skkn phương trình nghiệm nguyên

 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
A - ĐẶT VẤN ĐỀ
rong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản
và biết cách khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng kiến thức vào giải được
nhiều dạng bài tập là một điều hết sức quan trọng. Đặc biệt trong mấy năm gần đây
các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 THPT ngày một nâng cao. Trong đó có
một phần kiến thức được vận dụng và ứng dụng nhiều đó là “Phương trình nghiệm
nguyên”. Làm thế nào để học sinh vận dụng giải tốt các bài toán có liên quan đến
phương trình nghiệm nguyên. Chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên” là chuyên
đề khó và rất rộng, nên để truyền đạt cho học sinh hiểu được, vận dụng được là vấn
đề đáng suy nghĩ của giáo viên. Qua nghiên cứu và giảng dạy học sinh về “Phương
trình nghiệm nguyên” tôi thấy đây là vấn đề hay, giúp học sinh trau dồi tư duy toán
học, rèn luyện cao về tính suy nghĩ sáng tạo và tìm nhiều lời giải hay cho các bài
toán, từ đó mang lại hứng thú và niềm đam mê trong học toán. Học sinh nắm chắc
về “Phương trình nghiệm nguyên” là chìa khoá vàng giải được nhiều loại toán khác
như: Toán số học, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, hệ phương trình nghiệm
nguyên…
T
Chính vì vậy mà tôi mạnh dạn viết lên kinh nghiệm dạy “Phương trình
nghiệm nguyên” đã được đúc rút qua thực nghiệm và có kết quả tốt. Mong Hội
đồng khoa học và đồng nghiệp đọc và rút kinh nghiệm cho tôi.
Kinh nghiệm dạy “Phương trình nghiệm nguyên” gồm hai phần chính:
Phần 1: Hướng dẫn giảng dạy phần lý thuyết.
Phần 2: Hướng dẫn giảng dạy phần bài tập theo từng phương pháp.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
1
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I - Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu:
1- Tiến hành điều tra đối với học sinh lớp 8.
Những bài toán rút gọn và tìm điều kiện của biến, thì hầu hết các em đều làm

được phần rút gọn, còn phần tìm điều kiện của biến thì học sinh còn nhiều lúng
túng. Ví dụ những bài toán sau khi rút gọn có dạng:
A =
12
10
−x
; A =
1
52
+
+
x
x
; A =
1
2
23
−
+−
x
xx
Với điều kiện của bài toán là tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Hầu hết
học sinh không giải được, số học sinh giải được chỉ chiếm tử 1- 4%.
2- Tiến hành điều tra đối với học sinh lớp 9.
♣ Những bài toán về giải phương trình nghiệm nguyên.
Ví dụ: Giải các phương trình nghiệm nguyên:
1) 5x - 7y = 15
2) 3x
2
+ 5y

2
= 345
3) x
3
- 7x
2
+ 15x - 25 = 0
4)
1
111
=++
zyx
5) xy - 4x = 35 - 5
Hầu hết học sinh đều bỡ ngỡ không tìm được cách giải, số học sinh giải được
chỉ chiếm 1 – 2%.
Nhìn chung các bài toán có liên quan đến giá trị nguyên là những bài toán
khó và mới đối với học sinh. Để học sinh nắm được cách giải các dạng toán này thì
giáo viên phải tổng kết và áp dụng được vấn đề này.
II - Phương pháp nghiên cứu:
♣ Phương pháp điều tra.
♣ Phương pháp thống kê.
♣ Phương pháp đối chứng.
♣ Phương pháp phân tích, tổng hợp.
♣ Phương pháp thực nghiệm.
Bằng những phương pháp trên tôi đã thấy được hiệu quả rất cao của kinh
nghiệm này. Kiến thức đưa ra để giảng dạy cho học sinh đảm bảo tính logíc có hệ
thống từ thấp đến cao áp dụng được cho nhiều đối tượng học sinh. Bằng cách đưa
ra phần lý thuyết có liên quan trước và hệ thống các bài tập phân theo dạng giúp
học sinh khai thác tốt lý thuyết vận dụng vào giải các bài tập từ đơn giản đến phức
tạp. Các bài tập đưa ra cho học sinh đã được chọn lọc và điều tra đảm bảo được

tính tổng quát tiêu biểu và phong phú. Với phương pháp đưa ra nội dung kiến thức
từ dễ đến khó, kinh nghiệm này đáp ứng được yêu cầu tiếp thu của học sinh và yêu
cầu giảng dạy của giáo viên theo tinh thần đổi mới PPDH.
2
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
III – Nội dung của kinh nghiệm.
A. GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHẦN LÝ THUYẾT THEO THỨ TỰ SAU:
I. Nhắc lại về phép chia hết.
1. Định nghĩa phép chia hết:
a, b
∈
z (b
≠
0)
∃
q, r
∈
Z a =bq + r với 0
≤
r <
b
- Nếu r = 0
⇒
a : b
- Nếu r
≠
0
⇒
a : b
2. Một số tính chất:

∀
a,b,c,d
∈
Z
- Nếu a
≠
0 thì a : a và 0 : a
- Nếu a : b và b : c
⇒
a : c
- Nếu a : b và b : a
⇒
a = ± b
- Nếu a : b và a : c
⇒
a : BCNN[a;b]
- Nếu a : b và a : c (b,c) = 1
⇒
a : (bc)
- Nếu a : b
⇒
ac : b
3. Một số định lí thường dùng.
- Nếu a : c và b : c
⇒
(a ± b) : c
- Nếu a : c và b : d
⇒
ab : cd
- Nếu a : b

⇒
a
n
: b
n
( n nguyên dương)
*Một số hệ quả áp dụng:
+
∀
a,b
∈
z và n nguyên dương ta có (a
n
– b
n
) : (a – b)
+
∀
a,b
∈
z và n chẵn (n nguyên dương) ta có (a
n
– b
n
) : (a + b)
+
∀
a,b
∈
z và n lẻ (n nguyên dương) ta có (a

n
+ b
n
) : (a + b)
4. Các dấu hiệu chia hết.
+ Dấu hiệu chia hết cho 2:
+ Dấu hiệu chia hết cho 3:
+ Dấu hiệu chia hết cho 4:
+ Dấu hiệu chia hết cho 5:
+ Dấu hiệu chia hết cho 8:
+ Dấu hiệu chia hết cho 9:
+ Dấu hiệu chia hết cho 10:
+ Dấu hiệu chia hết cho 11:
Số có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8.
Số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Số có 2chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
Số có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0.
Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho
8.
Số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Số có chữ số tận cùng là 0.
Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và
tổng các chữ sốhàng lẻ chia hết cho 11.
II. Nhắc lại về tập hợp số nguyên:
3
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
+ Tập hợp số nguyên dương Z
+
= {1; 2; 3 …}
+ Tập hợp số nguyên âm Z

-
= {-1; -2; -3; …}
+ Tập hợp số nguyên Z = {…-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
III. Nhắc lại về phương trình nghiệm nguyên:
♣ Giải phương trình nghiệm nguyên F(x,y,z,…) = 0 là tìm tập hợp nghiệm
(x,y,z,…) trong đó x,y,z,…
∈
Z .
B. GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP THEO TỪNG DẠNG VÀ TỪNG
PHƯƠNG PHÁP.
I. Dạng phương trình ẩn đơn giản
1- Phương trình nghiệm nguyên dạng ax + b = 0
a- Cách giải:( Qua 2 bước)
+ Giải phương trình tìm nghiệm.
+ Tìm nghiệm nguyên (x
∈
Z).
b- Ví dụ : Tìm m để phương trình mx + 3 = 0 có nghiệm nguyên
*Hướng dẫn :
- Để phương trình có nghiệm nguyên thì





∈−=
≠
Z
m
x

m
3
0
⇒
m là ước số của 3
⇒
m = {±1; ±2; ±3}
c- Bài tập tương tự: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm nguyên:
a) (2m – 1)x – 10 = 0 b) (m
2
– 2)x + 36 = 0
d- Bài tập phát triển:
*Bài tập 1: Tìm n
∈
N để PT (4n + 3)x - 8n = 193 có nghiệm tự nhiên.
*Hướng dẫn:
(4n + 3)x - 8n = 193
⇔
(4n + 3)x = 193 + 8n
⇔
x =
34
187
34
68
34
8193
+
+
+

+
=
+
+
nn
n
n
n
⇔
x = 2 +
34
187
+n
Bài toán trở thành đơn giản để x
∈
N thì
34
187
+n
∈
N
⇒
4n + 3 là ước số của 187
⇒
4n + 3 = {1; 17; 187}
⇒
4n + 3 = {17; 187}
⇒
n = {2; 46}
*Bài tập 2: Tìm n

∈
N để PT (n - 1)x – n
3
+ n
2
- 2 = 0 có nghiệm tự nhiên.
*Hướng dẫn:
(n - 1)x – n
3
+ n
2
- 2 = 0
4
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
⇔
(n - 1)x = n
3
- n
2
+ 2
⇔
x =
1
2
1
2
2
23
−
+=

−
+−
n
n
n
nn
Bài toán trở thành đơn giản để x
∈
N thì
1
2
−n
∈
N
⇒
n - 1 là ước số của 2
⇒
n = {2; 3}
2. Giải phương trình nghiệm nguyên dạng ax
2
+ bx + c = 0 (a, b, c
∈
Z)
a- Cách giải:( Qua 2 bước)
+ Giải phương trình tìm nghiệm.
+ Tìm nghiệm nguyên (x
∈
Z).
b-Ví dụ :
*Ví dụ 1 : Giải PT nghiệm nguyên 2x

2
– x – 3 = 0
*Hướng dẫn:
2x
2
– x – 3 = 0
⇔
(x + 1)(2x – 3) = 0
⇔




=
−=
2
3
1
x
x
Vậy PT có nghiệm nguyên là x = -1.
*Ví dụ 2: Tìm n
∈
N để PT nx
2
+ (2n – 3)x – 6 = 0 có 2 nghiệm nguyên.
*Hướng dẫn:
nx
2
+ (2n – 3)x – 6 = 0

⇔
(x + 2)(nx – 3) = 0
⇔




=
−=
n
x
x
3
2

- Để PT có 2 nghiệm nguyên thì x =
Z
n
∈
3
vì n
∈
N
⇒
n = 1 hoặc n = 3
*Ví dụ 3: Tìm a
∈
Z để phương trình (a + 1)x
2
- (30 + 10a)x + 200 = 0 có hai

nghiệm nguyên lớn hơn 6.
*Hướng dẫn:
(a + 1)x
2
- (30 + 10a)x + 200 = 0
⇔
(x – 10)[(a + 1)x – 20] = 0
⇔




+
=
=
1
20
10
a
x
x
Để PT có 2 nghiệm nguyên lớn hơn 6 thì







>

+
∈
+
6
1
20
1
20
a
Z
a

⇒
a = 0 hoặc a = 1.
3 - Phương trình nghiệm nguyên bậc cao.
a-Cách giải:
- Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đưa về dạng PT tích.
b- Ví dụ:
*Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của PT x
3
– 6x
2
+ 11x – 6 = 0
*Hướng dẫn:
5
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
- Đưa PT về dạng (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0
- PT có 3 nghiệm nguyên x = 1; x = 2; x = 3.
*Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của PT x
3

– 7x
2
+ 15x – 25 = 0
*Hướng dẫn:
- Đưa PT về dạng (x – 5)(x
2
– 2x + 5) = 0
- Nhận xét: x
2
– 2x + 5 = (x – 1)
2
+ 4 > 0 với mọi x
⇒
PT chỉ có nghiệm nguyên x = 5.
*Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x
3
+ (x + 1)
3
+ (x + 2)
3
= (x + 3)
3
*Hướng dẫn:
- Đặt y = x – 3
⇒
x = y + 3
⇒
(y + 3)
3
+ (y + 4)

3
+ (y + 5)
3
= (y + 6)
3
⇔
2y
3
+ 18y
2
+ 42y = 0
⇔
2y(y
2
+ 9y + 21) = 0
- Vì y
2
+ 9y + 21 = (y +
2
9
)
2
+
4
3
> 0
⇒
y = 0
⇔
x = 3

*Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của PT:
6
7
32
22
22
12
2
2
2
2
=
++
++
+
++
++
xx
xx
xx
xx
*Hướng dẫn:
- Đặt y =
22
2
++ xx
= (x + 1)
2
+ 1
≥

1
⇒
ta được PT nghiệm nguyên đối với y là:
6
7
1
1
=
+
+
−
y
y
y
y
⇔
5y
2
-7y – 6 = 0
⇒
y = 2 hoặc y = -
5
3
(loại)
- Với y = 2
⇒
x
2

+ 2x + 2 = 2

⇔
x = 0 hoặc x = - 2
II – Dạng phương trình nghiệm nguyên nhiều ẩn.
1-Phương trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c (a, b, c
∈
Z)
- Điều kiện để PT có nghiệm nguyên là (a,b) = 1. Nếu (a,b) = d > 1 và c chia
hết d thì phương trình không có nghiệm nguyên.
* Cách giải:
- Tách phần nguyên rút ẩn có hệ số giá trị tuyệt đối nhỏ.
*Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 4y = 29
*Hướng dẫn:
3x + 4y = 29
⇔
3x = 29 – 4y
⇔
x =
3
2
9
3
429 y
y
y −
+−=
−
x,y
∈
Z
⇒

3
2 y−
∈
Z
⇒
2 – y = 3t (t
∈
Z)
⇒




−=
+=
ty
tx
32
74

*Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5x - 7y = 15
*Hướng dẫn:
- Nhận xét UCLN(5 ;15) = 5. Nên ta đặt y = 5t (t
∈
Z)
6
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
Ta có : 5x - 35t = 15
⇒

x = 7t + 3. Vậy nghiệm của PT là



=
+=
ty
tx
5
37
(t
∈
Z)
*Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của 8x - 3y = 15
*Hướng dẫn:
- PT 8x - 3y = 15
⇔
3y = 8x – 15
⇔
y = 3x + 4 +
3
1 x−

- Đặt 1 – x = 3t (t
∈
Z)
⇒
x = -3t + 1
⇒
y = - 8t + 7

- Để x,y nguyên dương thì



>−
>−
087
031
t
t

⇒
t <
3
1
Vậy nghiệm nguyên dương của PT là



+−=
+−=
78
13
ty
tx
(t <
3
1
)
2 - Giải phương trình nghiệm nguyên dùng tính chất chia hết.

* Cách giải:
- Dùng tính chất chia hết để thu hẹp miền xác định của nghiệm.
*Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 3x
2
+ 5y
2
= 345
*Hướng dẫn:
- Vì 345 chia hết cho 3 và 345 chia hết cho 5
⇒
3x
2
: 5
⇒
x
2
: 5
⇒
x : 5
⇒
5y
2
: 3
⇒
y
2
: 3
⇒
y : 3
- Đặt x = 5a, y = 3b (a,b nguyên dương)

⇒
3.25a
2
+ 5.9b
2
= 345
⇒
5a2 + 3b2 = 23
⇒
a
2

5
23
≤
và b
2

3
23
≤

⇒

2≤a
và
2≤b
- Thử với a = 1; 2 và b = 1; 2 .
Ta thấy chỉ có nghiệm nguyên dương là x = 10; y = 3
*Ví dụ 2: Giải bài toán cổ:

Trăm trâu trăm bó cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó
Hỏi trâu mỗi loại ?
*Hướng dẫn:
- Gọi số trâu đứng là x con.
- Gọi số trâu nằm là y con. (Với x,y,z nguyên dương)
- Gọi số trâu già là z con.
Theo bài ra ta có



=++
=++
⇔





=++
=++
)2(300915
)1(100
100
3
35
100

zyx
zyx
z
yx
zyx
7
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
- Lấy (2) - (1)
⇒
7x + 4y = 100
⇒
y = 25 – 2x +
4
x

⇒
x: 4
⇒
x = 4t (t
∈
Z)
⇒
y = 25 – 7t
⇒
z = 75 + 3t.
Ta có y > 0
⇒
t
≤
3. Ta có các nghiệm sau :






=
=
=





=
=
=





=
=
=
84
4
12
;
81
1

8
;
78
18
4
z
y
x
z
y
x
z
y
x
*Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x
3
+ 9y
3
+ 9z
3
-9xyz = 0
*Hướng dẫn:
- Gọi x
0
, y
0
, z
0
là nghiệm của PT
⇒

Ta có x
3
0
+ 9 + 9z
3
0
-9x
0
y
0
z
0
= 0
⇒
x
0
: 3
⇒
3 y
3
0
: 9
⇒
y
0
: 9
⇒
9z
3
0

: 27
⇒
z
0
: 3
- Đặt x
0
= 3x
1
; y
0
=3y
1
; z
0
= 3z
1
⇒
x
1
+ 3y
3
1
+ 9z
3
1
- 9x
1
y
1

z
1
= 0
Tương tự trên ta có x
1
, y
1
, z
1
đều chia hết cho 3
⇒
x
0
, y
0
, z
0
đều chia hết cho 3
2
- Lập luận nhiều lần
⇒
x
0
, y
0
, z
0
đều chia hết cho 3
n
( mọi n

1≥
)
⇒
x
0
= y
0
= z
0
= 0
3 - Giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách tách phần nguyên.
*Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 5x – 3y = 2xy - 10
*Hướng dẫn:
5x – 3y = 2xy – 10
⇔
y(2x + 3) = 5x + 10
⇔
2y =
32
5
5
32
105
+
+=
+
+
xx
x
- Để PT có nghiệm nguyên thì 2x + 3 là ước của 5

⇒
Chỉ có 2x + 3 = 5 x =1
⇒
y = 3 (Thoả mãn)
Vậy PT có nghiệm nguyên dương là x =1; y = 3
*Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên 14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz
*Hướng dẫn:
14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz
⇔
7(xyz + x + z) = -11(1 + 2yz)
⇔
x +
7
3
2
12
+−=
+yz
z
⇔
x +
3
1
2
3
2
1
2
1
+

+−=
+
z
y

⇒






=
=
−=
3
1
2
z
y
x
4 - Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp bình đẳng ẩn.
*Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của PT x + y + z = xyz
*Hướng dẫn:
x, y, z có vai trò bình đẳng.
Giả sử 0 < x
≤
y
≤
z

⇒
xyz = x + y + z
≤
3z
⇒
xy
≤
3
+ Nếu x = y = z
⇒
z
3
= 3z
⇒
z
2
= 3 không xảy ra
8
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
⇒
x, y, z không thể bằng nhau.
+ Từ xy
≤
3
⇒
chỉ có cặp số (1; 2; 3) là nghiệm của PT.
*Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của PT
1
111
=++

zyx
*Hướng dẫn:
x, y, z có vai trò bình đẳng.
- Giả sử 0 < x
≤
y
≤
z
⇒

xzyx
3111
≤++
mà
31
3
≤⇒≥ x
x
⇒
x = {1; 2; 3}
+ Nếu x = 1
⇒

zy
11
+
= 1 – 1
⇒

zy

11
+
= 0 không xảy ra.
+ Nếu x = 2
⇒

zy
11
+
=
2
1
dùng bình đẳng với y và z
⇒
(y;z) = {(4 ; 4) ; (3 ; 6) ; (6 ; 3)}
+ Nếu x = 3
⇒
chỉ có y = z = 3
Vậy các cặp số sau là nghiệm của PT (2; 4 ; 4) ; (2 ; 3 ; 6) ; (3 ; 3 ;3).
*Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên
3=++
y
zx
x
yz
z
xy
*Hướng dẫn:
- Nếu trong 3 số x, y, z có cùng một số âm thì
3 =

y
zx
x
yz
z
xy
++
< 0 không xảy ra.
- Nếu x, y, z có cùng dương hoặc có 2 số âm thì
3 =
3≥++
y
xz
x
zy
z
yx
3
1
. Vậy
1=== zyx
5 - Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp loại trừ.
*Cách giải:
- Biện luận để làm ngắn miền nghiệm.
*Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 12
x
+ 5
y
= 13
x

*Hướng dẫn:
- Ta thấy x = 2 là nghiệm của PT vì 12
2
+ 5
2
= 13
2
- Biến đổi PT 12
x
+ 5
y
= 13
x

⇔
1)
13
5
()
13
12
( =+
xx
.
+ Nếu x > 2
⇒
x
)
13

12
(
<
2
)
13
12
(
và
x
)
13
5
(
<
2
)
13
5
(
⇒

1)
13
5
()
13
12
( <+
xx

không xảy ra.
+ Nếu x < 2
⇒
x
)
13
12
(
>
2
)
13
12
(
và
x
)
13
5
(
>
2
)
13
5
(
⇒

1)
13

5
()
13
12
( >+
xx
không xảy ra.
9
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất.
*Ví dụ 2: Giải PT nghiệm nguyên x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y
2

*Hướng dẫn:
x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y
2
⇔
(x
2
+ 8x)(x
2
+ 8x + 7) =

y
2
, đặt z = x
2
+ 8x
⇔
z(z + 7) = y

2

⇒




−≤
≥
7
0
z
z
- Ta có (z + 3)
2
< z(z + 7) < (z + 4)
2
với mọi z > 9.
⇒
(z + 3)
2
< y
2
< (z + 4)
2
không xảy ra
⇒
z
≤
9

Vậy z
≤
-7 hoặc 0
≤
z
≤
9
- Thay vào ta có:
(x;y) ={(-9;-12);(-9;12);(-8;0);(-7;0);(-4;-12);(-4;12);(-1;0);(0 ;0);(1;-12);(1;12)}
*Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x
6
+ 3x
3
+ 1 = y
4
*Hướng dẫn:
- Xét x > 0 ta có (x
3
+ 1)
2
< x
6
+ 3x
3
+ 1 < (x
3
+ 2)
2
⇒
(x

3
+ 1)
2
< y
4
< (x
3
+ 2)
2
không xảy ra.
- Xét x
≤
- 2, ta có: (x
3
+ 2)
2
= x
6
+ 4x
3
+ 4 < x
6
+ 3x
3
+ 1 < (x
3
+ 1)
2
⇒
(x

3
+ 2)
2
< y
4
< (x
3
+ 1)
2
không xảy ra.
⇒
x = {0; 1} thay vào ta có nghiệm là



=
=
1
0
y
x
;



−=
=
1
0
y

x
*Bài tập tương tự : Giải PT nghiệm nguyên (x + 2)
4
- x
4
= y
3
6 - Giải phương trình nghiệm nguyên đưa về dạng tích.
*Ví dụ 1: Giải PT nghiệm nguyên dương xy – 4x = 35 - 5
*Hướng dẫn:
xy – 4x = 35 – 5
⇔
xy – 4x + 5y – 20 = 15
⇔
(x + 5)(y – 4) = 15
⇒
x + 5 và y – 4 là ước của 15.
Thay vào ta chỉ có nghiệm nguyên dương là



=
=
5
10
y
x
*Ví dụ 2: Giải PT nghiệm nguyên dương x
2
– 6xy + 13y

2
= 100
*Hướng dẫn:
x
2
– 6xy + 13y
2
= 100
⇔
x
2
– 6xy + 9y
2
= 100 – 4y
2
⇔
(x – 3y)
2
= 4(25 – y
2
)
0
≥

⇒
y
≤
5 và 25 – y
2
là số chính phương.

Thay các giá trị của y, ta có các nghiệm nguyên dương là :
(x ;y) = {(1 ; 3) ; (17 ; 3) ; (6 ; 4) ; (18 ; 4) ; (15 ; 5)}
*Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên của PT xy
2
+ 3y
2
– x = 108
*Hướng dẫn:
xy
2
+ 3y
2
– x = 108
⇔
xy
2
+ 3y
2
– x – 5 = 105
⇔
(y
2
– 1)(x + 3) = 105
⇒
y
2
– 1 là ước của 105
10
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
Thay vào ta chỉ được y = 6

⇒
x = 0. Vậy PT có nghiệm tự nhiên là



=
=
6
0
y
x
BÀI TẬP BỔ SUNG, MỞ RỘNG
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên:
a) 3x + 2y = 85 b) 3x - 5y = 7 c) 5x + 25 = - 3xy + 8y
2
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương:
a) 7x + 4y = 85 b) 8x + 9y = 79 c)
14
111
=+
yx
Bài 3: Tìm x, y
∈
N thoả mãn 7.2
x
= 3
y
+ 4
Bài 4: Cho đường thẳng d có PT 2x + 3y = 11. Tìm các điểm nằm trên
đường thẳng d có toạ độ là các số nguyên và nằm trong góc phần tư thứ I.

Bài 5: Chứng minh rằng trên đường thẳng 6x – 2y = 1, không tồn tại điểm
nào có toạ độ là các số nguyên.
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của hệ PT





−=+
−=+
−=+
1
1
1
yzxt
ytxz
ztxy
Bài 7 : Tìm a để HPT có có nghiệm nguyên



+=+
=+
1
2
aayx
ayax
Bài 8: Biết rằng PT x
2
– 3x + 1 = 0 có nghiệm x = a. Hãy tìm một gia trị của

b
∈
Z để PT x
16
–b.x
8
+ 1 = 0 có nghiệm x = a.
Bài 9: (Đề thi HSG lớp 9- vòng 2-Thừa Thiên Huế- 2003-2004)
Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức 2(y + z) = x(yz – 1)
Bài 10: (Đề thi vào lớp 10 -THPT- Hải Dương - 2004-2005 )
Cho HPT



=−+
=+−
2)1(
)1(
ymx
myxm
có nghiệm duy nhất là (x; y).
? Tìm giá trị của m để biểu thức
yx
yx
+
− 32
nhận giá trị nguyên.
Bài 11: (Đề thi vào lớp 10 -THPT- Thái Bình- 2002-2003 )
Cho biểu thức K =
x

x
x
xx
x
x
x
x 2003
)
1
14
1
1
1
1
(
2
2
+
−
−−
+
+
−
−
−
+
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Với những giá trị nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên ?
Bài 12: (Đề thi vào lớp 10 chuyên toán- Quốc học Huế - 2002-2003 )
Cho biểu thức A =

x
x
x
xx
x
x
x
x 2003
)
1
14
1
1
1
1
(
2
2
+
−
−−
+
+
−
−
−
+
11
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị nguyên lớn hơn 8 (a
∈
Z; a > 8) để A có giá trị nguyên.
IV- Kết quả đạt được
1- Kết quả chung:
Sau khi dạy xong về “Phương trình nghiệm nguyên” cho học sinh. Các em
không những giải tốt những bài toán về “Phương trình nghiệm nguyên”, mà các em
còn giải được một số bài toán có liên quan khác như:
♣ Dạng toán chia hết.
♣ Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
♣ Dạng toán hệ phương trình nghiệm nguyên.
Thông qua các dạng toán về “Phương trình nghiệm nguyên” giúp các em học
sinh phát triển tư duy tốt hơn, nhiều em thể hiện rõ sự yêu thích, say mê học toán
hơn.
2- Kết quả cụ thể:
a- Kiểm tra 20 em học sinh lớp 8A (Khá và trung bình) với bài toán:
Bài 1: Tìm số nguyên dương x để y dương và lớn nhất với y =
54
73
−
+
x
x
- Đối với 10 em được học về “Phương trình nghiệm nguyên” thì có 9 em đều tách
được
4y = 3 +
54
43
−x
và lí luận đúng y

max
=
3
13
- Còn 1 em sai.
- Đối với 10 em chưa được học về “Phương trình nghiệm nguyên” thì chỉ có 2 em
học khá giải đúng còn lại là giải sai.
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của các PT sau:
a)
17
13111
=++
zyx
b)
2
1111
=++
zyx

- Đối với 10 em được học về “Phương trình nghiệm nguyên” thì các em đều sử
dụng tốt phương pháp bình đẳng ẩn để giải. Có 8em giải đúng, còn 2 em thiếu
nghiệm.
- Đối với 10 em chưa được học về “Phương trình nghiệm nguyên” thì chỉ có 1 em
học giải đúng còn 9 là giải sai.
b - Kiểm tra 20 em học sinh lớp 9A (Khá và giỏi) với bài toán:
Bài 1: Giải PT nghiệm nguyên dương 2
x
= 1 + 3
y
.7

z
Bài 2: Giải PT nghiệm nguyên x
2
+ y
2
+ z
2
= x
2
y
2
Bài 3: Chứng tỏ PT xy
5
= x
5
y + 1999 không có nghiệm nguyên
- Đối với 10 em được học về “Phương trình nghiệm nguyên” thì có 7 em giải đúng
kết quả bài 1 là x = 6, y = 2.
+ 9 em giải đúng bài 2 ( Kết quả x = y = z = 0)
12
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
+ 6 em làm đúng bài 3.
- Đối với 10 em chưa được học về “Phương trình nghiệm nguyên” thì chỉ có 1 em
học giải đúng bài 1, 2em làm đúng bài 2 và không em nào làm được bài 3.
V – Bài học kinh nghiệm.
Qua kinh nghiệm về dạy “Phương trình nghiệm nguyên” tôi thấy giáo viên
muốn đạt kết quả cao cần chú ý những điểm sau:
+ Phải hướng dẫn học sinh nắm chắc phần lý thuyết
+ Phải rèn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải và thưc hành nhiều với các bài
toán từ dễ đến khó.

+ Khi giải một bài toán có vận dụng “Phương trình nghiệm nguyên” trước hết phải
đoán dạng, sau đó mới chọn lựa phương pháp để giải.
+ Giáo viên cần hướng dẫn học sinh tổng quát hoá bài toán và chọn cách giải hay
nhất.
+ Giáo viên cần nghiên cứu các dạng toán nâng cao hơn từ các bài toán sẵn có, đã
làm.
VI – Phạm vi áp dụng kinh nghiệm
Kinh nghiệm này có thể áp dụng từng phần cho học sinh khối 6, 7, 8, 9. Chủ
yếu bồi dưỡng học sinh lớp 9 chuẩn bị thi vào lớp 10. Đặc biệt kinh nghiệm dạy
“Phương trình nghiệm nguyên” có tác dụng rất cao trong việc dạy bồi dưỡng học
sinh khá giỏi ở THCS, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh.
13
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
C – KẾT LUẬN
rên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi về giảng dạy “Phương trình
nghiệm nguyên”. Đây là chuyên đề khó và rộng, đôi khi nhắc đến giải
phương trình nghiệm nguyên là học sinh có tâm lý “kinh hãi”. Vì vậy trong chuyên
đề tôi đã đưa một số dạng và phương pháp giải cơ bản, để rèn kĩ năng cho học sinh.
Tác dụng của kinh nghiệm này rất bổ ích với học sinh khá giỏi. Nó trau rồi tư duy,
rèn nếp suy nghĩ tìm toi lời giải và vận dụng cho nhiều loại bài toán khác. Xong
đây là phần dạy ôn tập, nên tôi không tiến hành điều tra được nhiều để thấy hết tác
dụng của nó, cũng như thấy được phần còn hạn chế.
T
Tôi rất mong được lắng nghe các ý kiến đóng góp của Hội đồng khoa học và các
bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm sau tôi viết tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
*Đề xuất hướng nghiên cứu kinh nghiệm tiếp theo là:
- Giải hệ phương trình nghiệm nguyên.
- Vận dụng phương trình nghiệm nguyên trong hàm số và đồ thị.
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Ngày 25 tháng 02 năm 2008
14
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. SGK6, 7, 8, 9
2. 351 bài toán số học.
3. Toán nâng cao và các chuyên đề toán 8.
4. Toán nâng cao và các chuyên đề toán 9.
5. 255 bài toán số học chọn lọc.
6. 255 bài toán đại số chọn lọc.
7. Toán bồi dưỡng đại số lớp 9.
8. Toán bồi dưỡng đại số lớp 8.
9. 45 bộ đề toán khó.
10. Tuyển tập đề thi môn toán THCS
11. Tuyển chọn các bài tập toán 9
12. 100 bài toán chọn lọc.
13. Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9
14. Tạp trí toán học tuồi trẻ, tuổi thơ 2.
15. Bồi dưỡng và phát triển Toán 9
15
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
MỤC LỤC

Tên danh mục Trang
A. Đặt vấn đề
B. Giải quyết vấn đề
I. Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu.
II. Các phương pháp nghiên cứu.

III. Nội dung của kinh nghiệm.
IV. Kết quả đạt được.
V. Bài học kinh nghiệm.
VI. Phạm vi áp dụng kinh nghiệm.
C. Kết kuận.
* Tài liệu tham khảo.
1
2
2
2
3
13
13
14
14
15
16