Giáo án toán hình học 12 (từ tiết 21 đến 35)

NGUYEN THANH LONG TO TOAN, TRệễỉNG THPT NGUYEN ẹèNH CHIEU GIAO AN Hình Học 12
Tiết 20 elíp.
Ngày dạy : / /
I Mục tiêu bài dạy.
* Hớng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững hình dạng và tâm sai của elíp, xác
định đợc tâm sai, tiêu điểm, tiêu cự của elíp, trục lớn, trục nhỏ của elíp.
* Rèn luyện và phát triển kĩ năng tính toán, vẽ hình cho học sinh.
II Chuẩn bị của GV và Học sinh.
* Phơng trìnhchính tắc của elíp.
* Giáo án, đồ dùng dạy học.
III Tiến trình bài dạy.
Bớc 1: ổn định lớp.
Bớc 2: Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghĩa và phơng trình chính tắc của elíp.
Hoạt động của Thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1 Hớng dẫn học sinh phát
hiện và nắm vững hình dạng của elíp.
Lấy M(x, y) (E).
<H> Nhận xét gì về M(-x, y) ?
Tơng tự cho điểm M(x, -y) ?
Từ đó ta có thể kết luận điều gì ?
<H> Xác định giao điểm của elíp với
các trục toạ độ ?
<H> M(x, y)(E):
1
2
2
2
2
=+
b
y

a
x
, a>b>0.
<H> Nhận xét gì về hoành độ và tung độ
của điểm M ?
Hoạt động 2. Hớng dẫn học sinh phát
hiện tâm sai của elíp.
Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của
elíp gọi là tâm sai của elíp.
<H> Nhận xét gì về tâm sai của elíp ?
Củng cố: Nắm vững hình dạng và tâm
sai của elíp.
Làm hết các bài tập SGK.
M(-x, y) đối xứng với M qua
Ox và M (E).
M(-x, y) đối xứng với M qua
Oy và M (E).
Từ đó ta thấy elíp nhận Ox và
Oy làm trục đối xứng, nên nó
có tâm đối xứng là O.
x = 0
1
2
2
=
b
y
y=b, y= -b.
y = 0
1

2
2
=
a
x
x=a, x= -a.
Elíp (E) cắt Ox tại (-a, 0) và
(a, 0) và cắt Oy tại (0, -b) và
(0, b).















byb
axa
b
y
a
x

1
1
2
2
2
2
.
Tâm sai của elíp luôn luôn nhỏ
hơn 1.
3. Hình dạng của elíp Cho elíp (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
, a > b > 0.
a, Elíp (E) nhận Ox, Oy làm trục đối xứng, nên nó
nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.
b, Elíp (E) cắt Ox tại A
1
(-a, 0) và A
2
(a, 0) và
cắt Oy tại B
1

(0, -b) và B
2
(0, b).
A
1
, A
2
, B
1
và B
2
gọi là các đỉnh của Elíp.
A
1
A
2
: trục lớn, B
1
B
2
: trục nhỏ.
2a: độ dài trục lớn, 2b: độ dài trục nhỏ.
c, M(x, y) (E):
1
2
2
2
2
=+
b

y
a
x
, a > b > 0
















byb
axa
b
y
a
x
1
1
2
2

2
2
. Vậy toàn bộ đờng elíp nằm trong miền chữ nhật
giới hạn bởi các đờng x = a, x = -a, y = b và y = -b. Hình chữ nhật đó gọi là
hình chữ nhật cở sở của elíp.
4. Tâm sai của elíp.
Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elíp gọi là tâm sai của elíp, kí hiệu: e.
Tâm sai của elíp (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
, a > b > 0 là: e =
a
ba
a
c
22

=
.
Chú ý. a, Tâm sai của elíp luôn luôn nhỏ hơn 1.
b, Tâm sai gần bằng 0 thì elíp gần nh là đờng tròn.
c, Tâm sai của elíp gần bằng 0 thì elíp rất dẹt.

Tiết 21 BàI TậP elíp.
Ngày dạy : / /
I Mục tiêu bài dạy.
* Hớng dẫn học sinh xác định tiêu điểm, trục lớn, trục nhỏ, tâm sai của elíp
của elíp, giải các bài toán liên quan đến bán kính qua tiêu của elíp.
* Rèn luyện và phát triển kĩ năng tính toán, vẽ hình cho học sinh.
II Chuẩn bị của GV và Học sinh.
* Giáo án, đồ dùng dạy học.
III Tiến trình bài dạy.
Bớc 1: ổn định lớp.
Bớc 2: Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghĩa và phơng trình chính tắc của elíp.
Bớc 3: Tiến trình bài dạy.
Trang 37
A
1
A
2
B
1
B
2
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
* Ph¬ng tr×nhchÝnh t¾c cđa elÝp.
Ho¹t ®éng cđa ThÇy Ho¹t ®éng cđa trß Néi dung ghi b¶ng
Ho¹t ®éng 1 Híng dÉn häc sinh lËp ph-
¬ng tr×nh cđa elÝp.
<H> PTCT cđa elÝp cã d¹ng g×?
<H> LÊy M(x, y) ∈ (E) khi nµo?
Gäi hs gi¶i bµi tËp 2 sgk.
GV nhËn xÐt, ghi ®iĨm cho hs.

Ho¹t ®éng 2. Híng dÉn häc sinh gi¶i
bµi tËp 3 sgk.
* Trêng hỵp 1: Khi elÝp cã pt chÝnh t¾c
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
. X¸c ®Þnh to¹ ®é tiªu ®iĨm
vµ pt ®êng th¼ng ®i qua tiªu ®iĨm F
1
?
* Trêng hỵp 2: Khi elÝp cã pt
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
nhng kh«ng ph¶i lµ pt
chÝnh t¾c.

<H> §é dµi AB b»ng bao nhiªu?
<H> X¸c ®Þnh to¹ ®é tiªu ®iĨm vµ pt ®-
êng th¼ng ®i qua tiªu ®iĨm F
1
?
Ho¹t ®éng 3. Híng dÉn häc sinh gi¶i
bµi tËp 4 sgk.
<H> MF
1
= ? MF
2
= ?
<H> MF
1
= 2MF
2
⇔ ?

Ho¹t ®éng 4. Híng dÉn häc sinh gi¶i
bµi tËp 5 sgk.
Cđng cè: Lµm c¸c bµi tËp cßn l¹i.
Lµm hÕt c¸c bµi tËp SGK.
* (E):
1
2
2
2
2
=+
b

y
a
x
, a > b > 0
* To¹ ®é M tho¶ m·n pt cđa elÝp.
F
1
(-c, 0) vµ pt ®êng th¨ng ®i qua F
1
lµ
x = -c.
§é dµi AB b»ng b¸n kÝnh trơc lín AB
= 2b.
* MF
1
= a +
a
cx

MF
2
=
a
cx
a −
* MF
1
= 2MF
2

⇔ a +
a
cx
= 2(
a
cx
a −
)
Bi 2:
a/ (E) cọ F
1
(-
3
; 0) v qua M( 1;
2
3
) → Âs:
1
14
22
=+
yx
b/ (E) qua M(1; 0); v N(
2
3
; 1)
c/ a
2
= 1 ; b
2

= 4 vç a
2
< b
2
nãn khäng cọ ptct.
Bi 3:
Nãúu a > b ta âỉåüc AB =
a
b
2
2
.
Nãúu a < b ta âỉåüc AB = 2b.
Bi 4: Xẹt (E):
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1 a > b
Do MF
1
= 2MF
2

nãn a +

a
cx
= 2(
a
cx
a −
) hay x =
c
a
3
2
.Thay vo pt (E)
ta cọ y
2
=
2
222
9
)98(
c
bab −

Nhỉ váûy nãúu 8a
2
< 9b
2
bi toạn vä nghiãûm.
Nãúu 8a
2
> 9b

2
ta cọ hai âiãøm M
1
; M
2
Nãúu 8a
2
= 9b
2
ta cọ mäüt âiãøm M(a; 0)
Bi 5: Cho (E):
1
916
22
=+
yx
v I(1; 2)
Âỉåìng thàóng d âi qua I cọ ptts:



+=
+=
bty
atx
2
1
âãø tçm toả âäü giao
âiãøm A,B ca d våïi (E) ta gii pt: (1 + at)
2

/16 + (2 + bt)
2
/9 = 1 pt
ln cọ nghiãûm
Nãúu t
1
, t
2
l nghiãûm thç A(1 + at
1
, 2 + bt
1
)
B(1 + at
2
, 2 + bt
2
) nãn
IA
= (at
1
,bt
1
);
IB
= (at
2
, bt
2
) âãø I l trung âiãøm

AB thç
IA
+
IB
=
0
hay t
1
+t
2
=0 suy ra a/16 + 2b/9 = 0 chn a = 32, b
= -9 ta âỉåüc pt âỉåìng thàóng d: 9x + 32y 73 = 0.–
Trang 38
NGUYEN THANH LONG TO TOAN, TRệễỉNG THPT NGUYEN ẹèNH CHIEU GIAO AN Hình Học 12
Tiết 22-23 ÔN Tập học kỳ I
Ngày dạy : / /
I Mục tiêu bài dạy.
* Hớng dẫn học sinh ôn tập, hệ thống, củng cố lại một số kiến thức đã học và
giải một số dạng toán để thi học kỳ I.
* Rèn luyện và phát triển kĩ năng tính toán, vẽ hình cho học sinh.
II Chuẩn bị của GV và Học sinh.
* Phơng trình đờng thẳng, đờng tròn, elíp và các bài toán liên quan.
* Giáo án, đồ dùng dạy học.
III Tiến trình bài dạy.
Bớc 1: ổn định lớp.
Bớc 2: Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghĩa và phơng trình chính tắc của elíp.
Bớc 3: Tiến trình bài dạy.
Trang 39
NGUYEN THANH LONG TO TOAN, TRệễỉNG THPT NGUYEN ẹèNH CHIEU GIAO AN Hình Học 12
Trang 40

Hoạt động của Thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1. Hớng dẫn hs lập phơng trình đ-
ờng thẳng.
<H> Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
)2;1(M
và song song với đờng thẳng
0532: =++ yx
?
<H> Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
)2;1(
0
M
và vuông góc với đờng thẳng
012:)( =+ yxa
?
<H> Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai
điểm
)2;3(,)3;1( BA
?
Hoạt động 2. Hớng dẫn hs giải một số bài tập
về đờng tròn.
<H> Nêu phơng trình đờng trong tâm I(a, b)
và bk R?
<H> Tìm tâm và bán kính của các đờng tròn:
01246
22
=++
yxyx
?
<H> Tìm tâm và bán kính của các đờng tròn:

02364
22
=++ yxyx
?
Hoạt động 3. Hớng dẫn hs giải một số bài tập
về elíp
<H> Nêu phơng trình elíp?
<H> M thuộc elíp khi nào?
<H> Tìm tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục
và tâm sai của elip
1
925
:)(
22
1
=+
yx
E
?
4. Củng cố: Làm các bài tập còn lại.
* Phơng trình của đờng thẳng d đi qua
)2;1(M
và có vectơ pháp tuyến
)3;2(=n

là:
0832
0)2(3)1(2
=+
=+

yx
yx
* Đờng thẳng b đi qua
)2;1(
0
M
và vuông
góc với (a) sẽ nhận
)1;2(' =

n
làm vectơ
pháp tuyến có phơng trình là:
2( 2) 1( 2) 0x y
+ + =

2 2 0x y + =
.
* Đờng thẳng AB có vtcp
AB
uuur
= (2, -1) nên nó
có vtpt
(1,2)n =
r
.
* PT: (x - a)
2
+ (y - b)
2

