dãy số và các vấn đề liên quan

1

S GIO DC V O TO QUNG BèNH.
TRNG THPT CHUYấN QUNG BèNH





Đề tài khoa học
lớp 11 TON




DY S V CC VN LIấN QUAN








Giỏo viờn hng dn:

Nguyn Thanh Hu

Hc sinh thc hin:

Vừ Khc Hựng - Hong Cụng Thng











Đồng Hới, ngày 20 tháng 4 năm 2013

2



A. PHẦN MỞ ĐẦU.
Dãy số là một phần của Đại số cũng như giải tích toán học. Dãy số đóng vai
trò quan trọng trong toán học cũng như trong đời sống.

Trong các kì thi cấp tỉnh, học sinh giỏi QG hay IMO thì các bài toán về dãy số
xuất hiện khá nhiều và có độ khó nhất định đối với thí sinh bởi vì sự đa dạng của
nó và để giải được thì chúng ta cần kết hợp nhiều kiến thức liên quan đến hàm số,
tính chất số học, hay là những thủ thuật biến đổi,…

Những bài toán liên quan đến dãy số rất đa dạng. Nó không những rèn luyện tư
duy, sự sáng tạo mà nó còn đem đến niềm đam mê và yêu thich toán học cho
người học.

Và để đem đến một nguồn tài liệu tham khảo cho các bạn. Bài viết “ Dãy số và
các vấn đề liên quan” trình bày một phần nhỏ trong lĩnh vực dãy số.

Bài viết được chia làm 4 phần.
- Các kiến thức cơ bản về dãy số.
- Công thức tổng quát dãy số.
- Dãy số và bất đằng thức.
- Dãy số với số học.

Trong quá trình viết không thể tránh khỏi sai sót. Mong quý thầy cô góp ý
thêm đê bài viết được hoàn thiện hơn, trở thành một tài liệu tham khảo hữu ích
cho bạn đọc.














3

B. NỘI DUNG.

I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Các khái niệm cơ bản về dãy số:

1. Định nghĩa.
Dãy số là một hàm số từ S vào R, trong đó:
S = { 1, 2, 3, …, n } đối với dãy số hữu hạn, hoặc
S = N đối với dãy số vô hạn bắt đầu từ chỉ số 0
- Dãy được gọi là vô hạn nếu chúng có vô hạn phần tử.
- Dãy được gọi là hữu hạn nếu số phần tử của dãy là hữu hạn.

2. Dãy
1 2 3
u ,u ,u
được gọi là:

- Dãy đơn điệu tăng nếu
n 1 n
u u
+
>
, vói mọi n = 1, 2, …
- Dãy đơn điệu không giảm nếu
n 1 n
u u
+
³
, với mọi n = 1, 2, …
- Dãy đơn điệu giảm nếu
n 1 n

u u
+
<
, với mọi n = 1, 2, …
- Dãy đơn điệu không tăng nếu
n 1 n
u u
+
£
, với mọi n = 1, 2,…

3. Dãy
1 2 3
u ,u ,u ,
được gọi là :

- Dãy bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
n
u M
£
với mọi n = 1,2,3…
- Dãy bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
n
u m
³
với mọi n = 1,2,3,
- Dãy bị chặn là dãy vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

4. Dãy
1 2 3

u ,u ,u ,
được gọi là dãy dừng nếu tồn tại số nguyên dương
0
N

sao cho
n
u C
=
với mọi
0
n N
³
.

5. Dãy
1 2 3
u ,u ,u ,
được gọi là dãy tuần hoàn nếu tồn tại số nguyên dương
N, số nguyên dương k sao cho với mọi p = 1, 2, 3, …, ta có:
n k 1 kp
n n kp
n 1 n 1 kp

n k 1 u
u u
u u
u
+ - +
+

+ + +
+ - =
=
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
ï
ï
î

Số k được gọi là chu kì của dãy tuần hoàn.
2. Cách xác định một dãy số.


4

a) Dãy số cho bởi cách liệt kê các phần tử.
Ví dụ: Xét dãy các số nguyên tố nhỏ hơn 20: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19.

b) Dãy được cho bởi công thức tổng quát.
Ví dụ: dãy số
{
}
n
u
xác định bởi

n
2n 1
u
= -
với mọi n = 1, 2, 3, … chính là dãy
các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, …

c) Dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi.
Ví dụ: cho dãy
{
}
n
u
được xác định như sau:
1
2
n 1 n n
u 1
u 5u 1 24u , n 1,2,3,
+
=
ì
ï
í
= + + " =
ï
î


d) Dãy số xác định theo cách miêu tả.

Ví dụ: Cho các số tự nhiên k và n. Lập hai dãy số
{
}
{
}
j j
u , v (j 1,2,3, ,n)
= như
sau: chia k cho n được thương là
1
u
và được thương là
1
v
. Bược thứ j (j = 1, 2, 3,
…, n) xác định
j
u
và
j
v
như sau: chia k +
j 1
v
-
cho n được thương là
j
u
và phần
dư là

j
v
.
Với dãy này ta có:
1 1
1 2 2
n 1 n n
k nu v ;
k v nu v ;

k v nu v ;
-
= +
+ = +
+ = +













5

I. CễNG THC TNG QUT:
1.S dng cp sụ v sai phõn tỡm cụng thc tng quỏt ca dóy s.

Dng 1: Dóy
n 1 n
u a.u b
+
= +
cú s hng tng quỏt l:

n 1
n 1
n 1
n 1
a 1
u a u b. (*) khi a 1
a 1
u u (n 1)b khi a 1
-
-
ộ
-
= + ạ
ờ
-
ờ
= + - =ờ
ở

Chng minh:

- Nu a=1
ị
{u
n
} l mt cp s cng

ị
u
n
=u
1
+(n-1)b
- Nu a
ạ
1: vi n=1 (*) ỳng.
Gi s (*) ỳng vi n = k hay
k 1
k 1
k 1
a 1
u a u b.
a 1
-
-
-
= +
-

Ta s chng minh (*) ỳng vi n = k+1
Tht vy :
n 1 k
n 1 k
k 1 k n 1 1
a 1 a 1
u a.u b a u a u b. b a u b. (
pcm)
a 1 a 1
-
-
+
ổ ử
- -
= + = = + + = +
ỗ ữ
ỗ ữ
- -
ố ứ

Vy theo gi thit quy np (*) ỳng
*
n N
" ẻ


Vớ d 1: Xỏc nh CTTQ ca dóy {u
n
} c xỏc inh:
1

n 1 n
u 3
u 4u 6
+
=
ỡ
ớ
= +
ợ


Bi Gii
n 1 n
u 4u 6
+
= +

(
)
n 1 n
u 2 4 u 2
+
+ = +

- t
n n
v u 2
= +

1
n 1 n 1
n 1
v 5
v 4 .v 4 .5
- -
=
ỡ
ù
ị
ớ
= =
ù
ợ


n 1
n
u 5.4 2
-
ị = -

Dng 2: Dóy {u
n
} xỏc nh bi:
1 0
n n 1
u x
u a.u f(n)
-

=
ỡ
ớ
= +
ợ
,
Trong ú f(n) l mt a thc bc k theo n, a l hng s.


6

- Phân tích f(n)=g(n)-a.g(n-1) với g(n) là một đa thức bậc k theo n. Khi đó:

(
)
(
)
n 1
n 1
u u g 1 .a g n .
-
= - +
é ù
ë û

Ví dụ 2: Xác định CTTQ của dãy số {u
n
} được xác định:
î
í

ì
+-=
=
-
632
5
1
1
nuu
u
nn

Bài giải

n n 1 n n 1
u 2u 3n 6 u 3n 2[u 3(n 1)]
- -
= - + Û - = - -

n 1 n 1 n
n 1
n
n
u 3n 2 (u 3.1) 2 (5 3) 2
u 2 3n
- -
Û - = - = - =
Û = -

Dạng 3: Dãy {u

n
}:
1
n
n n 1
u
u a.u b. n 2
-
ì
ï
í
= + a " ³
ï
î

Bài giải

- Nếu
n n 1
n 1
a u b(n 1) u .
-
= a = - a + a
.
- Nếu a
¹
α, ta phân tích
n n n 1
k.a – ak.a
-

a =
.
Khi đó:
(
)
n 1 n
n 1
u a u bk bk.
-
= - + a

Ta được
k
a
a
=
a -

Ví dụ 3: Tìm CTTQ của dãy {u
n
}:
1
n n
n n 1
u 2
u 5u 2.3 6.7 12
-
=
ì
ï

í
= + - +
ï
î


Bài giải

Ta có:
(
)
n n n 1 n 1
n n 1
u 3.3 21.7 3 5 u 3.3 21.7 3
- -
-
+ + + = + + +

Đặt:
n n
n n
v u 3.3 21.7 3
= + + +

Ta được:
1
n 1
n 1
v 161
v v .5

-
=
ì
ï
í
=
ï
î


Þ
n 1 n 1
n n 1
u 161.5 – 3 – 3.7 – 3
+ +
-
=


Dạng 4: Để xác định CTTQ của dãy {u
n
}:
1 2
n n 1 n 2
u ; u
u a.u b.u 0 n 3
- -
ì
í
- + = " ³

î
, trong đó
a,b 0
¹
;
2
a 4b 0
- ³
.

7


Bài giải

- Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình đặc trưng: x
2
– ax+b = 0.
- Nếu
1 2
x x
¹
thì
n 2
n 1 n
u k.x l.x

= + , trong đó k,l là nghiệm củahệ:
1
1 2 1
k l u
x .k x .l u
+ =
ì
í
+ =
î

- Nếu x
1
=x
2
=α thì
(
)
n 1
n
u kn l
-
= + a , trong đó k, l là nghiệm của hệ:
1
2
l .u
k l u
= a
ì
í

+ =
î

Ví dụ 4: Xác định CTTQ của dãy {u
n
}:
1 2
n n 1 n 2
u 1; u 3
u 4u 4u 0
- -
= =
ì
í
- + =
î

Bài giải

- Phương trình đặc trưng: x
2
– 4x + 4 =0 có nghiệm kép x=2 nên

l 2.1 l 2
k l 3 k 1
= =
ì ì
Û
í í
+ = =

î î

n 1
n
u (kn l).2
-
Þ = +
Vậy :
(
)
n 1
n
u n 2 .2
-
= +

Ví dụ 5: Xác định CTTQ của dãy {u
n
}:
1 2
2
n n 1 n 2
u 1; u 3
u 5u 6u 2n 2n 1
- -
= - =
ì
ï
í
- + = + +

ï
î

Bài giải

2 2 2 2
2n 2n 1 (kn ln m) 5[k(n 1) l(n 1) m] 6[k(n 2) l(n 2) m]
+ + = + + - - + - + + - + - +
Thay n=1, n=2, n=3 vào phương trình ta đượchệ:
7k 5l 2m 5 k 1
k 3l 2m 13 l 8
5k l 2m 25 m 19
- + = =
ì ì
ï ï
- - + = Û =
í í
ï ï
- - + = =
î î

Đặt
2
n n 1 2 n n 1 n 2
v u – n 8n – 19v 29; v 36 và v – 5v 6v 0
- -
= - = - = - + =

Þ
n n

n
v .3 .2
= a + b
với
29 22
3 2 36 51
a + b = - a =
ì ì
Û
í í
a + b = - b = -
î î


8

n n n n 2
n n
v 22.3 51.2 u 22.3 51.2 n 8n 19
ị = - ị = - + + +


Vớ d 6: Tỡm
{
}
n
u
tho món iu kin sau:

0 1

n 2 n 1 n
u 1,u 16
u 8u 16u
+ +
= =
ỡ
ớ
= -
ợ
(1)
Gii: Phng trỡnh c trng
2
8 16 0
l l
- + =
cú nghim kộp
4
l
=

Ta cú
(
)
. .4
n
n
u A B n
= +
(2)
Cho n=0 , n=1 thay vo (2) ta thu c h phng trỡnh

( )
0
1
1
1
3
1 .4 16
u A
A
B
u B
= =
ỡ
=
ỡ
ù

ớ ớ
=
= + =
ù
ợ
ợ

Vy :
(
)
1 3 .4
n
n

u n= +
Vớ d 7: Tỡm
{
}
n
u
tho món iu kin
1 2
n 1 n n 1
u 1,u 0.
u 2u u n 1 n 2
+ -
= =
ỡ
ù
ớ
- + = + "
ù
ợ
(1)
Bi gii
Phng trỡnh c trng
2
2 1 0
l l
- + =
cú nghim kộp
1
l
=

Ta cú
0 *
n n n
u u u
= +

trong ú
(
)
(
)
0 * 2
. .1 , .
n
n n
u A B n A Bn u n a n b
= + = + = +

Thay
*
n
u
vo phng trỡnh (1) , ta c
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
2 2
2
1 1 2 . 1 1 1
n a n b n a n b n a n b n
+ + + - + + - - + = +
ộ ự ộ ự
ở ỷ ở ỷ

Cho n=1 , n=2 ta thu c h phng trỡnh
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
4 2 2 2
6
1
9 3 8 2 3
2
a
a b a b
a b a b a b
b
ỡ
=
ù
+ - + =
ỡ
ù ù

ớ ớ
+ - + + + =
ù
ù
ợ
=
ù
ợ

Vy
* 2
1
6 2
n
n
u n
ổ ử
= +
ỗ ữ
ố ứ


9

Do đó
0 * 2
1
6 2
n n n

n
u u u A Bn n
æ ö
= + = + + +
ç ÷
è ø

Mặt khác

1 1
1
4
6 2
11
1 1
2 4 0
3
3 2
A B
A
B
A B
ì
+ + + =
=
ì
ï
ï ï
Û
í í

-
=æ ö
ï ï
+ + + =
î
ç ÷
ï
è ø
î

Vậy:
2
11 1
4
3 6 2
n
n
u n n
æ ö
= - + +
ç ÷
è ø

Ví dụ 8: Tìm CTTQ của dãy
{
}
n
u :

1

n 1
n
n 1
u 1
2u
u n 2
3u 4
-
-
=
ì
ï
í
= " ³
ï
+
î

Giải: Ta có:
n 1
n n 1 n 1
1 3u 4 3 2
u 2u 2 u
-
- -
+
= = +
.
Đặt
n

n
1
v
u
=
, ta có:
n 11
n n
n 1
n n 1
v 1
5.2 3 2
v u
3
2
v 2.v
5.2 3
2
-
-
-
=
ì
-
ï
Þ = Þ =
í
= +
-
ï

î


Dạng 5: Xác đinh CTTQ của dãy số{u
n
}:
1 2 3
n n 1 n 2 n 3
u ,u ,u
u a.u b.u c.u 0 n 3
- - -
ì
í
+ + + = " ³
î

Bài giải

- Ta xét Pt: x
3
+ax
2
+bx+c=0 (1)
- Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt x
1
,x
2
,x
3

Þ
nnn
n
xxxu
321

gba
++= .
Thay u
1
, u
2
, u
3
vào ta được
; ;
a b g
.
- Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiện kép:
n n
1 2 3 n 1 3
x x x u ( n)x .x
= ¹ Þ = a + b + g


10
Thay u
1
, u
2

, u
3
vào ta được
; ;
a b g
.
- Nếu (1) có nghiệm bội 3:
2 n
1 2 3 n 1
x x x u ( n n )x
= = Þ = a + b + g
Thay u
1
, u
2
, u
3
vào ta được
; ;
a b g
.
Ví dụ 9: Tìm CTTQ của dãy số {u
n
}:
1 2 3
n n 1 n 2 n 3
u 0,u 1,u 3
u 7u 11u 5u , n 4
- - -
= = =

ì
í
= - + " ³
î


Bài giải
- Xét phương trình đặc trưng
3 2
x 7x 11x 5 0
- + - =

- Phương trình có ba nghiệm thực: x
1
=x
2
=1, x
3
=5
n n
n
u ( n ).1 .5
Þ = a + b + g
. Với n=1, n=2, n=3 ta được:

1 3 1
, ,
16 4 16
-
a = b = g =

Vậy:
n
n
1 3n 5
u
16 4 16
= - + +

Ví dụ 10: Xác định CTTQ của dãy số{u
n
}:
1
n 1
n
n 1
u 2
9.u 24
u (*) n 2.
5u 13
-
-
=
ì
ï
- -
í
= " ³
ï
+

î

Bài giải

- Đặt u
n
=x
n
+t, thay vào (*) ta có:
2
n 1 n 1
n
n 1 n 1
9.x 9t 24 ( 9 5t).x 5t 22t 24
x t
5x 5t 13 5x 5t 13
- -
- -
- - - - - - - -
= - =
+ + + +


Chọn t là nghiệm cảu phương trình:
2
1
5t 22t 24 0t 2x 4
+ + = = - =

n 1

n 1
n
n 1 n n 1 n n 1 n
n
n 1
x 1 3 1 5 1 5 1 11.3 10
x 5 3
5x 3 x x x 2 x 2 x 4
4
x
11.3 10
-
-
- - -
-
æ ö
-
Þ = Þ = + Þ + = + Þ =
ç ÷
+
è ø
Þ =
-

n 1
n n
n 1
22.3 24
u x 2
11.3 10

-
-
- +
Þ = - =
-

2.Sử dụng công thức lượng giác để tìm công thức tổng quát của dãy số.

