Chuyên đề giải toán trên máy tính cầm tay

CHUYÊN ĐỀ“ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY”
I. TÍNH TOÁN VỚI KẾT QUẢ VƯỢT QUÁ KHẢ NĂNG HIỂN THỊ CỦA MÀN HÌNH:
 Bài 1:
Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16!.
Giải:
Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + + (17! – 16!)
S = 17! – 1!.
Không thể tính 17! bằng máy tính vì 17! là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình)
nên ta tính theo cách sau:
Biểu diễn S dưới dạng : a.10
n
+ b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy không
bị tràn, cho kết quả chính xác.
Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120
Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 10
6
+ 208 . 10
2
nên
S = (6227 . 10
6
+ 208 . 10
2
) . 5712 . 10 – 1
= 35568624 . 10
7
+ 1188096 . 10
3
– 1 = 355687428096000 – 1
= 355687428095999.

Bài tập thực hành:
 1/ Tính chính xác các phép tính sau:
a) A = 15!(1+2+3+4+ +15).
b) B = 5555566666 . 6666677777
c) C = 20032003 . 20042004
d) 1038471
3
e) 20122003
2
 2) Tính giá trị chính xác dạng phân số tối giản của tổng:
25075943 7427357317
A
71777741 94569859
= +
II. TÌM THƯƠNG VÀ SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN:
a) Khi số bị chia bé hơn hoặc bằng 13 chữ số, số chia bé hơn hoặc bằng 10 chữ số:
Dùng máy Vinacal: Ấn "Shift 6" chọn "1"
Ví dụ : Tìm số dư trong các phép chia 2345678901234 cho 4567: Được kết quả thương
là 513614824, số dư là 26.
b) Khi số bị chia nhiều hơn 13 chữ số, số chia bé hơn hoặc bằng 10 chữ số:
Phương pháp:
Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 13 chữ số)
- Cắt ra thành từng nhóm , nhóm đầu có 13 chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu
khi chia cho B.
- Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa 13 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn
nữa tính liên tiếp như vậy.
 Bài tập Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 1234567890987654321 cho123456 .
1
Ta tìm số dư của phép chia 1234567890987 cho 123456: Được kết quả số dư là : 113259
Tìm tiếp số dư của phép chia 113259654321 cho 123456.

Kết quả số dư cuối cùng là 8817.
Bài tập áp dụng:
Khi chia các số 1059; 1417 và 2312 cho cùng một số tự nhiên d ( d > 1) ta đều nhận được
1 số dư là r. Tính d và r?
Giải:
Ta có 1059, 1417, 2312 chia cho d ta được cùng 1 số dư r nên:
1059= dq
1
+ r
1417= dq
2
+ r
2312= dq
3
+ r
Do đó: 895=2312-1417 chia hết cho d
358=1417-1059 chia hết cho d
nên d là ước chung của 358 và 895.
Ta có: UCLN(358;895) = 179 ( 179 là số nguyên tố)
358 và 895 chỉ có một ước chung ( trừ số 1) là 179⇒
d = 179 ⇒
r = 164⇒
Vậy d = 179 và r = 164
c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.
* Phép đồng dư:
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng
dư với b theo modun c ký hiệu
(mod )a b c
≡
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+

(mod )a a m
≡

(mod ) (mod )a b m b a m
≡ ⇔ ≡

(mod ); (mod ) (mod )a b m b c m a c m
≡ ≡ ⇒ ≡

(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m a c b d m
≡ ≡ ⇒ ± ≡ ±

(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m ac bd m
≡ ≡ ⇒ ≡

(mod ) (mod )
n n
a b m a b m
≡ ⇔ ≡
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 2004
376
cho 1975
Giải:
Biết 376 = 62 . 6 + 4
Ta có:
2
4 2
12 3
48 4

2004 841(mod1975)
2004 841 231(mod1975)
2004 231 416(mod1975)
2004 416 536(mod1975)
≡
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
Vậy
2
60
62
62.3 3
62.6 2
62.6 4
2004 416.536 1776(mod1975)
2004 1776.841 516(mod1975)
2004 516 1171(mod1975)
2004 1171 591(mod1975)
2004 591.231 246(mod1975)
+
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
Kết quả: Số dư của phép chia 2004
376
cho 1975 là 246
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho

Ta có: (mod )
(mod )
5
17 274
≡
(mod )
20 4
17 274
≡
(mod )
(mod )
80 4
17 254 1332
≡ ≡
(mod )
100
17 1332.254 1849
≡ ≡
(mod )
200 2
17 1849 254
≡ ≡
(mod )
(mod )
(mod )
Suy ra (mod )
Vậy số dư của phép chia cho là .
Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia cho
Vì là số nguyên tố. Theo định lý Fermat (với p là số nguyên tố thì a
p-1

≡1 mod (p)
với mọi số nguyên a ), ta có:
(mod )
Suy ra:
(mod )
(mod 2003)
Vậy số dư của phép chia cho là .
Ví dụ 4:Tìm số dư của phép chia:2
2008
chia cho 25
Giải:
Ta có: 25=5
2
Áp dụng hệ quả của định lí Ferma nhỏ ( với p là số nguyên tố, (a,p)=1 thì
a
p(p-1)
≡1 mod (p
2
) ), ta có:
2
5(5-1}
≡1mod (5
2
)
2
20
≡1mod 25
Ta có: 2008 = 20 × 100 +8
suy ra 2
2008

≡2
8
mod 25
suy ra 2
2008
≡256 mod 25
suy ra 2
2008
≡6 mod 25
Vậy số dư trong phép chia 2
2008
chia cho 25 là 6
Bài tập thực hành:
1) Tìm số dư của phép chia :
3
a) 1111201020112012 cho 2013
b) 13
8
cho 27
c) 25
14
cho 65
d) 1978
38
cho 3878.
e) 2005
9
cho 2007
f) 7
15

cho 2001
2) Tìm số tự nhiên A lớn nhất để các số 367222, 440659, 672268 khi lần lượt chia cho A
đều có cùng số dư.
III. TÌM N CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA:
Tìm 1 chữ số tận cùng của :
* Nếu a có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thì lần lượt có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5
hoặc 6 .
* Nếu a có chữ số tận cùng là 2 , 3 hoặc 7 , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự
nhiên khác 0 :
2
4k
đồng dư 6 ( mod 10 )
3
4k
đồng dư 1 ( mod 10 )
7
4k
đồng dư 1 ( mod 10 )
Do đó để tìm 1 chữ số tận cùng của a
n
với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 .
Giả sử n = 4k + r với r
∈
{0 , 1 , 2 , 3}
Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thì a
n
dồng dư 2
n
= 2
4k+r

đồng dư 6.2
r
( mod 10 )
Nếu a đồng dư 3 hoặc 7 ( mod 10 ) thì a
n
= a
4k+r
đồng dư a
r
(mod 10)
Tìm 2 chữ số tận cùng của a
n
:
Ta có nhận xét sau :
2
20
đồng dư 76 ( mod 100 )
3
20
đồng dư 1 ( mod 100 )
6
5
đồng dư 76 ( mod 100 )
7
4
đồng dư 01 ( mod 100 )
Mà 76
n
đồng dư 76 ( mod 100 ) với n
≥

1
và 5
n
đồng dư 25 ( mod 100 ) với n
≥
2
Suy ra kết quả sau với k là các số tự nhiên khác 0 :
a
20k
đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 )
a
20k
đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 (mod 10 )
a
20k
đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 )
a
20k
đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 (mod 10 )
Vậy để tìm 2 chữ số tận cùng của a
n
ta lấy số mũ 2 chia cho 20
Ta có :
a
100k
đồng dư 000 ( mod 10
3
) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 )
a
100k

đồng dư 001 ( mod 10
3
) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 )
a
100k
đồng dư 625 ( mod 10
3
) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 )
a
100k
đồng dư 376 ( mod 10
3
) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 )
Để tìm 3 chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ .
IV. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM CỦA MỘT
LUỸ THỪA:
Ví dụ 1: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 23
2005
.
4
Giải:
+ Tìm chữ số hàng chục của số 23
2005
1
2
3
4
23 23(mod100)
23 29(mod100)
23 67(mod100)

23 41(mod100)
≡
≡
≡
≡
Do đó:
( )
5
20 4 5
2000 100
2005 1 4 2000
23 23 41 01(mod100)
23 01 01(mod100)
23 23 .23 .23 23.41.01 43(mod100)
= ≡ ≡
≡ ≡
⇒ = ≡ ≡
Vậy chữ số hàng chục của số 23
2005
là 4 (hai chữ số tận cùng của số 23
2005
là 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 23
2005

1
4
5
20 4
2000 100

23 023(mod1000)
23 841(mod1000)
23 343(mod1000)
23 343 201(mod1000)
23 201 (mod1000)
≡
≡
≡
≡ ≡
≡
5
100
2000
2005 5 2000
201 001(mod1000)
201 001(mod1000)
23 001(mod1000)
23 23 .23 343.001 343(mod1000)
≡
≡
≡
= ≡ ≡
Vậy chữ số hàng trăm của số 23
2005
là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 23
2005
là số 343)
Ví dụ 2:Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm của số tự nhiên:
2010
9

2A
=
Giải:
Ta có:
( )
1
9 9
2 2 512 mod 1000= ≡
( )
2
9
9 9 9 9 9 5 4
2 2 2 512 512 512 352 (mod1000)
×
= = ≡ ≡ × ≡
( )
3 2 2
9
9 9 9 9 9
2 2 2 352 912 (mod1000)
×
= = ≡ ≡
( )
4 3 3
9
9 9 9 9 9
2 2 2 912 952 (mod1000)
×
= = ≡ ≡

( )
5 4
9
9 9 9
2 2 952 312 (mod 1000)= ≡ ≡

5
( )
( )
6 5
7 6
9
9 9 9
9
9 9 9
2 2 312 552 (mod1000)
2 2 552 712 (mod 1000)
= ≡ ≡
= ≡ ≡
( )
( )
8 7
9 8
9
9 9 9
9
9 9 9
2 2 712 152 (mod1000)
2 2 152 112 (mod 1000)
= ≡ ≡

= ≡ ≡
( )
10 9
9
9 9 9
2 2 112 752 (mod1000)= ≡ ≡
( )
11 10
9
9 9 9
2 2 752 512 (mod1000);= ≡ ≡
Do đó chu kỳ lặp lại là 10, nên
2010
9
2A =
có ba chứ số cuối là: 752.
Bài tập thực hành:
1) Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn của số tự nhiên:
2010
2011A
=
2) Tìm ba chữ số tận cùng của số 11
2012
V. TÌM BCNN, UCLN:
* Dùng máy Vinacal 570 ES Plus : Khi cả hai số A và B có ít hơn hoặc bằng 13 chữ
số,
Tìm BCNN ấn "Shift 6" chọn "2", tìm ƯCLN ấn "Shift 6" chọn "3"
Ví dụ : Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531
Ấn "Shift 6" chọn "3". Ghi vào màn hình GCD(2419580247,3802197531) và ấn =,
màn hình hiện 345654321.

Ấn "Shift 6" chọn "2". Ghi vào màn hình LCM(2419580247,3802197531) và ấn =,
màn hình hiện 2.661538272 . 10
10
. Ấn tiếp -2.10
10
màn hình hiện 6615382717. Kết quả:
26615382717.

* Máy tính Vinacal 570 ES cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối
giản
A a
B b
=
Ta áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN như sau:
+ UCLN (A; B) = A : a
+ BCNN (A; B) = A . b
Ví dụ : Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531
HD: Ghi vào màn hình :
2419580247
3802197531
và ấn =, màn hình hiện
7
11
UCLN: 2419580247 : 7 = 345654321
BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 10
10
(tràn màn hình)
Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247 . 11
Kết quả : BCNN: 4615382717 + 2.10
9

. 11 = 26615382717
Bài tập thực hành:
Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510.
6
a) Hãy tìm UCLN của 1939938; 68102034.
b) Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510.
c) Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B
2
.
VI. SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN .
Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số
Dùng công thức tổng quát sau đây:
* Dạng 1/
Ví dụ:
Ta có: (123 gồm 3 số)
*Dạng 2/
Ví dụ:
Ta có: gồm 4 số), (36 gồm 2 số)
* Có thể sử dụng máy fx500VN PLUS để chuyển nhanh ra kết quả.
Bài 1: Phân số nào đã sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321)
Giải: Đặt 3,15(321) = a.
Hay 100.000 a = 315321,(321) (1)
100 a = 315,(321) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006
Vậy
16650
52501
999000
315006
==a

Bài 2:
2 2 2
0,19981998 0,019981998 0,0019981998
A = + +
Tìm các ước nguyên tố của A.
Giải:
Đặt 0,0019981998 = a.
Ta có:
1 1 1
2.
100 10
2.111
100
A
a a a
A
a
 
= + +
 ÷
 
=
Trong khi đó : 100a = 0,19981998 = 0,(0001) . 1998 =
1998
9999
Vậy A =
2.111.9999
1111
1998
=

Các ước nguyên tố của A là: 11, 101.
7
Bài tập thực hành:
Viết F = 0,4818181 dưới dạng phân số tối giản thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu?
VII. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ:
Giả sử muốn kiểm tra a là số nguyên tố hay không ?
Sử dụng máy 570MS
Cách 1:
|a| |shift| |sto| |A| (gán a vào biến A trong máy)
|1| |shift| |sto| |B|
B=B+2:A/B
CALC = = =
nếu A/B là số nguyên thì B là 1 ước của A.
Kiểm tra cho đến khi A/B hạ xuống dưới căn A thì ngưng.
(Chú ý: với cách này xem A có chia hết cho 2 không?)
Cách 2:
|a| |shift| |sto| |A|
Xem A có chia hết cho 2, cho 3 hay không?
Lấy A chia cho 3: A/3 =
Ấn tiếp: A/(A/Ans+2)
Sau đó ấn = = = để kiểm tra, khi số trên màn hình hạ xuống dưới căn A thì ngưng.
VIII. TÌM CHỮ SỐ THẬP PHÂN THỨ N SAU DẤU PHẨY.
Ví dụ 1:
Tìm chữ số thập phân thứ 13
2007
sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19
Giải:
Ta có
250000 17
13157

19 19
= +
. Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 13
2007
sau dấu phẩy trong
phép chia 17 : 19
Bước 1:
Ấn 17 : 19 = 0,8947368421. (các chữ số hiện trên máy)
Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842
+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10
-9
Bước 2:
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10
-8
= 17 . 10
-9
Bước 3:
Lấy 17 : 19 = 0,8947368421.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 894736842
+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10
-9
Bước 4:
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157

Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157
8
= 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số.

Ta có
( )
669
3 2007 3 669
13 1(mod18) 13 13 1 (mod18)≡ ⇒ = ≡
Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ
số thập phân.
Kết quả : số 8
Ví dụ 2:
Tìm chữ số thập phân thứ
2011
12
sau dấu phẩy, trong dạng số thập phân của phân số
23
29
.
Ta có:
23
(0,7931034482758620689655172413)
29
=
: số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ 28.
( ) ( )
1 2 3
12 12 (mod 28); 12 4 mod 28 ; 12 20 mod 28
≡ ≡ ≡
( ) ( ) ( ) ( )
4 5 6 7
12 16 mod 28 ;12 24 mod 28 ; 12 8 mod 28 ; 12 12 mod 28
≡ ≡ ≡ ≡

.
Ta lại có:
2011 1 (mod6)
≡
, do đó
2011
12 12 (mod 28)≡
.
Vậy chữ số thập phân thứ
2011
12
của dạng thập phân của phân số
23
29
là chữ số 5
Bài tập thực hành:
Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia:
a) 1 chia cho 49
b) 10 chia cho 23
IX. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC
Một số kiến thức cần nhớ:
1. Định lý Bezout
Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a).
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a.
2. Sơ đồ Hor nơ
Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để tìm kết quả của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x –
a.
Thuật toánHorner:
Thuật toán: Giả sử chia đa thức P
n

(x) cho nhị thức x – m ta được đa thức Q
n–1
(x) và
số dư r.
P
n
(x) = a
n
x
n
+ a
n–1
x
n–1
+ + a
1
x + a
0
.
Q
n–1
(x) = b
n–1
x
n
+ b
n–2
x
n–1
+ + b

1
x + b
0
.
P
n
(x) = (x– m) Q
n–1
(x) + r.
Các hệ số của hai đa thức P
n
(x) và Q
n–1
(x) có mối liên hệ như sau:
a
n
a
n–1
a
n–2
a
1
a
0
m b
n–1
= a
n
b
n–2

= mb
n–1
+ a
n–
1

b
n–3
= mb
n–2
+
a
n–2

b
0
= mb
1
+ a
1
r = mb
0
+ a
0
9
Ví dụ: Chia đa thức
( )
17x21x8x9x5xB
234
+−−−=

cho đa thức C(x) = x – 4 ta lập bảng
sau:
a
4
= 5 a
3
= – 9 a
2
= – 8 a
1
= – 21 a
0
= 17
m = 4 b
3
= a
4
= 5
b
2
= mb
3
+ a
3
= 4.5 – 9 = 11
b
1
= mb
2
+ a

2
= 4.11 –8 = 36
b
0
= mb
1
+ a
1
= 4.36 –21 =
123
r = mb
0
+ a
0
= 4.123
+17=509
Vậy: Đa thức thương D(x) = 5x
3
+ 11x
2
+ 36x + 123.
Số dư r = 509.
DẠNG 1: SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA ĐA THỨC
1. Tìm số dư của phép chia đa thức:
Ví dụ: Tìm đa thức dư của phép chia đa thức x
101
-3x
52
+2 cho x
2

- 1
Giải
Phép chia P(x) cho tam thức ax
2
+bx+c có phần dư là mx+n với P(x
0
)=mx
0
+n trong đó x
0

là nghiệm của tam thức.
Tam thức x
2
- 1 có 2 nghiệm là x=±1
Ta có:
P(1)= 0 =m+n
P(-1)= -2 = -m+n
Vậy m=1,n=-1
Phần dư của phép chia trên là x-1.
2. Tìm điều kiện để đa thức P(x) chia hết cho đa thức ax + b.
Ví dụ: Cho đa thức:
( )
4 3 2
C x = 3x + 2x -5x -8x + m
. Với giá trị nào của m thì C(x)
chia hết cho 2x + 7.
Giải: Đặt
( )
4 3 2

D x = 3x + 2x -5x -8x
.
m = -
7
D
2
 
−
 ÷
 
=
3
331
16
−
3 . Tìm điều kiện để m là nghiệm của đa thức F(x).
Ví dụ: Cho đa thức:
( )
4 3 2
C x = 3x + 2x -5x -8x + m
. Với giá trị nào của m thì
C(x) có nghiệm là 3.
Giải: Đặt
( )
4 3 2
D x = 3x + 2x -5x -8x
.
m = -
( )
D 3

= 228
Bài tập thực hành:
Bài 1: Tìm số dư trong các phép chia sau:
a) x
3
– 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617.
b)
5 3 2
6,723 1,857 6,458 4,319
2,318
x x x x
x
− + − +
+
Bài 2: Tính a để x
4
+ 7x
3
+ 2x
2
+ 13x + a chia hết cho x + 6.
Bài 3:Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625
a) Tính P(2
2
)
b) Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3.

10
Bài 4:
Tìm số dư trong phép chia đa thức x
5
– 7,834x
3
+ 7,581x
2
– 4,568x + 3,194 cho x – 2,652.
Tìm hệ số của x
2
trong đa thức thương của phép chia trên.
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC.
Bài 1 : Cho đa thức
cbxaxx)x(P
23
+++=
và cho biết P(1)= 4; P(–2) = 7; P(3) = 12.
Tính P(30) ?
Giải:
Cách 1:
cbxaxx)x(P
23
+++=
với P(1) = 4; P(–2) = 7; P(3) = 12 cho nên (a; b; c) là nghiệm
của hệ phương trình:
( ) ( ) ( )








=+++
=+−+−+−
=+++
12c3.b3.a3
7c2b2a2
4c1.b1.a1
23
23
23





−=++
=+−
=++
⇔
15cb3a9
15cb2a4
3cba
Nghiệm của hệ là: (a = – 1; b = – 5; c = 9)
9x5xx)x(P
23
+−−=
25959930.53030)30(P

23
=+−−=
Cách 2:
Do P(x) là đa thức bậc ba nên:
( ) ( )( )( ) ( )
xQ3x2x1xxP +−+−=
.
Bậc của đa thức Q(x) không lớn hơn 2 nên P(x) có dạng:
( ) ( )( )( )
pnxmx3x2x1xxP
2
+++−+−=
.
Ta có hệ phương trình:





=++
=+−
=++
12pn3m9
7pn2m4
4pnm
Giải ra được: (m = 1; n = 0; p = 3)
Suy ra:
( ) ( )( )( )
3x3x2x1xxP
2

++−+−=

( ) ( )( )( )
2595933033023013030P
2
=++−+−=
.
Cách 3:
Dự đoán: P(1) = 4 = 1
2
+ 3
P(–2) = 7 = (–2)
2
+ 3
P(3) = 12 = 3
2
+ 3.
Xét đa thức: P'(x) = P(x) – x
2
– 3
Ta có: P'(1) = P'(–2) = P'(3) = 0.
Suy ra 1; –2; 3 là nghiệm của đa thức P'(x).
Vì hệ số của x
3
là 1 nên:
( )( )( )
3x)x(P3x2x1x)x('P
2
−−=−+−=
Vậy:

( )( )( )
3x3x2x1x)x(P
2
++−+−=
P(30) = 29.32.27 + 30
2
+ 3 = 25959
Bài 2:
Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + f .
Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 15 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9)
11
Giải:
Ta có P(1)=1=1
2
; P(2) = 4 = 2
2
; P(3) = 9 = 3
2
; P(4) = 16 = 4
2
; P(5) = 25 = 5
2

Xét đa thức Q(x) = P(x) – x
2
.
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
Vì hệ số của x
5
bằng 1 nên Q(x) có dạng:
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 6
2
Hay P(6) = 5! + 6
2
= 156.
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 7
2
Hay P(7) = 6! + 7
2
= 769
Bài tập thực hành:
Bài 1:
Cho Q(x) = x
4
+ mx
3
+ nx
2
+ px + q . Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 ,
Q(4) = 11 .
Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13)

Hướng dẫn
Q(1) = 5 = 2.1 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3; Q(3) = 9 = 2.3 + 3 ; Q(4) = 11 =2.4 +3
Xét đa thức Q
1
(x) = Q(x) – (2x + 3)
Bài 2 : Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e .
Biết P(1) = 3 , P(2) = 9 , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) ,
P(10) , P(11) .
Bài 3:
Cho P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ;
P(4) = 8. Tính P(2002), P(2003)
Bài 4:
Cho P(x) = x
4
+ ax
3

+ bx
2
+ cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50. Hãy tính
P(5) , P(6) , P(7) , P(8)
Bài 5:
Cho P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. Tính
P(2007)
Bài 6 : Cho P(x) = x
5
+ 2x
4
– 3x
3
+ 4x
2
– 5x + m .
a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 .
b) Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5
c) P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m .
Bài 7: Cho P(x) =
4 3
2
2 5 7
3

x x x− + +
.
a) Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5.
b) Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân.
Bài 8:
Cho đa thức P(x) = 6x
3
– 7x
2
– 16x + m .
a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
b) Với m tìm được ở câu a ) , hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x – 2 và phân tích P(x)
thành tích của các thừa số bậc nhất.
c) Tìm m và n để Q(x) = 2x
3
– 5x
2
– 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – 2.
12
d) Với n tìm được ở trên , hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất.
Bài 9:
Cho P(x) = x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+ 3x + m và Q(x) = x
4
+ 4x

3
- 3x
2
+ 2x + n .
a) Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 .
b) Với giá trị của m và n tìm được , chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm
duy nhất.
Bài 10 :
Cho f(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c . Biết : f






3
1
=
108
7
; f







−
2
1
=
5
3
−
; f






5
1
=
500
89
. Tính giá trị
đúng và gần đúng của f






3
2

.
Bài 11:
Xác định các hệ số a, b, c của đa thức:
P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia cho (x –
3) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là 3
(Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phân)
Bài 12:
Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức
Q(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx – 2007 tại các giá trị của x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45
Bài 13: Cho đa thức f(x)=x
5
+x
2
+1 có năm nghiệm x
1
, x
2
, x

3
, x
4
, x
5
.
Kí hiệu P(x)=x
2
-81
Hãy tìm tích P=p(x
1
)p(x
2
)p(x
3
)p(x
4
)p(x
5
)
Giải Ta có
P = -(9-x
1
)(9-x
2
)(9-x
3
)(9-x
4
)(9-x

5
)(9+x
1
)(9+x
2
)(9+x
3
)(9+x
4
)(9+x
5
)
= f(9)f(-9) = -3486777677
DẠNG 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
1 - Phương pháp nhẩm nghiệm:
Số dư trong phép chia đa thức P(x) cho ax + b là






−=
a
b
Pr
.
Cho nên khi
0
a

b
Pr =






−=
thì P(x) = (ax + b).Q(x)
Chú ý: Nghiệm nguyên (nếu có) của đa thức có các hệ số nguyên là ước của hạng tử
tự do.
2 - Phương pháp đặt biến phụ:
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử:
A = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) – 15
= (x
2
+ 5x + 6) (x
2
+ 5x + 4) – 15
Đặt y = x
2
+ 5x + 4 ta có:
A = (y + 2)y – 15 = y
2
+ 2y – 15
A = y
2
+ 2y – 15 = (y + 5)(y– 3) (1)
Thay y = x

2
+ 5x + 4 vào (1) ta có:
A = (x
2
+ 5x + 9) (x
2
+ 5x + 1)
13
Cách đặt biến phụ cho một số đa thức thường gặp:
*
( )( )( )( )
edxcxbxax)x(f
+++++=
(a + b = c + d)
Đặt biến phụ :
abx)ba(xy
2
+++=
*
( )( )( )( )
2
exdxcxbxax)x(f
+++++=
(ab = cd)
Đặt biến phụ :
abx)ba(xy
2
+++=
*
abxcxbxax)x(f

234
+++±=
Đặt biến phụ :
1xy
2
±=
*
edxcxbxax)x(f
234
+++±=















=
2
b
d
a

e
Đặt biến phụ :
b
d
xy
2
±=
*
( ) ( )
cbxax)x(f
44
++++=
Đặt biến phụ:
2
ba
xy
+
+=
*
cbxax)x(f
24
++=

Đặt biến phụ :
2
xy
=
X. TĂNG DÂN SỐ - TIỀN LÃI - LẠM PHÁT.
Có 2 loại thường gặp
1) Lãi suất từ 1 giá trị không đổi qua thời gian

Công thức áp dụng trực tiếp với các bài toán về tiền gửi ngân hàng
Số tiền sau n tháng:
2) Lãi suất từ giá trị thêm vào vào theo quãng thời gian đều
Công thức áp dụng trực tiếp với các bài toán về tiền gửi ngân hàng:
Cuối tháng thứ n-1:
Đầu thàng thứ n:
Với a là số tiền gửi vào hàng tháng ; x là lãi suất
Ví dụ 1:Anh An vay ngân hàng 5 tỷ đồng trả dần mỗi năm 800 triệu đồng, kỳ trả đầu tiên
sau khi nhận vốn, lãi suất trả chậm 9% năm. Xác định số kỳ trả nợ và số tiền phải trả ở kỳ
cuối cùng
Giải
Ta thấy đây là một bài toán trả lãi đầu kỳ
Áp dụng công thức tính hiện giá, ta có:
800 × 1-(1+i)-ni(1+i) =5000
Với
i :lãi suất trả chậm
n:số kỳ trả nợ
Nhập pt trên với n thay bằng x vào máy rồi bấm SHIFT SOLVE
Cho giá trị đầu là 5
Máy cho nghiệm
x=8,4219
Vậy số kỳ trả nợ là 9 kỳ
14
Gọi x là số tiền phải trả ở kỳ thứ 9 là x
Ta có pt:
50=81-(1+i)-8i(1+i)+x(1+i)8
Bấm SHIFT SOLVE. Cho giá trị đầu là 5
Máy giải ra x=3,45984057,8
Vậy số tiền trả ở kỳ thứ 9 là 345984000
Ví dụ 2: Ông Hai có một số tiền 200 triệu đồngchia ra ở 2 ngân hàng X và Y.Số tiền thứ

nhất gửi ở ngân hàng X lãi suất 2% quý trong thời gian 15 tháng, số tiền thứ hai gửi ở
ngân hàng Y lãi suất 2,15% quý trong thời gian 12 tháng. Nếu lãi gộp vốn mỗi quý một
lần và tổng lợi tức đạt được ở 2 ngân hàng là 18.984.100 đồng, hãy xác định số tiền ông
Hai gởi ở mỗi ngân hàng
Giải
Gọi x là số tiền ông Hai gửi ở ngân hàng X
thì 200 - x là số tiền ông Hai gửi ở ngân hàng Y
Ta có pt:
x(1+2%)
5
+(200-x)(1+2,15%)
4
=218,9841
Dùng SHIFT + SOLVE để giải với x=100
Máy cho kết quả là 80,0012
Tức là ông A đã gửi ở ngân hàng X 80.000.000 đồng và gửi ở Y 120.000.000 đồng
Ví dụ 3: Anh An vay 30 triệu đồng từ ngân hàng để mua xe và phải trả lãi suất 1,8% mỗi
tháng. Hỏi:
a) Sau hai năm anh phải trả cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
b) Nếu anh muốn trả hàng tháng một số tiền như nhau và trả xong trong hai năm thì
mỗi tháng anh phải trả bao nhiêu tiền?
c) Nếu năm đầu anh đã trả mỗi tháng 1 triệu đồng thì năm sau anh phải trả mỗi tháng
bao nhiêu tiền để cũng trả xong trong hai năm?
( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị )
Giải:
a) Số tiền anh An phải trả sau hai năm là:
30.000.000(1+1,8%)
24

≈

46.032.857 (đồng)
b) Gọi X là số tiền phải trả hàng tháng. Ta có:
X
( ) ( )
23
1 1,8% 1 1,8% 1
 
+ + + + +
 
=
( )
24
30.000.000 1 1,8%
+
Suy ra:
( )
( ) ( )
24
23
30.000.000 1 1,8%
X
1 1,8% 1 1,8% 1
+
=
 
+ + + + +
 

≈
1.550.425 đồng

c) Sau năm thứ nhất thì số tiền còn nợ là:
A =
( )
12
30.000.000 1 1,8%
+
-
( ) ( )
11
1000000. 1 1,8% 1 1,8% 1
 
+ + + + +
 
Số tiền phải trả hàng tháng trong năm sau là:
( )
( ) ( )
12
11
A 1 1,8%
X
1 1,8% 1 1,8% 1
+
=
 
+ + + + +
 
15
≈
2.232.248 (đồng)
Ví dụ 4: Lạm phát xảy ra khi đồng tiền bị mất giá. Tỉ lệ phần trăm tăng lên trong chỉ số giá

bán lẻ trong một năm được gọi là tỉ lệ lạm phát của năm. Khi nói tỉ lệ lạm phát là a% / năm
nghĩa là ta cần 1+a% đồng khi mua một vật trị giá 1 đồng trước đây một năm.
a) Với tỉ lệ lạm phát là 3,5% / năm; hỏi sau 10 năm muốn mua một vật trị giá lúc đầu
là 15 triệu thì cần số tiền là bao nhiêu đồng?
b) Nếu tỉ lệ lạm phát là 5,5% / năm thì sau bao lâu giá trị đồng tiền chỉ còn một nửa.
Giải:
a) Sau 10 năm muốn mua một vật trị giá lúc đầu là 15 triệu thì cần số tiền là: 15000000(1
+ 3,5%)
10

≈
21158981 (đồng)
b) Gọi n là số năm để giá trị đồng tiền chỉ còn một nửa. Ta có phương trình: (1 + 5,5%)
n
=
2.
Dùng shift solve để giải với giá trị đầu bằng 10 ta được n
≈
13.
Ví dụ 5: Theo kết quả điều tra, dân số trung bình nước Việt Nam năm 1980 là 53,722 triệu
người, tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm trong các giai đoạn 1980-1990, 1990-2000
và 2000-2010 theo thứ tự là: 2,0822%; 1,6344% và 1,3109%.
a) Hỏi dân số trung bình nước Việt Nam ở các năm 1990; 2000; 2010 là bao nhiêu ? Kết
quả làm tròn đến chữ số thứ tư sau dấu phẩy.
Năm 1980 1990 2000 2010
Dân số TB (Triệu
người)
53,722
b) Nếu cứ đà tăng dân số như giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2020 dân số trung bình
của nước ta là bao nhiêu ?

c) Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2010, mỗi năm phấn
đấu giảm bớt 0,1085% so với tỉ lệ % tăng dân số năm trước (nghĩa là nếu năm nay tỉ lệ tăng
dân số là a% thì năm sau là (a − 0,1085)%). Khi đó đến năm 2020 dân số trung bình của
nước ta là bao nhiêu ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải.
Giải:
a)
Năm 1990 2000 2010
Dân số TB (triệu người) 66,0165 77,6354 88,4344
b) Nếu duy trì đà tăng dân số như giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2020 dân số TB của
nước ta là: 100,7356 triệu người.
c) Công thức tính như sau: gọi
0,1085
100
x =
88,4344(1,013109 )(1,013109 2 ) ((1,013109 10 )x x x− − −
Quy trình bấm phím:
88.4344 SHIFT STO A; 0.1085 ÷ 100 SHIFT STO B; 0 SHIFT STO D
ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA
A ( 1.013109 − ALPHA D ALPHA B ) Bấm = liên tục cho đến khi D = 1, bấm
tiếp = ta được kết quả:
16
Đến năm 2020 dân số TB của nước ta là: 94,9523 triệu người.
XI. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Ví dụ 1: Cho dãy số được xác định bởi:
Tìm ?
Thuật toán:
Cách 1:
Nhập thuật toán:
E=E+1:A=2B+C-3D: D=C:C=B:B=A
CALC

E? ấn 3==
B? ấn 3=
C? ấn 2=
D? ấn 1=
= = =
Cách 2:
Nhập thuật toán:
D=D+1:A=2B+C-3A: D=D+1:C=2A+B-3C: D=D+1:B=2C+A-3B
CALC
D? ấn 3==
B? ấn 3=
C? ấn 2=
A? ấn 1=
Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi:
Tính và tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Thuật toán:
Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES):
X=X+1:B=5A-2X:C=C+B:X=X+1:A=5B-2X:C=C+A
Bấm CALC máy hỏi:
X? Bấm 1=
A? Bấm 1=
C? Bấm 1=
===
Trong đó X là số hạng thứ X; A, B là các giá trị của ; C là tổng của X số hạng đầu tiên
của dãy.
Ví dụ 3: Cho dãy số xác định bởi:
Tính tích của 10 số hạng đầu của dãy.
Thuật toán:
Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
X=X+1:C=B+2A: D=DC:X=X+1:A=C+2B: D=DA:X=X+1:B=A+2C: D=DB

Bấm CALC máy hỏi:
17
X? Bấm 2=
B? Bấm 1=
A? Bấm 1=
D? Bấm 1=
===
Trong đó X là số hạng thứ X; A, B, C là các giá trị của ; D là tích của X số hạng đầu
tiên của dãy.
Ví dụ 4: Cho dãy số
n
u
được xác định như sau:
1 2 3
1 3u u u
= = =
;

3 2 1
4 2 5
n n n n
u u u u
+ + +
= + −
a) Viết qui trình ấn phím liên tục tính
3n
u
+
theo
n

u
,
1n
u
+
,
2n
u
+
và tính tổng n+3 số hạng
đầu tiên của dãy.
b) Tính u
16
và tổng 16 số hạng đầu tiên của dãy.
Giải:
a) 1
→
A
1
→
B
3
→
C
3
→
D
5
→
X

D=D+1: A=
1
4
(2C+B-5A): X=X+A:
D=D+1: B=
1
4
(2A+C-5B):X=X+B : D=D+1: C=
1
4
(2B+A-5C):X=X+C :
Bấm Calc = = =
b)
16
2875
8192
u
=

16
66277
S
8192
−
=
Ví dụ 5: Dãy số
n
u
được xác định như sau:
0 3

1
8
2
u u
= − =
;
;
2 1
3 2
n n n
u u u
+ +
= +
a) Tính u
1
và u
2
b) Viết qui trình ấn phím liên tục tính
2n
u
+
theo
n
u
,
1n
u
+
và tổng n + 2 số hạng đầu tiên
của dãy.

c) Tính
20
u
và tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy.
Giải:
a) Ta có: u
2
= 3u
1
+ 2u
0
= 3u
1
- 1
và u
3
= 3u
2
+ 2u
1
= 9u
1
- 3 + 2u
1
= 11u
1
- 3
Suy ra: u
1
= (8 + 3): 11 = 1

u
2
= 3.1 - 1 = 2
b)
1
2
−
→
A
1
→
B
18
1
→
D

1
2
→
X
D = D + 1 : A = 3B + 2A : X = X + A : D = D + 1 : B = 3A + 2B : X = X + B
Bấm Calc = = =
c)
20
u
=
18811665124
Tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy là: 7343852147
Bài tập thực hành:

Bài 1: Cho dãy số a
1
= 3; a
n + 1
=
3
3
1
n n
n
a a
a
+
+
.
a) Lập quy trình bấm phím tính a
n + 1

b) Tính a
n
với n = 2, 3, 4, , 10
Bài 2: Cho dãy số x
1
=
1
2
;
3
1
1

3
n
n
x
x
+
+
=
.
a) Hãy lập quy trình bấm phím tính x
n + 1
b) Tính x
30
; x
31
; x
32
Bài 3: Cho dãy số
1
4
1
n
n
n
x
x
x
+
+
=

+
(n ≥ 1)
a) Lập quy trình bấm phím tính x
n + 1
với x
1
= 1 và tính x
100
.
b) Lập quy trình bấm phím tính x
n + 1
với x
1
= -2 và tính x
100
.
Bài 4: Cho dãy số
2
1
2
4 5
1
n
n
n
x
x
x
+
+

=
+
(n ≥ 1)
a) Cho x
1
= 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của x
n + 1
b) Tính x
100
Bài 5: Cho dãy số
( ) ( )
5 7 5 7
2 7
n n
n
U
+ − −
=
với n = 0; 1; 2; 3;
a) Tính 5 số hạng đầu tiên U
0
, U
1
, U
2
, U
3
, U
4
b) Chứng minh rằng U

n + 2
= 10U
n + 1
– 18U
n
.
c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U
n + 2
theo U
n + 1
và U
n
.
HD giải:
a) Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được
U
0
= 0, U
1
= 1, U
2
= 10, U
3
= 82, U
4
= 640
b) Chứng minh: Giả sử U
n + 2
= aU
n + 1

+ bU
n
+ c. Thay n = 0; 1; 2 vào công thức ta được hệ
phương trình:

2 1 0
3 2 1
4 3 2
10
10 82
82 10 640
U aU bU c
a c
U aU bU c a b c
a b c
U aU bU c
= + +
+ =


 
= + + ⇔ + + =
 
 
+ + =
= + +


Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0
c) Quy trình bấm phím liên tục tính U

n + 2
trên máy Casio 570MS , Casio 570ES
Đưa U
1
vào A, tính U
2
rồi đưa U
2
vào B
1 SHIFT STO A x 10 – 18 x 0 SHIFT STO B,
19
lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp U
n + 2
với n = 2, 3,
x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U
3
)
x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U
4
)
Bài 6: Cho dãy số
3 5 3 5
2
2 2
n n
n
U
   
+ −
= + −

 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
với n = 1; 2; 3;
a) Tính 5 số hạng đầu tiên U
1
, U
2
, U
3
, U
4
, U
5
b) Lập công thức truy hồi tính U
n + 1
theo U
n
và U
n – 1
.
c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U
n + 1
trên máy Casio
Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức

32
)313()313(
nn
n

U
−−+
=
với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .
a) Tính
87654321
,,,,,,, UUUUUUUU
b) Lập công thức truy hồi tính
1+n
U
theo
n
U
và
1−n
U
c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính
1+n
U
theo
n
U
và
1−n
U
Bài 8: Cho dãy số
{ }
n
U
được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số

trước cộng với 1, bắt đầu từ U
0
= U
1
= 1.
a) Lập một quy trình tính u
n
.
b) Tính các giá trị của U
n
với n = 1; 2; 3; ; 9
c) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu không hãy chứng
minh.
Hướng dẫn giải:
a) Dãy số có dạng: U
0
= U
1
= 1, U
n + 2
= U
n + 1
. U
n
+ 1, (n =1; 2; )
Quy trình tính U
n
trên máy tính Casio 500MS trở lên:
1 SHIFT STO A x 1 + 1 SIHFT STO B. Lặp lại dãy phím
x ALPHA A + 1 SHIFT STO A x ALPHA B + 1 SHIFT STO B

b) Ta có các giá trị của U
n
với n = 1; 2; 3; ; 9 trong bảng sau:
U
0
= 1 U
1
= 1 U
2
= 2 U
3
= 3 U
4
= 7
U
5
= 22 U
6
= 155 U
7
= 3411 U
8
= 528706 U
9
= 1803416167
Bài 9: Cho dãy số sắp thứ tự với U
1
= 2, U
2
= 20 và từ U

3
trở đi được tính theo công thức
U
n + 1
= 2U
n
+ U
n + 1
(n ≥ 2).
a) Tính giá trị của U
3
, U
4
, U
5
, U
6
, U
7
, U
8
b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính U
n
c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị của U
n
với n = 22; 23, 24, 25
Bài 10: Cho dãy số được xác định bởi:
Tính ?
Bài 11: Cho dãy số được xác định bởi:
20

Tính và tính tổng của 16 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 12: Cho dãy số được xác định như sau:
Tính ; tính tích của 16 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 13: Cho dãy số được xác định như sau:
Tính , tổng 26 số hạng đầu tiên và tích 24 số hạng đầu tiên của dãy số.
XII. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TỔNG, TÍCH.
Ví dụ 1: Cho
Tính ?
Thuật toán:
Cách 1: Dùng chức năng có sẵn
k
X=1
∑
30
3
X=1
X
∑
Đọc kết quả
Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
X=X+1:A=A+X
3
Bấm CALC máy hỏi:
X? Bấm 0=
A? Bấm 0=
===……
Trong đó X là tổng thứ X; A là giá trị của tổng thứ X.
Ví dụ 2: Cho (n là số lẻ).
Tính ?
Thuật toán:

Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
X=X+1:A=AX^2
Bấm CALC máy hỏi
X? Bấm 0=
A? Bấm 1=
=== ……
Trong đó X là tích thứ X; A là giá trị của tích thứ X.
Ví dụ 3: Tìm giá trị gần đúng của x để:
Thuật toán:
Cách 1: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570ES):
21
X
X
X=1
x
∑
Bấm CALC máy hỏi:
X? Bấm 0=
Bấm = = = … nhiều lần đến khi nào kết quả gần là thì dừng.
Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
X=X+1:B=B+
Bấm CALC máy hỏi
X? Bấm 0=
B? Bấm 0=
Bấm = = = … nhiều lần cho đến khi nào kết quả gần là thì dừng.
Bài tập thực hành:
Bài 1: Cho
Tính ?
Bài 2: Cho
Tính ?

Bài 3: Cho
Tính ?
Bài 4: Cho
Tính ?
Bài 5: Tìm giá trị gần đúng của x thỏa:
a)
b)
c) .
Bài 6: Tính tổng:
a) A = 1+1+2+1+2+3+1+2+3+4+ +1+2+3+4+ +2011
b) S = 1.3.5 + 2.4.6 + 3.5.7 + + 95.97.99
c) B =
3 7 11 107 111
3 7 11 107 111
3 - 3 + 3 - 3 - 3
3 + 3 + 3 + 3 3
×××××+
×××××+ +
d) C =
1 1 1 1 1
1
2 3 4 2011 2012
− + − +×××××××+ −
XIII. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LIÊN PHÂN SỐ.
Bài 1:
a) Tìm x biết:
22
3 381978
3
382007

8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
1
8
1 x
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Lập quy trình ấn liên tục trên fx – 570MS, 570ES.

381978 : 382007 = 0.999924085
Ấn tiếp phím x
-1
. 3 – 8 và ấn 9 lần dấu =. Ta được:

1
1
Ans
x
=
+
. Tiếp tục ấn Ans x
-1
– 1 =
Kết quả : x = -1,11963298 hoặc
17457609083367
15592260478921
 
 ÷
 
b) Tìm các số tự nhiên x, y biết:
12448 1
1
1
10785
6
1
2
1
16

1
2
1
1
1
x
y
= +
+
+
+
+
+
+
Bài 2: Cho
12
30
5
10
2003
A = +
+
. Viết lại
1
1
1
1
1

o

n
n
A a
a
a
a
−
= +
+
+ +
Viết kết quả theo thứ tự
[ ] [ ]
0 1 1
, , , , , , ,
n n
a a a a
−
=
Giải:
Ta có
12 12.2003 24036 4001 1
30 3 30 30 1 31
5 20035
20035 20035 20035
10
2003 4001
A = + = + = + = + + = +
+

1
31
30
5
4001
= +
+
.
Tiếp tục tính như trên, cuối cùng ta được:
23

1
31
1
5
1
133
1
2
1
1
1
2
1
1
2
A = +
+
+
+

+
+
+
Viết kết quả theo ký hiệu liên phân số
[ ] [ ]
0 1 1
, , , , 31,5,133,2,1,2,1,2
n n
a a a a
−
=
Bài 3:
Tính giá trị của các biểu thức sau và biểu diễn kết quả dưới dạng phân số:
31
1
2
1
3
1
4
5
A =
+
+
+
;
10
1
7
1

6
1
5
4
B =
+
+
+
;
2003
2
3
4
5
8
7
9
C =
+
+
+
Đáp số: A) 2108/157 ; B) 1300/931 ; C) 783173/1315
Riêng câu C ta làm như sau: Khi tính đến 2003:
1315
391
. Nếu tiếp tục nhấn x 2003 = thì được
số thập phân vì vượt quá 10 chữ số.
Vì vậy ta làm như sau:
391 x 2003 = (kết quả 783173) vậy C = 783173/1315.
Bài 4:

a) Tính
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
A = +
+
+
+
+
+
+
b)
1
3
1
3
1
3
1
3

1
3
1
3
3
B = +
−
+
−
+
−
c)
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
9
C = +

+
+
+
+
+
+
+
d)
1
9
2
8
3
7
4
6
5
5
6
4
7
3
8
2
9
D = +
+
+
+
+

+
+
+
Bài 5:
a) Viết quy trình tính:
24

3 1
17
12 5
1 23
1 1
1 3
12 1
17 7
2002 2003
A = + +
+ +
+ +
+ +
b) Giá trị tìm được của A là bao nhiêu ?
Bài 6: Biết
2003 1
7
1
273
2
1
1
1

a
b
c
d
= +
+
+
+
+
. Tìm các số a, b, c, d.
Bài 7: Tìm giá trị của x, y. Viết dưới dạng phân số từ các phương trình sau:
a)
4
1 1
1 4
1 1
2 3
1 1
3 2
4 2
x x
+ =
+ +
+ +
+ +
; b)
1 1
1 2
1 1
3 4

5 6
y y
=
+ +
+ +
Hướng dẫn: Đặt A =
1
1
1
1
2
1
3
4
+
+
+
, B =
1
1
4
1
3
1
2
2
+
+
+

Ta có 4 + Ax = Bx. Suy ra
4
x
B A
=
−
.
Kết quả
844 12556
8
1459 1459
x = − = −
. (Tương tự y =
24
29
)
Bài 8: Thời gian trái đất quay một vòng quanh trái đất được viết dưới dạng liên phân số là:
1
365
1
4
1
7
1
3
1
5
1
20
6

+
+
+
+
+
+
. Dựa vào liên phân số này, người ta có thể tìm ra số năm
nhuận. Ví dụ dùng phân số
1
365
4
+
thì cứ 4 năm lại có một năm nhuận.
Còn nếu dùng liên phân số
1 7
365 365
1
29
4
7
+ =
+
thì cứ 29 năm (không phải là 28 năm) sẽ có
7 năm nhuận.
1) Hãy tính giá trị (dưới dạng phân số) của các liên phân số sau:
25