dạy học các khải niệm toán học theo hướng bỗi dưỡng tư duy biện chứng cho hs thông qua hình học 10

1



Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
Sự nghiệp phát triển đất n ớc đòi hỏi chúng ta phải có một nguồn nhân lực
t ơng xứng. Vì vậy, Văn kiện Đại hội Đại biểu Đảng toàn quốc lần thứ IX đã
khẳng định: "Phát triển giáo dục và đào tạo đ ợc coi là một trong những động
lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá, là điều kiện để
phát huy nguồn lực con ng ời - yếu tố cơ bản để phát triển xã hội, tăng tr ởng
kinh tế nhanh và bền vững". Mặt khác, để có thể tạo ra đ ợc những con ng ời
phát triển toàn diện, t duy sáng tạo và năng lực thực hành giỏi thì sự nghiệp giáo
dục và đào tạo cần đ ợc đổi mới. Trong đó, một yếu tố quan trọng là đổi mới
ph ơng pháp dạy học, trong đó có ph ơng pháp dạy học môn Toán.
Thực trạng dạy học Toán ở tr ờng phổ thông trong những năm gần đây
cho thấy: Giáo viên rất ít chú ý đến rèn luyện t duy biện chứng cho học sinh.
Điều đó đã và đang làm cho t duy học sinh bị trì trệ, phát triển không toàn diện.
Trong quá trình học toán, học sinh bộc lộ những yếu kém về năng lực t duy biện
chứng, nhìn các đối t ợng toán học một cách rời rạc, ch a thấy đ ợc mối liên hệ
phụ thuộc, sự vận động biến đổi, quá trình hình thành và phát triển, ch a thấy
đ ợc sự thống nhất và mâu thuẫn giữa các mặt đối lập. Từ đó dẫn đến nhiều em
gặp khó khăn khi tiếp cận một khái niệm toán học mới, cũng nh khi giải các bài
toán, nhất là các bài toán đòi hỏi tính sáng tạo trong lời giải. Một trong những
nguyên nhân có thể là giáo viên ch a thấy đ ợc tầm quan trọng t duy biện
chứng, và quan trọng hơn là thực hiện bồi d ỡng năng lực t duy biện chứng cho
học sinh qua dạy học toán nh thế nào? T duy biện chứng đ ợc một số nhà S
phạm, Giáo s , phó giáo s , tiến sĩ, các thầy giáo quan tâm và đề cập với một số
các khía cạnh khác nhau.Tuy vậy, hiện nay, bồi d ỡng năng lực t duy biện

chứng cho học sinh qua dạy học toán vẫn là một đề tài t ơng đối mới. Thông qua
dạy học môn Toán, cùng với t duy logic, t duy biện chứng góp phần tạo cơ sở
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


2


trang bị cho học sinh nh ng hiểu biết về thế giới quan duy vật biện chứng, để
nhận thức hiện thực khách quan, hiểu sâu sắc bản chất toán học, góp phần đào
tạo học sinh trở thành những con ng ời phát triển toàn diện năng động, sáng tạo,
phù hợp yêu cầu xã hội hiện nay.
Từ yêu cầu cấp thiết đổi mới ph ơng pháp dạy học, từ thực trạng dạy và
học toán hiện nay, chúng tôi chọn đề tài :
"Dạy học các khái niệm toán học theo h ớng bồi d ỡng năng lực t duy biện
chứng cho học sinh thông qua dạy học Hình học 10 "
II. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận về t duy biện chứng, từ đó đ a ra một số biện
pháp "Bồi d ỡng năng lực t duy biện chứng cho học sinh" vào thực tiễn, thực tế
dạy học Hình học 10 nhằm mục đích nâng cao chất l ợng dạy học toán.
III. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học toán, nếu chú ý "Bồi d ỡng năng lực t duy biện
chứng cho học sinh" trên cơ sở kết hợp với t duy logic và tuân thủ nội dung
ch ơng trình sách giáo khoa hiện hành thì chất l ợng dạy học toán sẽ đ ợc nâng
cao.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt đ ợc những mục đích trên, khoá luận có nhiệm vụ làm rõ những
vấn đề sau.
1. Khái niệm t duy biện chứng
2. Các đặc tr ng cơ bản của t duy biện chứng

3. Vai trò quan trọng và sự cần thiết "Bồi d ỡng năng lực t duy biện
chứng cho học sinh" trong dạy học khái niệm toán học.
4. Một số biện pháp thực hiện "Bồi d ỡng năng lực t duy biện chứng cho
học sinh qua dạy học Hình học 10 ".
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


3


V. Ph ơng pháp nghiên cứu
1. Ph ơng pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan đến t duy
biện chứng, triết học Mác - Lênin và toán học.
2. Ph ơng pháp nghiên cứu thực tế.
Thông qua dự giờ, điều tra, phỏng vấn giáo viên và học sinh để sơ bộ rút ra
một số nhận xét về việc "Bồi d ỡng năng lực t duy biện chứng cho học sinh".
3. Ph ơng pháp kiểm chứng s phạm.
Tiến hành một số giờ dạy kiểm chứng s phạm ở tr ờng Trung học phổ
thông, kiểm tra, đánh giá kết quả kiểm chứng, so sánh đối chiếu giữa lớp kiểm
chứng và lớp đối chứng có cùng trình độ học vấn t ơng đối, nhằm minh hoạ b ớc
đầu những biện pháp đã đ ợc đề ra trong khoá luận.
VI. Đóng góp của khoá luận
1. Về lý luận.
Góp phần làm sáng tỏ nội dung "Bồi d ỡng năng lực t duy biện chức cho
học sinh" trong dạy học toán ở tr ờng phổ thông.
2. Về thực tiễn.
- Xây dựng đ ợc một số biện pháp "Bồi d ỡng một số năng lực t duy biện
chứng cho học sinh".
- Vận dụng một số biện pháp "Bồi d ỡng một số năng lực t duy biện

chứng cho học sinh thông qua dạy học Hình học 10 ".
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


4



Ch ơng 1. Cơ sở lí luận xung quanh việc dạy học khái
niệm toán học theo h ớng bồi d ỡng năng lực t duy
biện chứng cho học sinh

