đề thi và đáp án bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán trung học cơ sở tham khảo (6)

Sở Giáo dục & Đào tạo Kỳ thi chọn HSG truyền thống 19/4
Bình Thuận Năm học 2008-2009
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
Cho A =
2
332
x12
)x1()x1(.x11
−−






−++−−
1. Rút gọn A
2. Tìm x biết A ≥
2
1
Bài 2: (4 điểm)
1. Giải hệ phương trình:





+=
+=

+=
)xz(8zx7
)zy(6yz5
)yx(4xy3
2. Giải phương trình: x
4
+ 9 = 5x(3 – x
2
)
Bài 3: (4 điểm)
1. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
ab
2
ba
≥
+
2. Chia 10 số: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 12; 14 làm thành hai nhóm rồi lấy
tích các số trong mỗi nhóm. Gọi M là tổng của hai tích số đó. Tìm giá trị nhỏ
nhất của M và chỉ ra ít nhất 4 cách chia sao cho M nhỏ nhất.
Bài 4: (5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến
tại A và B của (O). Tiếp tuyến tại điểm M tuỳ ý của (O) cắt Ax và By lần
lượt tại C và D.
1. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆OCD.
2. Cho AB = 8cm. Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng
28cm, khi đó tính phần diện tích của tứ giác nằm ngoài (O).
Bài 5: (3 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai
lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi.
HẾT

HƯỚNG DẪN
Bài 1: (4 điểm)
1. A xác định khi: –1 ≤ x ≤ 1
A =
( )
( )
2
2
2
x12
x12x1x1.
2
x1x1
−−












−−−++
+−−
=
( )

2
x1x1.x1x1 −+++−−
=





≤≤−−
≤≤
0x1khix2
1x0khix2
2. A ≥
2
1
Khi 0 ≤ x ≤ 1 thì
2
1
x2 ≥
⇔
22
1
x ≥
Khi –1 ≤ x ≤ 0 thì
2
1
x2 ≥−
⇔
22
1

x −≤
Vậy A ≥
2
1
⇔
22
1
x1 −≤≤−
hoặc
1x
22
1
≤≤
Bài 2: (4 điểm)
1. Nhận xét: x = y = z = 0 là 1 nghiệm của hệ
Nếu x ≠ 0 thì y và z ≠ 0, khi đó chia các vế của từng phương trình cho
xy; yz; zx, ta được:





+=
+=
+=
)xz(8zx7
)zy(6yz5
)yx(4xy3
⇔










+=
+=
+=
x
1
z
1
8
7
z
1
y
1
6
5
y
1
x
1
4
3
⇔














++=
+=
+=
+=
z
1
y
1
x
1
48
59
x
1
z
1
8

7
z
1
y
1
6
5
y
1
x
1
4
3
⇔









=
=
=
z
1
48
23

y
1
48
17
x
1
48
19
⇔









=
=
=
23
48
z
17
48
y
19
48
x

2. Vì x = 0 không phải là nghiệm của nên chia 2 vế của phương trình
cho x
2
, ta được:
x
4
+ 9 = 5x(3 – x
2
) ⇔
06
x
3
x5
x
3
x
2
=+






−+







−
⇔






−=−
−=−
3
x
3
x
2
x
3
x
⇔




=−+
=−+
03x3x
03x2x
2
2

⇔







±−
=
−=
=
2
213
x
3x
1x
(có thể dùng PP nhẩm nghiệm để đưa về phương trình tích)
Bài 3: (4 điểm)
1. a, b > 0, ta có:
( )
0ab2baba
2
≥−+=−
⇔
ab
2
ba
≥
+

2. Gọi a và b là các tích số trong từng nhóm thì:
ab = 2.3.4.5.7.8.9.10.12.14 = 2
10
.3
4
.5
2
.7
2
M = a + b ≥ 2
ab
= 2.2
5
.3
2
.5.7 = 20160
Min
M
= 20160 ⇔ a = b = 10080
Và có ít nhất 4 cách chia như sau:
Nhóm 1 Nhóm 2
2; 7; 8; 9; 10 3; 4; 5; 12; 14
8; 9; 10; 14 2; 3; 4; 5; 7; 12
2; 4; 9; 10; 14 3; 5; 7; 8; 12
2; 3; 10; 12; 14 4; 5; 7; 8; 9
Bài 4: (5 điểm)
1. ∆OCD vuông tại O (OC và OD là phân giác 2 góc kề bù)
I là trung điểm của CD thì IO = IC = ID và IO ⊥ AB tại O
Nên AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆OCD
2. Đặt AC = x (cm) và BD = y (cm)

C
ABDC
= AB + 2(AC + BD) ⇒ x + y = 10
Mặt khác : OM
2
= MC.MD ⇒ xy = 16
Giải hệ:



=
=+
16xy
10yx
ta được



=
=
∨



=
=
2y
8x
8y
2x

Vậy C cách A 1 đoạn AC = 2cm và BD = 8cm
hoặc AC = 8cm và BD = 2cm
Cả 2 trường hợp trên hình thang vuông ABDC có cùng diện tích:
S
1
= 40 (cm
2
)
Diện tích nửa hình tròn (O):
S
2
= 8π (cm
2
)
Vậy phần diện tích tứ giác ABDC nằm ngoài đường tròn:
S = S
1
– S
2
= 40 – 8π (cm
2
)
Bài 5: (3 điểm)
Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông của ∆ vuông.
Khi đó: a, b, c ∈ N và a ≥ 5; b, c ≥ 3
Ta có hệ phương trình:






++=
+=
)2()cba(3bc
)1(cba
222
(1): a
2
= b
2
+ c
2
= (b + c)
2
– 2bc = (b + c)
2
– 6(a + b + c)
⇔ a
2
+ 6a + 9 = (b + c)
2
– 6(b + c) + 9
⇔ (a + 3)
2
= (b + c – 3)
2
⇔ a + 3 = b + c – 3
⇔ a = b + c – 6
(2): bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6)
⇔ (b – 6)(c – 6) = 18

Nên ta có các trường hợp sau:
1. b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25
2. b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17
3. b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15