bài tập xác suất thống kê có đáp án chương biến số ngẫu nhiên

BT BIẾN NGẪU NHIÊN
Xác đònh biến ngẫu nhiên.
Bài 1. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
a)
[ ]
[ ]
Ax khi x 0,1
f (x)
0 khi x 0,1

∈

=

∉


b)
[ ]
[ ]
A sin x khi x 0,
f (x)
0 khi x 0,

∈ π

=

∉ π



c)
[ ]
[ ]
1
2
1
2
A cos x khi x 0,
f (x)
0 khi x 0,

π ∈

=

∉


d)
4
1
A khi x 1
f (x)
x
0 khi x 1

≥

=



<

Hãy xác đònh A. Tìm hàm phân phối xác suất của X. Tính
µ
X
,
σ
2
X
, nếu
có.
Bài 2. Tuổi thọ của một loại bóng đèn nào đó là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vò
năm) với hàm mật độ như sau
2
kx (4 x) khi 0 x 4
f (x)
0 khi x [0,4]

− ≤ ≤
=

∉

a) Tìm k và vẽ đồ thò f(x).
b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi.
Bài 3. Trọng lượng của một con vòt 6 tháng tuổi là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn
vò tính là Kg) có hàm mật độ
2
k(x 1) khi 1 x 3

f (x)
0 khi x [1, 3]

− ≤ ≤
=

∉

a) Tìm k.
b) Với k tìm được, tìm
(i) trọng lượng trung bình của vòt 6 tháng tuổi,
(ii) hàm phân phối xác suất của X,
(iii) tỷ lệ vòt chậm lớn, biết vòt 6 tháng tuổi chậm lớn là vòt có trọng
lượng nhỏ hơn 2Kg.
Bài 4. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
2 2
2 2
a cos x khi x ,
f (x)
0 khi x ,
π π
π π

∈ −
 

 
=

∉ −

 

 

a) Tìm a và xác đònh hàm phân phối xác suất F(x) của X.
1
b) Tính xác suất để X nhận giá trò trong khoảng
,
4
π
 
π
 ÷
 
.
Bài 5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối
π

< −


π π

= + − ≤ ≤


π

>



0 khi x ,
2
F(x) a b sin x khi x ,
2 2
1 khi x
2
với a, b là hằng số.
a) Tìm a và b.
b) Với a và b tìm được ở câu a), tính hàm mật độ f(x) của X;
[ ]
Mod x
;
[ ]
Me x
;
P X
4
π
 
>
 
 
.
Vectơ ngẫu nhiên.
Bài 6. Số trẻ em sinh ra trong một tuần ở một làng A nào đó là một đại lượng
ngẫu nhiên có phân bố xác suất là
X 0 1 2 3
P 0,4 0,3 0,2 0,1
Số người chết trong một tuần ở làng A là một đại lượng ngẫu nhiên Y có

phân bố xác suất là
Y 0 1 2 3 4
P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05
Giả sử rằng X và Y độc lập.
a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y.
b) Tính P(X > Y).
Bài 7. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X, Y như sau :
Y
X
4 5
1 0,1 0,06
2 0,3 0,18
3 0,2 0,16
a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của X và Y.
b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện của X và Y.
c) Tính covariance và hệ số tương quan của X và Y.
Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
2
Bài 8. Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất đồng thời
như sau
Y
X
1 2 3
1 0,12 0,15 0,03
2 0,28 0,35 0,07
a) Chứng minh rằng X và Y độc lập.
b) Lập bảng phân phối xác suất của Z = XY. Từ đó tính E(Z) và kiểm tra
rằng
E(Z) E(X)E(Y)=
.

Bài 9. Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời
như sau
Y
X
-1 1
-1
1
6
1
4
0
1
6
1
8
1
1
6
1
8
Hãy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) và
(X, Y)ρ
.
Bài 10. Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời
như sau
Y
X
-1 0 1
-1
4

15
1
15
4
15
0
1
15
2
15
1
15
1 0
2
15
0
a) Tìm
µ
X
,
µ
Y
, cov(X,Y) và
(X, Y)ρ
.
b) X và Y có độc lập không ?
Bài 11. Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi. Trong hộp một có : 1 bi mang số 1, 2
bi mang số 2, 3 bi mang số 3. Trong hộp hai có : 2 bi mang số 1, 3 bi mang số
2, 1 bi mang số 3. Rút từ mỗi hộp 1 bi. Gọi X là số ghi trên bi rút ra từ hộp
một, Y là số ghi trên bi rút ra từ hộp hai.

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của
( )
V X, Y=
.
b) Bảng phân phối xác suất lề của X , Y.
c) Kỳ vọng, phương sai của X , Y.
3
d) Hiệp phương sai, hệ số tương quan.
Bài 12. Tung ba lần độc lập một con xúc xắc. Gọi X là số lần mặt chẵn xuất
hiện và Y là số lần mặt lẻ xuất hiện.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và Y.
b) Tính hệ số tương quan
(X, Y)ρ
. Nhận xét?
ĐÁP ÁN
Bài 1.
a)
=A 2
,
µ =
X
2
3
,
σ =
2
X
0.055
,
( )


≤ ≤

= <


>

2
x khi 0 x 1
F x 0 khi x 0
1 khi x 1
.
b)
=A 0.5
,
π
µ =
X
2
,
π
σ = −
2
2
X
2
4
,
( )

( )

− ≤ ≤ π


= <


> π


1
1 cos x khi 0 x
2
F x 0 khi x 0
1 khi x
.
c)
= πA
,
µ = −
π
X
1 1
2
,
π −
σ =
π
2

X
2
3
,
( )
( )

π ≤ ≤


= <



>

1
sin x khi 0 x
2
F x 0 khi x 0
1
1 khi x
2
.
d)
=A 3
,
µ =
X
3

2
,
σ =
2
X
3
4
,
( )

− ≥

=


<

3
1
1 khi x 1
F x
x
0 khi x 1
.
Bài 2.
a)
=
3
k
64

,
4
1 2 3 4
0.1
0.2
0.3
0.4
.
b)
0.0508
.
Baøi 3.
a)
=
3
k
20
.
b) (i)
µ =
X
2.4
kg.
(ii)
( )

− +
≤ ≤




= <


>



3
x 3x 2
khi 1 x 3
20
F x 0 khi x 1
1 khi x 3
.
(iii)
0.2
.
Baøi 4.
a)
=
1
a
2
,
( )
+ π π

− ≤ ≤



π

= < −


π

>


sin x 1
khi x
2 2 2
F x 0 khi x
2
1 khi x
2
.
b)
0.1465
.
Baøi 5.
a)
=
1
a
2
,
=

1
b
2
.
b)
[ ]
=Mod x 0
,
[ ]
=Me x 0
,
π
 
> =
 
 
P X 0.1465
4
,
( )

π π
 
∈ −

 
  
=

π π

 

∉ −
 

 

1
cos x khi x ,
2 2 2
f x
0 khi x ,
2 2
.
Vectô ngaãu nhieân.
5
Bài 6.
a)
Y
X
0 1 2 3 4
0 0.04 0.12 0.16 0.06 0.02
1 0.03 0.09 0.12 0.04
5
0.015
2 0.02 0.06 0.08 0.03 0.01
3 0.01 0.03 0.04 0.01
5
0.005
b)

0.19
.
Bài 7.
a)
X 1 2 3
P
X
0.16 0.48 0.36
Y 4 5
P
Y
0.6 0.4
b)
Y
X
4 5
1 0.17 0.15
2 0.5 0.45
3 0.33 0.4

X
Y
1 2 3
4 0.62
5
0.62
5
0.56
5 0.37
5

0.37
5
0.44
c)
=cov(X, Y) 0.02
,
ρ =(X, Y) 0.059
.
Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
Bài 8.
b)
Z 1 2 3 4 6
P 0.12 0.43 0.03 0.35 0.07
( )
=E Z 2.89
,
( )
=E X 1.7
,
( )
=E Y 1.7
.
Bài 9.
µ = −
X
1
8
,
µ =
Y

0
,
= −cov(X, Y) 0.125
,
ρ = −(X, Y) 0.1502
.
Bài 10.
a)
µ = −
X
0.467
,
µ =
Y
0
,
=cov(X, Y) 0
,
ρ =(X, Y) 0
.
6
b) X và Y độc lập.
Bài 11.
a)
Y
X
1 2 3
1
2
36

3
36
1
36
2
4
36
6
36
2
36
3
6
36
9
36
3
36
b)
X 1 2 3
P
X
1
36
2
36
3
36
Y 1 2 3
P

Y
2
36
3
36
1
36
c)
µ =
X
2.33
,
µ =
Y
1.83
,
σ =
2
X
0.555
,
σ =
2
Y
0.472
.
d)
=cov(X, Y) 0.0139
,
ρ =(X, Y) 0.027

.
Bài 12.
a)
X 0 1 2 3
P
X
0.125 0.375 0.375 0.125
Y 0 1 2 3
P
Y
0.125 0.375 0.375 0.125
b)
ρ = −(X, Y) 1
, X và Y phụ thuộc chặt, nghòch biến.
7