Bộ đề thi Toán HSG lớp 8 có đáp án

Câu 6: Cho P =
2
2
8 7
1
x x
x
− +
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P
Câu 7:
a/ Cho ba số chính phương A, B, C. Chứng minh rằng: (A - B)(B - C)(C - A) chia
hết cho 12.
b/ Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc với a, b, c khác 0. Tính giá trị của biểu thức:
P =
1 1 1
a b c
b c a
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
Câu 8: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 5cm; BC = 6cm. Vẽ các đường phân giác
AD, BE, CF
a/ Tính độ dài EF

b/ Tính diện tích tam giác DEF
Câu 9:
a/ Chứng minh rằng nếu a + b + c
≥
3 thì a
4
+ b
4
+ c
4

≥
a
3
+ b
3
+ c
3

b/ Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và số đo diện tích
bằng số đo chu vi.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 8
Đề 1
Bài 1: Trên cạnh AB<BC<AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy
các điểm M,N,P sao cho Tính diện tích MNP theo diện
tích ABC theo k.
Tính k Sao cho diện tích MNP đạt GTNN.
Bài 2: Cho tú giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O. Kí Hiệu S là diện tích.
Cho diện tích AOB và diện tích COD với a,b là 2 số cho trước .
1, Hãy tìm GTNN của diện tích ABCD ?

2, Giả sủ diện tích ABCD nhỏ nhất. Hãy tìm đường chéo BD điểm M sao
cho đường thẳng qua M // với AB bị 2 cạnh AD, BC và 2 đường chéo AC, BD
chia thành 3 phần bằng nhau.
Đề 2
Bài 1 Rút gọn biểu thức:
A=
Bài 2 Giải phương trình
a)
b)
Bài 3 Cho a,b,c thỏa mãn ab+bc+ac=4
chứng minh rằng: a
2
+b
2
+c
2
lớn hơn hoặc bằng 4
Bài 4 cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB),đường cao AH . Trong nửa mặt
phẳng bờ AH có chứa C vẽ hình vuông AHKE. gọi P là giao điểm của AC và KE
a)tính các góc của tam giác ABP
b)gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và
QA.cm H,I,K thẳng hàng
c)Gọi F là giao điểm AK và HE. cm AI.AK=AF.AQ
Đề 3
Bài 1:Cho đa thức P(x)= 2x
4
-7x
3
-2x
2

+13x+6
1) Phân tích P(x) thành nhân tử
2) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x thuộc Z
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Vẽ CE vuông góc với AB và CF
vuông góc với AD. Chứng minh rằng: AB.AE+AD.AF=
Bài 3: Cho phân thức F(x)=
1) Rút gọn phân thức
2) Xác định x để phân thức có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC bằng 289 và đường cao AH
bằng 120. Tính hai cạnh AB và AC
Bài 5:Cho 3 số dương a,b,c 1)C/m: >9
2) Giải phương trình:
.2đ.
tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xyz= x + y + z
2.2đ:
a,giải phương trình
b,cho các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz=100.tính giá trị biểu thức:
3.(2đ)
a,CMR nếu các số x,y,z có tổng là 1 số ko âm thì:
b, cho m,n là các số thỏa mãn điều kiện .tìm min của :
4.(1,5đ).trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m - 4)x+
(m-3)y=1( m là tham số ).tìm m để KC từ gốc tọa độ đến d là lớn nhất.
5.(2,5đ).Cho (O) đường kính BC = 2R .từ điểm P trên tia tiếp tuyến tại B của
đường tròn,vẽ tiếp tuyến thứ hai PA với đường tròn(A là tiếp điểm).Gọi H là
hình chiếu của A trên BC,E là giao điểm của PC và AH.
a,CM : E là TĐ của AH
b,tính AH theo R và khoảng cách d=PO
SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2008-2009
PHÒNG GD-ĐT HƯƠNG SƠN MÔN : TOÁN(Thời gian 120 phút)
Câu: 1Cho biểu thức A=

)
1004
)(
1
14
1
1
1
1
(
2
2
x
x
x
xx
x
x
x
x −
−
−−
+
+
−
−
−
+
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A
b) Rút gọn biểu thức A

c) Với giá trị nào của x thì A <
2
1
Câu :2 Cho hai số dương x và y thoả mãn x+y=1
a) Tính giá trị của biểu thức M= x(x+34) +y(y+34) +2xy +65
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =(1-
)
1
1)(
1
22
yx
−

Câu :3 Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1
Giả sử P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0 . Hãy tính giá trị của biểu thức :
Q= P(-2)+7P(6)
Câu : 4 Tìm tất cả các số nguyên n thoả mãn
(n+5)
2
=[4(n-2)]
3

Câu :5 Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm của AB; vẽ về một phía của AB
các tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Lấy điểm C trên Ax, lấy điểm D
trên By sao cho góc COD=90
0
a) Chứng minh
ACO
∆

đồng dạng với
∆
BOD
b) Chứng minh CD=AC+BD
c) Kẻ OM vuông góc với CD tại M . Gọi N là giao điểm của AD với BC
Chứng minh MN // AC
Trường THCS Tiến Thịnh Đề Khảo sát học sinh giỏi
Môn: Toán. Lớp 8
Thời gian: 120 phút
Câu 1( 2đ):
Biết: a - b = 25. Hãy tính giá trị của biểu thức:
A = a( a + 2) + b( b - 2) - 2ab – 75
b) Cho: x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức: B = x3 + y3
Câu 2( 2đ):
Cho x + y = a; x2 + y2 = b; x3 + y3 = c.
Chứng minh: a3 - 3ab +2c = 0.
Câu 4( 2đ): a) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì:
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = ( x - 2)2 + ( x - 3)2
Câu 5( 2đ): Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C, vẽ đường
vuông góc CE với đường thẳng AB, đường vuông góc CF với đường thẳng AD ( E, F
thuộc phần kéo dài của các cạnh AB và AD). Chứng minh rằng:
AB . AE + AD . AF = AC2
Câu Nội dung Điểm
1
a
- Rút gọn: A =
2 3
3 3 4
1 1 1

x x x
x x x x
− +
− +
+ − + +
=
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
1 1 3 3 4
1 1
x x x x x x
x x x
− + − + − + +
+ − +
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2 2
2
2 2
1 1

2 2 1 1
1
1 1 1 1
x x x
x x x x x
x x
x x x x x x
+ + +
+ + + + +
= =
− +
+ − + + − +
1điểm
1điểm
b
Với mọi x ≠ - 1 thì A =
2
2
1
1
x x
x x
+ +
− +
=
2
2
1 3
2 4
1 3

2 4
x
x
 
+ +
 ÷
 
 
− +
 ÷
 

Vì
2 2
1 3 1 3
0; 0, 1 0, 1
2 4 2 4
x x x A x
   
+ + > − + > ∀ ≠ − ⇒ > ∀ ≠ −
 ÷  ÷
   
1điểm
1điểm
2
a
* Với x≥ 1 (*) ⇒ x - 1 ≥ 0 ⇒
1 1x x− = −
ta có phương trình
x

2
-3x + 2 + x-1 = 0
( )
2
2
2 1 0 1 0 1x x x x⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =
( Thoả mãn
điều kiện *)
* Với x< 1 (**) ⇒ x - 1 ≤ 0 ⇒
1 1x x− = −
ta có phương trình
x
2
-3x + 2 + 1 - x = 0
( ) ( )
2
4 3 0 1 3 0x x x x⇔ − + = ⇔ − − =
+ x - 1 = 0
1x⇔ =
( Không thỏa mãn điều kiện **)
+ x - 3 = 0
3x
⇔ =
( Không thoả mãn điều kiện **)
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 1
1điểm
1điểm
b * Điều kiện x ≠ 0 (1)
* pt
⇔

( )
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4x x x x x
x x x x
 
       
+ + + + − + = +
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 

⇔
( )
2
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
8 2 4 4x x x x x
x x x x
 
       
+ + + + + − + = +
 

 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 

⇔
( ) ( )
2
16 4 8 0 0x x x x= + ⇔ + = ⇔ =
hoặc x = -8
So sánh với điều kiện (1) , suy ra nghiệm của phương trình là x = - 8
0.5điể
m
1điểm
0.5điể
m
3
Ta có
( )
( ) ( )
3 2 2
1 1 1 1y y y y x y y− = − + + = − + +
vì xy ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0

⇒ y-1≠ 0 và x-1 ≠ 0

( )
( ) ( )
3 2
3 2 2

3 2
1
1 1
1
1 1 1 1
1 1
x
y y y
y
x x x x y x x
x x x
−
⇒ =
− + +
−
− = − − + = − − + ⇒ =
− + +
3 3 2 2
1 1
1 1 1 1
x y
y x y y x x
− −
⇒ + = +
− − + + + +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2

2 2
2
2 2
2 2
2 2 3 3 2 2
2 2
1 1
1 1
2 1
2 2
4 2
0
3 1 1 3
x y xy x y
x x y y
x x y y
x y x y xy xy x y xy x y
xy
xy x y
x y y x x y
 
 
+ − + + +
+ + + + +
 ÷
= − = − ÷
 ÷
 ÷
+ + + +
+ + − + + + + + +

 
 
−
−
= − ⇒ + − =
+ − − +
1điểm
1điểm
1điểm
4
Ta có: M =
( ) ( )
2 2
10 16 10 24 16x x x x+ + + + +
Đặt a = x
2
+ 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a
2
+ 8a + 16 = ( a+ 4)
2
M = ( x
2
+ 10x + 20 )
2
( đpcm)
1điểm
1điểm
1điểm
5
a

+ Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.

CD CA
CE CB
=
(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra:
·
·
0
135BEC ADC= =
(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên
·
0
45AEB =
do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:
2 2BE AB m= =
1.5điể
m
1điểm
b
Ta có:
1 1
2 2
BM BE AD
BC BC AC
= × = ×

(do
BEC ADC
∆ ∆
:
)
mà
2AD AH=
(tam giác AHD vuông cân tại H)
nên
1 1 2
2 2
2
BM AD AH BH BH
BC AC AC BE
AB
= × = × = =
(do
ABH CBA
∆ ∆
:
)
Do đó
BHM BEC
∆ ∆
:
(c.g.c), suy ra:
·
·
·
0 0

135 45BHM BEC AHM= = ⇒ =
1.5điể
m
1điểm
c
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
, mà
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= ∆ ∆ = =:
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= ⇒ = ⇒ =
+ + +
1điểm
UBND THÀNH PHỐ HUẾ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 8 THCS - NĂM HỌC 2007 - 2008
Môn : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.

2
7 6x x+ +
2.
4 2
2008 2007 2008x x x+ + +
Bài 2: (2điểm)
Giải phương trình:
1.
2
3 2 1 0x x x− + + − =
2.
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x
      
+ + + − + + = +
 ÷  ÷  ÷ ÷
      
Bài 3: (2điểm)
1. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau:
64 6 4= +
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng
dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
2. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )

2 4 6 8 2008x x x x+ + + + +
cho đa
thức
2
10 21x x+ +
.
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H
∈
BC). Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE
theo
m AB
=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
ĐỀ BÀI
Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức A =
32
23
1

1
:
1
1
xxx
x
x
x
x
+−−
−








−
−
−
với x khác -1 và 1.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x
3
2
1−=
.
c, Tìm giá trị của x để A < 0.

Bài 2 (3 điểm)
Cho
( ) ( ) ( )
( )
bcacabcbaaccbba
−−−++=−+−+−
222
222
.4
.
Chứng minh rằng
cba
==
.
Bài 3 (3 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên
4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
5432
234
+−+−
aaaa
.
Bài 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 60
0
, phân giác BD. Gọi M,N,I
theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua
O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng
MNCDAB
211
=+
.
c, Biết S
AOB
= 2008
2
(đơn vị diện tích); S
COD
= 2009
2
(đơn vị diện tích). Tính S
ABCD
.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP
Bài 1( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì :
A=
)1()1)(1(
)1)(1(
:

1
1
2
23
xxxxx
xx
x
xxx
+−+−+
+−
−
+−−

0,5đ
=
)21)(1(
)1)(1(
:
1
)1)(1(
2
2
xxx
xx
x
xxxx
+−+
+−
−
−++−

0,5đ
=
)1(
1
:)1(
2
x
x
−
+
0,5đ
=
)1)(1(
2
xx −+
KL
0,5đ
b, (1 điểm)
Tại x =
3
2
1−
=
3
5
−
thì A =







−−−






−+ )
3
5
(1)
3
5
(1
2
0,25đ
=
)
3
5
1)(
9
25
1( ++
0,25đ
27
2

10
27
272
3
8
.
9
34
===

KL
0,5đ
c, (1điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi
0)1)(1(
2
<−+ xx
(1)
0,25đ
Vì
01
2
>+ x
với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi
01 <− x
1>⇔ x
KL
0,5đ
0,25đ
Bài 2 (3 điểm)

Biến đổi đẳng thức để được
bcacabcbaacacbccbabba 444444222
222222222
−−−++=+++−++−+
0,5đ
Biến đổi để có
0)2()2()2(
222222
=−++−++−+ accabccbacba
0,5đ
Biến đổi để có
0)()()(
222
=−+−+− cacbba
(*)
0,5đ
Vì
0)(
2
≥− ba
;
0)(
2
≥− cb
;
0)(
2
≥− ca
; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi

0)(
2
=−ba
;
0)(
2
=− cb
và
0)(
2
=− ca
;
0,5đ
0,5đ
Từ đó suy ra a = b = c
0,5đ
Bài 3 (3 điểm)
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân
số cần tìm là
11+x
x
(x là số nguyên khác -11)
0,5đ
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
15
7
+
−
x
x

(x kh¸c -15)
0,5đ
Theo bài ra ta có phương trình
11+x
x
=
7
15
−
+
x
x
0,5đ
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
1đ
Từ đó tìm được phân số
6
5
−
KL
0,5đ
Bài 4 (2 điểm)
Biến đổi để có A=
3)2()2(2)2(
2222
++++−+ aaaaa
0,5đ
=
3)1)(2(3)12)(2(

2222
+−+=++−+ aaaaa
0,5đ
Vì
02
2
>+a
a
∀
và
aa ∀≥− 0)1(
2
nên
aaa ∀≥−+ 0)1)(2(
22
do đó
aaa ∀≥+−+ 33)1)(2(
22
0,5đ
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
01
=−
a

1
=⇔
a
0,25đ
KL
0,25đ

Bài 5 (3 điểm)
a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang
0,5đ
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
0,5đ
b,(2điểm)
Tính được AD =
cm
3
34
; BD = 2AD =
cm
3
38
AM =
=BD
2
1
cm
3
34
0,5đ
Tính được NI = AM =
cm
3
34
0,5đ
DC = BC =
cm

3
38
, MN =
=DC
2
1
cm
3
34
0,5đ
Tính được AI =
cm
3
38

0,5đ
Bài 6 (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có
BD
OD
AB
OM
=
,
AC
OC
AB
ON
=

0,5đ
Lập luận để có
AC
OC
DB
OD
=

0,5đ
N
I
M
D
C
A
B
O
N
M
D
C
B
A
⇒

AB
ON
AB
OM
=

⇒
OM = ON
0,5đ
b, (1,5 điểm)
Xét
ABD∆
để có
AD
DM
AB
OM
=
(1), xét
ADC∆
để có
AD
AM
DC
OM
=
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
OM.(
CDAB
11
+
)
1==

+
=
AD
AD
AD
DMAM
0,5đ
Chứng minh tương tự ON.
1)
11
( =+
CDAB

0,5đ
từ đó có (OM + ON).
2)
11
( =+
CDAB

⇒
MNCDAB
211
=+
0,5đ
b, (2 điểm)
OD
OB
S
S

AOD
AOB
=
,
OD
OB
S
S
DOC
BOC
=

⇒
=
AOD
AOB
S
S
DOC
BOC
S
S

⇒

AODBOCDOCAOB
SSSS =
0,5đ
Chứng minh được
BOCAOD

SS =
0,5đ
⇒

2
)(.
AODDOCAOB
SSS =
Thay số để có 2008
2
.2009
2
= (S
AOD
)
2

⇒
S
AOD
= 2008.2009
0,5đ
Do đó S
ABCD
= 2008
2
+ 2.2008.2009 + 2009
2
= (2008 + 2009)
2

= 4017
2
(đơn vị
DT)
0,5đ
Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức









++
+
−−
=
222222
2
11
:
y
4xy
A
xxyyxyx
a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.
c) Nếu x; y là các số thực thoả mãn: 3x

2
+ y
2
+ 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị
nguyên dương của A?
Bài 2 (4 điểm):
a) Giải phương trình :

82
44
93
33
104
22
115
11 +
+
+
=
+
+
+ xxxx
b) Tìm các số x, y, z biết :
x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx

và
2010200920092009
3=++ zyx
Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n
N∈
thì n
5
và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ
một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và
·
·
EAD ECB=
b) Cho
·
0
120BMC =
và
2
36
AED
S cm=
. Tính S
EBC
?
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá
trị không đổi.
d) Kẻ
DH BC⊥

( )
H BC∈
. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh
CQ PD⊥
.
Bài 5 (2 điểm):
a) Chứng minh bất đẳng thức sau:
2≥+
x
y
y
x
(với x và y cùng dấu)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
2 2
2 2
3 5
x y x y
y x y x
 
+ − + +
 ÷
 
(với
x 0, y 0≠ ≠
)
Phòng Giáo dục- Đào tạo
TRựC NINH
*****

đáp án và hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 -
2009
môn: Toán 8
Bài 1 : (4 điểm)
a) Điều kiện: x
≠
±
y; y
≠
0 (1 điểm)
b) A = 2x(x+y) (2 điểm)
c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A
+ Từ (gt): 3x
2
+ y
2
+ 2x – 2y = 1
⇒
2x
2
+ 2xy + x
2
– 2xy + y
2
+ 2(x – y) = 1
⇒
2x(x + y) + (x – y)
2
+ 2(x – y) + 1 = 2
⇒

A + (x – y + 1)
2
= 2
⇒
A = 2 – (x – y + 1)
2

2
≤
(do (x – y + 1)
0
≥
(với mọi x ; y)
⇒
A
≤
2. (0,5đ)
+ A = 2 khi
( )
x y 1 0
2x x y 2
x y;y 0
− + =


+ =


≠ ± ≠


⇔

1
x
2
3
y
2

=




=



+ A = 1 khi
( )
2
(x y 1) 1
2x x y 1
x y;y 0

− + =

+ =



≠ ± ≠

Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng
hạn:
2 1
x
2
2 3
y
2

−
=



+

=


+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
a)
x 11 x 22 x 33 x 44
115 104 93 82
+ + + +
+ = +
x 11 x 22 x 33 x 44

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + + + = + +
x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + = +
x 126 x 126 x 126 x 126
0
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + − − =
⇔
x 126 0⇔ + =
x 126⇔ = −
b) x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx
⇔
2x
2
+2y
2
+ 2z
2

– 2xy – 2yz – 2zx = 0
⇔
(x-y)
2
+ (y-z)
2
+ (z-x)
2
= 0
x y 0
y z 0
z x 0
− =


⇔ − =


− =

x y z⇔ = =
⇔
x
2009
= y
2009
= z
2009
Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z
2009

= 3
2010

⇔
z
2009
= 3
2009

⇔
z = 3
Vậy x = y = z = 3
Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n
5
– n
M
10
- Chứng minh : n
5
- n
M
2
n
5
– n = n(n
2
– 1)(n
2
+ 1) = n(n – 1)(n + 1)(n

2
+ 1)
M
2 ( vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên
liên tiếp)
- Chứng minh: n
5
– n
M
5
n
5
- n = = n( n - 1 )( n + 1)( n
2
– 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5
- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n
5
– n
M
2.5 tức là n
5
– n
M
10
Suy ra n
5
và n có chữ số tận cũng giống nhau.
Bài 4: 6 điểm

IP
Q
H
E
D
A
B C
M
Câu a: 2 điểm
* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm)
- Chứng minh
∆
EBD đồng dạng với
∆
ECA (gg) 0,5 điểm
- Từ đó suy ra
. .
EB ED
EA EB ED EC
EC EA
= ⇒ =
0,5 điểm
* Chứng minh
·
·
EAD ECB=
(1 điểm)
- Chứng minh
∆
EAD đồng dạng với

∆
ECB (cgc) 0,75 điểm
- Suy ra
·
·
EAD ECB=
0,25 điểm
Câu b: 1,5 điểm
- Từ
·
BMC
= 120
o

⇒

·
AMB
= 60
o

⇒

·
ABM
= 30
o
0,5 điểm
- Xét
∆

EDB vuông tại D có
µ
B
= 30
o
⇒
ED =
1
2
EB
⇒

1
2
ED
EB
=
0,5 điểm
- Lý luận cho
2
EAD
ECB
S ED
S EB
 
=
 ÷
 
từ đó
⇒

S
ECB
= 144 cm
2
0,5 điểm
Câu c: 1,5 điểm
- Chứng minh
∆
BHD đồng dạng với
∆
DHC (gg) 0,5 điểm
2
2
BH BD BP BD BP BD
DH DC DQ DC DQ DC
⇒ = ⇒ = ⇒ =
0,5 điểm
- Chứng minh
∆
DPB đồng dạng với
∆
CQD (cgc)
·
·
·
·
` 90
o
BDP DCQ
CQ PD

ma BDP PDC

⇒ =

⇒ ⊥

+ =


1 điểm
Câu d: 1 điểm
- Chứng minh
∆
BMI đồng dạng với
∆
BCD (gg)
- Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC
2
có giá trị không đổi 0,5 điểm
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB
2
+ AC
2
= BC
2
Bài 5: (2 điểm)
a) vì x, y cùng dấu nên xy > 0, do đó
2 2
x y

2 x y 2xy
y x
+ ≥ ⇔ + ≥

2
(x y) 0⇔ − ≥
bất
đẳng thức này luôn đúng, suy ra bđt ban đầu đúng (đpcm)
b) Đặt
x y
t
y x
+ =

2 2
2
2 2
x y
t 2
y x
⇒ + = −
Biểu thức đã cho trở thành P = t
2
– 3t + 3
P = t
2
– 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1
- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t
≥
2.

t 2 0⇒ − ≥
;
t 1 0
− >

( ) ( )
t 2 t 1 0
⇒ − − ≥
P 1⇒ ≥
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2
⇔
x = y (1)
- Nếu x; y trái dấu thì
x
0
y
<
và
y
0
x
<

⇒
t < 0
⇒
t – 1 < 0 và t – 2 < 0
( ) ( )
t 2 t 1⇒ − −
> 0

⇒
P > 1 (2)
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x
≠
0 ; y
≠
0 thì luôn có P
≥
1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi x = y. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là P
min
= 1 (khi x = y)
Bài 5: (2 điểm)
- Gọi R(x) là đa thức dư trong phép chia f(x) : (x – 2)(x
2
– x + 1), khi đó ta có:
f(x) = (x – 2).(x
2
– x + 1).P(x) + R(x) (1)
- Vì đa thức chia (x – 2)(x
2
– x + 1) là đa thức bậc 3 nên đa thức dư R(x) có bậc
≤
2
- Từ (1)
⇒
dư trong phép chia f(x) : (x – 2) chính là dư trong phép chia R(x) : (x – 2), mà R(x)
là đa thức có bậc
≤
2, và f(x) : (x – 2) dư 4 (gt)

⇒
R(x) = (x – 2)(kx + p) + 4
- Lập luận tương tự trên
òng GD & ĐT Nam Trực
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG NĂM HỌC 2008-2009
MÔN: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1(4đ)
Giải các pt sau:
a)
0
1
3
1
2
1
1
223
=
−
+
+−−
+
+
xxxx
x
b)
5
2004
4

2003
3
2002
2
2001
1
2000
=
+
+
+
+
+
+
+
+
xxxxx
Bài 2 (4đ)
a)Tích của 4 sốtự nhiên liên tiép cộng thêm 1 là một số chính phương
b)
1
1

4
1
3
1
2
1
2222

<++++
n
Bài 3 (3đ)
Hai bể nước chứa đầy cùng một lượng nước và mỗi bể có1 vòi để xả nước ra.
Nừu mở vòi ở bể thứ nhất thì trong 20 phút bể sẽ hết nước. Nếu mở vòi ở bể thứ hai
thì trong 10 phút bể sẽ hết nước. Hỏi nếu mở hai vòi cùng một lúc thíau bao lâu số
nước còn lại trong bể thứ nhất nhiều hơn số nước còn lại trong bể thứ hai là 3 lần,
biết vận tốc dòng chảy của mỗi vòi là không đổi.
Bài 4(3đ)
Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm D bất kì lấy trên cạnh BC, kẻ DE⊥AB,
DF⊥ac. Chứng minh rằng tổng DE+DF không đổi khi D di chuyển trên cạnh BC.
Bài 5 (4đ)
Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 20cm, Trên cạnh CD lấy điểm M. Đường
vuông góc với BM cắt AD tại N.
a) Tính DN biết MC=5cm
b) Tìm vị trí điểm M để độ dài DN lớn nhất.
Bài 6 (2đ)
Xác định a để phương trình 4x
2
+31y
2
=a + 6 - 17xy có nghiệm nguyên duy nhất
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
QUẬN 1 TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2002-2003
( Thời gian làm bài : 90 phút)
Bài 1: (3 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
2
+6x +5

b) (x
2
-x +1) (x
2
–x+2) -12
Bài 2: (4 điểm)
a) Cho x+y+z = 0 .Chứng minh x
3
+y
3
+z
3
=3xyza
b) Rút gọn phân thức :
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
x y z xyz
x y y z z x
+ − −
− + − + −
Bài 3 : (4 điểm)
Cho x , y , z là độ dài ba cạnh của tam giác
A= 4x
2
y
2
–(x
2

+ y
2
–z
2
)
2
.Chứng minh A >0
Bài 4 : (3 điểm)
Tìm số dư trong phép chia của biểu thức
( x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2002 cho x
2
+8x +12
Bài 5: (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC >AB) ,đường cao AH .Trên tia HC lấy
HD= HA .Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh AE = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE .Tính góc AHM
PHÒNG GD-ĐT VĨNH TƯỜNG
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG
Môn:Toán 8
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
I/ Trắc nghiệm khách quan: Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau:
Câu 1: Rút gọn biểu thức P=
3633
43
2
−−
−
xx
x

với x<4 ta được kết quả là:
A.
3
1
+
x
B.
3
1
−
x
C.
3
1
−
−
x
D.
3
1
+
−
x
Câu 2: Phép biến đổi nào sau đây là đúng?
A. - 0,8x > -1,6  x > 2 C. - 0,8x > -1,6  x< 2
B. - 0,8x > -1,6  x > -2 D. - 0,8x > -1,6  x < -2
Câu 3: Cho tam giác ABC cân ở A, AB = 32cm; BC = 24cm, đường cao BK. Tính độ
dài KC ta được:
A. KC = 16 B. KC = 9 C. KC = 4 D. KC = 3
Câu 4: Cho hình thang ABCD ( AB// CD); AB = 3cm, CD = 5cm. Gọi O là giao

điểm của các đường thẳng AD và BC. Biết diện tích tam giác OAB bằng 27cm
2
.
Tính diện tích hình thang ta được:
A. 9 cm
2
B. 25cm
2
C. 48cm
2
D. 75cm
2
II. Tự luận:
Câu 1: Cho ba số tự nhiên:
A = 44…4 ( có 2n chữ số 4);
B = 22…2 ( có n+1 chữ số 2);
C = 88…8 ( có n chữ số 8);
Chứng minh rằng A + B + C + 7 là số chính phương.
Câu 2: Chứng minh rằng tổng các bình phương của n số tự nhiên đầu tiên :
S = 1
2
+ 2
2
+3
2
+…+ (n-1)
2
+ n
2
=

6
)12)(1(
++
nnn
Câu 3: Giải và biện luận phương trình ẩn x
1
8
)2(
)1()12(2
8
)2(
22
2
22
+
−
++=++−
+ xm
mmx
xm
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ y
2
– xy – x + y + 1
Câu 5: Cho tam giác ABC có B và C là các góc nhọn, đáy BC dài 20cm, đường cao
AH dài 10cm. Hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho M thuộc
AB, N thuộc AC , P và Q thuộc BC.
a. Đặt MQ = x; MN = y; Hãy biểu thị y theo x.
b. Tìm giá trị của x để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.

HƯỚNG DẪN CHẤM
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG
Môn: Toán 8
I/Trắc nghiệm khách quan ( 1 điểm)
Câu 1 2 3 4
Đáp án đúng D C B C
Cho điểm 0,25 0,25 0,25 0,25
II/Tự luận
Câu Nội dung Điểm
1
(2 đ)
Ta có: A +B+C+7=
78 882 224 44
12
+++
+

nnn
=4*
  
71 11*81 11*21 11
12
+++
+ nnn
=
7
9
110
*8
9

110
*2
9
110
*4
12
+
−
+
−
+
−
+ nnn
=
2
1
2
69 66
3
710*2








=









+
−

n
n
(đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(2 đ)
- Ta có đẳng thức sau:
2
3
= (1+1)
3
= 1
3
+3.1
2
.1+3.1.1
2

+1
3
3
3
= (2+1)
3
= 2
3
+3.2
2
.1+3.2.1
2
+1
3
………
(n+1)
3
= n
3
+3.n
2
.1+3.n.1
2
+1
3
Cộng từng vế rồi rút gọn ta được:
(n+1)
3
=1+3(1
2

+2
2
+…+n
2
) +3(1+2+…+n)+n
Thay 1+2+…+(n-1)+n=
2
)1( +nn
ta có:
3(1
2
+2
2
+…+n
2
)=(n+1)
3
-(n+1)-3
2
)1( +nn
=1/2(n+1)(2n
2
+n)=1/2n(n+1)(2n+1)
Vậy S= 1
2
+2
2
+…+n
2
=

6
)12)(1( ++ nnn
(đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(2 đ)
Phương trình đã cho  8m
2
x-32x=8m
2
+32m+32
m
2
x-4x=m
2
+4m+4
 (m-2)(m+2)x=(m+2)
2
(*)
- Nếu m
2±≠
thì pt có nghiệm duy nhất x=
2

2
−
+
m
m
- Nếu m=2 thì pt (*) 0x=4, pt vô nghiệm
- Nếu m=-2 thì pt (*)  0x=0, pt vô số nghiệm
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
4 Ta có P=x
2
-x(y+1) + (y
2
+y+1)
= (x-
2
1+y
)
2
+(y
2
+y+1)-
2
2
1







+y
=
4
323
2
1
2
2
++
+






+
−
yyy
x
0,25
B
H
C
N

A
M K
=
)1
3
2
(
4
3
2
1
2
2
+++






+
− yy
y
x
=
3
2
)
3
1

(
4
3
2
1
2
2
+++






+
− y
y
x
Do đó: P
3
2
≥
với mọi x, y. Dấu “=” xảy ra khi x-
2
1+y
=0
và y+1/3=0
 x=2/3 và y=-1/3.Vậy GTNN của P=2/3
0,25
0,25

0,25
5
( 2 đ)
Gọi K là giao điểm của AH và MN
a/
AMN∆
đồng dạng
ABC∆
nên
10
10
20
xy
AH
AK
BC
MN −
=⇔=
suy ra y=20-2x
b/S
MNPQ
= (20 - 2x)x
= 20x- 2x
2
=-2(x
2
-10x+25)+50=-2(x-5)
2
+50
suy ra S

MNPQ
≤
50 nên S
MNPQ
lớn nhất là 50m
2
khi và chỉ
khi x=5m ( khi đó MN là đường trung bình của tam giác
ABC)
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
§Ò thi häc sinh giái to¸n 8
Bài 1: C/m rằng
A=75( + + + +4+1)+25 là số chia hết cho 100
Bài 2: Cho a+b+c=1 và Chứng minh
Bài 3: Tính giá trị của đa thức
P(x)= tại x=11
Bài 4:
An và Bình cùng lúc từ làng sang làng B ở cùng một bờ sông rồi quay về A
ngay. An đi bộ, Bình đi thuyền với vận tốc riêng của thuyền bằng vận tốc đi bộ
của An. Hỏi ai quay về sớm hơn?
Q
P
Bài 5:
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. C/m rằng AM<
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Trực tâm H chia đường cao AE theo tỉ số 7:1. Hỏi
giao điểm I các đường phân giác trong tam giác chia đường cao AE theo tỉ số nào.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC 2008-2009
Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu1: Cho A = (
4
4
2
−x
+
2
1
+x
-
x48
3
−
) :
44
7
−x
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm x
∈
Z để A
∈
Z
c. Tìm x để
A
- A > 0

Câu2: a. Giải phương trình:
79
11
81
9
84
6
87
3 −
+
−
+
−
+
− xxxx
= 4
b. Cho x-2y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
2
+y
2
+4
c. Tìm số dư của phép chia đa thức x
2008
– x
3
+ 5 cho đa thức x
2
– 1
Câu3: Cho AD là đường phân giác của tam giác nhọn ABC(AB<AC), phân giác ngoài
tại A của tam giác ABC cắt BC tại K và cắt đường vuông góc với AC qua D tại N. AC

cắt DN tại M.
a. Chứng minh:AN
2
=NM . ND
b. Từ D kẻ DH // AB (H thuộc AC) , DE//AC (E thuộc AB)
Chứng minh: EH // KN
c. Chứng minh: AH. KC = HC. KB
Câu4: Chứng minh: A = n
2
+ n + 4 không chia hết cho 25 với mọi n
∈
N