Giáo án toán hình học 12 (từ tiết 31 đến 34)

Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
Tuần học thứ: 22. Ngày soạn: 30/1 Tuần học thứ: 22.
TiÕt 29. bµi tËp VỊ c¸c ®êng conic, ®êng chn cđa c¸c ®êng conic.
I Mơc tiªu bµi d¹y
* Hướng dẫn hs các kiến thức về các đường cônic, đường, đường chuẫn của conic để giải các bài tập SGK.
* RÌn lun kÜ n¨ng tÝnh to¸n cho häc sinh.
II. Chn bÞ cđa GV vµ HS.
• Gi¸o viªn: Gi¸o ¸n, b¶ng phơ, d©y, thíc vµ compa.
• Häc sinh: chn bÞ bµi tríc ë nhµ.
III. TiÕn tr×nh bµi d¹y.
. Ổn đònh lớp : 1’
Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Kiểm tra bài cũ: 3’
Nêu đinh nghóa đường chuẫn của các đường cônic, đònh nhóa tổng quát của các đường cônic
 Tiến hành dạy bài mới.
Thêi
gian
Ho¹t ®éng cđa thÇy Ho¹t ®éng cđa trß Néi dung ghi b¶ng
10’
Hoạt động 1. Hướng dẫn hs xác đònh pt
các đường chuẫn của các đường cônic.
Cho elíp hoặc hyperbol có phương trình
chính tắc
1
b
y
a
x
2
2
2

2
=+
(a > b > 0) hoặc








=− 1
b
y
a
x
2
2
2
2
.
<H> Khi đó, hai đường chuẫn của nó có pt
là gì ?
• Gọi hs giải bài tập 1.
<H> Xác đònh đường chuẫn ∆ của parabol:
y
2
= 8x ?
Hoạt động 2. Hướng dẫn hs dựa vào
đường chuẫn của các đường cônic để lập

pt của nó.
Xét câu 2b.
<H> Dựa vào đâu để ta phân biệt cônic là
* Hai đường chuẫn của nó có pt là: thẳng
e
a
x −=
và
e
a
x =
* y
2
= 8x
⇒
2p = 8
⇒
p = 4 ⇒
∆
: x = -2
* Dựa vào tâm sai e.
Bi táûp 1. a.
1
1625
22
=+
yx

⇒
a = 5, b = 4

⇒
c
2
= a
2
- b
2
= 9
⇒
c
= 3
⇒
e =
a
c
=
5
3
⇒

e
a
=
5
3
5
=
3
25
Váûy

∆
1
: x = -
3
25
,
∆
2
: x =
3
25
b.
1
49
2
2
=−
y
x

⇒
a = 3, b = 2
⇒
c
2
= a
2
+ b
2
= 9 + 4 = 13

⇒
c =
13
. Ta cọ: e =
a
c
=
3
13

⇒
e
a
=
3
13
3
=
13
9
c. y
2
= 8x
⇒
2p = 8
⇒
p = 4 ⇒
∆
: x = -2.
Bi táûp 2

b. Mäüt tiãu âiãøm F
2
(3, 0) âỉåìng chøn tỉång ỉïng
∆
2
:x=2
Trang 12
Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
10’
20’
elíp, parabol hay hypebol ?
<H> Để lập được pt của cônic này ta phải
làm gì ?
<H> Xác đònh tâm sai rồi suy ra pt của
cônic nay ?
Tương tự cho câu 2c.
GV gọi hs giải bt 2b, sau đó nhận xét đánh
giá bài làm nay.
* Gọi hs giải bài tập 3 sgk.
Hoạt động 3. Hướng dẫn hs dựa vào
đường chuẫn của các đường cônic để lập
pt của nó.
Xét bài tập 3a.
<H> Đường cônic này là gì ?
<H> Một điểm M(x, y) thüc cänic khi
no?
Gọi hs giải bài tập 3a.
Xét bài tập 3b.
<H> Đường cônic này là gì ?
<H> Một điểm M(x, y) thüc cänic khi

no?
Gọi hs giải bài tập 3b.
Tương tự hướng dẫn hs giải bài tập 3c, d.
* Xác đònh tâm sai e.
* Ta cọ c = 3,
e
a
= 2
⇒
a
2
= 2c
= 6
⇒
a =
6
⇒ e =
a
c
=
6
3
>
1
⇒
Cänic l hypebol
⇒
b
2
= c

2
-
a
2
= 9 - 6 = 3 ⇒ cänic cọ phỉång
trçnh :
36
2
2
y
x
−
= 1.
* Là một parabol vì e = 1
* khi
MH
MF
= e = 1
* Là một elíp vì e < 1.
* khi
MH
MF
= e =
2
1
Ta cọ c = 3,
e
a
= 2
⇒

c
a
2
= 2
⇒
a
2
= 2c = 6
⇒
a =
6
e =
a
c
=
6
3
> 1
⇒
Cänic l hypebol
⇒
b
2
= c
2
- a
2
= 9 - 6 = 3
Váûy cänic cọ phỉång trçnh :

36
2
2
y
x
−
= 1
c. Mäüt tiãu âiãøm F
1
(-6, 0), tám sai e = 3 ta cọ c = 6 ⇒ e =
a
c
=
3
⇒
a =
3
c
= 2. e = 3 > 1
⇒
Cänic l Hypebol
⇒
b
2
= c
2
- a
2

= 36 - 4 = 32. Hypebol cọ F

1
(-6, 0)
∈
Ox nãn nháûn Ox lm trủc
thỉûc
Váûy Hypebol cọ phỉång trçnh chênh tàõc :
=−
324
2
2
y
x
1
Bi táûp 3. a. F(2, 3), âỉåìng chøn y = 0, tám sai e = 1
Gi M(x, y) thüc cänic
FM =
22
)3()2( −+− yx
Khong cạch MH tỉì M âãún âỉåìng chøn y = 0 l : MH =
y
Ta cọ :
MH
MF
= e = 1
⇔
FM = MH
⇔
22
)3()2( −+− yx
=

y
⇔
(x - 2)
2
+ (y - 3)
2
= y
2
⇔
(x - 2)
2
+y
2
- 6y + 9 = y
2
⇔
(x - 2)
2
= 6y -
9
⇔
(x - 2)
2
= 6(y -
2
3
). Parapol âènh S(2, -
2
3
)

b. F(0, 3), âỉåìng chøn y = 0, tám sai e =
2
1
Gi M(x, y) l âiãøm thüc cänic FM =
22
)3( −+ yx
Khong cạch tỉì M âãún âỉåìng chøn y = 0 l: MH =
y
Ta cọ :
MH
MF
=
2
1
⇔
2FM = MH
⇔
2
22
)3( −+ yx
=
y
Trang 13
Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
1’
 Củng cố dặn dò:
Làm hết các bài tập còn lại ở SGK. Phân
biệt được ba đường conic.
Nắm vững đường chuẩn của ba đường
conic.

Làm bài tập 4 sgk.
⇔
4(x
2
+ y
2
- 6y + 9) = y
2
⇔
4x
2
+ 3y
2
- 36y + 36 = 0
Do e =
2
1
< 1 : Âáy l mäüt phỉång trçnh elip
d. Tiãu âiãøm F(1, 1) âỉåìng chøn x + y - 1 = 0, e=
2
Gi M(x, y) l toả âäü thüc cänic
MH =
22
)1()1( −+− yx
. Khong cạch tỉì M âãún âỉåìng
chøn l :MH =
2
1−+ yx
Ta cọ:
MH

MF
= e =
2

⇔
MF
=
2
MH
⇔
22
)1()1( −+− yx
=
1−+ yx
⇔
x
2
- 2x + 1+ y
2
- 2y +1 = x
2
+ y
2
+ 1 + 2xy - 2y - 2x
⇔
2xy = 1
Tuần học thứ: 22. Ngày soạn: 0/ 1/ 2005
Tiết chương trình: 31
Bài 12 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
I. Mục tiêu bài dạy

* Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững phương trình tiếp tuyến của các đường conic.
* Học sinh sử dụng các điều kiện tiếp xúc của một đường thẳng với conic để lập được phương trình tiếp tuyến với các đường cônic.
* Rèn luyện kó năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẩn bò của giáo viên và học sinh
* Học sinh đọc trước bài mới.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bò bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn đònh lớp :
Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Kiểm tra bài cũ:
- Phát biểu đònh nghóa elip.
- Viết phương trình chính tắc.
Áp dụng : đònh tiêu điểm, tâm sai và vẽ (E) : 9x
2
+ 25y
2
– 225 = 0.
 Tiến hành dạy bài mới.
T gian
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
Trang 14
Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
18’
Hoạt động 1. Hướng dẫn hs phát hiện
PTTT của elíp tại M
o
(x
o
; y
o

) thuộc nó.
Ta có
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
⇔
22
xa
a
b
y −±=
Phần elíp thuộc nửa mặt phẳng y > 0
sẽ có phương trình
2 2
b
y a x
a
= −
ta
xét trường hợp M
o
thuộc phần y > 0,
tức,

2 2
b
y a x
a
= −
(|x|< a).
<H> PTTT tại M
0
của hs
2 2
b
y a x
a
= −
là gì? Từ đó suy ra
PTTT cần tìm ?
Đối với phần elíp ứng với y < 0, làm
tương tự ta cũng được kết quả trên.
Tiếp tuyến tại hai đỉnh A
1
(-a ; 0),
A
2
(a ; 0) được xét bằng cách coi x là
hàm số của y. Ứng với phần elíp x > 0
(hay x < 0) ta có hàm số
2 2
b
x a y
a

= ± −
và tiến hành tính
toán như trên ta cũng đi đến kết qủa
trên.
Hoạt động 2. Hướng dẫn hs phát hiện
PTTT của hypebol tại M
o
(x
o
; y
o
) thuộc
nó.
Cho hyperbol có phương trình
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
và một điểm M
o
(x
o
; y
o
).
Chứng minh tương tự như trên ta có
phương trình tiếp tuyến của hyperbol
y - y

o
=
'
x
0
y
(x - x
o
).
với
2
0
2
0
'
0
xaa
bx
y
x
−
−=
y – y
0
=
2
0
2
0
xaa

bx
−
−
(x – x
0
) =
)0
0
2
0
2
( xx
ya
xb
−−

nhân cả hai vế với
2
0
b
y
ta được.
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
.
1. Tiếp tuyến của elíp

Cho elíp có phương trình chính tắc
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
(1)
Giả sử M
o
(x
o
; y
o
) là một điểm nằm trên elíp. Ta lập phương trình
tiếp tuyến của elíp tại điểm M
o
.
Từ (1) ta có thể viết
22
xa
a
b
y −±=
. Phần elíp thuộc nửa mặt
phẳng y > 0 sẽ có phương trình

22
xa
a
b
y −=
ta xét trường hợp
M
o
thuộc phần y > 0, tức,
2 2
b
y a x
a
= −
(|x|< a). Khi đó ta đã biết
tiếp tuyến tại M
o
có phương trình y - y
o
=
'
x
0
y
(x - x
o
).
Nhưng
2
0

2
0
'
0
xaa
bx
y
x
−
−=
thay vào phương trình trên, ta được:
y – y
0
=
2
0
2
0
xaa
bx
−
−
(x – x
0
) =
)0
0
2
0
2

( xx
ya
xb
−−
và nhân cả hai vế
với
2
0
b
y
ta được.
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
.
Tóm lại, phương trình tiếp tuyến của elíp tại M
0
(x
o
; y
o
) thuộc
phần
y > 0 có dạng
0 0
2 2
1

x x y y
a b
+ =
Đối với phần elíp ứng với y < 0, làm tương tự ta cũng được kết
quả trên.Tiếp tuyến tại hai đỉnh A
1
(-a ; 0), A
2
(a ; 0) được xét bằng
cách coi x là hàm số của y. Ứng với phần elíp x > 0 (hay X < 0) ta
có hàm số
2 2
b
x a y
a
= ± −
và tiến hành tính toán như trên ta
cũng đi đến kết quả trên. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm
M
o
(x
o
; y
o
) của elíp
2 2
2 2
1
x y
a b

+ =
là
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
.
Trang 15
Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
5’
7’
10’
1’
đó tại điểm M
o
là
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
.
Hoạt động 3. Hướng dẫn hs phát hiện
PTTT của parabol tại M
o
(x
o

; y
o
) thuộc
nó.
Cho parabol y
2
= 2px ta cũng coi x như
hàm số của y :
2
y
p2
1
x =
. Giả sử
M
o
(x
o
; y
o
) là một điểm của parabol.
<H> Tiếp tuyến của parabol tại M
0
có
dạng gì ?
Hoạt động 4. Hướng dẫn hs phát hiện
điều kiện cần và đủ để một đường
thẳng tiếp xúc với một conic.
cho đường thẳng ∆ có phương trình :
Ax + By + C = 0

Giả sử đường thẳng ∆ là tiếp xúc với
elíp
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
tại M
o
(x
o
; y
o
).
<H> Viết PTTT tại M
o
(x
o
; y
o
) ?
Từ đó ta có điều gì ?
Tương tự cho hypebol và parabol, ta có
điều kiện cần và đủ để đường thẳng ∆
tiếp xúc với nó.

 Củng cố dặn dò:
• Nắm vững tiếp tuyến của elíp,
hypebol và parabol. Điều kiện tiếp
xúc của đt ∆ với đường cônic.
Làm hết các bài tập SGK.
tiếp tuyến tại M
o
của parabol có dạng
x - x
o
=
'
y
0
x
(y - y
o
) .
với
p
y
x
o
'
y
o
=
, từ đó:
( )
o

o
o
yy
p
y
xx −=−

hay px - px
o
= y
o
y -
2
0
y
, thu gọn ta
được:
( )
o
o
o
yy
p
y
xx −=−
.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
M
o
(x

o
; y
o
) của elíp
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
là
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
.Suy ra:
1
2
0
2
0
−
==
C
b
y
B
a

x
A

⇒







−=
−=
C
Bb
y
C
Aa
x
2
0
2
0
, thay vào PT elíp ta
có: a
2
A
2
+ b
2

B
2
= C
2
(C ≠ 0).
Chú ý rằng vì M
o
thuộc elíp nên.
2 2
0 0
2 2
1
x y
a b
+ =
.
2. Tiếp tuyến của hyperbol
Cho hyperbol có phương trình
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
và một điểm M
o
(x
o
; y
o

)
thuộc nó. Phương trình tiếp tuyến của hyperbol đó tại điểm M
o
là.
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
.
3. Tíêp tuyến với Parabol
Cho parabol y
2
= 2px ta cũng coi x như hàm số của y :
2
y
p2
1
x =
.
Giả sử M
o
(x
o
; y
o
) là một điểm của parabol, tức
2
0o

y
p2
1
x =
hay
o
2
0
px2y =
.
Khi đó tiếp tuyến tại M
o
của parabol có dạng x - x
o
=
'
y
0
x
(y -
y
o
) .
nhưng
p
y
x
o
y
o

=
'
thay vào phương trình trên, ta được:
( )
o
o
o
yy
p
y
xx −=−
hay px - px
o
= y
o
y -
2
0
y
. Thay
px2y
2
0
=
vào
phương trình trên và rút gọn, ta được phương trình tiếp tuyến của
parabol tại M
o
(x
o

; y
o
) là: y
o
y = p(x
o
+ x)
4. Đònh lí: cho đường thẳng ∆ có phương trình :Ax + By + C = 0
a) Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của elíp
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
khi và chỉ
khi :
a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C

2
(C ≠ 0)
b) Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của hyperbol
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
khi và
chỉ khi : a
2
A
2
- b
2
B
2
= C
2
(C ≠ 0)
c) Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của parabol y
2
= 2px khi và chỉ
khi:
Trang 16

Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
PB
2
= 2AC.
Tuần học thứ: 23. Ngày soạn: 13/ 2/ 2005
Tiết chương trình: 32
BÀI DẠY: BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƯỜNG CÔNIC
I. Mục tiêu bài dạy
* Hướng dẫn học sinh vận dụng tiếp tuyến của elíp, hypebol và parabol tại điểm M
0
trên nó và điều kiện tiếp xúc của đt ∆ với đường cônic để giải các bài tập
SGK.
* Rèn luyện kó năng tính toán cho học sinh.
* Rèn luyện cho học sinh sự cần cù, tính sáng tạo.
II. Chuẩn bò của giáo viên và học sinh
* Học sinh làm bài tập trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bò bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn đònh lớp : 1’
Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Kiểm tra bài cũ: 3’
Hãy nêu tiếp tuyến của elíp, hypebol và parabol tại điểm M
0
trên nó và điều kiện tiếp xúc của đt ∆ với đường cônic
 Tiến hành dạy bài mới.
T gian
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
5’
5’
5’

Hoạt động 1. Hướng dẫn hs vận dụng
PTTT của cônic tại M
o
(x
o
; y
o
) thuộc
nó để giải bài tập 1, 2 và 3 SGK.
<H> PTTT tại M(x
0
, y
0
) của elíp
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
là gì ?
<H> phương trình tiếp tuyến của
hyperbol đó tại điểm M(x
0
, y
0

) là ?
<H> PTTT của parabol y
2
= 2px tại
M(x
0
, y
0
) là ?
Hoạt động 2. Hướng dẫn hs vận dụng
điều kiện tiếp xúc của một đường
* PTTT tại M(x
0
, y
0
) của elíp
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
là
0 0
2 2
1

x x y y
a b
+ =
* Phương trình tiếp tuyến của hyperbol
đó tại điểm M là
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
.
* phương trình tiếp tuyến của parabol
tại M (x
o
; y
o
) là: y
o
y = p(x
o
+ x).
Bài tập 1. PTTT của elíp
1
64100
22
=+
yx
tại M(5, 4
3

) là
1
64
34
100
5
=+
yx
hay
1
16
3
25
=+
yx
.
Bài tập 2. PTTT của hypebol 4x
2
– y
2
= 4 tại M(2, -2
3
) là
8x + 2
3
y = 4.
Bài tập 3. PTTT của parabol y
2
= x tại M(1, 1) là y =
2

1
x +
2
1
.
Bài tập 4. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M(5, 2), có VTPT
n
= (A,
B) Pt đt ∆: A(x – 5) + B(y – 2) = 0 ⇔ Ax + By – 5A – 2B = 0.
ĐT ∆ tiếp xúc với hypebol ⇔ 25A
2
+ 9B
2
= (-5A – 2B)
2
⇔
5B(B – 4A) = 0
Trang 17
Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
8’
8’
9’
thẳng với một để giải bài tập 4, 5 và 6
SGK.
* Gọi hs giải bài tập 4 SGK.
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M(5, 2),
có VTPT
n
= (A, B)
<H> Phương trình tổng quát của đường

thẳng ∆ là gì ?
<H> ĐT ∆ tiếp xúc với hypebol ⇔ ?
* Gọi hs giải bài tập 5 SGK.
Gọi ∆ là đường thẳng song song với đt
x – y + 1 = 0.
<H> Đường thẳng ∆ có VTPT
n
?
<H> Phương trình tổng quát của
đường thẳng ∆ là gì ?
<H> ĐT ∆ tiếp xúc với hypebol ⇔ ?
* Hướng dẫn hs giải bài tập 6.
Hoạt động 3. Hướng dẫn giải bài tập
7.
<H> * Phương trình tiếp tuyến của
hyperbol
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
ù tại điểm M(x
0
, y
0

)
là ?
<H> Nêu phương trình hai đường tiệm
cận của hypebol ?
<H> Để chứng minh bài toán này ta
làm như thế nào ?
 Củng cố dặn dò:
* Phương trình tổng quát của đường
thẳng ∆: A(x – 5) + B(y – 2) = 0 ⇔
Ax + By – 5A – 2B = 0.
*ĐT ∆ tiếp xúc với hypebol ⇔ 25A
2
+
9B
2
= (-5A – 2B)
2
⇔
5B(B – 4A) = 0
* Đường thẳng ∆ có VTPT
n
= (1, -1).
* Pt đt ∆: x – y + C = 0.
* ĐT ∆ tiếp xúc với hypebol ⇔
C
2
=16 - 4 ⇔ C = 2
3
hoặc C = -2
3

* Phương trình tiếp tuyến của hyperbol
đó tại điểm M là
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
.
*
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
. Phương trình hai tiệm
cận của hypebol là y =
a
b
x và y = -
a
b
x.
* Ta tìm giao điểm A và B của TT với
các đường tiệm cận rồi chứng minh
x
A
+x
B

= 2x
M
và y
A
+y
B
= 2y
M
• B = 0, PTTT của hypebol là: x – 5 = 0.
• B – 4A = 0, PTTT của hypebol là: x + 4y – 13 = 0.
Bài tập 5. Gọi ∆ là đường thẳng song song với đt x – y + 1 = 0.
Pt đt ∆: x – y + C = 0.
ĐT ∆ tiếp xúc với hypebol ⇔ C
2
=16 - 4 ⇔ C = 2
3
hoặc C = -2
3
.
* C = 2
3
, PTTT của hypebol là: x – y + 2
3
= 0.
* C = 2
3
, PTTT của hypebol là: x – y - 2
3
= 0.
Bài tập 6. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M(3, 4), có VTPT

n
= (A,
B) Pt đt ∆: A(x – 3) + B(y – 4) = 0 ⇔ Ax + By – 3A – 4B = 0.
ĐT ∆ tiếp xúc với parabol ⇔ 2B
2
= 2A(-3A – 4B) ⇔
B
2
+ 4AB + 3A
2
= 0 ⇔ B = -A hoặc B = -3A.
• B = -A, PTTT của parabol là: x – y + 1 = 0.
• B = -3A, PTTT của parabol là: x - 3y + 9 = 0.
Bài tập 7. Giả sử hyperbol có phương trình
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
và một
điểm M(x
o
; y
o
) thuộc nó. Phương trình tiếp tuyến của hyperbol
đó tại điểm M là
0 0
2 2
1

x x y y
a b
− =
. Phương trình hai tiệm cận của
hypebol là y =
a
b
x và y = -
a
b
x hay
x
a
b
y
=
hoặc
x
a
b
y
−=
. Để tìm
giao điểm A của tiệm cận
x
a
b
y
=
với tiếp tuyến, thay

x
a
b
y
=
vào
PTTT ta được: x =
b
y
a
x
a
00
−
, suy ra y =
b
y
a
x
b
00
−
. Để tìm giao
điểm B của tiệm cận
x
a
b
y
−=
với tiếp tuyến thay

x
a
b
y
−=
vào
PTTT ta được: x =
b
y
a
x
a
00
+
, suy ra y =
b
y
a
x
b
00
+
.
Trang 18
Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
1’
* Nắm vững tiếp tuyến của elíp,
hypebol và parabol. Điều kiện tiếp xúc
của đt ∆ với đường cônic.
* Làm hết các bài tập còn lại SGK.

Ta có:
b
y
a
x
a
00
−
+
b
y
a
x
a
00
+
= 2x
0
.

b
y
a
x
b
00
−
+
b
y

a
x
b
00
+
= 2y
0
.
Vậy M là trung điểm của AB.
Tuần học thứ: 23. Ngày soạn: 15/ 2/ 2005
Tiết chương trình: 33
Chương II. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. Mục tiêu bài dạy
* Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững khái niệm véctơ trong không gian, các phép toán về véctơ trong không gian, điều kiện đồng phẳng của ba véctơ
trong không gian.
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh.
II. Chuẩn bò của giáo viên và học sinh
* Học sinh đọc và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bò bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
* Các kiến thức về véctơ trong mặt phẳng.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn đònh lớp : 1’
Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Giới thiệu sơ lược nội dung chương II. 2’
 Tiến hành dạy bài mới.
T gian
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
5’ Hoạt động 1. Hướng dẫn hs phát hiện
khái niệm và các phép toán vectơ

trong không gian.
Đònh nghóa véctơ, các phép toán về
vectơ trong kgian được đònh nghóa
hoàn toàn tương tự như ở lớp 10.
Hoạt động 2. Hướng dẫn hs vận dụng
1. Vectå trong khäng gian:
Nªu l¹i kh¸i niƯm vect¬ trong h×nh häc ph¼ng10 vµ c¸c phÐp to¸n
còng nh mét sè kÕt qu¶ hay gỈp.
2. C¸c vÝ dơ:
vÝ dơ 1: Chøng minh G lµ träng t©m cđa tø diƯn ABCD khi vµ chØ
khi 1 trong c¸c ®iỊu kiƯn sau tháa m·n:
a.
GA
+
GB
+
GC
+
GD
=
0
b. Våïi mi âiãøm O ta cọ:
Trang 19
G
Q
P
A
B
C
D

Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
15’
22’
đònh nghóa véctơ, các phép toán về
vectơ trong kgian để giải một số bài
toán.
<H> Trọng tâm của tứ diện là gì ?
Gäi P, Q lÇn lỵc lµ trung ®iĨm cđa AB,
G là trung điểm của PQ.
<H> Ta có
GA
+
GB
= ?,
GC
+
GD
= ?
<H> Để cm bài toán này ta làm như
thế nào ?
* Hướng dẫn sơ lược phương pháp giải
ví dụ 2.
Hoạt động 3. Hướng dẫn hs phát hiện
và nắm vững khái niệm ba véctơ đồng
phẳng và điều kiện cần và đủ để ba
véctơ đồng phẳng.
* Ba vect¬ gäi lµ ®ång ph¼ng nÕu ba ®-
êng th¼ng chøa chóng cïng song song
víi mét mỈt ph¼ng.
* Cho ba vectå

a
,
b
,
c
, trong âọ
a
,
b
khäng cng phỉång.
<H> Nãúu ba vẹctå
a
,
b
,
c
âäưng
phàóng thç ta cọ âiãưu gç ?
<H> Nãúu täưn tải cạc säú k,l sao
cho
c
= k
a
+ l
b
thç ta kãút lûn gç vãư
ba vẹctå
a
,
b

,
c
?
* Cho
a
,
b
,
c
l ba vectå khäng
âäưng phàóng v mäüt vẹctå
x
báút
kç.
V
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=
c
,
OX

=

x
. Tỉì X k âỉåìng thàóng song
* Trọng tâm của tứ diện là trung điểm
đoạn thẳng nối trung điểm của hai
cạnh đối diện của tứ diện.
*
GA
+
GB
= 2
GP
,
GC
+
GD
= 2
GQ
* G lµ träng t©m cđa tø diƯn ABCD ⇔
⇔
GP
+
GQ
=
0
⇔
⇔
2(
GP
+
GQ

)
=
0
⇔
GA
+
GB
+
GC
+
GD
=
0

* O lµ ®iĨm bÊt kú, ta cã:
GA
=
OA
-
OG
,
GB
=
OB
-
OG
GC
=
OC
-

OG
,
GD
=
OD
-
OG
AG
+
GB
+
GC
+
GD
=
0

⇔
-4
OG
+
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=
0

⇔
OG
=
4
1
(
OA
+
OB
+
OC
+
OD
* Thç täưn tải cạc säú k,l sao cho
c
= k
a
+ l
b
*
OX
=
'OX
+
XX '
a
,
b
,
'OX

âäưng phàóng nãn

'OX
= k
a
+ l
b
v
XX '
cng
phỉång våïi
c

⇒
XX '
= m
c
⇒
x
=
OX
= k
a
+ l
b
+m
c


OG

=
4
1
(
OA
+
OB
+
OC
+
OD
)
Gi¶i: Gäi P, Q lÇn lỵc lµ trung ®iĨm cđa AB, CD
Ta cã:
GA
+
GB
= 2
GP
,
GC
+
GD
= 2
GQ
a.
GA
+
GB
+

GC
+
GD
=
0

⇔
2(
GP
+
GQ
) =
0
⇔
G lµ trung ®iĨm cđa PQ hay G lµ träng t©m cđa tø diƯn ABCD
b. O lµ ®iĨm bÊt kú, ta cã:
GA
=
OA
-
OG
,
GB
=
OB
-
OG
GC
=
OC

-
OG
,
GD
=
OD
-
OG
AG
+
GB
+
GC
+
GD
=
0

⇔
-4
OG
+
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=

0
⇔
OG
=
4
1
(
OA
+
OB
+
OC
+
OD
)
VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng nÕu mét h×nh tø diƯn cã hai cỈp c¹nh ®èi
vu«ng gãc th× cỈp c¹nh ®èi thø ba còng vu«ng gãc.
Híng dÉn hs c/m l¹i kÕt qu¶ :
0 =++ DBCADABCDCAB
3. C¸c vect¬ ®ång ph¼ng:
a. §Þnh nghÜa: Ba vect¬ gäi lµ ®ång ph¼ng nÕu ba ®êng th¼ng chøa
chóng cïng song song víi mét mỈt ph¼ng.
Ta ve:
OA
=
a
,
OB
=
b

,
OC
=
c
. Khi đó:
a
,
b
,
c
®ång ph¼ng O, A, B, C cïng n»m trªn mét mỈt ph¼ng.
b. Âënh l 1:
Cho ba vectå
a
,
b
,
c
, trong âọ
a
,
b
khäng cng phỉång. Khi
âọ
a
,
b
,
c
âäưng phàóng nãúu v chè nãúu cọ cạc säú k, l

sao cho
c
= k
a
+ l
b
Chỉïng minh: (SGK)
c. Âinh l 2 : Nãúu
a
,
b
,
c
l ba vectå khäng âäưng phàóng
thç våïi mi
x
ta âãưu cọ
x
= k
a
+ l
b
+ m
c
Trong âọ bäü ba
säú k, l, m duy nháút.
Chỉïng minh:
Dỉûng
OA
=

a
,
OB
=
b
,
OC
=
c
,
OX
=
x
Tỉì X k âỉåìng thàóng song song(hồûc trng) OC, nọ
càõt (OAB) tải X , ta cọ: ’
OX
=
'OX
+
XX '
Trang 20
Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
1’
song(hồûc trng) OC, nọ càõt
(OAB) tải X , ’
<H> Ta cọ biãøu diãùn theo ba vẹctå
a
,
b
,

c
nhỉ thãú no ?
Báy giåì ta chỉïng minh k, m, l duy
nháút
Gi sỉí
x
= k
a
+ l
b
+m
c
= k'
a
+ l'
b

+m'
c
<H> Ta cáưn chỉïng minh âiãưu
gç ?
 Bỉåïc 4. Cng cäú:
* Nắm vững khái niệm véctơ trong
không gian, các phép toán về véctơ
trong không gian, điều kiện đồng
phẳng của ba véctơ trong không gian.
* Gii hãút cạc bi táûp SGK
* Âãø chỉïng minh k, m, l duy nháút ta
cm k = k', l = l', m = m'. Tháût váûy:
x

= k
a
+ l
b
+m
c
= k'
a
+ l'
b
+m'
c
⇒
(k - k')
a
+ (l - l')
b
+ (m - m')
c
=
0
k
≠
k' thç
a
=
c
kk
mm
b

kk
ll
'
'
'
'
−
−
+
−
−
⇒
a
,
b
,
c
âäưng phàóng (vä l)
⇒

k = k'. Chỉïng minh tỉång tỉû: l = l', m =
m'.
Váûy bäü ba säú k, l, m duy nháút.
a
,
b
,
'OX
âäưng phàóng (ÂL1)
⇒

'OX
= k
a
+ l
b
XX '
cng phỉång våïi
c

⇒
XX '
= m
c
Tỉì âọ:
x
=
OX
= k
a
+ l
b
+m
c

Chỉïng minh k, m, l duy nháút
x
= k
a
+ l

b
+m
c
= k'
a
+ l'
b
+m'
c
⇒
(k - k')
a
+ (l - l')
b
+ (m - m')
c
=
0
k
≠
k' thç
a
=
c
kk
mm
b
kk
ll
'

'
'
'
−
−
+
−
−
⇒
a
,
b
,
c
âäưng phàóng !!!
⇒
k = k'
Chỉïng minh tỉång tỉû: l = l', m = m'.
Váûy bäü ba säú k, l, m duy nháút.
Tuần học thứ: 24. Ngày soạn: 20/ 2/ 2005
Tiết chương trình: 34
BÀI DẠY: BÀI TẬP VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. Mục tiêu bài dạy
* Hướng dẫn học sinh vận dụng đònh nghóa véctơ trong không gian, các phép toán về véctơ trong không gian, điều kiện đồng phẳng của ba véctơ trong không
gian để giải các bài tập SGK.
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh.
II. Chuẩn bò của giáo viên và học sinh
* Học sinh làm bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bò bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
* Các kiến thức về đònh nghóa véctơ trong không gian, các phép toán về véctơ trong không gian, điều kiện đồng phẳng của ba véctơ trong không gian.

III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn đònh lớp : 1’
Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
Trang 21
Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
. Kiểm tra bài cũ. 3’
 Tiến hành dạy bài mới.
Trang 22
Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
Trang 23
T gian
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
15’
10’
15’
1’
* Gi hs gii bi táûp 1.
<H> G l trng tám ca tam giạc
ABC khi ni ?
<H> MA
2
= ?
<H> Nãu lải cạc úu täú cäú âënh,
cạc úu täú khäng âäøi ca bi
toạn ny ?
<H> MA
2
+ MB
2
+ MC

2
= k
2
⇔ ?
<H> Suy ra qu têch âiãøm M ?
* Gi hs gii bi táûp 5 SGK .
<H> Âãø chỉïng minh AM
⊥
BN ta
chỉïng minh nhỉ thãú no ?
<H> Âãø chỉïng minh
AM
.
BN
= 0 ta
chỉïng minh nhỉ thãú no ?
* Gi hs gii bi táûp 6 SGK .
 Bỉåïc 4. Cng cäú:
* Nắm vững khái niệm véctơ trong không
gian, các phép toán về véctơ trong không
gian, điều kiện đồng phẳng của ba véctơ
trong không gian.
* Gii hãút cạc bi táûp SGK
<H> Âãø chỉïng minh GG //’
mp(ABB A ) ta chỉïng minh ntn ?’ ’
*
0=++ GCGBGA
OGOCOBOAO 3, =++∀
*
MAMA =

2
.
* A, B, C, G: cố đònh.
k, GA, GB, GC: không đổi.
* MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= k
2
⇔ 3MG
2
+ GA
2

+ GB
2
+ GC
2
= k
2
⇔
MG
2
=
( )
3
2222

GCGBGAk ++−
* + k
2
< GA
2
+ GB
2
+ GC
2
: Qu têch M
l φ
+ k
2
= GA
2
+ GB
2
+ GC
2
: M
≡
G0
+ k
2
= GA
2
+ GB
2
+ GC
2

:Qu têch M l màût
cáưu tám G bạn kênh R.
* Ta chỉïng minh
BNAM ⊥
⇔
AM
.
BN
= 0
*
AM
=
'AA
+
'' BA
+
MB'
;
BN
=
BC
+
CN
⇒
AM
.
BN
= (
'AA
+

'' BA
+
MB'
).(
BC
+
CN
) =
'' BA
.
CN
+
MB'
.
BC
= A B .CN.cos180’ ’
0
+B M.BC.cos0’
0
⇒
AM
.
BN
= 0
⇒ AM
⊥
BN.
* Ta chỉïng minh
caGG ,,'
âäưng phàóng

Bi 1trang 59
a. Chỉïng minh:
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
Ta cọ:
MA
2
=
2
MA
=
( )
2
GAMG +
= MG
2
+ GA
2

+ 2
GAMG.
MB
2
=
2
MB
= (
GBMG +
)
2
= MG
2
+ GB
2
+ 2
GBMG.
MC
2
=
2
MC
= (
GCMG +
)
2
= MG
2
+ GC
2

+ 2
GCMG.
⇒
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
b. tçm qu têch M:
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= k
2
⇔ 3MG
2
+ GA
2

+ GB
2
+ GC
2
= k
2
⇔
MG
2
=
( )
3
2222
GCGBGAk ++−
+ k
2
< GA
2
+ GB
2
+ GC
2
: Qu têch M l φ
+ k
2
= GA
2
+ GB
2
+ GC

2
: M
≡
G
+ k
2
= GA
2
+ GB
2
+ GC
2
: Qu têch M l màût cáưu tám G
bạn kênh
R =
3
)(
2222
GCGBGAk ++−
Bài 5 Chứïng minh: AM
⊥
BN
Ta chỉïng minh
BNAM ⊥
(
AM
.
BN
=
0

)
( Âàût
'AA
=
a
v
AB
=
b
,
AD
=
c
)
AM
=
'AA
+
'' BA
+
MB'
;
BN
=
BC
+
CN
AM
.
BN

= (
'AA
+
'' BA
+
MB'
).(
BC
+
CN
)
=
'' BA
.
CN
+
MB'
.
BC
= A B .CN.cos180’ ’
0
+B M.BC.cos0’
0
⇒
AM
.
BN
=
0
⇒ AM

⊥
BN.
Bài 6 Âàût
'AA
=
a
v
AB
=
b
,
AD
=
c
Vç G l trng tám tỉï diãûn BCC D nãn:’ ’ ’

)''''(
4
1
'' CDCDBDGD ++=
do
0'' =DD
Vç G l trng tám tỉï diãûn A D MN nãn:’ ’
GD'
=
4
1
)''''( NDMDAD ++

'GG

=
4
1

)'''( NCMCBA ++
A
D
B
C
A'
D'
B'
C'
M
N
A'
B
D
A
B'
D'
C
C'
N
M
G
G'
Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
Tuần học thứ: 24. Ngày soạn: 23/ 2/ 2005
Tiết chương trình: 35

Bài 2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐÊCÁC VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN, TOẠ ĐỘ CỦA VÉCTƠ VÀ CỦA ĐIỂM.
I. Mục tiêu bài dạy
* hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững hệ toạ độ đêcác vuông góc trong không gian, toạ độ của véctơ và của điểm trong không gian, chia đoạn thẳng
theo một tỉ số cho trước.
* Học sinh phải xác đònh được toạ độ của một véctơ, điểm trong không gian. Vận dụng chúng để giải được một số bài tập.
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh.
II. Chuẩn bò của giáo viên và học sinh
* Học sinh đọc và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bò bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
* Các kiến thức về véctơ trong không gian.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn đònh lớp : (1’)
Ổn đònh trật tự, kiểm tra só số.
. Kiểm tra bài cũ: (3’) Nêu điều kiện đồng phẳng của ba véctơ.
 Tiến hành dạy bài mới.
T gian
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
5’
5’
Hoạt động 1. Hướng dẫn hs phát hiện
khái niệm hệ trục tọa độ Đề Các
vuông góc trong không gian.
* Cho 3 trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông
góc với nhau đôi một tại O. Gọi
i
r
,
j
r
,

k
r
là các vectơ đơn vò tương ứng trên
x’Ox, y’Oy, z’Oz.
<H> Nhận xét gì về:
i
r
,
j
r
,
k
r
?
Hệ 3 trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đề
Các vuông góc trực chuẩn
Hoạt động 2. Hướng dẫn hs phát
hiện khái niệm Tọa độ của vectơ đối
với hệ toạ độ.
Cho hệ tọa độ Oxyz và vectơ
v
r
tùy
*
2 2 2
i j k
i.j j.k k.i 0

= =



= = =


r r r
r r r r r r
.
• Tồn tại duy nhấtù bộ 3 số x, y, z sao
1) Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong không gian.
Cho 3 trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau đôi một tại O.
Gọi
i
r
,
j
r
,
k
r
là các vectơ đơn vò tương ứng trên x’Ox, y’Oy,
z’Oz.
Hệ 3 trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đề Các vuông góc trực
chuẩn.
- O: gốc toạ độ.
- x’Ox : trục hoành, y’y : trục tung, z’Oz : trục cao.
Chú ý :
2 2 2
i j k
i.j j.k k.i 0


= =


= = =


r r r
r r r r r r
.
2) Tọa độ của vectơ đối với hệ toạ độ.
Cho hệ tọa độ Oxyz và vectơ
v
r
tùy ý. Vì
i
r
,
j
r
,
k
r
không đồng
phẳng nên tồn tại duy nhấtù bộ 3 số x, y, z sao cho :
v
r
= x
i
r
+ y

j
r
+
Trang 24
=1
=1
Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
10’
10’
10’
ý. <H> Vì
i
r
,
j
r
,
k
r
không đồng phẳng
nên ta có điều gì ?
Bộ 3 số (x, y, z) gọi là tọa độ
v
r
. x là
hoành độ, y là tung độ và z là cao độ
của
v
r
.

Trong kgOxz cho
v
r
(x; y; z),
v
r
’(x’;y’;z’) thì :
<H>
v
r
=
v
r
’ ⇔ ?
<H> Toạ độ của véctơ:
v
r
+
v
r
’,
v
r
-
v
r
’, k.
v
r
là gì ?

Hoạt động 3. Hướng dẫn hs phát
hiện và nắm vững khái niệm Tọa độ
của một điểm đối với hệ toạ độ.
Nếu
OM
= x
i
r
+ y
j
r
+ z
k
r
thì bộ 3 số
(x, y, z) gọi là tọa độ của điểm M đối
với hệ toạ độ Oxyz.
<H> M có toạ độ là (x, y, z) khi nào ?
<H> Trong g Oxyz cho A(x
1
, y
1
, z
1
),
B(x
2
, y
2
, z

2
) thì toạ độ của véctơ
AB
là
gì ?
Hoạt động 4. Hướng dẫn hs phát
hiện và nắm vững toạ độ của điểm
chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho
trước.
<H> Điểm M như thế nào được gọi
là điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số
k ?
<H> Đặc biệt khi M là trung điểm của
AB thì ta có điều gì ?
 Bỉåïc 4. Cng cäú:
* Nắm vững khái niệm véctơ trong
cho :
v
r
= x
i
r
+ y
j
r
+ z
k
r
.
*

v
r
=
v
r
’ ⇔ x = x’, y = y’, z = z’
*
v
r
+
v
r
’= (x + x’, y + y’, z + z’)
*
v
r
-
v
r
’= (x - x’, y – y’, z – z’)
* k.
v
r
= (k.x, k.y, k.z).
•Nếu
v
r
=(x; y; z) thì: x=
v
r

i
r
, y =
v
r
j
r
,
z =
v
r
k
r
.
*
M(x;y;z) OM xi yj zk⇔ = + +
uuuur
r r r
*
2 1 2 1 2 1
AB(x x ,y y ,z z− − −
uuur
* M gọi là điểm chia đoạn thẳng AB
theo tỉ số k ⇔
MBkMA =
.
z
k
r
. Bộ 3 số (x, y, z) gọi là tọa độ

v
r
. x là hoành độ, y là tung độ
và z là cao độ của
v
r
.
Chú ý:
v(x;y;z) v xi yj zk⇔ = + +
r r r
r r
3. Đònh lí Trong kgOxz cho
v
r
(x; y; z),
v
r
’(x’;y’;z’) thì :
a)
v
r
=
v
r
’ ⇔ x = x’, y = y’, z = z’
b)
v
r
+
v

r
’(x + x’, y + y’, z + z’)
c)
v
r
-
v
r
’(x - x’, y – y’, z – z’)
d) k.
v
r
(k.x, k.y, k.z)
Chú ý: a, Cho
v
r
, tồn tại duy nhất A:
OA
=
v
r
.
Gọi hình chiếu của A trên Ox, Oy, Oz lần lượt là: A
1
, A
2
, A
3
.
Khi đó x, y, z lần lượt là toạ độ tương ứng của A

1
, A
2
, A
3
trên
các trục toạ độ Ox, Oy, Oz.
b, Nếu
v
r
=(x; y; z) thì: x=
v
r
i
r
, y =
v
r
j
r
, z =
v
r
k
r
.
c, Hai véctơ bằng nhau ⇔ các toạ độ của chúng bằng nhau.
4) Tọa độ của một điểm đối với hệ toạ độ.
Đònh nghóa Nếu
OM

= x
i
r
+ y
j
r
+ z
k
r
thì bộ 3 số (x, y, z) gọi là
tọa độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz.
x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ củaM.
M(x;y;z) OM xi yj zk⇔ = + +
uuuur
r r r
5. Đònh lí Trong g Oxyz cho A(x
1
, y
1
, z
1
), B(x
2
, y
2
, z
2
) thì :
2 1 2 1 2 1
AB(x x ,y y ,z z− − −

uuur
6 . Chia đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước.
Bài toán: Giải sử M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (
MBkMA =
)
Tìm toạ độ điểm M nếu A(x
A
, y
A
, z
A
) và B(x
B
, y
B
, z
B
).
Giải. Gọi M(x
M
, y
M
, z
M
). Khi đó:
Trang 25
z
A
O
y

x
A
2
A
3
A
1
Trường THPT GIÁO ÁN HH 12
1’
không gian, các phép toán về véctơ
trong không gian, điều kiện đồng
phẳng của ba véctơ trong không gian.
* Gii hãút cạc bi táûp SGK
* Ta có:









−
=
+
=
+
=
2

2
2
BA
M
BA
M
BA
M
zz
z
yy
y
xx
x
.
MBkMA =
⇔





−=−
−=−
−=−
)(
)(
)(
MBMA
MBMA

MBMA
zzkzz
yykyy
xxkxx
⇔









−
−
=
−
−
=
−
−
=
k
kzz
y
k
kyy
y
k

kxx
x
BA
zM
BA
M
BA
M
1
1
1
.
* Đặc biệt nếu M là trung điểm của AB thì:









−
=
+
=
+
=
2
2

2
BA
M
BA
M
BA
M
zz
z
yy
y
xx
x
.
Trang 26