= R
2
.
*
01246
22
=++
yxyx
2 2
( 6 9) ( 4 4) 25x x y y + + + + =
2 2
( 3) ( 2) 25x y
+ + =
.
Vậy đờng tròn có tâm
)2;3(I
và bán kính
R = 5.
*
02364
22
=++ yxyx
?
2 2
( 4 4) ( 6 9) 36x x y y + + + + =
2 2
( 2) ( 3) 36x y
+ + =
. Vậy đờng tròn có tâm
)3;2( I

và bán kính R = 6.
* PTCT elíp:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
.
* Ta có:
16925,9,25
22222
===== bacba
Suy ra:
416,39,525
======
cba
Vậy
)(
1
E
có: Tiêu điểm
1. Viết phơng trình đờng thẳng:
a/. Đi qua
)2;1(M
và song song với đờng thẳng
0532: =++ yx
Vectơ pháp tuyến của
)3;2(: = n

cũng chính là vectơ pháp tuyến của đờng
thẳng phải tìm d.
Phơng trình của đờng thẳng d đi qua
)2;1(M
và có vectơ pháp tuyến
)3;2(=n

là:
0832
0)2(3)1(2
=+
=+
yx
yx
b/. Đi qua
)2;1(
0
M
và vuông góc với đờng thẳng
012:)( =+ yxa
Vectơ pháp tuyến của
)2;1(:)( =na

Ta có:
)1;2(' = nn

Đờng thẳng b đi qua
)2;1(
0
M

và vuông góc với (a) sẽ nhận
)1;2(' =

n
làm vectơ pháp tuyến có phơng trình là:
2( 2) 1( 2) 0x y + + =

2 2 0x y + =
c/. Đi qua hai điểm
)2;3(,)3;1( BA
Ta có:
)1;2( =AB
. Suy ra:
)2;1(= nAB

Phơng trình đờng thẳng AB đi qua
)3;1(A
và cps vectơ pháp tuyến
)2;1(=n

là:
0720)3(2)1(1 =+=+ yxyx
2/. Tìm tâm và bán kính của các đờng tròn:
a/.
01246
22
=++ yxyx
2 2
( 6 9) ( 4 4) 25x x y y + + + + =

2 2
( 3) ( 2) 25x y
+ + =
. Vậy đờng tròn
có tâm
)2;3(I
và bán kính R = 5.
b/.
02364
22
=++ yxyx
2 2
( 4 4) ( 6 9) 36x x y y + + + + =
2 2
( 2) ( 3) 36x y
+ + =
. Vậy đờng tròn có tâm
)3;2( I
và bán kính R = 6.
3/. Tìm tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục và tâm sai của elip:
a/.
1
925
:)(
22
1
=+
yx
E
Ta có:

16925,9,25
22222
===== bacba
Suy ra:
416,39,525 ====== cba
Vậy
)(
1
E
có: Tiêu điểm
)0;4(,)0;4(
21
FF
Trục lớn: 2a = 10 Trục bé: 2b =
6 Tâm sai:
5
4
==
a
c
e
b/.
1
25169
:)(
22
2
=+
yx
E

d

n

NGUYEN THANH LONG TO TOAN, TRệễỉNG THPT NGUYEN ẹèNH CHIEU GIAO AN Hình Học 12
Tiết 24. Hypebol
Ngày dạy: / /
I Mục tiêu bài dạy
* Học sinh phát hiện và nắm vững định nghiã hypebol, phơng trình
chính tắc của hypebol,
hình dạng hypebol, bán kính qua tiêu, tiệm cận và tâm sai của hypebol.
* Rèn luyện kĩ năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẫn bị của GV và HS.
Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, dây, thớc và compa.
Học sinh: chuẫn bị bài trớc ở nhà.
III. Tiến trình bài dạy.
Bớc 1: ổn định lớp.
Bớc 2: Kiểm tra bài cũ:
Bớc 3: bài mới.
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1 Hớng dẫn học sinh phát
hiện và nắm vững khái niệm hypebol.
Trong mặ phẳng, cho hai điểm cố định
F
1
và F
2
với F
1
F

2
= 2c > 0. Lấy một
vòng dây quấn quanh hai điểm F
1
F
2
. Ta
căng dây ra rồi quay quanh hai điểm đó
để vạch nên một đờng. Đờng đó gọi là
Hypebol.
GV đa ra khái niệm Hypebol.
Hoạt động 2. Hớng dẫn học sinh phát
hiện phơng trình chính tắc của hypebol.
Giả sử hypebol (E) gồm những điểm M
sao cho: MF
1
+ MF
2
= 2a. Chọn hệ toạ
độ Oxy sao cho
F
1
(-c, 0) và F
2
(c, 0) M(x, y).
<H> Ta có MF
1
2
= ?
MF

2
2
= ?
Suy ra: MF
1
2
- MF
2
2
= ?
MF
1
2
+ MF
2
2
= ?
<H> So sánh |MF
1
+ MF
2
| và 2a
<H> M (H) ?
Thay vào và tính ta đợc PTCT của
hypebol là
1
2
2
2
2

=
b
y
a
x
(với b
2
= c
2
- a
2
).
<H> T MF
1
2
- MF
2
2
= 4cx
|MF
1
- MF
2
| = 2a suy ra MF
1
,
MF
2
?
* MF

1
2
= (x + c)
2
+ y
2
,
MF
2
2
= (x - c)
2
+ y
2
.
Suy ra: MF
1
2
- MF
2
2
= 4cx.
MF
1
2
+ MF
2
2
= 2(x
2

+ y
2
+ c
2
)
M (E) MF
1
+ MF
2
= 2a
* |MF
1
+ MF
2
| 2c > 2a.
M (H) |MF
1
- MF
2
| = 2a (MF
1
-
MF
2
)
2
= 4a
2

(MF

1
- MF
2
)
2
- 4a
2
)[( MF
1
+ MF
2
)
2
+
4a
2
] = 0
* Khi x > 0, ta có |MF
1
- MF
2
| = 2a
MF
1
- MF
2
= 2a MF
1
+ MF
2

= 2
a
cx
.Các bán kính đi qua tiêu điểm của điểm
M là:
1. Định nghĩa.
Trong mặ phẳng, cho hai điểm cố định F
1
và F
2
với F
1
F
2
= 2c > 0.
Tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho |MF
1
- MF
2
| = 2a (a là
số không đổi nhỏ hơn c) gọi là một hypebol.
F
1
, F
2
: tiêu điểm của hypebol. Khoảng cách 2c: tiêu cự.
M thuộc hypebol thì MF
1
, MF
2

gọi là các bán kính qua tiêu điểm của M.
2. Ph ơng trình chính tắc của hypebol.
Giả sử hypebol (H) gồm những điểm M sao cho: |MF
1
- MF
2
| = 2a.
Chọn hệ toạ độ Oxy sao cho F
1
(-c, 0) và F
2
(c, 0).
M, ta có: MF
1
2
= (x + c)
2
+ y
2
,
MF
2
2
= (x - c)
2
+ y
2
.
Suy ra: MF
1

2
- MF
2
2
= 4cx.
MF
1
2
+ MF
2
2
= 2(x
2
+ y
2
+ c
2
)
Để ý |MF
1
+ MF
2
| 2c > 2a nên (MF
1
- MF
2
)
2
- 4a
2

0.
M (H) |MF
1
- MF
2
| = 2a (MF
1
- MF
2
)
2
= 4a
2

(MF
1
- MF
2
)
2
- 4a
2
)[( MF
1
+ MF
2
)
2
+ 4a
2

] = 0
(MF
1
2
- MF
2
2
)
2
- 8(MF
1
2
+ MF
2
2
) + 16a
4
= 0
16c
2
x
2
- 16a
2
(x
2
+ y
2
+ c
2

) + 16a
4
= 0 x
2
(a
2
- c
2
) + a
2
y
2
= a
2
(c
2
- a
2
)
1
22
2
2
2
=

+
ca
y
a

x

1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
(với b
2
= c
2
- a
2
).
Phơng trình:
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x

(với b
2
= c
2
- a
2
) gọi là phơng trình chính tắc
của hypebol.
Chú ý: a, Các bán kính đi qua tiêu điểm của điểm M là:
i, Nếu x > 0 thì MF
1
= a +
a
cx
và MF
2
= - a +
a
cx
ii, Nếu x < 0 thì MF
1
= - a -
a
cx
và MF
2
= a -
a
cx
.

b, Nếu chọn F
1
(0, -c) và F
2
(0, c) thì hypebol có phơng trình là -
Trang 41
N
M
Q
P
b
-a
y
a
x
-b
NGUYEN THANH LONG TO TOAN, TRệễỉNG THPT NGUYEN ẹèNH CHIEU GIAO AN Hình Học 12
Hoạt động 3 Hớng dẫn học sinh phát
hiện và nắm vững hình dạng của
hypebol.
Lấy M(x, y) (H).
<H> Nhận xét gì về M(-x, y) ?
Tơng tự cho điểm M(x, -y) ?
Từ đó ta có thể kết luận điều gì ?
<H> Xác định giao điểm của hypebol
với các trục toạ độ ?
<H> M(x, y)(E):
1
2
2

2
2
=+
b
y
a
x
, nhận
xét gì về x suy ra điều gì ?
Hoạt động 4. Hớng dẫn học sinh phát
hiện và nắm vững tiệm cận của
hypebol.
* Từ pt của hypebol
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
<H> Tìm y theo x ?
<H> Tìm tiệm cận của hàm
y =
22
ax
a
b

, x a.
Hoạt động 5. Hớng dẫn học sinh phát
hiện tâm sai của hypebol.
Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của
hypebol gọi là tâm sai của hypebol.
<H> e = ?
<H> Nhận xét gì về tâm sai của
hypebol ?
Củng cố: Nắm vững hình dạng và tâm
sai của hypebol.
Làm hết các bài tập SGK.
MF
1
= a +
a
cx
và MF
2
= - a +
a
cx
M(-x, y) đối xứng với M qua Ox và
M (H).
M(-x, y) đối xứng với M qua Oy và
M (H).
Từ đó ta thấy hypebol nhận Ox và Oy
làm trục đối xứng, nên nó có tâm đối
xứng là O.
y = 0

1
2
2
=
a
x
x=a, x= -a.
Hypebol (E) cắt Ox tại (-a, 0) và (a, 0)
và không cắt
* x
2
a
2
x a hoặc x -a Vậy
không có điểm nào thuộc hypebol nằm
giữa hai đờng thẳng x = a và x = -a.
*
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
y
2
=

2
22
2
a
ax
b


22
ax
a
b
y =
* Tâm sai của hypebol (E):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
là
e =
a
ba
a
c

22

=
.
* Tâm sai của hypebol luôn luôn lớn
hơn 1.
1
2
2
2
2
=+
a
y
b
x
.
3. Hình dạng của hypebol
Cho hypebol (H):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
a, Hypebol (E) nhận Ox, Oy làm

trục đối xứng, nên nó
nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.
b, Hypebol (E) cắt Ox tại A
1
(-a, 0) và A
2
(a, 0) và
không cắt Oy. Trục Oy gọi là trục ảo của hypebol
còn trục Ox gọi là trục thực.
2a: độ dài trục thực, 2b: độ dài trục ảo.
c, M(x, y) (E):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
,
x
2
a
2
x a hoặc x -a Vậy không có điểm nào thuộc hypebol
nằm giữa hai đờng thẳng x = a và x = -a. Hypebol gồm hai nhánh, nhánh
trái gồm những điểm nằm bên trái đờng thẳng x = -a, nhánh phải gồm
những điểm nằm bêẩiphỉ đờng thẳng x = a.