1.1.T duy biện chứng và các đặc tr ng cơ bản của t duy biện chứng
1.1.1. Khái quát về t duy biện chứng
a. T duy
Từ sự định nghĩa về t duy của từ điển triết học: T duy, sản phẩm cao nhất
của cái vật chất đ ợc tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích
cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận, T duy xuất hiện
trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con ng ời và bảo đảm phản ánh thực
tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối quan hệ hợp quy luật của thực tại. Ta
có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của t duy:
- T duy là sản phẩm của bộ não con ng ời và là một quá trình phản ánh tích cực
thế giới khách quan.
- Kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và đ ợc thể hiện qua
ngôn ngữ.
- Bản chất của t duy (mà cũng là điều khó khăn) là ở sự phân biệt sự tồn tại độc lập
của đối t ợng đ ợc phản ánh, với hình ảnh nhận thức đ ợc qua khả năng hoạt động
suy nghĩ của con ng ời nhằm phản ánh đối t ợng.
- T duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- Khách thể trong t duy đ ợc phản ánh với nhiều mức độ khác nhau, từ thuộc tính

này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con ng ời.
b. Khái niệm về t duy biện chứng
Vấn đề trung tâm của logic học là vấn đề chân lý, đó là sự phản ánh đúng đắn
của t duy con ng ời đối với hiện thực.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


5


Chủ nghĩa duy vật biện chứng dựa vào những quy luật, (còn gọi là những
nguyên tắc) của phép biện chứng trong việc nghiên cứu t duy, để vạch ra phép biện
chứng của t duy.
Chính từ đó làm cho logic học trở thành khoa học về sự phát triển của t duy
con ng ời, phản ánh sự phát triển của thế giới khách quan, xem xét t duy và vạch
ra con đ ờng phải đi để nhận thức đ ợc đúng đắn thế giới bên ngoài, đi đến chân lý.
Từ đó ta có thể nói: T duy biện chứng là một dạng t duy, xem xét sự vật
trong sự thống nhất và mâu thuẫn, trong sự vận động và phát triển, trong sự liên hệ
t ơng hỗ và phụ thuộc với các sự vật khác.
1.1.2. Các đặc tr ng cơ bản của t duy biện chứng
T duy biện chứng đ ợc đặc tr ng bởi sự nhận thức tính thay đổi, tính hai
mặt (thống nhất và mâu thuẫn) và tính toàn diện (sự liên hệ t ơng hỗ, phụ thuộc,
giữa các khái niệm, quan hệ t ơng ứng).
a. Tính thay đổi
Một trong ba quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật là: Quy luật
chuyển hoá từ những sự thay đổi về l ợng thành những sự thay đổi về chất và ng ợc
lại. Quy luật này rất phổ biến trong toán học, ta có thể nhìn thấy một cách rõ nét
nhất ở các bài toán khảo sát hàm số, các ph ơng trình chứa tham số, hoặc các bài
toán quỹ tích trong hình học
Ví dụ 1. Cho hàm số

32
1
()3
3
fxxxx
=
. Hãy xét sự biến thiên của hàm số trên.
Giải.
Ta có: TXĐ:
Ă
.
Và
2
'()23
fxxx=

(1)(3)
xx
=+-

Khi đó
1
'()0
3
x
fx
x
=-
ộ
=

ờ
=
ở
ta có
3
'()0
1
x
fx
x
>
ộ
>
ờ
<-
ở

và
'()0
fx
<
13
x
-<<
.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


6

Vậy hàm số đồng biến trong (-
; 1
Ơ
]
U
[3;
Ơ
) và nghịch biến trong khoảng
(-1; 3).
Nhận xét. Từ ví dụ trên, ta thấy sự thay đổi của đối số
x
đến một giới hạn thì sẽ
dẫn đến sự thay đổi tính chất của hàm số. Đó chính là sự thay đổi về l ợng dẫn đến
sự thay đổi về chất. Nh ng đồng thời ta cũng thấy đ ợc mối liên hệ phụ thuộc giữa
các đối t ợng toán học: Đối số và hàm số.
Ví dụ 2. Cho ph ơng trình:
2
(21)0
mxmxm
+++=
(1).
Biện luận theo
m
số nghiệm của ph ơng trình trên.
Giải.
Ph ơng trình đã cho có TXĐ :
Ă
.
Tr ờng hợp 1. Nếu

0
m
=
: Ph ơng trình đã cho trở thành:
0
x
=
.
Vậy nếu
0
m
=
thì (1) có duy nhất một nghiệm là
0
x
=
.
Tr ờng hợp 2. Nếu
0
m
ạ
, thì (1) là một ph ơng trình bậc hai, có:
2
(21)4
mmm
D=+-

22
4414
mmm

=++-


41
m
=+
.
Khả năng 1: Nếu
1
4
m
<-
thì
0
D<
: ph ơng trình (1) vô nghiệm.
Khả năng 2: Nếu
1
4
m
=-
thì
0
D=
: ph ơng trình (1) có nghiệm kép.
Khả năng 3: Nếu
1
4
m
>-

thì
0
D>
: ph ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Vậy, kết luận:
Nếu
0
m
=
hoặc
1
4
-
: ph ơng trình đã cho có một nghiệm
0
x
=
.
Nếu
1
4
m
<-
: ph ơng trình đã cho vô nghiệm.
Nếu
1
4
m
>-
(

0
m
ạ
): ph ơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


7


Nhận xét. Trong bài toán này, vấn đề cốt lõi là số nghiệm của ph ơng trình thay
đổi tuỳ theo sự thay đổi của tham số
m
. Nh vậy nếu nhìn nhận vấn đề một cách
biện chứng thì sự thay đổi của tham số
m
là sự thay đổi về l ợng, còn sự thay đổi
số nghiệm là sự thay đổi về chất. Bên cạnh đó, mối liên hệ phụ thuộc t ơng hỗ lẫn
nhau giữa các đại l ợng cũng đ ợc thể hiện rõ nét.
Ví dụ 3. Xét hàm số ()
fxx
a
=
(
a
ẻ
Z
) TXĐ:
*
Ă

Ta thấy, khi
a
thay đổi nh ng vẫn thoả mãn
1
a
ạ-
thì nguyên hàm của hàm
số trên cũng thay đổi theo, là
1
1
x
a
a
+
+
, nh ng vẫn là hàm số luỹ thừa. Khi
1
a
=-
thì
hàm số trên có dạng
1
()fx
x
=
, và có nguyên hàm là
ln
x
lại là một hàm số logarít.

