hướng dẫn học sinh giải quyết một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị nhằm nâng cao kết quả học tập môn toán của học sinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (274.33 KB, 31 trang )
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CỦA HỌC SINH
1
PHẦN I. MỞ ĐẦU
Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh
vực khác nhau. Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc cải tạo tự
nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài người ngày một tốt đẹp hơn.
Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học
phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất,
năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên
cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên
mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người.
Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số là
"Số" và "Hàm số". Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chương trình môn đại số ở phổ
thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số. Với các khái niệm
hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng, phần hàm số được phân lượng thời
gian không nhiều. Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu
trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà thời gian
luyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của đối
tượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng chính
vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: "HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI QUYẾT MỘT
SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CỦA
HỌC SINH".
Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa ra
một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan.
Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối
tượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em,
tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có
nhiều nội dung ứng dụng phong phú. Hàm số còn được coi là công cụ giải quyết một số
bài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bất phương trình, sau đây là nội
dung đề tài.
2
PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Chương I: Lý thuyết cơ bản
Để làm tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trước hết chúng ta và học sinh
cần nắm vững khái niệm hàm số.
I. Khái niệm hàm số:
Khái niệm hàm số được định nghĩa theo quan điểm hiện đại " Hàm số là
một ánh xạ từ tập hợp số đến một tập hợp số"
Trước tiên ta làm quen với ánh xạ:
1. Ánh xạ:
a. Định nghĩa:
Cho tập hợp X
φ
≠
và Y
φ
≠
: f là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y là
một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x
∈
X với một và chỉ một y
∈
Y
Kí hiệu: f: X Y
x a y = f(x)
Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f
Y là tập đích của ánh xạ f
Phần tử y = f(x)
∈
Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f
b. Các loại ánh xạ:
* Đơn ánh
Ánh xạ: f: X Y
x a y = f(x)
Ánh xạ f là đơn ánh
⇔
∀
x
1
, x
2
∈
X: x
1
≠
x
2
thì f(x
1
)
≠
f(x
2
)
Hoặc
⇔
∀
x
1
, x
2
∈
X: x
1
≠
x
2
thì f(x
1
) = f(x
2
) thì x
1
= x
2
Ví dụ: f: R R
x a y = f(x) = 3x
* Toàn ánh: Ánh xạ f: X Y
x a y = f(x)
Ánh xạ f là toàn ánh
⇔
∀
y
∈
Y thì
∃
x
∈
X: (x) = y
Hoặc f là toàn ánh
⇔
phương trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y
∈
y cho
trước
Ví dụ: f: R R
x a y = f(x) = 2x
Là một toàn ánh vì phương trình 2x = y luôn có nghiệm x =
2
y
với y xác định.
* Song ánh: Ánh xạ f: X Y
3
x a y = f(x)
Ánh xạ f là song ánh
⇔
f là đơn ánh và f là toàn ánh
2. Hàm số:
a. Theo quan điểm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm tập hợp và
ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y.
Trong chương trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1991 - 2001) Khái
niệm hàm số được trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 (được nhắc lại trong sách giáo
khoa lớp 9) như sau:
Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho tương
ứng mỗi giá trị x
∈
X một và chỉ một giá trị y
∈
Y mà kí hiệu là y = f(x)
Người ta viết: f: X Y
x a y = f(x)
X là tập xác định, x
∈
X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x.
Trong chương trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở toán 7 đã
nêu rõ những thuộc tính này: " Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và nhận các giá
trị số. Nếu thay đổi phụ thuộc vào x sao cho: Với mỗi giá trị của x ta xác định được chỉ
một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số"
* Chú ý: Như vậy hàm số dù được định nghĩa bằng cách nào cũng đều có thuộc
tính bản chất:
+ X và Y là hai tập hợp số
+ Sự tương ứng: ứng với mỗi số x
∈
X đều xác định duy nhất một số y
∈
Y
+ Biến thiên: x và y là các đại lượng nhận giá trị biến đổi
+ Phụ thuộc: x là đại lượng biến thiên độc lập còn y là đại lượng biến thiên phụ
thuộc
b. Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)
+ Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ có toạ độ
(x;f(x)) với x
∈
X
+ Chú ý:
- Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngược lại
- Điểm M(x
M
;y
M
)
∈
đồ thị hàm số y = f(x)
⇔
y
M
= f(x
M
)
c. Cách cho một hàm số:
Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởi các cách:
+ Cách 1: Cho quy tắc tương ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)
+ Cách 2: Cho quan hệ tương ứng thể hiện bởi bảng giá trị
+ Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số
4
II. Các hàm số trong chương trình THCS:
1. Hàm số bậc nhất:
a. Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a,b là các
hằng số xác định a
≠
0, x
∈
R
b. Tính chất:
+ Tập xác định: R
+ Tính biến thiên: a > 0 thì hàm số đồng biến trong R
a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R
c. Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số y = ax + b (a
≠
0, x
∈
R) là đường thẳng đi qua điểm A(0;b) và điểm
B(
b
a
−
; 0)
+ Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ và điểm
E(1;a)
2. Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa:
Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức y = ax
2
+ bx + c với a,b,c là các hằng
số (a
≠
0, x
∈
R)
b. Tính chất:
- Tập xác định: R
- Tính biến thiên:
a > 0 Hàm số đồng biến trong (
2a
b
−
; +
∞
) và nghịch biến trong (-
∞
;
2a
b
−
)
a < 0 Hàm số nghịch biến trong (
2a
b
−
; +
∞
) và đồng biến trong (-
∞
;
2a
b
−
)
c. Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0, x
∈
R) là Parabol (P) có đỉnh là D(
2a
b
−
; -
4a
∆
) nhận đường thẳng x =
2a
b
−
là trục đối xứng
5
Chương I: Lý thuyết cơ bản
DẠNG I: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa:
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa
Vì vậy:
- Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x
∈
R
- Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định: {x
∈
R/ mẫu thức
≠
0}
- Nếu f(x) có dạng căn thức thì hàm số có tập xác định: {x
∈
R/ biểu thức
trong căn
≥
0}
2. Ví dụ:
+ Ví dụ 1: Hàm số y = 5x- 70 có TXĐ: R
+ Ví dụ 2: Hàm số y =
x
x
2
2+
có TXĐ: {x
∈
R/ x
≠
0}
+ Ví dụ 3: Hàm số y =
14 +x
có TXĐ:
−≥∈
4
1
xRx
3. Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số:
a. y = x – 3
x
+2
b. y =
3
521
+
+
−
+
x
x
3-x
x
2
c. y =
xx −+− 24
2
DẠNG II: TÌM TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ
Tập giá trị của hàm số: f: X Y
x a y = f(x)
là tập giá trị y
∈
Y sao cho phương trình f(x) = y có nghiệm x
∈
X
1. Cách giải:
+ Cách 1: Có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị
của y.
+ Cách 2: Tìm điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm trong tập xác
định.
2. Ví dụ:
* Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x
∈
[-1; 1]
Giải
Ta có x
≥
-1
⇒
2x
≥
-2
⇒
2x – 5
≥
-7
⇒
y
≥
-7
x
≤
1
⇒
2x
≤
2
⇒
2x-5
≤
-3
⇒
y
≤
-3
6
Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x
∈
[-1; 1] là y
∈
[-7; -3]
* Ví dụ 2: Tìm miền giá trị của hàm số y =
xx −+− 76
Giải
xxxx −+−≥−+− 7676
=1
⇒
y
≥
1
Vậy miền giá trị của hàm số y =
xx −+− 76
với x
∈
R là y
∈
R, y
≥
1
* Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
- 2x + 3 với x
∈
[2;3]
Giải:
Hàm số y = x
2
+ 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x
≥
1
Vậy với x
∈
[2;3] ta có y(2)
≤
y(3)
⇒
3
≤
y
≤
6
Vậy miền giá trị của hàm số y = x
2
+ 2x + 3 với x
∈
[2;3] là [3;6]
*Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
- 4
x
+ 3
Giải:
TXĐ của hàm số là R
Xét phương trình x
2
- 4
x
+3 = y
⇒
(
x
-2)
2
= y + 1
Phương trình có nghiệm y + 1
≥
0
⇔
y
≥
-1
3. Ứng dụng:
* Ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x – x
2
– 2
Giải:
Ta có y = 2x – x
2
- 4
= -(x
2
- 2x + 1) – 3
= -(x – 1)
2
- 3
≤
- 3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
2xx
x
2
2
++
++ 6x
(1)
Giải:
Hàm số có tập xác định: R vì x
2
+ x + 2 = (x +
2
1
)
2
+
4
7
≥
4
7
Giả sử y là một giá trị của hàm số
⇒
phương trình
2xx
x
2
2
++
++ 6x
= y có nghiệm
⇔
(y -1)x
2
+ (y - 1)x + 2y – 6 = 0 (2) có nghiệm
+Xét y = 1 phương trình (2) vô nghiệm
+Xét y
≠
1 phương trình (2) có nghiệm
⇔
∆
≥
0
⇔
(y -1)
2
- 4(y – 1)(2y - 6)
≥
0
7
⇔
(y - 1)(23 – 7y)
≥
0
⇔
1< y
≤
7
23
Vậy giá trị của hàm số là 1< y
≤
7
23
+ Với y =
7
23
ta có x =
2
1
−
vậy hàm số có giá trị lớn nhất là
Max y =
7
23
tại x =
2
1
−
+ Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dưới dạng:
Tìm x
∈
R để hàm số y =
2xx
x
2
2
++
++ 6x
nhận giá trị nguyên y =1 +
2xx
4
2
++
Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y
∈
Z
⇔
x
2
+ x + 2 nhận giá trị là
ước nguyên của 4.
Sai lầm trong lời giải ở chỗ x
∈
R nên x
2
+ x + 2 có thể nhận giá trị không
nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán
+ Cách giải từ việc có miền giá trị 1< y
≤
7
23
ta chỉ ra y
∈
Z
⇔
y = 2 hoặc
y = 3
Giải phương trình
2xx
x
2
2
++
++ 6x
=2
⇔
x
2
+ x + 2 = 0
⇔
x = 1; x = -2
2xx
x
2
2
++
++ 6x
=3
⇔
2x
2
+ 2x = 0
⇔
x = 0; x = -1
Vậy x
∈
{-2; -1; 0; 1} thì y
∈
Z
* Ứng dụng 2: Giải phương trình f(x) = g(x) (1)
Nhiều phương trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào
miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xác định D chung của chúng:
Nếu
≥
≥
mxg
mxf
)(
)(
với
∀
x
∈
D thì f(x) = g(x)
⇔
≥
≥
mxg
mxf
)(
)(
(2)
Nếu
∃
x
0
∈
D thoả mãn (2) thì x
0
là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 1: Giải phương trình 6x – x
2
– 2=
1343221 −+−+−+− xxxx
(1)
+Tập xác định: R
+Ta có VT = 6x – x
2
– 2 = 7 – (x - 3)
2
≤
7 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =
3
8
VP =
1343221 −+−+−+− xxxx
≥
7 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
≤
x
≤
4
13
+ Vậy phương trình (1)
⇔
=−+−+−+−
=−
71343221
72 x-6x
2
xxxx
⇔
x = 3
Kết luận phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 2:
Giải phương trình – 16x
4
+ 72x
3
– 81x
2
+ 28 = 16(x –
2−x
) = 0 (3)
Ta có VT = – 16x
4
+ 72x
3
– 81x
2
+ 28 - 16
−−
2
2
4
9
4
7
xx
≤
28
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x =
4
9
Đặt
2−x
= t
≥
0
⇒
x = t
2
+ 2 ta có VP = 16(t
2
– t + 2)
= 16
+
−
4
7
2
1
2
t
≥
28
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t =
2
1
⇔
x =
4
1
+2
⇔
x =
4
9
Vậy phương trình (3)
⇔
=
=
28
28VT
VP
⇔
x =
4
9
Kết luận nghiệm của phương trình là x =
4
9
4. Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y = x
2
- 3x + 1 trên
đoạn: a. [-3;1] b. [0;2]
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3
+−
+
a
b
b
a
a
b
b
a
8
2
2
2
2
Bài 3: Gọi x,y là nghiệm của hệ phương trình
+=+
+=+
12
1ayx
222
ayx
Tìm a để x, y có giá trị lớn nhất
Bài 4: Giải phương trình
a.
222
2414105763 xxxxxx −−=+++++
b.
11642
2
+−=−+− xxxx
9
DẠNG III: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC HÀM SỐ
1. Khi biết tính chất đồ thị hàm số
Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tương ứng 1- 1 nên ta sẽ xác định được
công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tương ứng
a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d có tính
chất: Đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và điểm B(x
2
;y
2
)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
B(x
2
;y
2
)
∈
d nên ax
2
+ b = y
2
Ta có hệ phương trình
=+
=+
22
11
ax
ybax
yb
giải hệ phương trình ta có a,b
Kết luận công thức hàm số.
* Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm
A(1;1) và điểm B(-1;2)
Giải:
Vì A(1;1)
∈
d nên a.1 + b = 1
B(-1;2)
∈
d nên a(-1) + b = 2
Ta có hệ phương trình:
=+−
=+
2
1a
ba
b
⇔
=
=
2
3
2
1
-a
b
Kết luận hàm số cần tìm là y =
2
3
2
1
+− x
b. Đồ thị đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và song song với đường thẳng d' có phương trình
y = a
1
x + b
1
(a
≠
0)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d song song với d' nên a = a
1
⇒
b = y
1
– ax
1
Kết luận hàm số cần tìm là y = a
1
x + y
1
– ax
1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;
2
1
) và song song
với đường thẳng d' có phương trình y = 2x -
2
1
Giải:
Vì A(1;
2
1
)
∈
d nên a + b =
2
1
10
Vì d song song với d' nên a = 2
⇒
b =
2
3
−
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x
2
3
−
c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và vuông góc với đường thẳng d' có
phương trình y = a
1
x + b
1
(a
≠
0)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d vuông góc với d' nên aa
1
= -1
⇒
a =
1
a
1-
⇒
b = y
1
+
1
a
1
x
1
Kết luận hàm số cần tìm là y =
x
1
a
1-
+ y
1
+
1
a
1
x
1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;1) và vuông góc với
đường thẳng d có phương trình y =
2
3
+− x
2
1
Giải:
Vì A(1; 1)
∈
d nên a + b = 1
Vì d vuông góc với d' nên aa
1
= -1
⇒
a = 2
⇒
b = -1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x – 1
d. Đồ thị qua điểm A(x
1
;y
1
) và tiếp xúc với Parabol (P): a'x
2
+ b'x + c' (a
≠
0)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
(1)
Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a'x
2
+ b'x + c' nên phương trình hoành độ giao
điểm: ax + b = a'x
2
+ b'x + c' có nghiệm kép
⇔
a'x
2
+ (b' – a)x + c' – b = 0 có nghiệm kép
⇔
∆
=(b' - a)
2
- 4a'(c' – b) = 0 (2)
Giải hai hệ phương trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(-
1;2) và tiếp xúc với Parabol
d đi qua điểm A(-1;2)
∈
d nên –a + b = 2 (1)
Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = x
2
+ 1 nên phương trình hoành độ giao điểm: ax
+ b = x
2
+ 1 có nghiệm kép
⇔
x
2
– ax + 1 – b = 0 có nghiệm kép
⇔
∆
= (b' - a)
2
– 4a'(c' – b) = 0 (2)
11
Ta có hệ phương trình:
=+
=+
44
2a-
2
ba
b
⇔
=++
+=
4)2(4
2
2
aa
ab
⇔
=+
+=
0)2(
2
2
a
ab
⇔
−=
=
2
0
a
b
Vậy hàm số cần tìm là y = -2x
2. Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Pharabol(P)
a. Đi qua 3 điểm phân biệt A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2
) , C(x
3
;y
3
)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
(P)nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì B(x
2
;y
2
)
∈
(P)nên ax
2
2
+ bx
2
+ c = y
2
(2)
Vì C(x
3
;y
3
)
∈
(P)nên ax
3
2
+ bx
3
+ c = y
3
(3)
Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Pharabol (P) đi qua 3
điểm phân biệt A(-1;0), B(0;3), C(1;0)
Giải:
Vì A(-1;0)
∈
(P) nên a- b+ c = 0 (1)
Vì B(0;3)
∈
(P) nên c = 3 (2)
Vì C(1;0)
∈
(P) nên a+ b+ c = 0 (3)
Ta có hệ phương trình:
=++
=
=+−
0
3
0
cba
c
cba
⇔
=
=
−=
3
0
3
c
b
a
Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = - 3x
2
+ 3
b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) và đi qua điểm A(x
1
;y
1
)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
(P) nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) nên
0
x=
2a
b-
(2)
0
x=
∆
4a
-
⇒
2
4
−=
−
4a
b
2
ac
(3)
Giải hệ gồm ba phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua điểm
A(-1;2) và có đỉnh là D(1;2)
Giải:
Vì A(-1;2)
∈
(P) nên a+b+c = 2 (1)
12
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên
1=
2a
b-
(2)
2
4
4
2
2
−=
−
−⇒−=
∆
a
acb
4a
-
(3)
Ta có hệ phương trình
=
−
−
=
−
=+−
2
4
4
1
2
2
2
a
acb
a
b
cba
⇔
=−−
=+
=+−
084
02
2
2
aacb
ba
cba
⇔
−=
−=
=
1
2
1
c
b
a
Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
- 2x - 1
c. (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) và tiếp xúc với đường thẳng d: y=a'x+b'
Giải:
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) nên phương trình hoành độ:
ax
2
+ bx + c = a'x+b' có nghiệm kép (1)
⇔
ax
2
+ (b – a)x + c - b' = 0 có nghiệm kép (2)
⇔
∆
= (b - a' ) – 4a(c - b' ) = 0 (3)
Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a,b,c.
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y =ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) nhận
D(1;1) là đỉnh và tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x – 2.
Giải:
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên
1=
2a
b-
;
1
4
4
1
2
=
−
−⇒=
∆
a
acb
4a
-
(2)
Vì (P) tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x –2 nên phương trình hoành độ ax
2
+ bx + c = 2x – 2 có nghiệm kép
⇔
ax
2
+ (b – 2)x + c – 2 = 0 có nghiệm kép
⇔
∆
= (b - 2 )2 – 4a(c - 2 ) = 0 (3)
Ta có hệ phương trình:
=
−
−
=
−
=+−−
1
4
4
1
2
0)2(4)2(
2
2
a
acb
a
b
cacb
⇔
=−−
=+
=+−−−
044
02
04484
2
2
aacb
ba
baacb
⇔
=+−
=+
=+
044
0412
02
2
aacb
ba
ba
⇔
=
−=
=
2
2
1
c
b
a
Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
- 2x + 2
3. Bài tập:
Bài 1: Cho đường thẳng d có phương trình y = -2x – 1
13
a. Viết phương trình đường thẳng song song vớ d và đi qua gốc toạ độ.
b. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng d và đi qua điểm
N(-1;5)
Bài 2: Xác định a,b,c để Parabol (P): y = ax
2
+ bx + c đi qua O(0;0) và có đỉnh là
D(1;-1)
Bài 3: Cho Parabol (P): Y = ax
2
+ bx + 1 (a
≥
2
1
)
a. Xác định a,b để đỉnh Parabol(P) nằm trên đường thẳng d: y = 2x + 1
b. Với a, b vừa tìm được vẽ Parabol(P) và đường thẳng d trên cùng một mặt
phẳng toạ độ
4. Xác định công thức hàm số khi biết phương trình hàm
Ví dụ 1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+
2
1
) = x
2
– 1 và f(0) = 0
Giải:
+Với x
≠
0 ta đặt 1+
x
1
= t rồi rút x theo t ta có x =
1-t
1
Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (
1-t
1
)
2
– 1
⇒
f(t) =
2
1)-(t
t)-t(2
Vì tương ứng hàm số không phụ thuộc vào kí hiệu nên coi f(x) =
2
1)-(x
x)-x(2
+Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm được ta có f(0) = 0
Vậy hàm số cần tìm là f(x) =
2
1)-(x
x)-x(2
Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) của hàm số biết f(x) + 2f(
2
1
) = x
2
Từ công thức ta thay x bởi
2
1
Ta có
( )
2
=+
⇒
=
+
x
1
x2f
x
1
f
x
1
x
1
1
2f
x
1
f
2
Ta có hệ điều kiện với f(x) như sau:
=+
=
+
2
2
1
)(2
1
1
2)(
x
xf
x
f
x
x
fxf
⇔
( )
=
+
=
+
2
2
2
21
24
1
2)(
x
x
fxf
x
x
fxf
⇔
2
4
3
2
)(
x
x
xf
−
=
14
Vậy công thức hàm số là f(x) =
2
4
3
2
x
x−
Bài tập:
Bài 1: Xác định biểu thức f(x) biết
a.
2
)1(
2
1
−
=
−
x
x
x
x
f
và f(1) = 0
b.
−1x
x
f
=
14 +− x
2
3x
8x-4
với x
≠
1 và f(1) = 0
c.
− x
x
f
2
=
)4(4
2
+− xx
2
5x-4-10x
và f(2) = -1
Bài 2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết
a.
( )
=
−
+
−
=+++
x
x
x
g
x
x
f
xxgxf
12
2122)12(
b.
( )
( ) ( )
+=+++
=−+−
xxxgxxf
xxgxf
22
2321
316)13(
DẠNG IV: ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Nhắc lại về đồ thị hàm số:
a. Định nghĩa: Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ
có toạ độ (x;f(x) ) với x
∈
TXĐ
b. Đồ thị: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a
≠
0) là một đường thẳng
Cách vẽ:
- Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số
Chẳng hạn A(0; b ) và B(-
a
b
;0)
- Vẽ đường thẳng đi qua A và B
c. Đồ thị hàm số bậc hai: y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) là Parabol(P) có:
+ Đỉnh D
∆−
−
aa
b
4
;
2
+ Trục đối xứng: x =
2a
b
−
+ Bề lõm quay lên trên khi a > 0; Bề lõm quay xuống dưới khi a < 0
d. Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối y
Chẳng hạn: y =
x
=
≤
≥
0 x víix-
0 x víix
15
-1 0 1 2 3 4 X
-1
y
2
1
-1 0 1 2 3 4 x
-1
3
2
1
Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác
của góc vuông I và II (hình1d)
0 x
e. Đồ thị phần nguyên: y =
x
trong đó
x
là ký hiệu số nguyên lớn nhất không
vượt quá x
+ Đồ thị hàm số y =
x
với –1
≤
x < 3 có dạng bậc thang như (hình e1)
y =
<≤
<≤
<≤
<≤
3x 2 víi2
2x 1 víi1
1 x0 víi0
0 x1- víi1-
f. Nhận xét:
* Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung.
*Hàm số y = f(
x
) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận trục tung làm trục
đối xứng. Vì vậy khi vẽ chỉ cần:
+ Vẽ đồ thị y = f(x) với x
≥
0
+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung
*
y
=x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà chỉ
cần vẽ đường biểu diễn mói quan hệ.
2. Ví dụ:
*Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
– 4x +3
+ TXĐ: x
∈
R
+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x > 2
Nghịch biến với x < 2
Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2
+ Bảng giá trị: y
x
.
0
1 2 3
4
y
.
3
0
-
1
0
3
16
-1 0 1 x
-1
Nhận xét: Đồ thị hàm số là Parabol(P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đường
thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên
*Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x -
x
+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các khoảng giá trị của biến.
y = 2x -
x
=
<
≥
0 x víi3x
0 x víix
+ Bảng giá trị:
x
.
0
1
-
1
y
.
3
1
-
3
+ Đồ thị:
-3
Đồ thị hàm số y = 2x -
x
có dạng như hình ở trên
*Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
+2
x
+2
Ta có: y =
≤+
≥++
0 x nÕu22x-x-
0 x nÕu22xx-
2
2
Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y
y = -x
2
+ 2x + 2 nếu x
≥
0
y = -x
2
- 2x + 2 nếu x
≤
0
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
Nhận xét: Đồ thị hàm số y = x
2
+2
x
+2 nhận trục tung làm trục đối xứng
3. Ứng dụng: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Nhận xét: Điểm thấp nhất (cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ nhất (lớn
nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất). Vì vậy khi tìm giá trị lớn nhất (nhỏ
nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị hàm số rồi tìm điểm cao nhất (thấp nhất) của đồ thị.
*Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
21 −+− xx
Giải:
17
Ta có y =
<+
≤≤
>−
1) x ( 32x-
2)x(1 1
2) (x 32x
Đồ thị hàm số gồm các phần đường thẳng y = 2x – 3 (x > 2)
y = 2x + 3 (x < 1) và đoạn y = 1 (1
≤
x
≤
2)
Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = x
2
+2 x+2 với x
≥
0 và
y = -x
2
+2 x+2 với x < 0
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 3 khi x = 1 hoặc x = -1
*Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = -x
2
-2
1−x
+1
Giải: Ta có y =
<++
≥+
1) x ( 12xx-
1) (x 32x-x-
2
2
Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = -x
2
-2 x+3 với x
≥
1 và
y = -x
2
+2 x+1 với x < 1
y
-1 0 1 3/2 2 x
-1
-2
-9/4
-3
-4
-5
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 0 khi x = 1
4. Bài tập
Bài 1: Cho hàm số y =
14444
22
++++−
xxxx
+ax
a. Xác định a để hàm số luôn đồng biến
b. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6). Vẽ đồ thị của hàm số
với a vừa tìm được
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y =
1239644
222
++−++++−
xxxxxx
18
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ x0y vẽ tập hợp các điểm M(x;y) mà toạ độ (x;y)
thoả mãn
1−x
+
2−y
=1
DẠNG V: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐỒ THỊ
Cơ sở lí thuyết:
+Điểm M(x
M
;y
M
)
∈
đồ thị hàm số y = f(x)
⇔
y
M
= f(x
M
)
+ Vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào số
điểm chung của hai đồ thị.
Giả sử M(x
M
;y
M
) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x)
⇒
M
∈
đồ thị hàm số y = f(x) và M
∈
đồ thị hàm số y = g(x).
⇒
y
M
= f(x
M
) và y
M
= g(x
M
)
⇒
(x
M
;y
M
) là nghiệm của hệ phương trình
=
=
g(x)y
f(x)y
⇒
Vậy vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x) phụ thuộc vào số
nghiệm của phương trình
=
=
g(x)y
f(x)y
1. Cách giải:
a. Bài toán xác định vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x),
(f(x) và g(x) có bậc
≤
2)
+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của đồ thị hàm số là nghiệm của hệ
=
=
(2) g(x)y
(1) f(x)y
+ Phương trình hoành độ: f(x) = g(x) (3)
+ Số nghiệm của phương trình (3) quy định vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số
y = f(x) và y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc
≤
2)
Hai đồ thị cắt nhau
⇔
phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt
Hai đồ thị tiếp xúc
⇔
phương trình (3) có nghiệm kép
Hai đồ thị không cắt nhau
⇔
phương trình (3) vô nghiệm
* Để biện luận vị trí tương đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của
phương trình (3)
* Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phương trình (3) tìm
hoành độ x = x
0
, dựa vào phương trình (1) hoặc (2) để xác định tung độ tương ứng y =
y
0
.
KẾT LUẬN CHUNG
19
1. Chú ý:
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d: y = ax + b và d
1
: y = (2m – 3)x + 2
+ d song song với d
1
⇔
a = a
1
; b
≠
b
1
+ d cắt d
1
⇔
a
≠
a
1
+ Đặc biệt d vuông góc với d
1
⇔
aa
1
= -1
+ d trùng với d
1
⇔
a = a
1
; b = b
1
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = m(x + 2) và d
1
: y = (2m – 3)x + 2
a. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng
Giải:
+ d//d
1
⇔
≠
=
22m
3-2mm
⇔
≠
=
1m
3m
⇔
m = 3
+ d cắt d
1
⇔
m
≠
2m – 3
⇔
m
≠
3
+ Không có giá trị nào của m để d trùng với d
1
b. Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng vuông góc. Xác định toạ độ điểm
chung cho từng trường hợp.
Giải:
+ d vuông góc với d
1
⇔
m(2m – 3) = -1
⇔
2m
2
– 3m + 1 = 0
⇔
m = 1 hoặc m =
2
1
+ Với m = 1 ta có d: y = x + 2 và d
1
: y = -x + 2 vuông góc với nhau
Toạ độ điểm chung của d và d
1
là nghiệm của hệ
+=
+=
2-xy
2xy
⇔
=
=
0y
2y
Vậy với m = 1 hai đường thẳng vuông góc với nhau tại A(0;2)
+ Với m =
2
1
ta có d: y =
2
1
x + 1 và d
1
: y = -2x + 2 vuông góc với nhau.
Toạ độ điểm chung của d và d
1
là nghiệm của hệ
+=
+=
2-2xy
2
1
y 1x
⇔
=
=
5
2
y
5
6
y
Vậy với m =
2
1
hai đường thẳng vuông góc với nhau tạo B
5
6
;
5
2
Ví dụ 2:
20
Biện luận theo m vị trí tương đối của đồ thị các hàm số y = x
2
- 4x + m (P) và y
= 2x + 1 (d). Trong trường hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc.
Giải:
Toạ độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của hệ
+=
+=
(2) 1 2x y
(1) m 4x - xy
2
Phương trình toạ độ x
2
- 4x + m = 2x + 1
⇔
x
2
- 6x + m – 1 = 0 (3)
+ (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt
⇔
phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt
⇔
∆
= 9 – m + 1 > 0
⇔
m < 10
+ (P) tiếp xúc với (d)
⇔
phương trình (3) có nghiệm kép
⇔
∆
= 9 – m + 1 = 0
⇔
m = 10
Với m = 10 phương trình (3) trở thành x
2
- 6x + 9 = 0
⇔
x = 3 thay vào (2) ta có y
= 7
Vậy với m = 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm A(3;7)
+ (P) không giao nhau với (d)
⇔
phương trình (3) vô nghiệm
⇔
∆
= 9 – m + 1 < 0
Ví dụ 3:
Tìm m để đồ thị các hàm số y = x
2
– 4x – 8 (P)
và y = mx
2
+ (m + 2)x + 8(P' ) có không quá một điểm chung
Giải:
+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của các đồ thị hàm số là nghiệm của hệ:
+++=
+=
(2) 82)x(mmx y
(1) 8 4x - xy
2
2
+ Phương trình hoành độ x
2
– 4x – 8 = mx
2
+ (m + 2)x + 8
⇔
(m – 1)x
2
+ (m + 6)x + 16 = 0 (3)
+ (P) và (P') có không quá một điểm chung
⇔
phương trình (3) có không quá
một nghiệm.
- Xét m = 1, phương trình (3) có dạng 7x + 16 = 0
⇔
x = -
7
16
là nghiệm duy
nhất.
Vậy với m = 1 (P) và (P' ) cắt nhau tai một điểm
- Xét m
≠
1 (P) và (P' ) có không quá một điểm chung
⇔
∆
≤
0
⇔
(m+6)
2
– 64(m – 1)
≤
0
⇔
m
2
– 52m + 100
≤
0
21
⇔
26 –
576
≤
m
≤
26 +
576
m
≠
1
Vậy (P) và (P' ) có không quá một điểm chung
⇔
26 -
576
≤
m
≤
26 +
576
3. ứng dụng:
Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
* Cơ sở lí thuyết:
+ Giả sử phương trình (1) có nghiệm x=x
0
khi đó giá trị tương ứng của các
vế là f(x
0
) = g(x
0
) = y
0
+ Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x
0
;y
0
).
Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳng toạ độ thì số
điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phương trình (1).
* Cách giải bài toán:
+ Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) bằng phương pháp đồ thị
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C' )
trên cùng mặt phẳng toạ độ.
+ Biện luận số nghiệm chung của (C) và (C' )
⇒
số nghiệm của phương trình.
* Ví dụ:
Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1−x
+
2−x
và y =
m trên cùng một mặt phẳng toạ độ
y
3
2
1
0 1 2 3 x
+ Theo đồ thị ta có:
m<1 phương trình (1) vô nghiệm
m=1 phương trình (1) cs vô số nghiệm: 1
≤
x
≤
2
m>1 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phương trình sau có nghiệm duy nhất
ax −2
+1=
3+x
(1)
Giải:
Phương trình (1)
⇔
ax −2
=
3
+
x
-1
22
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
Xét hai hàm số y =
ax −2
=
≤+−
≥−
2
2
2
2
a
xax
a
xax
và y=
3+x
-1=
( )
( )
−≤−−
−≥+
34
3
xx
xax
Ví dụ 3:
Tìm tất cả các giá trị thực của k để phương trình: (x-1)
2
= 2
kx −
có bốn nghiệm phân
biệt.
Giải:
Ta có (x-1)
2
= 2
kx −
⇔
kx −
=
( )
2
1-x
2
⇔
x-k =
±
( )
2
1-x
2
⇔
=
=+
(2) 2k 1 - x
(1) 2k 1-4xx-
2
2
y
5
y=2k
x
Ta sẽ sử dụng phương pháp tương giao đồ thị để giải phương trình
a. Ta xét hai hàm số y = -x
2
+4x-1 và y=2k
Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một toạ độ
y = -x
2
+4x-1 là Parabol(P
1
) có giao với trục tung là (0;-1) nhận S(2;3) là
đỉnh
y=2k là đường thẳng (d) song song với 0x
b. Xét hàm số y=x
2
+1 và y=2k
Vẽ đồ thị hàm số trên cùng hệ trục toạ độ
y=x
2
+1 là Parabol(P
2
) có đỉnh là S'(0;1)
23
y=2k là đường thẳng song song với trục 0x
Khi đó phương trình (x-1)
2
=2
kx −
có 4 nghiệm phân biệt
⇔
(d) cắt (P
1
) và (P
2
) tại 4
điểm phân biệt
⇔
≠
<<
22
321
k
k
⇔
≠
<<
1
2
3
2
1
k
k
4. Bài tập:
Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau tiếp xúc với nhau. Tìm toạ
độ tiếp điểm
a.(P): y=x
2
và (D): y=4x-4
b.(C): y=x
2
-2x-3 và (C'): y=2x
2
+2x+1
Bài 2: Chứng minh (P): y=mx
2
-2mx+(m-1) tiếp xúc với mọi đường thẳng cố định
với mọi m
≠
0
Hướng dẫn:
Các đường thẳng x=a luôn cắt (P) tại một điểm với mọi a. Nên dường thẳng (D)
tiếp xúc với (P) nếu có sẽ có dạng y=ax+b
Vậy đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) với mọi m
≠
0
⇔
∆
=0
∀
m
≠
0
⇔
(2m+a)
2
-4m(m-1-b) =0
∀
m
≠
0
⇔
4m(a+1+b)+a
2
= 0
∀
m
≠
0
⇔
=
=++
0 a
0b1a
2
⇔
=
=
1- b
0a
Vậy đường thẳng y=-1 luôn tiếp xúc với (P): y =mx
2
-2mx+(m-1)
∀
m
≠
0
Bài 3: Cho Parabol(P) y= x
5
+5x-5. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(3;2) và hệ
số góc m
a. Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (p) tại hai điểm phân biệt B, C.
b. Xác định m để BC có độ dài ngắn nhất.
Chú ý:
+ Nếu B(x
b
; y
b
); C(x
c
; y
c
) thì BC
2
=(x
b
- x
c
)
2
+(y
b
- y
c
)
2
+ Nếu BC > 0 nên BC
Min
⇔
BC
2
Min
DẠNG VI: ĐIỂM CỐ ĐỊNH (CHÙM ĐƯỜNG THẲNG, CHÙM
PARABOL)
* Cơ sở lý thuyết:
+ Điểm M (x
0
;y
0
)
∈
đồ thị hàm số y=f(x)
⇔
y
0
=f(x
0
)
24
+ Hàm số y=f(x) (có phụ thuộc vào tham số m) luôn đi qua điểm M (x
0
;y
0
)
⇔
y
0
=f(x
0
) với mọi m
+ Phương trình ax
2
+bx+c=0 có nhiều hơn hai nghiệm
⇔
=
=
=
0
0
0
c
b
a
1. Cách giải:
Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y=f(x) (có phụ thuộc vào tham số m) đi
qua với mọi m
Giả sử M (x
0
;y
0
) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) đi qua với mọi m.
Ta có: y
0
=f(x
0
) (1) đúng với mọi m
+ Biến đổi (1) về phương trình chính tắc ẩn m (coi x
0
;y
0
là tham số) có nghiệm với
mọi m suy ra các hệ số của phương trình bằng 0 (2)
Giải hệ điều kiện (2) tìm x
0
;y
0
+ (Thử lại) kết luận điểm cố định
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d): y=(2m+1)x-3m+2 đi qua
với mọi m.
Giải:
Giả sử M(x
0
;y
0
) là điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với
m∀
.
⇔
y
0
=(2m+1)x
0
-3m+2 đúng với
m∀
.
⇔
2mx
0
-3m+x
0
-y
0
+2=0 đúng với
m∀
.
⇔
(2x
0
-3)m+(x
0
-y
0
+2)=0 đúng với
m∀
⇔
=+−
=−
02
032
00
0
yx
x
⇔
=
=
2
7
2
3
0
0
y
x
Vậy đường thẳng đi qua điểm M(
2
7
;
2
3
) với
m
∀
Ví dụ 2:
Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d): (-m
2
+m-2)y=(m
2
+m-3)x+2m-5 đi qua với
m∀
.
Giải:
Giả sử M(x
0
; y
0
) là điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với
m∀
⇔
(-m
2
+m-2)y
0
=(m
2
+m-3)x
0
+2m-5 đúng với
m∀
⇔
(x
0
+y
0
)m
2
+ (x
0
+y
0
+2)m -3x
0
+ 2y
0
- 5 = 0 đúng với
m∀
25
