Jacobian xấp xỉ và ứng dụng cho bài toán tối ưu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHẠM THỊ THU
JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG
CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHẠM THỊ THU
JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG
CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN
Thái Nguyên - Năm 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 HÀM KHẢ VI 4
1.1 Hàm khả vi từ R → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hàm khả vi từ R
n
→ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Các phép tính của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Hàm khả vi từ R

n
đến R
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Bài toán trơn không có ràng buộc . . . . . . . . . 10
1.4.2 Bài toán trơn với ràng buộc bất đẳng thức . . . . 11
2 JACOBIAN XẤP XỈ 12
2.1 Jacobian xấp xỉ của hàm vô hướng . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Các phép tính của Jacobian xấp xỉ . . . . . . . . . 20
2.2 Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Hessian xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Hessian xấp xỉ của hàm vô hướng . . . . . . . . . 39
2.3.2 Hessian xấp xỉ của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . 42
3 ỨNG DỤNG CỦA JACOBIAN XẤP XỈ 44
3.1 Bài toán tối ưu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Các loại bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Bài toán tối ưu không ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Bài toán tối ưu có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
3.5 Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu vectơ . . . . 52
Kết luận 63
Tài liệu tham khảo 64
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vào nửa sau thế kỉ XVII, nhà toán học người Đức là Leibniz và đồng thời

nhà toán học người Anh là Newton đã phát minh ra phép tính vi phân,
một công cụ đắc lực để giải quyết nhiều bài toán trong vật lý, cơ học, hóa
học, kỹ thuật, Nhưng phép tính vi phân mà Leibniz và Newton phát
minh ra chỉ áp dụng được cho các lớp hàm có tính chất khá tốt.
Một vấn đề đặt ra là đó là cách giải quyết đối với các hàm không khả vi.
Đây là vấn đề nghiên cứu của nhiều nhà khoa học vào nửa cuối thế kỉ XX.
Từ đó môn giải tích không trơn ra đời. Môn học này đã giải quyết các bài
toán trên các lớp hàm không có đạo hàm theo nghĩa thông thường bằng
cách đưa ra các khái niệm dưới vi phân khác nhau để thay thế khái niệm
đạo hàm, tại một điểm cho trước hàm được xấp xỉ bằng một họ các hàm
tuyến tính. Nhờ đó mà giải tích không trơn đã đem lại nhiều kết quả sâu
sắc trong lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân, cơ
học và lý thuyết điều khiển.
Trong những năm gần đây nhiều nhà nghiên cứu về giải tích không trơn
bằng cách tập trung phát triển các dưới vi phân suy rộng đảm bảo những
tính chất tốt cũng như các điều kiện cần và đủ tối ưu đối với hàm không
trơn như: F.H Clarke, R.T Rockafellar, D.Ralph và V.F.Demyanov và
V.Jeyakumar, Rất gần đây, với hàm liên tục, V.Jeyakumar và D.T.Luc
đã đưa ra khái niệm mới về dưới vi phân và gọi là Jacobian xấp xỉ. Các
khái niệm này cho ta một công cụ hữu ích để nghiên cứu những bài toán về
hàm liên tục có Jacobian xấp xỉ và cũng có những phép tính khá tốt, tương
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
ứng với các phép tính của đạo hàm thông thường như phép lấy tích, tổng,
hợp, định lý về giá trị trung bình, Đặc biệt, nhiều dưới vi phân cũng là
Jacobian xấp xỉ, ví như dưới vi phân của hàm lồi, hàm Lipschitz và nhiều
dưới vi phân khác như của Morduchovich, Michel-Penot, Treiman, Việc
nghiên cứu Jacobian xấp xỉ đã mở rộng, thống nhất và làm sâu sắc nhiều
kết quả trong giải tích không trơn và tối ưu hóa. Lý thuyết Jacobian xấp
xỉ đang là đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu.

Với mong muốn được tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết Jacobian xấp xỉ
cùng với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS. TSKH Nguyễn Xuân
Tấn, tôi xin giới thiệu đề tài:
" JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN
TỐI ƯU KHÔNG TRƠN "
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài này là tập trung trình bày có hệ thống
một số kết quả về Jacobian xấp xỉ của một hàm liên tục trong không gian
hữu hạn chiều, trước hết là hàm vô hướng, sau đó là hàm vectơ dựa trên
cơ sở các kết quả V.Jeyakumar, D.T.Luc và các cộng sự nghiên cứu. Lý
thuyết tối ưu vô hướng, vectơ đã được phát triển mạnh trong những thập
niên cuối thế kỉ 20 và đầu thế kỉ 21; đến nay lý thuyết này vẫn còn là đề
tài nghiên cứu hấp dẫn đối với nhiều nhà toán học trong và ngoài nước.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết Jacobian xấp xỉ và ứng dụng.
- Sử dụng các kết quả đã được công bố để hệ thống lại theo cách hiểu của
mình và vận dụng vào các bài toán không trơn trong thực tế.
- Luôn gắn những bài toán trên vào các ứng dụng trong lý thuyết tối ưu,
điều khiển tối ưu tới các hàm không trơn để tìm ra các kết quả mới trong
lĩnh vực này.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Trước hết tìm hiểu thật kỹ các kiến thức cơ bản thuộc lĩnh vực giải tích
hiện đại liên quan tới hàm vectơ và giải tích đa trị, đặc biệt là các tính
chất của các hàm có Jacobian xấp xỉ.
- Sử dụng các tính chất khác nhau của Jacobian xấp xỉ để tìm các điều
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu liên quan tới
hàm có Jacobian xấp xỉ và đưa ra các ứng dụng trong các bài toán thực
tế.

