bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua việc tìm tòi lời giải các bài toán phương trình và bất phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 2
BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC TÌM
TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH
ĐỀ TÀI SKKN BỘ MÔN TOÁN
NGUYỄN ĐÌNH ĐỨC
QUỲNH LƯU – 2012
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 2
NGUYỄN ĐÌNH ĐỨC
BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC TÌM
TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH
QUỲNH LƯU - 2012
MỤC LỤC
Trang
A, ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán học
a, Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
b, Các chức năng của bài tập toán
c, Phân loại bài tập toán
d, Dạy học giải bài tập toán học
2. Thực trạng việc dạy học giải toán ở trường phổ thông hiện nay 7
II. NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI
……………………… 7
B, NỘI DUNG 8
I. CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG

THPT.8
1. Giới thiệu hệ thống kiến thức về phương trình và bất phương trình
2. Các dạng bài tập và phương pháp giải toán phương trình và bất
phương trình
3. Tiềm năng phát triển tư duy sáng tạo của toán phương trình và bất
phương trình
II. MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO
HỌC SINH QUA VIỆC TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc phân tích quá
trình giải bài toán
2. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc định hướng và
xác định đường lối giải toán
4
3. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc lựa chọn các
phương pháp và công cụ thích hợp để giải toán
4. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc kiểm tra bài giải

5. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc tìm kiếm các bài
toán liên quan và sáng tạo các bài toán mới
III. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN CÁC YẾU TỐ CỦA TƯ DUY
SÁNG TẠO
1. Rèn luyện tính mềm dẻo trong việc sử dụng kiến thức để tìm tòi
lời giải bài toán phương trình và bất phương trình
2. Rèn luyện tính nhuần nhuyễn trong nhìn nhận vấn đề dưới nhiều
góc độ khác nhau
3. Rèn luyện tính độc đáo trong việc tìm lời giải “đặc biệt” cho
những bài toán “đặc biệt”
4. Rèn luyện tính nhạy cảm trong chuyển hoá nội dung, hình thức,
công cụ giải toán

5. Rèn luyện tính hoàn thiện trong kiểm tra, đánh giá lời giải bài
toán
IV. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm
a, Tổ chức thực nghiệm
b, Nội dung thực nghiệm
3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
a, Đánh giá định tính
b, Đánh giá định lượng
4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

6
A, ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI SKKN
Giáo dục Toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp bao gồm
những bộ phận, những vấn đề sau đây:
+ Truyền thụ cho học sinh hệ thống nhất định những kiến thức Toán học.
+ Rèn luyện những kỹ năng và kỹ xảo Toán học.
+ Phát triển tư duy Toán học.
Toán học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát
huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết
các bài tập trong sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó
thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ
bản, và thông qua sự hướng dẩn của giáo viên, học sinh huy động kiến thức
để giải quyết hệ thống các bài tập mới đó, đồng thời để các em phát hiện các
vấn đề mới khác, để từ đó các em phát triển năng lực sáng tạo của mình.
1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán học

a, Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong [18] thì vai trò của bài tập Toán
được thể hiện trên các bình diện sau:
+ Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường
phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó
thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những
chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn
Toán, cụ thể là:
- Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
7
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
+ Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là
giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện
cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã
được trình bày trong phần lí thuyết.
+ Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá
mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở
đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ
góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự
giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao
lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra, Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh, Và một bài tập cụ thể có thể

nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên.
b, Các chức năng của bài tập toán
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh,
trong đó giải bài tập toán là hình thức chủ yếu. Do vậy, dạy học giải bài tập
toán có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của
phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh có thể coi
việc giải bài tập toán là một hình thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tập
toán có những chức năng sau:
- Chức năng dạy học:
Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lý
thuyết đã học. Trong nhiều trường hợp giải toán là một hình thức rất tốt để
8
dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới. Có khi bài tập lại là một định
lý, mà vì một lí do nào đó không đưa vào lý thuyết. Cho nên qua việc giải bài
tập mà học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
- Chức năng giáo dục:
Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan
duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
Qua những bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính
chất thực tiễn của Toán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bài toán từ
cuộc sống chiến đấu và xây dựng tổ quốc. Đồng thời, học sinh phải thể hiện
một số phẩm chất đạo đức của người lao động mới qua hoạt động Toán mà rèn
luyện được: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỹ
luật, năng suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm, trung thực, khiêm
tốn, tiết kiệm, biết được đúng sai trong Toán học và trong thực tiễn.
- Chức năng phát triển:
Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt
là phát triển tư duy sáng tạo, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra:
Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng học

Toán và trình độ phát triển của học sinh cũng như khả năng vận dụng kiến
thức đã học. Trong việc lựa chọn bài tập toán và hướng dẫn học sinh giải bài
tập toán, giáo viên cần phải chú ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của các
bài tập toán đó.
Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến việc phát
huy tác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho học sinh làm
nhiều bài tập toán. Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài
tập toán là chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán.
Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:
- Lời giải không có sai lầm.
9
Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyên
nhân sau:
+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái
niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,
+ Sai sót về phương pháp suy luận.
+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.
- Lời giải phải có cơ sở lý luận.
- Lời giải phải đầy đủ.
- Lời giải đơn giản nhất.
c, Phân loại bài tập toán
Đứng trước một bài toán, hầu hết những người làm toán thường đặt ra
câu hỏi: “Bài toán này thuộc kiểu nào?”, và từ đó dẫn tới câu hỏi: “Có thể áp
dụng biện pháp nào để giải bài toán kiểu này?”. Điều đó nói lên sự cần thiết
phải phân loại các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng
kiểu, có thể giúp ích cho ta khi giải toán.
- Những bài toán tìm tòi: Mục đích cuối cùng của những bài toán tìm
tòi là tìm ra (dựng, thu được, xác định…) một đối tượng nào đó, tức là tìm ra
ẩn số của bài toán.
- Những bài toán chứng minh: Mục đích cuối cùng của một bài toán

chứng minh là xác định xem một kết luận nào đó là đúng hay sai, là xác nhận
hay bác bỏ kết luận đó.
- Đứng trên quan điểm môn học thì ta có thể phân chia các bài tập
toán trong chương trình phổ thông thành ba loại: Các bài tập toán đại số sơ
cấp; các bài tập toán giải tích và các bài tập toán hình học sơ cấp.
- Nếu theo tiêu chí về số lượng các đại lượng thay đổi trong một bài
tập toán, thì ta có thể chia các bài tập tập toán trong chương trình toán phổ
thông thành hai dạng: dạng toán không chứa tham số và dạng toán có chứa
tham số.
10
- Nếu theo tiêu chí thuật giải thì ta lại có thể chia các bài tập toán
thành hai loại: Loại các bài tập toán đã có quy trình giải và loại các bài tập
toán không có quy trình giải (không có quy trình giải theo nghĩa là không
được trình bày trong sách giáo khoa hiện hành).
d, Dạy học giải bài tập Toán học
Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ
năng quan trọng, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần
không thể thiếu trong dạy học giải Toán. Trong tác phẩm [25] của G. Pôlya
ông đã đưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán.
1) Hiểu rõ bài toán:
Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải
có hứng thú giải bài toán đó. Vì vậy điều đầu tiên người giáo viên cần chú ý
hướng dẫn học sinh giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải
Toán của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải, muốn vậy cần phải:
Phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu
là điều kiện? Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì?. Có thể biểu diễn
bài toán dưới một hình thức khác được không?. Như vậy, ngay ở bước
“Hiểu rõ đề toán” ta đã thấy được vai trò của tư duy sáng tạo trong việc định
hướng để tìm tòi lời giải.
2) Xây dựng chương trình giải:

Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của tư duy sáng tạo được thể
hiện rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn
giản hơn. Biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các
trường hợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay khái quát hoá hơn vv
thông qua các kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:
- Huy động kiến thức có liên quan:
* Bài toán này có thuật giải hay không?
11
* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa?
Em có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được
không?.
* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?.
* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử
dụng kết quả của nó không?
- Dự đoán kết quả phải tìm:
* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một
bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em
có thể giải một phần của bài toán?
* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa?
Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác
định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?
- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm
hướng giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những
gợi ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho
các bài toán. Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên
trì tất cả các giờ dạy Toán, đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào
hoạt động giải toán của mình.
3) Thực hiện chương trình giải:

Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước. Em đã thấy
rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng
không?
4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:
Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của
bài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì
12
không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì
vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên
thực hiện các yêu cầu sau:
- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.
- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán.
- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thường có nhiều cách
giải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán, và kết
quả là có nhiều lời giải độc đáo và sáng tạo. Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để
phát huy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một
bài toán. Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học
sinh trung bình và kém chán nản.
2. Thực trạng việc dạy học giải Toán ở trường phổ trông hiện nay
Thực tế dạy học phần bài tập ở các trường phổ thông hiện nay có thể
được mô tả như sau: Giáo viên cho học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít
phút tại lớp, sau đó gọi một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh khác
nhận xét lời giải, giáo viên sửa hoặc đưa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố
kiến thức cho học sinh. Một số bài toán sẽ được phát triển theo hướng khái
quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa cho đối tượng học sinh khá giỏi.
Việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh không đầy đủ, thường chú
ý đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp. Giáo viên
ít khi chú ý đến việc dạy Toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi
hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược hay các
tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất

các giải pháp.
Hầu hết các giáo viên còn sử dụng nhiều phương pháp thuyết trình và đàm
thoại chứ chưa chú ý đến nhu cầu, hứng thú của học sinh trong quá trình học.
II. NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI
13
1. Hệ thống hoá một số phương pháp tìm lời giải các bài toán phương
trình và bất phương trình.
2. Hệ thống hoá các phương pháp bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.
3. Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng các yếu tố của tư
duy sáng tạo thông qua dạy học giải bài tập toán phương trình và bất phương
trình.
4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính
hiện thực, tính hiệu quả của đề tài.
B, NỘI DUNG
I. CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THPT
1. Giới thiệu hệ thống kiến thức về phương trình và bất phương trình
Phương trình và bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản
của chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông. Những vấn đề lí luận
như khái niệm phương trình, bất phương trình; quan hệ tương đương đối với
hai phương trình, bất phương trình; phương pháp giải phương trình, bất
phương trình được đưa dần ở mức độ thích hợp với từng bậc, lớp đi lên theo
vòng tròn xoáy trôn ốc từ lớp 8 đến lớp 12. Đồng thời học sinh cũng được dần
dần làm việc với từng loại phương trình, bất phương trình thích ứng với năng
lực nhận thức Toán học của học sinh.
Ở đầu bậc Trung học phổ thông, cụ thể là sách giáo khoa Đại số 10,
Nâng cao, học sinh được học về phương trình, bất phương trình với các khái
niệm chung và phương pháp giải phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc
hai một ẩn số. Nếu không nghiên cứu kỹ thì có thể đưa ra kết luận: kiến thức
này là sự trình bày lại những gì mà học sinh đã được làm quen ở bậc trung
học cơ sở. Thực chất ở đây có sự lặp lại về hình thức nhưng lại có sự khác

biệt về nội dung.
14
Đến đầu lớp 11, Sách giáo khoa trình bày các kiến thức về phương
trình và bất phương trình lượng giác. Đây là sự tiếp nối mạch kiến thức về
hàm số luợng giác và các công thức lượng giác đã được học từ cuối lớp 10.
Tuy nhiên so với sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì các kiến thức ở mảng
này được trình bày đơn giản hơn: Chỉ giới thiệu và nêu cách giải các phương
trình lượng giác cơ bản; phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số
lượng giác; phương trình đẳng cấp bậc hai, và phương trình bậc nhất đối với
sinx và cosx. Còn phương trình đối xứng đối với sinx và cosx cũng như bất
phương trình lượng giác được đưa vào phần đọc thêm. Như vậy chương trình
mới phù hợp với tinh thần giảm tải của Bộ GD&ĐT đã đề ra.
Đến chương trình lớp 12, Sách giáo khoa đã đưa ra định nghĩa và các
phương pháp giải phương trình và bất phương trình mũ và logarit, đây cũng là
dạng phương trình và bất phương trình cuối cùng được trình bày trong
chương trình Toán trung học phổ thông.
2. Các dạng bài tập và phương pháp giải toán phương trình và bất phương
trình
+ Phương trình, bất phương trình đa thức và phân thức:
Đối với dạng toán phương trình đa thức và phân thức, thì các phương
trình “cơ bản” được trình bày trong chương trình là phương trình bậc nhất và
phương trình bậc hai. Thông thường, các dạng phương trình khác, trong quá
trình giải đều đưa về các dạng cơ bản trên. Vì vậy Sách giáo khoa đã nêu
thuật giải chi tiết để giải các loại phương trình đó.
Bên cạnh đó, nhằm mục đích phục vụ cho việc khảo sát hàm số ở lớp
12, nên từ lớp 10, Sách giáo khoa cũng đã đưa ra phương trình bậc ba và
phương trình bậc bốn.
Phương trình bậc ba được nêu ra trong chương trình chủ yếu là các
phương trình đặc biệt, có thể tìm ra một nghiệm nguyên một cách tương đối
15

dể dàng, sau đó học thực hiện phép phân tích để đưa về phương trình bậc nhất
và bậc hai.
Phương trình bậc bốn chỉ giới thiệu dạng trùng phương, bằng cách đặt
ẩn phụ sẽ đưa về phương trình bậc hai.
Đối với các bài tập bất phương trình đa thức và phân thức, thì kiến thức
về xét dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai lại là kiến thức cơ bản.
Bất phương trình đa thức và phân thức tổng quát được giải bằng cách chuyển
tất cả các hạng tử về một vế, phân tích thành thừa số bậc nhất hoặc bậc hai rồi
lập bảng xét dấu để lấy nghiệm.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
2 1
1 2 3
x x
x x
−
<
+ −
Giải:
Ta có bất phương trình tương đương
2 1
0
1 2 3
x x
x x
−
− <
+ −

1 4
0

( 1)(2 3)
x
x x
−
⇔ <
+ −
Bảng xét dấu vế trái:
x
∞−
-1
4
1

2
3

∞+
1-4x
+ + 0 − −
x+1
− 0 + + +
2x-3
− − − 0 +
Vế trái
+ || − 0 + || −
Ta được nghiệm -1 < x <
4
1
; x >
2

3
+ Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối:
Để giải các bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối, cần khắc sâu cho
các em học sinh định nghĩa giá trị tuyệt đối |A| =
, 0
, 0
A n A
A n A
≥


− <

Õu
Õu
16
Và các phép biến đổi tương đương cơ bản:
1) |f (x)| = |g (x)|
⇔
f
2
(x)=g
2
(x)
⇔
f (x) =
±
g(x)
2) |f (x)|= g (x)
⇔

2 2
( ) ( )
( ) 0
f x g x
g x

=

≥

⇔

( ) ( )
( ) 0
f x g x
g x
= ±


≥

3) |f (x)|< α
⇔
- α < f (x) < α (α >0)
|f (x)|> α
⇔
( )
( )
f x
f x

> α


< −α

(α >0)
4) |f (x)| < |g (x)|
⇔
f
2
(x) < g
2
(x)
5) |f (x)| > g (x)
⇔
2 2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
g x
g x
f x g x
<


≥





>



6) f (x)| < g (x)
⇔
( ) 0
( ) ( ) ( )
g x
g x f x g x
>


− < <

Ví dụ 2: Giải phương trình
2 2 1 0x x− − − =

Nhận xét:
Đối với dạng toán này, trong chương trình toán trung học phổ thông,
thường có các định hướng như sau:
+ Thứ nhất, nếu dùng công cụ là định nghiã giá trị tuyệt đối, ta có bài toán
tương đương như sau:
Nếu x ≥2 phương trình trở thành x +1 = 0
⇔
x = -1 (không thỏa mãn).
Nếu x <2 phương trình trở thành 3x - 3 = 0
⇔
x = 1 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1.

+ Thứ hai, nếu dùng các phép biến đổi tương đương, ta có:
Phương trình đã cho tương đương
2 2 1x x− = −
Điều kiện: 2x - 1≥0
⇔
x ≥
2
1
Bình phương hai vế, ta có: (x - 2)
2
= (2x - 1)
2
⇔
x
2
= 1
⇔
x =
±
1
17
Đối chiếu với điều kiện x ≥
2
1
, phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1.
+ Phương trình, bất phương trình vô tỉ
Phương trình, bất phương trình vô tỉ là phương trình, bất phương trình
chứa biểu thức vô tỉ của ẩn.
Để giải dạng toán này, cần cho học sinh nắm vững các kiến thức:
k

A
2
có nghĩa
⇔
A
≥
0
k
A
2

≥
0 với mọi A
≥
0
Và cần áp dụng các phép biến đổi tương đương cơ bản sau đây:
1)
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( )
k
k
f x g x f x g x
+
+
= ⇔ =
2)




≥
=
⇔=
0)(
)()(
)()(
2
2
xg
xgxf
xgxf
k
k
3)
)()()()(
1212
xgxfxgxf
kk
=⇔=
++
4)



≥
=
⇔=
0)(
)()(
)()(

22
xg
xgxf
xgxf
kk
5)
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
f x
f x g x
f x g x
≥

< ⇔

<

6)
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x

≥

< ⇔ >



<

7)
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
f x
g x
f x g x
g x
f x g x
 >



<


> ⇔

≥



>




+ Phương trình, bất phương trình mũ và logarit
Từ định nghĩa các hàm số mũ và hàm số lôgarit, với mọi a > 0 và a ≠ 1
ta có các phép biến đổi tương đương như sau:
1) a
f (x)
=b
⇔
f (x) = log
a
b (b>0)
18
2) a
f (x)
=a
g (x)

⇔
f (x) = g(x)
3) log
a
f (x) = b
⇔
f (x) = a
b
4) log
a
f (x) = log

a
g (x)
⇔
( ) ( )
( ) 0
f x g x
f x
=


>

5) a >1: a
f (x)
<a
g (x)
⇔
f (x) <g (x)
6) 0<a <1: a
f (x)
<a
g (x)
⇔
f (x) > g (x)
7) a >1: log
a
f (x) <log
a
g (x)
⇔

( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x
>


<

8) 0<a <1: log
a
f (x)<log
a
g (x)

⇔

( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
>


>

Ví dụ 3: Giải phương trình
(2 3) (2 3) 4
x x
− + + =

Giải:
Nhận xét: (2-
3
) (2+
3
)=1. Vì vậy bài toán trở nên “quen thuộc” nếu ta đặt
t =
(2 3)
x
+
, bởi vì khi đó
1
(2 3)
x
t
− =
Giải ra, phương trình có hai nghiệm x =-1 và x =1.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình
1
1
1
( 5 2) ( 5 2)
x
x
x
−
−
+
+ ≥ −
Giải:

Tương tự như ví dụ 4 ở trên, ta có nhận xét
)15( +
)15( −
=1, vì vậy,
với x ≠-1 bất phương trình
⇔
1
1
)25(
1
)25(
+
−
−
+≥
−
+
x
x
x
⇔
1 1 ( 1)( 2)
1 ( 1)(1 0 0 2 1, 1.
1 1) 1
x x x
x x x x
x x x
− − +
⇔ − ≥ − ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≤ < − >
+ + +

+ Phương trình, bất phương trình lượng giác
So với chương trình cũ, kiến thức trong các sách giáo khoa hiện hành
được trình bày theo hướng giảm nhẹ lý thuyết kinh viện, tăng cường thực
19
hành, coi trọng vai trò của ghi nhận trực giác, coi trọng rèn luyện khả năng
quan sát và dự đoán.
Trên tinh thần đó, sách giáo khoa hiện hành chỉ giới thiệu khái niệm và
thuật toán giải các phương trình lượng giác cơ bản; phương trình bậc nhất và
bậc hai đối với một hàm số lượng giác; phương trình bậc nhất đối với sinx và
cosx; phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. Còn các dạng
phương trình khác và cách giải bất phương trình lượng giác được đưa vào bài
đọc thêm. Cũng trên quan điểm giảm tải đối với học sinh, gắn toán học vốn
mang tính khô khan với đời sống hàng ngày, nên các bài tập đưa ra không
còn nhiều bài khó, các bài tập mang tính ứng dụng được đưa ra nhiều hơn,
điều đó tạo hứng thú tốt cho người học.
- Những tình huống điển hình liên quan đến phương trình, bất phương
trình có chứa tham số
+ Giải và biện luận
Giải và biện luận phương trình, bất phương trình có nghĩa là tùy theo các
giá trị của tham số tiến hành giải phương trình, bất phương trình đó. Đây là
dạng toán cơ bản trong bài toán có chứa tham số, việc giải và biện luận cũng
giống như giải một bài toán tổng quát, mà ứng với mỗi giá trị cụ thể của tham
số ta có được trường hợp riêng của bài toán đó. Dạng toán giải và biện luận
đòi hỏi người học phải có năng lực tư duy, nên chưa phù hợp để đưa vào dạy
ở bậc Trung học cơ sở. Ngay từ đầu cấp Trung học phổ thông việc giải và
biện luận phương trình, bất phương trình được dạy một cách đầy đủ, chặt chẽ,
lôgic. Sách giáo khoa Đại số 10, Nâng cao, lần lượt giới thiệu phương pháp
giải và biện luận phương dạng ax + b = 0, giải và biện luận phương dạng
ax
2

+ bx + c = 0, giải và biện luận phương bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao, chỉ rõ các kỹ năng giải, biện luận cần đạt
của học sinh là:
+) Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn.
20
+) Phương trình dạng ax + b = cx + d và phương trình chứa ẩn ở
mẫu.
+) Phương trình trùng phương.
+) Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất, bậc hai đơn giản có
chứa tham số.
Nội dung giải và biện luận phương trình, bất phương trình chứa một thời
lượng khá lớn trong nội dung phương trình và bất phương trình, điều này
được thể hiện ngay trong bài giảng và bài tập rèn luyện sau mỗi tiết học. Số
lượng bài tập giải và biện luận mà sách giáo khoa Đại số 10 đưa ra là tương
đối lớn. Tuy nhiên bài tập giải và biện luận có nhiều mức độ khác nhau nhằm
vào các mục đích: củng cố kiến thức được học, tăng cường khả năng vận
dụng kiến thức và rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh.
Bài tập củng cố kiến thức được học, chẳng hạn như:
Ví dụ 5: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) (m
2
+ 2)x - 2m = x - 3.
b) (m - 1)x
2
+ 3x - 1 = 0.
Đối với dạng bài tập này, chỉ cần học sinh hiểu kiến thức được học và
tiến hành gần như tương tự thì sẽ giải quyết được.
Ở mức độ khó hơn, Sách giáo khoa đưa ra những bài tập đòi hỏi sự vận
dụng linh hoạt kiến thức đã có, chẳng hạn như:
Ví dụ 6: Giải và biện luận theo tham số m:

a) (2x + m - 4) (2mx - x + m) = 0.
b)
1
1
mx
m
x
+
=
−
.
Học sinh chưa được cung cấp phương pháp chung để giải phương trình:
(2x + m - 4) (2mx - x + m) = 0
Nhưng ở đây, nếu học sinh suy nghĩ sẽ nhận xét thấy đây là tích của hai
phương trình dạng ax + b = 0, là phương trình mà phương pháp giải và biện
21
luận đã biết. Để giải biện luận ta tiến hành giải và biện luận từng phương
trình: 2x + m - 4 = 0 và 2mx - x + m = 0, sau đó nêu kết luận chung của
phương trình dựa vào kết quả giải và biện luận hai phương trình trên. Ví dụ
6b) là dạng toán mà cách giải và biện luận học sinh vẫn chưa được cung cấp.
Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu, nằm trong giá trị tuyệt đối. Để giải được
phương trình này học sinh cần có kiến thức về giá trị tuyệt đối, từ đó học sinh
dễ dàng nêu ra kết luận: nếu m < 0 thì phương trình vô nghiệm. Do đó, chỉ
cần xem xét trường hợp m ≥ 0, trong trường hợp này ta có thể phá bỏ dấu giá
trị tuyệt đối và đưa phương trình cần giải và biện luận về việc giải và biện
luận hai phương trình chứa ẩn ở mẫu đó là:

1
1
mx

m
x
+
=
−
và
1
1
mx
m
x
+
= −
−
Sau đó biện luận kết quả của phương trình dựa vào kết quả biện luận của
hai phương trình trên.
Ví dụ 7: Giải và biện luận phương trình:
x
4
+ (2a - 1)x
2
+ a
2
-1 = 0 (2)
Để giải phương trình trên thì cần có bước đặt ẩn phụ, nhằm chuyển
phương trình đã cho về phương trình bậc hai.
Đặt: t = x
2
, điều kiện: t ≥ 0. Phương trình trở thành:
f (t) = t

2
+ (2a - 1)t + a
2
- 1 = 0 (3)
Đây là bước mà học sinh bình thường đều có thể tiến hành, bởi thực chất
phương trình đã cho là phương trình trùng phương, có thể dễ dàng chuyển về
phương trình bậc hai một ẩn số. Vấn đề cần sự tư duy, ở đây là sự tương quan
giữa nghiệm của hai phương trình (2) và (3).
+ Tìm điều kiện của tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn
tính chất cho trước
a) Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm
Điều kiện để phương trình dạng ax + b = 0 (x là ẩn số) có nghiệm sẽ là:
22
a ≠ 0 hoặc a = b = 0.
Điều kiện để phương trình dạng ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm là:
+) a = 0 và b ≠ 0.
+) a = 0 và b = c = 0
+) a ≠ 0 và ∆ = b
2
- 4ac ≥ 0.
Ví dụ 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
(m - 1)x
2
+ 2x - 1 = 0.
Xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m = 1 thì phương trình trở thành: 2x -1 = 0 ⇔ x =
1
2

.
Vậy với m = 1 phương trình có nghiệm.
Trường hợp 2: Với m ≠ 1, để phương trình có nghiệm thì:
∆’ = 1 + (m - 1) = m ≥ 0.
Vậy để phương trình có nghiệm thì điều kiện của tham số sẽ là: m ≥ 0.
Trên đây là dạng toán cơ bản mà việc giải chúng là khá đơn giản nhờ vào
việc vận dụng kiến thức cơ bản trong nội dung chương trình. Tuy nhiên, trong
thực tế còn nhiều bài toán với mức độ phức tạp cao hơn.
Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x + 3 (m - 3x
2
)
2
= m.
Phương trình trên có thể dễ dàng nhận ra là một phương trình bậc 4, nếu
giải bằng phương pháp đưa về phương trình tích là rất khó khăn. Nhờ vào
việc phân tích kỹ đặc điểm bài toán, ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn số
phụ:
y = m - 3x
2
Với cách đặt ẩn phụ này ta chuyển bài toán về hệ phương trình đối xứng
2 ẩn số:
23

2
2
3
3
x y m
y x m


+ =


+ =


(I)
Học sinh đã biết phương pháp giải hệ đối xứng này, thực hiện phép trừ 2
vế hai phương trình.
b) Tìm điều kiện của tham số để phương trình vô nghiệm
Bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình vô nghiệm, thực chất
là bài toán ngược của bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có
nghiệm. Nếu như tập hợp các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm
là S, miền giá trị của tham số là D, thì tập hợp các giá trị của tham số để
phương trình vô nghiệm là D\S.
Phương trình dạng: ax + b = 0 vô nghiệm khi: a = 0 và b ≠ 0.
Phương trình dạng: ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm khi:
+) a = b = 0 và c ≠ 0.
+) a ≠ 0 và ∆ = b
2
- 4ac < 0.
Quay trở lại với ví dụ: tìm điều kiện tham số m để phương trình sau có
nghiệm:
x + 3 (m - 3x
2
)
2

= m.
Giá trị m để phương trình có nghiệm là m ≥
1
12
−
, nên dễ dàng suy ra giá
trị của m để phương trình vô nghiệm sẽ là: m <
1
12
−
.
c) Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất
Đối với phương trình dạng ax + b = 0 điều kiện để nó có nghiệm duy
nhất sẽ là: a ≠ 0.
Đối với phương trình dạng ax
2
+ bx + c = 0 điều kiện để nó có nghiệm
duy nhất sẽ là:
+) a = 0 và b ≠ 0.
+) a ≠ 0, ∆ = b
2
– 4ac = 0.
24
Nên bài toán tìm điều kiện của tham số để những phương trình có dạng:
ax + b = 0 và ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm duy nhất thì lời giải là khá rõ ràng,
nó cũng chính là bài tập cơ bản mà học sinh cần phải nắm được.
Tuy nhiên, có rất nhiều bài tập yêu cầu tìm điều kiện của tham số để
phương trình có nghiệm duy nhất có độ khó cao, chẳng hạn như:

Ví dụ 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x
2
- 2mx + (m + 1)x-m+1 = 0 (4)
Nếu học sinh xét 2 trường hợp x ≥ m và x < m để phá dấu giá trị tuyệt đối
thì sẽ đưa lại phức tạp trong tính toán, cũng như trong suy luận. Tuy nhiên
nếu biết biến đổi chút ít, học sinh chuyển được phương trình (4) về dạng:
(4) ⇔ (x - m)
2
+ (m + 1)x - m + 1 - m
2
= 0
Đặt X = x - m, (điều kiện: X ≥ 0), ta được:
X
2
+ (m + 1)X + 1 - m
2
= 0. (5)
Với mỗi X > 0, phương trình (4) có 2 nghiệm x = m ± X.
Với mỗi X = 0, phương trình (4) có 1 nghiệm x = m.
Với mỗi X < 0, phương trình (4) vô nghiệm.
Từ định hướng trên, học sinh dễ dàng thực hiện các công việc tiếp theo.
d) Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ
thức cho trước
Đối với loại toán này thường được ra với phương trình bậc hai. Yêu cầu
tìm giá trị tham số sao cho nghiệm x
1
, x
2
của phương trình bậc hai thỏa mãn

hệ thức cho trước như:
x
1
= 2x
2
; x
1
= 9x
2
;
2 2
1 2 1 2
2 3x x x x+ =
; …
hoặc thỏa mãn hệ thức đối xứng:

3 3
1 2
40x x+ =
;
4 4
1 2
3x x+ =
;…
Với dạng toán này nếu đi tìm ra các nghiệm x
1
, x
2
rồi thay vào hệ thức để
tìm ra giá trị tham số sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Bởi khi đó các nghiệm sẽ

25
được tính theo tham số và có chứa căn bậc hai nên khá cồng kềnh, rất phức
tạp trong tính toán. Để đơn giản trong quá trình giải thì phương pháp giải
thông thường là vận dụng Định lí Viet đối với phương trình bậc hai, kết hợp
với hệ thức mà đề bài đã cho nhằm tìm ra giá trị tham số.
Ví dụ 11: Tìm m sao cho phương trình:
x
2
- (m + 2)x + m
2
+ 1 = 0
có nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn hệ thức:
2 2
1 2 1 2
2 3x x x x+ =
Trước hết ta phải đi tìm điều kiện của tham số để phương trình có
nghiệm:
∆ = (m + 2)
2
- 4 (m
2
+ 1) ≥ 0
⇔ - 3m
2
+ 4m ≥ 0
⇔ 0 ≤ m ≤

4
3
(*)
Khi đó theo Định lí Viet phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:

1 2
2
1 2
2
. 1
x x m
x x m
+ = +


= +

Kết hợp với điều kiện bài ra ta thu được hệ:

+ = +


= +


+ =


1 2
2
1 2
2 2
1 2 1 2
2 (6)
. 1 (7)
2 3 (8)
x x m
x x m
x x x x
e) Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình có nghiệm chung
Bài toán cơ bản của dạng toán là xem xét hai phương trình ax
2
+ bx + c =
0 và a’x
2
+ b’x + c’ = 0 khi nào thì có nghiệm chung. Điều đó đưa về tìm điều
kiện để hệ:

2
2
0
' ' ' 0
ax bx c
a x b x c

+ + =



+ + =


có nghiệm.