Hệ phương trình tích phân kiểu tích chập suy rộng đối với chùm các phép biến đổi tích phân dạng Fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THÀNH ĐOÀN

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI
CHÙM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun - 2013

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THÀNH ĐOÀN

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI
CHÙM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER

Chun ngành:

TỐN ỨNG DỤNG

Mã số : 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN MINH KHOA

Thái Ngun - 2013

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

i

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Mở đầu

1

Nội dung

5

1 Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier
cosine.

5

1.1

Phép biến đổi tích phân Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Định nghĩa phép biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Các tính chất cơ bản của phép biến đổi tích phân Fourier.

6

1.2

Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine. . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1
1.2.2

Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier cosine. . . . . . 13

1.2.3

Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine. . . . . . . . . . . . . 15

1.2.4
1.3

Định nghĩa phép biến đổi Fourier Cosine. . . . . . . . . . . 13

Tính chất của phép biến đổi Fourier sine. . . . . . . . . . . 15

Áp dụng giải phương trình truyền nhiệt. . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1

Bài toán phương trình truyền nhiệt. . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2

Thuật toán giải bằng cách sử dụng biến đổi Fourier. . . . . 17

2 Hệ phương trình tích phân kiểu tích chập suy rộng đối với chùm
các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine. 19

Số hóa bởi Trung tâm học lieäu

/>

i

2.1

Hệ phương trình tích phân của tích chập suy rộng đối với các

phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine. . . . . . . . 19
2.1.1

Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân
Fourier sine và Fourier cosine. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2
2.2

Hệ phương trình tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Hệ phương trình tích phân của tích chập suy rộng có hàm trọng
đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine. 24
2.2.1

Tích chập suy rộng với hàm trọng γ2 (y) = sin ay đối với
các phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine.

2.2.2

24

Hệ phương trình tích phân của tích chập suy rộng với hàm
trọng γ2 (y) = sin ay đối với các phép biến đổi tích phân
Fourier sine và Fourier cosine. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3

Hệ phương trình tích phân đối với tích chập suy rộng của ba phép
biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine. . . . . . 32

2.3.1

Tích chập suy rộng có hàm trọng đối với các phép biến
đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine. . . . 32

2.3.2

Hệ phương trình tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

38

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

ii

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo:TS. Nguyễn Minh
Khoa - Trưởng khoa Khoa học cơ bản - Trưởng bộ mơn Tốn Trường Đại học
Điện Lực đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo,
khoa Tốn - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận
lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên
trong lớp cao học tốn K5B đã ln quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả trong
suốt thời gian học tập và q trình làm luận văn.
Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân
có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng
góp ý kiến của các thầy cơ cùng tồn thể bạn đọc.
Thái Ngun, tháng 05 năm 2013.
Tác giả
.

Nguyễn Thành Đồn

Số hóa bởi Trung tâm học lieäu

/>

iii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và
không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp
đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và thơng tin trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả
.

Nguyễn Thành Đồn

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

iv

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
1.

R+ : Tập các số thực dương.

2.

L(R) =

+∞

|f (x)| dx < +∞

f (x) :

−∞
+∞

3.

L(R+ ) =

|f (x)| dx < +∞

f (x) :
0

4.

√
L ( 1 + x2 , R) =

f (x) :

+∞ √

1 + x2 . |f (x)| dx < +∞

−∞

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

1

Mở đầu
Cùng với sự phát triển của lí thuyết các phép biến đổi tích phân, một
hướng phát triển mới của lí thuyết các phép biến đổi tích phân là tích chập
của các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào khoảng đầu thế kỷ XX.
Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier F của hai hàm f và g
được xác định như sau [7,8]
+∞

1
(f ∗ g)(x) = √

F
2 2π

f (x − y)g(y)dy

, x∈R

(0.1)

−∞

Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

F (f ∗ g)(y) = (F f )(y).(F g)(y) , ∀y ∈ R , ∀f, g ∈ L(R)
F

(0.2)

Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fc của hai hàm

f và g được xác định như sau [7,8]
+∞

1
(f ∗ g)(x) = √
Fc
2π

f (y) [g(|x − y|) + g(x + y)]dy , x > 0

(0.3)

0

Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

Fc (f ∗ g)(y) = (Fc f )(y).(F c g)(y) , ∀y > 0 ; f, g ∈ L(R+ )
Fc

(0.4)

Tiếp đến là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace[7,8], Mellin, Hilbert
[7],Hankel và Stieltjes.

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

2

Các tích chập nói trên đều có cùng một thuộc tính đặc trưng đó là
trong đẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến
đổi tích phân tham gia. Điều này hạn chế đến cấu trúc và việc ứng dụng
chúng vào giải các phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập và
các bài tốn thực tế.
Năm 1958, lần đầu tiên tích chập với hàm trọng ra đời. Đó là tích
chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Mehler – Fox được
khám phá bởi Vilenkin .Y.Ya.
Sau đó năm 1967, trong một cơng trình cơng bố trên tạp chí D.A.N
[2] V.A Kakichev đã xây dựng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm

trọng γ (y) đối với phép biến đổi tích phân K bất kỳ, thỏa mãn đẳng thức
nhân tử hóa:
γ

K(f ∗ g)(y) = γ(y)(Kf )(y)(Kg)(y)
Nhờ phương pháp này mà một số tích chập với hàm trọng đã được xây
dựng và nghiên cứu.
Dẫu là năm 1951, I.N. Sneddon đã xây dựng tích chập suy rộng đầu
tiên đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine [7]
+∞

1
(f ∗ g)(x) = √
1
2π

f (t) [g (|x − t|) − g (x + t)]dt , x > 0

(0.5)

0

Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

Fs (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y).(F c g)(y) , ∀y > 0 ; f, g ∈ L(R+ ).
1

(0.6)

Nhưng phải đến những năm 90 của thế kỷ trước S.B.Yakubovich đã

xây dựng được một số tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích
phân với chỉ số, chẳng hạn như tích chập đối với phép biến đổi tích phân

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

3

Mellin, tích chập đối với phép biến đổi tích phân Kontorovich – Lebedev,
biến đổi G, biến đổi H.
Năm 1998, V.A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra phương
pháp kiến thiết tích chập suy rộng của ba phép biến đổi tích phân bất kỳ

K1 , K2 , K3 Với hàm trọng γ(y) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa.
γ

K1 (f ∗ g)(y) = γ(y)(K2 f )(y)(K3 g)(y)
Từ ý tưởng của bài báo này trong vòng một thập niên trở lại đây
Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa đã xây dựng và nghiên cứu hàng
chục tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với chùm ba phép biến
đổi tích phân nổi tiếng Fourier, Fourier sine, Fourier cosine [4,5,6] chẳng
hạn như:
Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine [3]
được xác định bởi:
+∞

1
(f ∗ g)(x) = √
2

2π

f (t) [sign(t − x)g(|t − x|) + g(t + x)]dt , x > 0

(0.7)

0

Khi f và g là các hàm thuộc L(R+ ) thì tích chập (f ∗ g) cũng thuộc L(R+ )
2

và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

Fc (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y).(F s g)(y) , ∀y > 0 .

(0.8)

2

Tích chập suy rộng γ 1 (y) = sin y đối với các phép biến đổi Fourier cosine,
Fourier sine [4] được xác định bởi :
γ1

(f ∗ g)(x) =
3

1
√
2 2π

∞

f (t) [g(|x + t − 1|) + g(|x − t + 1|) −
0

−g(x + t + 1) − g(|x − t − 1|)] dt

, x>0
γ1

(0.9)

Khi f , g là các hàm thuộc L (R+ ) thì tích chập (f ∗ g) cũng thuộc L (R+ )
3

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

4

và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau:
γ1

Fc (f ∗ g)(y) = sin y(Fs f )(y)(F c g)(y) , ∀y > 0 .

(0.10)

3

Tích chập suy rộng có hàm trọng γ1 (y) = sin y đối với các phép biến đổi
tích phân Fourier sine, Fourier cosine [6] được xác định bởi :
γ1

(f ∗ g)(x) =
4

1
√
2 2π

+∞

f (y) [g(|x + y − 1|) + g(|x − y − 1|)−
0

− g(x + y + 1) − g(|x − y + 1|)] dy ,

x>0

(0.11)

γ1

Khi f và g là các hàm thuộc L (R+ ) thì tích chập (f ∗ g) cũng thuộc
4

L (R+ ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:
γ1

Fs (f ∗ g)(y) = sin y(Fc f )(y)(F c g)(y) , ∀y > 0 .
4

(0.12)

Nghiên cứu về tích chập suy rộng có ý nghĩa trong lí thuyết về các
phép biến đổi tích phân và phương trình tích phân. Trên cơ sở các tích
chập đã nêu, luận văn chủ yếu đề cập, nghiên cứu các lớp hệ phương trình
tích phân dạng chập. Phần đầu của luận văn là nghiên cứu về các phép
biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine.
Luận văn bao gồm: phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1: Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier
sine. Nêu lại định nghĩa, các tính chất của các phép biến đổi tích phân
Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và đưa ra một số ví dụ áp dụng.
Chương 2: Hệ phương trình tích phân kiểu tích chập suy rộng đối với
chùm các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine. Sử
dụng, nghiên cứu các tích chập suy rộng đã biết và xây dựng thêm các
tích chập suy rộng mới để hệ thống, tổng hợp và phân lớp các hệ phương
trình tích phân dạng chập.

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

5

Chương 1
Các phép biến đổi tích phân
Fourier, Fourier sine và Fourier

cosine.
1.1

Phép biến đổi tích phân Fourier.

1.1.1

Định nghĩa phép biến đổi Fourier.

Định nghĩa 1:
Cho f ∈ L (R), hàm F f được xác định bởi:
+∞

1
(F f )(y) = f (y) = √
2π

e−iyx f (x)dx , y ∈ R

(1.1.1)

−∞

Được gọi là biến đổi Fourier của hàm f
Định nghĩa 2:(Biến đổi Fourier ngược) .
Nếu F (y) ∈ L(R) thì hàm F −1 (F (y)) xác định bởi:
+∞

1
F −1 (F (y))(x) = f (x) = √

2π

eiyx F (y)dy

, x∈R

−∞

Được gọi là biến đổi Fourier ngược của hàm F .
Ví dụ 1: Tìm biến đổi Fourier của hàm f (x) = e−a|x| , a > 0

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>
(1.1.2)


6

Giải:
Cách 1:

f (y) =
=
=
=

√1
2π
√2

2π
1
y

+∞
−∞
∞

e

=
=

−a
y2

cos yxdx =

1 √2
y . 2π

e−ax . sin yx|+∞ + a
0
−a
y

2
π

a

y2

−a|x|

0
2
π

1
y

e−a|x| (cos yx − i sin yx)dx

2
π

e

2
π

∞

∞

e−a|x| d sin yx

0

e−ax sin yxdx

0

e−ax d cos yx

0

−ax

∞

. cos

yx|+∞
0

∞

+a

e−ax cos yxdx

0

2
π .f (y)

−1 + a

Từ đây ta nhận được:

2
π

f (y) =
Cách 2:

f (y) = (F f )(y) =
=
=
1.1.2

√1
2π
√1
2π

+∞

√1
2π

y2
+∞

a
+ a2

e−a|x|−iyx dx

−∞

e−(a+iy)x dx +

0
1
a+iy

+

1
a−iy

0

e(a−iy)x dx
−∞
2
a
π . a2 +y 2

=

Các tính chất cơ bản của phép biến đổi tích phân Fourier.

Tính chất 1:
Giả sử f ∈ L(R) thì f ∈ C0 với C0 là không gian các hàm số liên tục tiến
dần về 0 tại vô cực . Hơn nữa f

∞

≤ f

1

Chứng minh:
Bất đẳng thức trong định lí được suy ngay trực tiếp từ định nghĩa f

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

7

Khi yn → y , ta có:
∞

1
f (yn ) − f (y) ≤ √
2π

|f (x)| e−iyn x − e−iyx dx
−∞

Hàm dưới dấu tích phân ở trên bị chặn bởi 2 |f (x)| và hội tụ từng điểm
tới 0 khi n → ∞ . Vì vậy f (tn ) → f (t) do định lí hội tụ bị chặn.
Vậy f liên tục
Mặt khác với một hàm số x → g(x) ta kí hiệu gγ là hàm số x → g(x − γ).
Vì eiπ = −1 nên:
∞

+∞

f (x)e−iy(

x+ π
y

f (y) = −

) dx =

−∞

f π (x) e−iyx dx
y
−∞

Do đó:
∞

f (x) − f π (x) e−iyx dx ≤ f − f π
y
y

2 f (y) =

1

−∞

Suy ra f tiến đến 0 khi t → ∞ .
Ta chứng minh xong tính chất 1.
Tính chất 2:
Với r > 0 đặt fr (x) = f (rx). Ta có:

1
y
fr (y) = f
r
r
Chứng minh:
+∞

1
fr (y) = √
2π

−∞

+∞

1
f (rx)e−iyx dx = √
y 2π

f (t)e
−∞

Tính chất 3:

Với u ∈ R đặt fu (x) = f (x + u) .Ta có :

fu (y) = eiyu f (y)

Số hóa bởi Trung tâm học lieäu

/>
−iyt
r

1
y
dt = f
r
r


8

Chứng minh:
+∞

1
fu (y) = √
2π

−∞

+∞

1
f (x + u)e−iyx dx = √
2π

f (t)e−iy(t−u) dt = eiyu f (y)
−∞

Tính chất 4:
Cho f ∈ L(R) thỏa mãn sup f ⊂ [−a, a] .
Ta có f là hàm giải tích trên C .
Chứng minh:

a

1
f (y) = √
2π

f (x)e−iyx dx
−a

Nên suy ra f giải tích trên C
Tính chất 5:
Cho dãy {fn }∞ hội tụ trong L(R) . Khi đó dãy
n=1

fn

n=1,2...

hội tụ đều

trên R.
Chứng minh:

fm (y) − fn (y) ≤

√1
2π

∞

≤

∞

|fm (x) − fn (x)|. e−iyt dx ≤

−∞

|fm (x) − fn (x)| dx → 0
−∞

khi: m, n → ∞
Tính chất 6:
Cho f ∈ L(R) . Ta có f liên tục , bị chặn và f (y) → 0 , khi |y| → ∞.
Chứng minh:
∞

Ta có f bị chặn do f (y) ≤

|f (x)|dx
−∞

Trường hợp f là hàm đặc trưng của [a, b] thì :
b

1
f (y) = √
2π

e

−iyx

a

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

1 e−iya − e−iyb
dx = √ .
iy
2π

/>

9

Và là hàm liên tục tiến về 0 khi |y| → ∞.
Nếu f là hàm bậc thang thì f là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng.

Từ đó, do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, ta cũng có f liên tục
và tiến về 0 khi |y| → ∞.
Cuối cùng , nếu f ∈ L(R) , do tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong

L(R) , ta tìm được dãy các hàm bậc thang {fn }n=1,2... hội tụ trong L(R)
về f .
Sử dụng tính chất 5 dãy fn

n=1,2...

hội tụ đều về f trên R, suy ra f liên

tục và tiến về 0 khi : |y| → ∞
Tính chất 7:
Cho f ∈ L(R) thỏa mãn f ∈ L(R) và f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng
hữu hạn
Khi đó:

(f ) = iy f
Chứng minh:
Vì f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên:
x

f (x) = f (0) +

f (t)dt
0

Hơn nữa , f ∈ L(R) nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi

x → ±∞. Ngồi ra giới hạn đó phải bằng 0 vì f ∈ L(R)
Do đó:

(f ) (y) =
=

√1
2π
√1
2π

+∞

f (x)e−iyx dx =

−∞

√1
2π

e−iyx . f (x)|+∞ + iy
−∞

+∞

e−iyx df (x)

−∞
+∞

f (y) e−iyx dx = iy f (y)

−∞

Tính chất 8:
Nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L(R) thì f hội tụ về 0 càng nhanh

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

10

khi |y| → ∞ và f (y) =

|(f (n) )
|y|

(y)|

n

Chứng minh:
Nhờ tính chất 7 , dễ dàng chứng minh được tính chất này.
Tính chất 9:
Cho f ∈ L(R) . Nếu f tồn tại và f ∈ L(R) thì f ∈ L(R).
Chứng minh:
1
y2

f bị chặn do tính chất 6, và giảm về 0 nhanh hơn

khi |y| → ∞, do tính

chất 8.
Từ đó : f ∈ L(R)
Tính chất 10:
Cho f ∈ L(R) và thỏa mãn I.f ∈ L(R) ; I là ánh xạ đồng nhất x
(và do thói quen người ta ln viết xf (x) thay cho I.f ).
Khi đó f khả vi và:

df
(y) = (−iI.f ) (y)
dy
Chứng minh:

d  1
√
dy
2π

+∞

−∞



−i
f (x)e−iyx dx = √
2π

+∞

x.f (x)e−iyx dx
−∞

Tính chất 11:
Với f, g ∈ L(R) nhắc lại tích chập của f, g như sau:
+∞

(f ∗ g) (x) =

f (x − y)g (x) dy và f ∗ g ∈ L(R).
−∞

Khi đó ta có:

(f ∗ g)

= 2π.f .g

Chứng minh:

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>
x


11

Áp dụng định lí Fubini ta có:
+∞

+∞

+∞

−∞

(f ∗ g) (x)e

−iyx

−∞
+∞

dx =

−∞
+∞

=

g(x − t)e−iyx dx dt

f (t)
−∞
+∞

=

−∞
+∞

f (t)
−∞

f (t) g(x − t)dt .e−iyx dx

g(u)e−iyu e−iyt dt = 2π f (y) .g (y)

−∞

Tính chất 12:
Gọi S là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh tức là:

f ∈ C ∞ và ∀p, q ∈ N, ∃M > 0, ∀x ,

xp f (q) (x) ≤ M , khi đó f ∈ S .

Chứng minh:
Cho p, q ∈ N bất kì , ta có: xp+2 f (q) (x) ≤ M
Do đó: xp f (q) (x) ≤

M
x2

Điều này có nghĩa là: xp f (q) ∈ L(R) .
Theo tính chất 10 thì f ∈ S .

Lại có: f (q) ∈ L(R) với mọi q ∈ N nên áp dụng tính chất 8, ta có f giảm
nhanh hơn

1
q
|y|

khi |y| → ∞ , với mọi q ∈ N .

Do đó: y q f (y) ≤ M .
Hơn nữa theo tính chất 10 và tính chất 7 thì:

(iy)q f

(p)

(y) = (iy)q [(−ix)p f (x)]
= (−i)p (iy)q [xp f (x)]

= (−i)p (xp f )(q) (x)

Suy ra: f ∈ S vì (xp f )(q) (x) ≤ M và (xp f )(q) ∈ L(R)
Nhận xét:
Tính chất này cho ta thấy phép biến đổi Fourier là ánh xạ từ S vào S .
Tính chất 13:
Phép biến đổi Fourier là tốn tử tuyến tính.
Chứng minh:

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

12

∀f, g ∈ L(R) và ∀α, β ∈ R ta có:
√1
2π

F [αf + βg] (y) =

√α
2π

=

+∞

e−iyx [αf (x) + βg (x)]dx

−∞
+∞
−iyx

e

f (x)dx +

−∞

√β

2π

+∞

e−iyx g (x)dx

−∞

= α (F f ) (y) + β (F g) (y) .
Tính chất 14: (Bổ đề Riemann - Lebesgue)
Nếu f ∈ L(R) thì lim f (y) = 0
|y|→∞

Chứng minh:
Từ e−iyx = −e−iyx−iπ .
Ta có:
√1
2π

f (y) =
=

+∞

e−iyx f (x)dx

−∞

− √1
2π

= − √1
2π

+∞
−∞
+∞

e−iy(x+ y ) f (x)dx
π

e−iyx f x −

−∞

π
y

dx

Do đó :

f (y) = 1 . √1
2 2π
= 1 . √1
2 2π

+∞
−∞
+∞

e−iyx f (x)dx −

+∞

e−iyx f x −

−∞

e−iyx f (x) − f x −

−∞

π
y

π
y

dx

dx

Suy ra:
+∞

1
f (y) ≤ √
2 2π

f (x) − f x −

π
y

dx

−∞
+∞

1
lim f (y) ≤ √
lim
|y|→∞
2 2π |y|→∞

f (x) − f x −

−∞

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>
π
y

dx = 0


13

1.2

Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine.

1.2.1

Định nghĩa phép biến đổi Fourier Cosine.

Định nghĩa 1:
Cho f ∈ L(R) , hàm Fc f xác định bởi:
+∞

2
π

f (y) = (Fc f ) (y) =

f (x) cos xydx

(1.2.1)

0

Được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f
Ta có cơng thức biến đổi ngược là:
+∞

2
π

f (x) = Fc f (x) =

f (y) cos xydy

(1.2.2)

0

Ví dụ : Tìm biến đổi Fourier cosine của hàm: f (x) = e−ax , a > 0
Giải:
Theo định nghĩa ta có:

(Fc f ) (y) =

2
π

=

2
π

=
1.2.2

1
2
1
2

2
π

+∞

e−ax cos yxdx

0
+∞

e−(a−iy)x + e−(a+iy)x dx

0
1
a−iy

+

1
a+iy

=

2
π

a
a2 +y 2

Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier cosine.

Tính chất 1:
Phép biến đổi Fourier cosine là tốn tử tuyến tính.
Chứng minh:

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

/>

14

∀f, g ∈ L(R+ ) và ∀α, β ∈ R ta có:
2
π

Fc [αf (x) + βg (x)] (y) =

2
π

=α

+∞

[αf (x) + βg (x)] cos yxdx
0
+∞

f (x) cos yxdx + β

0

2
π

+∞

g (x) cos yxdx
0

= α (Fc f ) (y) + β (Fc g) (y)
Hay : Fc [αf + βg] = α (Fc f ) + β (Fc g)
Tính chất 2:
Với a > 0 , đặt fa (x) = f (ax) .
Khi đó ta có:

(Fc fa ) (y) =

1
y
(Fc f )
a
a

Chứng minh: Ta có :
2
π

(Fc fa ) (y) =
=

=

1
a

2
π

1
a

2
π

+∞

f (ax) cos yxdx
0
+∞

f (ax) cos
0
+∞

f (t) cos
0

1
= a (Fc f )

y
a ax

y
at

d (ax)

d (t)

, t = ax

y
a

Định nghĩa 2:
Tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine của hai hàm f và g được
xác định bởi :
+∞

1
f ∗ g (x) = √
Fc
2π

f (t) [g (x + t) + g (|x − t|)] dt , x > 0

(1.2.3)

0

Tính chất 3: (Định lí tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine.)
Cho f, g ∈ L(R+ ) Khi đó tích chập (1.2.3) cũng thuộc L(R+ ) và thỏa mãn
đẳng thức nhân tử hóa:

Fc f ∗ g (y) = (Fc f ) (y) . (Fc g) (y)
Fc

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

, ∀y > 0

/>
(1.2.4)


15

1.2.3

Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine.

Định nghĩa:
Cho f ∈ L(R) , hàm (Fs f ) xác định bởi:
+∞

f (y) = (Fs f ) (y) =

2
π

f (x) sin yxdx

(1.2.5)

0

Được gọi là biến đổi Fourier sine của hàm f .
Ta có công thức biến đổi ngược là :
+∞

f (x) = Fs f (x) =

2
π

f (y) sin xydy
0

Ví dụ: Tìm biến đổi Fourier sine của hàm: f (x) =
a

(Fs f ) (y) =

2
p
π

sin yxdx =

p, 00 , x>a

2 1 − cos ay
p
π
y

0

1.2.4

Tính chất của phép biến đổi Fourier sine.

Tính chất 1:
Phép biến đổi Fourier sine là tốn tử tuyến tính .
Chứng minh:

∀f, g ∈ L(R+ ) và ∀α, β ∈ R ta có :
Fs [αf (x) + βg (x)] (y) =
=α

2
π
2
π

+∞

[αf (x) + βg (x)] sin yxdx

0
+∞

f (x) sin yxdx + β
0

= α (Fs f ) (y) + β (Fs g) (y)
Hay: Fs [αf + βg] = α (Fs f ) + β (Fs g)
Tính chất 2:

Số hóa bởi Trung tâm học lieäu

/>
2
π

+∞

g (x) sin yxdx
0


16

Với a > 0 , đặt fa (x) = f (ax). Khi đó ta có:

(Fs fa ) (y) =

1
y

(Fs f )
a
a

Chứng minh: Ta có:
2
π

(Fs fa ) (y) =
=
=

1
a

2
π

1
a

2
π

+∞

f (ax) sin (yx) dx
0
+∞

f (ax) sin
0
+∞

y
at

f (t) sin
0

1
= a (Fs f )

y
a

y
a ax

d (ax)

d (t)

, t = ax

.

Ta có điều phải chứng minh.
Tính chất 3:(Biến đổi sine của đạo hàm)
Giả sử f (x) liên tục và khả tích tuyệt đối trên (−∞, +∞), f (x) liên tục

từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn và f (x) → 0 khi x → +∞ . Khi đó:

Fs (f (x)) = −yFc (f (x))
Chứng minh:

Fs Lấy tích phân từng phần ta có:
2
π

(Fs f ) (y) =
=

2
π

+∞

f (x) sin xydx
0

f (x) . sin

xy|+∞
0

+∞

−y

f (x) cos (xy) dx

0

= −y (Fc f ) (y) .
Tính chất 4:
Giả sử các biến đổi Fourier tồn tại. Khi đó ta có mối liên hệ sau:

(Fs f ) (y) = −y 2 (Fs f ) (y) +

Số hóa bởi Trung tâm học lieäu

2
y.f (0)
π

/>

17

Chứng minh:
Áp dụng cơng thức ở tính chất 3 ta có:

(Fs f ) = −y (Fc f ) (y) = −y y (Fs f ) (y) −
= y 2 (Fs f ) (y) +

1.3

2
π y.f

2

πf

(0)

(0)

Áp dụng giải phương trình truyền nhiệt.

1.3.1

Bài tốn phương trình truyền nhiệt.

Xét phương trình truyền nhiệt sau:

∂u
∂ 2u
(x, t) = 2 (x, t)
∂t
∂x

(1.3.1)

Ta tìm nghiệm của phương trình trên thỏa mãn điều kiện về nhiệt độ ban
đầu t = 0 .

u (x, 0) = u0 (x)

(1.3.2)

Và thỏa mãn các điều kiện:

(i) u, ux , uxx liên tục, khả tích trên R theo biến x với mọi t ≥ 0 cố định.
(ii) ∀ T > 0 , ∃ϕ ∈ L1 (R)

1.3.2

, |ut (x, t)| ≤ ϕ (x) , ∀t ∈ [0, T ] , ∀x.

Thuật toán giải bằng cách sử dụng biến đổi Fourier.

Biến đổi Fourier vế trái của (1.3.1) như là hàm của biến x (xem t là
tham số), dùng tính chất (ii) để có thể lấy đạo hàm dưới dấu tích phân,
ta có:
+∞

1
√
2π



ut (x, t) e−iλx dx =
−∞

∂  1
√
∂t
2π

Số hóa bởi Trung tâm học lieäu

+∞



u (x, t) e−iλx dx = ut (λ, t) .
−∞

/>

18

Mặt khác: sử dụng (i) và tính chất của phép biến đổi Fourier ta có:

[uxx (x, t)]

= (iλ)2 u (λ, t) = −λ2 u (λ, t) .

Như vậy, biến đổi Fourier hai vế của (1.3.2) cho ta phương trình vi phân
theo biến t ( λ là tham số) như sau:

ut (λ, t) = −λ2 u (λ, t)

(1.3.3)

Điều kiện ban đầu của phương trình vi phân (1.3.3) có được bằng cách
biến đổi Fourier hai vế của (1.3.2).
Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 , ta được nghiệm
2

của (1.3.3) là : u (λ, t) = e−λ t u0 (λ, t)

Mặt khác ta có:

1 −x2
√ e 4t
2t

2

e−λ t =

Và sử dụng tính chất của tích chập Fourier , ta có:
2

u (λ, t) =
=

1 −x
√ e 4t
2t

√1
2π

.uo (λ, t)
2

1 −x
√ e 4t ∗ u0
2t
F

2

=

−x
1
√ e 4t ∗ u0
2 πt
F

Vậy:
2

−x
1
√ e 4t ∗ u0 (x)
2 πt
F
+∞ −ξ2
1
√
e 4t .u0 (x −
2 πt
−∞

u (x, t) =
=

Số hóa bởi Trung tâm học liệu

ξ) dx.

/>