4. Đ ờng tiệm cận của hypebol.
* Xét đờng hypebol (H):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
.
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
y
2
=
2
22
2
a

ax
b


22
ax
a
b
y =
.
Gọi (H
1
) là một phần của hypebol nằm trong góc phần t thứ nhất của hàm
số y =
22
ax
a
b

, x a.
Ta có:
0))
22
2
22
lim(lim(
=
+

=

++
xax
a
a
b
x
a
b
ax
a
b
xx

Vậy phần của hypebol nằm trong góc phần t thứ nhất nhận đờng thẳng y
=
a
b
x làm tiệm cận. Tơng tự ba phần còn lại cuae hypebol (H) cũng nhận
hai đờng thẳng y =
a
b
x và y = -
a
b
x làm tiệm cận.
Tóm lại hypeol có hai đờng tiệm cận là: y =
a
b
x và y = -
a

b
x.
Chú ý: Từ hai đỉnh của hypebol ta vẽ hai đờng thẳng song song cắt hai
tiệm cận tạ 4 điểm P, Q, S và S. Đó là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Hình
chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cở sở của hypebol.
Trang 42
NGUYEN THANH LONG TO TOAN, TRệễỉNG THPT NGUYEN ẹèNH CHIEU GIAO AN Hình Học 12
4. Tâm sai của hypebol.
Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của hypebol gọi là tâm sai của
hypebol, kí hiệu: e.
Tâm sai của hypebol (E):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
là e =
a
ba
a
c
22

=
.

Chú ý. Tâm sai của hypebol luôn luôn lớn hơn 1.
Tiết 25. bài tập Hypebol
Ngày dạy: / /
I. Mục tiêu bài dạy
* Hớng hớng dẫn học sinh vận dụng định nghiã hypebol, phơng trình chính tắc
của hypebol, hình dạng hypebol, bán kính qua tiêu điểm, tiệm cận và tâm sai
của hypebol để giải các bài tập SGK.
* Rèn luyện kĩ năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẫn bị của GV và HS.
Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, dây, thớc và compa.
Học sinh: chuẫn bị bài trớc ở nhà.
III. Tiến trình bài dạy.
1
49
:4,913,
9
4
3
2
22
2222
2
22
====+=
+
=
yx
PTCTbaba
a
ab

a
b
Bớc 1: ổn định lớp.
Bớc 2: Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghiã hypebol, phơng trình chính tắc
của hypebol,
CT bán kính qua tiêu điểm, tiệm cận và tâm sai của hypebol
Bớc 3: bài mới.
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1 Hớng dẫn học sinh phát lập
PTCT của hypebol.
* Gọi hs giải bt 1(SGK).
<H> Nêu PTCT của hypebol ?
GV nhận xứt đsnhs gía và ghi
điểm.
<H> Nêu hình dạng của hypebol ?
<H> Nêu tâm sai của hypebol ?
* Phơng trình:
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x

(với b
2

= c
2
- a
2
) gọi là phơng trình chính
tắc của hypebol.
* Hypebol (E) nhận Ox, Oy làm
trục đối xứng, nên nó
nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.
* Tâm sai của hypebol (E):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x

là e =
a
ba
a
c
22

=
.

Bài tập 2.
a, ta có: a = 4, c = 5 b = 3 PTCTcủa Hypebol là:
1
916
22
=
yx
.
b, a, ta có: c =
13
và
c 2
a 3
=
2 2
2
b a 4
a 9
+
=
mà
2 2
a b 13+ =
nên
2 2
a 9, b 4= =
2 2
x y
PTCT (H) : 1
9 4

=
c, Giả sử PTCT của Hypebol:
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
, vì nó đi qua M(
10
, 6)
nên:
Trang 43
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
Ho¹t ®éng 2. Híng dÉn häc sinh gi¶i bµi
tËp 4 sgk.
Gäi I(0, b) lµ t©m ®êng trßn.
<H> BK ®êng trßn R = ?
<H> Gäi M(x, y) th× M’cã to¹ ®é lµ g× ?
Ta cã: x = ? vµ y = ?
<H> Suy ra q tÝch c¸c ®iĨm M ?
Ho¹t ®éng 3. Híng dÉn häc sinh gi¶i bµi
tËp 7 sgk.
Gi¶ sư hypebol (H) cã PTCT:
1
2

2
2
2
=−
b
y
a
x
<H>Khi ®ã hai ®êng tiƯm cËn cã PTTQ
lµ g× ? ∆
1
: bx + ay = 0 vµ ∆
2
: bx – ay =
0. Gäi M(x, y) ∈ (H). Khi ®ã:
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
.
<H> TÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai
tiƯm cËn lµ g× ?
Ho¹t ®éng 4. Híng dÉn häc sinh gi¶i bµi
tËp lµm thªm.

Cđng cè: N¾m v÷ng h×nh d¹ng vµ t©m sai
cđa hypebol.
* Gäi I(0, b) lµ t©m ®êng trßn. BK ®êng
trßn lµ R =
22
ba +
.
* M’(-x, y) vµ x = R vµ y = b
Ta cã x
2
– y
2
= R
2
– b
2
= a
2
.
VËy q tÝch c¸c ®iĨm M lµ hypebol
x
2
– y
2
=a
2.
.
* Hai ®êng tiƯm cËn cã PTTQ lµ: ∆
1
: bx +

ay = 0 vµ ∆
2
: bx – ay = 0. Gäi M(x, y) ∈
(H).
* TÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai tiƯm
cËn lµ:
=
+
+
+
−
2222
ba
aybx
ba
aybx

22
22
ba
ba
+
.
Giải BTLT:
* (E) có các tiêu điểm F
1, 2
(± 3, 0)
* Từ giả thiết suy ra (H) có tiêu điểm
( )
'

1,2
F 5,0±
và 2 đỉnh (±3, 0), c’ = 5, a’ = 3
⇒ (H)
2 2
x y
9 16
−
=1.
1
3610
22
=−
ba
, h¬n n÷a: e =
455
2
2
2
2
=⇒=⇒
a
b
a
c
. Tõ ®ã suy ra: a
2
= 1 vµ b
2
= 4. VËy PTCT cđa hypebol lµ:

1
41
22
=−
yx
.
Bµi tËp 4. Gäi I(0, b) lµ t©m ®êng trßn. BK ®êng trßn
lµ R =
22
ba +
. Gäi M(x, y) th× M’(-x, y).
Ta cã: x = R vµ y = b ⇒
x
2
– y
2
= R
2
– b
2
= a
2
. VËy q tÝch c¸c ®iĨm M lµ hypebol
x
2
– y
2
=a
2.
.

Bµi tËp 7. Gi¶ sư hypebol (H) cã PTCT:
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
, khi ®ã hai ®-
êng tiƯm cËn cã PTTQ lµ: ∆
1
: bx + ay = 0 vµ ∆
2
: bx – ay = 0. Gäi
M(x, y) ≠ (H). Khi ®ã:
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
. TÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn
hai tiƯm cËn lµ:

22
22
2
2
2
2
22
22
2222
||||
ba
ba
b
y
a
x
ba
ba
ba
aybx
ba
aybx
+
=−
+
=
+
+
+
−

(kh«ng phơ thc
vµo M)
Bài tập làm thêm: Cho (E) :
2 2
x y
1
25 16
+ =
. Viết phương trình của
(H) có đỉnh là các tiêu điểm của (E), có tiêu điểm là các đỉnh của
(E).
TiÕt 27. parabol
Ngµy d¹y: / /
I Mơc tiªu bµi d¹y
* Híng híng dÉn häc sinh ph¸t hiƯn vµ n¾m v÷ng c¸c kh¸i niƯm parabol, ph-
¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa parabol, h×nh d¹ng parabol.
* RÌn lun kÜ n¨ng tÝnh to¸n cho häc sinh, rèn cho học sinh kó năng lập
được phương trình chính tắc của parabol khi biết một số yếu tố
của nó như biết đỉnh trùng với gốc tọa độ, biết trục đối xứng là Ox (hoặc
Oy) và tọa độ 1 điểm thuộc parabol, v.v…
* Khi biết được phương trình chính tắc của parabol, học sinh phải biết xác
đònh phương trình đường chuẩn, tiêu điểm.
II. Chn bÞ cđa GV vµ HS.
Gi¸o viªn: Gi¸o ¸n, b¶ng phơ, d©y, thíc vµ compa.
Häc sinh: chn bÞ bµi tríc ë nhµ.
III. TiÕn tr×nh bµi d¹y. Bíc 1: KiĨm rtra bµi cò:
Bíc 2: bµi míi.
Ho¹t ®éng cđa thÇy Ho¹t ®éng cđa trß Néi dung ghi b¶ng
Ho¹t ®éng 1 Híng dÉn häc sinh ph¸t
1 . §Þnh nghÜa .

Trang 44
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
hiƯn vµ n¾m v÷ng kh¸i niƯm parabol.
Parabol là tập hợp những điểm của mặt
phẳng cách đều một đường thẳng (D) cố
đònh và một điểm F cố đònh không
thuộc (D).
Ho¹t ®éng 2. Híng dÉn häc sinh ph¸t
hiƯn ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa parabol.
Chọn hệ trục Oxy sao cho: x’Ox qua F
và ⊥ đường chuẩn (D) cắt (D) ở P,
hướng từ P đến F. Trục y’Oy là trục của
PF. Gốc tọa độ O là trung điểm của PF
Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến
đường chuẩn là p
<H> Xác đònh toạ độ của F và phương
trình đường chuẫn (D).
Giả sử M(x, y), gọi H là chân đường
vuông góc hạ từ M xuống (D), thì <H>
H có toạ độ là gì ?
<H> M ∈ (p) ⇔ ?
<H> Ho¹t ®éng 2. Híng dÉn häc sinh
ph¸t hiƯn h×nh d¹ng cđa parabol.
<H> NhËn xÐt g× vỊ tÝnh ®èi xøng cđa
parabol ?
<H> Lấy M(X, y) ∈ (P), nhËn xÐt g× vỊ vÞ
trÝ cđa ®iĨm M ?
Cđng cè: N¾m v÷ng PTCT, h×nh d¹ng
cđa parabol.
Lµm hÕt c¸c bµi tËp SGK.