Nh vậy, khi
a
thay đổi (tức là l ợng đổi) thì nguyên hàm của hàm số
()
fxx
a
=
cũng thay đổi: từ hàm số luỹ thừa số sang hàm số logarít, tức là đã có sự
thay đổi về chất.
Sự nhận thức tính thay đổi: sự vận động và phát triển là một trong những đặc
tr ng cho tính chất biện chứng của t duy. Vì vậy để bồi d ỡng, rèn luyện t duy
biện chứng cho học sinh, thì trong quá trình dạy- học, mà ban đầu là dạy học khái
niệm toán học, ng ời giáo viên cần chú đến sự vận động, phát triển dần của các
khái niệm để học sinh thấy đ ợc tính thay đổi, góp phần bồi d ỡng năng lực t duy
biện chứng cho các em.
b. Tính hai mặt: Mâu thuẫn và thống nhất
Để nhận thức đúng bản chất sự vật, tìm ra ph ơng h ớng và giải pháp đúng
để giải quyết vấn đề, cần phải đi sâu nghiên cứu phát hiện ra những mâu thuẫn của
sự vật. Muốn phát hiện ra mâu thuẫn, phải tìm ra trong thể thống nhất những mặt,
những khuynh h ớng trái ng ợc nhau, tức là tìm ra những mặt đối lập và tìm ra
những mối liên hệ, tác động qua lại lẫn nhau giữa các mặt đối lập đó.
Ví dụ. Khi dạy định lí
Cosin
ở lớp 10, giáo viên chỉ đ a ra định lí và h ớng dẫn học
sinh chứng minh. Cách dạy này đã góp phần làm cho học sinh tiếp nhận kiến thức
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


8

một cách thụ động và thiếu sáng tạo, phần nào đã làm cho học sinh bị hạn chế trong
sự phát triển t duy nói chung và t duy biện chứng nói riêng.
Ng ời giáo viên nên khéo léo, bằng khả năng s phạm của mình, gợi lên một
tình huống có vấn đề, gợi động cơ cho học sinh (bằng việc nhắc các kiến thức có
liên quan), sau đó cho học sinh tự tìm tòi, phát hiện ra định lí Pitago là một tr ờng
hợp đặc biệt của định lí
Cosin
khi tam giác mà ta đang xét là tam giác vuông.
Cụ thể:
- Giáo viên đ a ra yêu cầu học sinh chứng minh định lí Pitago, bằng kiến thức
vectơ đã học.
- Sau đó giáo viên có thể hỏi học sinh rằng: Giả thiết tam giác ABC vuông tại A đã
đ ợc sử dụng ở đâu trong phép chứng minh?
Khi đó, học sinh sẽ phát hiện ra rằng, trong phép chứng minh:

2
222
()
aBCBCACAB
===-
uuuruuuruuur


22
2 (*)
ACABACAB=+-
uuuruuuruuuruuur

22
22
ACABbc
=+=+
uuuruuur

thì giả thiết tam giác ABC vuông tại A đ ợc sử dụng ở b ớc (*):
.0
ACAB
=
uuuruuur
.
Từ đó, học sinh sẽ rút ra rằng nếu góc A không phải là góc vuông thì
.0
ACAB
ạ
uuuruuur
và
(,)
ACABABACcosACAB
=
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
.
Đến đây giáo viên cần h ớng dẫn để học sinh tự nêu bật lên định lí, giống
nh là các em đã tự tìm ra định lí vậy.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


9

Nh vậy, ta có thể thấy tính chất hai mặt của vấn đề trong việc dạy học định
lí này. Nếu xét tam giác vuông (là cái riêng) và tam giác (là cái chung), là mâu
thuẫn với nhau mà không chú ý đến tính thống nhất của t duy biện chứng rằng tam
giác vuông là một tr ờng hợp đặc biệt của tam giác, thì ta sẽ không nghĩ ra rằng
tam giác không có tính chất đó. Ng ợc lại phải nghĩ rằng tam giác ắt phải có tính
chất tổng quát hơn, mà nó nhận định lí Pitago làm một tr ờng hợp đặc biệt. Điều
này, giúp học sinh phát hiện ra vấn đề và học tập một cách chủ động, sáng tạo và
tích cực, tự giác hơn để phát hiện ra cái mới. Đồng thời nó cũng góp phần làm phát
triển t duy biện chứng cho học sinh khi học toán.
c. Tính toàn diện, sự liên hệ t ơng hỗ và phụ thuộc lẫn nhau của các khái niệm
và các quan hệ
Khi ta xem xét một sự vật, ta phải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính
phức tạp của nó, đặt nó trong mối quan hệ với các sự vật khác. Tuân thủ theo
nguyên tắc này, giáo viên sẽ giúp học sinh tránh đ ợc những sai lầm của cách xem
xét chủ quan, phiến diện, một chiều. Giúp học sinh có cách nhìn biện chứng hơn,
góp phần bồi d ỡng t duy biện chứng cho các em.
Ví dụ 1. Vectơ và các phép toán trên vectơ.
Khi giáo viên dạy khái niệm vectơ cho học sinh, giáo viên có thể nói cho các
em biết: trong thực tế cuộc sống, có những đại l ợng có h ớng cần đ ợc biểu diễn,
ví dụ nh vận tốc, gia tốc, lực, Chính từ yêu cầu đó, khái niệm vectơ ra đời.
Khi đã có khái niệm vectơ, ng ời giáo viên đặt ra vấn đề: Ta đã có khái niệm
hai số bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau Vậy liệu có khái niệm hai vectơ
bằng nhau hay không? Và nếu có thì đ ợc định nghĩa nh thế nào?
Qua đó, giáo viên đã làm cho học sinh thấy đ ợc mối liên hệ liên môn trong
nhà tr ờng phổ thông. Nhất là giữa vật lí và toán học, để các em thấy đ ợc rằng
toán học có mối quan hệ chặt chẽ với các môn học khác trong nhà tr ờng.
Ví dụ . Dạy học phép dời hình.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

10


Phép tịnh tiến đ ợc định nghĩa: Phép đặt t ơng ứng với mỗi điểm M một
điểm M sao cho
'
MMv
=
uuuuurr
(
v
r
là vectơ cố định) gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
.
Sau khi đã nêu định nghĩa phép tịnh tiến, trong khi tiến hành tổ chức hoạt
động thể hiện, nhận dạng và củng cố khái niệm cho học sinh, giáo viên cần
cho học sinh thấy đ ợc cái hay của phép tịnh tiến, và thấy đ ợc mối quan hệ giữa
các giả thiết trong bài toán với phép tịnh tiến. Giáo viên có thể đ a ra một số ví dụ
sử dụng phép tịnh tiến khá điển hình.
Bài toán. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đ ờng tròn tâm O và có hai điểm B, C cố
định, còn điểm A chạy trên (O). Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.
Giải.
Tr ớc hết, giáo viên yêu cầu để cho học sinh xác định rõ đâu là yếu tố cố
định, đâu là yếu tố thay đổi trong bài toán trên.
Cụ thể, dễ thấy hai điểm B, C là cố định, còn A thay đổi. Đồng thời H là trực
tâm của tam giác nên
AHBC

^
, mà BC không đổi nên ph ơng của AH cũng
không thay đổi.
Từ những yếu tố cố định đã cho là đ ờng tròn tâm O, hai điểm B, C, ta có
thể tạo thêm những yếu tố cố định khác. Ví dụ nh điểm xuyên tâm đối của B, C.
Gọi B là điểm xuyên tâm đối của B. Khi đó B cũng là điểm cố định. Ta có:
'
'
BCBC
AHBC
AHBC
^
ỡ
ị
ớ
^
ợ
P
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


11



'
'
BAAB
BACH
CHAB

^
ỡ
ị
ớ
^
ợ
P
ị
AHCB là hình bình hành
ị
AH
P
BC và AH=BC.
ị
'
AHBC
=
uuuruuuur
với mọi A thay đổi trên (O).
ị
H là ảnh của A qua phép tịnh tiến
BC
uuur
.
Vì A chạy trên (O) nên quỹ tích H là đ ờng tròn (O), ảnh của (O) qua phép
tịnh tiến theo vectơ
BC
uuur
. Từ những định h ớng mà giáo viên đ a ra, sẽ giúp học
sinh thấy đ ợc mối liên hệ: Khi gặp các bài toán mà trong đó vectơ nối tạo ảnh và

ảnh có ph ơng không đổi thì ta nghĩ ngay đến phép tịnh tiến.
Bên cạnh đó, bằng các ví dụ cụ thể, dần dần giáo viên giúp cho học sinh hình
thành cách nhìn biện chứng, nhìn sự vật luôn để nó vào trong mối quan hệ phụ
thuộc với các sự vật khác. Từ đó nhìn nhận rõ vấn đề và giải quyết vấn đề rõ ràng
hơn.
Nh vậy, trong quá trình dạy học toán, nhất là các khái niệm toán học, nếu
giáo viên nắm đ ợc các đặc tr ng cơ bản của t duy biện chứng thì có thể có đ ợc
nhiều biện pháp định h ớng: Muốn bồi d ỡng năng lực t duy biện chứng cho các
em thì cần làm những gì, điều này đặc biệt rất quan trọng.
1.2. Bình luận vai trò của t duy biện chứng trong việc dạy học các khái niệm
toán học
Khi dạy học một khái niệm toán học thì quá trình hình thành các khái niệm
ch a kết thúc khi phát biểu đ ợc định nghĩa. Bởi, hình thành đ ợc một khái niệm
cho học sinh bao gồm việc phát biểu đ ợc định nghĩa, củng cố khái niệm và vận
dụng các khái niệm đó vào giải toán.
1.2.1. Vai trò của t duy biện chứng trong hình thành định nghĩa khái niệm
Con đ ờng tiếp cận một khái niệm đ ợc hiểu là quá trình hoạt động và t
duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa t ờng minh, nhờ mô
tả, giải thích hay chỉ thông qua trực giác, ở mức độ nhận biết một đối t ợng hoặc
một tình huống có thuộc về khái niệm đó hay không
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


12


Trong dạy học ng ời ta phân chia 3 con đ ờng tiếp cận khái niệm:
- Con đ ờng quy nap.
- Con đ ờng suy diễn.
- Con đ ờng kiến thiết.

a. Vai trò của t duy biện chứng trong việc hình thành khái niệm bằng con
đ ờng quy nạp
Theo con đ ờng quy nạp, xuất phát từ một số đối t ợng riêng lẻ nh vật thật,
mô hình, hình vẽ, ng ời giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu t ợng
hoá và khái quát hoá để tìm ra dấu hiệu đặc tr ng của một khái niệm thể hiện ở
những tr ờng hợp cụ thể này, từ đó dẫn đến một định nghĩa t ờng minh, hay một sự
hiểu biết trực giác về khái niệm đó, tuỳ theo yêu cầu của ch ơng trình.
Nh vậy, ta có thể thấy, tiếp cận khái niệm bằng con đ ờng quy nạp này rất
mang màu sắc t duy biện chứng . Từ những ví dụ cụ thể, từ vật thật, từ mô hình,
hình vẽ, qua hoạt động t duy của học sinh để đi đến một định nghĩa t ờng minh.
Đó chính là sự thể hiện của quy luật từ trực quan sinh động đến t duy trừu t ợng
và từ t duy trừu t ợng đến thực tiễn . Quy luật trên càng đ ợc làm rõ hơn qua qui
trình tiếp cận một khái niệm bằng con đ ờng quy nạp:
B ớc1. Giáo viên đ a ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặc tác
dụng của một loạt các đối t ợng nào đó.
B ớc2. Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh nêu bật những đặc điểm chung
của các đối t ợng đang đ ợc xem xét. Có thể đ a ra đối chiếu một vài đối t ợng
không có đủ các đặc điểm đã nêu.
B ớc3. Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và
các đặc điểm đặc tr ng của khái niệm.
Ví dụ1. Để hình thành khái niệm phép dời hình trong mặt phẳng ( Hình học
10
) có
thể tiến hành nh sau:


PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


13

B ớc1. Giáo viên cho học sinh nêu lại khái niệm các phép đối xứng trục, đối xứng
tâm và phép tịnh tiến, cùng những tính chất của các phép đó.
B ớc2. Với mỗi phép trong 3 phép trên, ứng với mỗi điểm M, ta đều có thể chỉ ra
một điểm M hoàn toàn xác định. Và nếu có 2 điểm M, N thì t ơng ứng ta sẽ có
M, N và MN = MN.
Giáo viên dẫn dắt cho học sinh phân tích, so sánh các tr ờng hợp trên để rút
ra tính chất chung cho cả 3 phép đó.
B ớc3. Trên cơ sở nhận xét đã đạt đ ợc ở (b ớc 2), giáo viên gợi ý cho học sinh
phát biểu đ ợc định nghĩa: Phép dời hình là một quy tắc để với mỗi điểm M có thể
xác định đ ợc một điểm M (gọi là t ơng ứng với M) sao cho nếu hai điểm M và
N t ơng ứng với hai điểm M và N thì MN = MN.
Ví dụ 2. Để hình thành khái niệm cấp số nhân (Đại số và Giải tích 11), ta có thể tiến
hành nh sau:
B ớc 1. Cho các dãy số:
1,2,4,8,16. (1)

và
111
1,,,, (2)
3927
.
B ớc 2. Giáo viên yêu cầu học sinh có nhận xét gì về mỗi dãy số, mối quan hệ giữa
các số hạng trong từng dãy số? Học sinh sẽ nêu lên đ ợc:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


14

Dãy (1) : - Là dãy hữu hạn, tăng.
- số sau gấp hai lần số liền tr ớc nó.
Dãy (2): - là dãy số vô hạn, giảm.
- số sau gấp
1
3
lần số liền tr ớc nó.
Giáo viên yêu cầu học sinh rút ra đặc điểm chung của cả hai dãy số trên: Mỗi
số hạng đứng sau bằng tích của số hạng đứng tr ớc với một số không đổi.
B ớc 3. Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa cấp số nhân: Cấp số nhân
là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều
là tích của số hạng đứng ngay tr ớc nó với một số không đổi, gọi là công bội.
Nhận xét. Ví dụ trên cho thấy vai trò quan trọng của t duy biện chứng trong
việc hình thành khái niệm bằng con đ ờng quy nạp. Tính biện chứng là sự tuân theo
quy luật từ trực quan sinh động đến t duy trừu t ợng và t duy biện chứng
đ ợc thể hiện ở các hoạt động tìm mối liên hệ, phân tích, so sánh, xem xét và khái
quát hoá để tìm đ ợc đặc điểm chung của hai dãy số, từ đó đi đến định nghĩa.
b. Vai trò của t duy biện chứng trong việc hình thành khái niệm bằng con
đ ờng suy diễn
Con đ ờng thứ hai để hình thành khái niệm cho học sinh là con đ ờng suy
diễn, trong đó việc định nghĩa khái niệm mới nh một tr ờng hợp riêng của một
khái niệm mà học sinh đã đ ợc học.
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đ ờng suy diễn th ờng diễn ra
nh sau:
B ớc 1. Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó
một số đặc điểm mà ta quan tâm.
B ớc 2. Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa
nó nhờ vào khái niệm tổng quát hơn, cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ

phận trong khái niệm tổng quát đó.
B ớc 3. Đ a ra ví dụ đơn giản để minh hoạ cho ví dụ vừa đ ợc định nghĩa.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


15


Ví dụ. Để hình thành khái niệm bình ph ơng vô h ớng của véc tơ
a
r
, ta có thể tiến
hành nh sau:
B ớc 1. Giáo viên nhắc lại tích vô h ớng của hai véc tơ
a
r
và
b
r
:
.(,)
ababcosab
=
rrrrrr

Nếu trong công thức trên, thay
b
r
bởi
a

r
thì ta có đ ợc điều gì? Đến đây học
sinh sẽ tự rút ra đ ợc
2
2
.
aaaa
==
rrrr
.
B ớc 2. Giáo viên nêu định nghĩa bình ph ơng vô h ớng của véc tơ
a
r
: Tích vô
h ớng của véc tơ
a
r
với chính nó gọi là bình ph ơng vô h ớng của véc tơ
a
r
và kí
hiệu là
2
a
r
.
B ớc 3. Giáo viên đ a ra vài ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa đ ợc
định nghĩa.
Nhận xét. Từ ví dụ trên, ta thấy đ ợc tính chất biện chứng trong việc hình thành
khái niệm bằng con đ ờng suy diễn, đó chính là sự tuân theo quy luật từ trực quan

sinh động đến t duy trừu t ợng , từ t duy trừu t ợng đến thực tiễn. Hơn nữa, tính
biện chứng thể hiện rõ nét ở sự suy diễn, tổng kết và đặt các sự vật vào trong mối
liên hệ phụ thuộc lẫn nhau, cũng nh luôn đặt trong trạng thái vận động.
c. Vai trò của t duy biện chứng trong việc hình thành khái niệm bằng con
đ ờng kiến thiết
Con đ ờng này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn yếu tố suy diễn. Yếu tố
suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát để xây dựng một hay
nhiều đối t ợng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy nạp thể hiện ở
chỗ khái quát hoá quá trình xây dựng những đối t ợng đại diện riêng lẻ, đi đến đặc
điểm tổng quát đặc tr ng cho khái niệm cần định nghĩa.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đ ờng kiến thiết th ờng diễn ra nh sau:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


16


B ớc 1. Xây dựng một hay nhiều đối t ợng đại diện cho khái niệm cần đ ợc hình
thành, h ớng vào những yêu cầu tổng quát nhất định, xuất phát từ nội bộ toán học
hay từ thực tiễn.
B ớc 2. Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối t ợng đại diện, đi tới những
đặc điểm đặc tr ng cho khái niệm cần hình thành.
B ớc 3. Phát biểu định nghĩa đ ợc gợi ý do kết quả từ b ớc 2.
Ví dụ. Khái niệm cộng hai vectơ (Hình học 10).
Đây là một khái niệm mới mà ta không sử dụng con đ ờng quy nạp để tiếp
cận đ ợc, bởi ch a hình thành đ ợc ngoại diên khái niệm.
Mặt khác, giáo viên cũng không sử dụng con đ ờng suy diễn để tiếp cận khái
niệm này, bởi ch a phát hiện đ ợc một khái niệm loại nào để xuất phát. Vì vậy
con đ ờng kiến thiết là con đ ờng thích hợp nhất để hình thành khái niệm này.
Để hình thành khái niệm cộng hai vectơ, ta có thể tiến hành nh sau:

B ớc 1. Xét ba lực cùng đặt từ điểm A của một vật rắn có độ lớn bằng nhau, và đôi
một tạo với nhau cùng một góc bằng
0
120
. Chúng đ ợc biểu diễn bởi các vectơ:
,,
ABACAD
uuuruuuruuur
, thuộc một mặt phẳng, lần l ợt bằng
123
,,
FFF
uuruuruur
.
Yêu cầu học sinh giải thích khi đó tại sao vật đứng yên?
Hiện t ợng trên giống nh khi neo một con thuyền, chịu ảnh h ởng sức đẩy
của dòng n ớc
1
F
uur
, sức gió thổi
2
F
uur
và sức căng dây neo
3
F
uur
. Giải thích vì sao thuyền
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

17


đứng yên không chuyển động?Yêu cầu học sinh phân tích, so sánh và giải thích?
Chẳng hạn tr ờng hợp con thuyền, nó đứng yên vì hợp của hai lực
1
F
uur
,
2
F
uur
là một lực
trùng với
3
F
uur
. Nghĩa là nếu
124
FFF
+=
uuruuruur
, biểu thị bởi vectơ
AE
uuur
thì
3
F

uur
và
4
F
uur
là
ng ợc h ớng và có cùng độ dài
34
FF
=
uuruur
. Khi đó các điểm D, A, E thẳng hàng.





Do góc
à
à
à
,A,
BD
đều bằng
120
o
và D, A, E thẳng hàng nên góc BAE =
60
o
. Mặt

khác, tam giác BAE cân, do AE =
31
FF
=
uuruur
=AB
ị
tam giác BAE đều.
Lập luận t ơng tự ta có tam giác EAC là tam giác đều, và từ đó suy ra ABEC
là hình bình hành. Vậy
2
FACBE
==
uuruuuruuur
.
Khi đó ng ời ta nói rằng:
124
(1)
FFABBEAEF+=+==
uuruuruuuruuuruuuruur

Nhận xét. Nếu thay điểm đặt A của ba lực
123
,,
FFF
uuruuruur
, giữ nguyên h ớng và độ lớn,
khi đó ta hình dung:
1
''

ABFAB
==
uuuruuruuuur

(A là điểm khác A thuộc vật rắn xét ở trên).
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


18


2
''
ACFAC
==
uuuuruuruuur

3
''
ACFAD
==
uuuuruuruuur

''
AEAE
=
uuuuruuur

là hợp của hai lực trên.
Bằng lập luận t ơng tự ta cũng có:

''
BEBE
=
uuuuruuur
, và từ đó ta có:
124
'''''' (2)
FFABBEAEAEF+=+===
uuruuruuuuruuuuruuuuruuuruur

Từ các hệ thức (1) và (2), ta có nhận xét: Tổng của hai lực
12
FF
+
uuruur
là một lực
4
F
uur
không phụ thuộc vào vị trí của điểm đặt, chỉ phụ thuộc vào độ lớn và h ớng của
chúng.
B ớc 2. Tổng quát tình huống trên, cho hai vectơ
a
r
,
b
r
bất kì trong mặt phẳng, làm
thế nào để xác định tổng
ab

+
rr
.Yêu cầu học sinh nhận xét dẫn tới: Đặt từ điểm A
vectơ
ABa
=
uuurr
, tiếp đó đặt từ điểm B vectơ
BCb
=
uuurr
, khi đó vectơ
AC
uuur
là tổng của hai
vectơ
a
r
và
b
r
và viết:
AC
uuur
=
ab
+
rr
.
Học sinh cần nhận xét

ab
+
rr
không phụ thuộc vào việc chọn điểm A.
B ớc 3. Từ những gợi ý ở b ớc 2, giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu chính xác
định nghĩa tổng của hai vectơ.
Nhận xét. Con đ ờng kiến thiết thuận lợi cho việc khơi hoạt động tự giác, tích cực
của học sinh và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình hình
thành khái niệm. Hơn nữa, bởi con đ ờng này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn
suy diễn nên quy luật biện chứng từ trực quan sinh động đến t duy trừu t ợng, từ
t duy trừu t ợng đến thực tiễn đ ợc tuân thủ triệt để. Chính điều đó rất kích thích
sự phát triển t duy biện chứng cho học sinh.
1.2.2. T duy biện chứng trong các hoạt động củng cố khái niệm
a. T duy biện chứng trong nhận dạng và thể hiện khái niệm
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


19


Nhận dạng và thể hiện khái niệm (nhờ một định nghĩa t ờng minh hay ẩn
tàng) là hai hoạt động theo chiều h ớng trái ng ợc nhau, có tác dụng củng cố khái
niệm, tạo tiền đề cho việc vận dụng khái niệm vào giải toán. Hơn thế nữa, nhận
dạng một khái niệm là hoạt động để từ cái riêng đến cái chung, từ cái cụ thể đến
cái trừu t ợng, tức là xem xét một lớp đối t ợng với những đặc điểm đó có thoả
mãn định nghĩa của một khái niệm nào đó hay không. Đi ng ợc lại với hoạt động
này là thể hiện khái niệm. Đây là hoạt động đi từ cái chung đến cái riêng, từ cái
trừu t ợng đến cái cụ thể, tức là chỉ ra đ ợc những đặc điểm thuộc tính của một
khái niệm qua định nghĩa của nó, từ đó, tạo ra đ ợc những đối t ợng thoả mãn định
nghĩa của khái niệm. Nh thế hoạt động thể hiện và nhận dạng một khái niệm có

tác dụng bồi d ỡng t duy đi từ cái chung đến cái riêng, cái trừu t ợng đến cái cụ
thể, và ng ợc lại cho học sinh.
Vì vậy, nhằm phát triển t duy biện chứng cho học sinh, khi dạy khái niệm,
giáo viên cần tập cho học sinh phân tích các thuộc tính bản chất, để từ đó tổng hợp
lại, nhận biết và phân biệt với các khái niệm khác hay để tìm ra mối liên hệ giữa
các khái niệm gần gũi nhau.
Ví dụ. Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm hai vectơ bằng nhau.
Cho các hình vẽ sau:
1. Xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và giải thích?
a.
AEEB
=
uuuruuur
.
b.
AEFC
=
uuuruuur
.
2. Trên hình vẽ (b), các cặp vectơ sau bằng nhau, đúng hay sai và giải thích tại sao?
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


