Phương pháp giải toán tích phân

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
1
BẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC CƠ BẢN
CÔNG THỨC MỞ RỘNG

 Cxdx

C
x
dxx 




1
1





 Cx
x
dx
ln

 
C

n
bax
a
dxbax
n
n






1
1
)(
1


 Cedxe
xx


 C
a
a
dxa
x
x
ln


 Cxdxx sin.cos
;

 Cnx
n
dxnx sin
1
).(cos


 Cxdxx cos.sin
;

 Cnx
n
dxnx cos
1
.sin
 
 Ctgxxtgdx
x
)1(
cos
1
2
2

 
 Cgxgxdx

x
cot)cot1(
sin
1
2
2

C
a
x
xa
dx



arcsin
22




C
a
x
a
xa
dx
arctan
1
22


 Cudu

C
u
duu 




1
1







Cbax
a
dx
bax
ln
1
)(
1

C

un
dxudx
u
n
n
n





 
1
).1(
11




Ce
a
dxe
baxbax
1
;
C
u
a
dua
u

u


ln


 Cbax
a
dxbax )cos(
1
)sin(

 Cbax
a
dxbax )sin(
1
)cos(

 
 Cu
u
du
dx
u
u
ln
'
;

 Cudx

u
u
2
'
;

 C
u
dx
u
u 1'
2







C
xa
xa
a
xa
dx
ln
2
1
22




Caxx
ax
dx
2
2
ln

CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
 PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.
I. Phƣơng pháp đổi biến số dạng 1.
Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau
1/ Quy tắc :
 Bước 1: Đặt x=v(t)
 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận
 Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt
 Bước 4: Tính
()
()
()
( ) ( ) ( )
()
vb
b
a v a
vb
f x dx g t dt G t
va




 Bước 5: Kết luận : I=
()
()
()
vb
Gt
va

2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm )
* Chú ý :
a. Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :

Dấu hiệu
Cách chọn
22
ax

sin
22
ost 0 t
x a t t
x a c



    



   




Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
2
22
xa

 
;
sin 2 2
0; \
ost 2
a
xt
t
a
xt
c





   







  





22
ax

 
tan ;
22
cot 0;
x a t t
x a t t




   






  


a x a x
a x a x




x=a.cos2t
  
x a b x

x=a+
 
2
sinb a t

b. Quan trọng nhất là nhận ra dạng :
- Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ :
*
 
22
2
2
1 1 1 1
0
ax
b
a x+

2a 2
dx dx du
bx c a u k
a
  
  
   
  












  

Với :
b
x+ , ,
2a 2
u k du dx
a



  



.
* áp dụng để giải bài toán tổng quát :
 
 
21
22
k
dx
kZ
ax






.
II. Đổi biến số dạng 2

1. Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : )
 Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) .
 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx
 Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt .
 Bước 4: Tính
()
()

()
( ) ( ) ( )
()
ub
b
a u a
ub
f x dx g t dt G t
ua



 Kết luận : I=
()
()
()
ub
Gt
ua

2. Nhận dạng :
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
A. DẠNG : I=
 
()
0
ax+b
Px
dx a






* Chú ý đến công thức :
ln ax+b
ax+b
mm
dx
a






. Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng 2 thì ta
chia tử cho mẫu dẫn đến
( ) 1
( ) ( )
ax+b ax+b ax+b
P x m
dx Q x dx Q x dx m dx
   
   
   
   

B. DẠNG :
2

()
ax
Px
dx
bx c





1. Tam thức :
2
( ) axf x bx c  
có hai nghiệm phân biệt

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
3
Công thức cần lưu ý :
'( )
ln ( )
()
ux
dx u x
ux








Ta có hai cách
Cách 1: ( Hệ số bất định )
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
2. Tam thức :
2
( ) axf x bx c  
có hai nghiệm kép
Công thức cần chú ý :
 
'( )
ln ( )
()
u x dx
ux
ux







Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t .
3. Tam thức :
2
( ) axf x bx c  
vô nghiệm :
Ta viết : f(x)=

 
2
22
2
( ) ( )
2
;
2
22
b
ux
P x P x
a
a u k
b
k
ax
a
aa


























Khi đó : Đặt u= ktant
C. DẠNG :
32
()
ax
Px
dx
bx cx d


  


1. Đa thức : f(x)=
 
32

ax 0bx cx d a   
có một nghiệm bội ba
Công thức cần chú ý :
1
1 1 1
.
1
mm
dx
x m x









2. Đa thức : f(x)=
 
32
ax 0bx cx d a   
có hai nghiệm :
Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu
3. Đa thức : f(x)=
 
32
ax 0bx cx d a   
có ba nghiệm

 PHÂN THỨC HÀM VÔ TỶ
I. KIẾN THỨC
1. Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau :
-
'( )
()
2 ( )
fx
dx f x C
fx



-
2
2
1
lndx x x b C
xb
   



- Mở rộng :
2
2
'( )
ln ( ) ( )

()
ux
du u x u x b C
u x b
   



1. Tích phân dạng :
 
2
1
0
ax
I dx a
bx c






a. Lý thuyết :
Từ :
2
2
2
2
f(x)=ax
24

2
b
xu
b
a
bx c a x du dx
aa
K
a







       












Khi đó ta có :

- Nếu
 
2 2 2 2
0, 0 ( ) ( ) .a f x a u k f x a u k        
(1)

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
4
- Nếu :
2
0
0 ( )
( ) .
2
2
a
b
f x a x
b
f x a x a u
a
a




     



  



(2)
- Nếu :
0
.
+/ Với a>0 :
     
1 2 1 2
( ) ( ) .f x a x x x x f x a x x x x      
(3)
+/ Với a<0 :
     
1 2 1 2
( ) ( ) .f x a x x x x f x a x x x x        
(4)
Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :
b. Cách giải .
*. Trường hợp :
 
2 2 2 2
0, 0 ( ) ( ) .a f x a u k f x a u k        

Khi đó đặt :
 
2
2
2

2
01
2
;
2
2
2
ax .
,
.
2
tc
x dx tdt
ba
ba
bx c t ax
bx c t a x
x t t x t t
tc
t a x t a
ba








  


     

     




  




*. Trường hợp :
2
0
0 ( )
( ) .
2
2
a
b
f x a x
b
f x a x a u
a
a





     


  




Khi đó :
1
ln : 0
22
1 1 1
1
ln : 0
22
22
bb
xx
aa
a
I dx dx
bb
a
bb
a x x
xx
aa
aa

a








  




  




   






*. Trường hợp :
0, 0a  

- Đặt :

  
 
 
1
2
12
2
ax
x x t
bx c a x x x x
x x t


     





*. Trường hợp :
0, 0a  

- Đặt :
  
 
 
1
2
12
2

ax
x x t
bx c a x x x x
x x t


     





2. Tích phân dạng :
 
2
0
ax
mx n
I dx a
bx c







Phƣơng pháp :
b.1 : Phân tích



 
2
2 2 2
. ax
( ) 1
ax ax ax
A d bx c
mx n B
fx
bx c bx c bx c


  
     

b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B
b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)
b.4. Tính I =


2
2
1
2 ax
ax
A bx c B dx
bx c





  


(2)
Trong đó
 
2
1
0
ax
dx a
bx c





đã biết cách tính ở trên
3. Tích phân dạng :
 
 
2
1
0
ax
I dx a
mx n bx c




  



Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
5
Phƣơng pháp :
b.1. Phân tích :
 
2
2
11
ax
ax
n
mx n bx c
m x bx c
m


  
  


. (1)
b.2 Đặt :
2

2
11
1
1 1 1
ax
n
y t dy dx
x t m x t
n
x
ym
x t bx c a t b t c
y y y


    





  

   

         
   

   


b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng :
'
2
'
dy
I
Ly My N





. Tích phân này chúng ta đã biết cách
tính .
4. Tích phân dạng :
 
;;
m
x
I R x y dx R x dx
x














( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và
, , ,
   
là các hằng số đã biết )
Phương pháp :
b.1 Đặt : t=
m
x
x




(1)
b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng
 
xt



b.3. Tính vi phân hai vế : dx=
 
' t dt

và đổi cận

b.4. Cuối cùng ta tính :
 
 
 
'
'
; ; '
m
x
R x dx R t t t dt
x














*) Tính tích phân:
 
2
,0
mx n

I dx a
ax bx c






.
(trong đó
2
()
mx n
fx
ax bx c



liên tục trên đoạn
 
;

)
+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:

cbxax
B
cbxax
baxA
cbxax

nmx







222
)2(

+)Ta có I=



dx
cbxax
B
dx
cbxax
baxA
dx
cbxax
nmx









222
)2(





. Tích phân
dx
cbxax
baxA



2
)2(


=


cbxaxA 
2
ln

Tích phân
2
dx

ax bx c




tính được.
*) Tính tích phân
()
()
b
a
Px
I dx
Qx


với P(x) và Q(x) là đa thức của x.

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
6
 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn
12
, , ,
n
  
thì đặt

12
12
()

()
n
n
A
AA
Px
Q x x x x
  
   
  
.
+ Khi
 
 
22
( ) , 4 0Q x x x px q p q

       
thì đặt
2
()
.
()
P x A Bx C
Q x x x px q




  

+ Khi
  
2
()Q x x x

  
với    thì đặt
 
2
()
()
A
P x B C
Q x x x
x


  


.
 PHƢƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
 
;ab
thì:

 
''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
bb
aa
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a



hay
bb
aa
b
udv uv vdu
a


.
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng
'
udv uv dx
bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x)
làm u(x) và phần còn lại
'
( ) .dv v x dx

 Bước 2: Tính
'
du u dx
và
'
()v dv v x dx

.
 Bước 3: Tính
'
bb
aa
vdu vu dx

và
b
uv
a
.
 Bước 5: Áp dụng công thức trên.
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

()
b
x
a
P x e dx


( )ln

b
a
P x xdx


( )cos
b
a
P x xdx


cos
b
x
a
e xdx


u
P(x)
lnx
P(x)
x
e

dv
x
e dx

P(x)dx

cosxdx
cosxdx

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
7

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và
'
dv v dx
thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần
của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn
'
dv v dx
là phần của f(x)dx là vi phân một hàm
số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:
 Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx



mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những
hàm số:
, cos , sin
ax
e ax ax
thì ta thường đặt
'
()

()
()
()
du P x dx
u P x
dv Q x dx
v Q x dx














 Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx



mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì
ta đặt
 
'

()
()
()
du Q x dx
u Q x
dv P x dx
v P x dx














 Nếu tính tích phân
cos
ax
I e bxdx




hoặc

sin
ax
J e bxdx




thì
ta đặt
1
cos
sin
ax
ax
du ae dx
ue
dv bxdx
v bx
b














hoặc đặt
1
sin
cos
ax
ax
du ae dx
ue
dv bxdx
v bx
b













Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân
ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƢỢNG GIÁC
Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác

1. Tính
cos
dx
I
asinx b x c




Phƣơng pháp:
Đặt
2
2
tan
21
  

x dt
t dx
t


Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
8
Ta có:
2
2
sin
1

t
x
t


và
2
2
1
cos
1
t
x
t




 
2
2
cos 2
dx dt
I
asinx b x c c b t at b c

     

đã biết cách tính.
2. Tính

22
sin sin cos cos
dx
I
a x b x x c x d

  


Phƣơng pháp:
   
22
sin sin cos cos
dx
I
a d x b x x c d x

   



   
2
2
cos
tan tan

   

dx

x
a d x b x c d

Đặt
2
cos
dx
t tgx dt
x
  
   
2
dt
I
a d t bt c d

   

đã tính được.
3. Tính
sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c




.

Phƣơng pháp:
+)Tìm A, B, C sao cho:
   
sin cos sin cos cos sin ,m x n x p A a x b x c B a x b x C x        
+) Vậy
sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c




=
=
  





cxbxa
dx
Cdx
cxbxa
xbxa
BdxA
cossincossin
sincos

Tích phân

dx
tính được
Tích phân
Ccxbxadx
cxbxa
xbxa




cossinln
cossin
sincos

Tích phân

 cxbxa
dx
cossin
tính được.
Nguyên hàm dạng
 
sin ,cosR x x dx

, với
 
sin ,cosR x x

là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết
cách tính tích phân.
 Trường hợp chung: Đặt
2
2
tan
21
  

x dt
t dx
t


Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
9
Ta có
2
22
21
sin ;cos
11
tt
xx
tt




 Những trường hợp đặc biệt:
+) Nếu
 
sin ,cosR x x
là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là

   
sin , cos sin ,cosR x x R x x  
thì đặt
tantx
hoặc
cottx
, sau đó đưa
tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.
+) Nếu
 
sin ,cosR x x
là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

   
sin ,cos sin ,cosR x x R x x  
thì đặt
costx
.
+) Nếu
 
sin ,cosR x x
là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:

   
sin , cos sin ,cosR x x R x x  
thì đặt
sintx
.
TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số
()y f x
liên tục và lẻ trên đoạn
 
;aa
. Khi đó

( ) 0
a
a
I f x dx



.
2.Cho hàm số
()y f x
liên tục và chẵn trên đoạn
 
;aa
. Khi đó
0
( ) 2 ( )
aa

a
I f x dx f x dx



.
Chứng minh : Ta có
0
0
( ) ( ) ( )
aa
aa
I f x dx f x dx f x dx

  
  
(1)
Ta tính
0
()
a
J f x dx



bằng cách đặt
 
0x t t a dx dt      

00

00
( ) ( ) ( ) ( )
aa
aa
J f x dx f t dt f t dt f x dx

      
   
(2)
Thay (2) vào (1) ta được
0
( ) 2 ( )
aa
a
I f x dx f x dx




3.Cho hàm số
()y f x
liên tục và chẵn trên đoạn
 

:
. Khi đó











dxxfdx
a
xf
I
x
)(
2
1
1
)(

Chứng minh: Đặt t= -x

dt= - dx

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
10
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a
x
+1= a
-t
+1=
1

t
t
a
a


Khi x= -

thì t =

; x =

thì t =-


Vậy
 
 














dttf
a
a
dt
a
tfa
dx
a
xf
I
t
t
t
t
x
)(
1
11
1
)(
1
)(


  
  










Idxxfdt
a
tf
dttf
t
)(
1
)(
)(

Suy ra









dxxfdx
a
xf
I

x
)(
2
1
1
)(

4.Cho f(x) liên tục trên đoạn
0;
2




.Khi đó

22
00
(sin ) (cos )f x dx f x dx



.
Chứng minh:
Đặt
2
t x dx dt

    

Khi x = 0 thì
2
t


, khi
2
x


thì t = 0
Do đó
0
2 2 2
0 0 0
2
(sin ) (sin( ) (cos ) (cos )
2
f x dx f t dt f t dt f x dx
  


    
   
.
Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức
*Nếu f(x) liên tục trên
 
0;1
thì

(sin ) (sin )
2
xf x dx f x dx
   






*Nếu f(x) liên tục trên
 
0;1
thì
22
(cos ) (cos )



xf x dx f x dx
   

