hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (329.19 KB, 32 trang )
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
14
PHẦN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP THẾ
Ví dụ 1: Giải HPT :
2 2
2 2
2 ( ) 3 (1)
( ) 10 (2)
y x y x
x x y y
− =
+ =
Giải :
+ Nếu x=0 thì y=0
+Nếu y=0 thì x=0
+Nếu
0
xy
≠
chia từng vế của PT(1) cho PT(2) ta có :
( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2 4
2 2
2 2
4
2 ( ) 3
20 ( ) 3 ( ) 3 17 20 0
5
10
3
=
−
= ⇔ − = + ⇔ − + = ⇔
+ =
x y
y x y x
y x y x x y x x y y
y
x x y
x y
-Nếu
2 2
4
x y
=
hệ ñã cho trở thành :
2 3
3
2 4
2 .3 3 2 2; 1
2
2; 1
2
.5 10 2 2
y x x y x x y
y x
x y
xy
x y y y
= = = =
=
⇔ ⇔ ⇔
= − = −
=
= =
-Nếu
2 2
5
3
x y
=
hệ ñã cho trở thành :
4
2
3
3
4
4
4
2
4
15 135
2
;
2 . 3
4 9
2
4 9
2 135
3
8
4 15
16 135
15 135
. 10
;
3
2
2 135
x y
y y x
y x
y x
xy
y
x y y
x y
= =
=
=
=
⇔ ⇔ ⇔
=
=
=
= − = −
KL : Vậy hệ ñã cho có nghiệm…
Ví dụ 2 : Giải HPT :
4
2 2
5 6 (1)
5 6 (2)
x y
x y x
+ =
+ =
(Chọn ðT ðồng Nai)
Giải :
Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta có :
( )
( )
4 2 2 2
2
5( ) 0 ( ) 5 0
( ) 5
x y
x x y y x x y x x y
x x y
=
− + − = ⇔ − + − = ⇔
+ =
-Nếu x=y thế vào (1) ta có :
( )
( )( )
4 2
2
5 6 0 3 2 1 0
1
x
x x x x x x
x
= −
+ − = ⇔ − + + − = ⇔
=
Với x=-2 thì y=-2
Với x=1 thì y=1
-Nếu
( )
2
2
5
5
x x y y x
x
+ = ⇒ = −
thế vào (1) ta có :
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
15
( )
4 6 3 2
2
5
5 6 5 6 25 0 *
x x x x x
x
+ − = ⇔ − − + =
Từ (1) ta có :
2 2
6
5 6 6
5
x x y x
= − ≤ ⇒ ≤
Do ñó :
3 2
3 2 6 3 2
6 6
5 6 5 6 25 5 6 25 0
5 5
x x x x x
+ ≤ + < ⇒ − − + >
nên (*) vô nghiệm
KL : (x ;y)=(-2 ;-2) ; (1 ;1).
Ví dụ 3 : Giải HPT :
2 2
1 1 (1)
2 0 (2)
x x y
y x y x y x
− − − =
+ + − =
(HSG tỉnh Quảng Bình)
Giải :
ðK :
0; 1 0
x x y
≥ − − ≥
Ta có :
(
)
( )
2
2
1 1 1 1 1 2 1
0
0
0
2 1
4( 1)
2 4
2 2
x x y x x y x y
y
y
y
y x y
y x y
y x
y x
⇔ = − − + ⇔ = − − + + − −
≥
≥
≥
⇔ = − − ⇔ ⇔ ⇔
= − −
+ =
+ =
PT (2)
2 2
2 0
y x y x y x
⇔ + + − =
(
)
2
2
y x xy y x y x
⇔ + = ⇔ + =
Ta có
2
1
2 2
; 1
2 2
2 2
4
2 2 ( 2)
2 0
4; 2
y x
x yy x
y x
y y y y
y y
y x y x
x y
+ =
= = −
+ =
+ =
⇔ ⇔ ⇔
+ + = +
− − =
+ =
= =
Ví dụ 4 : Giải HPT :
2 2
2
2 3 4 9 (1)
7 6 2 9 (2)
x y xy x y
y x x
+ = +
+ = +
(Chọn ðT Nha Trang)
Giải : Nếu
2
2 3 9 0
x x
+ − =
không thoả mãn PT(1) nên
( )
2
2
4
1
2 3 9
x
y
x x
⇔ =
+ −
PT(2)
2
2 9 6
7
x x
y
+ −
⇔ =
Do ñó ta có PT :
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
16
( )( )
( )( )
( )
2 2
2 2 2
2
2
4 2 9 6
28 2 9 6 2 3 9
2 3 9 7
2
1
2 2 1 2 9 27 0
2
9 3 33
4
x x x
x x x x x
x x
x
x x x x x
x
+ −
= ⇔ = + − + −
+ −
= −
⇔ + − + − = ⇔ =
− ±
=
-Với
16
2
7
x y
= − ⇒ = −
-Với
1 1
2 7
x y
= ⇒ = −
-Với
2
2
9 3 33 2 9 6
2 9 27 0 3
4 7
x x
x x x y
− ± + −
= ⇒ + − = ⇒ = =
Ví dụ 5 :Giải hệ phương trình :
1 2 7
3 1
7 24 7
1
21 1 2
7 24
x
y x
y
y x
+ =
−
− − =
−
Giải : ðiều kiện x > 0, y > 0.
Hệ ñã cho tương ñương
1 1
1 2
1 (1)
1
7 24 21 21
21
1 2
1 1 1
1
(2)
7 24
21 7 24
21 21
y x x y
x
y x
y y x
x y
= +
+ =
− −
⇔
− =
= −
−
− −
−
Nhân theo vế (1) và (2) ta có
1 1 1
7 24 21 21
y x x y
= +
−
2 2
21 ( )(7 24 ) 24 38 7 0
(6 )(4 7 ) 0
xy x y y x x xy y
x y x y
⇔ = + − ⇔ − − =
⇔ − + =
4
7
x
y
−
⇔ =
( vì x > 0, y > 0)
Thay vào (1) ta có 1 =
1 1
21 12
x x
+
2 7 11 4 7
84
2 21
x x
+ +
⇔ = ⇔ =
.
Suy ra y =
11 4 7
147
− −
.
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
17
PHƯƠNG PHÁP 2: ðẶT ẨN PHỤ
Ví dụ 6 : Giải HPT :
2 2
3 3 3
6
1 19
y xy x
x y x
+ = −
+ =
ðây là hệ pt thường gặp trong các kì thi HSG, TSðH
Giải :
+y=0 không thoản mãn hệ
+
0
y
≠
Ta có hệ tương ñương với
2 2
2 3 3
3
3
1 1
6 6
1 1 1
19 3 19
x x
x x
y y y y
x x x
x x x
y y y y y y
+ = − + = −
⇔
+ = + − + =
ðặt
1
t
y
=
hệ trở thành :
2 2
3 3 3
6
( ) 3 ( ) 19
x t x t
x t xt x t x t
+ = −
+ − + =
ðặt
2
( 4 )
S x t
S P
P xt
= +
≥
=
hệ trở thành :
2
3 3
6
3 19
S P
S SP P
= −
− =
Thay (1) vào (2) ta có :
3 6 3 3 3 6 3
0
6 18 19 6 0
1
6
P
P P P P P
P
=
− + = ⇔ + = ⇔
= −
-Với P=0 thì S=0 (loại)
Với
1
1 1
6
1
6 6
6
x t
P S
xt
+ =
= − ⇒ = ⇒
= −
Ví dụ 7 : Giải HPT :
2
2
7
12
xy y x y
x
x
y
+ + =
+ =
(HSG ðiện Biên)
Giải :
ðK :
0
y
≠
Hệ ñã cho tương ñương :
7
( ) 12
x
x y
y
x
x y
y
+ + =
+ =
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
18
ðặt
u x y
x
v
y
= +
=
hệ ñã cho trở thành :
7 3; 4
12 4; 3
u v u v
uv u v
+ = = =
⇔
= = =
-với
4
3 3
3
4 1
x y
u x
x
v y
y
+ =
= =
⇒ ⇔
=
= =
-Với
12
3
4
5
4
3 3
5
x y
x
u
x
v
y
y
+ =
=
=
⇒ ⇔
=
=
=
Vậy hệ ñã cho có nghiệm (x ;y)=(3 ;1),
12 3
;
5 5
Ví dụ 8: Giải hệ :
3 3
2 2
(27 35) 8 0
3 2 5
y x
x y x y
− + =
+ =
(HSG Phú Thọ V1 năm 2011-2012)
Giải :
Hệ ñã cho tương ñương với :
3
3
8
27 35
2
3 5
x
y
x
x
y y
+ =
+ =
ðặt
3
2
u x
v
y
=
=
hệ trở thành
3 3
3; 2
35
2; 3
( ) 5
u v
u v
u v
uv u v
= =
+ =
⇔
= =
+ =
-Với
3 3
3 1
2
2
2 1
x
u x
v y
y
=
= =
⇒ ⇔
=
= =
-Với
2
3 2
2
3
2
3
3 2
3
x
x
u
v
y
y
=
=
=
⇒ ⇔
=
=
=
Vậy hệ có nghiệm
( ) ( )
2 2
; 1;1 ; ;
3 3
x y
=
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
19
Ví dụ 9 : Giải hệ
1
3 3
1
2 8
x x y
y
x y
y
+ + + − =
+ + =
ðk :
1
0; 3; 0
x x y y
y
+ ≥ + ≥ ≠
ðặt
1
; 3; , 0
a x b x y a b
y
= + = + − ≥
Hệ ñã cho trở thành
2 2
3
2; 1
1; 2
5
a b
a b
a b
a b
+ =
= =
⇔
= =
+ =
-Với
2
1
a
b
=
=
ta có
2
4
1
1
1
2
4
3; 1
4
8 15 0
4
5; 1
4
3 1
4
3 1
x
x
x
x y
x
y
y
x x
x
x y
y x
x y
y x
x y
≠
+ =
+ =
= =
+ =
⇔ ⇔ ⇔ − + = ⇔
−
= = −
= −
+ − =
= −
+ − =
-Với
1
2
a
b
=
=
ta có
2
7
1
1
1
1
1
4 10; 3 10
1
8 6 0
7
4 10; 3 10
7
3 4
4
3 2
x
x
x
x y
x
y
y
x x
x
x y
y x
x y
y x
x y
≠
+ =
+ =
= − = +
+ =
⇔ ⇔ ⇔ − + = ⇔
−
= + = −
= −
+ − =
= −
+ − =
KL : Vậy hệ ñã cho có 4 nghiệm
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
; 3;1 ; 5; 1 ; 4 10;3 10 ; 4 10;3 10
x y = − − + + −
Ví dụ 10 : Giải hệ phương trình:
7 2 5
2 1
x y x y
x y x y
+ + + =
+ + − =
Gi
ả
i :
ð
i
ề
u ki
ệ
n:
7 0; 2 0
x y x y
+ ≥ + ≥
.
ðặ
t
(
)
7 , 2 , , 0
u x y v x y u v
= + = + ≥
, ta có:
2 2 2 2
7 2
;
5 5
u v v u
x y
− −
= =
. Ta có h
ệ
:
5
5
2 2 2 2
7 2
2
5 14 0
1
5 5
u v
u v
u v v u
v v
v
+ =
= −
⇔
− −
+ − =
+ − =
5
3
2
2
7
u v
u
v
v
v
= −
=
=
⇔ ⇔
=
= −
V
ớ
i
3; 2
u v
= =
ta có:
1; 2
x y
= =
. V
ậ
y
1; 2
x y
= =
.
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
20
Thay ñổi phương trình thứ hai ta có ñề thi HSGQG năm 2001
Ví dụ 11 : Giải HPT :
7 2 5
2 2
x y x y
x y x y
+ + + =
+ + − =
(HSGQG 2001)
Giải : ðK :
7 0;2 0
x y x y
+ ≥ + ≥
Cách 1 : Tương tự ví dụ trên ta có
5
5
2 2 2 2
7 2
2
5 13 0
2
5 5
5
5 77
2
5 77
2
u v
u v
u v v u
v v
v
u v
v
v
+ =
= −
⇔
− −
+ − =
+ − =
= −
− +
=
⇔
− −
=
Do
; 0
u v
≥
ta lấy ñược
15 77
2
5 77
2
u
v
−
=
− +
=
Từ ñó giải ñược
11 77
10 77;
2
x y
−
= − =
Cách 2: ðặt
t y x y x t
= − ⇒ = +
ta có HPT :
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
2 3
7 3
8 3
2 2
3 2
9 1 0
3 8 3 3 8 2
9 77
2
2 3
2 3
t
x y t
x t t
x y t
x t t
t t
t t t t
t
t
t
− ≤ ≤
+ = −
⇔ + = −
+ = +
+ = +
+ + =
− = − − +
− +
⇔ ⇔ ⇔ =
− ≤ ≤
− ≤ ≤
( )
2
2
10 77
3
11 77
2
t t
x
y x t
+ −
= = −
⇒
−
= + =
Cách 3 : ðặt
7
;( , 0)
2
u x y
u v
v x y
= +
≥
= +
. Hệ trở thành :
5
2
u v
v y x
+ =
= + −
Mặt khác :
( )( )
2 2
5
5 5
2
5 1
2
2 2
x
u v x u v u v x u v x v
x x
y x y
−
− = ⇔ − + = ⇒ − = ⇒ =
− +
⇒ = + − ⇒ =
thay vào hệ ta ñược :
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
21
( )
2
2
5
5
1 5
2
2 2
20 23 0
10 2 5
11 77
10 77
2
x
x
x x
x
x x
x x
x y
≤
≤
+ −
+ = ⇔ ⇔
− + =
+ = −
−
⇔ = − ⇒ =
Tương tự ta có
Ví dụ 12 : Giải hệ phương trình :
3 2
1
x y x y
x y x y
+ + + =
+ + − =
(ðề thi HSG Quảng NINH năm 2011-2012)
ðS :
( )
5 21
; 5 21;
2
x y
−
= −
Ví dụ 13: Giải Hệ phương trình :
4 2 2
2 1
x y x y
x y x y
+ + + =
+ + + =
( ðề thi HSG Nam ðịnh V2 năm 2011-2012)
Giải : ðK :
4 ;2
x y x y
≥ − ≥ −
ðặt
( )
4
; 0; 0
2
a x y
a b
b x y
= +
≥ ≥
= +
Ta có hệ
2 (1)
1 (2)
a b
b x y
+ =
+ + =
Ta có :
(
)
(
)
2 2
2 2( )
a b x a b a b a b a b x
− = = − + = − ⇒ − =
Ta có
2
2
(3)
2
a b
x
b
a b x
+ =
−
⇒ =
− =
Thay (3) vào (2) ta có :
2
1 2
2
x
x y x y
−
+ + = ⇔ = −
thay vào phương trình hai của hệ
ban ñầu ta có
( )
2
2
3 2 1 3 1
1
1
5 21
5 21
2
5 1 0
3 1
y y y y y
y
y
y x
y y
y y
− − + = ⇔ − = +
≥ −
≥ −
− +
⇔ ⇔ ⇔ = ⇒ = −
+ + =
− = +
Vậy hệ ñã cho có nghiệm
( )
5 21
; 5 21;
2
x y
− +
= −
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
22
PHƯƠNG PHÁP 3: SỬ DỤNG TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 14: Giải hệ
4 2 4
3 3
4 2 5
2 2
xy x
x y
y x
x y
− +
− + =
+ = +
Giải:
Xét hàm số
3
( ) 2
t
f t t
= +
trên
ℝ
-Ta có
2
'( ) 2 ln 2 3 0,
t
f t t t
= + > ∀ ∈
ℝ
nên
( )
f t
ñồng biến trên
ℝ
(
)
2 ( ) ( )
f x f y x y
⇔ = ⇔ =
Thay vào (1) ta có
( )
( )
2
2
2
4 2 4
4 2 4
2
2 4 4 4 2
4 2 5
5 4 2
2 8 5 4 8 4 3 0 1 2 3 0 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x x x x x
− +
− +
− +
− + =
⇔ − + =
≥ ⇒ − + ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ =
Vậy hệ ñã cho có nghiệm
(
)
(
)
; 1;1
x y =
Ví dụ 15: Giải hệ
3 3 2
2
3 4 2
1 2 1
y y x x x
x y y
+ = + + +
− − = − −
ðK:
1 1;0 2
x y
− ≤ ≤ ≤ ≤
( ) ( ) ( )
3
3
1 1 1
y y x x
⇔ + = + + +
Xét hàm số
3
( )
f t t t
= +
trên
ℝ
-Ta có
2
'( ) 3 1 0,f t t t
= + > ∀ ∈
ℝ
nên
( )
f t
ñồng biến trên
ℝ
(
)
1 ( ) ( 1) 1
f y f x y x
⇔ = + ⇔ = +
thay vào (2) ta ñược phương trình
2
2
1 1 1 1
1 1 1 1
x x x
x x x
− − + = − −
⇔ − = + + − −
ðặt ẩn phụ giải ñược nghiệm của phương trình này là
0
=
x
Vậy hệ ñã cho có nghiệm
(
)
; (0;1)
=x y
Tương tự ta có ñề thi HSG Quảng Ninh Bảng B năm 2011-2012:
Ví dụ 16: Giải hệ phương trình
( ) ( )
3 2
3
2 2 2
1 3 1 3
1 3 2 2 0
x x y y
x x y y
+ − + = −
+ − − − + =
ðáp số:
(
)
(
)
; 0;1
x y =
Ví dụ 17: Giải hệ
( ) ( )
3
2 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
x x y y
x y
+ + + = − −
+ + + =
( ðT Chuyên Lương Thế Vinh, ðồng Nai)
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
23
Giải:
ðK:
1
; 2
2
x y
≥ − ≥
Xét hàm số
3
( ) 2
f t t t
= +
trên
(
)
0;
+∞
-Ta có
(
)
2
'( ) 6 1 0, 0;f t t t
= + > ∀ ∈ +∞
nên
( )
f t
ñồng biến trên
(
)
0;
+∞
(
)
1 (2 1) ( 2) 2 1 2
f x f y x y
⇔ + = − ⇔ + = −
thay vào (2) ta ñược phương trình
4
4 8 2 4 6 (*)
y y− + + =
Xét hàm số
4
( ) 4 8 2 4 6
g y y y= − + + −
trên
(
)
2;
+∞
-Ta có
( )
( )
3
4
1 1
'( ) 0; 2;
2 4
4 8
g y y
y
y
= + > ∀ ∈ +∞
+
−
nên
( )
f t
ñồng biến trên
(
)
2;
+∞
Mà
(
)
6 0
g
=
nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất y=6. Từ ñó có
1
2
x
=
Vậy hệ ñã cho có nghiệm
( )
1
; ;6
2
x y
=
Ví dụ 18: Giải hệ phương trình:
( )
2
3
3
2 2 ( ) (2 ) 2
, .
2( 1) 1 0
x y x y
x y x y x y x y
x y
y x
− +
− = + + − − −
∈
− − + =
ℝ
(HSG Thanh Hóa 2011-2012)
Giải:
2
3
3
2 2 ( ) (2 ) 2 (1)
2( 1) 1 0 (2).
x y x y
x y x y x y x y
y x
− +
− = + + − − −
− − + =
+ ðiều kiện:
0, 2 0
x y x y
+ ≥ − ≥
(*).
+ Khi ñó:
2
(1) 2 (2 ) 2 2 ( )
x y x y
x y x y x y x y
− +
⇔ + − − = + + +
.
Xét hàm
( ) 2
t
f t t t
= +
, suy ra: (1) có dạng
(2 ) ( )
f x y f x y
− = +
.
Mặt khác
( )
f t
ñồng biến, do ñó (1)
2
x y x y
⇔ − = +
hay
2
x y
=
.
+ Thế vào (2), ta ñược:
3
3
1 2(2 1)
y y
+ = −
(3).
ðặt
3
2 1
y t
= −
, phương trình (3) trở thành hệ:
3
3
(2 1)
(2 1)
t y
y t
= −
= −
Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta ñược:
(
)
2 2
do 2(2 1) 2(2 1)(2 1) 2(2 1) 1 0 ,
t y y y t t y t
= − + − − + − + > ∀
Thế vào hệ:
3
(2 1)
y y
= −
3 2
8 12 5 1 0
y y y
⇔ − + − =
2
( 1)(8 4 1) 0
y y y
⇔ − − + =
1
y
⇔ =
.
1 2
y x
= ⇒ =
, thoả mãn (*).
Vậy hệ ñã cho có nghiệm (duy nhất):
( ; ) (2; 1)
x y
=
.
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
24
Với phương pháp sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm sô chúng ta thấy thường xuất
hiện hệ phương trình hệ hoán vị vòng quanh
HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH:
ðịnh nghĩa:Là hệ có dạng:
( ) ( )
1 2
( ) ( )
2 3
( ) ( )
1
f x g x
f x g x
f x g x
n
=
=
=
(I)
ðịnh lí 1: Nếu f,g là các hàm cùng tăng hoặc cùng giảm trên A và
( , , , )
1 2
x x x
n
là
nghiệm của hệ trên A thì
1 2
x x x
n
= = =
ðịnh lí 2:Nếu f,g khác tính ñơn ñiệu trên A và
( , , , )
1 2
x x x
n
là nghiệm của hệ trên
A thì
1 2
x x x
n
= = =
nếu n lẻ và
1 3 1
2 4
x x x
n
x x x
n
= = =
−
= = =
nếu n chẵn
Ví dụ 19 : Giải hệ:
2
2
2
1
1
1
x y y
y z z
z x x
= + −
= + −
= + −
Xét hàm số:
2
( ) 1
f x x x
= + −
, hàm số này ñồng biết trên
1
,
2
− +∞
, nghịch biến trên
khoảng
1
,
2
−∞ −
.
Dễ thấy
1 5 5 11
( ) ,
2 4 4 6
f x f f
≥ − = − − = −
. Ta có hệ phương trình sau:
( )
( )
( )
x f y
y f z
z f x
=
=
=
Từ hệ ta suy ra
5
, ,
4
x y z
≥ −
- Nếu
1 1 5 1 1
( )
2 2 4 2 2
x f y f y
≥ − ⇒ ≥ − > − = − ⇒ > −
(vì nếu
1
2
y
≤ −
thì từ ñiều
kiện
5 5 11 5
( )
4 4 6 4
y f y f
≥ − ⇒ ≤ − = − < −
).
- Tương tự ta cũng có
1
2
z
≥ −
vậy trong trường hợp này
1
, ,
2
x y z
≥ −
- Giả sử
( ) ( ) ( ) ( ) z x x=y=z
x y f y f z y z f y f z
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒
- Thay vào phương trình ñầu tiên của hệ ta ñược:
2
1 1
x x x x
= + − ⇔ = ±
nghiệm x = -1 loại.
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
25
Vậy trong trường hợp này hệ có nghiệm x = y = z = 1
- Nếu
1
2
x
< −
lý luận tương tự như trường hợp trên ta ñược x= y = z = -1
Kết luận: Hệ ñã cho có hai nghiệm phân biệt là x = y = z = 1 và x= y = z = -1
Ví dụ 20: Giải hệ phương trình :
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
2 3
2 3
2 3
2 3 3
2 3 3
2 3 3
x x y x
y y z y
z z x z
+ = − +
+ = − +
+ = − +
(HSG Phú Thọ V1 năm 2010-2011)
Giải :
Hệ ñã cho tương ñương
3 2 3
3 2 3
3 2 3
2 3 3 3
2 3 3 3
2 3 3 3
x x x y
y y y z
z z z x
+ + = +
+ + = +
+ + = +
Xét hàm số
3 2
( ) 2 3 ,f t t t t t
= + + ∈
ℝ
. Ta có
2
'( ) 3 4 3 0,
f t t t t
= + + > ∀
nên
( )
f t
là HSðB
trên
ℝ
Nếu
3 3
( ) ( ) 2 3 2 3
x y f x f y y z y z
≥ ⇒ ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ ≥
3 3
( ) ( ) 2 3 2 3
f y f z z x z x x y z x x y z
⇒ ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ ⇒ ≥ ≥ ≥ ⇒ = =
Tương tự nếu
x y x y z x x y z
≤ ⇒ ≤ ≤ ≤ ⇒ = =
Vậy
x y z
= =
thay vào ta có pt
3 2
1
3
2 2 3 3 0
2
3
2
x
x x x x
x
=
− − + = ⇔ =
= −
vậy hệ ñã cho có nghiệm
( ) ( )
3 3 3 3 3 3
; ; 1;1;1 ; ; ; ; ; ;
2 2 2 2 2 2
x y z
= − − −
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
26
PHƯƠNG PHÁP ðÁNH GIÁ BẰNG BẤT ðẲNG THỨC
Ví dụ 21: Giải hệ phương trình:
(2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3)
4
x x y y x y
y x xy
+ − + + − = + +
+ =
(HSG lóp 10 Vĩnh Phúc năm 2011-2012)
Giải:
(2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3) (1)
4 (2)
x x y y x y
y x xy
+ − + + − = + +
+ =
ðiều kiện xác ñịnh:
1 1
;
4 4
x y
≥ ≥
(2) (4 1) 4 1 4 1
x y
x y x x y
y x
⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −
thay vào (1) ta ñược :
(2 3) (2 3) 2 (2 3)(2 3)
x y
x y x y
y x
+ + + = + +
Do
(2 3) (2 3) 2 (2 3)(2 3)
x y
x y x x
y x
+ + + ≥ + +
Suy ra
(1) (2 3) (2 3) ( )(2 2 3) 0
x x y y x y x y
⇔ + = + ⇔ − + + =
x y
⇔ =
thay vào (2) ta ñược
2
0 ( )
2 0
1 1
2 2
x
x x
x y
=
− = ⇔
= ⇒ =
lo¹i
Vậy hệ phương trình có nghiệm
1 1
;
2 2
.
Ví dụ 22: Giải hệ phương trình:
(
)
( )
( )
2 4 2 5 2 2
2
2 3 2
9 8 16 3 1
1 16_ 2 5
x y x y y y x y
x y x y x y
+ − = − +
+ − = − +
(HSG ðồng Tháp V2 năm 2011-2012)
Giải: ðK:
2 4 2
9 8 0
x y x y
+ − ≥
Hệ tương ñương với
( )
( )
2
2 6 2 3
2
2 3 4
25 4 16 3
1 16 2 5
x y y x y y
x y x y x y
− − = − +
+ + − = − +
Trừ vế với vế của 2 phương trình trên ta có
( )
( )
( )
2 2
2
2 2 2
25 4 1 16 2 4 (*)
x y x y x y− − = + + − + −
Ta có
(*) 5; (*) 5
VT VP
≤ ≥
Do ñó
2
2 3
4 0
2
(*) 2 0
1
4 0
x y
x
x y
y
x y
− =
=
⇔ − = ⇔
=
− =
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
27
Vậy hệ ñã cho có nghiệm
(
)
; (2;1)
x y =
Ví dụ 23 : Giải hệ phương trình
=+−−++
=+
0443
81
698
22
24
yxxyyx
yx
Giải hệ phương trình
=+−−++
=+
0443
81
697
22
24
yxxyyx
yx
Từ phương trình (2) ta có:
044)3(0443
2222
=+−+−+⇔=+−−++ yyyxxyxxyyx
Phương trình này có nghiệm
3
7
1
0)44(4)3(
22
≤≤⇔
≥
+
−
−
−
=
∆
⇔
y
yyy
L
ậ
p lu
ậ
n t
ươ
ng t
ự
ta có:
3
4
0 ≤≤ x
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i pt 1 ta có
81
697
24
≤+ yx
D
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
=
=
3
7
3
4
y
x
V
ậ
y h
ệ
pt
ñ
ã cho có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
=
=
3
7
3
4
y
x
Ví dụ 24 : Giải hệ phương trình:
2
2
2
, (0 1).
x y a
y z a a
z x a
= +
= + < <
= +
Giả sử
2 2 2 2
{ , , } { , , }
x Max x y z z Max x y z
= ⇒ =
.
Nếu
1 1
0 { , , }
2 4
z z Max x y z x y z a
≥ ⇒ = ⇒ = = = − + +
Nếu
0 0
z x
< ⇒ <
, vì nếu
2 2
0 0
x z a z a a y
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ − < − ⇒ <
(mâu thuẫn).
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
28
2 2
0 0
y x y z x y a z a y x y
⇒ ≤ ⇒ > ≥ ≥ ⇒ = + ≥ + = ⇒ ≤
1 1
2 4
x y z a
⇒ = = = − − +
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm.
Ví dụ 25: Giải hệ phương trình sau ẩn x; y:
2 3 2
2 2 2
3 4 2 0
2 0
x y x x
x y x y
+ − + =
− + =
Gi
ả
i::
H
ệ
ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i:
3 2
2 2 2
( 3) 4 2 0 (1)
2 0 (2)
y x x
y x x y
+ − + =
− + =
N
ế
u y
3
+3= 0 thì x=2 không th
ỏ
a mãn h
ệ
.
N
ế
u y
3
+3
≠
0 : (1) có nghi
ệ
m
⇔
,
∆
≥
0
⇔
1
y
≤ −
N
ế
u y = 0 thì x=0 không th
ỏ
a mãn.
N
ế
u y
≠
0: (2) có nghi
ệ
m
⇔
1 1
y
− ≤ ≤
T
ừ
ñ
ó suy ra y = -1. thay vào
ñượ
c x = 1.
Th
ử
l
ạ
i: x=1; y=-1 th
ỏ
a mãn.
Vây h
ệ
ñ
ã cho có nghi
ệ
m:
1
1
x
y
=
= −
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
29
Bài tập tổng hợp
Bài 1: Giải HPT :
( )
2 2
2 2
1 1
2 (1)
2
1 1
(2)
2
x y
x y
y x
x y
+ = +
− = −
(HSG tỉnh Quảng Ninh)
Giải : ðK :
0
xy
≠
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có :
2 2 3 2
2
3 2 3
x y x xy
x
= + ⇔ = +
Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta có :
2 2 2 3
1
3 1 3
x y x y y
y
= + ⇔ = +
Ta có hệ
( )
( )
3
3
3 2
3
3 2 3
3
3 1
3
2 3
3
2
1
1 3
3 1
1
2
x
x y
x xy
x y
x y
y x y
x y
y
+
=
= +
= +
+ =
⇔ ⇔ ⇔
− =
= +
−
= −
=
Tương tự, giải hệ
( )
( )( )
4 4
2 2 2 2
1 1
2
2
1 1
3 3
2
y x
x y
x y x y
x y
− = −
+ = + +
Bài 2 : Giải hệ phương trình
3 2
2 2
3 49 (1)
8 8 17 (2)
x xy
x xy y y x
+ = −
− + = −
(HSGQG bảng B năm 2004)
Giải:
Cách 1:
Ta thấy x=0 không thỏa mãn hệ
( )
3
2
49
1 (*)
3
x
y
x
+
⇒
= −
Thế vào (2) ta ñược
3
2 2 3 2
2
2
49
8 8 17 24 ( ) 2 51 49
3
1
24 ( 1) ( 1)(2 49 49)
2 49 49
24
+
− − = − ⇔ + = + −
= −
⇔ + = + + − ⇔
+ −
=
x
x xy y x y x x x x
x
x
xy x x x x
x x
y
x
- Với x=-1 thế vào (*) ta ñược
4
y
= ±
- Với
2
2 49 49
24
x x
y
x
+ −
=
thế vào (*) ta ñược
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
30
( )
( )
3 2
2 3 2 2
2
4 3 2 2
49 2 49 49
=( ) 192 ( 49) (2 49 49)
3 24
4 4 45 94 49 0 1 4 4 49 0 1
+ + −
− ⇔ − + = + −
⇔ + + + + = ⇔ + − + = ⇔ = −
x x x
x x x x
x x
x x x x x x x x
Vậy hệ ñã cho có nghiệm
(
)
(
)
(
)
; 1;4 ; 1; 4
x y
= − − −
Cách 2: Nhân 2 vế của phương trình (2) với 3 rồi cộng với (1) ta ñược:
( ) ( )
3 2 2 2
3 2 2
2
2
3 3 24 3 24 51 49
3 3 1 3 ( 1) 24 ( 1) 48( 1) 0
1 1 3 24 48 0
1
x x xy xy y y x
x x x y x y x x
x x y y
x
+ + − + = − −
⇔ + + + + + − + + + =
⇔ + + + − + =
⇔ = −
Cách 3:
ñặt
2
2
u v
x
x y u
x y v u v
y
+
=
+ =
⇔
− = −
=
Từ hệ ñã cho ta có hệ phương trình
3 3 3 3
2 2 2 2
98 27 125 (1)
3 5 9 25 3 9 5 25 (2)
u v u v
u v u v u u v v
+ = − − = − −
⇔
− + = − − − + = − −
Nhân 2 vế của phương trình (2) với 3 rồi cộng với phương trình (1) ta có:
( ) ( )
3 3
3 5 2
u v u v
− = − + ⇔ = − −
thế vào (1) ta ñược
2
3
2 15 0
5
v
v v
v
=
+ − = ⇔
= −
-Với
(
)
(
)
3; 5 ; 1; 4
v u x y
= = −
⇒ = − −
-Với
(
)
(
)
5; 3 ; 1;4
v u x y= − =
⇒ = −
Bài 3: Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
1 1 (1)
1 (2)
x x y y
x y xy
+ + = + −
+ − =
(HSG Hải Dương V1 năm 2011-2012)
Giải: ðK:
1
y
≥
( )
( )( )
( )( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
2 2 1 1
1 1 1
1
x y y x
x xy y y x y x
xy y x x y x y x y
x y
⇔ − = − − +
⇒ − + = + − − +
⇔ = − + ⇔ = − + −
⇔ − = −
- Ta có hệ
2 2
2
2 2
1 0
2 0
2
1
x y x
x xy
y x
x y xy
− = − =
⇒ − = ⇔
=
+ − =
- Nếu
0
x
=
thay vào (2) ta có
2
1 1
y y
= ⇔ = ±
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
31
- Nếu
2
y x
=
thay vào (2) ta có
2 2
1 1 2
3 1
3
3 3
x x x y= ⇔ = ⇔ = ± ⇒ = ±
- Thử lại ta có nghiệm
( ) ( )
1 2
; 0;1 ; ;
3 3
x y
=
Bài 4 :Giải HPT:
3 3
2 2
35 (1)
2 3 4 9 (2)
x y
x y x y
− =
+ = −
(HSG Yên Bái)
Giải:
(
)
(
)
(
)
2 2
2 6 12 8 9 12 27 35
x x y y
⇔ − + + + + =
Thay vào (1) ta có
(
)
(
)
( ) ( )
3 3 2 2
3 3
6 12 8 9 12 27
2 3 2 3 5
x y x x y y
x y x y x y
− = − + + + +
⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = +
Thế vào (2) :
2
2
5 25 30 0
3
y
y y
y
= −
+ + = ⇔
= −
-Với y=-3 thì x=2
-Với y=-2 thì x=3
Bài 5: Giải HPT:
4 3 3 2 2
3 3
9 9 (1)
( ) 7 (2)
x x y y y x x y x
x y x
+ + = + +
− =
Giải:
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
4 3 3 2 2
2
1 9 0
9 0
x xy x y x y x y
x y x x y
⇔ − + − − − =
⇔ − + − =
Từ
(
)
2
x y
⇒ ≠
Nên
(
)
(
)
(
)
2
1 9 *
x x y⇔ + =
Từ
( )
3 3 3
3
7 7
2 y x y x
x x
⇔ − = ⇔ = +
thế vào (*) ta có
2
3 3 3 6 2 4 2
3
3
7
9 2 7 ( 7)
x x x x x x x x x
x
+ + = ⇔ + + + +
(**)
Tư (*) ta có x>0
Xét hàm số
( )
3 3 6 2 4 2
3
( ) 2 7 ( 7) , 0;f x x x x x x x x
= + + + + ∈ +∞
F(x) ðB trên
(
)
0;
+∞
mà f(1)=9 nên (**) có nghiệm duy nhất x=1
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2).
Bài 6: Giải HPT:
3
2 2 3 2 (1)
6 1 4 (2)
x y x y
x y
+ = − −
+ + − =
Giải: ðK:
2 0; 1
x y y
+ ≥ ≤
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
32
( ) ( )
2 1
1 2 2 2 3 0 1 2
2 3( )
x y
x y x y y x
x y l
+ =
⇔ + + + − = ⇔ ⇔ = −
+ = −
Thay vào (2) ta có:
3
6 2 4(*)
x x+ + =
Xét hàm số
(
)
[
)
3
6 2 , 0;f x x x x
= + + ∈ +∞
Ta có f(x) là HSðB trên
[
)
0;
+∞
mà f(2)=4 nên (*) có nghiệm duy nhất x=2
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;-3).
Bài 7 : Giải HPT :
1
3 1 2 (1)
1
7 1 4 2 (2)
x
x y
y
x y
+ =
+
− =
+
(HSGQG 1996)
Giải :
ðK :
, 0
x y
≥
Vì x=0 hoặc y=0 không thoả mãn hệ nên hệ ñã cho tương ñương
1 2
1 2 2
1
1 (3)
3
3 7
1 4 2
1 1 2 2
1
(4)
7
1
3 7
x y
x
x y
x y
y
x
x y
+ =
= +
+
⇔
− =
= −
+
+
Nhân vế với vế của (3) và (4) ta có :
( )( )
( )( )
2 2
1 1 2 2 1 2 2 1 8
1 3 7
3 7 3 7
21 7 24 24 38 7 0
6 4 7 0 6 ,( , 0)
x x y
x y x y
xy x y y x x xy y
x y x y y x x y
= + − = −
+
⇔ = + − ⇔ + − =
⇔ − + = ⇔ = >
Thay y=6x vào (3) ta có
1 2 11 4 7 22 8 7
1
21 7
3 7
x y
x x
+ +
= + ⇔ = ⇒ =
Bài 8 : Giải hệ phương trình :
12
(1)
15 (2)
x y
x y
x y x y
xy
−
− + =
+ +
= −
(HSG An Giang V 1 năm 2011-2012)
Giải : ðK :
( )
2 2
2
02 0
x y
x y x y
x y
x y
x y
≥
− −
≥ ⇔ ≥ ⇔
+
≠ −
+
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
33
Hệ ñã cho tương ñương với :
( )
2 2
12 (1)
15 (2)
x y
x y x y
x y
xy
−
− + + =
+
= −
Xét 2 trường hợp :
• Nếu
0
x y
+ >
. Khi ñó
( )
2 2 2 2
1 12
x y x y
⇔ − + − =
ðặt
2 2
;( 0)
t x y t
= − ≥
phương trình trên trở thành
2
3
12 0
4( )
t
t t
t l
=
+ − = ⇔
= −
Với
3
t
=
ta có hệ
2
2
4 2
2 2
2
2
9 3 109
225
2
9
9 225 0
9
9 3 109
15
( )
15
15
2
15
9 3 109 3 109 9
;
2 2
9 3 109 3 109 9
;
2 2
x
x
x x
x y
x
x l
xy
y
y
x
x
y
x
x y
x y
+
=
− =
− − =
− =
−
⇔ ⇔ ⇔
=
= −
= −
= −
= −
+ −
= = −
⇔
+ −
= − =
Kết hợp ðK
0
x y
+ >
ta thu ñược
9 3 109 3 109 9
( ; ) ( ; )
2 2
x y
+ −
= −
• Nếu
0
x y
+ <
giải tương tự ta thu ñược hệ phương trình
2
4 2
2 2
2
2
2
225
16
16 225 0
16
15
15
15
25
5; 3
9( )
5; 3
15
x
x x
x y
x
xy
y
y
x
x
x
x y
x l
x y
y
x
− =
− − =
− =
⇔ ⇔
= −
= −
= −
=
= = −
= −
⇔ ⇔
= − =
= −
Kết hợp ðK
0
x y
+ <
ta có
(
)
(
)
; 5;3
x y = −
Bài 9 : Giải HPT :
2 2
2 2
3 2
1
1
2
4
y
x y x
x
x y
y
+ =
+ −
+ − =
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
34
Giải : ðK :
2 2
0; 1.
xy x y
≠ + ≠
ðặt
2 2
1
; 0
a x y
ab
x
b
y
= + −
≠
=
Hệ ñã cho trở thành :
2
3 2 3 2
2 3
1; 1
1 1
2 3
9; 3
2 3 0
2 3 2 3
a b
a b
a b b b
a b
b b
a b a b
= +
= = −
+ = + =
⇔ ⇔ ⇔
+
= =
− − =
− = = +
- Với
1
1
a
b
=
= −
ta có
2 2
1; 1;
2
1; 1
x y
x y
x y
x y
= = −
+ =
⇔
= − =
= −
- Với
9
3
a
b
=
=
ta có :
2 2
3; 1
10
3; 1
3
x y
x y
x y
x y
= =
+ =
⇔
= − = −
=
Bài 10 : Giải hệ phương trình:
2 3 2
4 2
1
( , )
(2 1) 1
x x y xy xy y
x y
x y xy x
+ − + − =
∈
+ − − =
ℝ
.
(HSG lớp 10 Vĩnh Phúc 2011-2012)
Giải:
Ta có
( )
2 2
2 3 2
2
4 2
2
( ) ( ) 1
1
(2 1) 1
1
x y xy x y xy
x x y xy xy y
x y xy x
x y xy
− + − + =
+ − + − =
⇔
+ − − =
− + =
ðặt
2
a x y
b xy
= −
=
. Hệ trở thành:
2
1
1
a ab b
a b
+ + =
+ =
(*)
Hệ
3 2 2
2 2
2 0 ( 2) 0
(*)
1 1
a a a a a a
b a b a
+ − = + − =
⇔ ⇔
= − = −
Từ ñó tìm ra
{
}
( ; ) (0;1); (1; 0); ( 2; 3)
a b ∈ − −
* Với
( ; ) (0;1)
a b
=
ta có hệ
2
0
1
1
x y
x y
xy
− =
⇔ = =
=
.
* Với
( ; ) (1; 0)
a b
=
ta có hệ
2
1
( ; ) (0; 1);(1;0);( 1;0)
0
x y
x y
xy
− =
⇔ = − −
=
.
* Với
( ; ) ( 2; 3)
a b
= − −
ta có hệ
2
3 2
3 3
2
1; 3
3
2 3 0 ( 1)( 3) 0
y y
x y
x y
x x
xy
x x x x x
= − = −
− = −
⇔ ⇔ ⇔ = − =
= −
+ + = + − + =
.
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm
{
}
( ; ) (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3)
x y
∈ − − −
.
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
35
Bài 11: Giải HPT :
2 2 4
2 5 2 5 6
x y
x y
+ =
+ + + =
(HSG Bà Rịa- Vũng Tàu)
Giải :
ðK :
, 0
x y
≥
Cộng vế với vế của 2 PT trong hệ ta có :
(
)
(
)
2 2 5 2 2 5 10
x x y y
+ + + + + =
-Trừ về với vế của 2 PT trong hệ ta có :
(
)
(
)
2 5 2 2 5 2 2
5 5
2
2 5 2 2 5 2
x x y y
x x y y
+ − + + − =
⇔ + =
+ + + +
-ðặt
( )
2 5 2
; , 0
2 5 2
a x x
a b
b y y
= + +
>
= + +
Ta có HPT :
2
10 10
10
5
5 5 5 5
5
2 2
50 20 2
10
a b b a
b a
a
b
a a
a b a a
+ = = −
= −
=
⇔ ⇔ ⇔
=
+ = + =
= −
−
.
Xét PT :
2 5 2 5 2 5 5 2
25
0
5 2 0
4
2
2 5 25 10 2 2
2 2
x x x x
x
x
x
x x x
x
+ + = ⇔ + = −
≤ ≤
− ≥
⇔ ⇔ ⇔ =
+ = − +
=
Tương tự ta có y=2
Vậy hệ ñã cho có nghiệm (x ;y)=(2 ;2).
Tương tự giải hệ
2 2 6
2 7 2 7 8
x y
x y
+ =
+ + + =
Bài 12: giải HPT :
2
1 2
(1)
3 3 2
2(2 ) 2 6 (2)
x x x
x y x y
x y x y
+
+ =
+
+ = + −
ðK :
3; 0, 0
x y x
≥ − > ≠
ðặt
2 2 2
0kx
y kx
y k x
>
= ⇔
=
PT (1) trở thành :
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2
1 2
2 1 0 2
3 3 2
x x kx
k k k k
x k x x k x
+
+ = ⇔ − + + = ⇔ =
+
-Với k=2
2 ; 0; 0
y x x y
⇒ = > >
PT(2) trở thành :
2 2
3
4 8 2 6 2 4 1 1
2
x
x x x x x
+
+ = + ⇔ + − = −
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
36
ðặt
3
1
2
x
t
+
= −
ta có HPT :
2
2
2 4 1 (3)
2 4 1 (4)
0; 1
x x t
t x x
x t
+ − =
+ − =
> ≥ −
Từ (3) và (4) ta có x=t
2
3 3 17
1 2 3 1 0 ;
2 4
3 17 13 3 17
0
4 2
x
x x x x
x x y
+ − ±
⇒ = − ⇔ + − = ⇔ =
− + −
> ⇒ = ⇒ =
Bài 13 : Giải HPT :
( )
4 4
3
2 2
2 (1)
3 (2)
x x y y
x y
− = −
− =
Bài toán này chúng ta không nhẩm ñược nghiệm, không chọn ñược hàm ñể khảo
sát.
Giải :
ðặt
3
3
x y a
x y b
c
+ =
− =
=
2
2
a b
x
a b
y
+
=
⇒
−
=
Khi ñó PT(2) :
(
)
3
3
ab c ab c
= ⇔ =
( )( )
( )
4 4 2 2 2 2
1
( )
2
x y x y x y x y ab a b
⇒ − = − + + = +
Và
3
3
2
2 2
a b a c b
x y
+ +
− = =
PT(1) trở thành :
( ) ( )
2 2 3 2 2 3
1 1
( )
2 2
ab a b a c b c a b a c b
+ = + ⇔ + = +
Ta có hệ
(
)
2 2 3
(3)
(4)
c a b a c b
ab c
+ = +
=
Từ
( )
4
c
b
a
⇒ =
thay vào (3) ta có :
( )
( )
2 4
2 4 3 3 4
2
3 3
1
1 0
c c
c a a ca c a ac
a a
a
ac a c
c
a c
+ = + ⇔ + = +
=
⇔ − − = ⇔
=
-Nếu
2
1
a b c
c
= ⇒ =
ta có :
( )
( )
3
3 3
3
3 3
1 1 1 2
9
2 2
3 3
1 1 1 1
9
2 2
3 3
x a b
y a b
= + = + =
−
= − = − =
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
37
-Nếu
1
a c b
= ⇒ =
ta có :
( )
( )
3
3
1 3 1
2 2
1 3 1
2 2
x a b
y a b
+
= + =
−
= − =
Tương tự, giải hệ :
( )
4 4
5
2 2
3 1
4 2
5 0
x y
y x
x y
− = −
− + =
Bài 14: Giải HPT :
5( ) 6( )
4
6 5
6( ) 4( )
5
4 6
4( ) 5( )
6
5 4
x y x z
x y xy x z xz
z y x y
z y zy x y xy
x z y z
x z xz y z yz
+ +
+ =
+ + + +
+ +
+ =
+ + + +
+ +
+ =
+ + + +
(Chọn ðT PTNK, TP HCM)
Giải :
ðặt
; ;
6 4 5
x y y z z x
a b c
x y xy y z yz z x zx
+ + +
= = =
+ + + + + +
Hệ ñã cho trở thành :
1
4 5
8
5 6 4
6
3
6 4 5 4 6 5
4
4 5 6
4 5
9
5 4 6
6
16
a a
c
a c
b a a b b
c b
a
b
c
− =
=
+ =
+ = ⇔ + = ⇔ =
+ =
−
+ =
=
Từ ñó ta có
1 1 6
1 33 14
7
14 33
7( ) 6
1 1 1 45 14
12 12
14 45
7( ) 45
14
1 1 45 1 123
124
7 14
x
x y
x
x y xy
y z yz y
y z y
z x zx
z
z x z
+ =
= − = −
+ =
+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =
+ =
=
+ = =
Bài 15: Giải hệ phương trình :
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2 4
2 4
2 3
x y z
z y x
z x y
− = +
− = +
+ = +
(HSG Vĩnh Phúc 2011-2012)
Giải :
Chuyên ñề học sinh giỏi
Ph
ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ
38
Hệ ñã cho tương ñương với
(
)
(
)
( )( )
( )( )
2 2 4
2 2 2
2 2 3
x y z x y z
z y x z y x
z x y z x y
− − − + =
− − − + =
+ − + + =
ñặt
2
x u
y v
=
− =
ta có hệ trở thành
( )( )
( )( )
( )( )
4
4
2
2
3
3
u v z
u v z
u v z u v z
u v z u v z u v z
u v z
u v z u v z
u v z
u v z
+ − =
+ +
+ − + + =
− + + + + = ⇔ − + + =
+ +
− + + + =
− + =
+ +
Cộng vế với vế của 3 phương trình trên ta có
( )
2
3
9
9
3
u v z
u v z u v z
u v z
u v z
+ + =
+ + = ⇔ + + = ⇔
+ + = −
+ +
Nếu
( )
7 5 7 5
3 ; 1; ; ; ; 1;
6 6 12 6
u v z u v z x y z
+ + = ⇒ = = = ⇒ = −
Nếu
( )
7 5 7 5
3 ; 1; ; ; ;1;
6 6 12 6
u v z u v z x y z
+ + = − ⇒ = − = − = − ⇒ = − −
Bài 16 : Giải hệ
3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
y x x x y
y x xy x
+ − = − −
= − + +
ðK:
1 1
x
− ≤ ≤
ðặt
2
1 1
a x x a
= − ⇒ = −
thay vào phương trình (1) ta có:
3 2 3 3
2 2(1 ) 3 2 2 (*)
y a a a y y y a a
+ − = − ⇔ + = +
Xét hàm số
3
( ) 2
f t t t
= +
trên
ℝ
-Ta có
2
'( ) 6 1 0,f t t t
= + > ∀ ∈
ℝ
nên
( )
f t
ñồng biến trên
ℝ
(
)
1 ( ) ( ) 1
f y f a y a y x
⇔ = ⇔ = ⇒ = −
thay vào phương trình (2) ta có:
2 2
1 2 1 2 1
x x x x
− = − + −
ðặt
[
]
cos ; 0;
x t t
π
= ∈
phương trình trên trở thành:
2 2
2
1 cos 2cos 1 2cos 1 os
2sin os2 sin 2
2
2 sin 2 sin 2 sin sin 2
2 4 2 4
4
2 2
6 3
4 2
;
3 4
2 2
4 2 10 3
t t t c t
t
c t t
t t
t t
t
t k
t k
k
t
t k t k
π π
π π
π
π
π π π
π π
− = − + −
⇔ = +
⇔ = + ⇔ = +
= − +
+ = +
⇔ ⇔ ∈
+ = − + = +
ℤ
