điểm bất động của một lớp toán tử compak tiệm cận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
ĐOÀN TRỌNG HIẾU
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT LỚP
TOÁN TỬ COMPAK TIỆM CẬN
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Ngành: Toán giải tích
Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Phụ Hy
Hà Nội-2009
Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải
tích; các thầy, cô Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã
trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề
tài.
Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả
3
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả
khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả
4
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chương 1. KHÔNG GIAN BANACH THỰC NỬA SẮP THỨ
TỰ 9

1.1. Nón trong không gian Banach và ví dụ . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3. Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực . . 20
1.2. Không gian E
u
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2. Không gian E
u
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3. Một số định lý về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2. Một số định lý về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ U
0
-LÕM 31
2.1. Các định nghĩa và ví dụ về toán tử u
0
- lõm . . . . . . . . . . 31
2.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Một số tính chất về điểm bất động của toán tử u
0
-lõm . . . . 34
Chương 3. TOÁN TỬ PHI TUYẾN COMPAK TIỆM CẬN 39
3.1. Các định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2. Một số tính chất về điểm bất động của toán tử lõm
chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2. Điểm bất động của toán tử Compak tiệm cận . . . . . . . . . 42
3.2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2. Sự tồn tại điểm bất động của toán tử compak tiệm cận 42
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Tài liệu tham khảo 49
6
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều bài toán quan trọng trong toán học nói riêng và khoa học kỹ
thuật nói chung dẫn đến việc nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh
xạ. Chính vì vậy mà lý thuyết điểm bất động được nhiều nhà toán học trên
thế giới quan tâm.
Nhà toán học Banach Stefan (1892- 1945) là một trong các nhà toán
học xuất sắc, người đặt nền móng cho lý thuyết này bằng nguyên lý nổi tiếng:
"Nguyên lý ánh xạ co Banach” (1922). Tiếp theo đó, xuất hiện nhiều hướng
nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động của các toán tử trong các không gian
hàm, trong các công trình của các nhà toán học nổi tiếng như Lipsit, Aylen-
bec, Kraxnoxenxky
Những năm 60 của thế kỷ XX, nhà toán học nổi tiếng người Nga M. A.
Kraxnoxenxky đã nghiên cứu và đã đạt được các kết quả quan trọng về lý
thuyết điểm bất động của các toán tử lõm trong không gian Banach nửa sắp
thứ tự. Đặc biệt trong hướng nghiên cứu này là các tác giả đã nghiên cứu
điểm bất động của ánh xạ trên một tập nói chung không đóng, vì vậy đây là
một hướng nghiên cứu khá thú vị.
Ở nước ta vào những năm 80 của thế kỷ XX, PGS. TS Nguyễn Phụ
Hy đã mở rộng được các định lý quan trọng về điểm bất động của toán tử
lõm cho toán tử lõm chính quy. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề
này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy tôi

đã chọn đề tài:
“Điểm bất động của một lớp toán tử phi tuyến Compak tiệm
cận”
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu một cách có hệ thống, chi tiết các kết quả
đã đạt được về lý thuyết điểm bất động của toán tử lõm và toán tử Compak
7
tiệm cận.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các kiến thức cơ sở cần thiết và các kết quả về điểm bất động của toán
tử cực trị.
Luận văn được chia làm 3 chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tài
liệu tham khảo):
Chương 1: Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
Chương này xây dựng một không gian định chuẩn nói chung và một
không gian Banach nói riêng trở thành một không gian nửa sắp thứ tự bằng
cách đưa ra khái niệm nón, sau đó xây dựng không gian E
u
0
nhờ đưa ra khái
niệm u
0
- chuẩn.
Chương 2: Điểm bất động của toán tử U
0
- lõm.
Chương này giới thiệu các khái niệm toán tử dương, đơn điệu, u
0
- đo
được trên không gian Banach thực E với nón K. Từ đó xây dựng khái niệm

toán tử lõm, giới thiệu và chứng minh một số định lý về điểm bất động của
toán tử u
0
- lõm.
Chương 3: Điểm bất động của toán tử phi tuyến Compak tiệm cận.
Trên cơ sở các kết của chương 1, chương 2. Chương 3 tiếp tục giới thiệu
khái niệm toán tử lõm chính quy, toán tử Compak tiệm cận. Từ đó đưa ra các
định lý về điểm bất động của toán tử lõm chính quy. Cuối cùng, giới thiệu sự
tồn tại điểm bất động của toán tử phi tuyến Compak tiệm cận. Do thời
gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm
hiểu và tổng hợp các kết quả nghiên cứu theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình
viết luận văn và xử lý văn bản chắc không tránh khỏi những thiếu xót, rất
mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà nội, tháng 08 năm 2009
Tác giả
8
Chương 1
KHÔNG GIAN BANACH THỰC
NỬA SẮP THỨ TỰ
1.1. Nón trong không gian Banach và ví dụ
1.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Cho không gian Banach thực E. Một tập con khác rỗng
K ⊂ E được gọi là một nón nếu:
N
1
/ Tập K đóng trong E;
N
2
/ Với ∀x, y ∈ K thì x + y ∈ K;

N
3
/ Với ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 thì tx ∈ K;
N
4
/ Với ∀x ∈ K, x = θ thì −x /∈ K.
Như vậy, theo định nghĩa thì nón K là một tập lồi trong E.
Định lý 1.1. Giả sử tập F là một tập con khác rỗng của không gian Banach
thực E thoả mãn các điều kiện lồi, đóng, bị chặn và không chứa phần tử
không (θ). Khi đó tập
K(F ) = {x ∈ E : x = tz, t ∈ R, t ≥ 0, z ∈ F } là một nón.
Chứng minh. Từ giả thiết ta có K(F ) là tập khác rỗng.
Từ tính chất của F là tập đóng, bị chặn và không chứa phần tử θ ta
luôn tìm được hai số dương m, M : ∀z ∈ F ta có m ≤ z ≤ M.
Thật vậy: nếu inf
z∈F
z = 0 thì ta tìm được một dãy (z
n
)
∞
n=1
trong F để
lim
n→∞
z
n
 = 0 hay lim
n→∞
z
n

= θ trong E, do F đóng nên θ ∈ F, trái với giả
thiết, nghĩa là tồn tại m ≥ 0 để m ≤ z, và F bị chặn nên tồn tại M ≥ 0
để z ≤ M.
Ta chứng minh K(F ) là tập đóng.
Lấy một dãy bất kỳ (u
n
)
∞
n=1
⊂ K(F ) sao cho lim
n→∞
u
n
= ν trong E.
9
+/ Nếu ν = θ thì đương nhiên ν ∈ K(F ).
+/ Nếu ν = θ thì ν > 0. Ta sẽ chỉ ra ν ∈ K(F ).
Thật vậy, do lim
n→∞
u
n
= ν nên với số dương
1
2
ν,
∃n
0
∈ N
∗
, ∀n ≥ n

0
, u
n
− ν <
1
2
ν
⇒ |u
n
 −ν| ≤ u
n
− ν <
1
2
ν
⇒
1
2
ν < u
n
 <
3
2
ν ∀n ≥ n
0
(1.1)
Mặt khác, vì u
n
∈ K(F ) ⇒ u
n

= t
n
z
n
, t
n
≥ 0, z
n
∈ F, ∀n = 1, 2, theo
bất đẳng thức (1.1) thì:
1
2
ν < t
n
z
n
 = t
n
z
n
 <
3
2
ν ⇒
1
2M
ν < t
n
<
3

2m
ν∀n = 1, 2, suy
ra tồn tại dãy con (t
n
i
)
∞
i=1
⊂ (t
n
)
∞
n=1
sao cho lim
i→∞
t
n
i
= t
0
⇒
1
2M
ν ≤ t
0
≤
3
2m
ν
nghĩa là t

0
> 0.
Xét dãy con (u
n
i
)
∞
i=1
⊂ (u
n
)
∞
i=1
với u
n
i
= t
n
i
z
n
i
, ta có:



z
n
i
−

1
t
0
ν



=



z
n
i
−
t
n
i
t
0
z
n
i
+
t
n
i
t
0
z

n
i
−
1
t
0
ν



≤
1
t
0
|t
n
i
−t
0
|·z
n
i
+
1
t
0
u
n
i
−ν ≤

M
t
0
|t
n
i
− t
0
| +
1
t
0
u
n
i
− ν → 0 khi i → ∞ ⇒



z
n
i
−
1
t
0
ν




→ 0 khi i → ∞
Do F đóng nên
1
t
0
ν ∈ F ⇒ t
0

1
t
0
ν

= ν ∈ K(F ).
Vì vậy K(F ) đóng.
Với ∀u, v ∈ K(F ), ∀α, β ∈ R
+
. Khi đó: u = t
1
z
1
, v = t
2
z
2
với t
1
, t
2
∈

R
+
, z
1
, z
2
∈ F.
Nếu t
1
= 0 hoặc t
2
= 0 hoặc α = 0 hoặc β = 0 thì αu + βv ∈ K(F ). Vì
vậy, ta chỉ cần xét α > 0, β > 0, t
1
> 0, t
2
> 0, khi đó
αu + βv = αt
1
z
1
+ βt
2
z
2
= (αt
1
+ βt
2
)


αt
1
αt
1
+ βt
2
z
1
+
βt
2
αt
1
+ βt
2
z
2

do F là tập lồi nên
αt
1
αt
1
+ βt
2
z
1
+
βt

2
αt
1
+ βt
2
z
2
∈ F ⇒ αu + βv ∈ K(F )
Giả sử tồn tại u
0
∈ K, u
0
= θ mà −u
0
/∈ K(F ). ta có u
0
= t
1
z
1
trong đó
z
1
∈ F còn t
1
> 0 và −u
0
= −t
1
z

1
= t
2
z
2
trong đó z
2
∈ F còn t
2
> 0.
Do u
0
+ (−u
0
) = θ nên
10
θ = t
1
z
1
+ t
2
z
2
=

t
1
t
1

+ t
2
z
1
+
t
2
t
1
+ t
2
z
2

(t
1
+ t
2
) ∈ K(F ). Điều này không
xảy ra vì
t
1
t
1
+ t
2
z
1
+
t

2
t
1
+ t
2
z
2
∈ F ⇒
t
1
t
1
+ t
2
z
1
+
t
2
t
1
+ t
2
z
2
= θ và t
1
+ t
2
> 0.

Như vậy K(F ) là một nón.
1.1.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1.1. Tập số thực R là một không gian tuyến tính thực. Đối với mỗi
số thực bất kỳ x, ta đặt:
x = |x| (1.2)
Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, ta có:
+/∀x ∈ R, x = |x| > 0 vàx = |x| = 0 ⇔ x = 0
+/ ∀x ∈ R, ∀α ∈ R αx = |αx| = |α||x| = |α|x
+/∀x, y ∈ R, x + y = |x + y| ≤ |x|+ |y| = x + y
Vậy công thức (1.2) cho một chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương
ứng kí hiệu là R
1
. Không gian R
1
là một không gian Banach, điều này có
được là do tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực.
Trong không gian Banach R
1
:
1/ Tập K =

x ∈ R
1
, x ≥ 0

ta chứng minh K là một nón.
Thật vậy:
+/ Ta chỉ ra K là một tập đóng trong R
1
.

Lấy tuỳ ý trong K dãy số thực x
n
→ x khi n → ∞, vì x
n
∈ R
1
, x
n
≥ 0 ∀n ∈
N
∗
khi đó x ≥ 0. Vậy x ∈ K, nên K là tập đóng trong R
1
.
+/ ∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ta chỉ ra tx ∈ K.
Do x ∈ K nên x ≥ 0, từ đó tx ≥ 0. vậy tx ∈ K.
+/ ∀x, y ∈ K ta chỉ ra x + y ∈ K.
Do x, y ∈ K nên x ≥ 0, y ≥ 0, từ đó x + y ≥ 0. Vậy x + y ∈ K.
+/ ∀x ∈ K, x = 0 ta chỉ ra −x ∈ K.
Do x ∈ K, x = 0 nên x > 0 từ đó −x < 0. Vậy −x /∈ K.
Vậy K là một nón.
2/ Tập F = {x
0
} ⊂ R
1
\{θ} ta chứng minh
K(F ) =

x ∈ R
1

: x = tx
0
, t ∈ R, t ≥ 0, x
0
∈ F

là một nón.
11
Do F lồi, đóng, bị chặn và không chứa phần tử không nên theo định lý
1.1.1 thì K(F ) là một nón.
Ví dụ 1.2. Xét không gian tuyến tính thực
R
n
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) : x
i
∈ R ∀i = 1, 2, , n}, n ∈ N, n ≥ 2
với bất kỳ x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n

ta đặt
x =




n

i=1
x
2
i
(1.3)
Ta sẽ chứng minh công thức (1.3) cho một chuẩn trên R
n
. Thật vậy:
+/ ∀x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
ta có:
x =





n

i=1
x
2
i
≥ 0
x = 0 ⇔

n

i=1
x
2
i
= 0 ⇔
n

i=1
x
2
i
= 0 ⇔ x
i
= 0∀i = 1, 2, , n ⇔ x = θ
+/ ∀x = (x
1
, x
2
, , x

n
) ∈ R
n
, ∀α ∈ R, ta có
αx =




n

i=1
α
2
x
2
i
=




α
2
n

i=1
x
2
i

= |α|




n

i=1
x
2
i
= |α|x
+/ ∀x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, ∀y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
, ta có
x + y

2
=
n

i=1
(x
i
+ y
i
)
2
=
n

i=1
x
2
i
+ 2
n

i=1
x
i
y
i
+
n

i=1

y
2
i
≤
n

i=1
x
2
i
+




n

i=1
x
2
i




n

i=1
y
2

i
+
n

i=1
y
2
i
=






n

i=1
x
2
i
+




n

i=1
y

2
i


2
= (x+ y)
2
⇒ x + y ≤ x + y
∀x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, ∀y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
Vậy công thức (1.3) cho ta một chuẩn trên không gian R
n
. Do đó không
gian R
n
là một không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn tương ứng ký

hiệu là R
n
.
Ta sẽ chỉ ra không gian địng chuẩn R
n
là không gian Banach.
12
Trước hết, sẽ chứng minh sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian
R
n
tương đương với sự hội tụ theo toạ độ.
Thật vậy, giả sử dãy điểm
x
(m)
=

x
(m)
1
, x
(m)
2
, , x
(m)
n

, m = 1, 2, hội tụ tới điểm x =
(x
1
, x

2
, , x
n
) trong R
n
. Theo định nghĩa,
∀ε > 0, ∃m
0
∈ N
∗
, ∀m ≥ m
0
sao cho x
(m)
− x =




n

i=1
(x
m
i
− x
p
i
) < ε suy
ra

|x
m
i
− x
i
| ≤ ε ∀m ≥ m
0
, ∀i = 1, 2, n các bất đẳng thức này chứng tỏ,
với mỗi i = 1, 2, , n dãy số thực

x
(m)
i

hội tụ tới x
i
khi m → ∞. Sự hội tụ
đó gọi là sự hội tụ theo toạ độ.
Ngược lại giả sử dãy điểm x
(m)
=

x
(m)
1
, x
(m)
2
, , x
(m)

n

, m = 1, 2,
hội tụ theo toạ độ tới điểm x = (x
1
, x
2
, , x
n
) trong R
n
. Theo định nghĩa,
∀ε > 0 với mỗi i = 1, 2, , n, ∃m
i
∈ N
∗
, ∀m ≥ m
i
, |x
(m)
i
− x
i
| ≤

√
n
. Đặt
m
0

= max {m
1
, m
2
, , m
n
} thì ∀m ≥ m
0
, |x
(m)
i
− x
i
| ≤

√
n
∀i = 1, 2, , n
⇒

x
(m)
i

2
≤

2
n
∀i = 1, 2, , n ⇒



x
(m)
i
− x
i

2
< 
2
∀ m ≥ m
0
⇒




n

i=1

x
(m)
i
− x
i

2
<  ∀m ≥ m

0
⇔ x
(m)
− x <  ∀m ≥ m
0
Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo chuẩn của không gian R
n
.
Bây giờ ta chứng minh không gian R
n
là không gian Banach.
Thật vậy, giả sử x
(m)
=

x
(m)
1
, x
(m)
2
, , x
(m)
n

, ∀m = 1, 2, là dãy cơ
bản tuỳ ý trong không gian R
n
. Theo định nghĩa dãy cỏ bản ∀, ∃m
0

∈
N
∗
, ∀m, p ≥ m
0
, x
(m)
− x
(p)
 <  hay




n

i=1
(x
m
i
− x
p
i
)
2
<  ⇒ |x
m
i
− x
p

i
| <
 ∀m, p ≥ m
0
, ∀i = 1, 2, , n. các bất đẳng thức này chứng tỏ với mỗi
i = 1, 2, , n dãy

x
(m)
i

là dãy số thực cơ bản, nên ∃ lim
n→∞
x
(m)
i
= x
i
∀i =
1, 2, , n.
Đặt x = (x
1
, x
2
, , x
n
) thì dãy

x
(m)


⊂ R
n
đã cho hội tụ theo toạ độ
tới x, nghĩa là dãy cơ bản đã cho hội tụ tới x trong không gian R
n
.
Vậy không gian R
n
là không gian Banach.
13
Trong không gian Banach R
n
:
1/ Cho tập K = {(x
i
)
n
i=1
∈ R
n
: x
i
≥ 0 ∀i = 1, 2, , n}, ta chứng minh
K là một nón.
Thật vậy:
+/Trước hết ta chỉ ra K là một tập đóng.
Trong K lấy tuỳ ý dãy x
(m)
, x

(m)
=

x
(m)
i

, m = 1, 2, , n trong đó
x
(m)
i
∈ R và x
(m)
i
≥ 0, ∀i = 1, 2, , n, ∀m và x
m
−→ x khi m −→ ∞, x =
(x
i
)
n
i=1
. Ta sẽ chứng tỏ x ∈ K. Vì sự hội tụ theo toạ độ, nên từ x
m
−→ x khi
m −→ ∞ ta có x
(m)
i
−→ x
i

khi m −→ ∞ và ∀i = 1, 2, n. nhưng vì với mỗi
i = 1, 2, , n ta có x
(m)
i
≥ 0, ∀i = 1, 2, , n ⇒ x ∈ K nên K là tập đóng.
+/∀x, y ∈ K ta chỉ ra x + y ∈ K.
Do x, y ∈ K, x = (x
i
)
n
i=1
, y = (y
i
)
n
i=1
⇒ x
i
≥ 0, y
i
≥ 0, ∀i = 1, 2, , n
Ta có x + y = (x
i
+ y
i
)
n
i=1
Vì x
i

≥ 0, y
i
≥ 0, ∀i = 1, 2, , n ⇒ x
i
+ y
i
≥ 0, ∀i = 1, 2, , n ⇒ x + y ∈
K.
+/∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ta chỉ ra tx ∈ K.
Do x ∈ K, x = (x
i
)
n
i=1
, ⇒ x
i
≥ 0, ∀i = 1, 2, , n, lại do t ≥ 0 nên tx
i
≥
0 ∀i = 1, 2, , n, mà tx = (tx
i
)
n
i=1
nên tx ∈ K.
+/∀x ∈ K, x = θ ta chỉ ra −x ∈ K.
Do x ∈ K, x = (x
i
)
n

i=1
, x = θ ⇒ ∃x
k
= 0, k ∈ {i = 1, 2, , n} hay
−x > 0.
Mặt khác −x = (−x)
n
i=1
trong đó có −x
k
< 0, nên −x = K.
Từ các điều đã chỉ ra ở trên, ta kết luận K là một nón.
2/ Cho tập F =

(x
i
)
n
i=1
: x
i
∈ R, x
i
≥
1
2n
n

i=1
≤ 1


ta chứng minh
K(F ) = {x ∈ R
n
: x = tz, t ∈ R, t ≥ 0, z ∈ F } là một nón.
+/ Ta có F = ∅ vì phần tử x = (x
i
)
n
i=1
∈ F với x
i
=
1
n
∀i = 1, 2, , n.
+/Ta chỉ ra F là tập lồi;
∀x, y ∈ F, ∀λ ∈ [0; 1] ta cần chứng minh λx + (1 − λ) ∈ F. Do x, y ∈ F
x = (x
i
)
n
i=1
, x
i
∈ R, x
i
≥
1
2n

,
n

i=1
x
i
≤ 1
14
y = (y
i
)
n
i=1
, y
i
∈ R, y
i
≥
1
2n
,
n

i=1
y
i
≤ 1
Ta có ∀i = 1, 2, , n ∀λ ∈ [0; 1], vì x
i
≥

1
2n
, y
i
≥
1
2n
∀i = 1, 2, , n
nên:
λx
i
≥ λ
1
2n
, (1 −λ)y
i
≥ (1 − λ)
1
2n
⇒ λx
i
+ (1 − λ)y
i
≥
1
2n
+ (1 − λ)
1
2n
⇒ λx

i
+ (1 − λ)y
i
≥
1
2n
∀i = 1, 2, , n (1.4)
vì
n

i=1
x
i
≤ 1,
n

i=1
y
i
≤ 1 ∀i = 1, 2, , n nên:
n

i=1
λx
i
= λ
n

i=1
x

i
≤ λ,
n

i=1
(1−λ)y
i
= (1−λ)
n

i=1
y
i
≤ (1−λ) ⇒
n

i=1
(λx
i
+ (1 − λ)y
i
)
=
n

i=1
λx
i
+
n


i=1
(1 − λ)y
i
= λ
n

i=1
x
i
+ (1 −λ)
n

i=1
y
i
≤ λ + (1 −λ) = 1 (1.5)
Mà λx+(1−λ)y = (λx
i
+(1−λ)y
i
)
n
i=1
nên từ (1.4),(1.5) ta có λx+(1−λ) ∈ F
hay tập F là tập lồi.
+/ Ta chứng minh F là tập đóng.
Trong F lấy tuỳ ý dãy x
(m)
, x

(m)
= (x
(m)
i
), x
(m)
i
∈ R
n
, ∀i = 1, 2, và
x
(m)
→ x khi m → ∞, x = (x
i
), i = 1, 2, , n. Ta sẽ chứng tỏ x ∈ F . Vì sự
hội tụ trong không gian R
n
tương đương với sự hội tụ theo toạ độ, nên từ
x
(m)
→ x khi m → ∞ ta có x
(m)
i
→ x
i
khi m → ∞.∀i = 1, 2, , n. Nhưng vì
với mỗi i = 1, 2, , n và với mỗi m = 1, 2, ta có x
(m)
i
≥

1
2n
,
n

i=1
x
(m)
i
≤ 1
do đó x
i
∈ R, x
i
≥
1
2n
,
n

i=1
x
i
≤ 1 ⇒ x ∈ F. Vậy F là tập đóng.
+/ Rõ ràng từ định nghĩa tập F thì F không chứa phần tử không.
Ta có ∀x = (x
i
)
n
i=1

∈ F từ định nghĩa tập F suy ra 0 < x
i
< 1∀i =
1, 2, , n ⇒ x
2
i
< x
i
∀i = 1, 2, , n ⇒
n

i=1
x
2
i
<
n

i=1
x
i
≤ 1 từ đó x =

n

i=1
x
2
i
< 1 nên tập F là tập bị chặn.

Vậy theo định lý 1.1.1 thì K(F ) là một nón.
15
Ví dụ 1.3. Trong không gian tuyến tính thực C
[a;b]
, với mỗi hàm số bất kỳ
x ∈ C
[a;b]
ta đặt:
x = max
a≤t≤b
|x(t)| (1.6)
+/ Do ∀x ∈ C
[a;b]
, x(t) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b] nên hàm số
|x(t)| cũng liên tục trên đoạn [a; b]. Suy ra công thức (1.6)xác định một ánh
xạ từ tích Descartes C
[a;b]
× C
[a;b]
vào tập số thực R.
Ta sẽ chỉ ra công thức (1.6) cho một chuẩn trên C
[a;b]
. Thật vậy:
+/ Theo cách đặt, rõ ràng ∀x ∈ C
[a;b]
x = max
a≤t≤b
|x(t)| ≥ 0
x = 0 ⇔ max
a≤t≤b

|x(t)| = 0 ⇔ |x(t)| = 0 ∀t ∈ C
[a;b]
⇔ x(t) = 0 ∀t ∈ C
[a;b]
⇔
x = θ
+/ ∀x ∈ C
[a;b]
, ∀α ∈ R, ta có:
αx = max
a≤t≤b
|(αx)(t)| = max
a≤t≤b
|αx(t)| = |α| max
a≤t≤b
|x(t)| = |α|x
+/ ∀x ∈ C
[a;b]
ta có:
x + y = max
a≤t≤b
|(x + y)(t)|
Mặt khác, ∀t ∈ C
[a;b]
, |(x+y)(t)| = |x(t)+y(t)| ≤ |x(t)|+|y(t)| ≤ max
a≤t≤b
|x(t)|+
max
a≤t≤b
|y(t)|

từ đó max
a≤t≤b
|(x + y)(t)| ≤ max
a≤t≤b
|x(t)| + max
a≤t≤b
|y(t)| hay x + y ≤ x+ y.
Vậy công thức (1.6) cho ta một chuẩn trên không gian C
[a;b]
nên không
gian tuyến tính C
[a;b]
cùnh với công thức (1.6) là không gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là C
[a;b]
Ta chứng minh không gian C
[a;b]
là không gian Banach.
Trước hết, ta chứng minh sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian
C
[a;b]
tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a; b].
Thật vậy, giả sử dãy hàm (x
n
) ⊂ C
[a;b]
hội tụ tới hàm x trong không gian
C
[a;b]
. Theo định nghĩa,

∀ > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n > n
0
, x
n
− x = max
a≤t≤b
|(x
n
− x)(t)| = max
a≤t≤b
|x
n
(t) −
x(t)| <  từ đó suy ra
|x
n
(t) −x(t)| <  ∀n ≥ n
0
, ∀t ∈ [a; b] (1.7)
Các bất đẳng thức (1.7) chứng tỏ dãy hàm số liên tục (x
n
(t)) hội tụ đều tới
16
hàm số x(t) trên đoạn [a; b]
Ngược lại, giả sử dãy hàm (x
n

(t)) các hàm số liên tục trên [a; b], nghĩa
là (x
n
) ⊂ C
[a;b]
, hội tụ đều tới hàm số x(t) trên [a; b]. Khi đó x(t) liên tục
trên [a; b], theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm, thì
∀ > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n > n
0
⇔ x
n
− x <  ∀n ≥ n
0
. Do đó dãy (x
n
(t)) hội
tụ tới hàm số x(t) theo chuẩn của không gian C
[a;b]
.
Bây giờ, ta chứng minh không gian C
[a;b]
là không gian Banach.
Thật vậy, giả sử (x
n
) là dãy cơ bản tuỳ ý trong không gian C
[a;b]

.
Theo định nghĩa dãy cơ bản
∀ > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀m, n > n
0
, x
n
− x
m
 <  hay
max
a≤t≤b
|x
n
(t) −x
m
(t)| <  ⇔ |x
n
(t) −x
m
(t)| <  ∀m, n ≥ n
0
, ∀t ∈ [a; b] (1.8)
Các bất đẳng thức (1.8) chứng tỏ với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc [a; b] dãy
(x
n
(t)) là dãy số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn lim

n→∞
x
n
(t) = x(t), ∀t ∈
[a; b]. Ta nhận được hàm số x(t) xác định trên [a; b]. Vì các bất đẳng thức
(1.8) không phụ thuộc m nên cho qua giới hạn các bất đẳng thức này khi
m → ∞ ta được
|x
n
(t) − x(t)| ≤ ∀n ≥ n
0
, ∀t ∈ [a; b]. Điều này chứng tỏ dãy hàm số
(x
n
) ⊂ C
[a;b]
hội tụ đều đến hàm số x(t) trên [a; b] nên x ∈ C
[a;b]
. Do sự hội tụ
trong không gian C
[a;b]
tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục
trên [a; b], nên dãy cơ bản (x
n
) đã cho hội tụ tới x trong không gian C
[a;b]
.
Vậy không gian C
[a;b]
là không gian Banach.

Trong không gian Banach C
[a;b]
:
1/ cho tập K =

x ∈ C
[a;b]
: x(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b]

ta chứng minh K là
một nón.
Thật vậy:
+/ Trước hết ta chỉ ra K là một tập đóng.
Lấy trong K dãy hàm (x
n
) tuỳ ý, n ∈ N
∗
và giả sử x
n
→ x khi n → ∞.
Do sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian C
[a;b]
tương đương
với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a; b], nên ta có x
n
(t) → x(t)
khi n → ∞, ∀t ∈ [a; b] vì x
n
∈ K, nên x
n

(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b], ∀n, do đó
17
x(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b] ⇒ x ∈ K, nên K là tập đóng.
+/ ∀x, y ∈ K ta chỉ ra x + y ∈ K.
Vì x, y ∈ K nên x(t) ≥ 0, y(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a; b] ⇒ (x + y)(t) = x(t) +
y(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b], nên x + y ∈ K.
+/ ∀x ∈ K, ∀α ≥ 0 ta chỉ ra αx ∈ K.
Vì x, y ∈ K nên x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a; b], lại do α ≥ 0 nên αx(t) ≥ 0, ∀t ∈
[a; b], nên αx ∈ K
+/ ∀x ∈ K, x = θ (θ là kí hiệu hàm số đồng nhất không) ta chỉ ra
−x /∈ K
Do x ∈ K ⇒ x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a; b] vì x = θ, nên tồn tại t
0
∈ [a; b] để
x(t
0
) > 0 ⇒ (−x)(t
0
) = −x(t
0
) < 0, nên −x /∈ K.
Vậy K là một nón.
2/ Cho tập F =

x ∈ C
[a;b]
: 1 ≤ x(t) ≤ 2 ∀t ∈ [a; b]

, ta chứng minh
K(F ) =


x ∈ C
[a;b]
: x = tz, t ∈ R, t ≥ 0, z ∈ F

là một nón.
Thật vậy:
+/ Rõ ràng F = ∅ vì với x(t) = 1 ∀t ∈ C
[a;b]
⇒ x ∈ F.
+/ Ta chỉ ra F là tập lồi.
∀x, y ∈ F, ∀λ ∈ [0; 1] ta cần chứng minh λx+(1−λ)y ∈ F. Thật vậy: Do
x, y ∈ F nên 1 ≤ x(t) ≤ 2, 1 ≤ y(t) ≤ 2 ∀t ∈ [a; b] nên ta có λ ≤ λx(t) ≤ 2λ,
và (1 −λ) ≤ (1 − λ)y(t) ≤ 2(1 − λ) t ∈ [a; b] ⇒ 1 ≤ λx(t) + (1 − λ)y(t) ≤
2 ∀t ∈ [a; b] ⇒ 1 ≤ [λx + (1 −λ)y] (t) ≤ 2 ∀t ∈ [a; b] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ F.
Nên F là tập lồi.
+/ Ta chỉ ra F là tập đóng.
Lấy tuỳ ý trong F dãy hàm x
n
, n ∈ N
∗
và giả sử x
n
→ x khi n → ∞.
Do sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian C
[a;b]
tương đương với sự
hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a; b], nên ta có dãy hàm x
n
(t) hội

tụ đều tới hàm x(t) trên [a; b] khi n → ∞ ∀t ∈ [a; b]. Vì x
n
∈ F , nên
1 ≤ x
n
(t) ≤ 2 ∀t ∈ [a; b], ∀n, do đó 1 ≤ x(t) ≤ 2∀t ∈ [a; b] ⇒ x ∈ F, nên F là
tập đóng.
Từ định nghĩa của tập F ta có:
∀x ∈ F thì 1 ≤ x(t) ≤ 2 ∀t ∈ [a; b] nên 1 ≤ min
a≤t≤b
|x(t)| ≤ max
a≤t≤b
|x(t)| ≤
18
2 ⇒ x(t) = θ∀t ∈ [a; b] và 1 ≤ x ≤ 2, do đó tập F không chứa phần tử
không và là tập bị chặn.
Vậy K(F ) là một nón.
Ví dụ 1.4. Trong không gian Banach thực L
p
[a; b] :
L
p
[a; b] =

x = x(t) :
b

a
|x(t)|
p

dt < +∞

Với mỗi x = x(t) ∈ L
p
[a; b], đặt
x =


b

a
|x(t)|
p
dt


1
p
(1.9)
1/ Tập K = {x = x(t) ∈ L
p
[a; b] : x(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b]} là một nón.
Thật vậy:
+ Hiển nhiên K = ∅ (vì θ ∈ K).
+ Ta chỉ ra K là tập đóng .
Lấy dãy tuỳ ý {x
n
}
∞
n=1

⊂ K hội tụ tới x ∈ L
p
[a; b] tức là lim
n→∞
x
n
= x trong
L
p
[a; b].
⇒ ∀t ∈ [a; b] : lim
n→∞
x
n
(t) = x(t) và x
n
(t) ≥ 0 hầu khắp nơi (h.k.n) trên
[a; b], ∀n = 1, 2,
⇒ x(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b]. Suy ra K là tập đóng.
+ Với ∀ ∈ K nên ta có x = x(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b] và y = y(t) ≥ 0 h.k.n
/[a, b] ⇒ x + y = (x + y)(t) = x(t) + y(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b] ⇒ x + y ∈ K.
+ Với ∀x ∈ K, ∀α ∈ R, α ≥ 0 : x = x(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b] ⇒ αx =
α ·x(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b] ⇒ αx ∈ K.
+ với ∀x ∈ K : x = θ tức là x = x(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b] và ∃t
0
∈ [a; b] :
x(t
0
) > 0. khi đó với −x = −x(t) ta có ∃t
0

∈ [a; b] : −x(t
0
) < 0.
Suy ra −x ∈ K.
Vậy tập K là một nón trong không gian L
p
[a; b].
2/ Tập F = {x ∈ L
p
[a; b] : 1 ≤ x(t) ≤ 2 h.k.n /[a; b]}.
khi đó tập K(F ) = {x ∈ L
p
[a; b] : x = tz, t ∈ R
+
, z ∈ F} là một nón.
Thật vậy:
+ F là tập con khác rỗng của không gian L
p
[a; b] vì x = x(t) = 1 h.k.n
/[a; b] thuộc F .
19
+F không chứa phần tử θ, điều này suy ra từ định nghĩa tập F .
+Ta chỉ ra F là tập lồi ∀x, y ∈ F, ∀λ ∈ [0; 1] ta có:
1 ≤ x(t) ≤ 2, 1 ≤ y(t) ≤ 2 h.k.n /[a; b] ⇒ λ · x(t) + (1 − λ) · y(t) ≥
λ ·1 + (1 −λ) ·1 = 1 h.k.n /[a; b]
và λ ·x(t) + (1 −λ) ·y(t) ≤ λ ·2 + (1 −λ) ·2 = 2 h.k.n /[a; b]
⇒ 1 ≤ λ ·x(t) + (1 −λ) ·y(t) ≤ λ · 2 h.k.n /[a; b]
⇒ λ · x + (1 − λ) · y ∈ F . Suy ra F là tập lồi.
+ Ta chỉ ra F là tập đóng.
Giả sử lấy dãy bất kỳ (x

n
) = (x
n
(t)) ⊂ F hội tụ về x = x(t). do
lim
n→∞
x
n
(t) = x(t), ∀t ∈ [a; b] và x
n
(t) ≥ 1 h.k.n /[a; b] suy ra x(t) ≥ 1 h.k.n
/[a; b]. Tương tự ta cũng có x(t) ≤ 2 h.k.n /[a; b]. Do đó x ∈ F. Vậy F là tập
đóng.
+ Ta chỉ ra F bị chặn.
Với ∀x = x(t) ∈ F nên 1 ≤ x(t) ≤ 2 h.k.n /[a; b] ⇒ ∃ > 0 : |x(t)| ≤
, ∀t ∈ [a; b] ⇒
b

a
|x(t)|
p
dt ≤

p
b −a
⇒ x =


b


a
|x(t)|
p
dt


1
p
≤

(b −a)
1
p
Suy ra F là tập bị chặn.
Từ các kết quả ở trên, áp dụng định lý 1.1.1, suy ra K(F ) là một nón.
1.1.3. Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực
Cho E là một không gian Banach thực, K là một nón trên E.
∀x, y ∈ E, ta viết x ≤ y (hoặc x < y) nếu y −x ∈ K (hoặc x −y /∈ K\{θ}).
Khi đó, quan hệ “ ≤ ” là một quan hệ sắp thứ tự trong E.
Thật vậy:
+)∀x ∈ E. Ta sẽ chỉ ra x ≤ x. Do x − x = θ ∈ K nên x ≤ x. Vậy quan hệ
“ ≤ ” có tính chất phản xạ.
+)∀x, y ∈ E mà x ≤ y và y ≤ x. Ta sẽ chỉ ra x = y. giả sử x = y. Do x ≤ y
và y ≤ x nên

y − x ∈ K\{θ}
x −y ∈ K\{θ}
20
⇒ y − x + x − y ∈ K\{θ} ⇔ θ ∈ K\{θ} điều này không thể xảy ra nên
x = y. Vậy quan hệ “ ≤ ” có tính chất phản đối xứng.

+)∀x, y, z ∈ E mà x ≤ y, y ≤ z. Ta sẽ chỉ ra x ≤ z. Do x ≤ y, y ≤ z nên

y − x ∈ K
z −y ∈ K
⇒ y −x + z −y ∈ K ⇔ z −x ∈ K ⇔ x ≤ z. Vậy quan hệ “ ≤ ” có tính chất
bắc cầu.
Do đó, quan hệ “ ≤ ” là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian E
với nón K. Hoàn toàn tương tự, ta có thể chỉ ra được quan hệ “ < ” là một
quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trong không gian E.
Lúc này ta nói không gian Banach thực E cùng với nón K là một không
gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
Không gian Banach thực nửa sắp thư tự nói trên có một số tính chất
đơn giản như sau
1/ ∀(x
n
)
∞
n=1
⊂ E, (y
n
)
∞
n=1
⊂ E.x
n
≤ y
n
∀n = 1, 2, lim
n→∞
x

n
= x, lim
n→∞
y
n
=
y trong E, thì x ≤ y.
2/ Giả sử có u
0
∈ K và x ∈ E. Nếu ∃t ∈ R sao cho x ≤ tu
0
thì
x ≤ γu
0
∀γ > t.
3/ Giả sử có u
0
∈ K và x
0
∈ E sao cho ∃t
0
∈ R : x
0
≤ t
0
u
0
khi đó tìm
được số thực t nhỏ nhất sao cho x
0

≤ tu
0
.
4/ Giả sử có u
0
∈ K và x
0
∈ E sao cho ∃t
1
> 0 : x
0
≥ −t
1
u
0
thì tìm
được số thực t ≥ 0 nhỏ nhất sao cho x
0
≥ −tu
0
.
Ví dụ 1.5. Ta đã biết không gian R
1
là không gian Banach thực và tập
K =

x ∈ R
1
, x ≥ 0


là một nón (Ví dụ 1.1.1)
Quan hệ “ ≤ ” trong R với x, y ∈ R ta viết x ≤ y nếu y −x ∈ K. Khi đó,
quan hệ “ ≤ ” là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian R
1
.
Do định nghĩa nón K ở trên và quan hệ “ ≤ ” nên ta thấy quan hệ thứ
tự trong R
1
chính là quan hệ thứ tự thông thường trên tập số thực R.
21
Ví dụ 1.6. Ta đã biết không gian R
n
là không gian Banach thực với nón
K = {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
} : x
i
> 0, ∀i = 1, 2, , n (Ví dụ 1.1.2)
Bây giờ ta định nghĩa quan hệ “ ≤ ” trong R
n
như sau:
Với x, y ∈ R
n
ta viết x ≤ y nếu y −x ∈ K. Khi đó quan hệ “ ≤ ” là một

quan hệ sắp thứ tự trong không gian R
n
.
Mặt khác, vì hai phần tử tuỳ ý trong không gian R
n
có thể không có
quan hệ “ ≤ ”, chẳng hạn: x = (0, 1, 1, , 1, 3), y = (2, 2, , 2, 1)
Vì vậy, không gian Banach thực R
n
cùng với nón K trở thành không
gian nửa sắp rhứ tự.
Lúc này ta có với x = (x
i
)
n
i=1
∈ R
n
,
y = (y
i
)
n
i=1
∈ R
n
, x ≤ y ⇔ x
i
≤ y
i

∀i = 1, 2, , n.
Thật vậy,
x ≤ y ⇔ y − x ≤ θ ⇔ y
i
− x
i
≥ 0 ∀i = 1, 2, , n ⇔ x
i
≤ y
i
∀i = 1, 2, , n
Ví dụ 1.7. Không gian C
[a;b]
là không gian Banach thực và tập
K =

x ∈ C
[a;b]
: x(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b]

là một nón (Ví dụ 1.1.3)
Bây giờ ta đinh nghĩa quan hệ “ ≤ ” trong C
[a;b]
như sau: Với
x, y ∈ C
[a;b]
ta viết x ≤ y nếu y − x ∈ K. Khi đó quan hệ “ ≤ ” là một
quan hệ sắp thứ tự trong không gian C
[a;b]
.

Mặt khác, vì hai phần tử tuỳ ý trong không gian C
[a;b]
có thể không có
quan hệ “ ≤ ”, chẳng hạn: x(t) = t − a, y(t) = a + b ∀t ∈ [a; b]
Vì vậy, không gian Banach thực C
[a;b]
cùng với nón K trở thành không
gian nửa sắp rhứ tự.
Lúc này ta có với x, y ∈ C
[a;b]
, x ≤ y ⇔ x(t) ≤ y(t) ∀t ∈ [a; b]. Thật vậy,
x ≤ y ⇔ (y − x)(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b] ⇔ y(t) − x(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b] ⇔ x(t) ≤
y(t) ∀t ∈ C
[a;b]
22
1.2. Không gian E
u
0
1.2.1. Định nghĩa
Cho E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với nón K và u
0
∈
K\{θ}.
Phần tử x ∈ E gọi là u
0
- đo được nếu ∃t
1
, t
2
≥ 0 sao cho

−t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
(1.10)
Ta kí hiệu cận dưới đúng của các số không âm t
1
thoả mãn (1.10) là α = α (x) ,
cận dưới đúng của các số t
2
≥ 0 thoả mãn (1.10) là β = β (x) . Khi đó (1.10)
trở thành
−α (x) ·u
0
≤ x ≤ β (x) · u
0
(1.11)
1.2.2. Không gian E
u
0
Kí hiệu E
u
0
là tập tất cả các phần tử x ∈ E có tính chất u
0
- đo được thế

thì E
u
0
là một không gian tuyến tính thực. Thật vậy
+) ∀x, y ∈ E
u
0
ta chứng minh x + y ∈ E
u
0
. Do x, y ∈ E
u
0
nên tồn tại
các số thực dương t
1
, t
2
, t
3
, t
4
sao cho −t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0

và −t
3
u
0
≤ y ≤ t
4
u
0
từ đó ta có −(t
1
+ t
3
) u
0
≤ x + y ≤ (t
2
+ t
4
) u
0
. vì vậy x, y ∈ E
u
0
.
+) ∀x ∈ E
u
0
, ∀λ ∈ R ta chứng minh λx ∈ E
u
0

. Do x ∈ E
u
0
nên tồn tại
các số dương t
1
, t
2
sao cho −t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
Nếu λ ≥ 0 thì −(λt
1
)u
0
≤ λx ≤ (λt
2
)u
0
Nếu λ < 0 thì −λ > 0 và −(−λ)t
1
u
0
≥ (−λ)x ≥ (−λ)t
2

u
0
⇔ −(−λ)t
2
u
0
≤
λx ≤ (−λ)t
1
u
0
do đó ∀x ∈ E
u
0
, ∀λ ∈ R ta luôn có λx ∈ E
u
0
.
Vậy E
u
0
là một không gian tuyến tính thực.
Hơn nữa không gian E
u
0
còn là một không gian định chuẩn với chuẩn
 ·
u
0
được xác định như sau:

∀x ∈ E
u
0
, x
u
0
= max {α (x) , β (x)} (1.12)
Thật vậy :
Ta nhận thấy ngay · 
u
0
xác định một ánh xạ từ không gian E vào R.
23
+)∀x ∈ E
u
0
, do (1.11), (1.12) nên x
u
0
≥ 0
x
u
0
= 0 ⇔ max {α (x) , β (x)} = 0 ⇔ α (x) = β (x) = 0 ⇔ x = θ
+)∀x ∈ E
u
0
, ∀λ ∈ R
Do x ∈ E
u

0
nên ∃t
1
, t
2
∈ R, t
1
≥ 0, t
2
≥ 0 : −t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
.
Nếu λ ≥ 0 thì −λt
1
u
0
≤ λx ≤ λt
2
u
0
⇒ inf λt
1
= λ inf t
1

= λα (x) , inf λt
2
=
λ inf t
2
= λβ (x)
Từ đó
λx
u
0
= max {λα (x) , λβ (x)} = λ max {α (x) , β (x)} = λx
u
0
= |λ|x
u
0
Nếu λ < 0 thì −λt
1
u
0
≥ λx ≥ λt
2
u
0
⇔ −(−λ)t
1
u
0
≤ −λx ≤ −(−λ)t
2

u
0
ta có:
inf (−λt
2
) = −λ inf t
2
= −λβ (x) , inf (−λt
1
) = −λ inf t
1
= −λα (x)
Nên suy ra
λx
u
0
= max {(−λ) β (x) , (−λ) α (x)} = −λ max {β (x) , α (x)}
= (−λ) x
u
0
= |λ|x
u
0
.
Tóm lại , ∀x ∈ E
u
0
, ∀λ ∈ R ta luôn có λx
u
0

= |λ|x
u
0
.
+)∀x, y ∈ E
u
0
, ta sẽ chứng minh x + y
u
0
≤ x
u
0
+ y
u
0
Do x, y ∈ E ⇒ ∃t
1
, t
2
, t
3
, t
4
∈ R : −t
1
u
0
≤ x ≤ t
2

u
0
, −t
3
u
0
≤ y ≤ t
4
u
0
⇒
−(t
1
+ t
3
) u
0
≤ x + y ≤ (t
2
+ t
4
) u
0
Từ inf (t
1
= t
3
) u
0
≤ t

1
+ t
3
⇒ inf (t
1
+ t
3
) ≤ inf t
1
+ inf t
3
, tương tự ta có
inf (t
2
+ t
4
) ≤ inf t
2
+ inf t
4
. ta cũng có
max {inf (t
1
+ t
3
) , inf (t
2
+ t
4
)} = x + y

u
0
.
Giả sử x + y = inf(t
1
+ t
3
) thế thì x + y =≤ inf t
1
+ inf t
3
≤
max {inf t
1
+ inf t
2
}
+ max {inf t
2
+ inf t
4
} từ đó ta có x + y
u
0
≤ x
u
0
+ y
u
0

.
Tương tự cho trường hợp x + y
u
0
= inf(t
1
+ t
2
) nên ta có x + y
u
0
≤
x
u
0
+ y
u
0
∀x, y ∈ E
u
0
.
Như vậy công thức (1.12) xác định một chuẩn trong E
u
0
. Không gian
E
u
0
cùng với chuẩn  · là một không gian định chuẩn. Chuẩn xác định bởi

công thức (1.12) ta gọi là u
0
- chuẩn.
24
1.3. Một số định lý về nón
1.3.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.2. Cho không gian Banach thực E với nón K. Nón K được
gọi là nón chuẩn nếu ∃δ > 0, ∀e
1
, e
2
∈ K :
e
1
 = e
2
 = 1 thì e
1
+ e
2
 ≥ δ.
Ví dụ 1.8. Trong không gian Banach thực R
n
, với nón:
K = {x = (x
1
, x
2
, , x
n

) ∈ R
n
: x
i
≥ 0, ∀i = 1, 2, , n}
Khi đó K là một nón chuẩn.
Thật vậy, xét ∀e
1
, e
2
∈ K, e
1
= (x
i
)
n
i=1
, e
2
= (y
i
)
n
i=1
:
e
1
 = e
2
 = 1.

Khi đó x
i
≥ 0, y
i
≥ 0, ∀i = 1, 2, , n,




n

i=1
x
2
i
=




n

i=1
y
2
i
= 1
⇒ e
1
+ e

2
 =




n

i=1
(x
i
+ y
i
)
2
≥




n

i=1
x
2
i
= 1 = δ.
Vậy K là một nón chuẩn.
Ví dụ 1.9. Trong không gian Banach thực l
2

với nón
K = {x = (x
n
)
∞
n=1
∈ l
2
: x
n
≥ 0, ∀n = 1, 2, }
Khi đó K là một nón chuẩn.
Thật vậy, xét ∀e
1
, e
2
∈ K e
1
= (x
i
)
n
i=1
, e
2
= (y
i
)
n
i=1

:
e
1
 = e
2
 = 1
Khi đó x
i
≥ 0, y
i
≥ 0, ∀i = 1, 2, , n,




∞

n=1
x
2
n
=




∞

n=1
y

2
n
= 1
⇒ e
1
+ e
2
 =




∞

n=1
(x
n
+ y
n
)
2
≥




∞

n=1
x

2
n
= 1 = δ.

Do ∀k ∈ N
∗
:
k

n=1
(x
n
+ y
n
)
2
≥
k

n=1
x
2
n
⇒
∞

n=1
(x
n
+ y

n
)
2
≥
k

n=1
x
2
n
⇒
∞

n=1
(x
n
+
y
n
)
2
≥
∞

n=1
x
2
n
cho (k → ∞)


Vậy K là một nón chuẩn.
25
Định nghĩa 1.3. Cho không gian Banach thực E với nón K và hai phần tử
x, y ∈ K\{θ}. Phần tử y được gọi là thông ước với phần tử x nếu tồn tại các
số dương c và d sao cho cx ≤ y ≤ dx.
Nhận xét 1.1. Với x, y ∈ K\{θ}, nếu phần tử y thông ước với phần tử x
thì phần tử x thông ước với phần tử y.
Ta kí hiệu K(u
0
) là tập tất cả các phần tử thuộc K\{θ} thông ước với
phần tử u
0
∈ K\{θ} cho trước.
Định nghĩa 1.4. Cho không gian Banach thực E với nón K. Chuẩn trên
không gian E được gọi là nửa đơn điệu, nếu ∃N > 0, ∀x, y ∈ K mà x ≤ y thì
x
E
≤ Ny
E
.
1.3.2. Một số định lý về nón
Định lý 1.2. Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực E. khi đó
nón K là nón chuẩn khi và chỉ khi ∃M > 0, ∀y ∈ K\{θ}, ∀x ∈ E
y
sao cho
x
E
≤ Mx
y
· y

E
Chứng minh. Điều kiện cần:
Giả sử K là nón chuẩn, ta chứng minh ∃M > 0, ∀y ∈ K\{θ}, ∀x ∈ E
y
sao
cho
x
E
≤ Mx
y
· y
E
(1.13)
Giả sử (1.13) không xảy ra, tức là ∀n ∈ N
∗
, ∃y
n
∈ K\{θ}, ∃x
n
∈ E
y
n
sao cho
x
E
> nx
n

y
n

· y
n

E
⇒ x
n

y
n
<
x
n

E
ny
n

E
(1.14)
Từ đây ta cũng có x
n

E
= 0. Thoả mãn: −α (x) · y
n
≤ x ≤ β (x) · y
n
. Từ
định nghĩa chuẩn trong không gian E
y

n
ta luôn có
−x
n

y
n
· y
n
≤ x
n
≤ x
n

y
n
· y
n
(1.15)
Điều này có được vì x
n
∈ E
y
n
nên ∃t
1
, t
2
≥ 0 sao cho
−t

1
y
n
≤ x ≤ t
2
y
n
(1.16)
26