điểm nguyên và tính hyperbolic của phần bù các siêu mặt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
MẠC QUỐC NHẬT
ĐIỂM NGUYÊN VÀ TÍNH HYPERBOLIC
CỦA PHẦN BÙ CÁC SIÊU MẶT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
MẠC QUỐC NHẬT
ĐIỂM NGUYÊN VÀ TÍNH HYPERBOLIC
CỦA PHẦN BÙ CÁC SIÊU MẶT
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TSKH. TRẦN VĂN TẤN
Thái Nguyên - Năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm -
Đại học Thái Nguyên dưới dự hướng dẫn khoa học của PGS. TSKH. Trần
Văn Tấn. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,
người hướng dẫn khoa học của mình, PGS. TSKH. Trần Văn Tấn, người
đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu
của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong
khoa Toán, khoa Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái
Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính
để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến

gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toán k19a, đã động viên giúp đỡ
tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn.
Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ
bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành
cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013
Tác giả
Mạc Quốc Nhật
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Không gian xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Divisor very ample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Các siêu phẳng và siêu mặt ở vị trí tổng quát . . . . . . . . 7
1.5 Đa tạp hyperbolic theo nghĩa của Brody . . . . . . . . . . . 8
1.6 Bổ đề Borel phức suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Số nghiệm nguyên của phương trình Diophantine 12
2.1 Số nghiệm nguyên của phương trình Diophantine đa thức . 12
2.2 Điểm nguyên của phần bù các siêu mặt . . . . . . . . . . . 18
3 Tính hyperbolic của phần bù các siêu mặt trong không
gian xạ ảnh phức n chiều. 23
3.1 Tính hyperbolic của phần bù 2n + 1 siêu mặt . . . . . . . . 23
3.2 Trường hợp phần bù của 2n siêu mặt . . . . . . . . . . . . 25
Kết luận 28
Tài liệu tham khảo 29
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
Mở đầu
1. Lý do chọn luận văn
Một trong những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết số là nghiên cứu các
nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỷ của các phương trình Diophantine.
Cho f(x, y) là một đa thức thuần nhất với các hệ số nguyên và tồn tại
một trường mở rộng nào đó để khi phân tích f(x, y) trên trường đó thì có
ít nhất ba cặp nhân tử phân biệt không tỷ lệ tuyến tính.
Năm 1909, Thue chứng minh rằng với số nguyên b = 0 tùy ý, phương
trình Diophantine
f(x, y) = b(∗)
chỉ có hữu hạn các nghiệm nguyên. Phương trình (*) gọi là phương trình
Thue và kết quả của Thue được xem là phát hiện quan trọng nhất của lý
thuyết số.
Không chỉ dừng lại ở đa thức thuần nhất hai biến, Schmidt đã tổng quát
sang trường hợp nhiều biến. Schmidt đã xét cho trường hợp phương trình
f
1
f
r
= g, với f
j
(j = 1, , r) là các dạng tuyến tính thuần nhất bậc nhất
n biến và g là hằng số. Hơn nữa, Schmidt [22] đã chứng minh cho trường
hợp f
j
là các dạng tuyến tính n biến và bậc của đa thức g nhỏ hơn r − n.
Câu hỏi về số nghiệm nguyên của phương trình Diophantine có mối
quan hệ sâu sắc giữa Xấp xỉ Diophantine và Lý thuyết Nevanlinna liên tục
thu hút được sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học. Chính vì vậy,

chúng tôi chọn đề tài "Điểm nguyên và tính hyperbolic của phần bù các
siêu mặt" thuộc hướng nghiên cứu nói trên.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
2. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp chí toán học trong nước và quốc tế
liên quan đến điểm nguyên và tính hyperbolic của phần bù các siêu mặt.
Qua đó, tìm hiểu và nghiên cứu về vấn đề này.
3. Mục đích của luận văn
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu về một lớp các phương trình Dio-
phantine ứng với đa thức thuần nhất dưới dạng tích và tìm hiểu về tính
hyperbolic của phần bù của các siêu mặt trong không gian xạ ảnh. Cụ thể,
chúng tôi đọc hiểu và trình bày lại một cách tường minh bài báo "Integral
points and the hyperbolicity of the complement of hypersurfaces", của Min
Ru trên J. reine angew. Math. năm 1993.[17]
4. Nội dung của luận văn
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Số nghiệm nguyên của phương trình Diophantine.
Chương 3: Tính hyperbolic của phần bù các siêu mặt trong không gian
xạ ảnh phức n chiều.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số tính chất cơ bản của
không gian xạ ảnh, định giá, các siêu mặt ở vị trí tổng quát, đa tạp
hyperbolic theo nghĩa Brody và những kiến thức liên quan khác nhằm
giúp cho người đọc dễ theo dõi. Các khái niệm và kết quả của chương này
được trích dẫn từ [1], [2], [3], [4],

1.1 Không gian xạ ảnh
Định nghĩa 1.1.1. Cho K là một trường. Không gian xạ ảnh n chiều trên
K, ký hiệu là P
n
(K), hay đơn giản P
n
là tập hợp các lớp tương đương của
bộ (a
0
, , a
n
) các phần tử của K, không đồng thời bằng không theo quan
hệ tương đương (a
0
, , a
n
) ∼ λ(a
0
, , a
n
) với mọi λ thuộc K\ {0}. Mỗi
phần tử của P
n
được gọi là một điểm.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử T là một họ các đa thức thuần nhất trong
K[X
0
, , X
n
]. Tập

Z = {P ∈ P
n
|f(P) = 0 với mọi f ∈ T}
được gọi là tập không điểm của họ các đa thức thuần nhất của vành
K[X
0
, , X
n
]. Tập không điểm của một đa thức thuần nhất F được gọi là
một siêu mặt xác định bởi F . Đặc biệt, nếu F là đa thức thuần nhất bậc
một thì siêu mặt Z(F ) được gọi là siêu phẳng xác định bởi F .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Định nghĩa 1.1.3. Tập con Y của P
n
được gọi là một tập đại số nếu
tồn tại họ các đa thức thuần nhất T của K[X
0
, , X
n
] sao cho Y = Z(T ).
Mệnh đề 1.1.4. (i) Hợp của hai tập đại số là một tập đại số.
(ii) Giao của một họ tùy ý những tập đại số là tập đại số.
(iii) Tập hợp rỗng và toàn bộ không gian là những tập đại số.
Định nghĩa 1.1.5. Trên P
n
xác định tô pô với các tập mở là phần bù của
các tập đại số được gọi là tô pô Zariski.
Định nghĩa 1.1.6. Một tập con khác rỗng Y của không gian tô pô X
được gọi là khả quy nếu nó biểu diễn thành hợp của hai tập con đóng thực

sự trong Y . Trái lại, Y được gọi là bất khả quy.
Định nghĩa 1.1.7. Đa tạp đại số xạ ảnh (hay đơn giản đa tạp xạ ảnh) là
một tập con đóng, bất khả quy trong P
n
.
Định nghĩa 1.1.8. Giả sử Y là một tập con của P
n
. Iđêan
I(Y ) := { f ∈ K[X
0
, , X
n
] |f là đa thức thuần nhất và f(P) = 0 với mọi
P ∈ Y } được gọi là iđêan thuần nhất của Y trong K[X
0
, , X
n
].
Định nghĩa 1.1.9. Giả sử X là một không gian tô pô. Chiều của X là
supermum của tất cả các số nguyên n sao cho tồn tại một dãy Z
1
⊂ ⊂ Z
n
của các tập con phân biệt, đóng, bất khả quy của X. Chiều của đa tạp W
được xác định là chiều của không gian tô pô cảm sinh trên W .
Ví dụ 1.1.10. Chiều của P
n
bằng n.
Mệnh đề 1.1.11. Một siêu mặt bất khả quy trong P
n

có n − 1 chiều.
Định nghĩa 1.1.12. Một đa tạp r− chiều Y trong P
n
được gọi là giao
đầy đủ nếu iđêan thuần nhất I(Y ) của Y được sinh bởi n − r đa thức
thuần nhất.
Định nghĩa 1.1.13. Giả sử Y là tập đại số P
n
. Vành S(Y ) = K[X
0
, , X
n
]/I(Y)
được gọi là vành tọa độ thuần nhất của Y .
Mệnh đề 1.1.14. (i) Nếu a là iđêan sinh bởi họ các đa thức thuần nhất
T thì Z(T ) = Z(a)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
(ii) Nếu T
1
⊆ T
2
là các tập con của vành đa thức K[X
0
, , X
n
] thì Z(T
2
) ⊆
Z(T

1
)
(iii) Nếu Y
1
⊆ Y
2
là các tập con của P
n
thì I(Y
1
) ⊆ I(Y
2
).
(iv) Nếu Y
1
, Y
2
là các tập con của P
n
thì I(Y
1
∪ Y
2
) = I(Y
1
) ∩ I(Y
2
).
(v) Nếu Y là tập con của P
n

thì Z(I(Y )) = Y (bao đóng của Y ).
Mệnh đề 1.1.15. Một tập đại số Y ⊆ P
n
là bất khả quy khi và chỉ khi
I(Y ) là iđêan nguyên tố.
Mệnh đề 1.1.16. Cho X là một đa tạp xạ ảnh của P
n
và f ∈ K[X
0
, , X
n
]
là đa thức thuần nhất khác hằng không triệt tiêu hoàn toàn trên X. Khi
đó dim(X ∩ Z(f)) = dim X − 1.
Hệ quả 1.1.17. Giả sử Z ⊂ P
n
là giao đầy đủ r− chiều không chứa siêu
phẳng tại vô cực X
0
= 0. Khi đó giao của Z với siêu phẳng X
0
= 0 là một
đa tạp (r − 1) chiều .
Mệnh đề 1.1.18. Giả sử K. Khi đó dim K[X
1
, , X
n
] = n.
1.2 Giá trị tuyệt đối
Định nghĩa 1.2.1. Cho K là một trường. Ánh xạ |.|

v
: K → R
+
được gọi
là giá trị tuyệt đối trên trường K nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) |x|
v
 0, với mọi x ∈ K;
(ii) |x|
v
= 0 khi và chỉ khi x = 0;
(iii) |xy|
v
= |x|
v
|y|
v
, với mọi x, y ∈ K;
(iv) |x + y|
v
 |x|
v
+ |y|
v
, với mọi x, y ∈ K.
Nếu thay điều kiện (iv) bằng điều kiện mạnh hơn
(v) |x + y|
v
 max(|x|
v

, |x|
v
), với mọi x, y ∈ K thì |.|
v
được gọi là giá trị
tuyệt đối không Acsimet. Giá trị tuyệt đối mà |x|
v
= 1 với mỗi x ∈ K
∗
được gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường.
Ví dụ 1.2.2. Cho K là một trường số bất kỳ và các phép nhúng
σ
1
: K → R.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
σ
2
: K → C.
Khi đó ánh xạ
|.|
v
: K → R
+
Xác định bởi với mọi a ∈ K, |a|
v
= |σ
1
(a)| hoặc |a|
v

= |σ
2
(a)|
2
là các giá
trị tuyệt đối trên K và tương ứng được gọi là các giá trị tuyệt đối thực
hoặc phức.
Nhận xét 1.2.3. Một giá trị tuyệt đối |.|
v
trên K xác định một metric
trên K với hàm khoảng cách d(x, y) = |x − y|
v
. Do đó xác định trên K
một tô pô. Tô pô xác định bởi giá trị tuyệt đối p−adic được gọi là tô pô
p−adic
Mệnh đề 1.2.4. Cho K là một trường cùng với giá trị tuyệt đối không
Acsimet |.|
v
và α
1
, , α
n
∈ k, |a
i
|
v
< |α
1
|
v

, với mọi i > 1. Khi đó,
(i) |1| = 1, |−1| = 1, |−x| = |x|, với mọi x ∈ K;
(ii)




n

i=1
α
i




v
= |α
1
|
v
;
(iii) nếu chuỗi
∞

i=1
α
i
hội tụ thì





∞

i=1
α
i




v
= |α
1
|
v
.
Mệnh đề 1.2.5. Cho các giá trị tuyệt đối |.|
1
, |.|
2
trên K với |.|
1
không
tầm thường . Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
(i) |.|
1
, |.|
2

cùng xác định một tô pô trên K;
(ii) nếu |α|
1
< 1 thì |α|
2
< 1, với mọi α ∈ K;
(iii) tồn tại số λ > 0 sao cho |α|
1
= |α|
λ
2
, với mọi α ∈ K.
Định nghĩa 1.2.6. Hai giá trị tuyệt đối gọi là tương đương nếu chúng
thỏa mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.2.5
Định lý 1.2.7. (Định lý Ostrowski) Giả sử |.| là giá trị tuyệt đối không
tầm thường trên Q. Khi đó,
(i) Nếu |.| là một giá trị tuyệt đối Acsimet thì |.| tương đương với giá trị
tuyệt đối thông thường trên Q.
(ii) Nếu |.| là một giá trị tuyệt đối không Acsimet thì |.| tương đương với
một giá trị tuyệt đối p−adic.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử K là một trường số. Một lớp tương đương các
giá trị tuyệt đối trên K gọi là định giá của K
1.3 Divisor very ample
Một divisor trên đa tạp xạ ảnh V, ký hiệu là D, là tổng hình thức có
dạng D =

i
n

i
Y
i
, trong đó Y
i
là các đa tạp con đối chiều 1 của X.
Divisor D được gọi là hiệu quả nếu n
i
 0, ∀i.
Cho một divisor D trên đa tạp xạ ảnh X. Khi đó không gian véc tơ liên
kết L(D) = {f ∈ k(X) |D + div(f)  0} ∪ {0} có chiều là l(D).
Một hệ tuyến tính trên đa tạp X là tập tất cả các divisor hiệu quả cùng
tương đương với một divisor cố định D và được tham số hóa bởi không
gian con tuyến tính của P (L(D))
∼
=
P
l(D)−1
.
Cho L là một hệ tuyến tính chiều n tham số hóa bởi không gian xạ ảnh
P (V ) ⊂ P(L(D)). Xét cơ sở f
0
, , f
n
của V ⊂ L(D). Khi đó ánh xạ hữu
tỷ liên kết với L, ký hiệu φ
L
, được xác định bởi
φ
L

: X → P
n
, x → (f(x
0
), , f(x
n
)).
Một hệ tuyến tính L trên đa tạp V được gọi là very ample nếu ánh xạ hữu
tỷ liên kết φ
L
: X → P
n
là một phép nhúng.
Tập tất cả các divisor hiệu quả tương đương tuyến tính với một divisor D
được gọi là hệ tuyến tính đầy đủ của D, ký hiệu |D| . Một divisor D được
gọi là very ample nếu hệ tuyến tính |D| là very ample.
Một divisor D được gọi là ample nếu tồn tại số nguyên dương q sao cho:
qD là very ample.
1.4 Các siêu phẳng và siêu mặt ở vị trí tổng quát
Định nghĩa 1.4.1. Các siêu phẳng (H
k
, k = 0, , m) của không gian xạ
ảnh n− chiều P
n
(C) được gọi là ở vị trí tổng quát nếu m  n và (n + 1)
siêu phẳng bất kỳ trong chúng là độc lập tuyến tính. Giả sử m = n + 1,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
ta để ý đến (n + 2) siêu phẳng ở vị trí tổng quát H
0

, , H
n+1
. Khi đó tồn
tại một phép biến đổi xạ ảnh của các tọa độ sao cho các siêu phẳng này
được xác định bởi các phương trình sau:
x
0
= 0, , x
n
= 0, x
0
+ + x
n
= 0
Tổng quát hơn ta có thể định nghĩa khái niệm các siêu mặt trong P
n
(C) ở
vị trí tổng quát như sau:
Định nghĩa 1.4.2. Ta gọi q siêu mặt phân biệt D
1
, , D
q
của không gian
xạ ảnh n−chiều P
n
(C) là ở vị trí tổng quát nếu q  n + 1 và n + 1 siêu
mặt bất kỳ trong chúng đều có giao bằng rỗng.
Ví dụ 1.4.3. Nếu ta lấy p
1
= x

0
, p
2
= x
1
, p
3
= x
2
, p
4
= x
0
+ x
1
+ x
2
, p
5
=
x
2
0
− 2x
2
1
− 2x
2
2
, thì 5 siêu mặt xác định bởi 5 đa thức thuần nhất này là ở

vị trí tổng quát trong mặt phẳng xạ ảnh P
2
(C).
Định nghĩa 1.4.4. Cho K là một trường số. Một tập hợp các đa thức
thuần nhất bất khả quy P
1
(x
0
, , x
n
), , P
q
(x
0
, , x
n
), q  n + 2 với các
hệ số trong K được gọi là ở vị trí tổng quát nếu chúng là độc lập nhân tính
(tức là không có đa thức nào gấp t ∈ K lần đa thức khác) và bất cứ n + 1
phương trình nào trong các phương trình P
j
(x
0
, , x
n
) = 0, 1  j  q đều
không có nghiệm chung ngoài nghiệm tầm thường trong K
n+1
, trong đó
K là đóng đại số của K. Các siêu mặt D

1
, , D
q
trong P
n
(K) gọi là ở vị
trí tổng quát nếu các đa thức thuần nhất xác định của nó là ở vị trí tổng
quát.
Định nghĩa 1.4.5. Các siêu mặt D
1
, , D
q
được gọi là ở vị trí tổng quát
hình học nếu nó ở vị trí tổng quát và chúng cắt nhau thực sự theo nghĩa
ngang là các thành phần không có tiếp tuyến chung tại các điểm của giao
điểm.
1.5 Đa tạp hyperbolic theo nghĩa của Brody
Định nghĩa 1.5.1. Một đa tạp đại số xạ ảnh Y của không gian xạ ảnh
phức P
n
(C) được gọi là hyperbolic theo nghĩa Brody nếu mỗi đường cong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
chỉnh hình f : C → Y ⊂ P
n
(C) đều là ánh xạ hằng. Tổng quát hơn một
tập con X của Y được gọi là hyperbolic nếu mỗi đường cong chỉnh hình
f : C → Y ⊂ P
n
(C) có ảnh nằm trong X, đều là ánh xạ hằng.

Ví dụ 1.5.2. . P
1
(C)−{3 điểm}là hyperbolic Brody (Định lý Picard lớn).
Toàn bộ không gian P
n
(C) không phải là không gian hyperbolic Brody, vì
tồn tại đường cong chỉnh hình khác hằng số trong P
n
(C) là f = (1, z, , z).
Ngoài khái niệm hyperbolic theo nghĩa Brody còn khái niệm hyperbolic
theo nghĩa Kobayashi, chi tiết hơn chúng ta có thể xem ở [1]. Trong trường
hợp phức, định lý của Brody [1] khẳng định rằng hai khái niệm hyperbolic
Brody và Kobayashi là tương đương trên các đa tạp compact. Ngoài ra
Green đã chỉ ra một đa tạp không compact, trên đó hai khái niệm này
không tương đương. Dĩ nhiên hyperbolic Kobayashi là hyperbolic Brody.
Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét tính hyperbolic Brody.
1.6 Bổ đề Borel phức suy rộng
Định nghĩa 1.6.1. Ta gọi hàm chỉnh hình trên mặt phẳng phức C, hay
hàm nguyên là một ánh xạ f : C → C được biểu hiện bởi chuỗi lũy thừa
hội tụ:
f(z) =
∞

k=0
a
k
z
k
(a
k

∈ C).
Điểm a ∈ C được gọi là không điểm của hàm chỉnh hình f nếu tại đó hàm
này bằng không, nghĩa là: a là nghiệm của phương trình f(z) = 0. Cấp
đạo hàm nhỏ nhất khác không f
(k)
(a) được gọi là bậc (bội) của không
điểm a ∈ C của hàm chỉnh hình f tại điểm đó. Nói cách khác, điểm a
được gọi là không điểm bậc n của f, hay bậc của f tại a bằng n, và ký
hiệu ord
α
f = n, nếu tại điểm đó
f(a) = = f
n−1
(a) = 0, f
n
(a) = 0(n  1).
Đặc biệt, nếu f là hàm chỉnh hình đa thức thì khái niệm bậc không điểm
của f trùng với khái niệm bội của nghiệm của đa thức f đã cho.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Định nghĩa 1.6.2. Một đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh
phức n− chiều P
n
(C) được định nghĩa là ánh xạ
f = (f
0
, , f
n
) : C → P
n

(C), z → (f
0
(z), , f
n
(z)),
Trong đó f
j
, 0  j  n, là các hàm nguyên không có không điểm chung
trên C (nghĩa là không tồn tại điểm a ∈ C sao cho f
j
(a) = 0 với mọi
j = 0, , n). Đặc biệt nếu f
j
, 0  j  n, là các hàm đa thức thì f được
gọi là đường cong đa thức.
Bổ đề 1.6.3. (Bổ đề Borel) Giả sử f
1
, , f
n
là các hàm nguyên không có
không điểm trên C thỏa mãn phương trình
f
1
+ + f
n
= 0.
Định nghĩa một quan hệ tương đương i ∼ j nếu tồn tại một hằng số c khác
không sao cho f
i
= cf

i
. Giả sử S là một phân hoạch của { 1, , n} thành
các lớp tương đương. Khi đó

i∈S
f
i
= 0.
Nếu n  3 thì tồn tại một và chỉ một lớp tương đương.
Nói khác đi nếu f
1
, , f
n
là các hàm nguyên không có không điểm trên
C và thỏa mãn phương trình f
1
+ + f
n
= 0, thì tồn tại một phân hoạch
của tập các hàm f
j
thành các lớp sao cho mọi hàm cùng một lớp là sai
khác nhau một nhân tử hằng, và tổng của các hàm trong mỗi một lớp là
bằng không. Có nhiều dạng phát biểu bổ đề Borel với những mục đích
khác nhau. Có thể xem bổ đề Borel là một trường hợp đặc biệt của định
lý Cartan, từ đó có cách phát biểu sau:
Bổ đề 1.6.4. Giả sử f
1
, , f
n

(n  3) là các hàm nguyên không có không
điểm trên C sao cho f
1
+ + f
n
= 0. Thế thì f
1
, , f
n−1
phụ thuộc tuyến
tính.
Nhận xét 1.6.5. Nếu ta nhớ lại bổ đề Siegel trong số học: Giả sử K là
một trường số. Khi đó phương trình u + v = 1 chỉ có hữu hạn nghiệm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
trong tập hợp các số nguyên của trường số K. Thế thì bổ đề Borel là một
sự tương tự của bổ đề Siegel vừa nêu.
Với những mục đích khác nhau, một vài kiểu suy rộng của bổ đề Borel
đã được đặt ra. Chúng tôi nhắc lại ở đây một kết quả mới của Masuda và
Noguchi. Trong trường hợp này bổ đề Borel được mở rộng như sau:
Bổ đề 1.6.6. (Bổ đề Masuda-Noguchi) Giả sử M
j
= z
α
j
1
1
z
α
j

n+1
n+1
, 1  j 
s là các là các đơn thức phân biệt bậc l với lũy thừa nguyên không âm. Giả
sử X là một siêu mặt bậc dl trong P(C) được xác định bởi
X : c
1
M
d
1
+ + c
s
M
d
s
= 0,
trong đó c
j
∈ C
∗
là các hằng số khác không. Giả sử f = (f
1
, , f
n+1
) :
C → P
n
(C) là một đường cong chỉnh hình không gian xạ ảnh phức P
n
(C)

sao cho mọi f
j
= 0 và ảnh của f nằm trong X. Giả thiết rằng d > s(s−2).
Khi đó { M
d
j
◦ f}
j=1, ,s−1
là phụ thuộc tuyến tính.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Chương 2
Số nghiệm nguyên của phương
trình Diophantine
2.1 Số nghiệm nguyên của phương trình Diophantine đa thức
Cho K là một trường số và R là một vành mở rộng hữu hạn sinh của
Z trong K. Cho f(x
0
, , x
n
) là đa thức thuần nhất với n + 1  2 biến
và có các hệ số trong K. Mục đích của chương này là nghiên cứu số các
R−nghiệm (tất cả các tọa độ trong R) của phương trình
f(x
0
, , x
n
) = 1,
đối với một lớp các đa thức thuần nhất f có dạng tích. Trước hết, chúng
ta cần một số bổ đề sau:

Bổ đề 2.1.1. Cho V là một đa tạp xạ ảnh đóng bất khả quy của P
n
(K) với
chiều k  1 và D là một siêu mặt. Khi đó hoặc V ⊂ D hoặc V ∩ D = ∅
và dim(V ∩ D) = k − 1.
Bổ đề 2.1.2. Cho V là một đa tạp xạ ảnh đóng bất khả quy trong P
n
(K)
chiều k  1, D
1
, , D
2n+1
là các siêu mặt vị trí tổng quát trong P
n
(K) .
Khi đó, tồn tại một tập chỉ số con {i
1
, , i
k+2
} của {1, , 2n + 1} sao cho
chúng ta có thể chọn một thành phần bất khả quy X
j
từ mỗi V ∩ D
i
j
(j =
1, , k + 2) thỏa mãn X
1
, , X
k+2

là phân biệt.
Hơn nữa, nếu D
1
, , D
q
, n + 2  q  2n là ở vị trí tổng quát hình học,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
dimV = k > 2n − q + 1 và V không nằm trong D
1
, , D
q
thì kết luận
vẫn đúng, có nghĩa là tồn tại một tập chỉ số con {i
1
, , i
k+2
} của {1, , q}
sao cho chúng ta có thể chọn một thành phần bất khả quy X
j
từ mỗi
V ∩ D
i
j
(j = 1, , k + 2) thỏa mãn X
1
, , X
k+2
là phân biệt.
Chứng minh. Cho V là một đa tạp xạ ảnh đóng bất khả quy của P

n
(K)
với số chiều là k  1.
Ký hiệu A
i
j
(i = 1, , m
j
) là các đa tạp bất khả quy của
V ∩ D
j
, j = 1, , 2n + 1.
Chúng ta có thể chọn D
j
1
trong số D
j
(j = 1, , 2n + 1) sao cho V ⊂ D
j
1
(ngược lại nếu tất cả các D
j
, (j = 1, , 2n+1) chứa V thì chúng giao nhau
khác rỗng). Nên theo Bổ đề 2.1.1, dim A
i
j
1
= k − 1 với i = 1, , m
1
. Đặc

biệt dimA
1
j
1
= k − 1. Tương tự chúng ta chọn D
j
2
thỏa mãn A
1
j1
⊂ D
j
2
,
nên
A
1
j
1
⊂ D
j
2
,
do đó A
1
j
1
⊂ A
j
2

, (i = 1, , m
2
). Theo Bổ đề 2.1.1, dim

A
1
j
2
∩ A
i
j
1

=
k − 2, i = 1, , m
2
, trong đó {Y } kí hiệu là một thành phần bất khả
quy cố định của đa tạp đại số, hiểu là một phương trình bất khả quy
cố định của đa tạp đại số xạ ảnh Y . Đặc biệt dim{A
1
j
1
∩ A
1
j
2
} = k − 2.
Đặt X
1
= A

1
j
1
, X
2
= A
1
j
2
thì X
1
= X
2
. Tương tự chúng ta chọn D
j
3
thỏa
mãn (chúng ta cố định một thành phần của A
1
j
2
∩ A
1
j
1
, và ký hiệu nó bởi
{A
1
j
2

∩ A
1
j
1
})
{A
1
j
2
∩ A
1
j
1
} ⊂ D
j
3
,
nên dim{A
1
j
3
∩ {A
1
j
2
∩ A
1
j
1
}} = k −3. Đặt X

3
= A
1
j
3
thì X
1
, X
2
, X
3
là phân
biệt.
Chúng ta chọn D
j
i
(1  i  k) ở trên sao cho
dim{A
1
j
i
∩ {A
j
i−1
∩ { A
1
j
1
} } = k − i, i = 1, , k.
Đặt X

i
= A
1
j
i
, i = 1, , k. Khi đó chúng là bất khả quy phân biệt và mỗi
X
i
là một trong các thành phần bất khả quy của V ∩ D
j
i
. Do cách chọn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
nên {A
j
k
∩ {A
1
j
k−1
∩ { A
1
j
1
} } là khác rỗng.
Chúng ta thiết lập
x
0
∈ {A

1
j
k
∩ {A
1
j
k−1
∩ { A
1
j
1
} }
Do đó có nhiều nhất n của D
j
, 1  j  2n + 1 giao nhau tại x
0
nên ta có
thể tìm một D
j
k+1
sao cho x
0
/∈ D
j
k+1
.D
j
k+1
∩ V khác rỗng. lấy một điểm
y

0
∈ D
j
k+1
∩ V , có nhiều nhất n của D
j
(j = 1, , 2n + 1) giao nhau tại
y
0
. Chúng ta cần tìm một D
j
k+2
sao cho x
0
/∈ D
j
k+2
, y
0
/∈ D
j
k+2
(do tổng
số của các siêu mặt giao nhau tại x
0
hoặc y
0
lớn nhất là 2n). Gọi X
k+1
là

một thành phần bất phả quy của V
j
k+1
chứa y
0
và X
k+2
là thành phần bất
khả quy của V ∩ D
j
k+2
(nó khác rỗng), khi đó
X
j
, j = 1, , k + 2
thỏa mãn điều kiện của định lý.
Nếu D
1
, , D
q
, n + 2  q  2n là các siêu mặt ở vị trí tổng quát hình học
và V là một đa tạp bất khả quy của P
n
(C) với số chiều k > 2n − q + 1
theo phương pháp trên, chúng ta có thể chọn X
i
= A
1
j
i

, i = 1, , k thỏa
mãn X
i
, i = 1, , k là phân biệt và một điểm x
0
sao cho:
x
0
∈ {A
1
j
k
∩ {A
1
j
k−1
∩ A
j
1
} }.
Chúng ta có thể giả sử mỗi X
i
, i = 1, , k là một trong các thành phần
liên thông của
V ∩ D
1
, , V ∩ D
k
và cùng lắm là D
1

, , D
n
giao nhau tại x
0
. Vậy D
n+1
, , D
q
không chứa
x
0
. Do D
n+1
∩ V = ∅, đặt X
k+1
là một trong các thành phần liên thông
của D
n+1
∩ V, dimV
k+1
 k + 1 lấy y
0
∈ X
k+1
, nếu một trong các tập
D
n+2
∩ V, , D
q
∩ V không chứa y

0
, chúng ta lấy X
n+2
như là thành phần
này, thì chúng ta giả sử y
0
∈ D
n+1
∩ ∩D
q
∩V . Khi đó tồn tại một siêu mặt
trong các đa tạp D
n+2
, , D
q
. Giả sử đó là D
j
k+2
thỏa mãn X
k+1
⊂ D
j
k+2
.
Trong thực tế, nếu không thì X
k+1
⊂ D
n+1
∩ D
n+2

∩ ∩ D
q
. Do các siêu
mặt D
1
, , D
q
là ở vị trí tổng quát hình học
dim{D
n+1
∩ D
n+2
∩ ∩ D
q
}  n − (q − n).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Do đó
k − 1  dimX
n+1
 2n − q.
Điều này mâu thuẫn. Cho X
k+2
là một thành phần liên thông của D
j
k+2
∩V
thì X
k+1
, X

k+2
là phân biệt. Do đó X
1
, , X
k
là phân biệt.
Bổ đề 2.1.3.
(i) Bổ đề cơ sở. Cho K là trường số và n > 1 là một số nguyên, Γ là một
nhóm con hữu hạn sinh của K
∗
. Khi đó, tất cả ngoài một tập hữu hạn các
Γ- nghiệm
{(u
1
, , u
n
)|u
i
∈ Γ}
của phương trình u
1
+ u
2
+ + u
n
= 1,
thuộc các siêu phẳng có phương trình dạng
H
I
=


x






i∈I
x
i
= 0

trong đó I là tập con của tập {1, , n} gồm ít nhất 2 phần tử.
(ii) Bổ đề Borel. Cho u
i
là các hàm nguyên không đâu triệt tiêu thỏa mãn
phương trình
n

i=1
u
i
= 1.
Khi đó ảnh của toàn bộ đường cong f = (u
1
, , u
n
) nằm trong một siêu
phẳng H

I
.
Bây giờ chúng ta phát biểu và chứng minh định lý chính của chương
này.
Định lý 2.1.4. Cho K là một trường số, f(x
0
, , x
n
) là một đa thức thuần
nhất với các hệ số trong K. Giả sử f(x
0
, , x
n
) = P
1
(x
0
, , x
n
) P
q
(x
0
, , x
n
)
trên trường mở rộng hữu hạn G của K. Trong đó P
1
, , P
q

là đa thức thuần
nhất bất khả quy với hệ số trong G, q  2n + 1. Nếu trong sự phân tích
thành nhân tử này có ít nhất 2n + 1 phần tử đa thức bất khả quy là ở vị trí
tổng quát thì với mọi vành con của R của K (R là mở rộng hữu hạn trên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Z). Phương trình
f(x
0
, , x
n
) = 1, (x
0
, , x
n
) ∈ R
n+1
(2.1)
chỉ có các hữu hạn nghiệm.
Chứng minh. Cho f(x
0
, , x
n
) = P
1
(x
0
, , x
n
) P

q
(x
0
, , x
n
), trong đó
P
1
, , P
q
là các đa thức thuần nhất với các hệ số trong G và q ≥ 2n + 1,
trong đó G là một mở rộng hữu hạn của K. Do sự mở rộng của K và R, tính
hữu hạn của số các R- nghiệm của phương trình (2.1) là không thay đổi
khi ta coi G = K. D
1
, , D
q
là các siêu mặt trong P
n
(K) được xác định bởi
các đa thức thuần nhất P
j
, 1 ≤ j ≤ q. Theo giả thiết chúng ta có thể giả sử
D
1
, , D
2n+1
là vị trí tổng quát. Gọi A là tập các R- nghiệm của (2.1). P(A)
là ảnh của A trong P
n

(K) qua phép chiếu, khi đó P(A) ⊂ P
n
(K) là tập
gồm các điểm thuộc P
n
(K) được biểu diễn (x
0
, , x
n
), x
i
∈ R, 0 ≤ i ≤ n
các tọa độ thỏa mãn phương trình (2.1). Chúng ta chỉ cần phải chứng
minh mọi đa tạp con xạ ảnh đóng V xác định trên K của P
n
(K) với k
chiều, thì P(A) ∩ V chứa trong một hợp hữu hạn của các đa tạp con thực
sự của V . Áp dụng Bổ đề 2.1.2, có (k + 2) siêu mặt (bất khả quy) phân
biệt X
1
, , X
k+2
∈ V , sao cho mỗi X
i
, 1 ≤ i ≤ k + 2 là một thành phần
bất khả quy của V ∩ D
j
i
. Đặt Q
1

= P
j
1
, , Q
k+2
= P
j
k+2
, do kích thước
đối số các hàm của trường V và tính siêu việt bậc k, có một sự phụ thuộc
đại số giữa các hàm hữu tỷ Q
2
/Q
1
, , Q
k+2
/Q
1
trên V . Do đó tồn tại một
đa thức T thỏa mãn
T (Q
2
/Q
1
, , Q
n+2
/Q
1
) = 0
đồng nhất trên V , trong đó chúng ta có thể giả sử các hệ số của T là thuộc

K. Do đó ta có
m

i=0
c
i
T
i
/T
0
= 1
trong đó c
i
= 0 và mỗi T
0
, T
i
, 1 ≤ i ≤ m là một đơn thức trong {Q
2
/Q
1
, , Q
k+2
/Q
1
}.
Cho R

là một mở rộng nhỏ nhất của vành R chứa c
i

, các nghịch đảo của
nó, các hệ số của P
1
, , P
q
, Q
1
, , Q
k+2
và các nghịch đảo của chúng. Γ là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
nhóm cơ sở của R

. Vành mở rộng R

vẫn là hữu hạn sinh. Hơn nữa ∀x ∈
A, P
i
(x), 1 ≤ i ≤ q thuộc Γ (lưu ý mọi đa thức P
i
(x) với các hệ số trong
R

và (2.1) đúng) nên cả P
i
(x), 1/P
i
(x) là thuộc R


với mọi x thuộc A). Do
P
j
i
= Q
i
, i = 1, , k + 2 trên V , với mỗi x ∈ P(A) ∩V ( R

chứa tất cả các
hệ số của Q
j
và nghịch đảo của chúng), Q
2
(x)/Q
1
(x), , Q
k+2
(x)/Q
1
(x)
thuộc Γ. Do đó
c
i
T
i
(x)/T
0
(x) ∈ Γ, 1 ≤ i ≤ k + 2.
với x ∈ P(A) ∩ V (chú ý rằng c
i

, 1/c
i
thuộc R

) ta biểu thị
T
i
(Q
2
(x)/Q
1
(x), , Q
k+2
(x)/Q
1
(x))
bằng T
i
(x). Theo bổ đề cơ sở các nghiệm
{T
1
(x)/T
0
(x), , T
m
(x)/T
0
(x)|x ∈ P(A) ∩ V }
của phương trình
m


i=1
c
i
T
i
(x)/T
0
(x) = 1
được chứa trong các siêu phẳng chéo
H
I
= {x ∈ V |

i∈I
c
i
T
i
(x)/T
0
(x) = 0}
trong đó I là tập con thực sự của {1, , m} có ít nhất 2 phần tử. Do tính
bất khả quy và phân biệt của X
1
, , X
k+2
nên H
I
xác định hữu hạn các

đa tạp con bất khả quy của V trên K . Do đó P(A) ∩ V được chứa trong
một hợp hữu hạn các đa tạp con ở trên. Theo quy nạp chúng ta có thể kết
luận P(A) được chứa trong các không gian con 0- chiều của P
n
(K). Do đó
số các R- nghiệm của phương trình(2.1) là hữu hạn.
Ví dụ 2.1.5. Nếu chúng ta lấy P
1
= x
0
, P
2
= x
1
, P
3
= x
2
, P
4
= x
0
+ x
1
+
x
2
, P
5
= x

2
0
− 2x
2
1
− 2x
2
2
, các đa thức này là vị trí tổng quát theo Định lý
2.1.4 phương trình
x
0
x
1
x
2
(x
0
+ x
1
+ x
2
)(x
2
0
− 2x
2
1
− 2x
2

2
) = b
có hữu hạn nghiệm nguyên với ∀b = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
2.2 Điểm nguyên của phần bù các siêu mặt
Định lý 2.1.4 tương ứng với tính hữu hạn của các điểm nguyên của phần
bù hợp một số các siêu mặt trong P
n
(K). Chúng ta sử dụng định nghĩa
tập các điểm nguyên của phần bù của các divisor được đưa ra bởi Vojta
[25], trong định lý sau.
Định lý 2.2.1. Cho K là một trường số, M(K) là tập các định giá của
K. Gọi S ⊂ M(K) là tập hữu hạn chứa tất cả các định giá Acsimet. Giả
sử D
1
, , D
q
là các siêu mặt ở vị trí tổng quát trong P
n
(K) (bất kỳ n + 1
siêu mặt nào đều có giao bằng rỗng), với hệ số đại số. Nếu q  2n + 1 thì
P
n
(K) − D chỉ có hữu hạn (S, D)- điểm nguyên, trong đó D =
q
∪
i=1
D
i

.
Để chứng minh định lý trên, chúng ta cần một sự chuẩn bị sau:
Cho K là một trường số đại số bậc d. M(K) là tập các định giá của K và
M
∞
(K) là tập các định giá Acsimet của K. Với v ∈ M(K) ký hiệu |.|
v
là
giá trị tuyệt đối liên kết với v, được chuẩn hóa sao cho trên Q chúng ta có
|.|
v
= || (giá trị tuyệt đối thông thường) nếu v là Acsimet, ngược lại với v
không Acsimet |p|
v
= p
−1
nếu v nằm trên số nguyên tố hữu tỷ p. Ký hiệu
K
v
là bao đầy của K theo v và d
v
= [K
v
: Q
v
] là bậc địa phương. Chúng ta
đặt 
v
= ||
d

v
/d
v
. Cho S là một tập con hữu hạn của M(K) chứa M
∞
(K)
có s phần tử. Chúng ta gọi một phần tử x ∈ K là S- đơn vị nếu
x
v
= 1
với mỗi v /∈ S. Phần tử x ∈ K được gọi là S- nguyên nếu
x
v
≤ 1
với mỗi v ∈ S. Gọi O
S
là vành các S- nguyên của K. Chú ý rằng tập O
S
là tương ứng 1-1 với tập các vành hữu hạn sinh R của Z. Trong thực tế
O
S
là vành hữu hạn sinh trong Z, nếu chúng ta đặt
S
c
= {v ∈ M(K)|x
v
≤ 1, ∀x ∈ R},
S = M(K) − S
c
, thì S là một tập hữu hạn và chứa tất cả các định giá

Acsimet. Một điểm P ∈ A
n
(K) là điểm nguyên nếu và chỉ nếu tất cả các
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
tọa độ là các S- nguyên và một điểm đại số P
n
(K) là nguyên nếu các tọa
độ của nó nằm trên một bao đóng nguyên của O
K,S
trong K. Tương tự
một đa tạp afin W ⊂ A
n
xác định trên K kế thừa khái niệm của một điểm
nguyên với định nghĩa cho A
n
. Cho D là một divisor hiệu quả very ample
trên một đa tạp xạ ảnh V và đặt 1 = x
1
, , x
N
là một cơ sở của không
gian véc tơ
L(D) = {f|f là hàm hữu tỷ trên V, f = 0 hoặc (f) + D ≥ 0}.
Khi đó P → (x
1
(P ), , x
N
(P )) xác định một phép nhúng của V − D vào
A

n
; Vì thế chúng ta nói là một (S, D)- điểm nguyên nếu x
i
(P ) ∈ O
s
(hoặc
bao đóng nguyên của nó trong K) với mọi i.
Định nghĩa 2.2.2. Cho K là một trường số. M(K) là tập các định giá của
K. K
v
là bổ sung đủ của K theo v ∈ M(K) bởi |.|
v
. Ta mở rộng |.|
v
tới một
định giá trên bao đóng đại số K
v
. Cho D là một divisor trên X. Hàm Weil
toàn cục liên kết với D là hàm λ
D
(X(K − sup pD) × M(K) → R có tính
chất sau: Với cặp (U, f) kết hợp với D, khi đó tồn tại hàm liên tục bị chặn
địa phương h : U(K) × M(K) → R sao cho với mọi điểm U(K) − sup pD
ta có λ
D
(x, v) = − log |f(x)|
v
+ h(x, v). Hàm h xác định duy nhất bởi λ
D
và cặp (U, f).

Bổ đề 2.2.3. (Vojta[24]) Cho D là một divisor hiệu quả very ample V.
Cho I là một tập con của V (K) − |D|. Khi đó các khẳng định sau là tương
đương
(a) I là một tập các D- điểm nguyên (hay (S, D)−điểm nguyên) của
V ;
(b) Tồn tại một hàm Weil toàn cục λ
D,v
với mỗi v ∈ M(K) − S thỏa
mãn
(i) hầu hết c
v
= 0 và,
(ii) với mọi P ∈ I, ∀v ∈ M(K) − S, và với mọi phép nhúng của
K trong K
v
ta có
λ
D,v
(P ) ≤ c
v
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Cho D là một divisor hiệu quả trên V và I là một tập con của V (K)−D.
Khi đó I được gọi là tập (S, D)- khả nguyên của các điểm nếu tồn tại một
hàm Weil thỏa mãn điều kiện (b) của bổ đề 2.2.3.
Bổ đề 2.2.4. Cho S là một tập hữu hạn các định giá của K chứa các định
giá Acsimet. Gọi E là trường mở rộng hữu hạn của K và T là tập các
định giá của E nằm trong các định giá của S. Khi đó I ∈ V (K) là tập các
(S, D)- điểm nguyên nếu và chỉ nếu nó là tập (T, D)- điểm nguyên.
Bổ đề 2.2.5. Cho I là một tập con của tập D- điểm nguyên trên V , f là

một hàm hữu tỷ không có cực bên ngoài D. Khi đó tồn tại hằng số b ∈ K
sao cho bf(P ) nguyên với mọi P ∈ I.
Bây giờ ta đi chứng minh Định lý 2.2.1
Chứng minh. Cho K là một trường số, và S ⊂ M(K) là một tập hữu hạn
chứa tất cả các định giá Acsimet. D
1
, , D
q
là các siêu mặt trong P
n
(K)
với các hệ số đại số.
Chúng ta chứng minh rằng nếu q ≥ 2n + 1 thì P
n
(K) − D chỉ chứa hữu
hạn các (S, D)- điểm nguyên, trong đó D =
q
∪
i=1
D
i
. Chúng ta có thể giả sử
tất cả các hệ số của các siêu mặt trong K. Vì ngược lại, chúng ta mở rộng
K và S tới K

và S

bằng việc thêm vào tất cả các hệ số của siêu mặt và
chú ý rằng một (S, D)- điểm nguyên cũng là (S


, D)- điểm nguyên.
Cho P là tập các (S, D)- điểm nguyên trong P
n
(K)− D. Giả sử các siêu
mặt D
1
, , D
q
được xác định bởi các đa thức thuần nhất P
1
, , P
q
. Do
giả thiết D
1
, , D
q
là ở vị trí tổng quát nên chúng ta chỉ cần chứng minh
rằng với mọi đa tạp xạ ảnh đóng V xác định trên K của P
n
(K), P ∩ V
được chứa trong một hợp hữu hạn của các đa tạp thực sự của V. Áp dụng
Bổ đề 2.1.2, có (k + 2) siêu mặt (bất khả quy) phân biệt X
1
, , X
k+2
trong V , mỗi X
i
, 1 ≤ i ≤ k + 2 là một thành phần bất khả quy của
V ∩ D

j
. Đặt Q
1
= P
j
1
, , Q
k+2=P
j
k+2
. Do kích thước đối số các hàm của
V là siêu việt bậc k, có một sự phụ thuộc đại số trong các hàm hữu tỷ
Q
2
/Q
1
, , Q
n+2
/Q
1
trên V . Do đó tồn tại một đa thức T thỏa mãn
T (Q
2
/Q
1
, , Q
n+2
/Q
1
) = 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
đồng nhất trong V , nên chúng ta có thể giả sử các hệ số của T trong K.
Do đó chúng ta có
m

i=1
c
i
T
i
/T
0
= 1
trong đó c
i
= 0 và với mỗi T
0
, T
i
, 1 ≤ i ≤ m là một đơn thức trong
{Q
2
/Q
1
, , Q
k+2
/Q
1
}. Do Q

i
/Q
1
, 2 ≤ i ≤ k + 2 các hàm của V không có
cực ngoài D, tồn tại a
i
∈ K sao cho ∀x ∈ P ∩ V
a
i
Q
i
(x)/Q
1
(x) (2.2)
đưa vào các giá trị S- nguyên tại x ∈ P ∩ V (Bổ đề 2.2.5) lập luận tương
tự tồn tại b
i
∈ K, sao cho
b
i
Q
1
(x)/Q
i
(x) (2.3)
đưa vào các giá trị S- nguyên tại các điểm x ∈ P ∩ V . Gọi R

là mở
rộng nhỏ nhất của vành R chứa c
j

, a
i
, b
i
và các nghịch đảo của chúng, Γ
là nhóm đơn vị của R

. Vành mở rộng R

vẫn là hữu hạn sinh. Hơn nữa,
do (2.2), (2.3) với mọi x ∈ P ∩ V , Q
i
(x)/Q
1
(x), 2 ≤ i ≤ q thuộc Γ nên
c
i
T
i
(x)/T
0
(x) ∈ Γ, 1 ≤ i ≤ m với v ∈ P(A) ∩ V (c
i
, 1/c
i
thuộc R). Chúng
ta biểu thị T
1
(Q
2

(x)/Q
1
(x), , Q
k+2
(x)/Q
1
(x)) bằng T
i
(x). Theo bổ đề
cơ sở các nghiệm {T
1
(x)/T
0
(x), , T
m
(x)/T
0
(x)|x ∈ P ∩ V } của phương
trình
m

i=1
c
i
T
i
(x)/T
0
(x) = 1
được chứa trong siêu phẳng chéo

H
I
= {x ∈ V |

i∈I
c
i
T
i
(x)/T
0
(x) = 0}
trong đó I là tập con thực sự của {1, , m} có ít nhất 2 phần tử. Do tính
bất khả quy và phân biệt của X
1
, , X
k+2
kéo theo H
I
xác định hữu hạn
các đa tạp bất khả quy thực sự của V xác định trên K. Do đó P ∩ V được
chứa trong một hợp hữu hạn các đa tạp hữu hạn ở trên. Bằng quy nạp
chúng ta kết luận P được chứa trong hữu hạn các không gian con 0- chiều
của P
n
(K).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên