x x k




; (2.26)
 Các hộp đen so sánh với phép toán so sánh
θ

 
 
:
:
k
U x y z x y z x y
U x z x z x k






; (2.27)
 Và các hộp đen nhóm

1
:
:
:
H
h
H
h
U h x h x
G h k h kh
G k kh

. (2.28)
Trang bên là 3 sơ đồ dây được dùng để cài đặt U

f
giải bài toán 2.1.
11

1. Trường hợp m = 1 và
   
 
1
h q p
f h c p q c c

    


2.2: Mng bu cho h bi q
Độ phức tạp
 
2
n
OH
vì x chạy trên B
n
và dùng Grover.
2. Trường hợp m = 1 và
   
 
1
1
p
h

f h c q p c


  


2.4: Mng bu h bi p
Độ phức tạp
 
2
k
OH
, với
10
x x x
, p(x) = 0 khi x
1
> 0, và
thanh ghi chứa x
0
, gồm k qubit.
3. Trường hợp tổng quát m > 1 và dùng công thức (2.22)

2.5: Mng bu h bi p tng quát
Độ phức tạp giống như trường hợp 2.
12

Thiết kế thêm một qubit để bổ sung heuristic, sơ đồ dây sau cài đặt
trường hợp m = 1, có độ phức tạp
 

2
k
OK
.

2.6: Mng bu k bi p dùng heuristic h.

H
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu hộp đen lượng giá hàm
(1.14) thông qua đại số Lie nhờ ánh xạ mũ exp; qua đó, cài đặt hiệu
quả các hộp đen (2.26), (2.27), và (2.28).
1 Biu din h
Hộp đen lượng giá hàm f là một phép biến đổi unita U
f
cho bởi

 
f
U x y x y f x
. (3.3)
Đặt M = 2
m
, Mệnh đề 3.1 sẽ chéo hóa đồng thời các hộp đen.
M 3.1

 
 
 
†
2

exp
f
i
I F U I F x y yf x x y
M


  


. (3.5)
Giờ đây có thể khảo sát các hộp đen trên đại số Lie.
đặt
   
 
 
0 , , 1 , 0,1, , 1
fm
u diag f f N J diag M   
, (3.6)
ta có
 
 
†
2
exp
f f m
i
U I F u J I F
M



   


. (3.7)
13

2 K thut phân tích
Khảo sát đại số Lie nửa đơn [33] và lý thuyết nghiệm [111], chúng tôi
chọn cơ sở từ tập các đối nghiệm để có thể dùng tác động phụ hợp của
nhóm Weyl. Chúng tôi xây dựng 2 cơ sở cho đại số Lie của xuyến tối
đại chuẩn, cài đặt chúng với độ phức tạp tuyến tính bằng cách tác
động phụ hợp các cổng CNOT và Toffoli lên cơ sở su(2). Cách làm
này hình thành một họ các A phần tử của đại số Lie được cài đặt hiệu
quả giúp cài đặt hiệu quả các hộp đen. Ký hiệu

1 0 1 0 0 0
,,
0 1 0 1 0 1
I h k
     
  
     

     
. (3.10)
2.1 
Đặt N = 2
n

, gọi
t

là đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn T của U(N), ta
có dim(
t
) = N, cơ sở chuẩn iB, B = {b
j
}
(j = 0, …, N – 1)
được xây dựng
như sau: từ biểu diễn nhị phân của
1 1 0

n
j j j j


, với v
0
= I và v
1
= k

1 1 0

n
j j j j
b v v v


   
.
2.2 
Tập iW, với W = {w
j
}
( j = 0, 1, …, N – 1)
, được gọi là cơ sở Hadamard của
t

cũng được xây dựng theo cách tương tự

1 1 0

n
j j j j
w v v v

   
,
trong đó
1 1 0

n
j j j j


là biểu diễn nhị phân n bit của j và thay v
1
= h.

2.3 
Xét tập con A các véc tơ của không gian véc tơ N chiều V trên trường
số thực, có hạng bằng N. Ký hiệu C
k
là hợp của tất cả các không gian
con sinh bởi k phần tử độc lập tuyến tính tùy ý lấy từ A, ta có

12

N
C C C V   
. (3.11)
14

Cố định k, với v thuộc V, tìm khoảng cách của v với C
k
. Trong thực tế
ứng dụng, khi N = 2
n
quá lớn, k được chọn cỡ đa thức theo n. Khi ấy
bài toán tìm A để khoảng cách C
k
với v đủ nhỏ là thật sự có ý nghĩa.
3.1
Với V, A và C
j
như trên, họ các C
j
, với j cỡ đa thức đối với logN được
gọi là họ các tổ hợp tuyến tính ngắn của A.