- Phân tích đặc thù riêng của từng bài toán để tìm ra các phương pháp
khác nhau cho việc áp dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dịch, đọc tài liệu, nghiên cứu toán học, các tài liệu chuyên khảo về lý
thuyết tối ưu không trơn.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức để phục vụ cho mục đích nghiên cứu.
6. Những đóng góp của đề tài
- Hoàn thành luận văn về đề tài lý thuyết tối ưu Jacobian xấp xỉ và ứng
dụng, dày 64 trang.
- Tìm ra những ứng dụng có ý nghĩa trong lý thuyết tối ưu liên quan tới
các hàm có Jacobian xấp xỉ.
- Làm rõ, hệ thống các kiến thức về hàm khả vi, Jacobian xấp xỉ, ứng
dụng của Jacobian xấp xỉ.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
HÀM KHẢ VI
1.1 Hàm khả vi từ R → R
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm f : (a, b) ⊂ R → R. Ta nói hàm f khả vi
tại điểm x ∈ (a, b), nếu tồn tại giới hạn
f

(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
.
Giới hạn f

(x) được gọi là đạo hàm của f tại x.

Định nghĩa 1.1.2. Nếu hàm f có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ (a, b) thì ta
nói f khả vi trong (a, b).
Định lý 1.1.3. Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x.
1.2 Hàm khả vi từ R
n
→ R
1.2.1 Các định nghĩa và tính chất
Cho U là tập mở trong R
n
, hàm f : U → R, x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ U. Ta
kí hiệu L(R
n
, R) là không gian các hàm tuyến tính liên tục từ R
n
vào R.
Định nghĩa 1.2.1. Hàm f được gọi là khả vi tại x nếu tồn tại một hàm
tuyến tính liên tục L ∈ L(R
n
, R) sao cho
f(x + h) − f(x) = L(h) + (h)||h||,
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
trong đó h = (h
1

, h
2
, . . . , h
n
) ∈ R
n
, (h) → 0 khi h → 0.
Hàm tuyến tính L được gọi là đạo hàm của f tại x, kí hiệu là f

(x) hay
Df(x).
Hàm f được gọi là khả vi trong U nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ U.
Từ định nghĩa ta có thể chứng minh được định lý sau
Định lý 1.2.2. Nếu f khả vi tại x thì đạo hàm tương ứng được xác định
duy nhất.
Định nghĩa 1.2.3. Ta nói f khả vi theo hướng u ∈ R
n
tại x nếu tồn tại
giới hạn
lim
h→0
f(x + hu) − f(x)
h
.
Khi đó giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm f theo hướng u tại x,
kí hiệu là f

(x, u).
Định nghĩa 1.2.4. Cho u là một vectơ trong cơ sở chính tắc {e
1

, e
2
, . . . , e
n
}
trong R
n
. Nếu f

(x, e
i
) tồn tại thì được gọi là đạo hàm riêng thứ i của
hàm f tại x, hay đạo hàm riêng theo biến x
i
của hàm f tại x và kí hiệu là
∂f
∂x
i
(x) hay D
i
f(x) hoặc f

x
i
(x).
Ta có mối quan hệ giữa đạo hàm, đạo hàm riêng và đạo hàm theo
hướng như sau
Định lý 1.2.5. Nếu hàm f khả vi tại x thì có đạo hàm riêng theo mọi
biến x và
f


(x)(h) =
n

i=1
∂f
∂x
i
(x)h
i
, trong đó h = (h
1
, h
2
, . . . , h
n
) ∈ R
n
.
Từ định lý này ta suy ra f

(x) là hàm tuyến tính được xác định bởi
ma trận

∂f
∂x
1
(x),
∂f
∂x

2
(x), . . . ,
∂f
∂x
n
(x)

và như vậy cũng có thể xem f

(x)
như một vectơ của không gian R
n
gọi là vectơ gradient của f tại x, thường
kí hiệu là ∇f(x).
Định lý 1.2.6. Nếu hàm f có các đạo hàm riêng
∂f
∂x
1
(x),
∂f
∂x
2
(x), . . .,
∂f
∂x
n
(x) trong một lân cận nào đó tại điểm x và chúng là các hàm số liên
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
tục tại x thì hàm f khả vi liên tục tại x và

f

(x)(h) =
n

i=1
∂f
∂x
i
(x)h
i
, trong đó h = (h
1
, h
2
, . . . , h
n
) ∈ R
n
.
Định lý 1.2.7. Nếu hàm f khả vi tại x thì nó có đạo hàm theo mọi hướng
tại x và
f

(x, u) = f

(x)(u) = ∇f(x), u, u = (u
1
, u
2

, . . . , u
n
) ∈ R
n
.
Cho U là tập mở trong R
n
, hàm f : U → R, x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ U.
Giả sử D
i
f(x) tồn tại với mọi x ∈ U, khi đó ta có ánh xạ:
D
i
f : U → R, x → D
i
f(x).
Định nghĩa 1.2.8. Nếu hàm D
i
f có đạo hàm riêng theo biến thứ j tại x
thì đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f tại x theo biến
thứ i và thứ j hay theo các biến x
i
và x
j

, kí hiệu là D
ij
f(x) hay
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(x).
Định lý 1.2.9. (Định lý Schwarz)
Cho U là tập mở trong R
n
, hàm f : U → R, x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ U.
Nếu
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(x),

∂
2
f
∂x
j
∂x
i
(x) tồn tại trên U và liên tục tại x thì ta có
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(x) =
∂
2
f
∂x
j
∂x
i
(x).
Áp dụng định lý Schwarz, ta có thể suy ra nếu f có các đạo hàm riêng
liên tiếp đến cấp k trên U thì các đạo hàm riêng
∂
p
f
∂x

i
1
∂x
i
2
∂x
i
p
(x) (p ≤ k)
không phụ thuộc vào thứ tự các biến lấy đạo hàm. Chúng luôn được viết
dưới dạng chính tắc:
∂
|α|
f
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
∂x
α
n
n
(x), với α = (α
1
, α
2

