công thức logarit toàn tập phần 2

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1





3) Các công thức về logarith (tiếp theo)
Công thức 5:
log .log
=
m
a a
b m b
,
(5)

Ch
ứ
ng minh:
Theo công th
ứ
c
(2)
ta có
(
)
log log .log
= ⇒ = =
a a a

m
b b m b
m
b a b a a

Khi
đ
ó
.log
log log .log
= =
⇒
a
m b
m
a a a
b a m b dpcm

Ví dụ 1:
( )
3 2
2 2 2 5 5 5
1
4
4
2 2 2
log 27 log 3 3log 3; log 36 log 6 2log 6
1 5
log 32 log 32 log 32
4 4

= = = =
= = =

Ví dụ 2:
4
2
2
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 6 .45 1
2log 6 log 400 3log 45 log 6 log 400 log 45 log log 81
log 4.
2 20 3
−
 
− + = − + = = = = −
 
 

Ví dụ 3:
5 5 5 5 5 5 5 5
1 50 3
log 3 log 12 log 50 log 3 log 12 log 50 log log 25 2.
2
2 3
− + = − + = = =

Ví dụ 4:
Cho bi

ế
t
1 3
log ;log
2 4
a a
b c
= =
Tính giá tr
ị
c
ủ
a
log
a
x
với
a)
3 2
2 3
4
a b c
x
a bc
=


b)
3 3
3

ab a bc
x
bc
=


Công thức 6:
1
log log
=
n
a
a
b b
n
, (6)
Chứng minh:
Đặt
(
)
log
= ⇒ = ⇔ =
n
y
n ny
a
b y a b a b

Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được :
1

log log log log
= ⇔ = ⇒ =
ny
a a a a
a b ny b y b
n

hay
1
log log= ⇒
n
a
a
b b dpcm
n

Ví dụ 1 :
1
2
5 1
5
2
2
2
2
2
2
1
log 16 log 16 log 16 2.4 8.
1

2
1
log 64 log 64 log 64 5.6 30.
1
5
= = = =
= = = =

Hệ quả:
T
ừ
các công th
ứ
c
(5)
và
(6)
ta có :
log log
=
n
m
a
a
m
b b
n

Ví dụ 2:
( )

( )
( )
( )
3 1 3
3
1
11
3
4
4
5
2 2 2
5
2
5
3
9 11 11
4
log 125 log 5 log 5 ; log 32 2 log 2 log 2 .
1
4 3 3
3
= = = = = =
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức
1
3 3
5
3
4
1
3
3
27
log 27 log
9
.
1 1
log log
81 3
 
+
 
 
=
 
+
 
 

A
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:


(
)
2
3 3 3 3
log 27 log 3 3 2
= =


1
2
13
3
5
1 3
2
5
3
3
5
27 3 1 13 26

log log log 3 2. .
1
5 5
9
3
2
−
 
 
 
= = = − = −
 
 
 
−
 


1
2
1
3 3
5
4
3
3
4
3
3
1

3
3
27
26
log 27 log
2
9
1 4
5
log log 3 4.2log 3 8 .
81 8 4 5
1 1
log log
81 3
−
 
+
 
−
 
= = − = − → = = =
− +
 
+
 
 
A

Công thức 7: (Công thức đổi cơ số)
log

log
log
=
c
a
c
b
b
a
, (7)
Chứng minh:
Theo công thức (2) ta có
( )
log log
log
log log log .log log
log
= ⇒ = = ⇒ = ⇒
a a
b b
c
c c a c a
c
b
b a b a b a b dpcm
a

Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log log .log

=
a a c
b c b

+ Khi cho b = c thì (7) có dạng
log
1
log .
log log
= =
b
a
b b
b
b
a a

Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho
2 2
log 14 log 49 ?
= → = =
a A
b)
Cho
15 25
log 3 log 15 ?
= → = =
a B
H

ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
(
)
2 2 2 2
log 14 log 2.7 1 log 7 log 7 1.
= ⇔ = = + ⇒ = −
a a a
Khi
đ
ó
(
)
2 2
log 49 2log 7 2 1 .
= = = −
A a
b)
Ta có
3
15
3 3
5
1 1

log 5 1
1 1
log 3
log 15 1 log 5
log 3
1
−

= − =


= ⇔ = = →

+

=

−

a
a a
a a
a
a

( ) ( )
3
25
3 3
1 1

log 15
1 1
log 15 .
1
log 25 2log 5 2 1 2 1
2
= = = = = → =
−
− −
a a
B B
a
a a
a

Ví dụ 2:
Cho
log 3.
a
b
=
Tính
a)
log .
=
b
a
b
A
a

b)
log .
=
ab
b
B
a

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta có
1
log 3 log .
3
= ⇒ =
a b
b a

a)

1 1 1 1
log log log
log log log log
log log
= = − = − = − =
   
− −
   
   
   
b b b
b b a a
a a a
b a
b
A b a
a b a b a
b b
a a

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

1 1 1 1 3 1 3 1
.
2
1 2log log 2
3 2 3 2 3 2

1
3
− −
= − = − = → =
− −
− − −
−
b a
A
a b

Cách khác:
Ta có
đượ
c
2
2
2
2
log
log 1
3 1
log log log
log 2
3 2
log
a
a
b
b

b
a
a
a
a
a
b
b
b b b
a
A
b
a b
a a
a
 
 
 
 
 
−
−
= = = = = =
 
 
−
−
 

b)

1 1 1 1
log . log log
log log log log log log
= = − = − = − =
+ +
ab ab ab
b b b
a a a
b
B b a
a ab ab a b a b

1 1 1 1 2 3 1 2 3 1
.
1 1 1 1
1 log
1 3 3 1 3 1
log
2 2 2
2 3
− −
= − = − = → =
+
+ + +
+ +
a
b
B
b

a

Cách khác:
Ta có
( )
2
2
2
2
log
2log 1
2 3 1
log log log .
log 1 log
1 3
a
a
ab
ab
ab
a a
b
b
b b b
a
B
a ab b
a a
−
 

−
= = = = = =
 
+
+
 

Ví dụ 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 2
4 2
81 25 .49
−
 
+
 
 
b)
2 5
4
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
+

+
+
c)
7 7
3
1
log 9 log 6
log 4
2
72 49 5
−
−
 
+
 
 
d)
6 9
log 5 log 36
1 lg 2
36 10 3
−
+ −
Hướng dẫn giải:
a)
( )
3
9
3
9

125 7 5 7
1 1
1 1
log 4
2log 2
4 log 4
log 8 log 2 2log 2
4 2
4 2
81 25 .49 3 5 7
 
−
−
 
 
 
 
+ = +
 
 
 
 
5
3 7
1
2 .3log 2
1 log 4 log 4
3
3
3 5 7 4 4 19

4
−
 
 
= + = + =
 
 
 
 

b)
( )
2 5
4
2 54
1
log 3 3log 5
2 1 log 5
log 3 6log 5
1 log 5 6
2
16 4 4 2 16.25 3.2 592
+
+
+
+
+ = + = + =
c)
( )
7 7

5
7 7 5
1
log 9 log 6
log 4
log 9 2log 6 2log 4
2
9 1
72 49 5 72 7 5 72 18
36 16
−
−
− −
 
 
+ = + = + = +
 
 
 
 
4,5=22,5
d)
6 9 6
log 5 log 36 log 25
1 lg2 log5
36 10 3 6 10 25 5 30
−
+ − = + = + =

Ví dụ 4: Tính giá trị của các biểu thức sau :

a)
9 9 9
log 15 log 18 log 10
A = + − b)
3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
B = − +

c)
36 1
6
1
log 2 log 3
2
C = −
d)
(
)
1 3 2
4
log log 4.log 3
D =
H
ướ
ng d
ẫ

n gi
ả
i:
a)
3 3
9 9 9 9 9 3
15.18 1 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
10 2 2
A
= + − = = = =

b)
2 4
3
1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3
1 36.45
2log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
2 20
B
 
= − + = = = − = −
 
 

c)
36 1 6 6 6
6
1 1 1 1 1

log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
2 2 2 2 2
C
= − = + = =

d)
( ) ( ) ( )
1 3 2 4 2 3 4 2 2
4
1 1
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
2 2
D
= = − = − = − = −

Ví dụ 5: Hãy tính :
a.
( )
2 3 4 2011
1 1 1 1
2011!
log log log log
A x
x x x x
= + + + + =

b. Chứng minh :
+
( )
ax

log log
log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4

+
(
)
2
1
1 1 1

log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+

+ + + =
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
2 3 4 2011
1 1 1 1
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2
011 log 2011!
log log log log
x x x x x
A
x x x x
= + + + + = + + + = =

Nếu x = 2011! Thì A=
(
)
2011!
log 2011! 1
=

b) Chứng minh :
( )
ax
log log

log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+

Ta có
ax
log log log
log
log ax 1 log
a a a
a a
bx b x
bx
x
+
= = ⇒
+
đpcm.
Chứng minh :
(
)
2
1

1 1 1

log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+
+ + + =
( )
(
)
2
1
log log log 1 2 3 log
2log
k
x x x x
a
k k
VT a a a k a VP
x
+
= + + = + + + + = =

Ví dụ 6: Chứng minh rằng :
a) Nếu :
2 2 2
; 0, 0, 0, 1

a b c a b c c b
+ = > > > ± ≠
, thì log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a
+ − + −
+ =
b) Nếu 0<N
1
≠
thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
( )
log log log
, , 1
log log log
a a b
c b c
N N N
a b c
N N N
−
= ≠
−

c) Nếu
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì
2log .log

log
log log
a c
b
a c
x z
y
x z
=
+

d) Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn :
2 2
7
a b ab
+ = . Chứng minh :
ln ln
ln
3 2
a b a b
+ +
=
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết
(
)
(
)
(
)

(
)
2 2 2
2 log log
a a
a c b c b c b c b c b
= − = − +
⇒
= − + +

1 1
2 2log .log log log
log log
c b c b c b c b
c b c b
a a a a
a a
− + + −
− +
⇔ = + ⇔ = +

b) Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có :
2
b ac
=

Lấy logarith cơ số N hai vế ta được
1 1 1 1
2log log log
log log log log

N N N
b a c b
b a c
N N N N
= + ⇔ − = −

log log log log log log log
log .log log .log log log log
a b b c a a b
a b c b c b c
N N N N N N N
N N N N N N N
− − −
⇔ = ⇔ =
−
. ( đpcm )
c) Nếu
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng thì
log log 2log
x z y
a c b
+ =
2log .log
1 1 2
log
log log log log log
a c

b
a c b a c
x z
y
x z y x z
⇔ + = ⇔ =
+

d) Nếu :
( )
2
2
2 2
ln ln
7 9 ln
3 3 2
a b a b a b
a b ab a b ab ab
+ + +
 
+ = ⇒ + = ⇔ = ⇒ =
 
 
.
Ví dụ 7: Tính
a.
6
log 16
A = . Biết :
12

log 27
x
=

b.
125
log 30
B =
. Biết : lg3 ;lg2
a b
= =

c.
3
log 135
C = . Biết:
2 2
log 5 ;log 3
a b
= =

d.
6
log 35
D = . Biết :
27 8 2
log 5 ;log 7 ;log 3
a b c
= = =

e. Tính :
49
log 32
. Biết :
2
log 14
a
=

Hướng dẫn giải:
a)
6
log 16
A =
. Từ :
3
12 3 3
3 3
log 27
3 3 3 3
log 27 log 4 1 log 2
log 12 1 log 4 2
x x
x x
x x x
− −
= ⇔ = = ⇒ = − = ⇔ =
+
(*)
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
5

Do đó :
4
3 3
6
3 3
log 2 4log 2
log 16
log 6 1 log 2
A = = =
+
. Thay t
ừ
(*) vào ta có : A=
(
)
( )
2 3 .2
12 4
3 3
x x
x
x x x
−
−
=
+ +

c) T
ừ
:
3
2
3 3 3
2
log 5
3
log 135 log 5.3 log 5 3 3 3
log 3
a a b
C
b b
+
= = = + = + = + =

d) Ta có :
27 3 3 8 2 2
1 1
log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3
3 3
a a b b
= = ⇒ = = = → =
(*)
Suy ra :
(
)
2 3 2
2 2 2

6
2 2 2
3 1
log 3.log 5 log 7
log 5.7 log 5 log 7 .3 3
log 35
log 2.3 1 log 3 1 log 3 1 1
b a
b a b
D
b b
+
+
+ +
= = = = = =
+ + + +

e) Ta có :
2 2 2
log 14 1 log 7 log 7 1
a a a
= ⇔ + = ⇒ = −

Vậy :
( )
5
2
49
2
2 2

log 2
5 5
log 32
log 7 2log 7 2 1
a
= = =
−

Ví dụ 8: Rút gọn các biểu thức
a)
(
)
(
)
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a
= + + − −

b)
( )
( )
2
log log 1
2 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2
x

x
B x x x x
+
= + +
c)
(
)
log log 2 log log log
a p a ap a
C p a p p p
= + + −
Hướng dẫn giải:
a)
( )( ) ( )
2
log 1
log log 2 log log log 1 1 log 1
log
a
a b a ab b ab
a
b
A b a b b a a
b
 
+
= + + − − = − − =
 
 

2 2 2
log 1 log log 1 log 1 log
1
1 1 1 1 1
log log log 1 log log 1 log
a a a a a
a a a a a a
b a b b b
b ab b b b b
           
+ + +
− − = − − = −
           
+ +
           

log 1
1
1 log
log log
a
b
a a
b
a
b b
+
= − = =

b)

( )
( )
( )( ) ( )
2
2
log log 1
2 2 4
2 2 2 2 2 2 2
1 1
log 2 log log 1 2log log log 1 4log
2 2
x
x
B x x x x x x x x
+
= + + = + + + + =

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
1 3log log 8 log 9 log 3log 1
x x x x x
= + + + = + +

c)
( )
( )
2
2
log 1

log
log log 2 log log log log log
log 1 log
a
a
a p a ap a a a
a a
p
p
C p a p p p p p
p p
+
 
= + + − = − =
 
+
 

(
)
( )
2
3
log 1
log
log log
log 1 log
a
a
a a

a a
p
p
p p
p p
+
 
= =
 
+
 

Ví dụ 9:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
( ) ( )
1
log 3 log2 log log
2
a b a b
− − = + v
ớ
i :
2 2
3 0; 9 10
a b a b ab

> > + =
b) Cho a, b, c
đ
ôi m
ộ
t khác nhau và khác 1, ta có :
+
2 2
log log
a a
b c
c b
=
+
log .log .log 1
a b c
b c a
=

+ Trong ba s
ố
:
2 2 2
log ;log ;log
a b c
b c a
c a b
b c a
luôn có ít nh
ấ

t m
ộ
t s
ố
l
ớ
n h
ơ
n 1
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) T
ừ
gi
ả
thi
ế
t
( )
2
2 2 2 2
3 0; 9 10 6 9 4 3 4
a b a b ab a ab b ab a b ab
> > + = ⇔ − + = ⇔ − =

Ta l
ấ
y log 2 v
ế
:
( ) ( ) ( )
1
2log 3 2log2 log log log 3 log2 log log
2
a b a b a b a b
− = + + ⇔ − − = +
b) Ch
ứ
ng minh :
2 2
log log
a a
b c
c b
= .
* Th
ậ
t v
ậ
y :
1 2
2 2
log log log log log log
a a a a a a
b c c b c c

c b b c b b
−
   
= = −
⇒
= − =
   
   

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
6

*
log .log .log 1 log .log log 1
a b c a b a
b c a b a a
= ⇔ = =

* Từ 2 kết quả trên ta có
2
2 2 2
log log log log .log log 1
a b c a b c
b c a b c a
c a b b c a
b c a c a b
 
= =
 

 

Ch
ứ
ng t
ỏ
trong 3 s
ố
luôn có ít nh
ấ
t m
ộ
t s
ố
l
ớ
n h
ơ
n 1

Ví dụ 10:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a)
3

6
log 3.log 36

=

b)
4
3
log 8.log 81

=

c)
3
2 25
1
log .log 2

5
=

Ví dụ 11:
Cho
log 7.
a
b
=
Tính
a)
3

log .
=
a b
a
A
b

b)
3
2
log .
=
b
a
B ab

Ví dụ 12:
Tính các bi
ể
u th
ứ
c sau theo
ẩ
n s
ố

đ
ã cho:
a)
Cho

3
25 2
5
49
log 7 ; log 5 log ?
8
= = → = =
a b P
b) Cho
log 2 log ?
= → = =
ab ab
b
a Q
a

Công thức 8:

log log
=
b b
c a
a c ,
(8)
Ch
ứ
ng minh:
Theo công th
ứ
c

(7):

(
)
log
log log .log log log log
log log .log= ⇒ = ⇔ = = ⇒
b
b b a b a b
a
c a c c c a
b b a
c a c a a a a c dpcm

Ví dụ 1:
( )
2
7 7 2
1
log 27
log 2 log 49
log 2
2
2
49 2 2 4; 2 27 27 3 3
= = = = = =

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
3

6 9
log 4
log 5 log 36
36 3 3

A = + − =

b)
2
3
3
log 3
2 log 2
log 4
3 .4



27
B
−
= =

c)
3 9 9
log 5 log 36 4log 7
81 27 3

C
= + + =