ứng dụng đạo hàm trong giải toán

Phương pháp hàm số trong giải toán
MỞ ĐẦU
Định nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm số đã được trình bày ở chương trình
sách giáo khoa lớp 10. Nhưng để hiểu rõ các tính chất và các ứng dụng của hàm số thì cần có
kiến thức về giải tích mà cụ thể là đạo hàm của hàm số. Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của
đạo hàm được trình bày ở chương trình sách giáo khoa cuối lớp 11 và đầu lớp 12.
Dùng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta tìm được GTLN, GTNN , xét được khoảng đồng
biến , nghich biến của hàm số và xét được tính lồi lõm của đồ thị hàm số.
Từ các ứng dụng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta giải được một số bài toán trong phương
trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, xét sự hội tụ của dãy số và chứng minh
bất đẳng thức.
Trong bài viết này chúng ta tìm hiểu một số ứng dụng của phương pháp hàm số vào trong giải
toán.
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
1
Phương pháp hàm số trong giải toán
I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình.
1) Định lí 1: Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số
nghiệm của phương trình f(x) = k trên D không nhiều hơn một và f(x) = f(y) ⇔ x = y với mọi x,
y ∈ D.
Chứng minh:
a) Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a tức là f(a) = k.
Nếu x > a thì f(x) > f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm.
Nếu x < a thì f(x) < f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm.
b) Nếu x > y thì f(x) > f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm.
Nếu x < y thì f(x) < f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm.
2) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x)
luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x)
= g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = a tức là f(a) = g(a).
Nếu x > a thì f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy ra phương trình vô nghiệm.
Nếu x < a thì f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy ra phương trình vô nghiệm.
3) Định lí 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0
nếu có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình 3
x
= 4 - x.
Giải: Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3
x
+ x - 4 = 0.
Xét hàm số f(x ) = 3
x
+ x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R
f’(x) = 3
x
.ln3 + 1 > 0 ∀ x ∈R. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.
Mặt khác phương trình có một nghiệm x =1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài tập 1: Giải phương trình:
log x 11 x= −
Bài tập 2: Giải phương trình:
2 2
2 2
9 (13 ).3 9x 36 0
x x
x− − − + =
.
Ví dụ 2: Giải phương trình :
2
2

3
2
3
log 3x 2
2x 4x 5
x x
x
 
+ +
= + +
 ÷
+ +
 
Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với
2 2 2 2
3 3
log ( 3) ( 3) log (2x 4x 5) (2x 4x 5)x x x x+ + + + + = + + + + +
(*)
Xét hàm số f(t) =
3
log t t+
.Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ ∞)
f’(t) =
1
1
.ln3t
+
> 0 ∀t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ ∞)
Phương trình (*) ⇔ f(x
2

+x + 3) = f(2x
2
+ 4x + 5)
⇔ x
2
+x + 3 = 2x
2
+ 4x + 5 ⇔ x = - 1 v x = - 2.
Bài tập 1: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
3 3x
2x 4
x y y
y

− = −


− =


Bài tập 2: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
3 3x
3x 1
x y y
y


+ = +


+ =


Bài tập 3: Giải hệ phương trình
3 10 5
3 10 5
x y
y x

+ + − =


+ + − =


Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
3 3 2
2 2 2
3 3x 2 0
1 3 2 0
x y y
x x y y m

− + − − =


+ − − − + =



Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
2
Phương pháp hàm số trong giải toán
Ví dụ 3: Giải phương trình 3
x
= 2x + 1
Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với 3
x
- 2x - 1 = 0.
Xét hàm số f(x) = 3
x
-2x - 1, f’(x) = 3
x
ln3 - 2, f’’(x) = 3
x
(ln3)
2
> 0 ∀x ∈ R.
Mặt khác phương trình co hai nghiệm x = 0 và x =1. Vậy phương trình có đúng hai nghiệm x =
0 và x = 1.
Bài tập 1: Giải phương trình: 2009
x
+ 2010
x
= 4017x + 2
Bài tập 2: Giải phương trình:
3
3 1 log (1 2x)

x
x= + + +
Bài tập 3: Giải phương trình:
( )
( )
cos cos
1 cos 2 4 3.4
x x
x+ + =
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
2
2
2
x y y y
y z z z
z x x x

= + + −

= + + −


= + + −

Giải: Xét hàm số f(t) = t
3
+ t

2
+ t - 2. f’(t) = 3t
2
+ 2t + 1 > 0 ∀t∈ R. Vậy hàm số f(t) đồng biến
trên R.
Giả sử x = max{x,y,z} hay x≥ y và x ≥ z suy ra x = f(y) ≥ f( z) = y và x= f(y) ≥ f(x) = z . Từ
đó ta có y ≥ z và y ≥ x. Suy ra f(y) ≥ f(z) hay z ≥ x. Do đó x ≥ y≥ z≥ x từ đó x = y = z = 1.
Bài tập 1: Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
3x 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
3z 3 ln( 1)
x x x y
y y y y z
z z z x

+ − + − + =

+ − + − + =


+ − + − + =

Bài tập 2: Giải hệ phương trình
3 2 3
3 2 3
3 2 3
2x 2x 18

2 3 18
2z 3z 18
y y
y y z z
x x

+ − = +

+ − = +


+ − = +

Bài tập 3: Giải hệ phương trình
3 2 3
3 2 3
3 2 2
2x 2 1
2 2z 1
2z 2x 1
x x y
y y y
z z

+ + = +

+ + = +


+ + = +


Ví dụ 5: Giải bất phương trình
6 7 1x x+ − − ≥
Giải: Tập xác định D = [- 6; 7] . Xét hàm số f(x) =
6 7x x+ − −
.
Ta có f’(x) =
1 1
0
2 6 2 7x x
+ >
+ −
∀ x ∈ (- 6; 7).
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [- 6; 7]
Mặt khác f(3) = 1. Do đó bất phương trình tương đương với f(x) ≥ f(3) ⇔ x ≥ 3.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [3; 7]
Bài tập 1: Giải bất phương trình
3 2
3x 6x 16 2 3 4x x+ + + < + −
Bài tập 2: Giải bất phương trình
6 8
6
3 2x x
+ <
− −
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
3
Phương pháp hàm số trong giải toán
II - Sử dụng GTLN,GTNN của hàm số để tìm giá trị tham số để phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình có nghiệm.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b).
1) Định lý 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] ⇔
[ ]
[ ]
;
;
min ( ) max ( )
a b
a b
f x m f x≤ ≤
2) Định lý 2: Bất phương trình f(x) ≥ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] ⇔
[ ]
;
max ( )
a b
f x m≥
3) Định lý 3: Bất phương trình f(x) ≤ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] ⇔
[ ]
;
min ( )
a b
f x m≤
4) Định lý 4: Bất phương trình f(x) ≥ m nghiệm đúng với mọi x ∈ [a;b] ⇔
[ ]
;
min ( )
a b
f x m≥
5) Định lý 5: Bất phương trình f(x) ≤ m nghiệm đúng với mọi x ∈ [a;b] ⇔
[ ]

;
ax ( )
a b
m f x m≤
Chú ý: Định lý 1,2,3,4,5 dùng để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, hệ bất
phương trình, bất phương trình chứa tham số.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau
2
4 2 3 21 4x x x m− + − − =
a) Có nghiệm.
b) Có đúng 1 nghiệm.
c) có 2 nghiệm phân biệt.
Giải : Tập xác định D= [-7;3], Xét hàm số
2
( ) 4 2 3 21 4f x x x x= − + − −
, ta có
2
3(2 )
'( ) 4
21 4
x
f x
x x
+
= −
− −
, f’(x) = 0 ⇔ x= - 6 (Loại) v x = 2.
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x).
x
-7 2 3

f’(x)
+ 0 -
f(x)
15
-30 10
a) Phương trình có nghiệm khi
[ ]
[ ]
7;3
7;3
min ( ) max ( )f x m f x
−
−
≤ ≤
⇔ - 30 ≤ m ≤ 15
b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi - 30 ≤ m < 10 hoặc m = 15.
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 10 ≤ m < 15.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 4(sin
4
x + cos
4
x) + (5 - 2m)cos2x + 9 - 3m = 0
a) Có nghiệm.
b) Có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn
0;
3
π
 
 
 

Giải : Đặt t = cos2x với - 1 ≤ t ≤ 1 . Phương trình trở thành
2
2 5 11
2 3
t t
m
t
+ +
=
+
.
Xét hàm số f(t) =
2
2 5 11
2 3
t t
t
+ +
+
Ta có
2
2
4 12 7
'( )
(2 3)
t t
f t
t
+ −
=

+
, f’(t) = 0 ⇔ t =
7
2
−
(Loại) v t =
1
2
. Bảng biến thiên
t -1 1/2 1
f’(t) - 0 +
f(t)
8 18/5
7/2
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
4
Phương pháp hàm số trong giải toán
a) Phương trình có nghiệm khi
[ ]
[ ]
1;1
1;1
min ( ) max ( )f t m f t
−
−
≤ ≤
⇔ 7/2 ≤ m≤ 8.
b) Khi x ∈
0;
3

π
 
 
 
thì 2x ∈
2
0;
3
π
 
 
 
hay
1
1
2
t− ≤ ≤
. Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn
0;
3
π
 
 
 
khi phương trình ẩn t có hai nghiệm t thuộc đoạn
1
;1
2
 
−

 
 
hay 7/2 < m ≤ 18/5
Bài tập 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
2
4
1 4 3x 2 ( 3) 2 0x x m x− + − + + + − =
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
m m
+ − + −
− + + + =
Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2 2
4x 4x 3 2 0x m x m+ − − − − + + =
Bài tập 5:
Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =
Bài tập 6: Tìm m để phương trình
2 3 2
3 1 2 2x 1x x m− − + + =
có nghiệm duy nhất thuộc

đoạn
1
;1
2
 
−
 
 
.
Bài tập 7:
Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn
;
4 4
π π
 
−
 
 

4 4 2
sin x + cos x + cos 4x = m.
Bài tập 8: Tìm m để phương trình
2 2
2
2 .( 4). 2 8 2 14 0
4
x
x x m x x x m
x
+

− + − + + − − − =
−
có
nghiệm thực.
Bài tập 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( )
2
4 6 3x 2 2 3x x m x x+ − − = + + −
Bài tập 10:Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( )
2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ − − − = − + + − −
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình:
3
3
1
3 2x mx
x
−
− + − <
nghiệm đúng ∀x ≥ 1
Giải: BPT
( )
3 2
3 4
1 1 2
3 2, 1 3 , 1mx x x m x f x x
x
x x
⇔ < − + ∀ ≥ ⇔ < − + = ∀ ≥

.
Ta có
( )
( )
5 2 5 2 2
4 2 2
4 2 4 2
2 2 2 0f x x x
x x x x x
−
′
= + − ≥ − = >
∀ x ≠ 0.
Suy ra
( )
f x
đồng biến trên khoảng (1; + ∞) .
YCBT
( ) ( )
( )
1
2
3 , 1 min 1 2 3
3
x
f x m x f x f m m
≥
⇔ > ∀ ≥ ⇔ = = > ⇔ >
Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình
2

(4 ) ( 4x 5 2) 0x x m x− + − + + ≤
nghiệm đúng với mọi
giá trị x ∈
2;2 3
 
+
 
Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình
( ) ( )
2
4 6 2x x x x m+ − ≤ − +
nghiệm đúng
[ ]
4,6x∀ ∈ −
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
5
Phương pháp hàm số trong giải toán
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình
2 2
3 6 18 3 1x x x x m m+ + − − + − ≤ − +
nghiệm
đúng
[ ]
3,6x∀ ∈ −
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình:
( )
12 5 4x x x m x x+ + = − + −
có nghiệm.
Giải: Chú ý: Nếu tính
( )

f x
′
rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn.
Thủ thuật: Đặt
( ) ( )
3
1
12 0 0
2
2 12
g x x x x g x x
x
′
= + + > ⇒ = + >
+

( ) ( )
1 1
5 4 0 0
2 5 2 4
h x x x h x
x x
−
′
= − + − > ⇒ = − <
− −

Suy ra:
( )
0g x >

và tăng;
( )
h x
> 0 và giảm hay
( )
1
0
h x
>
và tăng
⇒
( )
( )
( )
g x
f x
h x
=
tăng. Suy ra
( )
f x m=
có nghiệm
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
( )
[ ]
( )
0;4

0;4
min ;max 0 ; 4 2 15 12 ;12m f x f x f f
 
⇔ ∈   = = −
 
 
Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
x 1 3 2m x m+ ≤ − +
Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
( )
3
3 2
3 1 1x x m x x+ − ≤ − −
Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =



+ + + = −




Giải: Đặt
1 1
;u x v y
x y
= + = +
ta có
(
)
(
)
3
3
3
1 1 1 1
3 3x x x x u u
x x x
x
+ = + − × + = −
và
1 1 1 1 1
2 . 2 ; 2 . 2u x x x v y y
x x x y y
= + = + ≥ = = + ≥ =
Khi đó hệ trở thành
( )
3 3
5

5
8
3 15 10
u v
u v
uv m
u v u v m
+ =
+ =


⇔
 
= −
+ − + = −


⇔
,u v
là nghiệm của phương trình bậc hai
( )
2
5 8f t t t m= − + =
Hệ có nghiệm
( )
f t m⇔ =
có 2 nghiệm
1 2
,t t
thỏa mãn

1 2
2; 2t t≥ ≥
.
Lập Bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
với
2t ≥
t
−∞
– 2 2 5/2 +
∞
( )
f t
′
– – 0 +
( )
f t
+
∞
22
2
7/4
+
∞
Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm
7
2 m 22
4
m⇔ ≤ ≤ ∨ ≥

Bài tập 1: Chứng minh rằng ∀ m > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
ln(1 ) ln(1 )
x y
y x m
e e x y
− =


− = + − +


Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
6
Phương pháp hàm số trong giải toán
Bài tập 2: Tìm m để hệ:
4
7 7
x y
x y m

+ =


+ + + ≤


(m là tham số).
có nghiệm
( )
x; y

thỏa mãn điều kiện
9.x
≥
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
7
Phương pháp hàm số trong giải toán
III - Sử dụng tính đơn điệu, GTLN, GTNN của hàm số để chứng minh bất đẳng thức.
1) Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) < f(x) < f(b) với mọi x ∈
(a;b)
2) Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) > f(x) > f(b) với mọi x
∈ (a;b)
3) Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) với mọi x ∈
[a;b]
4) Định lý 4: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) ≥ f(x) ≥ f(b) với mọi x
∈ [a;b]
Chú ý: Định lí 1,2,3,4 dùng để chứng minh bất đẳng thức bằng cách xét hàm số.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng
2
2
sin
cos
x
x
x
<
với
0;
2
x
π

 
∈
 ÷
 
Giải: Xét hàm số f(x) =
sin
cos
x
x
x
−
, với
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
2 2
1 cos 2 cos cos (1 cos )
'( ) 0
2cos cos 2 cos cos
x x x x
f x
x x x x
+ − −
= > >
, ∀

0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
Do đó hàm số f(x) đồng biến trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
. Từ đó f(x) > f(0) ⇔
2
2
sin
cos
x
x
x
>
. đpcm
Bài tập 1: Chứng minh rằng
a)
2
1- cos
2!

x
x<
, với x ≠ 0.
b)
3
sin
3!
x
x x− <
, với x > 0.
c)
2 4
cos 1
2! 4!
x x
x < − +
, với x ≠ 0.
d)
3 5
sin
3! 5!
x x
x x< − +
, với x > 0.
e) e
x
≥ 1 + x , ∀ x∈ R.
f)
ln x
x

e
<
, với x > 0 và x ≠ e.
g)
2
ln x 1
2
1
x
x
<
−
, với x > 0 và x ≠ e.
h)
3
sinx
cosx
x
 
>
 ÷
 
, với
(0; )
2
x
π
∀ ∈
.
Bài tập 2: Chứng minh rằng

a)
sin tan 2x x x
+ >
, với
0
2
x
π
< <
.
b)
1 2
tan sin
2 3
x x x+ >
, với
0
2
x
π
< <
.
c)
(2 cos ) 3sinx x x+ >
, với x > 0
d)
2
sin x x
π
≥

, với
0;
2
x
π
 
∈
 
 
.
e)
(1 ) sin 4 (1 )x x x x x
π
− < ≤ −
, với x∈ (0;1)
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
8
Phương pháp hàm số trong giải toán
Bài tập 3: Chứng minh rằng:
a)
1
x x
e xe< +
, với x > 0
b)
2
1
x x
e x x e− − <
, với x > 0.

c)
2
. 1
x
x
x e e< −
, với x > 0.
d)
1
(1 )
x x
e x
+
< +
, với x > 0.
Bài tập 4: Chứng minh rằng
a)
(
)
2
1
ln 1 1 ln xx
x
+ + < +
, với x > 0.
b)
( )
ln 1
1
x

x
x
+ <
+
, với x > 0.
c)
( )
2
2
1 lnx x x− ≥
, với x > 0.
d)
( )
2
ln 1 cos ln 2
4
x
x+ < −
với
( )
0;x
π
∈
Bài tập 5: Chứng minh rằng:
a)
( )
sin tan x x≥
, với
0;
4

x
π
 
∈
 
 
.
b)
( )
tan sin x x≥
, với
0;
3
x
π
 
∈
 
 
.
Ví dụ 2: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình
2 2
2
12
12x 6 x 4 0m m
m

− + − + =
. Tìm m để
2 2
1 2
A x x= +
đạt GTNN, GTLN
Giải :
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
9
m
Phương pháp hàm số trong giải toán

Bài tập 1:Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình
2
2
1
0x ax
a
+ + =
. Tìm m để
4 4
1 2
P x x= +

đạt GTNN
Bài tập 2: Gọi x

1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình
2 2
( 1) 0x a x a− + + =
. Tìm GTNN của
1 2
1 1
P
x x
= +
Ví dụ 3: Tìm GTNN của
2 2
2 2
( ; ) 3 8
x y x y
f x y
y x
y x
 
 
= + − +
 ÷
 ÷
 
 
, với x,y≠ 0.
Giải:

Bài tập 1: Tìm GTNN, GTLN của
2
2
sin 2sin 3
sin 3sin 4
x x
P
x x
+ +
=
+ +
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
10
m
m
m
m
m
+
+
Phương pháp hàm số trong giải toán
Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của
2 2
sin 1 cos
2 2
x x
P
+
= +
Bài tập 3: Tìm GTNN, GTLN của

4 4 2 2
4 4 2 2
2
x y x y x y
P
y x
y x y x
   
 
= + − + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
, với x,y≠ 0.
Bài tập 4: Tìm GTLN,GTNN của
2
2
1 1
cos cos 4
cos
cos
P x x
x
x
= + + + −
Ví dụ 4: Cho x, y ≥ 0 thoả mãn x
2
+ y
2

= 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
4 2 1
2 2 3
y xy
P
xy x
+ −
=
− +
Giải:
Nếu x = 0 thì từ giả thiết x
2
+ y
2
= 1 ta có y = 1. Suy ra P = 1.
Nếu x ≠ 0 thì đặt y = tx, t ≥ 0 . Từ giả thiết ta có x
2
+ y
2
= 1 ⇔ x
2
+ t
2
x
2
= 1 ⇔
2
2

1
1
x
t
=
+
.
Ta có P =
2 2 2 2
2 2 2
4 2 1 3 2 1
2 2 3 3 2 1
t x tx t t
tx x t t
+ − + −
=
− + + +
.
Xét hàm số f(t) =
2
2
3 2 1
3 2 1
t t
t t
+ −
+ +
, f ’(t) =
2
2 2

12 4
(3 2 1)
t t
t t
+
+ +
, f ’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t =
1
3
−
(Loại)
Bảng biến thiên
t
0 + ∞
f ’(t) +
f(t)
1
-1
Từ bảng biến thiên ta có Min(P) = - 1 đạt được khi t = 0 ⇔ x = 1; y = 0.
Max(P) = 1 đạt được khi x = 0; y = 1.
Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x
2
+ y
2
= 1. Tìm GTNN, GTLN
của
2
2
2( 6x )
1 2x 2

x y
P
y y
+
=
+ +
.
Bài tập 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện xy ≤ y - 1. Tìm GTNN
của biểu thức
2 3
2 3
9
x y
P
y x
= +
Ví dụ 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x
2
+ xy + y
2
= 1. Tìm GTLN,GTNN của A = x
2
- xy + y
2
.
Giải:
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
11
Phương pháp hàm số trong giải toán
Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x

2
- xy + y
2
= 1. Tìm GTLN,GTNN của A = x
4
+ y
4
-
x
2
y
2
.
Ví dụ 6: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x
2
- xy + y
2
= xy(x + y). Tìm GTLN của
3 3
1 1
A
x y
= +
Giải:
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
12
Phương pháp hàm số trong giải toán
Bài tập 1: Cho x,y dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của
2 2
2 2

1 1
P x y
x y
= + + +
Bài tập 2: Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN
của biểu thức
( ) ( )
2 2
4x 3 4 3x 25xP y y y= + + +
.
Bài tập 3: Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn
( )
3
4x 2x y y+ + ≥
. Tìm GTNN của biểu
thức
( ) ( )
4 4 2 2 2 2
3 2 1A x y x y x y= + + − + +
Ví dụ 7: Cho hai số x,y ∈(0;1) thảo mãn x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức
( ; )
y x
f x y x y= +
Giải:
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
13
Phương pháp hàm số trong giải toán
Ví dụ 8: Cho
, , 0
1

a b c
a b c
≥


+ + =

. Chứng minh rằng:
7
2
27
ab bc ca abc+ + − ≤
.
Giải:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1 1 2a b c a bc a a a bc a a a u f u+ + − = − + − = − + − =

Đồ thị
( ) ( ) ( )
1 2 1y f u a u a a= = − + −
với
(
)
( )
2
2
1
0
2 4
a

b c
u bc
−
+
≤ = ≤ =
là một đoạn thẳng
với 2 giá trị đầu mút
( ) ( )
( )
2
1
7
1
0 1
2 4 27
a a
f a a
 + − 
= − ≤ = <
 
 
và
( )
(
)
( )
(
)
(
)

2
2
3 2
7 7
1 1 1 1 1
1 2 1 2
4 4 27 4 3 3 27
f a a a a a− = − + + = − + − ≤

Do đồ thị
( )
y f u=
là một đoạn thẳng với
( )
2
1
0; 1
4
u a
 
∈ −
 
 
và
( )
7
0
27
f <
;

( )
(
)
2
7
1
1
4 27
f a− ≤
nên
( )
7
27
f u ≤
. Đẳng thức xảy ra
1
3
a b c⇔ = = =

Bài tập 1: Cho
, , 0
3
a b c
a b c
≥


+ + =

Chứng minh rằng:

2 2 2
4a b c abc+ + + ≥
Bài tập 2: Chứng minh rằng:
( ) ( )
2 4,a b c ab bc ca+ + − + + ≤ ∀
[ ]
, , 0,2a b c ∈
.
Ví dụ 9: Cho x,y,z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
xyz
x y
P
x yz y xz z xy
= + +
+ + +
Giải :
Áp dụng trình tự các bước sau.
+)
2
( )
4
x y
xy
+
≤
, dấu bằng xảy ra khi x = y.
+) Nếu cho A, B > 0, m ≥ n > 0 và A < 2B thì
2 2A n A m
B n B m
+ +

≤
+ +
.
+) Nếu cho m ≥ n > 0,
. .

A n A m
A mn thi
A n A m
> ≤
+ +
.
+)
[ ]
2 2 2
2
2
(2)
2
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2
( )(1 )(1 ) ( ) 1 ( )
( )
( ) ( )
2
2
1
( )
( ) 1 ( )
4

x y x y
x yz y xz x y x z x y y z
x y x y x y x y xy
x y x y x y x y xy
x y
x y x y
z
x y
x y x y
+ = +
+ + + + + +
+ − + + − + +
= =
+ − − + − + +
+
+ − + +
≤ =
+
 
+
+ − + +
 
 
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
14
Phương pháp hàm số trong giải toán
+)
(3)
2
2

.
( ) 2 (1 )
( 1)
( )
2
4
z xy
z x y z z
z xy
z
x y
z
+ −
≤ =
+
+
 
+
+
 
 
+)
2
2 2 (1 )
,
1
( 1)
z z
P
z

z
−
≤ +
+
+
đặt
,0 1t z t= < <
. Xét hàm số
3 2 4 3 2
2 2 2 3
2
2( 1) 2( 2 6 2 1)
( ) , '( )
( 1) ( 1)
1 1
'( ) 0 ( ) 2( ) 8 0 2 3
( ) (2 3) ?
( ) (2 3) ?
t t t t t t t
f t f t
t t
f t t t t
t t
f t f
MaxP Maxf t f
− + + + − − − +
= =
+ +
= ⇔ + − + − = ⇔ = −
≤ − =

= = − =
Bài tập 1: Cho a,b,c>0 và
2 2 2
1a b c+ + =
.Chứng minh
2 2 2 2 2 2
3. 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Ta đã biết tiếp tuyến của hàm số y=f(x) tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên
đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị nên ta có nhận xét
sau
Nhận xét:Nếu y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )y f x=
tại điểm
0 0
( ; ) A x y

( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm x
0
sao cho
( ) f x ax b x I≥ + ∀ ∈
hoặc
( ) f x ax b x I≤ + ∀ ∈
.
Ví dụ 10: Cho
, , 0a b c >

và
6a b c
+ + =
. Cmr :
4 4 4 3 3 3
2( )a b c a b c+ + ≥ + +
Giải: Bđt cần chứng minh
( ) ( ) ( )
4 3 4 3 4 3
2 2 2 0a a b b c c⇔ − + − + − ≥
( ) ( ) ( ) 0f a f b f c⇔ + + ≥
với
4 3
( ) 2f x x x= −
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi
2a b c= = =
.
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
2x
=
là: y=8x-16
Ta có:
4 3 2 2
( ) (8 -16) 2 8 16 ( 2) ( 2 4) 0 f x x x x x x x x x− = − − + = − − + ≥ ∀

( ) 8 16 ( ) ( ) ( ) 8( ) 48 0f x x f a f b f c a b c⇒ ≥ − ⇒ + + ≥ + + − =
đpcm
Bài tập 1: Cho a,b,c>0 .Cmr:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 6

5
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
+ + +
+ + ≤
+ + + + + +
Bài tập 2: Cho a,b,c>0. Cmr :
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
5
( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
+ − + − + −
+ + ≥
+ + + + + +
Bài tập 3: Cho
, , 0a b c >
. Cmr:
1 1 1
( )( ) 4( ) 3
a b c
a b c
a b c b c c a a b
+ + + + ≥ + + +
+ + +
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
15

Phương pháp hàm số trong giải toán
IV - Ứng dụng của định lí Lagrăng
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng
(a;b) thì tồn tại giá trị c ∈ (a;b) sao cho
( ) ( )
'( )
f b f a
f c
b a
−
=
−
Chú ý: Định lý Lagrăng dùng để chứng minh bất đẳng thức và dùng để chứng minh một
phương trình có nghiệm x ∈ (a;b).
2) Hệ quả: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n. .Nếu pt
( )
( ) 0
n
f x =
có k nghiệm thì
Pt
( 1)
( ) 0
n
f x
−
=
có nhiều nhất (k+1) nghiệm .
Ví dụ 1: Cho các số thực a,b,c và số nguyên n>0 thoả mãn: 5c(n+2)+6(a+b)=0. Chứng minh
rằng phương trình

n n
a.sin . os .sinx+c=0x b c x c+ +
luôn có nghiệm trên
(0; )
2
π

Giải: Ta có:
5
2 6 2
a c b
gt
n n
⇔ + = −
+ +
(*)
Xét hàm số
2 n+2 3 2
sin os sin sin
( )
2 2 3 2
n
x c x x x
f x a b c c
n n
+
= − + +
+ +
trên
[0; ]

2
π
ta thấy f(x) thoả mãn
đk đ/l Lagrang trên
[0; ]
2
π
. Mặt khác ta lại có:
5
(0) ; ( )
2 2 2 6
b a c
f f
n n
π
= − = +
+ +
(0) ( )
2
f f
π
⇒ =
(do (*) ). Theo đ/l Lagrang thì pt f’(x) có nghiệm trên
(0; )
2
π
hay pt:
1 n+1 2
.sin . osx+cos sinx+c.sin . osx+c.sinx.cosx=0
n

a x c x x c
+
n n n n
sinx.cosx(asin . os inx+c)=0 a.sin . os .sinx+c=0x b c x cs x b c x c⇔ + + ⇔ + +
(vì sinx, cosx >0
trên
(0; )
2
π
) có nghiệm trên
(0; )
2
π
(đpcm)
Ví dụ 2: Cho 0<a<b. Chứng minh rằng :
ln
b a b b a
b a a
− −
< <
Giải:Bđt đã cho
1 ln ln 1b a
b b a a
−
⇔ < <
−
Xét hàm số f(x)=lnx trên [a;b]. Ta thấy f(x) thỏa mãn đk đ/l Lagrang trên [a;b] nên tồn tại số c:
a<c<b:
1 ( ) ( ) ln ln
'( )

f b f a b a
f c
c b a b a
− −
= = =
− −
. Vì
1 1 1
( ; )c a b
b c a
∈ ⇒ < <
Do đó ta có
1 ln ln 1b a
b b a a
−
< <
−
đpcm
Ví dụ 3: Giải phương trình:
osx osx
3 2 osx
c c
c= +

Giải: Đặt t=cosx;
[-1;1]t ∈
khi đó pt trở thành:
t t
3 2 3 2 0
t t

t t= + ⇔ − − =
, ta thấy pt này có
hai nghiệm t=0 và t=1 ta sẽ c/m đó là số nghiệm nhiều nhất mà pt có thể có:
Xét hàm số:
( ) 3 - 2 -
t t
f t t=
với
[-1;1]t ∈
ta có
'( ) 3 ln3 2 ln 2 1
t t
f t = − −
2 2
"( ) 3 ln 3 2 ln 2 0
t t
f x = − > ⇒
f’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm nên f(x) =0 có nhiều nhất hai
nghiệm từ đó ta có đpcm
Vậy pt có hai họ nghiệm:
2 ;
2
x k x k
π
π π
= = +

V - Sử dụng tính đơn diệu của hàm số để xét sự hội tụ của dãy số.
Ví dụ 1: Cho a > 1, dãy số (x
n

) xác định bởi x
1
= a,
1
n
x
n
x a
+
=
, ∀n ∈ N*. Hãy tìm điều kiện của
a để dãy số (x
n
) hội tụ
Giải: Ta có a > 1, suy ra dãy số (x
n
) tăng, vậy dãy số (x
n
) hội tụ khi và chỉ khi (x
n
) bị chặn.
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
16
Phương pháp hàm số trong giải toán
Điều kiện cần: Giải sử dãy số (x
n
) hội tụ và lim x
n
= x, vì (x
n

) là dãy số tăng nên ta có x
n
≥ x
1

suy ra x ≥ x
1
= a > 1.
1 1
limx lima
n n
x x
x
n n
x a x a
+ +
= ⇒ = ⇒ =

ln x
ln x ln lnx a a
x
⇒ = ⇒ =
.
Đặt f(x) =
2
ln x 1 ln x
, 1, '( )x f x
x
x
−

> =
. Từ bảng biến thiên ta có 0 < lna ≤
1
e
Điều kiện đủ: Khi 0 < lna ≤
1
e
, từ bảng biến thiên suy ra tồn tại x > 1 sao cho
ln x
ln
x
a x a
x
= ⇒ =
.
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh dãy số (x
n
) bị chặn trên bởi x.
Vì x > 1 nên ta có
1 1
x
x a a x x x= < = ⇒ <
Giả sử x
k
< x (với k ≥ 1) suy ra
1 1
k
x
x
k k n

x a a x x x x x
+ +
= < = ⇒ < ⇒ <
∀n ∈ N*.
Kết luận:
1
1
e
a e< <
.
Ví dụ 2: Cho dãy số (x
n
) được xác định bởi x
1
= b,
( )
2 2 2
1
2009
ln 2009 2009
3
n n
x x
+
= + −
, n∈N*.
Chứng minh rằng dãy số (x
n
) có giới hạn.
Giải:Xét hàm số

( )
2 2 2
2009
( ) ln 2009 2009
3
f x x= + −
. Ta có f’(x) =
2 2
2009 2x
.
3
2009x +
.
Do
2 2
2009 2.2009 | |x x+ ≥
nên |f’(x)|≤
1
3
, ∀ x∈ R.
Xét phương trình f(x) = x. Hay x - f(x) = 0. Đặt g(x) = x - f(x) Ta có g’(x) = 1 - f’(x) > 0
Hàm số g(x) đồng biến và liên tục trên R.
Mặt khác g(0) > 0 và g(-2009
2
) < 0 nên phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = a ∈(-
2009
2
; 0)
TH1: b = a suy ra x
n

= a. suy ra lim x
n
= a.
TH2: b ≠ a. Áp dụng ĐL Lagrăng cho hàm số y = f(x) ta có 0 <|x
n
- a| ≤
1
1
1
| |
3
n
x a
−
−
Do
1
1
lim 0
3
n−
=
nên limx
n
= a.
Bài tập 1: Cho dãy số (x
n
) xác định bởi x
1
= a ∈R,

( )
2
1
1
ln 1 2009
2
n n
x x
+
= + −
với n ∈ N*.
Chứng minh dãy số (x
n
) hội tụ.
Bài tập 2: Cho dãy số (x
n
) xác định bởi x
1
= a ∈R,
1
2x 3
ln
1
n
n n
n
x x
x
+
 

+
= +
 ÷
−
 
, với n ∈ N*.
Tùy theo giá trị của a xét sự hội tụ của dãy số (x
n
) .
Bài tập 3: Cho a> 0 và dãy số (x
n
) với x
1
= a,
( )
1
3
3
1 3
4
log 1
3
n n
x x
+
= + +
. Tính limx
n
Giáo viên : Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa
17