*Ta có : F
p
,0
2
 
 
 
, (D) : x =
p
2
−
H
p
,y
2
 
−
 
 
, M ∈ (p) ⇔ MF = MH ⇔
222
)
2
()
2
(
p
xy
p
x +=+−

⇔ y
2
= 2px.
Parabol nhận trục Ox làm trục đối
xứng.
* Mọi điểm của parabol đều nằm về
phía bên phải của trục Oy, chứa tiêu
điểm F.
Parabol là tập hợp những điểm của mặt phẳng cách đều một
đường thẳng (D) cố đònh và một điểm F cố đònh không thuộc (D).
* Điểm F được gọi là tiêu điểm của parabol (P)
* Đường thẳng (D) được gọi là đường chuẩn
2.Phương trình chính tắc Chọn hệ trục :
. Trục x’Ox qua F và ⊥ đường chuẩn (D) cắt (D) ở P, hướng từ P
đến F. Trục y’Oy là trục của PF, Gốc tọa độ O là trung điểm của
PF
. Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p
Ta có : F
p
,0
2
 
 
 
, (D) : x =
p
2
−
Giả sử M(x, y), gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống
(D), thì H

p
,y
2
 
−
 
 
M ∈ (p) ⇔ MF = MH ⇔ y
2
= 2px.
2
y 2px=
gọi là phương trình chính tắc của (P); p là tham số tiêu.
Chú ý. M(x, y) ∈ (P) thì MF = x +
2
p
.
(3) Hình dạng Parabol Xét (p) y
2
= 2px
a, Parabol nhận trục Ox làm trục đối xứng.
b, Giao của Ox với Parabol là O(0, 0), O gọi là đỉnh của parabol.
c, Mọi điểm của parabol đều nằm về phía bên phải của trục Oy,
chứa tiêu điểm F.
Các phương trình khác của Parabol và hình dạng tương ứng:
Trang 45
(P):x
2
= 2py
x

y
F(p/2;0)
(P):y
2
= 2px
x
y
F(p/2;0)
(P):y
2
= -2px
x
y
F(0;p/2)
(P):x
2
= -2py
x
y
F(0;-p/2)
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
TiÕt 28. bµi tËp parabol
Ngµy d¹y:
I Mơc tiªu bµi d¹y
* Híng híng dÉn häc vËn dơng ®Þnh nghÜa parabol, ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa parabol, h×nh d¹ng parabol ®Ĩ gi¶i mét sè bµi tËp.
* Rèn cho học sinh kó năng lập được phương trình chính tắc của parabol khi biết một số yếu tố của nó như biết đỉnh trùng với gốc tọa độ, biết trục đối
xứng là Ox (hoặc Oy) và tọa độ 1 điểm thuộc parabol, v.v…
* Khi biết được phương trình chính tắc của parabol, học sinh phải biết xác đònh phương trình đường chuẩn, tiêu điểm.
II. Chn bÞ cđa GV vµ HS.
• Gi¸o viªn: Gi¸o ¸n, b¶ng phơ, d©y, thíc vµ compa.

• Häc sinh: chn bÞ bµi tríc ë nhµ.
III. TiÕn tr×nh bµi d¹y.
• Bíc 1: ỉn ®Þnh líp.
• Bíc 2: KiĨm rtra bµi cò:
• Bíc 3: bµi míi.
Ho¹t ®éng cđa thÇy Ho¹t ®éng cđa trß
Néi dung ghi b¶ng
Ho¹t ®éng 1 Híng dÉn hs lËp Pt cđa
parabol.
* Gäi hs gi¶i bµi tËp 2 SGK.
<H> H·y nªu 4 d¹ng pt cđa parabol vµ
tiªu ®iĨm, ®êng ch t¬ng øng ?
Ho¹t ®éng 2. Híng dÉn häc sinh gi¶i bµi
tËp 4 SGK.
Gäi hs gi¶i bµi tËp 4.
Gi¸o viªn nhËn xÐt ®¸nh gi¸ ghi ®iĨm.
Ho¹t ®éng 3. Híng dÉn häc sinh gi¶i bµi
tËp 5 SGK.
<H> Tham sè tiªu cđa parabol lµ g× ?
* y
2
= 2px, tiªu ®iĨm F(
2
p
, 0), Pt ®êng
chn x = -
2
p
.
* y

2
= -2px, tiªu ®iĨm F(-
2
p
, 0), Pt ®-
êng chn x =
2
p
.
* x
2
= 2py, tiªu ®iĨm F(0,
2
p
), Pt ®êng
chn y = -
2
p
.
* x
2
= -2py, tiªu ®iĨm F(0, -
2
p
), Pt ®-
Bài tập 2. a, Ta có
2
p
= 4 ⇒ p = 8, tiêu điểm nằm trên Ox ⇒ PTCT
của parabol là: y

2
= 16x.
b, Ta có -
2
p
= -2 ⇒ p = 4, tiêu điểm nằm trên Ox ⇒ PTCT của
parabol là: y
2
= - 8x.
c, Ta có
2
p
= 1 ⇒ p = 2, vì tiêu điểm nằm trên Oy nên PTCT của
parabol là : x
2
= 4y.
Bài tập 4. Ta có: y = -
2
1
(x
2
– 3) ⇔ x
2
= -2(y -
2
3
). Đặt X = x,
Y = y -
2
3

. Ta có parabol: X
2
= -2Y. Parabol này có tiêu điểm
Trang 46
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
Ho¹t ®éng 4. Híng dÉn häc sinh gi¶i bµi
tËp 6 SGK.
<H> §êng th¼ng qua tiªu ®iĨm cđa
parabol vµ vu«ng gãc víi Ox cã pt lµ g× ?
<H> X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa
parabol nµy víi ®t x =
2
p
?
Cđng cè: N¾m v÷ng PTCT, h×nh d¹ng
cđa parabol.
Lµm hÕt c¸c bµi tËp SGK.
êng chn y =
2
p
.
* Tham sè tiªu cđa parabol lµ kho¶ng
c¸ch tõ tiªu ®iĨm ®Õn ®êng chn cđa
parabol ®ã.
* Đường thẳng qua F vuông góc với
Ox có Pt: x =
2
p
.
* Toạ độ giao điểm A và B của

parabol với đt : x =
2
p
là nghiệm
của hệ pt:





=
=
2
2
2
p
x
pxy
(0, -
2
1
). Vậy parabol đã cho có tiêu điểm là (0, 1).
Bài tập 5. Tham số tiêu của parabol đã cho là:
p = d(F, ∆) =
2
43
583
22
=
+

−−
. Vậy tham số tiêu của parabol là: p = 2.
Bài tập 6. Đường thẳng qua F vuông góc với Ox có Pt: x =
2
p
.
Toạ độ giao điểm A và B của parabol với đt : x =
2
p
là nghiệm của
hệ pt:





=
=
2
2
2
p
x
pxy
⇔






±=
=
py
p
x
2
. Vậy độ dài dây cung đó là:
AB = 2p.
TiÕt 29. VỊ c¸c ®êng conic, ®êng chn cđa c¸c ®êng conic.
Ngµy d¹y: / /
I Mơc tiªu bµi d¹y
* Hướng dẫn hs nắm vững khái niệm tổng quát của các đường Conic
và các tính chất của nó. Hs nắm được đường chuẫn của conic và phân
biệt được ba đường conic.
* RÌn lun kÜ n¨ng tÝnh to¸n cho häc sinh.
II. Chn bÞ cđa GV vµ HS.
• Gi¸o viªn: Gi¸o ¸n, b¶ng phơ, d©y, thíc vµ compa.
• Häc sinh: chn bÞ bµi tríc ë nhµ.
III. TiÕn tr×nh bµi d¹y.
• Bíc 1: ỉn ®Þnh líp.
• Bíc 2: KiĨm rtra bµi cò:
• Bíc 3: bµi míi.
Ho¹t ®éng cđa thÇy Ho¹t ®éng cđa trß Néi dung ghi b¶ng
Hoạt động 1. Hướng dẫn hs phát hiện
khái niệm tổng quát của các đường
cônic.
Xét mặt nón T và mặt phẳng (P).
<H> Khi mặt phẳng (P) cắt mọi đường
sinh của mặt nón thì thiết diện thu đựoc
là hình gì ?

<H> Khi mặt phẳng (P) cắt hai đường
sinh của mặt nón thì thiết diện thu đựoc
* Khi mặt phẳng (P) cắt mọi đường
sinh của mặt nón thì thiết diện thu
được là một elíp.
* Khi mặt phẳng (P) cắt hai đường
sinh của mặt nón thì thiết diện thu
được là một hypebol.
* Khi mặt phẳng (P) cắt một đường
sinh của mặt nón thì thiết diện thu
được là một parabol.
Bài 10 Về các đường conic
Ba đường cong elíp, hyperbol và parabolđược gọi là ba đường cônic.
Chúng được sinh ra khi cắt một mặt nón tròn xoay bởi một mặt
phẳng.
Tùy theo vò trí của mặt phẳng với mặt nón mà ta được giao là
đường elíp, hyperbol hay parabol.
Người ta đã chứng minh được rằng nếu cắt một mặt nón tròn xoay
bởi một mặt phẳng (P) không đi qua đỉnh của mặt nón thì :
Trang 47
F(p/2;0)
(P):y
2
= 2px
F(p/2;0)
(P):y
2
= 2px
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
là hình gì ?

<H> Khi mặt phẳng (P) cắt một đường
sinh của mặt nón thì thiết diện thu đựoc
là hình gì ?
Hoạt động 2. Hướng dẫn hs phát hiện
và nắm vững khái niệm đường chuẫn
của các đường cônic.
Ta đã biết đònh nghóa đường chuẩn của
parabol. Sau đây ta sẽ đònh nghóa đường
chuẩn của elíp và hyperbol.
Gv đưa ra đn đường chuẩn của elíp và
hyperbol.
Xét elíp (E):
2 2
2 2 2
2 2
x y
1 với b a c
a b
+ = = −
LÊy M(x, y)∈ (E).
<H> NhËn xÐt g× vỊ tØ sè kho¶ng c¸ch tõ
M ®Õn tiªu ®iĨm F
1
vµ ®êng chn t¬ng
øng ?
Từ đònh lý trên gv đưa ra đònh nghóa
tổng quát cho đường cônic.
<H> Khi nào conic là một elíp, hypebol,
parabol ?
Gv hướng dẫn hs giải ví dụ

Ta có MF
1
= a +
a
cx
.
d(M, ∆
1
) = a +
c
e
a
.
Vậy
e
a
ex
a
a
cx
a
Md
MF
=
+
+
=
∆ ),(
1
1

Nếu
e < 1, cônic là đường elíp.
e = 1, cônic là đường parabol.
e > 1, cônic là hyperbol.
a, Giao của mặt phẳng (P) và mặt nón là elíp khi mặt phẳng (P) cắt
mọi đường sinh của mặt nón (h.17a) đặc biệt giao đó là đường tròn
khi mặt phẳng (P) vuông góc với trục của mặt nón (h.17b).
b, Giao của mặt phẳng (P) và mặt nón là một hyperbol khi mặt
phẳng (P) song song với hai đường sinh phân biệt của mặt nón (h.
17c).
c, Giao của mặt phẳng (P) và mặt nón là một parabol khi mặt phẳng
(P) song song với một đường sinh duy nhất của mặt nón.
11. Đường chuẩn của các đường cônic
1. Đònh nghóa: Cho elíp hoặc
hyperbol có phương trình chính tắc
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
(a > b > 0) hoặc









=− 1
b
y
a
x
2
2
2
2
.
Khi đó, hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
có phương trình
e
a
x −=
và
e
a
x =
được gọi là các đường chuẩn của elíp (hoặc hyperbol).
• ∆
1
gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F

1
.
• ∆
2
gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F
2
.
2. Đònh lí: Tỉ số khoảng cách từ một điểm bất kỳ của elíp (hoặc
hyperbol) đến một tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng bằng tâm sai
của elíp (hoặc hyperbol).
3. Kết hợp đònh lí trên với đònh nghóa parabol ta có thể đưa ra một
đònh nghóa chung cho ba đường cônic như sau:
Cônic là tập hợp các điểm M của mặt phẳng có tỉ số khoảng
cách từ nó tới một điểm cố đònh F và một đường thẳng cố đònh
∆
(không đi qua F) bằng một hằng số e.
• e là tâm sai của cônic.
• F là tiêu điểm.
•
∆
là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F.
Trang 48
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
Cđng cè: Phân biệt được ba đường
conic.
Nắm vững đường chuẩn của ba đường
conic.
Lµm hÕt c¸c bµi tËp SGK.
Ngoài ra: Nếu
• e < 1, cônic là đường elíp.