, . . . , α
n
) là bộ n số
nguyên không âm, |α| = α
1
+ α
2
+ ··· + α
n
= p.
Giả sử f khả vi trong U, khi đó ta có ánh xạ
f

: U → L(R
n
, R), x → f

(x).
Định nghĩa 1.2.10.
(i) Hàm f gọi là khả vi liên tục hay thuộc lớp C
1
trên U nếu f’ liên tục,
kí hiệu là f ∈ C
1
(U).
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
(ii) Hàm f gọi là khả vi cấp hai tại x nếu f’ khả vi tại x, tức là tồn tại một
ánh xạ song tuyến tính đối xứng B : R
n

→ L(R
n
, R) sao cho
f

(x + h) − f

(x) −B(h) = (h)h,
trong đó h = (h
1
, h
2
, . . . , h
n
) ∈ R
n
, (h) → 0 khi h → 0.
Ánh xạ B nếu tồn tại là duy nhất và được gọi là đạo hàm của f’ tại x hay
đạo hàm cấp hai của f tại x, kí hiệu là f”(x) hay D
2
f(x).
(iii) Hàm f gọi là khả vi cấp hai trên U nếu f khả vi cấp hai tại mọi x ∈ U.
Khi đó nếu ánh xạ f

: x → f

(x) là liên tục thì f được gọi là khả vi cấp
hai liên tục hay thuộc lớp C
2
trên U, kí hiệu là f ∈ C

2
(U).
Định lý 1.2.11. Giả sử f khả vi cấp hai tại x. Khi đó f”(x) là ánh xạ
song tuyến tính đối xứng từ R
n
× R
n
vào R.
Từ đó ta cũng có thể định nghĩa hàm khả vi cấp p, đạo hàm cấp p của
f tại x, kí hiệu là f
(p)
(x) hay D
(p)
f(x).
Định lý 1.2.12. Giả sử f khả vi cấp hai tại x. Khi đó f có tất cả các đạo
hàm riêng tại x và
f

(x)(h, k) =
n

i,j=1
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(x)h

i
k
j
.
Như vậy f”(x) được xác định bởi ma trận vuông cấp n:

∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(x)

.
Ma trận này gọi là ma trận Hessian của f tại x.
Định lý 1.2.13. Giả sử f khả vi cấp p tại x. Khi đó f có tất cả các đạo
hàm riêng cấp p tại x và
f
p
(x)(h
p
) =

|α|=p
∂
|α|
f
∂x

α
1
1
∂x
α
2
2
. . . ∂x
α
n
n
(x)h
α
1
1
. . . h
α
n
n
,
với h = (h
1
, h
2
, . . . , h
n
) ∈ R
n
.
1.2.2 Các phép tính của đạo hàm

1. Phép nhân vô hướng
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Định lý 1.2.14. Giả sử f : U → R khả vi tại x, λ ∈ R. Khi đó hàm λf
cũng khả vi tại x và
(λf)

(x) = λf

(x).
2. Phép cộng
Định lý 1.2.15. Giả sử các hàm f, g : U → R khả vi tại x. Khi đó hàm
f + g khả vi tại x và
(f + g)

(x) = f

(x) + g

(x).
3. Định lý về giá trị trung bình
Ta gọi một đoạn trong R
n
với hai đầu mút a, b ∈ R
n
là tập hợp
[a, b] = {ta + (1 −t)b, 0 ≤ t ≤ 1}.
Định lý 1.2.16. Giả sử U là tập mở trong R
n
, [a, b] là một đoạn chứa

trong U và f : U → R là một hàm khả vi trên U. Khi đó tồn tại c ∈ [a, b]
sao cho
f(b) −f(a) = f

(c)(b −a).
4. Đạo hàm hàm hợp
Định lý 1.2.17. Cho U là một tập mở trong R
n
, hàm f : U → R
m
với
f = (f
1
, f
2
, . . . , f
n
). Giả sử với mỗi i = 1, 2, , m hàm f
i
khả vi tại
x ∈ U, V là một tập mở chứa f(x) trong R
m
, hàm g : V → R khả vi tại
f(x). Khi đó hàm h = g ◦ f : U → R khả vi tại x và
h

(x) = g

(f(x)) (f


1
(x), f

2
(x), . . . , f

m
(x))
= D
1
g(f(x)).f

1
(x) + D
2
g(f(x)).f

2
(x) + ···+ D
m
g(f(x)).f

m
(x).
5.Công thức Taylor
Định lý 1.2.18. Cho U là một tập mở trong R
n
, hàm f : U → R,
x = (x
1

, x
2
, . . . , x
n
) ∈ U. Giả sử f khả vi cấp k - 1 trên U và khả vi cấp
k tại x. Khi đó với mọi h ∈ R
n
với h khá nhỏ ta có
f(x+h) = f(x)+
1
1!
Df(x)h+
1
2!
D
2
f(x)(h
2
)+···+
1
k!
D
k
f(x)(h
k
)+o

h
k


.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
1.3 Hàm khả vi từ R
n
đến R
m
Cho U là một tập mở trong R
n
, hàm f : U → R
m
là hàm vectơ, với
f = (f
1
, f
2
, . . . , f
m
), x ∈ U. Ta kí hiệu L(R
n
, R
m
) là không gian các ánh
xạ tuyến tính liên tục từ R
n
vào R
m
.
Định nghĩa 1.3.1. Hàm f được gọi là khả vi tại điểm x nếu tồn tại một
ánh xạ tuyến tính liên tục L ∈ L(R

n
, R
m
) sao cho
f(x + h) − f(x) − L(h) = o(h).
trong đó h = (h
1
, h
2
, . . . , h
m
) ∈ R
n
, (h) → 0 khi h → 0.
Ánh xạ tuyến tính L được gọi là đạo hàm của f tại x, kí hiệu là f’(x) hay
Df(x).
Định lý 1.3.2. Nếu f khả vi tại x thì đạo hàm tương ứng được xác định
duy nhất.
Định lý 1.3.3. Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x.
Ta có điều kiện cần và đủ về tính khả vi của hàm f như sau
Định lý 1.3.4. Hàm f khả vi tại x khi và chỉ khi các hàm thành phần
f
i
(i = 1, m) khả vi tại x. Khi đó Df(x) = (Df
1
(x), Df
2
(x), . . . , Df
m
(x)).

Từ đây ta suy ra ma trận của ánh xạ tuyến tính Df(x) là:

D
j
f
i
(x)

,
với i = 1, m và j = 1, n. Ma trận này được gọi là Jacobi của f tại x.
Cũng như hàm vô hướng ở trên, đối với hàm vectơ ta cũng có các khái
niệm được định nghĩa tương tự như: hàm khả vi cấp p, đạo hàm cấp p,
hàm khả vi liên tục cấp p và nếu f khả vi cấp p tại x thì f
(p)
(x) là ánh
xạ p-tuyến tính từ R
n
× R
n
× ··· ×R
n
  
p
vào R
m
.
Bây giờ ta lấy v ∈ R
m
bất kì và định nghĩa hàm vf : R
n

→ R như sau:
(vf)(x) = v, f(x) =
m

i=1
v
i
f
i
(x).
Rõ ràng nếu f khả vi tại x thì vf cũng khả vi tại x. Khi đó dựa vào định
lý 1.2.7 ta có nhận xét:
(vf)

(x, u) = (vf)

(x), u = f

(x)(u), v, ∀v ∈ R
m
, ∀u ∈ R
n
.
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Ta cũng có các phép tính về đạo hàm của hàm vectơ tương tự như đối
với hàm vô hướng.
1.4 Ứng dụng
Trong phần này ta sẽ ứng dụng đạo hàm để đưa ra các điều kiện cực trị
lớp bài toán trơn. Cho bài toán:

min
x∈D
f(x). (1.1)
trong đó f : R
n
→ R (gọi là hàm mục tiêu), D ⊂ R
n
(gọi là tập ràng
buộc).
Định nghĩa 1.4.1. Điểm x
0
∈ D được gọi là cực tiểu địa phương của
(1.1) nếu tồn tại một lân cận U của x
0
sao cho f(x
0
) ≤ f(x), ∀x ∈ U ∩D.
Điểm x
0
∈ D được gọi là cực tiểu toàn cục của (1.1) nếu tồn tại một lân
cận L của x
0
sao cho f(x
0
) ≤ f(x), ∀x ∈ D.
Dưới đây ta sẽ đưa ra các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán
không có ràng buộc và bài toán với ràng buộc bất đẳng thức.
1.4.1 Bài toán trơn không có ràng buộc
Xét bài toán:
min

x∈R
n
f(x). (1.2)
Ta có:
Điều kiện cần: Giả sử hàm f khả vi tại x
0
, x
0
là điểm cực tiểu địa
phương của (1.2). Khi đó, Df(x
0
) = 0. Các điểm thỏa mãn Df(x) = 0
gọi là điểm dừng.
Điều kiện đủ: Giả sử trong một lân cận nào đó của điểm dừng x
0
hàm f
khả vi cấp hai và tất cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại x
0
. Khi đó,
nếu D
2
f(x
0
)(h
2
) > 0, ∀h ∈ R
n
, h = 0 thì x
0
là điểm cực tiểu địa phương

của bài toán (1.2).
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
1.4.2 Bài toán trơn với ràng buộc bất đẳng thức
Xét bài toán:
min
x∈D
f(x). (1.3)
Trong đó D = {x ∈ R
n
: φ
i
(x) = 0, i = 1, m}; các hàm f, φ
i
: R
n
→ R.
Với các bài toán có ràng buộc, một công cụ hữu ích được sử dụng rộng
rãi khi nghiên cứu là hàm Lagrange.
Hàm Lagrange của bài toán (1.3) được thiết lập như sau:
L(x, λ) = f(x) + λ
1
φ
1
(x) + ···+ λ
m
φ
m
(x), (λ = (λ
1

, λ
2
, . . . , λ
m
) ∈ R
m
).
Khi đó bài toán (1.3) được đưa về bài toán tối ưu không ràng buộc với
hàm mục tiêu là hàm Lagrange. Ta có điều kiện cần của bài toán (1.3)
như sau:
Điều kiện cần: Giả sử x
0
là cực tiểu địa phương của (1.3); hàm f
và mọi hàm φ
i
(i = 1, m) khả vi liên tục trong một lân cận của x
0
và Dφ
1
(x
0
), Dφ
2
(x
0
), . . . , Dφ
m
(x
0
) độc lập tuyến tính. Khi đó, tồn tại

λ
∗
= (λ
∗
1
, λ
∗
1
, . . . , λ
∗
m
) sao cho:
L

x
(x
0
, λ
∗
) = 0 hay Df(x
0
) + λ
∗
1
Dφ
1
(x
0
) + ···+ λ
∗

m
Dφ
m
(x
0
) = 0.
Điểm x
0
∈ D gọi là điểm dừng ứng với giá trị (λ
0
= (λ
0
1
, λ
0
2
, . . . , λ
0
m
) nếu
L

x
(x
0
, λ
0
) = 0.
Khảo sát các điểm dừng ta thu được điều kiện đủ sau:
Điều kiện đủ: Giả sử trong một lân cận nào đó của điểm dừng x

0
ứng
với giá trị λ
0
, hàm f và mọi hàm φ
i
(i = 1, m) khả vi cấp hai và có tất
cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại x
0
. Nếu L

x
(x
0
, λ
0
)(h
2
) > 0,
∀h ∈ R
n
, h = 0, thì x
0
là điểm cực tiểu địa phương của (1.3).
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Chương 2
JACOBIAN XẤP XỈ
2.1 Jacobian xấp xỉ của hàm vô hướng
2.1.1 Định nghĩa và các tính chất

Cho R
n
là không gian n - chiều, xét hàm số Φ : R → R và x, u ∈ R
n
là
hai điểm cho trước. Đạo hàm Dini trên theo hướng u tại x của Φ được
định nghĩa bằng biểu thức
Φ
+
(x; u) = lim sup
t↓0
Φ(x + tu) − Φ(x)
t
.
Tương tự, đạo hàm Dini dưới theo hướng u tại x của Φ được định nghĩa
bởi
Φ
−
(x; u) = lim inf
t↓0
Φ(x + tu) − Φ(x)
t
.
Các giới hạn trên có thể nhận cả các giá trị +∞, −∞. Điều này ta thường
gặp khi Φ; là hàm không trơn. Nếu Φ
+
(x; u) = Φ
−
(x; u), giá trị chung
này được ký hiệu là Φ


(x; u) và được gọi là đạo hàm theo hướng u của Φ
tại x. Nếu Φ

(x; u) tồn tại theo mọi hướng u, ta nói rằng Φ khả vi theo
mọi hướng tại x.
Định nghĩa 2.1.1. Cho hàm số f : R
n
→ R. Ta nói rằng tập đóng
∂
x
f(x) ⊂ R
n
là Jacobian xấp xỉ của f tại x, nếu với mọi u ∈ R
n
, ta có:
f
+
(x; u) ≤ sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u. (2.1)
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Từ định nghĩa, ta thấy rằng R

n
bao giờ cũng là Jacobian xấp xỉ của
mọi hàm f : R
n
→ R. Nhưng điều ta quan tâm ở đây là cho trước hàm
số f : R
n
→ R, ta cần tìm Jacobian xấp xỉ của f tại x nhỏ nhất có thể
được. Theo định nghĩa, Jacobian xấp xỉ không nhất thiết là lồi và cũng
không nhất thiết là tập compact.
Ví dụ 1. Cho hàm f : R → R xác định bởi: f(x) = −|x|. Ta dễ dàng
tính được ∂
x
f(0) = {1, −1} là Jacobian xấp xỉ của f tại 0. Tập này không
lồi.
Ví dụ 2. Cho hàm f : R → R xác định bởi:
f(x) =

√
x nếu x ≥ 0
−
√
−x nếu x ≤ 0
Ta thấy rằng ∂
x
f(0) = [α, +∞], với mọi α ∈ R, là Jacobian xấp xỉ của f
tại 0. Tập này không phải là tập compact.
Mệnh đề dưới đây cho thấy rằng tính không duy nhất của Jacobian
xấp xỉ.
Mệnh đề 2.1.2.

(i) Tập đóng ∂
x
f(x) ⊂ R
n
là Jacobian xấp xỉ của f tại x khi và chỉ khi
với mọi u ∈ R
n
,
f
−
(x; u) ≥ inf
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u. (2.2)
(ii) Tập đóng ∂
x
f(x) ⊆ R
n
là Jacobian xấp xỉ của f tại x, mọi tập đóng
A ⊂ R
n
chứa ∂
x
f(x) đều là Jacobian xấp xỉ của f tại x.
(iii) Nếu {∂

x
i
f(x)}
∞
i=1
⊆ R
n
là dãy giảm (theo bao hàm thức) của các
Jacobian xấp xỉ, giới nội của f tại x, thì
∞

i=1
∂
x
i
f(x) cũng là Jacobian xấp
xỉ của f tại x.
Chứng minh:
(i) Lấy u ∈ R
n
tùy ý, ta có
−f
+
(x, u) = lim sup
t↓0
−f(x + tu) + f(x)
t
= −lim inf
t↓0
f(x + tu) − f(x)

t
= −f
−
(x, u).
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Mặt khác ta có đẳng thức:
sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u = − inf
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u.
Do đó cho ta sự tương đương giữa (2.1) và (2.2).
(ii) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
(iii) Mỗi tập ∂
x
i
f(x) là đóng và giới nội, do đó là tập compact, suy ra

∞

i=1
∂
x
i
f(x) = 0 và là compact. Ta có: với u ∈ R
n
, từ định nghĩa Jacobian
xấp xỉ:
f
+
(x; u) ≤ ξ
i
, u,
với ξ
i
∈ ∂
x
i
f(x), i = 1, 2, . . . Vì {ξ
i
}
∞
i=1
là giới nội, ta có giới hạn ξ
0
∈
∞


i=1
∂
x
i
f(x). Cho i → ∞ ta được:
f
+
(x; u) ≤ ξ
0
, u ≤ sup
ξ∈
∞

i=1
∂
x
i
f(x)
ξ
0
, u.
Vậy
∞

i=1
∂
x
i
f(x) cũng là Jacobian xấp xỉ của f tại x.
Sau đây ta xét một số trường hợp đặc biệt của Jacobian xấp xỉ.

1. Gradient
Mệnh đề 2.1.3. Giả sử f khả vi tại x. Khi đó tập hợp {f(x)} là một
Jacobian xấp xỉ của f tại x.
Chứng minh: Vì f khả vi tại x nên theo định lý 1.2.7 ta có:
f

(x, u) = f(x), u, ∀u ∈ R
n
.
do đóf
+
(x, u) = f
−
(x, u) = f(x), u, ∀u ∈ R
n
.
Theo định nghĩa và từ mệnh đề 2.1.2 thì tập hợp {f(x)} là Jacobian
xấp xỉ của hàm f tại x.
2. Dưới vi phân hàm lồi
Giả sử f là hàm lồi trên R
n
.
Ta nhắc lại định nghĩa Dưới vi phân của hàm lồi f tại x, kí hiệu là ∂f(x)là
tập:
∂f(x) = {x
∗
∈ R
n
: f(y) −f(x) ≤ x
∗

, y −x, ∀y ∈ R
n
.
Nếu ∂f(x) = ∅ ta nói rằng f khả dưới vi phân tại x.
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Mệnh đề 2.1.4. Nếu f là hàm lồi chính thường trên R
n
thì ∂f(x) = ∅,
lồi, compact và
f

(x, u) = max{x
∗
, u : x
∗
∈ ∂f(x)}, ∀u ∈ R
n
.
Mệnh đề 2.1.5. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên R
n
. Khi đó ∂f(x)
là Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x.
Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1.4, ta có ∂f(x) = ∅, lồi, compact.
Đồng thời ∀u ∈ R
n
: f

(x, u) = max{x
∗

, u : x
∗
∈ ∂f(x)}.
Ta suy ra
f
−
(x, u) = max
x
∗
∈∂f (x)
x
∗
, u
và
f
+
(x, u) = max
x
∗
∈∂f (x)
x
∗
, u ≥ min
x
∗
∈∂f (x)
x
∗
, u.
Điều này chứng tỏ dưới vi phân hàm lồi chính thường cũng chính là

Jacobian xấp xỉ của nó.
3. Gradient suy rộng của hàm Lipschitz địa phương
Giả sử hàm f Lipschitz địa phương tại x.
Định nghĩa 2.1.6. Đạo hàm suy rộng trên và dưới Clarke của f theo
hướng u ∈ R
n
tại x tương ứng kí hiệu là f
0
(x, u) và f
0
(x, u) được định
nghĩa như sau:
f
0
(x, u) = lim sup
x

→x,t↓0
f(x

+ tu) −f(x

)
t
,
f
0
(x, u) = lim inf
x


→x,t↓0
f(x

+ tu) −f(x

)
t
.
Định nghĩa 2.1.7. Gradient suy rộng Clarke của hàm f tại x, kí hiệu
∂
0
f(x) là tập:
∂
0
f(x) = {x
∗
∈ R
n
: x
∗
, u ≤ f
0
(x, u), ∀u ∈ R
n
}.
Mệnh đề 2.1.8. Giả sử f : R
n
→ R là hàm Lipschitz địa phương với
hằng số K tại x. Khi đó:
(i) ∂

0
f(x) = ∅, lồi, compact trong R
n
và ξ ≤ K, ∀ξ ∈ ∂
0
f(x).
(ii) Với mọi u ∈ R
n
ta có f
0
(x, u) = max{ξ, u : ξ ∈ ∂
0
f(x)} và
f
0
(x, u) = max{ξ, u : ξ ∈ ∂
0
f(x)}.
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Mệnh đề 2.1.9. Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x. Khi đó,
∂
0
f(x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x.
Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1.8, ∂
0
f(x) = ∅, lồi, compact trong R
n
ta có:
f

0
(x, u) = max
x
∗
∈∂
0
f(x)
x
∗
, u và f
0
(x, u) = min
x
∗
∈∂
0
f(x)
x
∗
, u.
Vì f
+
(x, u) ≤ f
0
(x, u) và f
−
(x, u) ≥ f
0
(x, u)∀u ∈ R
n

nên:
f
+
(x, u) ≤ max
x
∗
∈∂
0
f(x)
x
∗
, u và f
−
(x, u) ≥ min
x
∗
∈∂
0
f(x)
x
∗
, u∀u ∈ R
n
.
Vậy ∂
0
f(x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x.
Nhận xét 2.1.10. Do hàm f xét trong không gian hữu hạn chiều nên cụ
thể hơn ta có:
∂

0
f(x) = co

lim
n→∞
f(x
n
) : x
n
/∈ Ωf, x
n
/∈ S, x
n
→ x

,
trong đó Ωf là tập tất cả các điểm mà tại đó hàm f không khả vi, S là tập
tùy ý trong R
n
có độ đo Lebesgue bằng 0.
Kí hiệu co(A) và
co(A) tương ứng là bao lồi và bao đóng của tập A.
Vì

lim
n→∞
f(x
n
) : x
n

/∈ Ωf, x
n
/∈ S, x
n
→ x

là tập compact và
∂
0
f(x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x nên tập

lim
n→∞
f(x
n
) : x
n
/∈ Ωf, x
n
/∈ S, x
n
→ x

cũng là một Jacobian xấp xỉ của f tại x.
Như vậy, đối với hàm Lipschitz địa phương tại x chúng ta đã chỉ ra
rằng ∂
0
f(x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x. Hơn nữa, các ví dụ dưới đây sẽ
cho ta thấy chúng còn có thể chứa thực sự bao lồi của một Jacobian xấp
xỉ và trong trường hợp tại x hàm không Lipschitz địa phương thì tại đó f

không có Gradient suy rộng Clarke, tuy nhiên vẫn có thể tồn tại Jacobian
xấp xỉ của f tại x. Nhờ đó mà những điều kiện nhận được bằng sử dụng
Jacobian xấp xỉ sẽ sâu sắc hơn, ngay cả khi hàm là Lipschitz địa phương.
Ví dụ 3: Cho hàm f : R
2
→ R xác định bởi f(x, y) = |x| −|y|.
Khi đó tại 0 hàm f có một Jacobian xấp xỉ là tập ∂
x
f(0) = {(1, −1), (−1, 1)}.
Mặt khác f là hàm Lipschitz địa phương tại 0 và
∂
0
f(0) = co({(1, 1), (−1, 1), (1, −1), (−1, −1)}).
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Do đó co(∂
x
f(0)) ⊂ ∂
0
f(0).
Ví dụ 4: Cho hàmf : R → R xác định bởi f(x) = x
1
3
.
Khi đó f không Lipschitz địa phương tại 0, vì vậy không tồn tại gradient
suy rộng Clarke của tại 0. Tuy nhiên tại điểm này ta có thể chỉ ra một
Jacobian xấp xỉ của f là ∂
x
f(0) = {α ∈ R : α ≥ 1}.
Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh một số tính chất của Jacobian xấp

xỉ.
Định lý 2.1.11. Giả sử hàm f : R
n
→ R có một Jacobian xấp xỉ ∂
x
f(x)
tại x. Nếu f đạt cực trị tại x thì 0 ∈ co(∂
x
f(x)).
Chứng minh: Giả sử f đạt cực tiểu tại x. Khi đó với mỗi u ∈ R
n
ta
có: f
−
(x, u) ≥ 0. Vì ∂
x
f(x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x nên
sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u ≥ f
−
(x, u) ≥ 0.
Do đó sup
x

∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u ≥ 0, ∀u ∈ R
n
. Từ đây suy ra 0 ∈ co(∂
x
f(x)).
Trường hợp f đạt cực đại tại x thì với mỗi u ∈ R
n
ta có:
inf
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u ≤ f
+
(x, u) ≤ 0.
Suy ra sup
x
∗
∈(∂
x

f(x))
ξ, u ≥ 0, ∀u ∈ R
n
. Vậy 0 ∈ co(∂
x
f(x)). Định lý được
chứng minh.
Định nghĩa 2.1.12. Cho hàm số f : R
n
→ R. Ta nói rằng tập đóng
∂
x
f(x) ⊂ R
n
là Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại x, nếu với mọi u ∈ R
n
,
f
+
(x, u) = sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u.
Nhận xét 2.1.13. Mỗi Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại x đều là
Jacobian xấp xỉ của f tại x.

Ta sẽ thấy mối quạn hệ giữa tính khả vi của f và tính chính quy
của Jacobian xấp xỉ qua định lý dưới đây. Trước hết ta nhắc lại: Hàm
f : R
n
→ R
m
được gọi là khả vi Gateaux tại x nếu tồn tại x
∗
∈ L(R
n
, R
m
)
sao cho với mỗi u ∈ R
n
ta có:
f(x + tu) = f(x) + tx
∗
(u) + o(t).
Khi đó ta gọi x
∗
là đạo hàm Gateaux của f tại x.
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Định lý 2.1.14. Hàm f : R
n
→ R khả vi Gateaux tại x khi và chỉ khi f
khả vi theo hướng tại x và f có một Jacobian xấp xỉ chính quy tại x.
Chứng minh: Giả sử f khả vi Gateaux tại x với đạo hàm Gateaux
f


G
(x) = x
∗
.
Điều này có nghĩa là
f(x + tu) = f(x) + tx
∗
, u + o(t) ∀u ∈ R
n
.
Khi đó f khả vi theo hướng tại x và f

(x, u) = x
∗
, u, ∀u ∈ R
n
. Bằng
cách lấy ∂
x
f(x) = {x
∗
} thì ∂
x
f(x) ⊂ R
n
là tập đóng, suy ra:
∀u ∈ R
n
: f

+
(x, u) = f
−
(x, u) = sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u = inf
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u.
Vì vậy ∂
x
f(x) = {x
∗
} là một Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại x.
Ngược lại, giả sử f khả vi theo hướng tại x và ∂
x
f(x) là một Jacobian xấp
xỉ chính quy của f tại x. Khi đó: ∀u ∈ R
n

f

(x, u) = f
−
(x, u) = inf
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u = f
+
(x, u) = sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u.
Vậy ∂
x
f(x) là tập hợp chỉ gồm duy nhất một phần tử.
Giả sử ∂
x
f(x) = {x
∗

}. Rõ ràng f

(x, u) = x
∗
, u, ∀u ∈ R
n
hay
f(x + tu) = f(x) + tx
∗
, u + o(t).
Suy ra f khả vi Gateaux tại x với đạo hàm Gateaux f

G
(x) = x
∗
. Định lý
được chứng minh.
Bây giờ thông qua điểm cực biên chúng ta sẽ thấy được tính duy nhất
và tối thiểu của Jacobian xấp xỉ.
Định nghĩa 2.1.15. Cho tập A ⊂ R
n
. Điểm x ∈ A được gọi là điểm cực
biên của A nếu A không chứa bất kỳ một đoạn thẳng nào nhận x là điểm
trong; tức là tồn tại hai điểm x
1
, x
2
∈ A, x
1
= x

2
, λ ∈ (0, 1) sao cho
x = λx
1
+ (1 − λ)x
2
và đoạn [a, b] ⊂ A.
Ta kí hiệu Ext (A) là tập các điểm cực biên của tập A.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Định lý 2.1.16. Nếu hàm f : R
n
→ R có một Jacobian xấp xỉ compact
chính quy ∂
x
f(x) tại x, thì Ext((∂
x
f(x))) là Jacobian xấp xỉ chính qui
tối thiểu duy nhất của f tại x.
Chứng minh: Giả sử ∂
x
f(x) là Jacobian xấp xỉ chính qui của f tại x.
Lấy A là một Jacobian chính quy bất kỳ của tại x. Khi đó, với mọi u ∈ R
n
.
f
+
(x; u) = max
x
∗

∈∂
x
f(x)
x
∗
, u = sup
x
∗
∈A
x
∗
, u.
Vì vậy A là tập compact trong R
n
với co(∂
x
f(x)) = co(A).
Suy ra Ext(co(∂
x
f(x))) = Ext(co(A)).
Ta có (Ext(co(A)) ∪A) ⊂ Ext(A).
Vì Ext(co(A)) ⊂ A, suy ra Ext(co(A)) ⊂ Ext(A). Khi đó ta có:
Ext(co(∂
x
f(x))) = Ext(co(A)) ⊂ Ext(A) ⊂ A.
Vì A là tập đóng nên Ext(co(∂
x
f(x))) ⊂ A = A.
Mặt khác do ∂
x

f(x) là một Jacobian xấp xỉ compact chính quy của f tại
x nên ∀u ∈ R
n
, ta có:
f
+
(x; u) = max
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u = max
x
∗
∈Ext(co(∂
x
f(x)))
x
∗
, u.
Suy ra Ext(co(∂
x
f(x))) cũng là một Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại
x.
Vậy Ext(co(∂
x
f(x))) là một Jacobian xấp xỉ chính quy tối thiểu duy

nhất của f tại x. Định lý được chứng minh.
Trong định lý trên nếu thêm điều kiện khả vi theo hướng của f thì ta
thu được kết quả mạnh hơn.
Định lý 2.1.17. Nếu hàm f : R
n
→ R khả vi theo hướng tại x và có
một Jacobian xấp xỉ chính quy ∂
x
f(x) tại x thì Ext(co(∂
x
f(x))) là một
Jacobian xấp xỉ tối thiểu của f tại x.
Chứng minh: Giả sử ∂
x
f(x) là Jacobian xấp xỉ compact chính quy
của f tại x. Theo định lý 2.1.16 thì Ext(co(∂
x
f(x))) là một Jacobian xấp
xỉ của f tại x. Lấy A ⊂ Ext(co(∂
x
f(x))) là một Jacobian xấp xỉ nào đó
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
của f tại x. Khi đó A ⊂ ∂
x
f(x) và A là tập compact do A đóng, ∂
x
f(x)
là tập compact. Ta có f
−

(x, u) ≤ max
x
∗
∈A
x
∗
, u, ∀u ∈ R
n
.
Vì f khả vi theo hướng tại x nên ∀u ∈ R
n
ta có f
−
(x, u) = f
+
(x, u).
Do đó:
f
+
(x, u) ≤ max
x
∗
∈A
x
∗
, u.
Mà
f
+
(x, u) = max

x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u,
do ∂
x
f(x) là Jacobian xấp xỉ compact chính quy của f tại x.
Vì vậy
max
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u ≤ max
x
∗
∈A
x
∗
, u.
Ta suy ra co(∂
x
f(x)) ⊂ co(A) mà A ⊂ ∂

x
f(x) nên co(A) ⊂ co(∂
x
f(x)).
Do đó có co(∂
x
f(x)) = co(A).
Ta lại có Ext(co(∂
x
f(x))) = Ext(co(A)) ⊂ Ext(A) ⊂ A.
Lấy bao đóng hai vế ta được
Ext(co(∂
x
f(x))) ⊂ A = A.
Do đó Ext(co(∂
x
f(x))) là một Jacobian xấp xỉ tối thiểu của f tại x. Định
lý được chứng minh.
2.1.2 Các phép tính của Jacobian xấp xỉ
1. Phép nhân vô hướng
Định lý 2.1.18. Nếu hàm số f : R
n
→ R có một Jacobian xấp xỉ ∂
x
f(x)
tại x, thì λ∂
x
f(x) (với λ ∈ R) là Jacobian xấp xỉ của λf tại x.
Chứng minh:
Ta có: f

+
(x; u) ≤ sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u Với λ > 0 ta suy ra
(λf)
+
(x; u) ≤ λ sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u = sup
x
∗
∈λ∂
x
f(x)
x
∗
, u.
Do đó λ∂

x
f(x) là Jacobian xấp xỉ của λf tại x.
Nhận xét 2.1.19. Định lý 2.1.19 cũng thỏa mãn đối với Jacobian xấp xỉ
chính quy.
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
2. Phép cộng.
Định lý 2.1.20. Nếu các hàm f, g : R
n
→ R có một Jacobian xấp xỉ
tương ứng là ∂
x
f(x), ∂
x
g(x) tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ trên
là chính qui, thì ∂
x
f(x) + ∂
x
g(x) là Jacobian xấp xỉ của hàm f + g tại x.
Chứng minh:
Hiển nhiên tập ∂
x
f(x) + ∂
x
g(x) là tập đóng trong R
n
. Hơn nữa, với mọi
u ∈ R
n

ta có:
(f + g)
+
(x; u) ≤ f
+
(x; u) + g
+
(x; u) ≤ sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u + sup
x
∗
∈∂
x
g(x)x
∗
,u
= sup
x
∗
∈∂
x
f(x)+∂
x

g(x)
x
∗
, u ≤ sup
x
∗
∈∂
x
f(x)+∂
x
g(x)
x
∗
, u.
Vậy ∂
x
f(x) + ∂
x
g(x) là Jacobian xấp xỉ của f + g tại x.
Chú ý: Định lý trên cũng đúng cho trường hợp tổng quát. Nếu các hàm số
f
i
, i ∈ {1, . . . , k}, có Jacobian xấp xỉ ∂
x
f
i
(x) tại x và (k - 1) Jacobian xấp
xỉ trên là chính quy, thì
k


i=1
∂
x
f
i
(x) là Jacobian xấp xỉ của f
1
+f
2
+···+f
k
tại x.
Trong định lý dưới đây chúng ta sẽ nhận được kết quả mạnh hơn các
định lý trên dưới điều kiện khả vi.
Định lý 2.1.21. Nếu hàm f : R
n
→ R có một Jacobian xấp xỉ chính quy
∂
x
f(x) tại x và nếu hàm g : R
n
→ R khả vi Gateaux tại x với đạo hàm
g

(x) thì tập ∂
x
f(x) +{g

(x)} là một Jacobian xấp xỉ chính quy của f +g
tại x.

3. Phép lấy maximum.
Cho I = {1, . . . , k}, x ∈ R
n
và với mỗi i ∈ I, hàm f
i
: R
n
→ R liên tục.
Ta xác định h : R
n
→ R như sau:
h(x) = max{f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
k
(x)}.
Đặt I(x) = {i ∈ I : h(x) = h
i
(x)}.
Định lý 2.1.22. Với mỗi i ∈ I, nếu f
i
có một Jacobian xấp xỉ ∂
x
f
i
(x)
tại x, thì
∂

x
h(x) =

i∈I(x)
∂
x
f
i
(x)
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên