slide bài giảng lý thuyết xác suất – thống kê toán lý thuyết mẫu

Chương 6
LÝ THUYẾT MẪU

§1. TỔNG THỂ - MẪU
Tổng thể là tập hợp các phần tử
mà mỗi phần tử này có mang
thông tin về một dấu hiệu H nào
đó mà chúng ta cần nghiên cứu.
Số lượng phần tử của tổng thể
được gọi là kích thước của tổng
thể.
§1. TỔNG THỂ - MẪU
Tổng thể có thể là

Tập hợp các hộ gia đình sống trong
một một địa phương nào đó.

Tập hợp các sinh viên của một trường
đại học.

Tập hợp các sản phẩm của một công
ty.

Tập hợp các cổ phiếu được mua bán
trên một thị trường chứng khoán.
. . .
§1. TỔNG THỂ - MẪU

Phương pháp nghiên cứu
toàn bộ phần tử của tổng thể
thường chỉ áp dụng cho các

tập hợp không có nhiều phần
tử, có thể biết đầy đủ thông
tin về mọi phần tử của tổng
thể.
§1. TỔNG THỂ - MẪU

Có thể vì số phần tử của tổng thể quá
lớn (có khi là vô hạn), hoặc việc nghiên
cứu mọi phần tử của tổng thể tốn nhiều
thời gian, chi phí, …, cũng có thể việc
nghiên cứu gây ảnh hưởng nhất định
đến phần tử Nói chung vì lý do nào đó
mà ta không thể hoặc không cần phải
khảo sát dấu hiệu H trên mọi phần tử
của tổng thể. Khi đó người ta dùng
phương pháp nghiên cứu mẫu
.
§1. TỔNG THỂ - MẪU
Từ tổng thể ta chọn ra n
phần tử mà ta gọi là
mẫu

kích thước n
, nghiên cứu
dấu hiệu H trên các phần tử
của mẫu, rồi bằng phương
pháp khoa học ta rút ra kết
luận cần thiết cho tổng thể.
PHÉP CHỌN LẶP-
PHÉP CHỌN KHÔNG LẶP

Ví dụ Một lô hàng có 100 sản phẩm trong
đó có 75 sản phẩm tốt.

Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại (không
lặp) 20 sản phẩm từ lô hàng. Tính xác
suất để trong 20 sản phẩm được chọn
có 15 sản phẩm tốt.

Xác suất cần tìm là
15 5
75 25
1
20
100
C C
p 0,226
C
= =
PHÉP CHỌN LẶP-
PHÉP CHỌN KHÔNG LẶP

Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại
(chọn lặp) 20 sản phẩm từ lô
hàng. Tính xác suất để trong 20
sản phẩm được chọn có 15 sản
phẩm tốt.

Xác suất cần tìm là
15 15 5
2 20

p C .(0,75) .(0,25) 0,202
= =
§2. MÔ TẢ TỔNG THỂ
THEO DẤU HIỆU H

Mô tả bằng bảng phân phối tần số
Trong đó x
1
, x
2
, …, x
k
là giá trị của dấu
hiệu H được đo lường trên các phần tử.
N
i
là số phần tử của tổng thể có chung
giá trị x
i
Ta có: 0 < N
i
< N và
k
i
i 1
N N
=
=
∑
Giá trị của H

x
1
x
2
….
x
k
Tần số
N
1
N
2
….
N
k
§2. MÔ TẢ TỔNG THỂ
THEO DẤU HIỆU H

Mô tả bằng bảng phân phối tần
suất
Trong đó
, ta có
i
k
i
i 1
0 p 1 i
p 1
=
< < ∀




=


∑
Giá trị của H
x
1
x
2
….
x
k
Tần suất
p
1
p
2
….
p
k
i
i
N
p
N
=
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA

TỔNG THỂ
• Trung bình của tổng thể

Trường hợp có N
i
phần tử của
tổng thể có chung giá trị x
i

1 2 N
1
(x x x )
N
µ = + + +
k
i i
i 1
1
N x
N
=
µ =
∑
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA
TỔNG THỂ
Ví dụ Ta khảo sát thu nhập trong một
tháng của các nhân viên làm việc ở
một công ty. Ở đây, ta có tổng thể
là tập hợp các nhân viên làm việc ở
công ty này với N = 600

Thu nhập
(triệu đồng/tháng)
3 3,5 4 5 6 10
Số người có cùng thu
nhập
48 100 150 200 60 42
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA
TỔNG THỂ
Thu nhập trung bình (triệu
đồng/tháng) của nhân viên làm
việc trong công ty này
= 4,79
(triệu đồng/tháng)
48 100 150 200 60 42
μ = 3× + 3,5× + 4× + 5× + 6× +10×
600 600 600 600 600 600
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA
TỔNG THỂ
• Phương sai của tổng thể

Trường hợp có N
i
phần tử của tổng
thể có chung giá trị x
i

2 2 2 2
1 2 N
1
σ = (x -μ) + (x -μ) + + (x -μ)

N
 
 
k
2 2
i i
i 1
1
N (x )
N
=
σ = −µ
∑
§3. MẪU NGẪU NHIÊN
CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ
CỦA MẪU
1. MẪU NGẪU NHIÊN
2. ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ
3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC BIỆT,
THÔNG DỤNG CỦA MẪU
1. MẪU NGẪU NHIÊN
Định nghĩa

n đại lượng ngẫu nhiên X
1
, X
2
…, X
n
độc lập

và có cùng quy luật phân phối xác suất với
đại lượng ngẩu nhiên X được gọi là
mẫu
ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ
X.

Ta ký hiệu mẫu ngẫu nhiên kích thước n là
(X
1
, X
2
, …, X
n
)

Khi phép thử được thực hiện với kết cục là
X
i
nhận giá trị x
i
(i = 1, 2, …, n) ta nói (x
1
,
x
2
, …, x
n
) là một
mẫu cụ thể kích thước n.
1. MẪU NGẪU NHIÊN

Ví dụ Quan sát một khu đô thị mới có
nhiều hộ gia đình sống ở đó. Biết rằng
20% hộ không có em bé, 30% hộ có
một em bé và 50% hộ có hai em bé.
Chọn ngẫu nhiên một hộ gia đình sống ở
khu đô thị này, gọi X là số em bé trong
hộ đó thì X là đại lượng ngẫu nhiên.
X 0 1 2
P 0,2 0,3 0,5
1. MẪU NGẪU NHIÊN

Ta lập mẫu ngẫu nhiên (X
1
, X
2
) từ X.

X
i
(i = 1, 2) có cùng quy luật phân phối
xác suất với X. Bảng phân phối xác suất
của X
i

Các mẫu cụ thể có thể có là (0; 0), (0; 1),
(0; 2), (1; 0), (1; 1), (1; 2), (2; 0), (2; 1),
(2; 2).
X
i
0 1 2

P 0,2 0,3 0,5
2. ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ
Một hàm số g(X
1
, X
2
, …, X
n
) với
biến là (X
1
, X
2
, …, X
n
) được gọi
là
đại lượng thống kê
(hay
vắn tắt là thống kê)
3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC
BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU
(X
1
, X
2
, …, X
n
) là mẫu ngẫu nhiên
kích thước n được thành lập từ đại

lượng ngẫu nhiên X.
•
Trung bình mẫu
Trung bình mẫu là đại lượng thống
kê, ký hiệu là , xác định như sau:
n
i
i=1
1
X = X
n
∑
3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC
BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU
Giả sử E(X) = và
Theo tính chất của kỳ vọng, ta có:
Theo tính chất của phương sai với chú
ý rằng X
1
, X
2
, …, X
n
độc lập ta có:
2
n n
2
i i
2 2
i 1 i 1

1 1 1
Var(X) Var X Var(X ) .n.
n n n n
= =
 
σ
= = = σ =
 ÷
 
∑ ∑
µ
2
Var(X) =σ
n n
i i
i 1 i 1
1 1 1
E(X) E X E(X ) .n.
n n n
= =
 
= = = µ = µ
 ÷
 
∑ ∑
( )
2
i
Var(X ) Var(X)
= = σ

3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC
BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU
►Chú thích
Ta có
Trong nhiều bài toán thực tế,
thường ta không biết , khi n đủ
lớn người ta dùng một giá trị cụ
thể thay cho .
P
Xμ
→
μ
x
μ
3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC
BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU
• Phương sai mẫu
Phương sai mẫu là đại lượng thống
kê ký hiệu là S
2
, xác định như sau:
Khai triển biểu thức này và qua
biến đổi đơn giản ta cũng có:
( )
n
2
2
i
i=1
1

S = X - X
n -1
∑
( )
n
2
2 2
i
i=1
1
S = X -n X
n -1
 
 
 
∑
3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC
BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU
Tính chất
2 2
E(S ) =σ = Var(X)
3. CÁC ĐẠI LƯỢNG THỐNG KÊ ĐẶC
BIỆT, THÔNG DỤNG CỦA MẪU
►
Chú thích
● Ta có (giả sử
moment trung tâm cấp 4 của X
hữu hạn) Trong nhiều bài toán
thực tế ta không biết , khi n
đủ lớn người ta thường dùng

một giá trị cụ thể thay
cho .
P
2 2
Sσ
→
2
σ
2
s
2
σ