Bài giảng kỹ thuật điện tử số Đại số boolean va đại số algebra

1
ðại số Boole
ðại số logic
Nguyễn Quốc Cường – 3I
2
Nội dung
• Giới thiệu
• Các tiên ñề trong ñại số logic
• Các ñịnh lý
• Nguyên lý của tính ñối ngẫu (duality)
• Cách biểu diễn hàm logic
3
Tài liệu tham khảo
• Digital Design: Principles & Practices – John F
Wakerly – Printice Hall
4
Giới thiệu
• 1854 nhà toán học Anh, Gorge Boole (1815-
1864) phát minh ra hệ thống ñại số chỉ có hai
giá trị
• Năm 1938, tại Bell Lab, Claude E. Shannon ñã
chỉ ra cách áp dụng ñại số Boole vào phân tích
và mô tả các mạch sử dụng rơle (còn gọi là
switching algebra), và cũng ñược áp dụng cho
các phân tích mạch số hiện nay.
5
Tiên ñề
• Tiên ñề 1:
(A1) X = 0 if X
≠
1

(A1’) X = 1 if X
≠
0
• Tiên ñề 2: (ñịnh nghĩa toán tử ñảo)
(A2): If X = 0 then X’ = 1
(A2’): If X = 1 then X’ = 0
Toán t
ử
“ ‘ “ là toán t
ử ñả
o hay bù
(m
ộ
t s
ố
ký hi
ệ
u khác c
ủ
a toán t
ử ñả
o: )
Tuy nhiên vi
ệ
c s
ử
d
ụ
ng ‘ th
ườ

ng
ñượ
c s
ử
d
ụ
ng trong
các ngôn ng
ữ
l
ậ
p trình HDLs)
~ ,
X X
6
• Tiên ñề 3 , 4 và 5 :ðịnh nghĩa các toán VÀ và
HOẶC logic:
Toán tử AND sử dụng ký hiệu ·
Toán tử OR sử dụng ký hiệu +
Tất cả các hệ thống logic ñều có thể mô tả và phân tích dựa trên 5 tiên ñề trên
7
Ký hiệu các phần tử logic trên sơ ñồ
8
ðịnh lý cho một biến
Việc chứng minh các ñịnh lý này có thể sử dụng phương pháp quy nạp
hoàn toàn (vì số giá trị của các biến chỉ có 0 và1 nên rất dễ áp dụng
phương pháp quy nạp)
9
cho 2 và ba biến
Chú ý: ñể thuận tiện thường viết X · Y thay cho ( X · Y )

10
Cho n biến
ðể chứng minh sử dụng phương pháp quy nạp hữu hạn:
• chứng minh ñúng với n = 2
• giả thiết ñúng với n = i, chúng minh ñúng với n = i+1
11
Nguyên lý ñối ngẫu
• Các ñịnh lý hay ñồng nhất thức trong ñại số
logic sẽ luôn ñúng nếu thay 0 và 1 tráo ñổi cho
nhau và ñồng thời · và + cũng ñược tráo ñổi cho
nhau.
• Hàm ñối ngẫu:
– Cho hàm logic F(X
1
,X
2
,…,X
n
, + , · , ’)
– Hàm
ñố
i ng
ẫ
u c
ủ
a F
ñượ
c
ñị
nh ngh

ĩ
a là hàm có cùng
d
ạ
ng bi
ể
u th
ứ
c v
ớ
i các toán t
ử
· và +
ñượ
c
ñổ
i ch
ỗ
cho nhau
F
D
(X
1
,X
2
,…,X
n
, + , · , ’) = F(X
1
,X

2
,…,X
n
, · , + , ’)
+ và · ñổi chỗ
12
Nguyên lý ñối ngẫu và ñịnh lý DeMorgan
[F(X
1
,X
2
,…,X
n
)]’ = F
D
(X
1
’
, X
2
’
,…,X
n
’
)
F(X
1
,X
2
,…,X

n
) = [F
D
(X
1
’
, X
2
’
,…,X
n
’
)]’
(ñịnh lý DeMorgan)
13
Biểu diễn hàm logic thông qua bảng
Bảng sự thực (không bao
gồm hàng ROW), tuy nhiên
thường ñược sử dụng ñể
chỉ giá trị tổ hợp của các
biến
14
15
Một số khái niệm
• H
ệ
s
ố
ch
ữ

(literal): là m
ộ
t bi
ế
n
ñơ
n , ho
ặ
c ph
ầ
n bù c
ủ
a
nó. Ví d
ụ
: X, Y, X’,
• S
ố
h
ạ
ng tích (product term): là m
ộ
t literal ho
ặ
c tích logic
c
ủ
a nhi
ề
u literal

Ví d
ụ
: Z’, X ¢ Y, X’ ¢ Y ¢ Z’
• Bi
ể
u th
ứ
c t
ổ
ng c
ủ
a các tích: là m
ộ
t t
ổ
ng logic c
ủ
a các s
ố
h
ạ
ng tích
• S
ố
h
ạ
ng t
ổ
ng (sum term): là m
ộ

t literal ho
ặ
c t
ổ
ng logic
c
ủ
a nhi
ề
u literal
Ví d
ụ
: X’, X+Y+Z’
• Bi
ể
u th
ứ
c tích c
ủ
a các t
ổ
ng: là tích logic c
ủ
a các s
ố
h
ạ
ng
t
ổ

ng
16
• M
ộ
t s
ố
h
ạ
ng chu
ẩ
n (normal term): là m
ộ
t s
ố
h
ạ
ng tích
ho
ặ
c t
ổ
ng mà trong
ñ
ó không có bi
ế
n nào xu
ấ
t hi
ệ
n h

ơ
n
m
ộ
t l
ầ
n
• Ví d
ụ
các s
ố
h
ạ
ng không chu

n:
• X + Y + X’, Y ¢ X ¢ X’ ¢ Z
• Ví d
ụ
các s
ố
h
ạ
ng chu
ẩ
n:
• X + Y, X ¢ Y ¢ Z
• minterm n bi
ế
n: là m

ộ
t s
ố
h
ạ
ng tích chu
ẩ
n c
ủ
a n literal
• maxterm n bi
ế
n: là s
ố
h
ạ
ng t
ổ
ng chu
ẩ
n c
ủ
a n literal
17
18
• Minterm: có thể ñược ñịnh nghĩa là số hạng tích
ứng với một hàng của bảng chân lý sao cho tích
ñó bằng 1
• Maxterm: có thể ñược ñịnh nghĩa là số hạng
tổng ứng với một hàng của bảng chân lý sao

cho tổng ñó bằng 0
19
20
Biểu diễn hàm qua minterm và maxterm
• Hàm logic có thể biểu diễn dưới dạng:
– canonical sum: t
ổ
ng c
ủ
a các minterm
ứ
ng v
ớ
i các
hàng c
ủ
a b
ả
ng chân lý mà t
ạ
i
ñ
ó giá tr
ị
hàm b
ằ
ng 1
– canonical product: tích c
ủ
a các maxterm

ứ
ng v
ớ
i các
hàng c
ủ
a b
ả
ng chân lý mà t
ạ
i
ñ
ó giá tr
ị
hàm b
ằ
ng 0
21
22
• ðể ñơn giản trong ký hiệu, người ta thường sử
dụng dạng viết rút gọn sau:
X, Y , Z là các biến, ñi kèm với chỉ số các hàng tương ứng của các
minterm hoặc maxterm
23
Tối thiểu hóa hàm logic
• Hàm logic có thể biểu diễn thông qua:
– canonical sum
– canonical product
Tuy nhiên ñó là các dạng chưa ñược tối thiểu.
• ðể giảm số input hay số gate sử dụng trong

mạch cần phải tối thiểu hóa mạch.
24
Bìa Karnaugh
• Là cách biểu diễn ñồ họa của bảng chân lý
25
• K-map : n biến sẽ có 2
n
ô
• Mỗi một ô trong K-map ứng với một hàng trong
bảng chân lý.
• Quy ước các ô kề nhau thì tổ hợp các biến chỉ
ñược khác nhau một giá trị
• K-map chỉ thuận tiện sử dụng cho hàm logic có
6 biến trở xuống
• Từ K-map có thể viết ñược các canonical sum
hoặc canonical product tương tự như bảng chân
lý
26
Tối thiểu hóa dạng tổng các tích
‘
‘
27
• Quy tắc nhóm các ô của K-map:
– Nhóm 2
k
các ô có giá tr
ị
1 k
ề
nhau sao cho k là max (

1
≤
k
≤
n, v
ớ
i n là s
ố
bi
ế
n)
– Có chính xác (n-k) bi
ế
n có giá tr
ị
không
ñổ
i trong s
ố
các ô
ñượ
c nhóm
• Dạng tích:
– n
ế
u bi
ế
n có giá tr
ị
là 1 trong 2

k
ô
ñượ
c nhóm thì
product term s
ẽ
ch
ứ
a bi
ế
n
ñ
ó
– n
ế
u bi
ế
n có giá tr
ị
0 trong 2
k
ô
ñượ
c nhóm thì product
term s
ẽ
ch
ứ
a bù c
ủ

a bi
ế
n
ñ
ó
– n
ế
u bi
ế
n có c
ả
giá tr
ị
1 và 0 trong 2
k
ô
ñượ
c nhóm thì
nó s
ẽ
không xu
ấ
t hi
ệ
n trong product term
28
các nhóm không ñúng
29
ví dụ
30

• Dạng tối giản sử dụng K-map không phải là duy
nhất
31
Tối thiểu hóa dạng tích các tổng
• Nhóm 2k các ô có giá trị 0 kề nhau sao cho k là
max:
– n
ế
u bi
ế
n có giá tr
ị
là 1 trong 2
k
ô
ñượ
c nhóm thì sum-
term s
ẽ
ch
ứ
a bù c
ủ
a bi
ế
n
ñ
ó
– n
ế

u bi
ế
n có giá tr
ị
0 trong 2
k
ô
ñượ
c nhóm thì sum-
term s
ẽ
ch
ứ
a bi
ế
n
ñ
ó
– n
ế
u bi
ế
n có c
ả
giá tr
ị
1 và 0 trong 2
k
ô
ñượ

c nhóm thì
nó s
ẽ
không xu
ấ
t hi
ệ
n trong sum term
32
Các tổ hợp ñầu vào “Don’t-Care”
• Trong trường hợp ứng với một số tổ hợp giá trị
các inputs giá trị hàm logic có thể tùy ý (bằng 0
hoặc bằng 1)  các tổ hợp “don’t-care”
• Sử dụng các tổ hợp “don’t-care” trong tối giản
hàm:
– Cho phép t
ổ
h
ợ
p don’t-care tham gia vào các ô sao
cho s
ố
ô 2
k
là l
ớ
n nh
ấ
t
– Không nhóm các ô ch

ỉ
toàn don’t-care
33
34
Các phương pháp tối giản sử dụng chương
trình
• Khi số biến lớn, sử dụng thuật toán:
– Queen-McCluskey (tham kh
ả
o)
– Espresso II, Espresso-MV (tham kh
ả
o)