2.4  W
Để thuận tiện trong thực hiện các tính toán, biến đổi

0
0
2
0 1 0
1 0 0
i
i
x
x
i
i ie ie
i





   
      
   
   
,
ta có
x
x
e
Ad Ad



. (3.12)
Ký hiệu x
pq
là tích tensor của I, k và x, trong đó k và x chỉ xuất hiện
một lần, k ở vị trí p còn x ở vị trí q.
M 3.2

 
 
2 2 2
exp
q q q
pq
x
Ad w w


. (3.13)
Dưới tác động của CNOT có thể thay thế một thành phần trong tích
tensor tạo bởi I và h, chúng tôi đề xuất A nên chứa W bởi Hệ quả 3.1.
H qu 3.1
Các phần tử của cơ sở W được xây dựng bởi không quá n – 1 lần tác
động phụ hợp của cổng CNOT.
2.5 W B
Để xây dựng cơ sở W con, cần bổ sung thành phần k, ký hiệu

1 1 1
,,

m m m
m m m
i i i
I I h h k k
  
    
  
,
15

B  3.1

 
 
1
()
b
j
e
j
p
p
j
c p j
Ad c
c c p j










,
trong đó
1
,
j m j j j m j j
b I k x k I c I k h k
  
        
.
nh lý 3.1
Phần tử c
j
được phân rã bởi O(n) lần tác động của cổng Toffoli lên c
0
.
Như vậy
m
kh
được xây dựng từ w
1
với độ phức tạp tuyến tính theo
n. Kết hợp với (3.13), suy ra các cơ sở W con được xây dựng với độ
phức tạp tuyến tính. Chúng tôi đề xuất bổ sung các cơ sở W con vào A.
Với cơ sở B, bằng cách thêm 1 qubit luôn nhận giá trị 0, chúng tôi cài
đặt các phần tử thuộc cơ sở B với độ phức tạp không quá n

 
x
mm
Ad I k I k k h


    
.
Bổ sung cơ sở B vào tập A. Vì mục tiêu của chương là các hộp đen
(2.26), (2.27), và (2.28) nên chúng tôi không phát triển thêm chi tiết.
3 t
3.1 
nh lý 3.2
Hộp đen tịnh tiến (hay phép toán cộng lượng tử) (2.26) được cài đặt
hiệu quả, với độ phức tạp O(n
2
) cho U
+
và độ phức tạp O(n) cho U
+k
.

3.3: Thut phép toán cng t U
+

16


3.4: Thut phép cng vi hng U

+k

3.2  so sánh
nh lý 3.3
Các hộp đen so sánh U
𝜃
(2.27) có thể được cài đặt với độ phức tạp
bậc 2 đối với số qubit.
Hình 3.5 minh họa hộp đen so sánh bằng cho trường hợp 2 qubit.

3.5: Minh ha ct hso sánh bằng
Dùng các hộp đen dịch chuyển bit

1 2 0 2 0 1
1 1 0 0 1 1
:
:
k k k k
kk
U x x x x x x
U x x x x x x
    
  
, (3.17)
chúng tôi cài đặt U
>
như được minh họa trong Hình 3.6.

3.6: Minh ht hso sánh lớn hơn
17

3.3 
Chúng tôi cài đặt phép chuyển vị, qua đó cài đặt phép hoán vị, theo
một cách thức cho phép đánh số lại tập các hoán vị, giúp cài đặt nhóm
con và đưa heuristic vào thuật toán tìm mẫu.
t chuyn v
Chúng tôi dùng các cổng Deutsch-Toffoli để cài đặt các chuyển vị.
Viết lại (2.28) trong trường hợp chuyển vị

   
:
uv
uv
T v u
x x x u x u




  

(3.18)
Dùng các cổng Deutsch-Toffoli lần lượt đổi từng bit của u, tại đó u và
v khác nhau. Bắt đầu từ bit cực phải, nếu bit đang xét cần đổi, viết lại
u = xbz và u = y(1-b)z, tác động phụ hợp của cổng Deutsch-Toffoli
chuyển xbz thành x(1-b)z. Quá trình được tiếp tục cho đến khi u được
chuyển thành v.
t hoán v
Xét nhóm hoán vị n phần tử S
n

. Với k < n!, phân tích

     
1 1 1 1
1 ! 2 ! , , ,
n n n n
k k n k n k k k k

      
,
trong đó
0
j
kj
. Coi T
x(-1)
= e, ta có định lý.
nh lý 3.4
Ánh xạ

 
 
 
1
1
: 0,1, , ! 1
x
n
xk
xn

nS
kT







(3.20)
là một song ánh.
18

Định lý 3.4 giúp xây dựng hoán vị dựa vào các chuyển vị. Ứng với
một phần tử trong tích (3.20) dùng một thanh ghi điều khiển để chọn
chuyển vị thích hợp. Hình 3.7 minh họa trường hợp n = 4.

3.7: Minh ht hp nhóm hoán vị
Để ý chỉ số trước của mỗi T
xy
xác định thanh ghi điều khiển, còn chỉ
số sau đóng vai trò các giá trị điều khiển. Cách làm này cho phép thu
hẹp miền tìm kiếm lên lớp kề, với phần tử heuristic được xác định
gián tiếp qua các thanh ghi điều khiển và các giá trị điều khiển.
Vẫn nhóm S
n
, sơ đồ cài đặt hộp đen nhóm gồm n thanh ghi đánh số từ
dưới lên, bắt đầu từ 0 ; ký hiệu bộ ba (T, k, x) là hoán vị T được điều
khiển trên thanh ghi thứ k với giá trị điều khiển là x. Một cài đặt cụ thể
là một tích các bộ ba như vậy. Chẳng hạn cài đặt trong Hình 3.7 là tích

[(T
30
,3,1) (T
31
,3,2) (T
32
,3,3)][(T
20
,2,1) (T
21
,2,2)](T
10
,1,1),
được tách tường minh thành 3 lớp.
Bằng cách thay đổi chỉ số lớp và các giá trị điều khiển chúng ta có các
cài đặt khác, chẳng hạn với S
4
, một cài đặt khác có thể là
(T
13
,1,1) [(T
21
,2,1) (T
23
,2,0)] [(T
01
,3,0) (T
02
,3,2) (T
03

,3,1)],
trong đó sắp xếp lại các phần tử {0, 1, 2, 3} thành {3, 1, 2, 0} và đảo
ngược thứ tự của các nhóm.
19

 4
PHÂN RÃ
Trong chương này chúng tôi đề xuất và nghiên cứu một phân rã
Cartan hạng cực đại. Áp dụng cài đặt phép hoán vị khác với cách cài
đặt trong chương 3, và cài đặt hiệu quả phép biến đổi (3.17).
1 M u
Với phân rã Cartan
g l m
, (4.1)
mỗi
Ge
g
, G được phân tích thành

12
,G K AK
(4.2)
với
12
,K K e
l
và
Ae
a
, còn

a
là đại số con giao hoán cực đại của
m
.
Với phân rã không gian nghiệm

1
m
j
j


g t l
, (1.23)
mỗi
xt
và
0
1
m
j
j
v v v

  

g
,
( , )
T

j j j j j j j j
v a e b f a b   l
, ta có
 
 
 
 
 
 
1
0
exp
1
cos sin
01
10
01
10
m
x j j
j
m
j j j j
tx
j
ad v x v
Ad v v t x v t x v













  






. (1.24)
Chúng tôi kết hợp (1.23) và (4.1) để có một phân rã Cartan hạng cực
đại để có thể dùng được các kết quả của phân rã không gian nghiệm.
2 Phân rã Cartan chun
4.1
Một phân rã Cartan chuẩn là một phân rã Cartan có hạng cực đại.
20

Giả sử
g
được phân rã như (1.23) các Định lý 4.2 và Định lý 4.3 dùng
để xây dựng Định lý 4.4, cơ sở xây dựng các thủ tục phân rã, Thuật
toán 4.2 và Thuật toán 4.3.
nh lý 4.2

Cho trước tập con tùy ý
{1, , }Tm
, sao cho
*
{}
j j T


 t
độc lập
tuyến tính. Khi ấy với mọi
j
jT
v



l
, tồn tại
xt
, và
0
{}
j j T
ve

 

sao cho
 

0
exp x
v Ad v
.
nh lý 4.3
Cho phân rã Cartan chuẩn
g l m
với
t
là một đại số con Cartan
của
m
. Khi ấy, trong phân rã (1.23), có thể chọn cơ sở
{ , }
jj
ef
cho
mỗi không gian nghiệm
j
l
, với
j
e l
và
j
f m
; hơn nữa
{}
j
e  l

.
nh lý 4.4 (nh lý phân rã)
Xét phân rã chuẩn của
g l m
với
t
là một đại số con Cartan của
m
. Giả sử
j
j


g t l
là một phân rã không gian nghiệm, với
j
e l

và
j
f m
. Khi ấy, mỗi
 
expG g
được phân tích thành

12
.G K AK

Đặc biệt nếu

( ), ,{ }
j j j T
jT
G exp v v



 

l
độc lập tuyến tính, thì

1
.
A
G Ad K

Trong đó
12
,,K K K e
l
và
1
,A A e
t
.
3 Phân rã su(N)
Ký hiệu
t
là đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn của SU(N), ta có

 
1
01
0
, , : 0
N
Nj
j
diag i i
  




  



t
, (1.27)
đặt
   
,
xy xy
x y x y
EF

  l m t
,

21

trong đó
 
 
||
| |, | |
xy
xy xy
H i x x y y
E x y y x F i x y y x
    
       
t
, (1.28)
với mỗi cặp (x, y) các số nguyên khác nhau nằm giữa 0 và N-1.
H qu 4.2
Với mỗi
()G SU N
,
12
G K AK
. Đặc biệt nếu
( , )
( , )
( ), ,{ }
xy xy x y T
x y T
G exp v v




 

l
độc lập tuyến tính, thì

1
A
G Ad K
.
Trong đó
xy

là nghiệm ứng với
xy
l
;
12
, , ( )K K K SO N
;
1
,A A e
t
.
Thut toán 4.2 (phân rã su(N))
Vào:
()G SU N

Ra:

12
G K AK
hoặc
1
A
G Ad K
.
1. Nếu G thỏa điều kiện của Hệ quả 4.2
a. Xác định K và A
1
theo Hệ quả 4.2;
b. Trả về
1
A
G Ad K
.
2. Ngược lại
a. Chéo hóa tích
11
TT
GG K DK
;
b. Tính A, A
2
= D;
c. Tính
†
21
T
K A K G

;
d. Kết quả
†
1 2 1 1
T
K AK K AA K G G
;
e. Trả về
12
G K AK
.
4 Phân rã so(2N)
Tương tự, với so(2N) ký hiệu

1 0 0 1 0 1 1 0
, , ,
0 1 1 0 1 0 0 1
E F X Y   

       
       
       
. (1.33)
Đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn của SO(2N) được định nghĩa

 
 
01
, , :
Nj

diag F
  

   t
. (1.34)
22

Với mỗi cặp (x, y) các số nguyên khác nhau nằm giữa 0 và N – 1

 
   
   
|
| | , | |
| | , | |
x
xy xy
xy xy
H x x F
E x y y x E F x y y x F
X x y y x X Y x y y x Y
  
       


      
t
. (1.35)
Đặt
   

, , ,
xy xy xy xy
x y x y
E Y F X

  l m t
. (4.15)

H qu 4.3
Với mỗi
(2 )G SO N
,
12
G K AK
.Đặc biệt nếu
12
( , ) ( , )
( ),
xy xy
x y T x y T
G exp v v

  

lk
,
12
( , ) ( , )
{ } { }
xy x y T xy x y T




độc lập
tuyến tính,

1
A
G Ad K
.
Trong đó
xy

là nghiệm ứng với
xy
l
,
xy

là nghiệm ứng với
xy
k
;
12
,,K K K e
l
; còn
1
,A A e
t

.
Thut toán 4.3 (phân rã so(2N))
Vào:
(2 )G SO N

Ra:
12
G K AK
hoặc
1
A
G Ad K
, với K
1
, K
2
, K, A
1
và A ở (4.17)
1. Nếu G thỏa điều kiện của Hệ quả 4.3
a. Xác định K và A
1
theo Hệ quả 4.3;
b. Trả về
1
A
G Ad K
.
2. Ngược lại
a. Chéo hóa

11 11 11
T
U K CK
;
b. Chọn S thỏa C
2
+ S
2
= I;
c. Tính
1
12 21 11
K U K S


;
d. Điều chỉnh dấu của C và S để
2
11
T
U K A K

e. Tính
1
21
T
K A K G



f. Trả về
12
G K AK
.
23

Trong đó

   
 
 
 
11 12
1
21 22
11 21
12
12 22
2
,2
, exp , 2
, exp
z
I
Tn
n
ij
UU
U GAd G G SO
UU

KK
K K K SO
KK
CS
AA
SC



  
   





   
   
   



l
t

5 t
5.1 P
M 4.2
Với mỗi phép biến đổi hoán vị G,
 

z
I
T
U GAd G



, có dạng chéo,
với các phần tử bằng 1 hoặc –1 .
Đặt các hoán vị quan tâm, có thể là nhóm con, trong một phép biến
đổi duy nhất, dạng tổng trực tiếp, có số chiều bằng 2
m
. Mệnh đề 4.2
cho phép phân rã đồng thời các phép biến đổi hoán vị này.
5.2 Phép  
Nhắc lại phép dịch chuyển bit (3.17)

1 1 0 0 1 1
:
kk
U x x x x x x
  
.
Áp dụng Mệnh đề 4.2, và Thuật toán 4.3, ta có

   
 
1
2 2 2
1

1
1
1
xx
nn
n n n
U I I I I U


    






      






.
Tương tự cho trường hợp dịch chuyển trái. Như vậy phép biến đổi
dịch chuyển bit (3.17) được cài đặt với độ phức tạp tuyến tính.