• e = 1, cônic là đường parabol.
• e > 1, cônic là hyperbol.
Ví dụ: Viết phương trình đường cônic có đường chuẩn là đường
thẳng x - y - 1 = 0, tiêu điểm F = (0 ; 1) và tâm sai e = 2.
Giải: Với điểm M = (x ; y) ta có MF =
( )
2
2
1yx
−+
, khoảng cách
từ M tới đường chuẩn MH =
2
1yx
−−
.
Vậy M thuộc cônic đã cho nếu
2
MH
MF
=
hay MF = 2MH, tức là
( )
1yx21yx
2
2
−−=−+
hay
X
2

+ (y - 1)
2
= 2(x - y - 1)
2

⇔ x
2
+ y
2
- 2y + 1 = 2(x
2
+ y
2
+ 1 - 2xy + 2y - 2x)
⇔ x
2
+ y
2
- 4y + 6y - 4x + 1 = 0
Đó là phương trình cần tìm của cônic. Vì tâm sai e = 2 > 1 nên cônic
này là hyperbol.
TiÕt 30. bµi tËp VỊ c¸c ®êng conic, ®êng chn cđa c¸c ®êng conic.
Ngµy d¹y: / /
I Mơc tiªu bµi d¹y
* Hướng dẫn hs các kiến thức về các đường cônic, đường, đường chuẫn của
conic để giải các bài tập SGK.
* RÌn lun kÜ n¨ng tÝnh to¸n cho häc sinh.
II. Chn bÞ cđa GV vµ HS.
• Gi¸o viªn: Gi¸o ¸n, b¶ng phơ, d©y, thíc vµ compa.
• Häc sinh: chn bÞ bµi tríc ë nhµ.

III. TiÕn tr×nh bµi d¹y.
. Ổn đònh lớp : 1’ : Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Kiểm tra bài cũ: 3’ :Nêu đinh nghóa đường chuẫn của các đường cônic, đònh
nhóa tổng quát của các đường cônic
 Tiến hành dạy bài mới.
Ho¹t ®éng cđa thÇy Ho¹t ®éng cđa trß Néi dung ghi b¶ng
Hoạt động 1. Hướng dẫn hs xác đònh pt
các đường chuẫn của các đường cônic.
Cho elíp hoặc hyperbol có phương trình
Bi táûp 1. a.
1
1625
22
=+
yx

⇒
a = 5, b = 4
⇒
c
2
= a
2
- b
2
= 9
⇒
c =
3
Trang 49

NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
chính tắc
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
(a > b > 0) hoặc








=− 1
b
y
a
x
2
2
2
2

.
<H> Khi đó, hai đường chuẫn của nó có
pt là gì ?
• Gọi hs giải bài tập 1.
<H> Xác đònh đường chuẫn ∆ của
parabol:
y
2
= 8x ?
Hoạt động 2. Hướng dẫn hs dựa vào
đường chuẫn của các đường cônic để
lập pt của nó.
Xét câu 2b.
<H> Dựa vào đâu để ta phân biệt cônic
là elíp, parabol hay hypebol ?
<H> Để lập được pt của cônic này ta
phải làm gì ?
<H> Xác đònh tâm sai rồi suy ra pt của
cônic nay ?
Tương tự cho câu 2c.
GV gọi hs giải bt 2b, sau đó nhận xét
đánh giá bài làm nay.
* Gọi hs giải bài tập 3 sgk.
Hoạt động 3. Hướng dẫn hs dựa vào
đường chuẫn của các đường cônic để
lập pt của nó.
Xét bài tập 3a.
<H> Đường cônic này là gì ?
<H> Một điểm M(x, y) thüc cänic khi
* Hai đường chuẫn của nó có pt là: thẳng

e
a
x −=
và
e
a
x =
* y
2
= 8x
⇒
2p = 8
⇒
p = 4 ⇒
∆
: x = -2
* Dựa vào tâm sai e.
* Xác đònh tâm sai e.
* Ta cọ c = 3,
e
a
= 2
⇒
a
2
= 2c =
6
⇒
a =
6

⇒ e =
a
c
=
6
3
> 1
⇒
Cänic l hypebol
⇒
b
2
= c
2
- a
2
=
9 - 6 = 3 ⇒ cänic cọ phỉång trçnh :
36
2
2
y
x
−
= 1.
* Là một parabol vì e = 1
* khi
MH
MF
= e = 1

⇒
e =
a
c
=
5
3
⇒

e
a
=
5
3
5
=
3
25
Váûy
∆
1
: x = -
3
25
,
∆
2
: x =
3
25

b.
1
49
2
2
=−
y
x

⇒
a = 3, b = 2
⇒
c
2
= a
2
+ b
2
= 9 + 4 = 13
⇒
c =
13
. Ta cọ: e =
a
c
=
3
13

⇒

e
a
=
3
13
3
=
13
9
c. y
2
= 8x
⇒
2p = 8
⇒
p = 4 ⇒
∆
: x = -2.
Bi táûp 2
b. Mäüt tiãu âiãøm F
2
(3, 0) âỉåìng chøn tỉång ỉïng
∆
2
:x=2
Ta cọ c = 3,
e
a
= 2
⇒

c
a
2
= 2
⇒
a
2
= 2c = 6
⇒
a =
6
e =
a
c
=
6
3
> 1
⇒
Cänic l hypebol
⇒
b
2
= c
2
- a
2
= 9 - 6 = 3
Váûy cänic cọ phỉång trçnh :

36
2
2
y
x
−
= 1
c. Mäüt tiãu âiãøm F
1
(-6, 0), tám sai e = 3 ta cọ c = 6 ⇒ e =
a
c
= 3
⇒
a =
3
c
= 2. e = 3 > 1
⇒
Cänic l Hypebol
⇒
b
2
= c
2
- a
2
= 36
- 4 = 32. Hypebol cọ F
1

(-6, 0)
∈
Ox nãn nháûn Ox lm trủc thỉûc
Váûy Hypebol cọ phỉång trçnh chênh tàõc :
=−
324
2
2
y
x
1
Bi táûp 3. a. F(2, 3), âỉåìng chøn y = 0, tám sai e = 1
Gi M(x, y) thüc cänic
FM =
22
)3()2( −+− yx
Khong cạch MH tỉì M âãún âỉåìng chøn y = 0 l : MH =
y
Ta cọ :
MH
MF
= e = 1
⇔
FM = MH
⇔
22
)3()2( −+− yx
=
y
Trang 50

NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
no?
Gọi hs giải bài tập 3a.
Xét bài tập 3b.
<H> Đường cônic này là gì ?
<H> Một điểm M(x, y) thüc cänic khi
no?
Gọi hs giải bài tập 3b.
Tương tự hướng dẫn hs giải bài tập 3c,
d.
 Củng cố dặn dò:
Làm hết các bài tập còn lại ở SGK. Phân
biệt được ba đường conic.
Nắm vững đường chuẩn của ba đường
conic.
Làm bài tập 4 sgk.
* Là một elíp vì e < 1.
* khi
MH
MF
= e =
2
1
⇔
(x - 2)
2
+ (y - 3)
2
= y
2

⇔
(x - 2)
2
+y
2
- 6y + 9 = y
2
⇔
(x - 2)
2
= 6y - 9
⇔
(x - 2)
2
= 6(y -
2
3
). Parapol âènh S(2, -
2
3
)
b. F(0, 3), âỉåìng chøn y = 0, tám sai e =
2
1
Gi M(x, y) l âiãøm thüc cänic FM =
22
)3( −+ yx
Khong cạch tỉì M âãún âỉåìng chøn y = 0 l: MH =
y
Ta cọ :

MH
MF
=
2
1
⇔
2FM = MH
⇔
2
22
)3( −+ yx
=
y
⇔
4(x
2
+ y
2
- 6y + 9) = y
2
⇔
4x
2
+ 3y
2
- 36y + 36 = 0
Do e =
2
1
< 1 : Âáy l mäüt phỉång trçnh elip

d. Tiãu âiãøm F(1, 1) âỉåìng chøn x + y - 1 = 0, e=
2
Gi M(x, y) l toả âäü thüc cänic
MH =
22
)1()1( −+− yx
. Khong cạch tỉì M âãún âỉåìng
chøn l :MH =
2
1−+ yx
Ta cọ:
MH
MF
= e =
2

⇔
MF =
2
MH
⇔
22
)1()1( −+− yx
=
1−+ yx
⇔
x
2
- 2x + 1+ y
2

- 2y +1 = x
2
+ y
2
+ 1 + 2xy - 2y - 2x
⇔
2xy = 1
Tiết 31: ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa c¸c ®êng conic
Ngµy d¹y: / /
Trang 51
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
I. Mục tiêu bài dạy
* Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững phương trình tiếp tuyến của
các đường conic.
* Học sinh sử dụng các điều kiện tiếp xúc của một đường thẳng với conic
để lập được phương trình tiếp tuyến với các đường cônic.
* Rèn luyện kó năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẩn bò của giáo viên và học sinh
* Học sinh đọc trước bài mới.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bò
bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn đònh lớp :
Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Kiểm tra bài cũ:
- Phát biểu đònh nghóa elip.
- Viết phương trình chính tắc.
Áp dụng : đònh tiêu điểm, tâm sai và vẽ (E) : 9x
2
+ 25y

2
– 225 = 0.
 Tiến hành dạy bài mới.
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1. Hướng dẫn hs phát hiện
PTTT của elíp tại M
o
(x
o
; y
o
) thuộc nó.
Ta có
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
⇔
22
xa
a
b
y −±=
Phần elíp thuộc nửa mặt phẳng y > 0 sẽ

có phương trình
2 2
b
y a x
a
= −
ta xét
trường hợp M
o
thuộc phần y > 0, tức,
2 2
b
y a x
a
= −
(|x|< a).
<H> PTTT tại M
0
của hs
2 2
b
y a x
a
= −
là gì? Từ đó suy ra
PTTT cần tìm ?
Đối với phần elíp ứng với y < 0, làm
tương tự ta cũng được kết quả trên.
Tiếp tuyến tại hai đỉnh A
1

(-a ; 0),
A
2
(a ; 0) được xét bằng cách coi x là
hàm số của y. Ứng với phần elíp x > 0
(hay x < 0) ta có hàm số
2 2
b
x a y
a
= ± −
và tiến hành tính
y - y
o
=
'
x
0
y
(x - x
o
).
với
2
0
2
0
'
0
xaa

bx
y
x
−
−=
y – y
0
=
2
0
2
0
xaa
bx
−
−
(x – x
0
) =
)0
0
2
0
2
( xx
ya
xb
−−

nhân cả hai vế với

2
0
b
y
ta được.
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
.
1. Tiếp tuyến của elíp
Cho elíp có phương trình chính tắc
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
(1)
Giả sử M
o
(x
o
; y

o
) là một điểm nằm trên elíp. Ta lập phương trình tiếp
tuyến của elíp tại điểm M
o
.
Từ (1) ta có thể viết
22
xa
a
b
y −±=
. Phần elíp thuộc nửa mặt phẳng
y > 0 sẽ có phương trình
22
xa
a
b
y −=
ta xét trường hợp M
o
thuộc
phần y > 0, tức,
2 2
b
y a x
a
= −
(|x|< a). Khi đó ta đã biết tiếp tuyến tại
M
o

có phương trình y - y
o
=
'
x
0
y
(x - x
o
).
Nhưng
2
0
2
0
'
0
xaa
bx
y
x
−
−=
thay vào phương trình trên, ta được:
y – y
0
=
2
0
2

0
xaa
bx
−
−
(x – x
0
) =
)0
0
2
0
2
( xx
ya
xb
−−
và nhân cả hai vế với
2
0
b
y
ta được.
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
.

Tóm lại, phương trình tiếp tuyến của elíp tại M
0
(x
o
; y
o
) thuộc phần
y > 0 có dạng
Trang 52
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
toán như trên ta cũng đi đến kết qủa
trên.
Hoạt động 2. Hướng dẫn hs phát hiện
PTTT của hypebol tại M
o
(x
o
; y
o
) thuộc
nó.
Cho hyperbol có phương trình
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
và một điểm M
o

(x
o
; y
o
).
Chứng minh tương tự như trên ta có
phương trình tiếp tuyến của hyperbol
đó tại điểm M
o
là
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
.
Hoạt động 3. Hướng dẫn hs phát hiện
PTTT của parabol tại M
o
(x
o
; y
o
) thuộc
nó.
Cho parabol y
2
= 2px ta cũng coi x như
hàm số của y :

2
y
p2
1
x =
. Giả sử
M
o
(x
o
; y
o
) là một điểm của parabol.
<H> Tiếp tuyến của parabol tại M
0
có
dạng gì ?
Hoạt động 4. Hướng dẫn hs phát hiện
điều kiện cần và đủ để một đường
thẳng tiếp xúc với một conic.
cho đường thẳng ∆ có phương trình :
Ax + By + C = 0
Giả sử đường thẳng ∆ là tiếp xúc với
elíp
1
b
y
a
x
2

2
2
2
=+
tại M
o
(x
o
; y
o
).
<H> Viết PTTT tại M
o
(x
o
; y
o
) ?
Từ đó ta có điều gì ?
Tương tự cho hypebol và parabol, ta có
tiếp tuyến tại M
o
của parabol có
dạng
x - x
o
=
'
y
0

x
(y - y
o
) .
với
p
y
x
o
'
y
o
=
, từ đó:
( )
o
o
o
yy
p
y
xx −=−

hay px - px
o
= y
o
y -
2
0

y
, thu gọn ta
được:
( )
o
o
o
yy
p
y
xx −=−
.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
M
o
(x
o
; y
o
) của elíp
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
là
0 0
2 2
1

x x y y
a b
+ =
.Suy ra:
1
2
0
2
0
−
==
C
b
y
B
a
x
A
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
Đối với phần elíp ứng với y < 0, làm tương tự ta cũng được kết quả
trên.Tiếp tuyến tại hai đỉnh A
1
(-a ; 0), A
2
(a ; 0) được xét bằng cách coi

x là hàm số của y. Ứng với phần elíp x > 0 (hay X < 0) ta có hàm số
2 2
b
x a y
a
= ± −
và tiến hành tính toán như trên ta cũng đi đến kết
quả trên. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M
o
(x
o
; y
o
) của elíp
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
là
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
.
Chú ý rằng vì M
o

thuộc elíp nên.
2 2
0 0
2 2
1
x y
a b
+ =
.
2. Tiếp tuyến của hyperbol
Cho hyperbol có phương trình
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
và một điểm M
o
(x
o
; y
o
)
thuộc nó. Phương trình tiếp tuyến của hyperbol đó tại điểm M
o
là.
0 0
2 2
1

x x y y
a b
− =
.
3. Tíêp tuyến với Parabol
Cho parabol y
2
= 2px ta cũng coi x như hàm số của y :
2
y
p2
1
x =
. Giả
sử M
o
(x
o
; y
o
) là một điểm của parabol, tức
2
0o
y
p2
1
x =
hay
o
2

0
px2y =
.
Khi đó tiếp tuyến tại M
o
của parabol có dạng x - x
o
=
'
y
0
x
(y - y
o
) .
nhưng
p
y
x
o
y
o
=
'
thay vào phương trình trên, ta được:
( )
o
o
o
yy

p
y
xx −=−
hay px - px
o
= y
o
y -
2
0
y
. Thay
px2y
2
0
=
vào
phương trình trên và rút gọn, ta được phương trình tiếp tuyến của
parabol tại M
o
(x
o
; y
o
) là: y
o
y = p(x
o
+ x)
4. Đònh lí: Cho đường thẳng ∆ có phương trình :Ax + By + C = 0

Trang 53
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
điều kiện cần và đủ để đường thẳng ∆
tiếp xúc với nó.
 Củng cố dặn dò:
• Nắm vững tiếp tuyến của elíp,
hypebol và parabol. Điều kiện tiếp
xúc của đt ∆ với đường cônic.
Làm hết các bài tập SGK.
⇒







−=
−=
C
Bb
y
C
Aa
x
2
0
2
0
, thay vào PT elíp ta

có: a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C
2
(C ≠ 0).
a) Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của elíp
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
khi và chỉ khi :
a
2
A
2
+ b
2
B

2
= C
2
(C ≠ 0)
b) Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của hyperbol
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
khi và chỉ
khi : a
2
A
2
- b
2
B
2
= C
2
(C ≠ 0)
c) Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của parabol y
2
= 2px khi và chỉ khi:

PB
2
= 2AC.
Tiết 32: bµi tËp ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa c¸c ®êng conic
Ngµy d¹y: / /
I. Mục tiêu bài dạy
* Hướng dẫn học sinh vận dụng tiếp tuyến của elíp, hypebol và parabol tại
điểm M
0
trên nó và điều kiện tiếp xúc của đt ∆ với đường cônic để giải
các bài tập SGK.
* Rèn luyện kó năng tính toán cho học sinh.
* Rèn luyện cho học sinh sự cần cù, tính sáng tạo.
II. Chuẩn bò của giáo viên và học sinh
* Học sinh làm bài tập trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bò
bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn đònh lớp : Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Kiểm tra bài cũ:
Hãy nêu tiếp tuyến của elíp, hypebol và parabol tại điểm M
0
trên nó và
điều kiện tiếp xúc của đt ∆ với đường cônic
 Tiến hành dạy bài mới.
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1. Hướng dẫn hs vận dụng
PTTT của cônic tại M
o
(x

o
; y
o
) thuộc nó
để giải bài tập 1, 2 và 3 SGK.
<H> PTTT tại M(x
0
, y
0
) của elíp
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
là gì ?
<H> phương trình tiếp tuyến của
hyperbol đó tại điểm M(x
0
, y
0
) là ?
<H> PTTT của parabol y
2
= 2px tại

M(x
0
, y
0
) là ?
Hoạt động 2. Hướng dẫn hs vận dụng
* PTTT tại M(x
0
, y
0
) của elíp
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
là
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
* Phương trình tiếp tuyến của
hyperbol đó tại điểm M là

0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
.
* phương trình tiếp tuyến của
parabol tại M (x
o
; y
o
) là: y
o
y = p(x
o

Bài tập 1. PTTT của elíp
1
64100
22
=+
yx
tại M(5, 4
3
) là
1
64
34
100

5
=+
yx
hay
1
16
3
25
=+
yx
.
Bài tập 2. PTTT của hypebol 4x
2
– y
2
= 4 tại M(2, -2
3
) là
8x + 2
3
y = 4.
Bài tập 3. PTTT của parabol y
2
= x tại M(1, 1) là y =
2
1
x +
2
1
.

Bài tập 4. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M(5, 2), có VTPT
n
= (A, B)
Pt đt ∆: A(x – 5) + B(y – 2) = 0 ⇔ Ax + By – 5A – 2B = 0.
Trang 54
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
điều kiện tiếp xúc của một đường thẳng
với một để giải bài tập 4, 5 và 6 SGK.
* Gọi hs giải bài tập 4 SGK.
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M(5, 2), có
VTPT
n
= (A, B)
<H> Phương trình tổng quát của đường
thẳng ∆ là gì ?
<H> ĐT ∆ tiếp xúc với hypebol ⇔ ?
* Gọi hs giải bài tập 5 SGK.
Gọi ∆ là đường thẳng song song với đt
x – y + 1 = 0.
<H> Đường thẳng ∆ có VTPT
n
?
<H> Phương trình tổng quát của đường
thẳng ∆ là gì ?
<H> ĐT ∆ tiếp xúc với hypebol ⇔ ?
* Hướng dẫn hs giải bài tập 6.
Hoạt động 3. Hướng dẫn giải bài tập 7.
<H> * Phương trình tiếp tuyến của
hyperbol
1

b
y
a
x
2
2
2
2
=+
ù tại điểm M(x
0
, y
0
)
là ?
<H> Nêu phương trình hai đường tiệm
cận của hypebol ?
<H> Để chứng minh bài toán này ta
làm như thế nào ?
 Củng cố dặn dò:
* Nắm vững tiếp tuyến của elíp,
+ x).
* Phương trình tổng quát của đường
thẳng ∆: A(x – 5) + B(y – 2) = 0 ⇔
Ax + By – 5A – 2B = 0.
*ĐT ∆ tiếp xúc với hypebol ⇔ 25A
2

+ 9B
2

= (-5A – 2B)
2
⇔
5B(B – 4A) = 0
* Đường thẳng ∆ có VTPT
n
= (1,
-1).
* Pt đt ∆: x – y + C = 0.
* ĐT ∆ tiếp xúc với hypebol ⇔
C
2
=16 - 4 ⇔ C = 2
3
hoặc C = -2
3
* Phương trình tiếp tuyến của
hyperbol đó tại điểm M là
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
.
*
0 0
2 2
1
x x y y

a b
− =
. Phương trình hai
tiệm cận của hypebol là y =
a
b
x và y
= -
a
b
x.
* Ta tìm giao điểm A và B của TT
với các đường tiệm cận rồi chứng
ĐT ∆ tiếp xúc với hypebol ⇔ 25A
2
+ 9B
2
= (-5A – 2B)
2
⇔
5B(B – 4A) = 0
• B = 0, PTTT của hypebol là: x – 5 = 0.
• B – 4A = 0, PTTT của hypebol là: x + 4y – 13 = 0.
Bài tập 5. Gọi ∆ là đường thẳng song song với đt x – y + 1 = 0.
Pt đt ∆: x – y + C = 0.
ĐT ∆ tiếp xúc với hypebol ⇔ C
2
=16 - 4 ⇔ C = 2
3
hoặc C = -2

3
.
* C = 2
3
, PTTT của hypebol là: x – y + 2
3
= 0.
* C = 2
3
, PTTT của hypebol là: x – y - 2
3
= 0.
Bài tập 6. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M(3, 4), có VTPT
n
= (A, B)
Pt đt ∆: A(x – 3) + B(y – 4) = 0 ⇔ Ax + By – 3A – 4B = 0.
ĐT ∆ tiếp xúc với parabol ⇔ 2B
2
= 2A(-3A – 4B) ⇔
B
2
+ 4AB + 3A
2
= 0 ⇔ B = -A hoặc B = -3A.
• B = -A, PTTT của parabol là: x – y + 1 = 0.
• B = -3A, PTTT của parabol là: x - 3y + 9 = 0.
Bài tập 7. Giả sử hyperbol có phương trình
2 2
2 2
1

x y
a b
− =
và một điểm
M(x
o
; y
o
) thuộc nó. Phương trình tiếp tuyến của hyperbol đó tại điểm
M là
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
. Phương trình hai tiệm cận của hypebol là y =
a
b
x
và y = -
a
b
x hay
x
a
b
y
=
hoặc

x
a
b
y
−=
. Để tìm giao điểm A của tiệm
cận
x
a
b
y
=
với tiếp tuyến, thay
x
a
b
y
=
vào PTTT ta được: x =
b
y
a
x
a
00
−
, suy ra y =
b
y
a

x
b
00
−
. Để tìm giao điểm B của tiệm cận
x
a
b
y
−=
với tiếp tuyến thay
x
a
b
y
−=
vào PTTT ta được: x =
b
y
a
x
a
00
+
,
suy ra y =
b
y
a
x

b
00
+
.
Trang 55
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
hypebol và parabol. Điều kiện tiếp xúc
của đt ∆ với đường cônic.
* Làm hết các bài tập còn lại SGK.
minh
x
A
+x
B
= 2x
M
và y
A
+y
B
= 2y
M
Ta có:
b
y
a
x
a
00
−

+
b
y
a
x
a
00
+
= 2x
0
.

b
y
a
x
b
00
−
+
b
y
a
x
b
00
+
= 2y
0
.

Vậy M là trung điểm của AB.
Chương II. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Tiết 33: VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Ngµy d¹y: / /
I. Mục tiêu bài dạy
* Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững khái niệm véctơ trong không
gian, các phép toán về véctơ trong không gian, điều kiện đồng phẳng của
ba véctơ trong không gian.
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh.
II. Chuẩn bò của giáo viên và học sinh
* Học sinh đọc và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bò
bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
* Các kiến thức về véctơ trong mặt phẳng.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn đònh lớp :
Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Giới thiệu sơ lược nội dung chương II.
 Tiến hành dạy bài mới.
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1. Hướng dẫn hs phát hiện khái
niệm và các phép toán vectơ trong không
gian.
Đònh nghóa véctơ, các phép toán về vectơ
trong kgian được đònh nghóa hoàn toàn tương
tự như ở lớp 10.
Hoạt động 2. Hướng dẫn hs vận dụng đònh
nghóa véctơ, các phép toán về vectơ trong
kgian để giải một số bài toán.
1. Vectå trong khäng gian:

Nªu l¹i kh¸i niƯm vect¬ trong h×nh häc ph¼ng10 vµ c¸c
phÐp to¸n còng nh mét sè kÕt qu¶ hay gỈp.
2. C¸c vÝ dơ:
vÝ dơ 1: Chøng minh G lµ träng t©m cđa tø diƯn ABCD khi
vµ chØ khi 1 trong c¸c ®iỊu kiƯn sau tháa m·n:
a.
GA
+
GB
+
GC
+
GD
=
0
b. Våïi mi âiãøm O ta cọ:
OG
=
4
1
(
OA
+
OB
+
OC
+
OD
)
Trang 56

G
Q
P
A
B
C
D
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
<H> Trọng tâm của tứ diện là gì ?
Gäi P, Q lÇn lỵc lµ trung ®iĨm cđa AB, G là
trung điểm của PQ.
<H> Ta có
GA
+
GB
= ?,
GC
+
GD
= ?
<H> Để cm bài toán này ta làm như thế
nào ?
* Hdẫn sơ lược phương pháp giải VD 2.
Hoạt động 3. Hướng dẫn hs phát hiện và
nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng
và điều kiện cần và đủ để ba véctơ đồng
phẳng.
* Ba vect¬ gäi lµ ®ång ph¼ng nÕu ba ®êng
th¼ng chøa chóng cïng song song víi mét mỈt
ph¼ng.

* Cho ba vectå
a
,
b
,
c
, trong âọ
a
,
b

khäng cng phỉång.
<H> Nãúu ba vẹctå
a
,
b
,
c
âäưng
phàóng thç ta cọ âiãưu gç ?
<H> Nãúu täưn tải cạc säú k,l sao cho
c
= k
a
+ l
b
thç ta kãút lûn gç vãư ba
vẹctå
a
,

b
,
c
?
* Cho
a
,
b
,
c
l ba vectå khäng âäưng
* Trọng tâm của tứ diện là trung điểm đoạn
thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện
của tứ diện.
*
GA
+
GB
= 2
GP
,
GC
+
GD
= 2
GQ
* G lµ träng t©m cđa tø diƯn ABCD ⇔
⇔
GP
+

GQ
=
0
⇔
⇔
2(
GP
+
GQ
) =
0

⇔
GA
+
GB
+
GC
+
GD
=
0

* O lµ ®iĨm bÊt kú, ta cã:
GA
=
OA
-
OG
,

GB
=
OB
-
OG
,
GC
=
OC
-
OG
,
GD
=
OD
-
OG
,
AG
+
GB
+
GC
+
GD
=
0

⇔
-

OG
+
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=
0
⇔
OG
=
4
1
(
OA
+
OB
+
OC
+
OD
* Thç täưn tải cạc säú k,l sao cho
c
= k
a
+ l
b

Gi¶i: Gäi P, Q lÇn lỵc lµ trung ®iĨm cđa AB, CD
Ta cã:
GA
+
GB
= 2
GP
,
GC
+
GD
= 2
GQ
a.
GA
+
GB
+
GC
+
GD
=
0

⇔
2(
GP
+
GQ
) =

0
⇔
G lµ trung ®iĨm cđa PQ hay G lµ träng t©m cđa tø
diƯn ABCD
b. O lµ ®iĨm bÊt kú, ta cã:
GA
=
OA
-
OG
,
GB
=
OB
-
OG
GC
=
OC
-
OG
,
GD
=
OD
-
OG
AG
+
GB

+
GC
+
GD
=
0

⇔
-4
OG
+
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=
0
⇔
OG
=
4
1
(
OA
+
OB
+

OC
+
OD
)
VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng nÕu mét h×nh tø diƯn cã hai cỈp
c¹nh ®èi vu«ng gãc th× cỈp c¹nh ®èi thø ba còng vu«ng
gãc.
Híng dÉn hs c/m l¹i kÕt qu¶ :

0 =++ DBCADABCDCAB
3. C¸c vect¬ ®ång ph¼ng:
a. §Þnh nghÜa: Ba vect¬ gäi lµ ®ång ph¼ng nÕu ba ®êng
th¼ng chøa chóng cïng song song víi mét mỈt ph¼ng.
Ta ve:
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=
c
. Khi đó:
a
,
b
,

c
®ång ph¼ng O, A, B, C cïng n»m trªn mét mỈt
ph¼ng.
b. Âënh l 1:
Cho ba vectå
a
,
b
,
c
, trong âọ
a
,
b
khäng cng
phỉång. Khi âọ
a
,
b
,
c
âäưng phàóng nãúu v chè
nãúu cọ cạc säú k, l sao cho
c
= k
a
+ l
b
Chỉïng minh: (SGK)
c. Âinh l 2 : Nãúu

a
,
b
,
c
l ba vectå khäng âäưng
phàóng thç våïi mi
x
ta âãưu cọ
x
= k
a
+ l
b
+ m
c

Trong âọ bäü ba säú k, l, m duy nháút.
Chỉïng minh:
Dỉûng
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=

c
,
OX
=
x
Tỉì X k âỉåìng thàóng song song(hồûc trng) OC,
Trang 57
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
phàóng v mäüt vẹctå
x
báút kç.
V
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=
c
,
OX
=
x
.
Tỉì X k âỉåìng thàóng song song(hồûc
trng) OC, nọ càõt (OAB) tải X , ’

<H> Ta cọ biãøu diãùn theo ba vẹctå
a
,
b
,
c
nhỉ thãú no ?
Báy giåì ta chỉïng minh k, m, l duy nháút
Gi sỉí
x
= k
a
+ l
b
+m
c
= k'
a
+ l'
b
+m'
c
<H> Ta cáưn chỉïng minh âiãưu gç ?
 Bỉåïc 4. Cng cäú:
* Nắm vững khái niệm véctơ trong không
gian, các phép toán về véctơ trong không
gian, điều kiện đồng phẳng của ba véctơ
trong không gian.
* Gii hãút cạc bi táûp SGK
*

OX
=
'OX
+
XX '
a
,
b
,
'OX
âäưng phàóng nãn

'OX
= k
a
+ l
b
v
XX '
cng phỉång våïi
c

⇒
XX '
= m
c
⇒
x
=
OX

= k
a
+ l
b
+m
c

* Âãø chỉïng minh k, m, l duy nháút ta cm k =
k', l = l', m = m'. Tháût váûy:
x
= k
a
+ l
b
+m
c
= k'
a
+ l'
b
+m'
c
⇒
(k - k')
a
+ (l - l')
b
+ (m - m')
c
=

0
k
≠
k' thç
a
=
c
kk
mm
b
kk
ll
'
'
'
'
−
−
+
−
−
⇒
a
,
b
,
c
âäưng phàóng (vä l)
⇒
k = k'.

Chỉïng minh tỉång tỉû: l = l', m = m'.
Váûy bäü ba säú k, l, m duy nháút.
nọ càõt (OAB) tải X , ta cọ: ’
OX
=
'OX
+
XX '
a
,
b
,
'OX
âäưng phàóng (ÂL1)
⇒

'OX
= k
a
+ l
b
XX '
cng phỉång våïi
c

⇒
XX '
= m
c
Tỉì âọ:

x
=
OX
= k
a
+ l
b
+m
c

Chỉïng minh k, m, l duy nháút
x
= k
a
+ l
b
+m
c
= k'
a
+ l'
b
+m'
c
⇒
(k - k')
a
+ (l - l')
b
+ (m - m')

c
=
0
k
≠
k' thç
a
=
c
kk
mm
b
kk
ll
'
'
'
'
−
−
+
−
−
⇒
a
,
b
,
c
âäưng phàóng !!!

⇒
k = k'
Chỉïng minh tỉång tỉû: l = l', m = m'.
Váûy bäü ba säú k, l, m duy nháút.
Tiết 34: BÀI TẬP VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Ngµy d¹y: / /
I. Mục tiêu bài dạy
* Hướng dẫn học sinh vận dụng đònh nghóa véctơ trong không gian, các
phép toán về véctơ trong không gian, điều kiện đồng phẳng của ba véctơ
trong không gian để giải các bài tập SGK.
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh.
II. Chuẩn bò của giáo viên và học sinh
* Học sinh làm bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bò
bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
* Các kiến thức về đònh nghóa véctơ trong không gian, các phép toán về
véctơ trong không gian, điều kiện đồng phẳng của ba véctơ trong không
gian.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn đònh lớp : Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Kiểm tra bài cũ.
 Tiến hành dạy bài mới.
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
Trang 58
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
* Gi hs gii bi táûp 1.
<H> G l trng tám ca tam giạc
ABC khi ni ?
<H> MA
2

= ?
<H> Nãu lải cạc úu täú cäú âënh,
cạc úu täú khäng âäøi ca bi
toạn ny ?
<H> MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= k
2
⇔ ?
<H> Suy ra qu têch âiãøm M ?
* Gi hs gii bi táûp 5 SGK .
<H> Âãø chỉïng minh AM
⊥
BN ta
chỉïng minh nhỉ thãú no ?
<H> Âãø chỉïng minh
AM
.
BN
= 0
ta chỉïng minh nhỉ thãú no ?
* Gi hs gii bi táûp 6 SGK .
 Bỉåïc 4. Cng cäú:
* Nắm vững khái niệm véctơ trong không
gian, các phép toán về véctơ trong không
gian, điều kiện đồng phẳng của ba véctơ

trong không gian.
* Gii hãút cạc bi táûp SGK
<H> Âãø chỉïng minh GG //’
*
0=++ GCGBGA
OGOCOBOAO 3, =++∀
*
MAMA =
2
.
* A, B, C, G: cố đònh.
k, GA, GB, GC: không đổi.
* MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= k
2
⇔ 3MG
2
+ GA
2

+ GB
2
+ GC
2
= k

2
⇔
MG
2
=
( )
3
2222
GCGBGAk ++−
* + k
2
< GA
2
+ GB
2
+ GC
2
: Qu têch M
l φ
+ k
2
= GA
2
+ GB
2
+ GC
2
: M
≡
G0

+ k
2
= GA
2
+ GB
2
+ GC
2
:Qu têch M l màût cáưu
tám G bạn kênh R.
* Ta chỉïng minh
BNAM ⊥
⇔
AM
.
BN
= 0
*
AM
=
'AA
+
'' BA
+
MB'
;
BN
=
BC
+

CN
⇒
AM
.
BN
= (
'AA
+
'' BA
+
MB'
).(
BC
+
CN
) =
'' BA
.
CN
+
MB'
.
BC
= A B .CN.cos180’ ’
0
+B M.BC.cos0’
0
⇒
AM
.

BN
= 0
⇒ AM
⊥
BN.
Bi 1trang 59
a. Chỉïng minh:
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
Ta cọ:
MA
2
=
2
MA
=
( )
2

GAMG +
= MG
2
+ GA
2
+ 2
GAMG.
MB
2
=
2
MB
= (
GBMG +
)
2
= MG
2
+ GB
2
+ 2
GBMG.
MC
2
=
2
MC
= (
GCMG +
)

2
= MG
2
+ GC
2
+ 2
GCMG.
⇒
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
b. tçm qu têch M:
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= k

2
⇔ 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
= k
2
⇔
MG
2
=
( )
3
2222
GCGBGAk ++−
+ k
2
< GA
2
+ GB
2
+ GC
2
: Qu têch M l φ
+ k
2

= GA
2
+ GB
2
+ GC
2
: M
≡
G
+ k
2
= GA
2
+ GB
2
+ GC
2
: Qu têch M l màût cáưu tám G bạn
kênh
R =
3
)(
2222
GCGBGAk ++−
Bài 5 Chứïng minh: AM
⊥
BN
Ta chỉïng minh
BNAM ⊥
(

AM
.
BN
=
0
)
( Âàût
'AA
=
a
v
AB
=
b
,
AD
=
c
)
AM
=
'AA
+
'' BA
+
MB'
;
BN
=
BC

+
CN
AM
.
BN
= (
'AA
+
'' BA
+
MB'
).(
BC
+
CN
)
=
'' BA
.
CN
+
MB'
.
BC
= A B .CN.cos180’ ’
0
+B M.BC.cos0’
0
⇒
AM

.
BN
=
0
⇒ AM
⊥
BN.
Bài 6 Âàût
'AA
=
a
v
AB
=
b
,
AD
=
c
Vç G l trng tám tỉï diãûn BCC D nãn:’ ’ ’

)''''(
4
1
'' CDCDBDGD ++=

do
0'' =DD
Vç G l trng tám tỉï diãûn A D MN nãn:’ ’
Trang 59

A
D
B
C
A'
D'
B'
C'
M
N
A'
B
D
A
B'
D'
C
C'
N
M
G
G'
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
mp(ABB A ) ta chỉïng minh ntn ?’ ’
* Ta chỉïng minh
caGG ,,'
âäưng phàóng
GD'
=
4

1
)''''( NDMDAD ++

'GG
=
4
1

)'''( NCMCBA ++
=
)
2
1
2
1
(
4
1
caaa
−++
nãn
caGG ,,'
âäưng phàóng
Hay
'GG
// mp(ABB A )’ ’
Tiết 35: HỆ TOẠ ĐỘ ĐÊCÁC VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN, TOẠ ĐỘ CỦA VÉCTƠ VÀ CỦA ĐIỂM.
Ngµy d¹y: / /
I. Mục tiêu bài dạy
* Các kiến thức về véctơ trong không gian.

* Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững hệ toạ độ đêcác vuông góc
trong không gian, toạ độ của véctơ và của điểm trong không gian, chia
đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước.
* Học sinh phải xác đònh được toạ độ của một véctơ, điểm trong không
gian. Vận dụng chúng để giải được một số bài tập.
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh.
II. Chuẩn bò của giáo viên và học sinh
* Học sinh đọc và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bò
bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn đònh lớp :
Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Kiểm tra bài cũ: Nêu điều kiện đồng phẳng của ba véctơ.
 Tiến hành dạy bài mới.
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1. Hướng dẫn hs phát hiện
khái niệm hệ trục tọa độ Đề Các
vuông góc trong không gian.
* Cho 3 trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông
góc với nhau đôi một tại O. Gọi
i
r
,
j
r
1) Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong không gian.
Cho 3 trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau đôi một tại O.
Gọi
i

r
,
j
r
,
k
r
là các vectơ đơn vò tương ứng trên x’Ox, y’Oy, z’Oz.
Hệ 3 trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đề Các vuông góc trực chuẩn.
- O: gốc toạ độ.
Trang 60
=1
NGUYỄN THANH LONG – TỔ TOÁN, TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU GIÁO ÁN H×nh Häc 12
,
k
r
là các vectơ đơn vò tương ứng trên
x’Ox, y’Oy, z’Oz.
<H> Nhận xét gì về:
i
r
,
j
r
,
k
r
?
Hệ 3 trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đề
Các vuông góc trực chuẩn

Hoạt động 2. Hướng dẫn hs phát
hiện khái niệm Tọa độ của vectơ đối
với hệ toạ độ.
Cho hệ tọa độ Oxyz và vectơ
v
r
tùy
ý. <H> Vì
i
r
,
j
r
,
k
r
không đồng phẳng
nên ta có điều gì ?
Bộ 3 số (x, y, z) gọi là tọa độ
v
r
. x là
hoành độ, y là tung độ và z là cao độ
của
v
r
.
Trong kgOxz cho
v
r

(x; y; z),
v
r
’(x’;y’;z’) thì :
<H>
v
r
=
v
r
’ ⇔ ?
<H> Toạ độ của véctơ:
v
r
+
v
r
’,
v
r
-
v
r
’, k.
v
r
là gì ?
Hoạt động 3. Hướng dẫn hs phát
hiện và nắm vững khái niệm Tọa độ
của một điểm đối với hệ toạ độ.

Nếu
OM
= x
i
r
+ y
j
r
+ z
k
r
thì bộ 3
số (x, y, z) gọi là tọa độ của điểm M
đối với hệ toạ độ Oxyz.
<H> M có toạ độ là (x, y, z) khi nào ?
<H> Trong g Oxyz cho A(x
1
, y
1
, z
1
),
B(x
2
, y
2
, z
2
) thì toạ độ của véctơ
AB

là gì ?
Hoạt động 4. Hướng dẫn hs phát
hiện và nắm vững toạ độ của điểm
chia một đoạn thẳng theo một tỉ số
*
2 2 2
i j k
i.j j.k k.i 0

= =


= = =


r r r
r r r r r r
.
• Tồn tại duy nhấtù bộ 3 số x, y, z sao
cho :
v
r
= x
i
r
+ y
j
r
+ z
k

r
.
*
v
r
=
v
r
’ ⇔ x = x’, y = y’, z = z’
*
v
r
+
v
r
’= (x + x’, y + y’, z + z’)
*
v
r
-
v
r
’= (x - x’, y – y’, z – z’)
* k.
v
r
= (k.x, k.y, k.z).
•Nếu
v
r

=(x; y; z) thì: x=
v
r
i
r
, y =
v
r
j
r
,
z =
v
r
k
r
.
*
M(x;y;z) OM xi yj zk⇔ = + +
uuuur
r r r
*
2 1 2 1 2 1
AB(x x ,y y ,z z− − −
uuur
* M gọi là điểm chia đoạn thẳng AB
- x’Ox : trục hoành, y’y : trục tung, z’Oz : trục cao.
Chú ý :
2 2 2
i j k

i.j j.k k.i 0

= =


= = =


r r r
r r r r r r
.
2) Tọa độ của vectơ đối với hệ toạ độ.
Cho hệ tọa độ Oxyz và vectơ
v
r
tùy ý. Vì
i
r
,
j
r
,
k
r
không đồng
phẳng nên tồn tại duy nhấtù bộ 3 số x, y, z sao cho :
v
r
= x
i

r
+ y
j
r
+ z
k
r
. Bộ 3 số (x, y, z) gọi là tọa độ
v
r
. x là hoành độ, y là tung độ và z
là cao độ của
v
r
.
Chú ý:
v(x;y;z) v xi yj zk⇔ = + +
r r r
r r
3. Đònh lí Trong kgOxz cho
v
r
(x; y; z),
v
r
’(x’;y’;z’) thì :
a)
v
r
=

v
r
’ ⇔ x = x’, y = y’, z = z’
b)
v
r
+
v
r
’(x + x’, y + y’, z + z’)
c)
v
r
-
v
r
’(x - x’, y – y’, z – z’)
d) k.
v
r
(k.x, k.y, k.z)
Chú ý: a, Cho
v
r
, tồn tại duy nhất A:
OA
=
v
r
.

Gọi hình chiếu của A trên Ox, Oy, Oz lần lượt là: A
1
, A
2
, A
3
.
Khi đó x, y, z lần lượt là toạ độ tương ứng của A
1
, A
2
, A
3
trên các
trục toạ độ Ox, Oy, Oz.
b, Nếu
v
r
=(x; y; z) thì: x=
v
r
i
r
, y =
v
r
j
r
, z =
v

r
k
r
.
c, Hai véctơ bằng nhau ⇔ các toạ độ của chúng bằng nhau.
4) Tọa độ của một điểm đối với hệ toạ độ.
Đònh nghóa Nếu
OM
= x
i
r
+ y
j
r
+ z
k
r
thì bộ 3 số (x, y, z) gọi là
tọa độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz.
x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ củaM.
M(x;y;z) OM xi yj zk⇔ = + +
uuuur
r r r
5. Đònh lí Trong g Oxyz cho A(x
1
, y
1
, z
1
), B(x

2
, y
2
, z
2
) thì :
2 1 2 1 2 1
AB(x x ,y y ,z z− − −
uuur
6 . Chia đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước.
Bài toán: Giải sử M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (
MBkMA =
)
Trang 61
z
A
O
y
x
A
2
A
3
A
1
=1