Bất đẳng thức Cosi thầy Đặng Việt Hùng

Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 03: Bất đẳng thức – Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Facebook: LyHung95
MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P5
Thầy Đặng Việt Hùng

DẠNG 5. KĨ THUẬT CÂN BẰNG HỆ SỐ
Ví dụ 1. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn
2 2 2
1
a b c
+ + =
.
Tìm GTNN của biểu thức
3 3 3
2 3
P a b c
= + +
Ví dụ 2. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn
3
a b c
+ + =
.
Tìm GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2 3
P a b c

= + +

Ví dụ 3.
Cho a, b, c > 0 và th
ỏ
a mãn
2 2 2
2 3 1
a b c
+ + =
.
Tìm GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
3 3 3
2 3 4
P a b c
= + +
Ví dụ 4.
Cho a, b, c > 0 và th
ỏ
a mãn
2 2 2
1
a b c
+ + =

.
Tìm GTLN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
(1 2 )(1 2 )
P a bc
= + +

Ví dụ 5.
Cho a, b, c > 0 và th
ỏ
a mãn
2
2 4 3 68
a b c
+ + =
.
Tìm GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2 3
P a b c

= + +

Ví dụ 6.
Cho a, b, c > 0 và th
ỏ
a mãn
1
ab bc ca
+ + =
.
Tìm GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2 2
2 3
P a b c
= + +
Ví dụ 7.
Cho a, b, c > 0 và th
ỏ
a mãn
4 9 6
a b c
+ + =
.
Tìm GTNN c

ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
3 3 3
P a b c
= + +

Đ
/s:
1 1 1 1
min ; ;
6 6 3 2
P a b c
= ⇔ = = =

Ví dụ 8.
Cho x, y, z > 0 và th
ỏ
a mãn
3
4
3
x xy xyz
+ + =
.
Tìm GTNN c
ủ

a bi
ể
u th
ứ
c
P x y z
= + +

Hướng dẫn:
Ta có
3 3
1 4
.4
2 4
1 4 16
.4 .16
4 12
x y
xy x y
x y z
xyz x y z
+

= ≤



+ +

= ≤




BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1.
Cho

, , 0
1
a b c
a b c
>


+ + ≤

. Tìm GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
1
P abc
abc
= +

Bài 2.
Cho

1
0
2
a
< ≤
. Tìm GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2
1
2P a
a
= +

Bài 3.
Cho
, , 0
3
2
a b c
a b c
>



+ + ≤



. Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
2 2 2
1 1 1
P a b c
b c a
= + + + + +

Bài 4. Cho
, 0
1
a b
a b
>


+ ≤

, tìm GTNN của
2 2
1 1
2
P
a b ab
= +
+

Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn

Chuyên đề 03: Bất đẳng thức – Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Facebook: LyHung95
Bài 5. Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 3
2
3 4 2
4
x y
P
x y
+ +
= +

Bài 6. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn
3
4
a b c
+ + =
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
3 3 3
3 2 3 3
a b b c c a
+ + + + + ≤

Bài 7.

Cho a, b, c là các s
ố
d
ươ
ng th
ỏ
a mãn a + b + c = 3.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
3 3 39 9 9
3
2 2 2 3 3
a b c+ + + + + ≥
Bài 8.
Cho a, b, c là các s
ố
d
ươ
ng th
ỏ
a mãn a + b + c = 1.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
3 3 3

1 1 1 1
a b c b c a c a b
+ − + + − + + − ≤

Bài 9.
Cho a, b, c là các s
ố
d
ươ
ng th
ỏ
a mãn a + b + c = 3.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
5 5 5 5
2 2 2 3 3
a b b c c a+ + + + + ≤
Bài 10.
Cho a, b, c là các s
ố
d
ươ
ng th
ỏ
a mãn a + b + c = 3.
Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng
( )( ) ( )( ) ( )( )
5
5 5 5
2 2 2 3 6
a b a c a b c b a b c a c b c+ + + + + + + + ≤

Bài 11.
Cho a > b ≥ 0. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
( )( )
2
32
2 5
2 3
a
a b b
+ ≥
− +

Bài 12.
Cho các s
ố
d
ươ

ng x, y th
ỏ
a mãn x
2
+ y
2
= 1.
Tìm GTNN c
ủ
a các bi
ể
u th
ứ
c sau :
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
S x y
y x
P x y
y x

 
 

= + + + + +

 
 
 
 


 
 

= + + + + +
 
 

 
 


Bài 13.
Xét các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng th
ỏ
a mãn a + b + c = 1.
Tìm GTNN c

ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2 2
1 1 1 1
P
a b c ab bc ca
= + + +
+ +

Bài 14.
Cho các s
ố
d
ươ
ng a, b, c th
ỏ
a mãn a + b + c ≤ 1.
Tìm GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

P
a b b c c a ab bc ca
= + + + + +
+ + +

Bài 15.
Cho x, y là hai s
ố
d
ươ
ng thay
đổ
i th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n x + y ≥ 4.
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi

ể
u th
ứ
c
6 10
2 3P x y
x y
= + + +

Bài 16.
Cho x, y, z là ba s
ố
d
ươ
ng thay
đổ
i th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n x + y + z = 1.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh

ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
1 1 1
P x y z
= − + − + −