đề thi và đáp án bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán trung học cơ sở tham khảo (15)

• Ví dụ 8:
a. Rút gọn Biếu thức
62
9124
2
2
−−
++
=
aa
aa
B
Với a
2
3
−≠
b. Thực hiện phép tính:
( )
aaa
a
a
aa
−
+
+
−
+
++
2
2

2
8
:
5,01
25,0
32
(a
≠
±
2.)
Giải:
a.
62
9124
2
2
−−
++
=
aa
aa
B
( )
( )( )
2
32
232
32
2
−

+
=
−+
+
=
a
a
aa
a
b.
( ) ( )
aa
a
a
a
aa
aaa
a
a
aa
−
+
−
+
⋅
+
++
=
−
+

+
−
+
++
2
2
8
2
2
42
2
2
2
8
:
5,01
25,0
3
232
( )
( )
( ) ( )
aaa
a
aa
aaa
aa 1
2
2
2

2
422
42
2
2
=
−
−
=
−
−
++−
++
=
• Ví dụ 9: Thực hiện phép tính:
xyyx
yx
yx
xyyx
A
2
:
22
33
22
22
−+
+
−
−+

=
.( Với x
≠

±
y)
Giải:
( )( )
( )
( )
( )
( )
2
22
2
22
22
33
22
22
2
:
yx
yx
xyyxyx
yx
yxyx
xyyx
xyyx
yx

yx
xyyx
A
+
−
=
−++
−
⋅
+−
−+
=
−+
+
−
−+
=
• Ví dụ 10: Cho biểu thức :
12
1
234
34
+−+−
+++
=
xxxx
xxx
A
.
a. Rút gọn biểu thức A.

b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x .
Giải:
1
1
12
1
2234
34
234
34
+−++−
+++
=
+−+−
+++
=
xxxxx
xxx
xxxx
xxx
A
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )

( )
1
1
11
11
11
11
11
11
2
2
22
2
2
22
3
222
3
+
+
=
++−
+−+
=
++−
++
=
+−++−
+++
=

x
x
xxx
xxx
xxx
xx
xxxxx
xxx
b.
( )
( )
001;01;
1
1
2
2
2
2
≥⇒>+≥+
+
+
= Axx
x
x
A
• Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức :
8765
8765
−−−−
+++

+++
aaaa
aaaa

với a = 2007.
Giải:
( )
( )
1313
23
3213
23
87658
8
123
8765
8765
8765
8765
8765
2007
1
1
11
1111
=⇒=
+++
+++
=
+++

+++
=
+++
+++
=
+++
+++
=
+++
+++
=
−−−−
Ba
aaa
aaaa
aaa
aaaaa
a
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
B
• Ví dụ 12: Tính giá trị biếu thức :
2
2
:
2510

25
223
2
−−
−
+−
−
yy
y
xxx
x
.
Biết x
2
+ 9y
2
- 4xy = 2xy -
3
−
x
.
Giải:
x
2
+ 9y
2
- 4xy = 2xy -
3
−
x

( )
033
2
=−+−⇔ xyx



=
=
⇔



=
=
⇔
1
3
3
3
y
x
x
yx
( )( )
( )
( )( )
2
12
5

55
2
2
:
2510
25
2223
2
−
+−
⋅
−
+−
=
−−
−
+−
−
=
y
yy
xx
xx
yy
y
xxx
x
C
( )( )
( ) ( )

3
8
2.3
2.8
5
15
−=
−
=
−
++
=
xx
yx
Bài tập:
11. Chứng minh rằng Biếu thức
P =
( )
( )
( )
( )
11
11
222
222
++−−
++++
xaaax
xaaax
không phụ thuộc vào x.

12. Cho biểu thức M =
82
63422
2
2345
−+
+−−+−
xx
xxxxx
.
a. Tìm tập xác định của M.
b. Tính giá trị của x để M = 0.
c. Rút gọn M.
15. Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng :
( )( ) ( )( ) ( )( )
accbbabcac
ba
cbab
ac
caba
cb
−
+
−
+
−
=
−−
−
+

−−
−
+
−−
−
222
16. Cho biểu thức : B =
10999
10
234
−+−+
+
xxxx
x
a. Rút gọn B
b. Chứng minh rằng : n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+ n
4


16 với n
∈
Z

a. Rút gọn biểu thức :
9
9
632
6
632
32
2
2
−
+
−
+++
−
−
−−+
+
=
x
x
yxxy
xy
yxxy
yx
A
với x
≠
-3; x
≠
3; y

≠
-2.
b. Cho Biếu thức : A =
32
2
2
2
2
3
:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x
−
−









+
−
−
−
−
−
+
.
a. Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm giá trị của x để A > 0.
c. Tìm giá trị của A trong trường hợp
47
=−
x
.
19. a.Thực hiện phép tính:
a.A =
16842
1
16
1
8
1
4
1
2

1
1
1
1
xxxx
xx
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
.
b. Rút gọn C =
2
2
22
22
9
9
1
9
1
9
1

9
1
a
a
aa
aa
+
−
+
+
−
+
−
−
.
20. Cho a,b,c là 3 số
≠
nhau đôi một.
Tính S =
( )( ) ( )( ) ( )( )
bacb
ac
acba
bc
accb
ab
−−
+
−−
+

−−
.
21. Tính giá trị của biểu thức :
3
3
5
3
2
−
+
−
+
−
−
ba
ab
ba
ba
biết:
09&05310
2222
≠−=−−
baabba
22. Cho a + b + c = 1 và
1
222
=++
cba
.
a. Nếu

c
z
b
y
a
x
==
. Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0.
b.Nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tính giá trị của a,b,c
23. Bài 11: Cho Biếu thức :
13
5
13
12
+
−
+
−
−
=
a
a
a
a

A
.
a. Tính giá trị của A khi a = -0,5.
b. Tính giá trị của A khi : 10a
2
+ 5a = 3.
24. Chứng minh nếu xyz = 1 thì:
1
1
1
1
1
1
1
=
++
+
++
+
++
zxzyzyxyx
.
25. Chứng minh đẳng thức sau:
abanabn
abbnana
baab
baba
ba
aba
3396

352
9
3
2
2
22
22
22
2
+−−
++−
=
−−
−−
+
−
+
26. Thực hiện phép tính:






−







−






−






−
2222
2008
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1
.

27. Tính tổng : S(n) =
( )( )
2313
1

8.5
1
5.2
1
+−
+++
nn
.
28. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức :
A =
2
217122
23
−
−+−
a
aaa
.
Biết a là nghiệm của Phương trình :
113
2
=+−
aa
.
29. Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng:

8111
=






+






+






+
c
a
b
c
a
b
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.

30. Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thì :
( )
3
2
11
2233
+
−
=
−
−
−
ba
ab
a
b
b
a
31. Thực hiện phép tính:
A =
( )( ) ( )( ) ( )( )
zxzy
xyz
zyyx
xzy
zxyx
yzx
++
−
+

++
−
+
++
−
222
32. Rút gọn biểu thức : A =
cba
abccb
++
−++
3a
333
.
33. Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương trong TXĐ:
B =
( )















−
+
+








+
−
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
1
1
:

1
1
33
2
2
2
34. Rút gọn rồi Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007.
A =
xyyyxx
xyyyxx
2)6()6(
)3(2)5()5(
++++
−++++
.
35. Cho 3 số a,b,c
≠
0 thỏa mãn đẳng thức:
a
acb
b
bca
c
cba
−+
=
−+
=
−+
.

Tính giá trị biểu thức P =
( )( )( )
abc
accbba
+++
.
36. Cho biểu thức :
2
2
2
2
2
2
2
4
.
2
4
.
2
4
yxz
yzx
xyz
xyz
zxy
zxy
A
+
−

+
−
+
−
=
. Chứng minh rằng nếu :
x + y + z = 0 thì A = 1.
HƯỚNG DẪN:
13. P =
( )
( )
( )
( )
2
2
222
222
1
1
11
11
aa
aa
xaaax
xaaax
+−
++
=
++−−
++++

14. M =
82
63422
2
2345
−+
+−−+−
xx
xxxxx
.

( ) ( )
4
13
2
2
3
+
−+
=
x
xx
15.
( )( )
acbacaba
cb
−
+
−
=

−−
−
11
=
( )( )
bacbcbab
ac
−
+
−
=
−−
−
11
=
( )( )
accbbcac
ba
−
+
−
=
−−
−
11
16.
a.Rút gọn B =
( )( )
( )
1101

10
10999
10
2234
++−
+
=
−+−+
+
xxx
x
xxxx
x
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )






−<
++−
+−
≠−>

+−
=
10;
1101
10
110;
11
1
2
2
x
xxx
x
lxx
xx
b. n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+ n
4

( )
[ ]
4
1

+=
nn
17.
9
9
632
6
632
32
2
2
−
+
−
+++
−
−
−−+
+
=
x
x
yxxy
xy
yxxy
yx
A

( )( )( )
233

0
9
9
632
6
632
32
2
2
++−
=
−
+
−
+++
−
−
−−+
+
=
yxx
x
x
yxxy
xy
yxxy
yx
18.
a.A =
3

4
2
3
:
2
2
4
4
2
2
2
32
2
2
2
−
=
−
−








+
−
−

−
−
−
+
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
.
b.A > 0
30
3
4
2
>⇔>
−
⇔
x
x
x
c.




=
=
⇒=−
3
11
47
x
x
x
 x = 11
2
121
=⇒ A
 x = 3
⇒
A không xác định
19.
a.A =
3216842
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1

1
1
1
xxxxx
xx
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
.
b. Rút gọn C =
1
9
9
1
9
1
9
1
9
1

2
2
22
22
−=
+
−
+
+
−
+
−
−
a
a
aa
aa
.
20. S =
( )( ) ( )( ) ( )( )
bacb
ac
acba
bc
accb
ab
−−
+
−−
+

−−
( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
1−=
−−−
−−−−
=
−−−
−+−+−
=
accbba
accbba
accbba
acaccbbcbaab
21. Từ:
222222
103509&05310 ababbaabba
−=⇒≠−=−−
(1)
Biến đổi A =
22
22
9
6153
3
3
5
3

2
ba
baba
ba
ab
ba
ba
−
−−
=−
+
−
+
−
−
(2)
Thế (1) vào (2) ; A = - 3
22. Từ a + b + c = 1 và
1
222
=++
cba
suy ra:
ab + bc + ca = 0 (1)
a. Nếu
c
z
b
y
a

x
==
suy ra :
zyx
cba
zyx
c
z
b
y
a
x
++=
++
++
===
( )
222
2
zyxzyx
++=++⇒
Suy ra xy + yz + zx = 0.
b. Áp dụng
( )
( )
( )( )( )
accbbacbacba
+++=++−++
3
333

3
Từ a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Suy ra:
( )( )( )
03
=+++
accbba
Từ đó tính được a , b , c.
23. Xem bài 21
24. Từ xyz = 1 Biến đổi
yzy
yz
yzy
y
yzy
zxzyzyxyx
++
+
++
+
++
=
++
+
++

+
++
111
1
1
1
1
1
1
1
.
25. Chứng minh :
ab
ba
abanabn
abbnana
baab
baba
ba
aba
−
+
=
+−−
++−
=
−−
−−
+
−

+
3
3396
352
9
3
2
2
22
22
22
2
26.






−






−







−






−
2222
2008
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1
.
3996
1999
2
1999
.

1998
1
1998 4.3.2
1999 5.4.3
.
1998 4.3.2
1997 3.2.1
===
27.

( )( )
( )
23223
1
13
1

8
1
5
1
5
1
2
1
3
1
2313
1

8.5
1
5.2
1
+
=






+
−
−
+−+−=
+−
+++
n
n
nn
nn
.
28.
182
2
217122
2
23
+−=

−
−+−
= aa
a
aaa
A
.



−=⇒==
−==⇒==
⇔=+−
52;1
5;13;0
113
2
Aaa
AAaa
aa
.
29.
( ) ( ) ( )
08111
222
=
−
+
−
+

−
⇔=






+






+






+
ca
ac
bc
cb
ab
ba
c

a
b
c
a
b
30. Rút gọn

( ) ( )
( )
( )( )
11
1
3
2
11
22
22
2233
++++
−+−
=
+
−
=
−
−
−
aabbab
baba
ba

ab
a
b
b
a
31.
( )( )
yx
y
zx
x
zxyx
yzx
+
−
+
=
++
−
2
=
( )( )
zy
z
yx
y
zyyx
xzy
+
−

+
=
++
−
2
( )( )
zx
x
zy
z
zyzx
xyz
+
−
+
=
++
−
2
. Cộng từng vế được A = 0.
32. A =
cba
abccb
++
−++
3a
333
.
( )
( )

cabcabcbacbaabccb
−−−++++=−++
222333
3a
33. TXĐ:
1
±≠
x
;B =
2
1
1
x
+
34. A =
( )( )
( )( )
yxyx
yxyx
xyyyxx
xyyyxx
+++
−+++
=
++++
−++++
6
16
2)6()6(
)3(2)5()5(

.
35. Từ:
a
acb
b
bca
c
cba
−+
=
−+
=
−+
.
Suy ra:
222
+
−+
=+
−+
=+
−+
a
acb
b
bca
c
cba
Suy ra:
a

acb
b
bca
c
cba
++
=
++
=
++
Suy ra: hoặc a + b + c = 0 hoặc a = b = c.
P = -1 hoặc P = 8
36. Từ: x + y + z = 0 suy ra:
xyzzyx 3
333
=++
N
M
A
=
.
( ) ( )
333333333222
41663 xzzyyxzyxxyzzyxM +++++−=
( ) ( )
333333333222
429 xzzyyxzyxxyzzyxN ++++++=
=========o0o=========