Biến đổi Fourier phân và ứng dụng giải phương trình khuếch tán đối với toán tử vi phân phân

đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học khoa học



Nguyễn đăng đài



Biến đổi fourier phân và ứng dụng
Giải ph-ơng trình khuếch tán đối
Với toán tử vi phân phân




luận văn thạc sĩ toán học


thái nguyên - 2012
1S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học khoa học


Nguyễn đăng đài


Biến đổi fourier phân và ứng dụng
Giải ph-ơng trình khuếch tán đối
Với toán tử vi phân phân

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12


luận văn thạc sĩ toán học


Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc




thái nguyên - 2012
2S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN ĐĂNG ĐÀI
BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI
VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN ĐĂNG ĐÀI
BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI

VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN PHÂN
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa 5
1.1 Không gian Lizorkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa . . . . . . . . . . . 6
1.3 Đạo hàm cấp phân và toán tử tích phân phân . . . . . . 8
1.4 Biến đổi Fourier phân của đạo hàm cấp phân . . . . . . 11
2 Phương trình khuếch tán đối với toán tử vi phân cấp
phân 14
2.1 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Toán tử vi phân cấp phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình khuếch tán phân
theo biến thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Phương trình khuếch tán phân với các biến không gian
- thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Phương trình khuếch tán phân và các quá trình với thời
gian ngẫu nhiên khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 Chuyển động Brownian lặp được tạo ra bởi phương
trình khuếch tán phân . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2 Nghiệm rõ ràng của phương trình khuếch tán
phân với ν = 1/3, ν = 2/3, và ν = 4/3 . . . . . . 39

Kết luận 47
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Tài liệu tham khảo 48
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn luận văn.
Các biến đổi Fourier phân là những công cụ toán học có nhiều ứng
dụng quan trọng trong toán học và kỹ thuật. Biến đổi Fourier phân đã
được giới thiệu vào khoảng năm 1929. Những biến đổi này được ứng
dụng đặc biệt trong cơ học lượng tử, vật lý lý thuyết, hóa học, quang
học, kỹ thuật điện, sử lý tín hiệu và nhiều lĩnh vực khác đã khiến cho
những biến biến đổi Fourier là một trong ba tiến bộ quan trọng nhất
của của toán học trong một phần tư cuối cùng của thế kỷ XIX.
Những bài viết đầu tiên về biến đổi Fourier phân được thực hiện
bởi: Wiener 1929, Condon 1937, Bargmann 1961, de Bruijn 1937. Điều
quan trọng là trong suốt thập niên 80 của thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều
bài viết đi theo hai chiều hướng khác biệt: Namias 1980 [5], McBride
và Kerr 1987 [4] Tuy nhiên, số lượng các ấn phẩm chỉ thực sự bùng
nổ sau khi phép biến đổi áp dụng trong quang học và sử lý tín hiệu
được công bố.
Biến đổi Fourier phân là sự khái quát của toán tử tích phân Fourier
thông thường. Việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier phân đóng một
vai trò quan trọng trong việc giải phương trình khuếch tán phân đối với
toán tử vi phân phân với các biến không gian - thời gian [3,7]. Để giải
phương trình khuếch tán phân ngoài biến đổi Fourier phân thì cũng cần
đến biến đổi Laplace. Nghiệm u
ν
= u

ν
(x, t) của phương trình khuếch
tán phân với cấp 0 < ν ≤ 2 là mật độ của tích các loại khác nhau
của quá trình ngẫu nhiên. Đối với phương trình khuếch tán phân cấp
ν =
1
2
n
, n ≥ 1, nghiệm u
1/2
n
là tương ứng của phân phối của chuyển
động Brownian lặp n lần. Trường hợp của phương trình khuếch tán
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
phân cấp ν =
2
3
n
, n ≥ 1 liên quan tới chuyển động Brownian và quá
trình với mật độ biểu thị trong các số hạng của hàm Airy. Trong trường
hợp đặc biệt u
ν
là trùng với phân phối của chuyển động Brownian với
thời gian ngẫu nhiên hoặc của quá trình khác nhau với một thời gian
Brownian.
Các kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng phép biến đổi Fourier có nhiều
ứng dụng trong vật lý, cơ học điện tử, kĩ thuật điện và một số ngành
khoa học khác. Sự ứng dụng rộng dãi trên nhiều lĩnh vực khoa học
và toán học của phép biến đổi Fourier và ứng dụng giải phương trình

khuếch tán phân đối với toán tử vi phân phân đã nói lên tầm quan
trọng của vấn đề này. Vì thế, tôi lựa chọn luận văn này là mong muốn
tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu về vấn đề này.
2. Mục đích của luận văn.
Mục đích của luận văn này là học tập và giới thiệu các kết quả nổi
bật về các biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa được quan tâm nhiều
và ứng dụng của nó trong việc giải phương trình khuếch tán phân đối
với toán tử vi phân phân với các biến không gian - thời gian nhằm thúc
đẩy sự phát triển khoa học kỹ thuật trong khoảng hai thập niên gần
đây.
3. Nội dung của luận văn.
Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết
luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Giới thiệu tổng quan về biến đổi Fourier phân dạng lũy
thừa xét trong không gian Lizorkin. Đây là một trong những phép biến
đổi Fourier phân được quan tâm nhiều hơn cả về lý thuyết cũng như
ứng dụng.
Chương 2: Giới thiệu về ứng dụng của biến đổi Fourier phân dạng
lũy thừa để giải phương trình khuếch tán phân đối với toán tử vi phân
phân với các biến không gian - thời gian.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ
bảo của Tiến sĩ Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học. Em xin được bày
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân
thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin trường Đại
học khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong
suốt quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học toán K4C đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ

tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có
hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự
đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Đăng Đài
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Chương 1
Biến đổi Fourier phân dạng lũy
thừa
Trong chương này trình bày cơ sở của biến đổi Fourier phân dạng
luỹ thừa do Y. Luchko, H. Martinez, J. Trujillo đưa ra trong [3], mà
chúng tôi tạm gọi là biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa MLT. Phép
biến đổi này được xét trong không gian Lizorkin.
1.1 Không gian Lizorkin
Không gian Lizorkin là một không gian con của không gian các hàm
giảm nhanh S, vì vậy trước hết chúng tôi trình bày khái niệm về không
gian S [ 2].
Định nghĩa 1.1.1. Ký hiệu S = S(R) là tập hợp của tất cả các khả
vi vô hạn trên R, sao cho
|[φ]|
m,n
:= sup
n≤m,x∈R
(1 + x
2
)
m

|D
n
φ(x)| < ∞, D = d/dx,
m, n = 0, 1, Dãy {φ
k
} các hàm trong S hội tụ trong S đến hàm
φ
o
∈ S, nếu |[φ
k
− φ
o
]| → 0 khi k → +∞.
Định nghĩa 1.1.2. ([ 2]) Biến đổi Fourier ˆu(ξ) của hàm u(t) ∈ S
được cho bởi công thức
ˆu(ξ) = F[u](ξ) =

+∞
−∞
u(t)e
iξt
dt (1.1)
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
và biến đổi Fourier ngược được cho như sau
F
−1
[ˆu](t) =
1
2π


+∞
−∞
ˆu(ξ)e
−iξt
dξ. (1.2)
Định nghĩa 1.1.3. Ký hiệu
V (R) = {v ∈ S(R) : v
(n)
(0) = 0, n = 1, 2, . . . }. (1.3)
Không gian Lizorkin được định nghĩa như sau
Φ(R) = {φ ∈ S(R) : F[φ] ∈ V (R)}. (1.4)
Ta có

+∞
−∞
x
n
φ(x)dx =
1
i
n

+∞
−∞
i
n
x
n
e

ix0
φ(x)dx
=
1
i
n

+∞
−∞
(ix)
n
e
ix0
φ(x)dx =
1
i
n
( ˆφ)
(n)
(0) = 0. (1.5)
Từ phương trình (1.5) ta thấy, không gian Lizorkin có thể có thể
được mô tả như không gian con của không gian Schwarz gồm các hàm
trong S trực giao với tất các đa thức.
Nhận xét rằng, không gian Lizorkin và không gian đối ngẫu của nó
có được nhiều người quan tâm. Nói cụ thể, nó được chỉ ra rằng không
gian Lizorkin là bất biến đối với tích phân phân và các toán tử vi phân
(không gian S không có tính chất trên vì các tích phân phân và các
đạo hàm của các hàm trong S không phải luôn thuộc S).
1.2 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa
Định nghĩa 1.2.1. ([ 3]) Với hàm u ∈ Φ(R), biến đổi Fourier phân

cấp α(0 < α ≤ 1), ˆu
α
được định nghĩa như sau
ˆu
α
(ω) = (F
α
u)(ω) =

+∞
−∞
u(t)e
α
(ω, t)dt, ω ∈ R, (1.6)
trong đó
e
α
(ω, t) =

e
−i|ω|
1/α
t
, ω ≤ 0,
e
i|ω|
1/α
t
, ω ≥ 0.
(1.7)

11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Nếu α = 1, hạch e
α
được xác định bởi công thức (1.7) trùng khớp
với hạch của biến đổi Fourier thông thường:
e
1
(ω, t) =

e
−i|ω|t
, ω ≤ 0,
e
i|ω|t
, ω ≥ 0.
≡ e
iωt
, ω ∈ R, t ∈ R,
nghĩa là biến đổi Fourier phân cấp 1 là biến đổi Fourier thông thường
F
1
≡ F. Quan hệ giữa biến đổi Fourier phân và biến đổi Fourier thông
thường được cho bởi công thức đơn giản như sau:
ˆu
α
(ω) = (F
α
u)(ω) ≡ (Fu)(x) = ˆu(x), (1.8)
trong đó

x =

−|ω|
1/α
, ω ≤ 0,
|ω|
1/α
, ω ≥ 0.
(1.9)
Nếu
(F
α
u)(w) = (F
1
u)(w) = φ(w),
thì
u = F
−1
α
(

u
α
(w)) = F
−1
α
(φ(w)).
Sử dụng hai công thức trên chúng ta có thể tính được biến đổi Fourier
của một hàm cụ thể và biến đổi ngược của biến đổi Fourier.
Ví dụ 1.2.1. Tìm biến đổi Fourier phân của hàm

u(t) =

A, |t| ≤ T,
0, |t| > T.
Lời giải. Ta có
(F
α
u)(ω) = (Fu)(x) =
A sin(T x)
πx
=



A sin(−T |ω|
1/α
)
−π|ω|
1/α
, ω ≤ 0,
A sin(T |ω|
1/α
)
π|ω|
1/α
, ω ≥ 0.
=
A sin(T |ω|
1/α
)

π|ω|
1/α
.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Ví dụ 1.2.2. Giả sử
(F
α
u)(ω) = ˆu
α
(ω) = g(ω).
Khi đó
(F
α
u)(ω) = (Fu)(x) = g
1
(x), x =

−|ω|
1/α
, ω ≤ 0,
|ω|
1/α
, ω ≥ 0.
Suy ra
u(t) = (F
−1
α
ˆu
α

)(t) = (F
−1
g
1
)(t). (1.10)
1.3 Đạo hàm cấp phân và toán tử tích phân phân
Trong mục này chúng ta sẽ xét mối quan hệ giữa biến đổi Fourier
phân và đạo hàm phân được xác định như sau:
(D
α
β
u)(x) = (1 − β)(D
α
+
)(x) − β(D
α
−
u)(x),
0 < α ≤ 1, β ∈ R, (1.11)
trong đó D
α
+
và D
α
−
là đạo hàm phân Riemann-Liouville trên trục thực
được xác định theo công thức
(D
α
±

u)(x) =

±
d
dx

(I
1−α
±
u)(x). (1.12)
Ở đây I
α
±
là toán tử tích phân phân Riemann-Liouville
(I
α
+
u)(x) =
1
Γ(α)

x
−∞
(x − t)
α−1
u(t)dt, (1.13)
(I
α
−
u)(x) =

1
Γ(α)

+∞
x
(t − x)
α−1
u(t)dt. (1.14)
Γ(α) là Gamma hàm được xác định theo công thức
Γ(α) =

∞
0
t
α−1
e
−t
dt, Re(α) > 0
và có các tính chất
Γ(n + 1) = n!, Γ(1) = Γ(2) = 1, (1.15)
Γ(α + 1) = αΓ(α), (1.16)
Γ(1 − α).Γ(α) = πcosec(πα). (1.17)
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Nhận xét rằng đạo hàm phân D
α
β
đồng nhất với đạo hàm thông
thường với giá trị β bất kỳ, nếu α = 1 :
(D

1
β
u)(x) = (1 − β)(D
1
+
u)(x) − β(D
1
−
u)(x)
= (1 −β)
du
dx
+ β
du
dx
=
du
dx
.
Các trường hợp riêng cần chú ý nhất của đạo hàm phân (1.11) như
sau:
1)β = 0 : D
α
0
≡ D
α
+
,
2)β = 1 : D
α

1
≡ −D
α
−
,
3)β = 1/2 : D
α
1/2
≡
1
2
(D
α
+
− D
α
−
).
Cho các hàm u, v từ không gian Lizorkin Φ(R). Bằng cách tích phân
từng phần ta có hệ thức:

+∞
−∞
v(x)(D
α
+
u)(x)dx =

+∞
−∞

v(x)(D
α
−
v)(x)u(x)dx. (1.18)
Bổ đề 1.3.1. Giả sử ω ∈ R, ω ̸= 0 và 0 < α < 1. Khi đó
(I
α
+
e
iωt
)(x) = e
iωx
|ω|
−α
(cos(απ/2) − isign(ω) sin(απ/2)). (1.19)
Chứng minh. Sử dụng đổi biến số τ = x −t tích phân (I
α
+
e
iωt
)(x) có
thể được biểu diễn dưới dạng
(I
α
+
e
iωt
)(x) =
1
Γ(α)


x
−∞
(x − t)
α−1
e
iωt
dte
iωx
1
Γ(α)

+∞
0
τ
α−1
e
−iωτ
dt
= e
iωx

1
Γ(α)

+∞
0
τ
α−1
cos(ωτ )dτ − i

1
Γ(α)

+∞
0
τ
α−1
sin(ωτ )dτ

.
Cả hai tích phân trong biểu thức đều hội tụ dưới điều kiện ω ∈
R, ω ̸= 0, 0 < α < 1 và có thể được biểu diễn ở dạng giải tích nhờ sử
dụng các công thức:
1
Γ(α)

+∞
0
τ
α−1
cos(ωτ )dτ = |ω|
−α
cos(απ/2),
1
Γ(α)

+∞
0
τ
α−1

sin(ωτ )dτ = sign(ω)|ω|
−α
sin(απ/2).
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Công thức (1.19) được suy ra từ 3 phương trình trên. Bổ đề được
chứng minh.
Tương tự như trên ta có thể chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.2. Giả sử ω ∈ R, ω ̸= 0 và 0 < α < 1. Khi đó
(I
α
−
e
iωt
)(x) = e
iωx
|ω|
−α
(cos(απ/2) + isign(ω) sin(α π/2)). (1.20)
Ta có thể tính đạo hàm phân của hàm số e
iωt
, ω ∈ R, ω ̸= 0.
Bổ đề 1.3.3. Giả sử ω ∈ R, ω ̸= 0 và 0 < α < 1. Khi đó
(D
α
+
e
iωt
)(x) = e
iωx

|ω|
α
(cos(απ/2) + isign(ω) sin(α π/2)). (1.21)
Chứng minh. Sử dụng bổ đề 1.3.1 ta được
(D
α
+
e
iωt
)(x) =
d
dx
(I
1−α
+
e
iωt
)(x) =
=
d
dx
e
iωx
|ω|
−(1−α)
(cos((1 − α)π/2) −isign(ω) sin((1 −α)π/2))
= e
iωx
(iω)|ω|
−(1−α)

(cos((1 − α)π/2) −isign(ω) sin((1 −α)π/2))
= e
iωx
sign(ω)|ω|
−(1−α)
i(sin(απ/2) − isign(ω) cos(απ/2))
= e
iωx
|ω|
α
(cos(απ/2) + isign(ω) sin(α π/2)).
Bằng cách tương tự ta có thể chứng minh
Bổ đề 1.3.4. Giả sử ω ∈ R, ω ̸= 0 và 0 < α < 1. Khi đó
(D
α
−
e
iωt
)(x) = e
iωx
|ω|
α
(cos(απ/2) − isign(ω) sin(απ/2)). (1.22)
Nhận xét 1.3.1. Công thức (1.19)-(1.22) có thể xét tới mở rộng của
các công thức đã biết.
(I
α
+
e
λt

)(x) = λ
−α
e
λx
, Re(λ) > 0, α > 0,
(I
α
−
e
−λt
)(x) = λ
−α
e
−λx
, Re(λ) > 0, α > 0,
(D
α
+
e
λt
)(x) = λ
α
e
λx
Re(λ) > 0, α > 0,
(D
α
−
e
−λt

) = λ
α
e
−λx
, Re(λ) > 0, α > 0,
trong trường hợp Re(λ) = 0, Im(λ) ̸= 0, 0 < α < 1.
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Dưới đây là kết quả chính của phần này.
1.4 Biến đổi Fourier phân của đạo hàm cấp phân
Định lý 1.4.1. Giả sử 0 < α ≤ 1 và u là một hàm thuộc không gian
Lizorkin Φ(R). Khi đó với giá trị bất kỳ của tham số β có hệ thức:
(F
α
D
α
β
u)(ω) = (−ic
α
ω)(F
α
u)(ω), ω ∈ R, (1.23)
trong đó c
α
là hằng số được xác định như sau:
c
α
= sin(απ/2) + isign (1 −2β) cos(απ/2). (1.24)
Trong trường hợp riêng, đối với đạo hàm phân
D

α
1/2
= 1/2(D
α
+
− D
α
−
),
hệ thức toán tử (1.23) có thể được biểu diễn dưới dạng
(F
α
D
α
1/2
u)(ω) = (−i sin(απ/2)ω)(F
α
u)(ω), ω ∈ R. (1.25)
Chứng minh. Ta có các trường hợp xảy ra sau:
1) α = 1;
2) α ̸= 1, ω = 0;
3) α ̸= 1, ω > 0;
4) α ̸= 1, ω < 0.
Trường hợp 1. Nếu α = 1, khẳng định của Định lý (1.4.1) đúng với
kết quả cổ điển của biến đổi Fourier thông thường ( xem Nhận xét
1.4.1).
Trường hợp 2: Nếu ω = 0 ta chỉ ra rằng
(F
α
D

α
β
u)(0) = 0, (1.26)
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
với hàm bất kỳ u từ không gian Lizorkin Φ(R). Thật vậy
(F
α
D
α
β
u)(0) =

+∞
−∞
(D
α
β
u)(x)dx
=

+∞
−∞
[(1 − β)
d
dx
(I
1−α
+
u)(x) + β

d
dx
(I
1−α
−
u)(x)]dx
= [(1 −β)
d
dx
(I
1−α
+
u)(x) + β
d
dx
(I
1−α
−
u)(x)]|
+∞
−∞
.
Biểu thức cuối cùng bằng 0 vì tích phân phân của hàm u trong không
gian Lizorkin Φ(R) thuộc không gian Φ(R).
Trường hợp 3: Ta sử dụng công thức (1.18) tích phân từng phần cho
hàm v = e
i|ω|
1/2
x
và u ∈ Φ(R). Tất nhiên, hàm v không thuộ c không

gian Lizorkin Φ(R) thậm chí L
p
và vì vậy ta không có công thức này
một cách tức thì. Nhưng v là một hàm bị chặn đối với các biến x và
ω : |v| = 1∀x, ω ∈ R vì vậy công thức (1.18) có thể chứng minh trực
tiếp từ định lý Fubini với hàm bất kỳ u ∈ Φ(R). Sử dụng (1.18), (1.21)
và (1.22) ta có:
(F
α
D
α
β
u)(0) =

+∞
−∞
e
i|ω|
1/α
x
(D
α
β
u)(x)dx =
= (1 −β)

+∞
−∞
e
i|ω|

1/α
x
(D
α
+
u)(x)dx − β

+∞
−∞
e
i|ω|
1/α
x
(D
α
−
u)(x)dx
= (1 −β)

+∞
−∞
(D
α
−
e
i|ω|
1/α
t
)(x)u(x)dx − β


+∞
−∞
(D
α
+
e
i|ω|
1/α
t
)(x)u(x)dx
= (1 −β)

+∞
−∞
e
i|ω|
1/α
x
|ω|(cos(απ/2) −i sin(απ/2))u(x)dx
− β

+∞
−∞
e
i|ω|
1/α
x
|ω|(cos(απ/2) + i sin(απ/2))u(x)dx
= (1 −2β)(cos(απ/2) −i sin(απ/2))ω


+∞
−∞
e
i|ω|
1/α
x
u(x)dx
= (−iω)(sin(απ/2) + i(1 − 2β) cos(απ/2))(F
α
u)(ω).
Trường hợp 4: α ̸= 1, ω < 0 giống trường hợp 3, nếu ta lấy hàm
v = e
−i|ω|
1/α
x
thay thế vai trò của v = e
i|ω|
1/α
x
, vì vậy thực hiện tính
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
toán ta có
(F
α
D
α
β
u)(0) =


+∞
−∞
e
i|ω|
1/α
x
(D
α
β
u)(x)dx =
= (−iω)(sin(απ/2) + i(1 − 2β) cos(απ/2))(F
α
u)(ω).
Nhận xét 1.4.1. Nếu α = 1, mối quan hệ (1.23) là quy về toán tử đã
biết trong biến đổi Fourier với giá trị bất kỳ của tham số β
(F
1
D
1
β
u)(ω) = (F
d
dx
u)(ω) = (−iω)(Fu)(ω), ω ∈ R. (1.27)
Nhận xét 1.4.2. Trường hợp : β = 1/2 được chú ý nhất (xem hệ thức
(1.25)). Có thể xét để tổng quát hoá hệ thức (1.27) cho biến đổi Fourier.
Trong các khả năng khác ta sử dụng các trường hợp sau:
1)β = 0,D
α
0

≡ D
α
+
:
(F
α
D
α
+
u)(ω) = (−ic
α
ω)(F
α
u)(ω), ω ∈ R,
c
α
= (sin(απ/2) + isign( ω) cos(απ/2)).
2)β = 1,D
α
0
≡ −D
α
−
:
(F
α
D
α
−
u)(ω) = (−ic

α
ω)(F
α
u)(ω), ω ∈ R,
c
α
= (sin(απ/2) −isign (ω) cos(απ/2)).
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Chương 2
Phương trình khuếch tán đối với
toán tử vi phân cấp phân
Trong chương này giới thiệu ứng dụng của biến đổi Fourier phân dạng
lũy thừa để giải phương trình khuếch tán phân với các biến không gian
- thời gian [ 3, 7].
Để nghiên cứu phương trình khuếch tán phân nói trên ngoài biến đổi
Fourier phân (đối với biến không gian) chúng ta còn cần đến biến đổi
Laplace (đối với biến thời gian).
2.1 Biến đổi Laplace
Trong phần này, chúng ta định nghĩa biến đổi Laplace, biến đổi
Laplace ngược, một vài tính chất của biến đổi Laplace và các ví dụ [ 6].
Định nghĩa 2.1.1. Cho một hàm f(t), t ≥ 0, biến đổi Laplace của nó
F (s) = Lf{t} là được định nghĩa
F (s) = Lf{t} =

∞
0
e
−st
f(t)dt = lim

A−→∞

A
0
e
−st
f(t)dt.
Chúng ta nói biến đổi hội tụ nếu giới hạn tồn tại, và phân kì nếu
giới hạn không tồn tại.
Tiếp theo chúng ta đưa ra một số ví dụ về tính toán biến đổi Laplace
của các hàm được đưa ra bởi định nghĩa.
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Ví dụ 2.1.1. f(t) = 1 với t ≥ 0.
F (s) = L{f(t)} = lim
A−→∞

A
0
e
−st
1dt = lim
A−→∞
−
1
s
e
−st













A
0
= lim
A−→∞
−
1
s

e
−sA
− 1

=
1
s
, (s ≥ 0).
Ví dụ 2.1.2. f(t) = e
t
.
F (s) = L{f(t)} = lim

A−→∞

A
0
e
−st
e
at
dt = lim
A−→∞

A
0
e
−(s−a)t
dt
= lim
A−→∞
−
1
s − a
e
−(s−a)t













A
0
= lim
A−→∞
−
1
s − a

e
−(s−a)A
− 1

=
1
s − a
, (s ≥ a).
Ví dụ 2.1.3. f(t) = t
n
, với t ≥ 1 nguyên.
F (s) = lim
A−→∞

A
0
e

−st
t
n
dt
= lim
A−→∞

t
n
e
−st
−s












A
0
−

A
0

nt
n−1
e
−st
−s
dt

= 0 +
n
s
lim
A−→∞

A
0
e
−st
t
n−1
dt =
n
s
L{n − 1}.
Vì vậy, chúng ta có được một mối quan hệ
L{t
n
} =
n
s
L{n − 1}, ∀n,

có nghĩa là
L{t
n−1
} =
n − 1
s
L{n − 2}, L{t
n−2
} =
n − 2
s
L{n − 3},
Suy ra
L{t
n
} =
n
s
L{t
n−1
} =
n
s
(n − 1)
s
L{t
n−2
} =
n
s

(n − 1)
s
(n − 2)
s
L{t
n−3
}
= =
n
s
(n − 1)
s
(n − 2)
s

1
s
L{1} =
n!
s
n
1
s
=
n!
s
n+1
, (s > 0).
Ví dụ 2.1.4. Tìm biến đổi Laplace của sin at và cos at.
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Sử dụng công thức Euler’s:
e
iat
= cos at + i sin at, ⇒ L{e
iat
} = L{cos at} + iL{sin at}.
Bởi ví dụ (2.1.2) chúng ta có
L{e
iat
} =
1
s − ia
=
1(s + ia)
(s − ia)(s + ia)
=
s + ia
s
2
+ a
2
=
s
s
2
+ a
2
+ i
a

s
2
+ a
2
.
Suy ra
L{sin at} =
a
s
2
+ a
2
, L{cos at} =
s
s
2
+ a
2
, (s > 0).
Ví dụ 2.1.5. Tìm biến đổi Laplace của
f(t) =

1, 0 ≤ 2,
t − 2, 2 ≥ t.
Theo định nghĩa
F (s) =

∞
0
e

−st
f(t)dt =

2
0
e
−st
dt +

∞
2
e
−st
(t − 2)dt
=
1
−s
e
−st













2
t=0
+ (t − 2)
1
−s
e
−st












∞
t=2
−

A
2
1
−s
e
−st

dt
=
1
−s
(e
−2s
− 1) + (0 + 0) +
1
s
1
−s
e
−st












∞
t=2
=
1
−s

(e
−2s
− 1) +
1
s
2
e
−2s
.
Tính chất của biến đổi Laplace:
1. Tuyến tính:
L{c
1
f(t) + c
2
g(t)} = c
1
L{f(t)}+ c
2
L{g(t)}.
2. Đạo hàm cấp 1:
L{f
′
(t)} = sL{f(t)}− f(0).
3. Đạo hàm cấp 2:
L{f
′′
(t)} = s
2
L{f(t)}− sf(0) − f

′
(0).
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
4. Đạo hàm cấp cao:
L{f
n
(t)} = s
n
L{f(t)}−s
n−1
f(0)−s
n−2
f
′
(0)− −sf
n−2
(0)−f
n−1
(0).
5. L{−tf(t)} = F
′
(s) trong đó F(s) = L{f(t)}. Điều này cũng kéo
theo L{tf(t)} = −F
′
(s).
6. L{e
at
f(t)} = F (s − a) trong đó F(s) = L{f(t)}. Điều này kéo
theo e

at
f(t) = L
−1
{F (s − a)}.
Chứng minh.
1. Dễ dàng chứng minh bởi định nghĩa.
2. Bằng định nghĩa:
L{f
′
(t)} =

∞
0
e
−st
f
′
(t)dt = e
−st













∞
0
−

∞
0
(−s)e
−st
f(t)dt
= −f(0) + sL{f(t)}.
3. Từ tính chất 2 chúng ta có:
L{f
′′
(t)} = sL{f
′
(t)} − f
′
(0) = s(sL{f(t)}− f(0)) − f
′
(0)
= s
2
L{f(t)}− sf(0) − f
′
(0).
4. Tương tự dễ dàng chứng minh được nhờ tính chất 2.
5. Chứng minh sau từ định nghĩa:
F
′

(s) =
d
ds

∞
0
e
−st
dt =

∞
0
∂
∂s
(e
−st
)f(t)dt
=

∞
0
(−t)e
−st
dt = L{−tf(t)}.
6. Chứng minh này cũng từ định nghĩa:
L{e
at
f(t)}

∞

0
e
−st
e
at
f(t)dt =

∞
0
e
−(s−a)
f(t)dt = F(s − a).
Bằng cách sử dụng các tính chất, chúng ta có thể dễ dàng tìm biến
đổi Laplace của một số hàm khác.
Ví dụ 2.1.6. Từ L{t
n
} =
n!
s
n+1
, chúng ta có L{e
at
t
n
} =
n!
(s−a)
n+1
.
Ví dụ 2.1.7. Từ L{sin bt} =

b
s
2
+b
2
, chúng ta có L{e
at
sin bt} =
b
(s−a)
2
+b
2
.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Ví dụ 2.1.8. Từ L{cos bt} =
s
s
2
+b
2
, chúng ta có L{e
at
cos bt} =
s−a
(s−a)
2
+b
2

.
Định nghĩa 2.1.2. Biến đổi Laplace ngược
L
−1
{F (s)} = f(t), nếu F(s) = L{f(t)}.
Một vài ví dụ đơn giản
Ví dụ 2.1.9.
L
−1

3
s
2
+ 4

= L
−1

3
2
2
s
2
+ 2
2

=
3
2
L

−1

2
s
2
+ 2
2

=
3
2
sin 2t.
Ví dụ 2.1.10.
L
−1

s + 1
s
2
+ 4

= L
−1

s
s
2
+ 4

+

1
2
L
−1

2
s
2
+ 4

= cos 2t
1
2
sin 2t.
Ví dụ 2.1.11.
L
−1

2
(s + 5)
4

= L
−1

1
3
.
6
(s + 5)

4

=
1
3
L
−1

3!
(s + 5)
4

=
1
3
e
−5t
L
−1

3!
s
4

=
1
3
e
−5t
t

3
.
2.2 Toán tử vi phân cấp phân
Trong phần này, chúng ta nghiên cứu phương trình khuếch tán phân
trong số hạng của đạo hàm Caputo [ 3, 7]:
D
α
∗
f(t) :=





1
Γ(n−α)
t

0
f
(n)
(τ)dτ
(t−τ)
α+1−n
, n − 1 < α < n,
d
n
dt
n
f(t), α = n,

(2.1)
trong đó n là một số nguyên dương. Phương pháp chúng ta làm sau
đây là quy tắc biến đổi Laplace trong đạo hàm Caputo :
L{D
α
∗
f(x); s} = s
α
L[f(t); s]−
n−1

k=0
s
α−1−k
f
(k)
(0), n−1 < β ≤ n. (2.2)
Đối với phương trình khuếch tán phân tổng quát theo không gian -
thời gian chúng ta sử dụng toán tử đạo hàm phân dạng:
D
α
β
(x) = (1 − β)D
α
+
u(x) − βD
α
−
u(x), 0 < α ≤ 1, β ∈ R. (2.3)
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19
Trong đó D
α
+
và D
α
−
là đạo hàm phân Riemann - Liouville trên trục
thực và
(D
α
+
u)(x) =
1
Γ(1 − α)

x
−∞
(x − τ)
α−1
u(τ)dτ, (2.4)
(D
α
−
u)(x) = −
1
Γ(1 − α)

+∞
x

(τ − x)
α−1
u(τ)dτ. (2.5)
Chúng ta xem xét và đưa ra một hệ thức đã được thiết lập ở phần
trước tùy theo 0 < α ≤ 1, bất cứ giá trị của β và hàm u(x) ∈ Φ(R)
F
α
[D
α
β
u(x); w] = (−ic
α
w)F
α
[u(x); w], w ∈ R, (2.6)
trong đó c
α
= sin(απ/2) + isign(1 − 2β) cos(απ/2). Tổng quát hơn
nữa là đã được làm bởi Agarwal người đã định nghĩa hai hàm tham số
trong kiểu Mittag - Leffler trong dạng
E
α,β
(z) =
∞

n=0
z
k
Γ(αk + β)
, α > 0, β > 0, z ∈ C. (2.7)

Chúng ta nhắc lại rằng hiệu quả của ứng dụng của biến đổi Laplace
trong hàm (2.7) là mô tả bởi công thức:
L[t
αk+β−1
E
(k)
α,β
(±at
α
); s] =
k!s
α−β
(s
α
∓ a)
k+1
, Res > |a|
1
α
. (2.8)
Từ hệ thức (1.8) và (1.9), không khó để chứng minh các mệnh đề
sau.
Định lý 2.2.1. Nếu 0 < α ≤ 1, u(x) ∈ Φ(R) và F
α
[u(x); w] =

u
α
(w),
thì:

i)F
α
[u(x − a); w] = e
α
(w, a)

u
α
(w),
ii)F
α
[u(ax); w] =
1
|a|

u
α
(
|w|
a
), a ̸= 0,
iii)F
α
[u(−x); w] =

u
α
(w),
iv)F
α

[

u
α
(x); w] = u(−w),
v) Nếu g(x) ∈ Φ(R) và F
α
[g(x); w] =

g
α
(w), thì
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
+∞

−∞

u
α
(w)g(w)e
α
(w, t)dw =
+∞

−∞
u(x)

g
α

(x + t)dx.
Định lý 2.2.2. Nếu 0 < α ≤ 1, và u
(n)
(x) ∈ Φ(R), thì:
F
α
[u
(n)
(x); w] = (−isignw |w|
1
α
)
n

u
α
(w), w ∈ R.
Chứng minh. Với n = 1 và w ≤ 0. Thì theo (1.6) và (1.7)
F
α
[u
,
(x); w] =

+∞
−∞
e
−i|w|
1
α

x
u
,
(x)dx = u(x)e
−i|w |
1
α
x









+∞
−∞
+ i |w|
1
α

+∞
−∞
e
−i|w |
1
α
x

u(x)dx = (−isignw |w|
1
α
)
n

u
α
(w). (2.9)
Trường hợp w > 0 là xét tương tự. Bởi phép quy nạp, công thức
(2.9) cho kết quả muốn có.
Định lý 2.2.3. (Định lý tích chập) Nếu 0 < α ≤ 1, và u(x), v(x) ∈
Φ(R), thì:
F
α
[(u ∗ v)(x); w] =

u
α
(w)

v
α
(w),
trong đó
(u ∗ v)(x) =

+∞
−∞
u(x − ξ)v(ξ)dξ

và F
α
[u(x); w] =

u
α
(w), F
α
[v(x); w] =

v
α
(w).
Chứng minh. Trước tiên xét trường hợp w ≤ 0. Từ (1.6) và (1.7) ta
có
F
α
[(u ∗ v)(x); w] =

+∞
−∞
e
−i|w|
1
α
x


+∞
−∞

u(x − ξ)v(ξ)dξ

dx
=

+∞
−∞
e
−i|w |
1
α
ξ
v(ξ)


+∞
−∞
e
−i|w |
1
α
(x−ξ)
u(x − ξ)dx

dξ
=

+∞
−∞
e

−i|w |
1
α
ξ
v(ξ)dξ

+∞
−∞
e
−i|w|
1
α
η
u(η)dη =

u
α
(w)

v
α
(w).
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên