Phương trình số phức

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!





I. CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC
Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w
2
= z hay
(x + yi)
2
= a + bi.

Chú ý :
 Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau :
+ TH1 : 0 ω
a a
> ⇒ = ±
+ TH2 :
2
0 ω
a z i a i a
< ⇒ = ⇒ = ±

 Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức: (x + yi)
2
= a + bi
hay
2 2

2 2
2
2
x y a
x y xyi a bi
xy b

− =
− + = + ⇔

=


Ví dụ 1. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau
a. z = 5 b. z = –7 c.
1 2 6
z i
= − −


Hướng dẫn giải:
a. 5
ω 5
z
= ⇒ = ±

b.
2
7 7
ω 7

z i i
= − = ⇒ = ±
c. Gọi w = x + yi là căn bậc hai của số phức
1 2 6
z i
= − −
, ta có
( )
2
2 2
2
2 2
2
2
6
2
1
1 2 6 2 1 2 6
6
6
2 2 6
1
y
x
x
x y
x yi i x y xyi i
xy
y
x

x
x

−
=


=

− = −
  
+ = − − ⇔ − + = − − ⇔ ⇔ ⇔
  
−
 
−
= −
=

 

− = −
 

 

 


Hệ phương trình trên có 2 nghiệm

(
)
(
)
2; 3 ; 2; 3
− −
Vậy có 2 căn bậc hai của
1 2 6
i
− − là
2 3
i
− và
2 3
i
− +
Ví dụ 2. Tính căn bậc hai của các số phức sau :
a.
1 4 3
z i
= − + b.
4 6 5
z i
= + c. z = –18i
d. z = 4i e.
5 12
z i
= − −
f.
11 4 3

z i
= +

g.
40 42
z i
= − +
h.
1 2
4 2
z i
= +
i.
z = −8 + 6i
Ví dụ 3.
Vi
ế
t các s
ố
ph
ứ
c sau d
ướ
i d
ạ
ng chính ph
ươ
ng ?
a)
z = −21 + 20i =

b)
1 4 3
z i
= +
=

c)
z = −15 + 8i =
d)
1 2 2
z i
= − −
=

e)
z = 5 − 12i =
f)
13 8 3
z i
= +
=

g)
22 10 2
z i
= −
=


Tài li

ệ
u bài gi
ả
ng:

03. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
II. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC BẬC 2
Xét phương trình phức bậc 2 : Az
2
+ Bz + C = 0 có ∆
∆∆
∆ = B
2
– 4AC.


 TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính
2
4
B AC
∆ = −
+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có nghiệm thực
2
B
z
A
− ± ∆

=
+ N
ế
u
2
0
2
B i
i i z
A
− ± ∆
∆ < ⇒ ∆ = − ∆ ⇒ ∆ = ± ∆ ⇒ =


 TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức.
Tính
2 2
4 ( )
B AC a bi x yi
∆ = − = + = +
Khi đó phương trình có nghiệm
( )
2
B x yi
z
A
− ± +
=
Ví dụ 1.
Gi

ả
i các ph
ươ
ng trình sau trên t
ậ
p h
ợ
p s
ố
ph
ứ
c
a.
2
z 2z 5 0
+ + =
b.
2
z 4z 20 0
− + =

c. (
z
2
+ i)(z
2
– 2iz – 1) = 0
d.
z
2

+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a.
2
2 5 0.
z z
+ + =

Ta có
2
' 4 4 2 1 2
i i z i
∆ = − = ⇒ ∆ = ± ⇒ = − ±

b.
Ta có
2
' 16 16 4 2 4
i i z i
∆ = − = ⇒ ∆ = ± ⇒ = ±

c.
2

2 2
2
( )( 2 1) 0
2 1 0
z i
z i z iz
z iz

= −
+ − − = ⇔

− − =



TH
1
:
( )
2
2 2 2
1 1
1 1 1
2 2
0 2 (1 )
1 1
2 2
2
2 2
z i

i
z i z i i i
z i

= −

−
 

+ = ⇔ = − = − = − =
⇒
 

 
= − +




TH
2
:
2 2 2 2
2 1 0 2 0 ( ) 0 .
z iz z iz i z i z i
− − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =

V
ậ
y ph

ươ
ng trình
đ
ã cho có 3 nghi
ệ
m là
1 2 3
1 1 1 1
; ; .
2 2 2 2
z i z i z i
−
= − = + =

Nhận xét :
Ngoài các cách gi
ả
i chu
ẩ
n m
ự
c
ở
trên, chúng ta có th
ể
gi
ả
i t
ắ
t mà không c

ầ
n tính toán ∆ hay ∆’ nh
ư
sau
a.
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 5 0 1 4 0 1 4 0 ( 1) (2 ) 1 2
z z z z i z i z i
+ + = ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔ + = ⇒ = − ±


b.
( )
2
2 2 2 2
4 20 0 2 16 0 ( 2) 16 (4 ) 2 4
z z z z i i z i
− + = ⇔ − + = ⇔ − = = ⇒ = ±

d.
z
2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.
Ta có ∆ = (1 – 3i)
2
+ 8(1 + i) = 2i = (1 + i)
2
V

ậ
y các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là
1
2
3 1 1
2
2
3 1 1
1
2
i i
z i
i i
z i
− + +

= =


− − −

= = −




Ví dụ 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau trên t
ậ
p h
ợ
p s
ố
ph
ứ
c
a)
2
3 3
3. 4 0
2 2
iz iz
z i z i
+ +
 
− − =
 
− −
 

b)
3
8 0
z
− =

c)
4 2
4 3 1 0
z z
− − =

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
2
3 3
3. 4 0
2 2
iz iz
z i z i
+ +
 
− − =

 
− −
 

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đặt
2
1
3
3 4 0
4
2
t
iz
t t t
t
z i
= −

+
= ⇒ − − = ⇔

=
−


 Với
(
)

2
( 3 8 ) 4
3 3 8 4 35
4 4 3 4( 2 ) ( 4) 3 8
2 4 16 17
i i
iz i i
t iz z i z i i z
z i i i
− − +
+ − − − −
= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ − = − − ⇒ = = =
− − − −

4 35
17 17
z i
⇒ = +

V
ớ
i
( )
(
)
(
)
2
2 3 1
3 2 3 1 5

1 1 3 2 1 2 3
2 1 1 2
i i
iz i i
t iz i z z i i z
z i i i
− −
+ − −
= − ⇔ = − ⇔ + = − ⇔ + = − ⇒ = = =
− + − −

1 5
2 2
z i
⇒ = − +

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m ph
ứ
c là
1 2
4 35 1 5
;

17 17 2 2
z i z
= + = − +

b)
z
3
– 8 = 0⇔ (z – 2)(z
2
+ 2z + 4 ) = 0

TH
1
: z – 2 = 0
⇔
z = 2

TH
2
:
2 2 2
2 4 0 ( 1) 3 3 1 3
z z z i z i
+ + = ⇔ + = − = ⇒ = − ±
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phức là
1 2 3
z 2; z 1 i 3; z 1 i 3
= = − − = − +

c)

4 2
4 3 1 0
z z
− − =
.
Đặt z
2
= t. Phương trình đã cho tương đương với
2
1
4 3 1 0
1
4
t
t t
t
=


− − = ⇔

= −


Giải phương trình tìm được t = 1 hoặc
1
t
4
−
= .

 Với t = 1 ta được z
2

= 1 ⇒ z = ± 1
 Với
2
1
0
4 4 2
i i
t z
= − = = ⇔ = ±

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là
1; .
2
i
z z
= ± = ±

Ví dụ 3. Gọi z
1
, z
2
là các nghiệm của các phương trình z
2
+ 2z + 5 = 0. Tính giá trị các biểu thức sau
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
; 4

A z z B z z z z
= + = + −
Hướng dẫn giải:
Ta có
1
2 2 2
2
1 2
2 5 0 ( 1) 4 (2 )
1 2
z i
z z z i
z i
= − +

+ + = ⇔ + = − = ⇒

= − −


Khi ta có
1
2
1 4 5
1 4 5
z
z

= + =



= + =


và
1
1
1
2
5
1 2
1 2
5
z
z i
z i
z

=

= − −
 
⇒
 
= − +
=






2 2
1 2
5 5 10
A z z
= + = + =


2 2
1 2 1 2
4 5 5 4. 5. 5 10
B z z z z
= + − = + − = −

Vậy A = 10 và B = –10
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)
2
z 2z 5 0
+ + =
b)
2
z 4z 20 0
− + =

c)
2
3z z 5 0
− + − =

d)
2
4z 9 0
+ =

e)
2
3z z 2 0
− + =
f)
2
z 3z 1 0
− + =

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
a)
2
z 2(i 2)z 3 2i 0
+ − + − =
b)
2
z (i 3)z 2 2i 0
− + − − =

c)
2
z (3 i)z 4 3i 0
− + + + =

d)
2
iz z 3 i 0
− + + =

e)
2
iz 2iz 4 0
+ − =
f)
2
z (3 i)z 4 3i 0
− − + − =

g)
2
3iz 2z 4 i 0
− − + =
h)
2
z 8(1 i)z 63 16i 0
− − + − =

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)
3
z 8 0
− =
b)

3 2
z 4z 6z 3 0
+ + + =

c)
4 3 2
z z 6z 8z 16 0
− + − − =
d)
4 2
z z 12 0
− − =

Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)
4 2
z 2z 8 0
− − =
b)
4 2
4z 3z 1 0
− − =

c)
4 2
z 6z 8 0
− + =
d)
4
z 16 0

− =

Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)
2
(1 i)z 1 7i
+ = − +
b)
2 3
(z i)(z 1)(z i) 0
− + + =

c) (2 + 3i)z = z – 1 d)
(
)
(
)
2
2 2
z z 4 z z 12 0
+ + + − =

Bài 4. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)
( ) ( )
2
z 3 i 6 z 3 i 13 0
+ − − + − + =
b)
2

iz 3 iz 3
3. 4 0
z 2i z 2i
+ +
 
− − =
 
− −
 

c)
(
)
( )
2
2
2
z 1 z 3 0
+ + + =
d)
(
)
(
)
2 2
z 9 z z 1 0
+ − + =

Bài 5. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)

(
)
(
)
2
z 3i z 2z 5 0
+ − + =
b)
4
z 16 0
+ =
c)
4
z i
1
z 2i
+
 
=
 
−
 

Bài 6. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)
2 2 2 2
(z 3z 6) 2z(z 3z 6) 3z 0
+ + + + + − =

b)

4 2 2
(z 1) 2(z 1) (z 4) 1 0
+ + + + + + =

Bài 7. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)
2
7 11 3 0
z z i
− + + =
b)
2
2(1 2 ) 7 4 0
z i z i
+ − − − =

Đ/s: a)
5 ; 2
z i z i
= − = +
b)
1 2 ; 3 2
z i z i
= + = − +

c)
2
2(2 ) 6 8 0
z i z i
− − + − =

d)
2
(2 ) 1 0
z i z i
− + + + =

Đ/s: c)
3 ; 1 3
z i z i
= + = −
d)
1; 1
z z i
= = +

Bài 8. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)
3 2
(2 ) (2 2 ) 2 0
z i z i z i
− + + + − =
biết phương trình có một nghiệm là z = i.
Đ/s:
; 1
z i z i
= = ±

b)
3 2
4 (4 ) 3 3 0

z z i z i
+ + + + + =
biêt phương trình có một nghiệm là z = – i.
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s:
; 1 ; 3
z i z i z
= − = − + = −

c)
3 2
(2 2 ) 2 4 0
z z i z i
− + − + + =
biết phương trình có một nghiệm là z = 1 – i.
Đ/s:
3 ; 1 3
z i z i
= + = −
d)
1; 1
z z i
= = +