Tuyển tập đề thi số học và dãy số qua các kì thi học sinh giỏi

1

MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ - SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Biên soạn: Th.S Trần Quốc Dũng
D l
!

1. TÂY NINH 2011-2012

1) CMR dãy
n
u
có giới hạn hữu hạn.
2) Đặt
0
1
n
n
k
k
T
u
. Tính
lim
2
n
T
n
.
1) CMR dãy
n

u
có giới hạn hữu hạn:






2) Đặt
0
1
n
n
k
k
T
u
. Tính
lim
2
n
T
n
:

www.VNMATH.com
2




2. TÂY NINH 2006-2007
Tìm phần nguyên của số
3
2006
4
3 4 2006
2
2 3 2005
A

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+1 số gồm n số 1 và số
1
1
n
, ta có:
1
11
1 1 1 1 1 1
n
n

n
nn

, ở đây dấu “=” không thể xảy ra vì
1
11
n
.
Từ đó, ta có:
1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
n
n
n
n
n n n n n n


Từ đó suy ra:

3
2006
1
1 2 1 1
2
3 1 1

11
2 2 3

2006 1 1
11
2005 2005 2006

Cộng vế theo vế ta suy ra
1
2005 2006 2006
2006
A
. Vậy
2005A
.
3. TÂY NINH 2004-2005
Cho dãy số
n
u
xác định bởi
12
21
1, 2
21
n n n
uu
u u u n

1) Tìm số hạng tổng quát
n

u

2) Cho
1
lim .
n
n
u
a
u
Tính a.
1) Xét phương trình đặc trưng
2
12
2 1 0 1 2 1 2 1 2
nn
n
x x x u C C

Do
1
2
1
2
u
u
nên
22
1
1 2 1 2 1

22
1
1 2 1 2 2
22
A
AB
AB
B
1
1 2 1 2
22
nn
n
u

2)
11
11
1
1
1 2 1 2
1 2 1 2
22
lim lim lim
1
1 2 1 2
1 2 1 2
22
nn
nn

n
nn
nn
n
u
a
u


www.VNMATH.com
3

1
1
12
1 2 1
12
lim 1 2
12
1 2 1
12
n
n
n
n


1) Cho 2004 số nguyên dương
1 2 2004
, , ,u u u

thỏa mãn
2004
1
1
2 2004.
k
k
u
Chứng minh rằng có ít nhất hai số
bằng nhau.
2) Tìm 2004 số thực
1 2 2004
, , ,u u u
thuộc
1,2
thỏa
2004
1
2025
k
k
u
sao cho
2004
3
1
2025
k
k
u

đạt giá trị lớn nhất.
1) Giả sử không có hai số nào bằng nhau, lúc đó ta có thể giả sử rằng
1 2 2004
1
k
u u u u k
.

2004 2004 2004 2004 2004 2004
1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 1
2 2 1
21
11k k k k k k
k
kk
kk
u k k k k
k k k k


2004
1
1
2 1 0 2 1 3 2 2004 2003 2 2004 2 2004
k
k
u
.
Điều này trái với giả thiết, suy ra đpcm.

2) Ta có:
3
1 2 1 2 3 0 7 6
k k k k k k
u u u u u u

2004 2004 2004
3
1 1 1
2004
7 6 1 7.2025 6. 1 1 1 2151
kk
k k k
uu

.
Dấu “=” xảy ra
12
kk
uu
. Gọi m là số
1
k
u
, suy ra số
2
k
u
là 2004 – m. Từ đó, ta có:
m.1 + (2004 – m ).2 = 2025, suy ra m = 1983

Vậy có 1983 số 1 và 21 số 2 thỏa mãn đề bài.
4. TÂY NINH 2000-2001
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên
,xy
sao cho
1y
chia hết cho
x
và
1x
chia hết cho y.
Từ điều kiện đề bài ta có:
1 ; 1 1 1 1 1x y y x x y x y x y x y x
(do x, y là các số tự
nhiên). Ta xét 3 trường hợp sau:
TH1: Nếu
1yx
thì
y
là ước của x – 1 và x + 1, suy ra y là ước của x – 1 – (x + 1) = - 2, suy ra
12yy
.
+ Với y = 1 thì x = 2 (thỏa mãn)
+ Với y = 2 thì x = 3(thỏa mãn)
TH2: y = x thì y là ước của x và x + 1, suy ra y là ước của x + 1 – x = 1, suy ra y = 1, lúc đó x = 1 (thỏa mãn)
TH3: y = x + 1 thì x là ước của x + 2 suy ra x là ước của 2, suy ra x = 1 hoặc x = 2.
+ Nếu x = 1 thì y = 2 (thỏa mãn)
+ Nếu x = 2 thì y = 3 (thỏa mãn).
Vậy ta có 5 cặp số phải tìm là: (1,1), (1, 2), (2,3), (2,1), (3,2).
5. CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG VÒNG TRƯỜNG_CHUYÊN HOÀNG LÊ KHA_TÂY NINH 2011-2012

www.VNMATH.com
4













6. QUẢNG BÌNH 2010-2011


www.VNMATH.com
5

7. QUẢNG BÌNH 2011-2012










www.VNMATH.com
6

8. BÌNH ĐỊNH 2010-2011










9. HÀ TĨNH 2010-2011

+)TH2: Nếu
0
1,x







www.VNMATH.com
7







10. BÌNH ĐỊNH 2011-2012




www.VNMATH.com
8

11. KIÊN GIANG 2009-2010

Tính
lim
n
u
.
12. ĐẮC LẮC 2011-2012



Vậy
2011
2010
m+2010
C 
hay
(m+2010)!
m!2011!
là số nguyên.
13. BÌNH PHƯỚC 2008-2009

Ta có:
( 2010)! 2011 ( 2011)!
.
!2010! 2011 !2011!
2010
m+2010
mm
C
m m m
=
2011
2011
2011
.
2011
m
C
m

Suy ra:
2010
m+2010
(m+2011)C
=
2011
2011

2011.
m
C
, tức là:
2010
m+2010
(m+2011)C
chia hết cho 2011 (do
2010
m+2010
C
;
2011
2011m
C
là các
số tự nhiên)
Vì: 2011 là số nguyên tố và 0 < m < 2011 nên ƯCLN(m, 2011) = 1, từ đó: ƯCLN(m + 2011, 2011)= 1
Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011. Chứng minh rằng
(m+2010)!
m!2011!
là một số nguyên.
www.VNMATH.com
9


14. LONG AN 2011-2012
Cho dãy số
n
u

xác định bởi
1
1u
và
2
1
32
nn
uu
với mọi
1n
.
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số
n
u
.
b) Tính tổng
2 2 2 2
1 2 3 2011
S u u u u
.
a) Dễ thấy
*
0,
n
u n N

Từ
2 2 2
11

3 2 3 2
n n n n
u u u u
.
Đặt
2
nn
vu
thì có:
11
3 2 1 3 1
n n n n
v v v v

Đặt
1
nn
xv
thì ta có:
1
3
nn
xx
. Từ đây suy ra
n
x
là cấp số nhân với
1
2x
, công bội là 3.

Nên:
1 1 1
2.3 2.3 1 2.3 1
n n n
n n n
x v u
.
b)
0 1 2 2010
2.3 2.3 2.3 2.3 2011S

0 1 2 2010
2 3 3 3 3 2011

2011
2 3 1
2011
31

2011
3 2012
.

15. ĐỒNG THÁP 2009-2010

www.VNMATH.com
10

16. ĐỒNG THÁP 2011-2012

www.VNMATH.com
11


17. NINH BÌNH 2009-2010




18. TP. HCM 2011-2012



www.VNMATH.com
12

www.VNMATH.com
13


19. LẠNG SƠN 2011-2012



www.VNMATH.com
14



20. VĨNH LONG 2009-2010
Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
0
1
1
101
77
n
nn
x

xx

Cách 1: Dùng phương pháp sai phân.
Cách 2:
Đặt
7
n
nn
xy
ta thu được hệ thức truy hồi đối với dãy số
n
y

0
0 0 0
11
1
1
7 101
1
7 7 7 7
n n n
nn
nn
x y y
yy
yy

Ta thấy
n

y
là cấp số cộng với số hạng đầu
0
101y
và công sai
1d
.
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng
n
y
, ta có:
0
101 101 7
n
nn
y y nd n x n
.



Theo Viét, ta có:
1, 1a b ab
.
Đặt
22n n n n
n
R a b a b
,
*
n 

. Ta chứng minh
n
R
là số nguyên chia hết cho 5 bằng quy nạp.
-Với n = 1, ta có
3
11
35R a b a b ab a b R
là số nguyên chia hết cho 5.
- Giả sử
k
R
là số nguyên chia hết cho 5, ta có:
1 1 3 3
1
1 1 2 2 1 1
1
k k k k
k
k k k k k k k k
kk
R a b a b
a b a b ab a b a b a b ab a b
RR

Theo giả thiết quy nạp
1
,
kk
RR

chia hết cho 5 nên
1k
R
chia hết cho 5.
Vậy
n
R
là số nguyên chia hết cho 5,
*
n 
.
Do đó,
2007 2007 2009 2009
n
R a b a b
là số nguyên chia hết cho 5.
21. ĐỒNG NAI 2009-2010




www.VNMATH.com
15

22. OLYMPIC ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG TẠI SÓC TRĂNG












www.VNMATH.com
16

23. VÒNG QUỐC GIA 2011-2012

24. VÒNG QUỐC GIA 2010-2011




www.VNMATH.com
17












25. DÃY SỐ CÓ TÍNH CHẤT SỐ HỌC_VÒNG QUỐC GIA 2011-2012

www.VNMATH.com
18















www.VNMATH.com
19

26. TOÀN QUỐC 2009-2010




27. TP. HCM 2005-2006

28. TP. HCM 2004-2005





www.VNMATH.com
20

29. TP. HCM 2003-2004

(Giống đề thi HSG BÌNH PHƯỚC 2008-2009)



www.VNMATH.com
21








30. TP. HCM 2001-2002

Dùng PP sai phân với chú ý rằng nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất là nghiệm
cần tìm vì vế phải bằng 0.
Đáp số:

31. BÀI TẬP
1)



2)

3)





4)





www.VNMATH.com
22


5)



www.VNMATH.com