20


a.
MQNP
=
uuuuruuur

.
b.
MNQP
=
uuuuruuur
.
c.
PQMN
=
uuuruuuur
.
3. Trên hình vẽ (a), hãy xác định điểm I sao cho bộ ba vectơ
EF
uuur
,
BI
uur
,
IC
uur
thoả mãn:
Hai vectơ bất kì trong bộ đó bằng nhau?
Giải.
1. a.
?
AEEB
=
uuuruuur

Để xem xét mệnh đề này có đúng hay không, học sinh cần đối chiếu với khái niệm

hai vectơ bằng nhau, xem hai vectơ
AE
uuur
và
EB
uuur
có thoả mãn định nghĩa hay không.
Khi đó sẽ thấy
AEEB
=
uuuruuur
bởi vì:
+
AE
uuur
và
EB
uuur
có cùng h ớng.
+ AE = EB, do E là trung điểm của AB, hay
AE
uuur
và
EB
uuur
có cùng độ dài.
b.
?
AEFC
=

uuuruuur
Mệnh đề này sai. Vì đối chiếu với khái niệm hai vectơ bằng nhau thì
hai vectơ này không thoả mãn.
2. T ơng tự, học sinh muốn biết các mệnh đề:
MQNP
=
uuuuruuur
,
MNQP
=
uuuuruuur
,
PQMN
=
uuuruuuur
,
mệnh đề nào đúng, thì các em phải xem xét các cặp vectơ ấy có thoả mãn định
nghĩa hai vectơ bằng nhau hay không.
Hoạt động trên chính là hoạt động nhận dạng hai vectơ bằng nhau.
3. Xác định đ ợc điểm I sao cho
EF
uuur
,
BI
uur
,
IC
uur
bằng nhau chính là hoạt động thể
hiện khái niệm hai vectơ bằng nhau, tức là tạo ra các đối t ợng thoả mãn định

nghĩa. Khi đó, các em sẽ thấy
EF
uuur
=
BI
uur
=
IC
uur
nếu chúng có cùng h ớng và cùng độ
dài với nhau. Do
EFBC
P
nên để
EF
uuur
và
BI
uur
có cùng h ớng thì I phải nằm trên
đ ờng thẳng BC và I nằm về phía phải của điểm B. Đồng thời vì EF là đ ờng trung
bình nên
1
2
EFBC
= . Vì vậy để
EF
uuur
và
BI

uur
có cùng độ dài thì EF = BI. Khi đó I
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


21


chính là trung điểm BC. Kiểm tra lại ta cũng sẽ thấy với điểm I đó ta cũng có:
EF
uuur
=
IC
uur
và
BI
uur
=
IC
uur
.
Vậy điểm I cần tìm là trung điểm của BC.
ở mức độ cao hơn, giáo viên có thể yêu cầu học sinh thể hiện và biết so sánh các
khái niệm gần gũi nhau, nh hai vectơ cùng ph ơng, cùng h ớng trên tập hợp các vectơ.
Đặc biệt, cần chú trọng để học sinh có thể tìm các ví dụ lấy trong thực tế, trong vật lí các
đại l ợng vectơ thoả mãn định nghĩa hai vectơ cùng ph ơng, cùng h ớng, khác h ớng và
bằng nhau của hai vectơ. Các ví dụ lấy trong vật lí để thể hiện khái niệm hai vectơ bằng
nhau, hoặc hai vectơ có độ lớn bằng nhau mà ng ợc chiều có thể là các tình huống:
- Một vật treo bằng sợi dây trên xà ngang, thì dây treo có các vectơ lực: Trọng lực
P

ur
và sức căng sợi dây
T
ur
cùng ph ơng, có cùng độ lớn nh ng ng ợc h ớng.
- Hai vật có khối l ợng nh nhau treo theo ph ơng thẳng đứng có trọng lực
1
P
ur
,
2
P
uur

có cùng độ lớn, cùng ph ơng, cùng h ớng và bằng nhau.
b. T duy biện chứng trong hoạt động ngôn ngữ
Khi dạy học khái niệm, giáo viên cho học sinh thực hiện những hoạt động
ngôn ngữ d ới đây sẽ vừa có tác dụng củng cố khái niệm, vừa góp phần phát triển
ngôn ngữ cho học sinh:
- Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình một cách chính xác, rõ ràng , ngắn
gọn. Biết diễn đạt định nghĩa d ới những dạng ngôn ngữ khác nhau, ví dụ nh
chuyển ngôn ngữ từ nói sang viết, sang kí hiệu toán học, hoặc chuyển ngôn ngữ từ
hình học tổng hợp sang vectơ hoặc sang biến hình hay toạ độ
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


22


- Phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa một cách t ờng

minh hay ẩn tàng, để từ đó có thể phát biểu định nghĩa bằng nhiều cách t ơng
đ ơng.
Ví dụ 1. Trong hình học tổng hợp ta nói G là trọng tâm của tam giác ABC, thì sang
ngôn ngữ véc tơ, ta có thể biểu diễn điều đó d ới dạng :
0
GAGBGC
++=
uuuruuuruuurr
.
Ví dụ 2. Khái niệm tứ diện gần đều, ta có thể phát biểu bằng nhiều cách:
- Tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau.
- Tứ diện có tổng các góc phẳng ở đỉnh là
180
o
.
- Tứ diện có các mặt là các tam giác bằng nhau.
- Tứ diện có các đ ờng vuông góc chung của hai cạnh đối diện đi qua trung điểm
hai cạnh ấy.
Nhận xét. Qua các hoạt động ngôn ngữ nh đã nêu trên trong dạy học khái niệm,
giáo viên đã góp phần phát triển và rèn luyện năng lực trí tuệ cho học sinh, giúp các
em linh hoạt trong việc nhìn nhận một khái niệm và đặt khái niệm đó trong mối liên
hệ với các khái niệm có liên quan. Từ đó sẽ tăng khả năng ứng dụng của khái niệm
và giúp các em phát triển t duy biện chứng tốt hơn.
c. T duy biện chứng trong các hoạt động: Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ
thống hoá
Trong dạy học khái niệm, giáo viên còn cần thiết và có thể thực hiện nhiều
hoạt động khác nữa (ngoài các hoạt động đã nêu trên), tr ớc hết là:
- Khái quát hoá, tức là mở rộng khái niệm. Chẳng hạn, khi học khái niệm cộng hai
vectơ, ở ví dụ mục c, trong hình bình hành ABEC, ta có:
ABACAE

+=
uuuruuuruuur
. Từ đó,
khái quát lên cho mọi hình bình hành.
- Đặc biệt hoá, là xét một tr ờng hợp cụ thể nằm trong cái tổng quát. Nó th ờng
đ ợc sử dụng trong tr ờng hợp định nghĩa một khái niệm mới từ khái niệm đã biết,
(tr ờng hợp hình thành khái niệm bằng con đ ờng suy diễn).
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


23


Ví dụ. xét những hình bình hành đặc biệt với một góc vuông, ta đ ợc hình chữ
nhật, hoặc hai cạnh liên tiếp bằng nhau ta đ ợc hình thoi.
- Hệ thống hoá, chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã
học, nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau trong một hệ thống
khái niệm, đặc biệt chú ý quan hệ chủng - loại của hai khái niệm.
Nhận xét. Những hoạt động trên là những hoạt động trí tuệ, giúp học sinh phát huy
tính sáng tạo và linh hoạt hơn trong việc nhìn nhận các đối t ợng, hiện t ợng d ới
nhiều góc độ khác nhau trong sự vận động và phát triển của chúng.
1.2.3. Vai trò của t duy biện chứng trong vận dụng khái niệm
a. Vai trò của t duy biện chứng trong khai thác và ứng dụng khái niệm vào
dạy học định lí
Ví dụ. Dạy học định lí cosin trong tam giác.
hoạt động gợi động cơ nhằm phát hiện định lí:
Từ cấp II, học sinh đã học và chứng minh định lí Pitago bằng hình học tổng
hợp. Lên lớp 10, học sinh đã học khái niệm vectơ và các phép toán trên vectơ.
Tr ớc hết để gợi động cơ ban đầu cho học sinh phát hiện định lí cosin, ta yêu cầu
học sinh chứng minh lại định lí Pitago bằng cách sử dụng vectơ.

Khi đó học sinh sẽ chứng minh:
2
222
()
aBCBCACAB
===-
uuuruuuruuur


22
2
ACABACAB
=+-
uuuruuuruuuruuur


22
0
ACAB
=+-

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


24



22
bc

=+
.
Nh vậy, định lí Pitago đã đ ợc chứng minh bằng công cụ vectơ. Đến đây,
giáo viên yêu cầu học sinh nghiên cứu cách chứng trên để tìm ra hệ thức tổng quát
hơn cho tam giác th ờng. Khi đó nếu t duy biện chứng của học sinh đã khá, ắt
hẳn học sinh sẽ nhìn nhận đ ợc mối liên hệ giữa tam giác vuông và tam giác th ờng
và nhìn nhận đ ợc trong phép chứng minh ở trên, vì nhờ có giả thiết góc A =
90
o
nên
.0
ABAC
=
uuuruuur
. Vậy trong tam giác th ờng thì sao?
từ đó, học sinh sẽ khám phá ra đ ợc trong tam giác th ờng:
222
2cos
abcbcA
=+-
.
đó chính là nội dung của định lí cosin trong tam giác.
Nhận xét. Dạy học một khái niệm mới rất có ý nghĩa trong việc nâng cao kiến thức
và tầm hiểu biết. Đồng thời giúp học sinh biết vận dụng khái niệm để tiếp cận và
phát hiện định lí mới chính là đã giúp cho các em biết nhìn nhận mối quan hệ giữa
các sự vật hiện t ợng-là một đặc tr ng của t duy biện chứng.
b. Vai trò của t duy biện chứng trong việc khai thác và ứng dụng khái niệm
vào dạy học giải bài tập toán
Trong dạy học giải bài tập toán, khi giáo viên đ a ra một số bài toán cho học
sinh tìm tòi lời giải,các em sẽ suy nghĩ đến giả thiết của bài toán, các dữ kiện cho

trong giả thiết, cùng những mối liên hệ giữa các dữ kiện với nhau. Bên cạnh đó,
bằng sự suy luận một cách logic và tính biện chứng trong nhìn nhận vấn đề, các em
có thể tạo thêm đ ợc những mối liên hệ mới, đồng thời tạo ra những yếu tố thoả
mãn định nghĩa Từ đó, các em tìm ra mấu chốt của vấn đề, tìm ra đ ợc chìa khoá
để mở ra h ớng giải quyết.
Ví dụ. Khi học sinh đã tiếp cận đ ợc khái niệm phép đồng dạng, giáo viên cần tiến
hành các hoạt động thể hiện, nhận dạng nhằm củng cố khái niệm qua việc giải các
bài tập toán.
- ứng dụng phép đồng dạng trong bài toán chứng minh
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


25


Ví dụ. Trên cạnh AB của tam giác ABC, lấy các điểm M, N sao cho AM = MN =
NB. Các điểm A
1
, B
1
lần l ợt là trung điểm các cạnh BC và AC. BB
1
I
CN =P;
AA
1
I
CM=K. Chứng minh rằng PK
P
BA.

Giải.Giả sử O là trọng tâm của tam giác ABC (hình vẽ). MB
1
P
NC (đ ờng trung
bình của tam giác ANC). Từ đó :

BP=PB
1
. Ta có :
11
12
23
OPBPBOBBBB
=-=-
uuuruuuruuuruuuruuur


1
11
64
BBOB
=-=
uuuruuur
.
T ơng tự, ta có:
1
4
OKOA
=
uuuruuur

. Nghĩa là
1
(;):
4
VOBP
a ;
AK
a
. Từ đó
BAPK
P
.
- ứng dụng của phép đồng dạng trong bài toán quỹ tích
Ví dụ. Cho tam giác ABC. Qua điểm M thuộc cạnh AB, vẽ các đ ờng thẳng song
song với các đ ờng trung tuyến AA
1
, BB
1
t ơng ứng cắt BC và CA tại các điểm P,
Q. Hãy tìm quỹ tích các điểm S sao cho MPSQ là hình bình hành.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com