Dạng 6: Xác định CTTQ cảu dãy {u
n
} :

11
1
3
n n 1 n 2
u a
u 4u 3u , n 3
- -
=
ỡ
ù
ớ
= - "
ù
ợ

Bi gii

Nu

p 1
>
, ta t
1
1 1
u a
2 a
ổ ử
= +
ỗ ữ
ố ứ
(a cựng du vi u
1
)
Khi ú bng quy np ta chng minh c
n 1
n 1
3
n
3
1 1
u a
2
a
-
-
ổ ử
= +
ỗ ữ
ố ứ

Hay:
(
)
(
)
n 1 n 1
3 3
2 2
n 1 1 1 1
1
u u u 1 u u 1
2
- -
ộ ự
ờ ỳ
= - - + + -
ờ ỳ
ở ỷ

Nu
[
]
p 1 0,1 :cos p
Ê ị $aẻ a =

Bng quy np ta chng minh c:
n 1
n
u cos3

-
= a


Vớ d 11: Cho dóy s {u
n
} .Xỏc nh CTTQ ca dóy s.
1
2
n n 1
1
u
2
u 2u 1
-
ỡ
=
ù
ớ
ù
= -
ợ
.
Bi gii
Ta cú:
2
2 2
1 2 3
1 2 2 2
u cos u 2cos 1 cos u 2cos 1 cos

2 3 3 3 3 3
p p p p p
= = ị = - = ị = - =

- Ta chng minh:
n 1
n
2
u cos
3
-
p
=
(*). Tht vy:
- Vi n=2:
2
2
u cos
3
p
= (*) ỳng.
- Gi s (*) ỳng vi n=k hay
k 1
k
2
u cos
3
-
p
=

Ta phi chng minh (*) ỳng vi n=k+1; hay
k
k 1
2
u cos
3
+
p
=
.
Tht vy:
k 1 k
2 2
k 1 k
2 2
u 2u 1 2cos 1 cos
3 3
-
+
p p
= - = - =

Vy theo nguyờn lớ quy np
n 1
n
2
u cos
3
-

p
=
*
n N
" ẻ

Vớ d 12: Tỡm CTTQ cu dóy s {u
n
}:

12
1
n 1
n
2
n 1
u 3
u
n 2
u
1 1 u
-
-
ì
=
ï
" ³
í
=
ï

+ +
î

Bài giải
Ta có:
2
n n 1
n 1
1 1 1
1
u u
u
-
-
= + +
.
- Đặt
n
n
1
x
u
=
, khi đó ta có dãy {x
n
} được xác định như sau:
2
1 n n 1 n 1
1
x và x x 1 x

3
- -
= = + +
1
2
2
2
1
Do x cot
3
3
cos 1 2cos
3 2.3
x cot 1 cot cot
3 3 2.3
sin 2sin .cos
3 2.3 2.3
p
= =
p p
+
p p p
Þ = + + = = =
p p p

Bằng phép quy nạp ta chứng minh được:
n n
n 1 n 1
x cot u tan n 1,2,3,
2 .3 2 .3

- -
p p
= Þ = " =

3.Bài tập tự giải.

Bài 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u
n
) được xác định bởi:
1
n n 1
u 2
n 2
u 2u 3n 1
-
=
ì
" ³
í
= + -
î


Bài 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u
n
) được xác định bởi:
1
n
n n 1
u 1

n 2
u 3u 2
-
=
ì
" ³
í
= +
î


Bài 3: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u
n
) được xác định bởi:
1
n
n n 1
u 1
n 2
u 2u 3 n
-
=
ì
ï
" ³
í
= + -
ï
î

Bài 4: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u
n
) được xác định bởi:

13
1
n 1
n
n 1
u 1
n 2
u
u
u 2
-
-
=
ì
ï
" ³
í
=
ï
+
î


Bài 5: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u
n

) được xác định bởi:
2
1 n 1 n n
u 1,u 2u 3u 2
+
= = + -

n 1
" ³

Bài 6:Cho dãy số {u
n
}:
1
n 1
n
n 1
u 3
u 2 1
u n 2
1 (1 2)u
-
-
ì
=
ï
í
+ +
= " ³
ï

+ -
î
. Tính u
2013


Bài 7: Xác định công thức của dãy số
{
}
n
x
thoả mãn các điều kiện sau
1)
1 1
11, 10. 1 9 ,
n n
x x x n n N
+
= = + - " Î

2)
2
0 1 2 1
1, 3, 2. 5 2 2 3
n n n
x x x x x n n
+ +
= = - + = - - +

Bài 8: Cho dãy số nguyên

{
}
n
x
xác định bởi công thức
1
n 1 n n
x 1
x 2 x 2 1 x
+
=
ì
ï
í
= + + +
ï
î

n N
" Î

- Ta xác đinh dãy
{
}
n
y
bởi công thức:
n
i
n i

i 1
y x 2
=
=
å
,
n N
" Î
.
- Tìm công thức tổng quát của
{
}
n
y
.

Bài 9: Tìm công thức tổng quát của
{
}
n
u
biết:
1 2
n n 1
n 2
n 1 n
u u 1
u u
u
2u u

+
+
+
= =
ì
ï
í
=
ï
-
î


Bài 10: Cho dãy số
{
}
n
u
được xác định bởi:
( )
1
n 1 n n
u 4
1
u u 4 4 1 2u
9
+
=
ì
ï

í
= + + +
ï
î

n N
" Î

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.

Bài 11: Cho dãy số
{
}
n
u
được xác định bởi:

14
1
4
n
n 1
4 2
n n
4
u
5
u
u n 1
u 8u 8

+
ì
=
ï
ï
í
ï
= " ³
ï
- +
î

Tìm công thức tổng quát của dãy số trên.

Bài 12: Cho dãy số
{
}
n
u
được xác định như sau:
1
2
n
n 1
n
u 3
u 2
u
2u 3
+

=
ì
ï
í
-
=
ï
-
î

(
)
n 1,n N
³ Î

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.

Bài 13: Cho dãy số
{
}
n
u
được xác định như sau:
1
n 1 n 1 n 1
n
n n 1
u 5
u a 2 2.3
- - -

-
=
ì
ï
í
= + +
ï
î
với mọi n = 2, 3, 4, …
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.
III. DÃY SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC.

Ý TƯỞNG: Các bài toán về bất đẳng trong dãy số thường không có phương
pháp rõ ràng. Mà chủ yếu sử dụng:
+ Các phép biến đổi khéo léo.
+ Các bất đẳng thức đại số.
+ Những phép đánh giá non - già.

1. CÁC VÍ DỤ:

Bài 1 :Dãy
{
}
n
u
được xác định như sau:
1
n
1
u

2
2n 3
u n 1,2,
2n
ì
=
ï
ï
í
-
ï
= " =
ï
î

Chứng minh rằng với mọi n = 1, 2, … ta có bất đẳng thức sau:
1 2 3
u u u 1
+ + + <
.
Bài giải
Từ công thức truy hồi ta có:

15

1 1 2
2 3 3
n 1 n 1 n
n n n 1
u 2u 4u

u 4u 6u

u 2(n 1)u 2nu
u 2nu 2(n 1)u
- -
+
= -
= -
= - -
= - +

Cộng từng vế n đẳng thức trên, rồi rút gọn ta đi đến

1 2 3 1 n 1
u u u 2u 2(n 1)u
+
+ + + = - +

Theo cách xác định dãy, thì
n
u 0,
> "n =1,2,
kết hợp với
1
1
u
2
=

Ta có đ.p.c.m.

Bài 2: cho dãy số
{
}
n
u
xác định như sau:

1
n 1 n
2
n
u 1
1
u u
u
+
=
ì
ï
í
= +
ï
î

chứng minh rằng:
3
7n 6
-
>

n
u
>
3
3n 2
+

Bài giải
Từ công thức truy hồi xác định dãy số, ta có :
3 3
k k 1
3 6
k 1 k 1
3 1
u u 3
u u
-
- -
= + + +
(1)
Vì
1
u 1
>
suy ra
n
u 1,
³ "n =1,2,
do vậy ta có :

3 3
k k 1
u u 7.
-
< +

Lần lượt thay k=2, 3, …, n và có:

3 3
2 1
3 3
3 2
3 3
n n 1
u u 7
u u 7

u u 7
-
< +
< +
< +

Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có:
3 3
n 1
u u 7(n 1).
< + -

Do

3
3
1 n n
u 1 7n 6 7n 6.
= Þ u < - Þ u < -
(*)
Trong (1) lần lượt thay k = 2, 3, …, n rồi cộng các bất đẳng thức trên ta có:
3 3 3
n 1 1
3 3 3 6 6 6 3 6
1 2 n 1 1 2 n 1 1 1
1 1 1 1 1 1 3 1
u u 3(n 1) 3 u 3(n 1) 3n 2
u u u u u u u u
- -
æ ö æ ö
= + - + + + + + + + + > + - + + = +
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

3
n
u 3n 2.
Þ > +
(**)

16
Từ (*) và (**) ta có :
3 3

n
3n 2 u 7n 6.
+ < < -
(đ.p.c.m).

Bài 3: Dãy số
{
}
n
u
, n=1, 2, … xác định như sau:
n
n
n
n. 7n 10
u
(n 1)3
+
=
+
với mọi n = 1, 2, …
Chứng minh rằng :
n
i
i 1
u
=
å
< 4, với mọi n = 1,2,…
Bài giải

n 3
" ³
ta có, theo cô-si:

(
)
k
k 1
1 1 1 7k 10
7k 10
k
-
+ + + + +
> +
14243
(1)


k
8k 9 9(k 1)
7k 10
k k
+ +
Û + < <
Từ (1) suy ra với mọi k = 1, 2, …. Ta có:

k
k
k k

k
k k k 1 k
k. 7k 10 k 9(k 1)
u .
k
(k 1).3 (k 1).3
9 8 1 1
u 4 .
k.3 3 3 3
-
+ +
= <
+ +
æ ö
Û < < = -
ç ÷
è ø

(do
9
k 3 8
k
³ Þ <
).
Ta có :
1 2
17 48 17 7
u u 4
6 27 6 27
+ = + < + <

(*)
Ta lại có:
n n
i
i 1 i 2 n
i 3 i 3
1 1 1 1 4
u 4 4
9
3 3 3 3
-
= =
æ ö æ ö
= - = - <
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
å å
.
Do đó :
n 3
" ³
, thì
n
i
i 1
17 7 4
u 4
6 27 9
=
< + + <

å
(**)
Từ (*) và (**) ta có đ.p.c.m.

2. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN.
Bài 1: Dãy số
{
}
n
u
, n = 1, 2, 3, … được xác định như sau:

17
0
n 1 n
n
u 1
1
u u
u
+
=
ì
ï
í
= +
ï
î

n 0,1,2,

" =

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k, ta có:
k
4
n 0
n
1 7
6
u
=
<
å
.
HD: - Với k = 1, ta có
1 0
0
1
u u 2
u
= + =
.
1
4
n 0
n
1 1 7
1
16 6
u

=
Þ = + <
å
.
- Với
k 2
³
. Với mọi
i 2
³
ta có:
2
2 2
i i 1 i 1
i 1
1
u u u 2
u
- -
-
æ ö
= + > +
ç ÷
è ø

Suy ra với mọi n = 2, 3, 4, …ta có:
2 2 2 2
n n 1 n 2 1
u u 2 u 4 u 2(n 1) 2n 2
- -

> + > + > > + - = +
.
Vậy
4 2
n
1 1 1 1 1 1
(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3
u (2n 2)
æ ö
< < = -
ç ÷
+ + + +
è ø
+

Suy ra:
k
4
i 0
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7
1 1
16 2 5 7 7 9 2k 1 2k 3 16 2 5 6
u
=
æ ö æ ö
< + + - + - + + - < + + <
ç ÷ ç ÷
+ +
è ø è ø

å
Suy ra Đ.p.c.m.

Bài 2: Dãy số
{
}
n
u
, n=1, 2, …, thõa mãn các điều kiện sau:
Với mọi n = 1, 2, … thì
1)
n n 2014
u u
+
=
;
2)
2n
i
i 1
u 0
=
£
å
;
3)
2n 1
i
i 1
u 0

-
=
³
å
.
Chứng minh rằng : |
2013
u |
³
|
2014
u |.
HD: Đặt
k
k i
i 1
S u ,k 1,2,3,
=
= =
å

Với mọi n ta có:

18
2n 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 2
u S S 0
u S S 0
-
- - -

= - Ê
ỡ
ớ
= -
ợ
ị
2014
2013
u 0
u 0
Ê
ỡ
ớ

ợ


Vỡ vy:
2013 2014 2013 2014
| u | | u | u u 0.
+

T gi thit 1) ta cú:
2014n 1 2014n 1
S nS u
+
= +


Do 2014n+1 l s l, nờn theo Tớnh cht 3, ta cú

1
2014n 1 2014 1 2014
0 n 0 0.
n
u
S S u S
+
ị + ị - Ê Ê

M
1
n
lim 0,
n
u
đƠ
ổ ử
- =
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
nờn theo nguyờn lớ kp suy ra:
2014
0
S
=
.
Ta cú:
2013 2014 2014 2012
.

u u S S
+ = -

Vỡ
2012
0
S
Ê ị
.p.c.m

Bi 3: Cho dóy so
{
}
n
u
, n = 1, 2, thừa món cỏc tớnh cht sau:
1)
n
0 u 2
Ê Ê
vi mi n = 1, 2,
2)
n n 1 n 2
u 2u u 0
+ +
- +
vi mi n = 1, 2,
Chng minh rng vi mi n = 1, 2, ta cú bt ng thc
(
)

n n 1
0 n u u 2
+
Ê - Ê
.

HD: T gi thit 2) ta cú:
1 2 2 3 n n 1 m m 1
u u u u u u u u ,m n 1
+ +
- - - -

Hay:
1 2 n n 1
2 3 n n 1
n 1 n n n 1
n n 1 n n 1
u u u u
u u u u

u u u u
u u u u
+
+
- +
+ +
- -
- -
- -
- = -

Cng tng v cỏc bt ng thc v mt ng thc trờn ta cú:
(
)
1 n 1 n n 1
u u n u u .
+ +
- -

Tng t ta cú:
(
)
(
)
n n 1 n m 1
m n 1 u u u u
+ +
- + - -
T gi thit 1) suy ra:
1 n 1
u u 2.
+
- Ê


19
Suy ra:
(
)

n n 1
n u u 2.
+
- Ê


Ta li cú: vi
m n

, thỡ:
( )
n n 1 n m 1
n n 1
m
1 2
u u u u
m n 1 m n 1
2
u u lim 0
m n 1
+ +
+
đƠ
-
- -
- + - +
-
ổ ử
ị - =
ỗ ữ

- +
ố ứ

Suy ra:
(
)
n n 1
n 0.
u u
+
-
suy ra .p.c.m.
Bi 4: Dóy
{
}
k
u
, k = 1, 2, 3, . c xỏc nh nh sau:
1
n n 1
u 0
u u 1,n 1,2,
-
=
ỡ
ớ
= + =
ợ

Chng minh rng:

1 2 n
u u u 1
.
n 2
+ + +
-

HD: Theo cỏch xỏc nh dóy s ta cú:
( )
( )
2
1
2
2 2
2 1 1 1
2
2 2
n 1 n n n
u 0
u u 1 u 2u 1

u u 1 u 2u 1.
+
ỡ
=
ù
ù
= + = + +
ù
ớ

ù
ù
= + = + +
ù
ợ


Cng tng v n+1 ng thc trờn v cú:
2 2 2 2 2 2 2
1 2 n n 1 1 2 n 1 n
u u u u u u u 2(u u ) n
+
+ + + + = + + + + + +


2
1 2 n n 1
2(u u u ) n u n
+
ị + + + = - + -

Suy ra:
n
i
i 1
1 1
u
n 2
=
-

ồ
(.p.c.m)
Bi 5: Dóy s
{
}
n
u
c xỏc nh nh sau:
n
2
u ,n 1,2,
(2n 1)( n n 1)
= =
+ + +

Chng minh rng vi mi k = 1, 2, ta cú bt ng thc :
1 2 k
k
u u u .
k 2
+ + + <
+

HD: Ta cú:
( )
( )
(
)
k
2 k 1 k

2
u
2k 1
2k 1 k k 1
+ -
= =
+
+ + +


20
Do
2k 1 2 k(k 1)
+ > +
, nên ta có:
(
)
( )
k
2 k 1 k
u
2 k k 1
+ -
<
+
.
Do đó:
k
1 1
u .

k k 1
< -
+

Suy ra:
1 2 3
1 2 k
2
1 1 1 1 1
u u u 1
2 2 3 k k 1
1 2 2 k
u u u 1 1 1
k 2
k 1 4k 4
k 4k 4
æ ö
æ ö æ ö
+ + + < - + - + + -
ç ÷ ç ÷
ç ÷
+
è ø è ø
è ø
Û + + + < - = - < - =
+
+ +
+ +

Suy ra: đ.p.c.m.

3. BÀI TẬP TỰ GIẢI.

Bài 1: Cho dãy số thực dương
{
}
n
u
, n=1, 2, … thõa mãn các điều kiện sau:

1)
1
u
=
1
6
;
2) Với mọi n = 1, 2, …, thì
2n n
i j
i n 1 j 1
1
u u
n
= + =
£
å å
.
Chứng minh rằng với mọi n = 1, 2, …, ta có :
n
2

i
i 1
u 1
=
<
å
.
Bài 2: Xét dãy số thực
{
}
n
u
, n = 1, 2, … thõa mãn các điều kiện sau:

1) 0 <
n
u
< 1
2)
n 1 n
1
u (1 u )
4
+
- ³
với mọi n = 1, 2, …
3) Chứng minh rằng vơi mọi n = 1, 2,… ta có :
n
1 1 1
u

2 2n 2
- < £
.

Bài 3: Cho dãy
{
}
n
u
là dãy các số thực dương thõa mãn bất đẳng thức :
2
n n n 1
u u u , n 1,2,
+
£ + " =

Chứng minh rằng :
n
1
, n 1,2,
n
u
< " =


Bài 4 :Dãy số
{
}
n
u

được xác định như sau:

21
1
2
k k 1 k 1
1
u
2
1
u u u ;k 1,2, ,n
n
- -
ì
=
ï
ï
í
ï
= + =
ï
î

Chứng minh rằng :
n
1
1 u 1.
n
- < <

Bài 5: Cho số tự nhiên n>1 không chia hết cho 1997.Xét hai dãy số
{
}
i
a
và
{
}
j
b

được xác định như sau:
i
ni
a i
1997
= +
với i = 1, 2, 3, …, 1996.
j
1997j
b j
n
= +
với j = 1, 2, 3, …, n-1.
Xét tất cả các số của hai dãy số trên và sắp thứ tự không giảm ta được.
1 2 1995 n
c c c .
+
£ £ £

Chứng minh rằng
k 1 k
c c 2
+
- <
với mọi k = 1, 2, 3, …, 1995+n.

Bài 6: Cho hai dãy số
{
}
n
x
và
{
}
n
y
được xác định như sau:
1
1
x 3
y 3
ì
=
ï
í
=
ï
î

và
2
n n 1 n 1
n 1
n
n 1
x x 1 x
y
y
1 1 y
- -
-
-
ì
= + +
ï
í
=
ï
+ +
î

n 2
" ³

Chứng minh rằng:
n n
2 x y 3
< <
với mọi

n 2
³
.

Bài 7: Cho dãy số
{
}
n
u
được xác định bởi:
1 2
n 1 n n 1
u 1,u 2
u 2u u
+ -
= =
ì
í
= +
î
với
n N
Î

(
)
n 2
³

Chứng minh rằng

n
n
5
u
2
æ ö
£
ç ÷
è ø
,
n N
" Î

Bài 8: Cho dãy số
{
}
n
a
thõa mãn:
n
k k 1 k 2 i
i 1
a 2a a 0, a 1, k 1
+ +
=
- + ³ < " ³
å

Chứng minh rằng:
k k 1

2
2
0 a a , k 1.
k
+
£ - £ " ³

Bài 9: Cho dãy số nguyên
(
)
n
n 0
a
³
thõa mãn điều kiện sau:
n n 1 n 2
0 a 7a 10a 9, n 0.
+ +
£ + + £ " ³

Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên
0
n
sao cho với mọi
0
n n
³
thì
n
a 0.

=


22
Bài 10: Cho ba dãy số
{
}
{
}
{
}
n n n
u , v , w
thõa mãn các tính chất sau:
1)
0 0 0
u ,v ,w 0
>

2)
n 1 n n 1 n n 1 n
n n n
1 1 1
u v ,v w ,w u , n 0
w u v
+ + +
= + = + = + " ³

3) Chứng minh rằng tồn tại các hằng số dương s và t sao cho với mọi n =
1, 2, 3, … ta có

n
s n u t n.
< £
Bài 11: Cho dãy
{
}
n
u
được xác định như sau:
1
2
n 1 n n
u a
u cu u , n 1
+
=
ì
ï
í
= + " ³
ï
î

Ở đây
a 0
>
và c là hằng số dương cho trước. Chứng minh rằng với mọi n ta
có:
1)
n 1 n n 1

n 1
u c n u
- +
³
2)
1 2 n 1
1
u u u n nu
c
æ ö
+ + + > -
ç ÷
è ø




23
IV. DÃY SỐ VỚI SỐ HỌC

Ý TƯỞNG: Các bài toán dãy số chứng minh các tính chất số học:
+ thường chúng ta tìm công thức tổng quát bằng phương trình đặc trưng,
hay phép biến đổi tuyến tính của dãy,
+ Sau đó tùy theo từng bài ta có thể sử dụng các tính chất số học như: các
tính chất chia hêt, lí thuyết đồng dư, định lí Ferma, định lí Euler, …

1. CÁC VÍ DỤ.

Bài 1: Cho dãy
{

}
n
a
với n là số nguyên dương được xác định như sau:
1 2 n
a 1.2.3,a 2.3.4, ,a n(n 1)(n 2).
= = = + +

Đặt
n 1 2 n
S a a a
= + + +
. Chứng minh rằng
n
4S 1
+
là số chính phương.
Bài giải
Ta có:
1 1
1.2.3.4
S a
4
= =

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng:
n 1 2 n
n(n 1)(n 2)(n 3)
S a a a
4

+ + +
= + + + =
Từ đó
2 2
n
4S 1 n(n 1)(n 2)(n 3) 1 (n 3n)(n 3n 2) 1
+ = + + + + = + + + +

2 2 2 2 2
n
4S 1 (n 3n) 2(n 3n) 1 (n 3n 1) .
Þ + = + + + + = + + đ.p.c.m.

Bài 2: Cho dãy
{
}
n
x
được xác định như sau :
1 2 n 1 n n 1
x 7,x 50,x 4x 5x 1975
+ -
= = = + -
với mọi
n 2
³
.
Chứng minh rằng
1996
x

chia hết cho 1997.

Bài giải

Xét dãy
{
}
n 1 2
y ,n 1,2,3, ,y 7,y 50
= = =


n 1 n n 1
y 4y 5y 22.
+ -
= + +

n n
y x
Þ º
(mod 1997). Do đó ta chỉ cần chứng minh
1996
y 0
º
(mod 1997)
Đặt
n n n 1 n n 1
z 4y 11z 4z 5z
+ -
= + Þ = +

Với
1 2
z 39,z 211
= =
.
Ta tìm được công thức tổng quát của
n n 1996
n 1996
8.( 1) 25.5 8 25.5
z z
3 3
- + +
= Þ =

Theo định lý Fermat
1996
5 1
º
(mod 1997)

24
Vậy
1996
8 25.5 33
+ º
(mod 1997)
1996
z
Þ º11

(mod 1997)
1996
4y 0
Þ º
(mod 1997)
1996
y 0
Þ º
(mod 1997) đ.p.c.m.

Bài 3: Cho dãy số được xác định như sau:
0 1 n 2 n 1 n
u 1,u 1,u 1999u u
+ +
= = = -
với mọi n = 1, 2, 3,…
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
n
u
là số nguyên tố.

Bài giải
Bằng quy nạp ta chứng minh được:
n
u
Î
¥
và
n 1 n
u 1998u

+
³
với mọi
1
n
³

Ta lại có:
n 2 n n 1 n 1
n 1 n
2 2
n 2 n n 1 n 1 n 1 n
u u u u
1999
u u
u u u u u u
+ + -
+
+ + + -
+ +
= =
Þ - = -

Suy ra:
2 2
n 2 n n 1 0 2 1
n n 2 n 1 n 1
u u u u u u 1
u u (u 1)(u 1)
+ +

+ + +
- = = - = -
Þ = + -

- Với
n 2
£
ta có
2
u 1999
=
là số nguyên tố.
- Với
n 3
³
giả sử
n
u
là số nguyên tố ta có :
n n 2 n 1 n 1
u u (u 1)(u 1)
- - -
= - +

n 1 n 1
(u 1)(u 1)
- -
Þ - +
chia hết cho
n

u

Vì
n 1 n 1 n
u 1 1998u u
- -
+ < <
nên
(
)
n 1
u 1
-
-
chia hết cho
n
u
.
Mà
n
u
là số nguyên tố nên
(
)
n 1 n n 1
u 1 u 1998u
- -
- ³ > (vô lí)

Suy ra: n = 2 thõa mãn yêu cầu bài toán.

2. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN.

Bài 1: Xét dãy số
{
}
n
u
thõa mãn :
(
)
1 n 1 n n
u 1,u u u 1 2, n 1
+
= = - + " ³
.

Chứng minh rằng
( )
n
2
n k
1
A u 1 1
= + -
Õ
là số chính phương với mọi n.


25

HD: Ta sẽ chứng minh rằng:
( )
( )
n
2
2
n k n 1
1
A u 1 1 u 1 , n
+
= + - = - "
Õ

Ta chứng minh bằng quy nạp :
( ) ( ) ( )
( )
( )
m 1 m
2 2 2 2
m 1 k k m 1 m m 1
k 1 k 1
A u 1 1 u 1 u 1 1 A 1 u 1 1.
+
+ + +
= =
é ù
= + - = + + - = + + -
ê ú
ê ú
ë û

Õ Õ

( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
2
2 2 2 2
m 1 m m 1 m 1 m 1 m 1 m m 2
A A 1 u 1 1 u 1 1 u 1 1 u u 1 u
+ + + + + +
é ù
Û = + + - = - + + - = - + =
ê ú
ë û

Suy ra: Đ.p.c.m.

Bài 2: Cho dãy số
n
u
thõa mãn :
1 2 4
u 1,u 2,u 5
= = =

và với mọi n > 1 thì

2
n 1 n 1 n
u u u a
+ -
= +
với
2
a 1
=

a) Xác định công thức tổng quát của dãy số trên.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n không vượt quá 2013 sao cho

n
u
chia hết cho 10.

HD: Bằng quy nạp ta chứng minh được:
n
u 3, n 3.
> " >

Ta có:
2
n
n 1
n 1
u a

u
u
+
-
+
= .
Giả sử:
2
n n 1
u 1 u
+
+
M
và
2
n n 1
u 1 u
-
-
M
thì
n 1
2 u
-
M
( vô lí ).
Do đó có không một dãy thõa mãn đề bài:
Theo tính chất dãy fibônaci ta có:
n 2 n 1 n
u u u , n 1

+ +
= + " ³
.
Ta chứng minh:
-
n
u 0
º
(mod 2)
n 3k 2
Û = +
.
-
n
u 0
º
(mod 5)
n 5k 4
Û = +
.
Suy ra:
n
u 0
º
(mod 10)
n 15k 1
Û = -
.
Do
1 n 2013 1 15k 1 2013 1 k 134

£ £ Û £ - £ Û £ £


Bài 3: Cho dãy số nguyên (
n
a
) được xác định bởi:
0 1 n n 1 n 2
a 1,a 1,a 6a 5a
- -
= = - = +
với mọi
n 2
³
.
Chứng minh rằng :
2012
a 2010
-
chia hết cho 2011.


HD: Ta tìm được CTTQ: